Contributions to the integral representation theory of groups

Abstract

This thesis contributes to the integral representation theory of groups. Topics treated include: the integral isomorphism problem --- if the group rings ZG and ZH are isomorphic, are the finite groups G and H isomorphic?, the Zassenhaus conjecture concerning automorphisms of integral group rings --- can each augmentation preserving automorphism of ZG be written as the product of an automorphism of G and a central automorphism?, and the normalizer problem --- in the unit group of ZG, is G only normalized by the obvious units? It is well known that these topics are closely related. Though counterexamples are known to each of these questions, our knowledge about such problems is still rather incomplete.

A semilocal analysis of the known counterexample to the integral isomorphism problem is performed, which leads to new insight into the structure of the underlying groups. At the same time, this gives strong evidence for the existence of non-isomorphic groups of odd order having isomorphic semilocal group rings.

It is shown how in the "semilocal case", counterexamples to the Zassenhaus conjecture can be produced with relatively minor effort. More importantly, it is shown for the first time that there is no local-global principle for automorphisms: An automorphism of a semilocal group ring (corresponding to an invertible bimodule M) need not give rise to a global automorphism (none of the modules in the genus of M is free from one side).

In another part of this thesis, the normalizer problem for infinite groups is discussed. Research begun by Mazur is continued, and extensions of results of Jespers, Juriaans, de Miranda und Rogerio are obtained: By reduction to the finite group case, the normalizer problem is answered in the affirmative for certain classes of groups.

The hypercenter of the unit group of RG, where G is a periodic group and R a G-adapted ring, is investigated too. If the hypercenter is not equal to the center, then G is a so called Q*-group, and then the hypercenter is described explicitly. The description in the R=Z case was obtained independently by Li and Parmenter, using different methods. The approach given here emphazises the connection to the normalizer problem and has a group-theoretical flavor. Moreover, it is shown that the second center of the unit group of ZG coincides with the finite conjugacy center.

By way of contrast, the thesis ends with a little observation, intended to raise hopes that significant applications of integral representation theory to finite group theory will be found some day. In search of a proof of Glauberman's Z_p-star-Theorem (for odd p) which is independent from the classification, the following detail is noticed: If x is an element of order 3 in a finite group G which does not commute with any of its distinct conjugates, then chi(x), for any irreducible character chi of G, is an integral muliple of a root of unity.

Diese Arbeit ist ein Beitrag zur ganzzahligen Darstellungstheorie von Gruppen. Untersucht werden die Themenbereiche ganzzahliges Isomorphieproblem --- folgt aus der Isomorphie der Gruppenringe ZG und ZH die Isomorphie der endlichen Gruppen G und H?, die Zassenhaus-Vermutung betreffend Automorphismen von ganzzahligen Gruppenringen --- ist jeder augmentationsbewahrende Automorphismus von ZG Produkt eines Automorphismus von G und eines zentralen Automorphismus?, und das Normalisatorproblem --- wird G in der Gruppe der Einheiten von ZG nur von den offensichtlichen Einheiten normalisiert? Es ist bekannt, dass diese Gebiete eng miteinander zusammenhängen. Obwohl Gegenbeispiele zu allen genannten Fragen existieren, sind diese, und verwandte Fragestellungen, noch unzureichend erforscht.

Das bekannte Gegenbeispiel zum ganzzahligen Isomorphieproblem für endliche Gruppen wird auf semilokale Aspekte hin untersucht. Dies führt zu neuen Einsichten in die Struktur der zugrunde liegenden Gruppen. Gleichzeitig wird verdeutlicht, dass es auch nicht isomorphe Gruppen ungerader Ordnung geben sollte, deren semilokale Gruppenringe isomorph sind.

Es wird aufgezeigt, wie Gegenbeispiele zur Zassenhaus-Vermutung im "semilokalen Fall" relativ einfach zu konstruieren sind. Es wird aber auch zum ersten Mal gezeigt werden, dass hier kein lokal-global Prinzip gilt: Ein Automorphismus eines semilokalen Gruppenrings (korrespondierend zu einem invertierbaren Bimodul M) rührt nicht notwendigerweise von einem globalen Automorphismus her (kein Modul im Geschlecht von M ist frei von einer Seite).

Ein weiterer Teil der Arbeit dreht sich um das Normalisatorproblem für unendliche Gruppen. Von Mazur begonnene Arbeit wird fortgeführt, und es werden Ergebnisse von Jespers, Juriaans, de Miranda und Rogerio erweitert: Durch Reduktion auf den Fall endlicher Gruppen wird für gewisse Klassen von Gruppen das Normalisatorproblem positiv beantwortet.

Das Hyperzentrum der Einheitengruppe von RG, wobei G periodisch und R G-adaptiert ist, wird ebenfalls untersucht. Falls das Hyperzentrum vom Zentrum verschieden ist, ist G eine sogenannte Q*-Gruppe, und dann wird das Hyperzentrum explizit beschrieben. Li und Parmenter haben davon unabhängig mit anderen Methoden dies im Fall R=Z gezeigt. Der hier gewählte Zugang betont die Verbindung zum Normalisatorproblem, und gruppentheoretische Aspekte. Weiter wird gezeigt, dass das zweite Zentrum der Einheitenguppe von ZG mit dem endlichen Konjugiertheit-Zentrum übereinstimmt.

Zum Schluß wird noch ein ganz anderes Thema angesprochen. Auf der Suche nach einem klassifikationsunabhängigen Beweis von Glaubermans Z_p-stern-Theorem (p ungerade) wird folgendes Detail gezeigt: Ist x ein Element der Ordnung 3 in einer endlichen Gruppe G, welches mit keinem seiner anderen Konjugierten vertauscht, dann ist chi(x), für jeden irreduziblen Charakter chi von G, ein ganzzahliges Vielfaches einer Einheitswurzel.