Auslander generators for piecewise hereditary algebras

Abstract

The notion of representation dimension of a finite dimensional algebra has been introduced by Auslander. He has shown that an algebra is of finite representation type if and only if its representation dimension is at most two. This could lead to the expectation that the representation dimension of a representation infinite algebra should measure how far this algebra is from being representation finite. A more realistic expectation is that the representation dimension measures the homological complexity of a representation infinite algebra. The main goal of this theses is the explicit construction of an Auslander-generator for piecewise hereditary algebras. From this we can follow that the representation dimension of a piecewise hereditary algebra (a homological seen "simple" Algebra) is at most three.

Der Begriff der Darstellungsdimension einer endlich dimensionalen Algebra wurde von Auslander eingeführt. Er zeigte, dass eine Algebra genau dann endlichen Darstellungstyp hat, wenn ihre Darstellungsdimension kleiner gleich 2 ist. Dies könnte dazu führen, dass man erwartet, dass die Darstellungsdimesion darstellungsunendlicher Algebren ein Maß dafür sein sollte, wie weit die betreffende Algebra davon entfernt ist, darstellungsendlich zu sein. Eine realistischere Erwartung ist allerdings, dass die Darstellungsdimension ein Maß für die homologische Komplexität, einer darstellungsunendlichen Algebra, ist. Ziel dieser Arbeit ist es einen Auslander-Erzeuger für stückweise erbliche Algebren explizit zu konstruieren. Hieraus folgt, dass die Darstellungsdimension einer stückweise erblichen Algebra (aus homologischer Sicht "einfache" Algebra) maximal 3 ist.