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Hinweis zum Urheberrecht

Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:bsz:93-opus-24482
URL: http://elib.uni-stuttgart.de/opus/volltexte/2005/2448/


Restklassenweise affine Gruppen

Residue Class-Wise Affine Groups

Kohl, Stefan

pdf-Format:
Dokument 1.pdf (609 KB)

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SWD-Schlagwörter: Collatz-Problem , Permutationsgruppe , Primitive Permutationsgruppe , Computeralgebra , Kombinatorische Gruppentheorie
Freie Schlagwörter (Deutsch): 3n+1-Vermutung , hoch transitive Permutationsgruppe , restklassenweise affine Gruppe , Computeralgebrasystem GAP
Freie Schlagwörter (Englisch): 3n+1 Conjecture , highly transitive permutation group , combinatorial group theory , residue class-wise affine group , computer algebra system GAP
MSC - Klassifikation: 11-04 , 11B99 , 20-04 , 20E99 , 20B22
Institut: Institut für Geometrie und Topologie
Fakultät: Fakultät Mathematik und Physik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Kimmerle, Wolfgang (Prof.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 06.10.2005
Erstellungsjahr: 2005
Publikationsdatum: 21.11.2005
Kurzfassung auf Deutsch: Diese Arbeit ist ursprünglich motiviert durch die 3n+1 - Vermutung.
Diese Vermutung besagt, daß iterierte Anwendung der Collatz-Abbildung T: Z -> Z, n -> (n/2 falls n gerade, (3n+1)/2 falls n ungerade) auf eine positive ganze Zahl nach endlich vielen Schritten zur 1 führt. Die 3n+1 - Vermutung wurde um 1930 von Lothar Collatz aufgestellt und konnte bis heute nicht bewiesen werden - vgl. Lagarias' zugehörige kommentierte Bibliographie, erhältlich unter http://arxiv.org/abs/math.NT/0309224.
Die Arbeit versucht nicht, die 3n+1 - Vermutung zu beweisen. Sie untersucht vielmehr die Struktur von Gruppen, die von bijektiven restklassenweise affinen Abbildungen, d.h. von "der Collatz-Abbildung ähnlichen" Permutationen, erzeugt werden.
Derartige Gruppen werden in dieser Arbeit nach Kenntnisstand des Autors zum ersten Mal untersucht.
Zielsetzung dieser Arbeit ist in erster Linie die Untersuchung der Struktur der Gruppe RCWA(Z) aller restklassenweise affinen Bijektionen des Rings der ganzen Zahlen.
Ein Hauptergebnis ist die Konstruktion eines nichttrivialen Normalteilers der Gruppe RCWA(Z). Ferner werden - neben zahlreichen anderen Strukturaussagen zur Gruppe RCWA(Z) selbst und zur Untergruppe der klassenweise ordnungserhaltenden Abbildungen - Reichhaltigkeitsbedingungen an Normalteiler hergeleitet und Einbettbarkeitsresultate für Klassen von Gruppen in RCWA(Z) erzielt.
Viele der Resultate werden in allgemeinerem Kontext erzielt für Gruppen RCWA(R) über euklidischen Ringen R. Abgerundet wird die Arbeit von einer ausführlichen Diskussion einer Anzahl von Beispielen. Restklassenweise affine Gruppen, d.h. Untergruppen von RCWA(R),
bilden eine Klasse i.a. unendlicher Permutationsgruppen, die rechnerischen Untersuchungen zugänglich sind.
Parallel zur Anfertigung dieser Arbeit hat der Autor Algorithmen hierzu entwickelt, und diese in einem Package namens RCWA für das Computeralgebrasystem GAP implementiert. Dieses Package ist erhältlich unter http://www.gap-system.org/Packages/rcwa.html.
Kurzfassung auf Englisch: This thesis is originally motivated by the 3n+1 Conjecture.
This conjecture states that iterated application of the Collatz mapping T: Z -> Z, n -> (n/2 if n even, (3n+1)/2 if n odd) to any positive integer yields 1 after a finite number of steps. The 3n+1 Conjecture has been made by Lothar Collatz in the 1930s, and is still open today - cp. Lagarias' corresponding annotated bibliography, which is available at http://arxiv.org/abs/math.NT/0309224.
The thesis does not try to prove the 3n+1 Conjecture. It rather investigates the structure of groups which are generated by bijective residue class-wise affine mappings, i.e. by permutations "similar to the Collatz mapping".
As far as the author knows, such groups are investigated for the first time in this thesis.
The major aim of this thesis is to establish results concerning the structure of the group RCWA(Z) of all residue class-wise affine bijections of the ring of integers.
A main result is the construction of a nontrivial normal subgroup of RCWA(Z).
Further results include, but are by far not limited to, conditions on "how large" nontrivial normal subgroups of RCWA(Z) must be and conditions for the embeddability of groups into RCWA(Z).
Many of the results are obtained in a more general context for groups RCWA(R) over euclidean rings R.
The thesis includes numerous examples of residue class-wise affine mappings and of groups generated by bijective such mappings.
Residue class-wise affine groups, i.e. subgroups of RCWA(R), form a class of typically infinite permutation groups which are accessible to computational investigations.
In parallel with writing this thesis, the author has developed corresponding algorithms and has implemented them in a package RCWA for the computer algebra system GAP. This package is available at http://www.gap-system.org/Packages/rcwa.html.