Symmetries and symmetrisation in quantum and electromagnetic multi-mode systems for balancing gain and loss

Abstract

Losses usually are an undesirable effect in physics. However, in combination with gain, novel and unexpected features occur. This is because gain and loss can effectively be described via an imaginary potential, which renders a Hamiltonian non-Hermitian. Although there are similarities to standard quantum mechanics, non-Hermitian quantum mechanics exhibits unique mathematical features like bi-orthogonal and self-orthogonal states. Such systems can be used to describe open quantum systems efficiently; though, the overall probability is not conserved in general. However, by balancing gain and loss, stable stationary states with intriguing properties can be realised. Balanced gain and loss occurs in combination with anti-unitary symmetries, which are related to time reversal. The simplest and most powerful symmetry in this regard is PT symmetry, which acted as the driving force behind the development of non-Hermitian quantum mechanics in the last two decades. Researchers produced some astounding results involving PT symmetry, like unidirectionally invisible structures and optimal robust wireless power transfer. Due to the generality of the PT operator, PT symmetry is applicable to almost any physical system, though, it is broken even for small perturbations. In the absence of symmetries, balanced gain and loss can still be achieved by means of symmetrisation or semi-symmetrisation, which are introduced in this thesis. Symmetrised non-Hermitian systems show similar features as symmetric ones, but they allow for a broader range of applications. Symmetrisation allows for the description of physical multi-well potentials with gain and loss. Yet, the lack of obvious symmetries or recognisable patterns makes symmetrised systems hard to understand intuitively. The relations between symmetries and symmetrisation are discussed in detail and both concepts are explicitly applied to one-dimensional multi-mode quantum systems, for which a simple matrix model is used as an example. Analytical symmetrised solutions are derived and it is explicitly demonstrated how symmetrisation can be used to systematically find two-mode systems with a stable stationary ground state. Further, it is shown that models with just two modes are only semi-symmetrisable, whereas they can be perfectly PT-symmetric. Semi-symmetrisation is also applied to multi-mode systems for the realisation of multi-mode chains and to spatially extended Gaussian multi-well potentials. Gaussian potentials can be used in experimental realisations with Bose-Einstein condensates involving non-linear contact interactions; these can be used to realise a self-stabilising mechanism of stationary states, thus making the system robust with respect to small perturbations. By deriving a mathematically equivalent model for inductively coupled electric resonant circuits, the concepts of symmetries and symmetrisation can be transferred from the quantum realm to the classical field of electrodynamics. While this provides a simple and, in particular, accessible platform for experiments, the possibility of applications for wireless power transfer are also discussed briefly, which concludes this thesis.

Verluste sind in der Physik häufig ein unerwünschter Nebeneffekt. In Kombination mit Gewinn können jedoch neuartige und unerwartete Eigenschaften auftreten. Der Grund hierfür ist, dass sich Gewinn und Verlust effektiv durch komplexe Potentiale beschreiben lassen, durch die ein Hamilton-Operator nicht-Hermitesch wird. Obwohl es Gemeinsamkeiten zum üblichen Formalismus der Quantenmechanik gibt, treten einzigartige mathematische Eigenschaften in der nicht-Hermiteschen Quantenmechanik auf, wie etwa biorthogonale und selbstorthogonale Zustände. Solche Systeme lassen sich zur effizienten Beschreibung offener Quantensysteme verwenden. Jedoch ist die Gesamtwahrscheinlichkeit hierbei im Allgemeinen nicht erhalten. Gleichen sich Gewinn und Verlust aus, so lassen sich aber stabile stationäre Zustände mit verblüffenden Eigenschaften erzeugen. Ausgeglichener Gewinn und Verlust tritt im Zusammenhang mit antiunitären Symmetrien auf, die wiederum mit Zeitumkehr zusammenhängen. Die einfachste und zugleich einflussreichste Symmetrie in dieser Hinsicht ist die PT-Symmetrie, welche in den letzten zwei Jahrzehnten als treibende Kraft hinter der Entwicklung der nicht-Hermiteschen Quantenmechanik fungierte. Forscherinnen und Forscher haben einige erstaunliche Ergebnisse im Zusammenhang mit PT-Symmetrie erzielt, zu denen unter anderem unidirektional unsichtbare Strukturen und optimale und zugleich stabile, kabellose Energieübertragungen zählen. Aufgrund der Allgemeingültigkeit des PT-Operators lässt sich PT-Symmetrie auf nahezu jedes physikalische System anwenden; jedoch kann die Symmetrie bereits durch kleine Störungen gebrochen werden. Ohne Symmetrien lassen sich mithilfe von Symmetrisierung oder Semisymmetrisierung, zwei Konzepte, die in dieser Arbeit eingeführt werden, dennoch ausgeglichene Gewinne und Verluste erzeugen. Symmetrisierte, nicht-Hermitesche Systeme weisen ähnliche Eigenschaften auf wie die symmetrischen, erlauben jedoch eine Vielzahl zusätzlicher Anwendungsmöglichkeiten. Mithilfe von Symmetrisierung lassen sich auch physikalische Mehrmuldenpotentiale mit Gewinnen und Verlusten beschreiben. Dennoch können symmetrisierte Systeme aufgrund des Fehlens erkennbarer Symmetrien und Muster nur schwer intuitiv gedeutet oder nachvollzogen werden. Die Beziehung zwischen Symmetrien und Symmetrisierung wird im Detail besprochen und beide Konzepte werden explizit auf eindimensionale Mehrmuldenquantensysteme angewandt, die exemplarisch durch ein einfaches Matrixmodell beschrieben werden. Es werden analytische Lösungen für symmetrisierte Systeme hergeleitet und im Detail gezeigt, wie Symmetrisierung dazu genutzt werden kann, Zweimodensysteme mit einem stabilen stationären Grundzustand zu finden. Darüber hinaus wird gezeigt, dass Modelle mit nur zwei Moden nur semisymmetrisierbar sind, wohingegen diese problemlos PT-symmetrisch sein können. Semisymmetrisierung wird außerdem auf Mehrmodensysteme zur Realisierung von Transportketten und auf räumlich ausgedehnte, Gauß-förmige Mehrmuldenpotentiale angewandt. Gauß-förmige Potentiale lassen sich für experimentelle Realisierungen mit Bose-Einstein-Kondensaten verwenden, welche nichtlineare Kontaktwechselwirkungen aufweisen. Diese Wechselwirkungen können für die Erzeugung eines Selbststabilisierungsmechanismus stabiler Zustände genutzt werden, wodurch das System stabil gegenüber kleinen Störungen wird. Da sich ein mathematisch äquivalentes Modell für induktiv gekoppelte, elektrische Schwingkreise finden lässt, können Konzepte über Symmetrien und Symmetrisierung von der Quantenebene auf die klassische Theorie der Elektrodynamik übertragen werden. Obwohl das bereits einen einfachen und insbesondere einfach zugänglichen Aufbau für Experimente liefert, wird auch die Möglichkeit einer Anwendung für kabellose Energieübertragungen kurz diskutiert, um diese Arbeit damit abzuschließen.