Shape derivatives and shock capturing for the Navier-Stokes equations in discontinuous Galerkin methods

Abstract

This work addresses two different topics, the shape derivatives for the compressible Navier-Stokes equations on the one hand and, on the other hand, the treatment of shocks or other flow discontinuities in Discontinuous Galerkin methods. There is a strong demand for very efficient methods for shape optimization in the aerospace industry, for example drag reduction or lift maximization of an aircraft. The use of gradient based optimization schemes requires derivatives of the cost function with respect to the shape of an object. With the shape derivatives presented in this work, these derivatives can be calculated independent of the parametrization of the object's shape, and, since the derivation takes place in the continuous space, they can be applied to almost any discretization. Nevertheless, one has to take the numerical scheme, which is later applied, into account. For methods based on the variational formulation a difference in the shape derivative, compared to the pointwise approach, arises, which cannot be neglected. Hence, one objective of this work is to derive the shape derivatives of the drag- and lift-coefficient for the Navier-Stokes equations in variational formulation and compare it with the pointwise approach both analytically and numerically. A discrepancy has to be expected, especially for flow phenomena with high gradients or discontinuities which do not fulfill the strong form of the governing equations. These flow phenomena require a special treatment in numerical methods of high order. In the second part of this work, a shock capturing for the Discontinuous Galerkin method is developed which prevents the oscillations originating from the approximation of discontinuities with high order polynomials. Therefore a hybrid approach is presented, where the original DG scheme is coupled with a second order Finite Volume method. In all elements containing shocks or discontinuities the operator of the DG method is replaced by the Finite Volume scheme. This scheme is, due to the use of slope limiters, well known for its strengths in handling shocks. However, in regions where the flow is smooth the Finite Volume method requires a finer resolution for the same accuracy than the Discontinuous Galerkin scheme. Using the same mesh for the FV method as for the DG scheme would lead to a big reduction in resolution. Hence, to compensate this loss the original elements of the mesh are divided into logical sub-cells. By associating exactly one Finite Volume sub-cell to each degree of freedom of a DG element, the same data structures can be used. This enables an efficient implementation of the outlined shock capturing designated for high performance computations. Therefore, not only the basic properties of this hybrid DG/FV sub-cell approach are investigated with several examples, but also studies regarding the parallel efficiency are performed.

Diese Arbeit befasst sich mit zwei unterschiedlichen Themengebieten, mit den Formableitungen für die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen einerseits und andererseits mit der Behandlung von Stößen oder anderer Strömungsunstetigkeiten in Discontinuous-Galerkin-Verfahren. In der Luftfahrtindustrie werden für die Formoptimierung, beispielsweise die Widerstandsreduktion oder Auftriebsmaximierung von Flugzeugen, äußerst effiziente Verfahren benötigt. Der Einsatz gradientenbasierter Optimierungsverfahren erfordert dabei Ableitungen der Zielfunktionen nach der Form eines Objekts. Mit den hier vorgestellten Formableitungen können diese Ableitungen unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Form bestimmt werden und, da die Herleitung im Kontinuierlichen erfolgt, auf nahezu jede Diskretisierung angewendet werden. Dennoch kann die später verwendete numerische Methode nicht außer Acht gelassen werden. Für Verfahren, die auf einer variationellen Formulierung basieren, ergibt sich, im Vergleich zu einer punktweisen Betrachtung, ein Unterschied in der Formableitung, der nicht vernachlässigt werden kann. Ein Ziel dieser Arbeit ist es daher, die Formableitung des Widerstands- und Auftriebsbeiwertes für die Navier-Stokes-Gleichungen in variationeller Form herzuleiten und sowohl analytisch als auch numerisch mit einem punktweisen Ansatz zu vergleichen. Dabei ist eine Diskrepanz insbesondere für Strömungsphänomene mit starken Gradienten oder Unstetigkeiten, die nicht die starke Form der Erhaltungsgleichungen erfüllen, zu erwarten. Diese Strömungsphänomene erfordern, bei Verwendung von Verfahren hoher Ordnung, prinzipiell eine spezielle numerische Behandlung. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird daher ein Shock-Capturing für das Discontinuous-Galerkin-Verfahren (DG) entwickelt, das die Oszillationen, die durch die Approximation von Unstetigkeiten mit Polynomen hoher Ordnung entstehen, abfängt. Dazu wird in einem hybriden Ansatz das DG-Verfahren mit einem Finite-Volumen-Verfahren zweiter Ordnung gekoppelt. In Gitterzellen, die Stöße oder Unstetigkeiten enthalten, wird der DG-Operator durch die FV-Methode ersetzt, die aufgrund der Steigungslimitierung für ihre Stärken hinsichtlich von Stößen bekannt ist. Allerdings erfordert das Finite-Volumen-Verfahren in glatten Strömungsgebieten eine wesentlich höhere Auflösung als die DG-Methode. Um den Auflösungsverlust, der bei Verwendung desselben Gitters für das FV-Verfahren wie für die DG-Methode entstehen würde, zu kompensieren, werden daher die ursprünglichen Gitterzellen in logische Subzellen unterteilt. Durch die Zuordnung von genau einer FV-Subzelle zu jedem Freiheitsgrad eines DG-Elements können die selben Datenstrukturen weiterverwendet werden. Dies ermöglicht eine effiziente Implementierung des skizzierten Shock-Capturings für den Einsatz auf Hochleistungsrechnern. Anhand zahlreicher Beispiele werden daher nicht nur die grundlegenden Eigenschaften dieser hybriden DG/FV-Subzellen-Methode analysiert, sondern auch Skalierungsstudien hinsichtlich der parallelen Effizienz durchgeführt.