Simulation of charged hydrated porous materials

Abstract

It is the goal of this work, to understand the behaviour of charged, hydrated, multiphasic materials and to find a thermodynamically consistent model, in order to perform realistic numerical simulations. Hydrated, porous materials are build up of several constituents, i. e., they consist of a charged solid skeleton and a moving interstitial viscous pore-fluid. The pore-fluid itself is composed of the solvent and the ions of a dissolved salt. Due to this special structure such materials answer with swelling and shrinking processes to electrical fields and to changes of the chemical composition of their environment. These materials occur in both the geomechanics as well as biomechanics. As examples for geomechanical materials clay and shale are mentioned and for biomechanical ones the soft biological tissues, i. e., articular cartilage and the inner core of the intervertebral disk, the Nucleus Pulposus, are mentioned. As described above, these materials have a complicated microstructure. Such a microstructure can be described best by a continuum-mechanical model. Thus, the present thesis is based on the macroscopic Theory of Porous Media (TPM). After a short introduction to the topic of the charged, hydrated porous materials, the fundamental concepts of the TPM are briefly discussed. After this general part valid for all multiphasic continua, the axiomatically introduced balance equations are adapted to the given situation, i. e., the regarded continuum consists firstly of two unmiscible phases, the solid skeleton and the pore-fluid and, secondly, the pore-fluid itself is build up of miscible components, the solvent and the solutes. Moreover, the two strong restrictions on the overall aggregate, i. e. the saturation condition and the electroneutrality condition are incorporated into the entropy inequality by use of Lagrange multiplicators. Subsequently, the entropy inequality is evaluated. By this approach it is guaranteed that the constitutive assumptions do not contradict the entropy inequality. The result is a model, wherein the solid deformation is described on the basis of a Neo-Hookean law, the pore-fluid motion on the basis of an extended Darcy equation, the ion diffusion on the basis of an extended Nernst-Planck equation and the electrical potential by the Poisson equation. The governing set of partial differential equations (PDE) is solved in the frame of the finite element method (FEM). Therefore, the initial and the boundary conditions for the individual partial differential equations (PDG) are discussed. On closer inspection, it is noticeable that for the solution of the PDE different primary variable sets can be chosen. The corresponding sets of equations sets are discussed and the respective pros and cons are put out. Likewise, possible simplifications are discussed, where, by special assumptions, the number of primary variables and, thus, the number of equations to be solved may be reduced. Moreover, depending on the choice of the primary variable set, the boundary conditions depend on the current state of the domain. Such boundary conditions are also known in the area of free surface flows and, also, in fluid-structure interaction. The Dirichlet boundary conditions of these equations need to be fulfilled weakly. Subsequently, simulations are carried out on the basis of the model deduced in this work. In a first step, the different primary variable sets are examined numerically regarding accuracy and stability. It shows up that the primary variable set with most weakly fulfilled boundary conditions is to be preferred. In order to demonstrate the abilities of the model, three-dimensional simulations of a swelling hydrogel cylinder showing finite deformations and a gripper made of an electroactive polymer (EAP) bending under an electric field are shown. Finally, it may be concluded that the model based on the overall pressure and the molar concentration is to be preferred, although this formulation means a higher programming effort. This set of primary variables is numerically more stable and much faster than the other ones.

Es ist das Ziel dieser Arbeit, das Verhalten von geladenen, hydratisierten, mehrphasigen Materialien zu verstehen und thermodynamisch konsistent zu modellieren, um anschließend anhand von numerischen Simulationen die Reaktion dieser Materialien auf Veränderungen in ihrer Umgebung wirklichkeitsnah wiedergeben zu können. Hydratisierte, poröse Medien sind aus mehreren Konstituierenden zusammengesetzt, d. h. sie bestehen aus einem geladenen Festkörperskelett, in dessen Hohlräumen sich ein viskoses Porenfluid bewegt. Dieses Porenfluid wiederum besteht aus einem Lösungsmittel und den gelösten Ionen eines Salzes. Durch diesen speziellen Aufbau antworten solche Materialien mit Quell- und Schrumpfprozessen auf elektrische Felder und auf Änderungen der chemischen Zusammensetzung ihrer Umgebung. Sie kommen sowohl in der Geomechanik als auch in der Biomechanik vor. Als Beispiele aus der Geomechanik seien hier Ton und Schiefer genannt und in der Biomechanik zählen die weichen biologischen Gewebe, d. h. das Knorpelgewebe oder der innere Kern der Bandscheiben, der Nucleus Pulposus, dazu. An der oben beschriebenen Zusammensetzung dieser Materialien wird schon deutlich, dass sie eine komplizierte Mikrostruktur aufweisen. Solch eine Mikrostruktur lässt sich am besten durch ein kontinuumsmechanisches Modell beschreiben. Aus diesem Grund basiert die vorliegende Arbeit auf der makroskopischen Theorie Poröser Medien (TPM). Nach einer kurzen Einführung in die Thematik der geladenen, hydratisierten Materialien wird auf die grundlegenden Konzepte, auf denen die Theorie Poröser Medien und somit auch diese Arbeit beruht, eingegangen. Nach diesem allgemeinen, für alle Mehrphasenkontinua gültigen Teil, werden die axiomatisch eingeführten Bilanzgleichungen anhand von entsprechenden Annahmen an die gegebene Situation angepasst. Dazu zählt beispielsweise, dass das betrachtete Kontinuum zunächst aus zwei nicht mischbaren Phasen, dem Festkörperskelett und dem Porenfluid besteht und zum anderen besteht das Porenfluid selber aus mischbaren Komponenten. Die zwei starken Restriktionen an das Gesamtaggregat, d. h. die Sättigungsbedingung und die Elektroneutralitätsbedingung werden anhand von Lagrange-Multiplikatoren in die Entropieungleichung eingearbeitet. Anschließend wird die Entropieungleichung ausgewertet. Durch diese Vorgehensweise ist sichergestellt, dass die konstitutiven Annahmen die Entropieungleichung nicht verletzen. Das Ergebnis ist ein Modell, welches die Festkörperdeformation anhand eines Neo-Hooke-Ansatzes beschreibt, die Porenfluidbewegung anhand einer erweiterten Darcy-Gleichung, die Ionendiffusion anhand einer erweiterten Form der Nernst-Planck-Gleichung und das elektrische Potential über die Poisson-Gleichung. Die Theorie wird anschließen so aufbereitet, dass Anfangs-Randwertprobleme anhand eines numerischen Verfahrens wie der Finite-Elemente-Methode (FEM) gelöst werden können. Dazu werden zunächst die Anfangs- und Randbedingungen für die einzelnen partiellen Differentialgleichungen (PDG) diskutiert. Bei näherer Betrachtung fällt auf, dass sich für die Lösung des PDG-Satzes unterschiedliche Primärvariablensätze auswählen lassen. Die entsprechend benötigten Gleichungssätze werden diskutiert und die jeweiligen Vor- und Nachteile herausgestellt. Ebenso werden mögliche Vereinfachungen diskutiert, bei denen durch spezielle Annahmen die Anzahl der Primärvariablen und somit die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert wird. Des weiteren fällt hier auf, dass je nach Wahl des Primärvariablensatzes die Randbedingungen vom aktuellen Zustand des Gebietes abhängen. Solche Randbedingungen treten auch bei Strömungen mit freien Oberflächen und bei der Fluid-Struktur-Interaktion auf. Die Dirichlet-Randbedingungen dieser Gleichungen werden schwach erfüllt. Anschließend werden Simulationen anhand des in dieser Arbeit hergeleiteten Modells durchgeführt. In einem ersten Schritt werden zunächst die unterschiedlichen Primärvariablensätze numerisch hinsichtlich Genauigkeit und Stabilität untersucht. Dabei zeigt sich, dass der Primärvariablensatz mit den meisten schwach zu erfüllten Randbedingungen zu bevorzugen ist. Um die Leistungsfähigkeit des Modells zu demonstrieren, werden abschließend noch dreidimensionale Simulationen eines quellenden Hydrogel-Zylinders und einer Zange aus einem elektroaktivem polymer (EAP), die sich durch Anbringen einer elektrischen Spannung schließt, gezeigt. Abschließend lässt sich sagen, dass, obwohl die Formulierung anhand des Gesamtdrucks und der molaren Konzentration einen merklichen Mehraufwand für die Programmierung bedeutet, dieser Satz an Primärvariablen numerisch weitaus stabiler und um ein vielfaches schneller ist.