Multi-scale modeling of multi-phase-multi-component processes in heterogeneous porous media

Abstract

Flow and transport phenomena in porous media are the governing processes in many natural and industrial systems. Considering the flow and transport processes on the one hand, they occur on different spatial and temporal scales and may also differ locally. Highly complex processes may take place in one part of the system necessitating an examination of the processes on a fine spatial and temporal scale, while in other parts of the system, physically simpler processes may take place allowing an examination on a coarser scale. Considering the porous medium on the other hand, its heterogeneous structure shows a high dependence on the spatial scale. The porous medium is generally heterogeneous on every spatial scale, but different kinds of heterogeneities predominate on different scales.

To study these issues, a domain with randomly distributed heterogeneities is considered where complex multi-phase--multi-component processes are relevant only in a small (local) subdomain. This situation might well be an LNAPL contamination in the unsaturated zone of the groundwater, where complex three-phase--three-component processes take place in a subdomain in and around the contaminated zone. This subdomain needs fine resolution as the complex processes are governed by small-scale effects. For a comprehensive fine-scale model taking into account multi-phase--multi-component processes as well as heterogeneities in the whole (global) model domain, the data collection is often far too expensive and the computational effort is high.

Therefore, a general multi-scale concept is developed where on the one hand, the global flow field influences the local multi-phase--multi-component processes on the fine-scale. On the other hand, the coarse-scale effects of the fine-scale multi-phase--multi-component processes in the subdomain are captured by source / sink terms and the coarse-scale effects of fine-scale heterogeneities by a macrodispersion term. Specifically, a fine-scale pressure equation is solved globally to obtain a fine-scale velocity field. Equations accounting for the total concentrations of components are solved in a local domain on a fine scale. An averaged velocity as well as a source / sink term resulting from the concentration solution are passed to an upscaled coarse-scale saturation equation.

The overall algorithm is presented and tested for locally occurring two-phase--two-component as well as for locally occurring three-phase--three-component processes in homogeneous and different heterogeneous domains, for both linear and nonlinear model equations. Various test examples are used to investigate the quality of the algorithm by studying the error introduced due to the coarse-scale form of the saturation model. Furthermore, the computing times of the model in which the total concentration equations are solved only locally are compared to the computing times of the model in which the concentration equations are solved globally in the whole domain.

It is shown, that the algorithm developed in this work provides a convenient, general and expandable tool for modeling processes of different complexity occurring at different locations and on different scales.

Strömungs- und Transportvorgänge in porösen Medien sind für viele natürliche und industrielle Systeme die bestimmenden Prozesse. Diese Strömungs- und Transportprozesse treten nicht nur auf verschiedenen zeitlichen und räumlichen Skalen auf, sondern sie können auch von Ort zu Ort variieren. Hochkomplexe Prozesse können etwa in einem Teil des Gesamtsystems auftreten und die Untersuchung von Prozessen auf feinen räumlichen und zeitlichen Skalen erfordern, während in anderen Teilen des Systems physikalisch einfachere Prozesse auftreten, welche auf einer gröberen Skala untersucht werden können. Auf der anderen Seite weist die heterogene Struktur des porösen Mediums eine hohe Abhängigkeit von der räumlichen Skala auf. Das poröse Medium ist im Allgemeinen auf jeder räumlichen Skala heterogen, jedoch sind auf den verschiedenen Skalen verschiedene Heterogenitäten bestimmend.

Um diese Sachverhalte zu untersuchen, wird ein Gebiet mit zufällig verteilten Heterogenitäten betrachtet, in dem komplexe Mehrphasen-Mehrkomponentenprozesse nur in einem kleinen (lokalen) Untergebiet relevant sind. Diese Situation entspricht beispielsweise einer LNAPL-Verunreinigung in der ungesättigten Zone des Grundwassers, wo komplexe Dreiphasen-Dreikomponentenprozesse in einem Untergebiet stattfinden, welches die kontaminierte Zone und ihre nähere Umgebung einschließt. Dieses Untergebiet muss fein aufgelöst werden, da die komplexen Prozesse von kleinskaligen Effekten bestimmt werden. Für ein umfassendes feinskaliges Modell, welches sowohl Mehrphasen-Mehrkomponentenprozesse, als auch Heterogenitäten im Gesamtmodellgebiet berücksichtigt, sind die benötigten Datenmengen sowie der Rechenaufwand extrem hoch.

Deshalb wurde in der vorliegenden Arbeit ein allgemeines Mehrskalenkonzept entwickelt, bei dem einerseits das globale Strömungsfeld die lokalen Mehrphasen-Mehrkomponentenprozesse auf der feinen Skala beeinflusst; andererseits werden die grobskaligen Effekte der feinskaligen Mehrphasen-Mehrkomponentenprozesse im Untergebiet durch einen Quell-/Senkterm und die grobskaligen Effekte der feinskaligen Heterogenitäten durch einen Makrodispersionsterm berücksichtigt. Dafür wird eine feinskalige Druckgleichung im Gesamtgebiet gelöst, um ein feinskaliges Geschwindigkeitsfeld zu erhalten. Gleichungen, die die totalen Konzentrationen der Komponenten miteinbeziehen, werden in einem lokalen Gebiet auf einer feinen Skala gelöst. Ein gemitteltes Geschwindigkeitsfeld sowie ein Quell-/Senkterm, der aus der Lösung der Konzentrationsgleichungen resultiert, gehen in eine hochskalierte Sättigungsgleichung ein.

Der Gesamtalgorithmus wird vorgestellt und sowohl für lokale Zweiphasen-Zweikomponentenprozesse als auch für lokale Dreiphasen-Dreikomponentenprozesse in einem homogenen und in verschiedenen heterogenen Gebieten getestet, sowohl für lineare als auch für nichtlineare Modellgleichungen. Eine Reihe von Testbeispielen wird zur Untersuchung der Qualität des Algorithmus verglichen, indem der Fehler in Folge der grobskaligen Lösung der Sättigungsgleichung quantifiziert wird. Außerdem wird die Rechenzeit des Modells, in dem die Konzentrationsgleichungen nur lokal gelöst werden, mit der Rechenzeit des Modells verglichen, in welchem die Konzentrationsgleichungen im Gesamtgebiet gelöst werden.

Es wird gezeigt, dass der in der vorliegenden Arbeit entwickelte Algorithmus ein geeignetes, allgemeines und erweiterbares Werkzeug zur Modellierung von Prozessen unterschiedlicher Komplexität darstellt, welche in verschiedenen Gebieten auf verschiedenen Skalen stattfinden.