Finite Elemente Approximation der Plattengleichung mit web-Splines

Abstract

Die Methode der Finiten Elemente zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen entstand Ende der fünfziger Jahre zunächst in der Flugzeugindustrie. Sie wird seitdem in Mathematik und Ingenieurwissenschaften ständig weiterentwickelt und wird heute in vielfältiger Weise für numerische Berechnungen verwendet, beispielsweise in der Elastizitätstheorie. Das Verfahren beruht auf einer Unterteilung des gegebenen Gebiets in kleinere Elemente und der Verwendung von jeweils polynomialen Ansatzfunktionen auf den einzelnen Elementen. Herkömmliche Methoden erfordern dabei meist eine aufwendige Gittergenerierung und eine hohe Zahl an Freiheitsgraden bei Verwendung von Ansatzfunktionen höherer Ordnung. Diese Probleme entfallen bei einem Ansatz mit web-Splines auf uniformen Gittern, die von K. Höllig, U. Reif und J. Wipper am Mathematischen Institut A entwickelt wurden. Die Erzeugung eines Gitters entfällt durch eine gleichmäßige Unterteilung des Gebiets in Quadrate, außerdem wird pro Ansatzfunktion nur ein Freiheitsgrad benötigt, wodurch die Größe des entstehenden Gleichungssystems verringert wird. Die Gewichtung ermöglicht zusätzlich eine exakte Einhaltung von vorgegebenen Randbedingungen einer Differentialgleichung. Im Rahmen des WEB-Projekts am 2. Lehrstuhl des Mathematischen Instituts A werden verschiedene Aspekte der web-Methode und deren Anwendung in der Elastizitätstheorie untersucht. Ziel dieser Diplomarbeit ist die Untersuchung von web-Splines als Ansatzfunktionen zur Lösung eines Differentialgleichungsproblems 4. Ordnung, der Plattengleichung, die die Auslenkung einer am Rand fest eingespannten Platte beschreibt. In Kapitel 1 wird zunächst die Differentialgleichung am Beispiel einer Rechteckplatte hergeleitet und die zugehörige Variationsformulierung angegeben. Das zweite Kapitel enthält eine Zusammenstellung der Grundlagen der Finite Elemente Approximation der Lösung der Differentialgleichung in geeigneten endlichdimensionalen Ansatzräumen. Nach der Definition von b-Splines und web-Splines, wird in Kapitel 3 ein solcher, für die Finite Elemente Approximation der Plattengleichung mit web-Splines geeigneter, Ansatzraum angegeben. In Kapitel 4 wird die Stabilität der Approximationslösung bzgl. der web-Basis bewiesen, sowie die Optimalität der Fehlerordnung, die von der Finite Elemente Approximation geliefert wird. Im Rahmen des WEB-Projekts wurde auch ein Programmpaket zur Lösung verschiedener Probleme der Elastizitätstheorie implementiert. Das 5. Kapitel enthält eine kurze Beschreibung der Implementierung der verwendeten Programme. In Kapitel 6 finden sich schließlich numerische Beispiele für die Lösung der Plattengleichung, sowie den Fehlers dieser Lösung. Außerdem werden dort für Beispielgebiete die Konditionen der Galerkinmatrizen des nichterweiterten und des erweiterten Systems miteinander verglichen.