Ein Beitrag zur Modellierung der Eigendynamik elastischer Schalen mit Hamiltonschen Strukturen

Abstract

In der vorliegenden Arbeit werden die Schwingungen dünner elastischer Schalen im Rahmen der linearisierten Elastodynamik im energieerhaltenden Fall untersucht. Insbesondere wird eine dimensionsreduzierte Beschreibung (mit Hilfe des Koiterschen Modells) der Schalenbewegungen gegeben, wenn der Dickenparameter sehr klein wird. Erstmals wird nachgewiesen, daß die Schwingungen der dreidimensional ausgedehnten Schale aus den Schwingungen der Mittelfläche, bis auf angebbare Fehler, rekonstruiert werden können. Dazu wird unterschieden, ob eine Schale im biege- oder dehnungsdominanten Zustand schwingt. Für den ersten Fall gelingt die Rechtfertigung des Koiterschen Modells durch die Einführung einer langsamen Zeit unabhängig von der Form der Mittelfläche. Für dehnungsdominante Schwingungen kann das Koitersche Modell nur für Schalen mit positiv gekrümmter Mittelfläche gerechtfertigt werden. Das mathematische Werkzeug für eine Rechtfertigung der Dimensionsreduktion in der Schalendynamik wird durch die Theorie der Hamiltonschen Systeme bereitgestellt. Wesentlich für den Erfolg ist der Ausbau einer Approximationstheorie in Hamiltonschen Systemen. In dieser Arbeit geschieht dies mit Hilfe der sogenannten Fast-Poisson-Abbildungen, für welche ein mathematisches Fundament gebaut wurde.

The subject of this thesis is an investigation of vibrating thin linearly elastic shells in the conservative case. In particular, the behavior of the shell's motion is described when the thickness parameter tends to zero. It turns out that Koiter's model, governing the motion of shell's middle surface, is convenient for an approximation of motions inside the three dimensionally extended shell. This approximation property is proved by constructing explicit error bounds with respect to the thickness parameter. The error bounds are given separately for bending and membrane dominated vibrations. In the first case, the dynamics is a slow one and the results hold true for any shape of the middle surface. The membrane dominated vibrations correspond to a fast dynamics of the shell and the error bound is sharp only for elliptic shells. The underlying mathematical tools are taken from the theory of hamiltonian systems. Based on the concept of almost Poisson mappings, an approximation method in hamiltonian systems is established.