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Autor(en): Koschella, Ulrich
Titel: Phason-elastische Energie in dekagonalen Quasikristallen
Sonstige Titel: Phason elastic energy in decagonal quasicrystals
Erscheinungsdatum: 2005
Dokumentart: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-23722
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/4774
http://dx.doi.org/10.18419/opus-4757
Zusammenfassung: Als Shechtman et al. 1984 an einer abgeschreckten AlMn-Legierung Beugungsbilder mit scharfen Bragg-Reflexen und kristallographisch verbotener Symmetrie fanden, war eine neue Klasse von Festkörpern entdeckt. Einerseits muss die Legierung wegen der Bragg-Peaks eine weit reichende Translationsordnung besitzen, andererseits kann diese wegen der Punktsymmetrie nicht periodisch sein. Levine und Steinhardt erklärten dies mit aperiodischen Gittern wie dem zweidimensionalen Penrosemuster oder seinem dreidimensionalen Analogon. Die Beugungsbilder dieser Gitter bestehen aus Delta-Funktionen, und sie können nichtkristallographische Punktsymmetrien aufweisen. Entsprechend der Einheitszelle bei periodischen Gittern gibt es für diese quasiperiodischen Gitter eine endliche Anzahl von Kacheln, die den Raum lückenlos und überlappungsfrei überdecken, wenn man sie an die Gitterpunkte anlegt. Elser und Henley stellten fest, dass auch Zufallsparkettierungen aus denselben Kacheln im Ensemblemittel nichtkristallographische Symmetrie und Beugungsbilder mit Bragg-Reflexen aufweisen. Wegen der perfekten Ordnung sind die quasiperiodischen Gitter ein Modell für energiestabilisierte Quasikristalle, während die Zufallsparkettierungen aufgrund der Konfigurationsentropie ein Modell für entropiestabilisierte Quasikristalle sind. Abweichungen von der quasiperiodischen Ordnung lassen sich mit einer verallgemeinerten, sogenannten phasonischen Verschiebung beziehungsweise deren Gradient, der phasonischen Verzerrung, beschreiben. Parkettierungsmodelle ergeben ein quadratisches Verhalten der freien Energie in dieser phasonischen Verzerrung für die entropiestabilisierten Quasikristalle, während die Locked-State-Theorie für die energiestabilisierten ein nichtanalytisches lineares Verhalten voraussagt. Strukturmodelle für reale Quasikristalle werden durch eine atomare Dekoration der Kacheln beschrieben. Damit sind sie sowohl mit den quasiperiodischen Gittern als auch mit den Zufallsparkettierungen kompatibel. Für die entropiestabilisierten Quasikristalle kann der Übergang vom Parkettierungsmodell zu einer atomaren Struktur gemacht werden, indem man fordert, dass die lokalen atomaren Umgebungen auf der Größenordnung der Kacheln energetisch stark favorisiert sind, die Anordnung dieser Umgebungen zueinander dagegen zufällig erfolgt. Das Verhalten der freien Energie kann somit vom Parkettierungsmodell auf das atomare übertragen werden. Für die energetische Stabilisierung werden bestimmte Kachelkonfigurationen, die gegen Anlegeregeln verstoßen, mit Strafenergien belegt. Es ist a priori nicht klar, wie man diese Energiebewertung auf atomare Wechselwirkungen übertragen kann. Das nichtanalytische Verhalten der freien Energie wurde deshalb noch nicht in einem atomaren Modell beschrieben. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der energetischen Stabilisierung eines atomaren zweidimensionalen Modellquasikristalls mit dekagonaler Symmetrie. In molekulardynamischen Relaxationssimulationen wird durch Aufbringen verschiedener phononischer und phasonischer Verzerrungen die Abhängigkeit der Energie von den Verzerrungen bestimmt. Es wird eine Entwicklung der freien Energie nach der phasonischen Verzerrung vorgestellt, die durch die atomaren Wechselwirkungen parametrisiert ist. Diese Entwicklung liefert zum einen die allgemeine Abhängigkeit der freien elastischen Energie von der phasonischen Verzerrung, zum anderen kann man vorhersagen, wie atomare Wechselwirkungen aussehen müssen, damit sie einen Quasikristall energetisch stabilisieren. Um den Quasikristall und seine Approximanten mit dem Grundzustand vergleichen zu können, wurden Monte-Carlo-Kühlsimulationen durchgeführt. Die Relaxationssimulationen und die Entwicklung für kleinere Abschneideradien ergeben eine quadratische Abhängigkeit der freien elastischen Energiedichte von der phasonischen Verzerrung bei Temperatur null. Über dieses quadratische Verhalten können bei entsprechender Wahl der Potentiale lokale Umgebungen favorisiert werden. Die Radien dieser Umgebungen liegen in der Größenordnung des Abschneideradius der Potentiale. Das Resultat ist ein Supertile-Random-Tiling, eine weit reichende quasiperiodische Ordnung kann nicht erzeugt werden. Erst bei sehr großen Abschneideradien der Potentiale, deutlich größer als man sie üblicherweise annimmt, zeigt die freie elastische Energiedichte nichtanalytisches Verhalten in der phasonischen Verzerrung, wie es benötigt wird, um mit einer endlichen Reichweite der Wechselwirkung eine perfekte quasiperiodische Ordnung zu erzeugen. Die Potentiale müssen starke Gradienten aufweisen, die bei diesen großen Abständen sehr genau positioniert sein müssen. Aus den Ergebnissen kann man schließen, dass der Locked-State wohl ein akademisches Modell ist, reale Tieftemperatur-Quasikristalle muss man sich als eingefrorene Supertile-Random-Tilings mit globaler phasonischer Verzerrung null und kleinen Fluktuationen vorstellen.
In 1984 Shechtman et al. discovered an AlMn alloy with a diffraction pattern of Bragg peaks and crystallographically forbidden symmetry. This points to a new kind of order in solid state matter. On the one hand, there must be long range order because of the Bragg peaks, on the other hand, this order cannot be periodicity because of the point symmetry. Levine and Steinhardt explained this antagonism with aperiodic lattices like the Penrose tiling or its three-dimensional analog. These lattices possess long range bond orientational order. The diffraction pattern consists of delta functions and the point symmetry is non-crystallographic. Comparable to the single unit cell in periodic lattices, the quasiperiodic lattices have a finite number of tiles, which fill space without gaps and overlaps. Elser and Henley found that random tilings built from the tiles of the quasiperiodic lattices also have a non-crystallographic point symmetry and a diffraction pattern consisting of Bragg peaks. The quasiperiodic lattices are a model for an energy stabilized quasicrystal because of their perfect order, while the random tilings are a model for an entropic stabilized quasicrystal, due to their configurational entropy. Deviations from the perfect quasiperiodic order can be described with a generalized so called phason displacement or with its gradient, the phason strain. Tiling models yield a quadratic behaviour of the free elastic energy as a function of phason strain for the entropic stabilized quasicrystals, while the dependence is predicted to be a non-analytic linear one for the energy stabilized quasicrystal by the so called locked state theory. Structure models of real quasicrystals are described by decorating the tiles with atoms. This description is compatible both with the perfect ordered model and the random tiling. For the entropy stabilized quasicrystal one can switch from the tiling picture to an atomic model by the assumption that local atomic environments in the order of magnitude of the tile dimensions are strongly bound, while the arrangement of these environments is random. Thus the dependence of the free energy can be transferred from the tiling model to the atomic one. For energetic stabilization, certain tile configurations, which violate matching rules, get a penal energy. One cannot easily transfer this energy model to atomic interactions. Thus the non-analytic behaviour of the free energy has not yet been described in an atomic model. In this thesis we discuss energy stabilization of an atomic two-dimensional model quasicrystal of decagonal symmetry. In molecular dynamics relaxation simulations we determine the dependance of the free elastic energy on both phonon and phason strain. An expansion of the free energy into phason strain is introduced, which is parametrized by the atomic interactions. With the aid of this expansion, which shows the general dependance of the free elastic energy on phason strain, one can tune the atomic interactions to stabilize the quasicrystal energetically. To compare the quasicrystal and its approximants to the ground states, Monte-Carlo cooling simulations are performed. In conclusion, both molecular dynamics relaxation simulations and the expansion of the free energy for small cut-off radii show a quadratic behaviour of the free energy on phason strain. With appropriate potentials, these quadratic terms can stabilize the local environments of the quasicrystal in the order of magnitude of the cut-off radius. The ground state then is a super-tile random tiling. Long range quasiperiodic order cannot be established by these quadratic terms. For large potential cut-off radii, the expansion of the free energy yields additional non-analytic linear terms, which are required to establish long range order. These terms occur only at distances, which are larger than commonly used cut-off radii. Their contribution to the free energy is negligible unless the potentials have very peculiar features. These results show that the locked state theory is an academic model. Real low temperature quasicrystals are presumably frozen super-tile random tilings with phason strain zero and small fluctuations.
Enthalten in den Sammlungen:08 Fakultät Mathematik und Physik

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