On the formulation and numerical implementation of dissipative electro-mechanics at large strains

Abstract

In recent years an increasing interest in functional materials such as erroelectric polymers and ceramics has been shown. For those materials, viscous effects or electric polarizations cause hysteresis phenomena accompanied with possibly large remanent strains and rotations. In this work aspects of the formulation and numerical implementation of dissipative electro-mechanics at large strains are outlined. In particular continuous and discrete variational formulations for the treatment of the non-linear dissipative response of electro-mechanical solids are developed and these formulations are adapted to the modeling of the hysteretic material response of piezoceramics and ferroelectric polymers under electrical loading. The point of departure is a general internal variable formulation that determines the hysteretic response of the material as a generalized standard medium in terms of an energy storage and a rate-dependent dissipation function. Consistent with this type of standard dissipative continua, an incremental variational formulation of the coupled electro-mechanical boundary-value-problem is developed. The variational formulation for a setting based on a smooth rate-dependent dissipation function which governs the hysteretic response is specified. Further, the geometric nature of dissipative electro-mechanics is underlined. An important aspect is the numerical implementation of the coupled problem. The discretization of the two-field problem appears, as a consequence of the proposed incremental variational principle, in a symmetric and very compact format. Further, constitutive assumptions which account for specific problems arising in the geometric nonlinear setting are discussed. With regard to the choice of the internal variables entering the constitutive functions, a critical point are the kinematic assumptions. Here, the multiplicative decomposition of the local deformation gradient into reversible and remanent parts as well as the introduction of a remanent metric are discussed. Such a formulation allows us to reproduce the dielectric and butterfly hysteresis responses characteristic of the ferroelectric materials together with their rate-dependency and to account for macroscopically non-uniform distribution of the polarization in the specimen together with large attained deformations. The performance of the proposed methods is demonstrated by means of a spectrum of benchmark problems which eventually show large deformations.

Im Laufe der letzten Jahre ist ein zunehmendes Interesse an unktionsmaterialien wie ferroelektischen Polymeren und Keramiken aufgetreten. Viskose Effekte oder elektrische Polarisierung verursachen bei diesen Materialien ysteresephänomene, die oft mit groß en und remenenten Verzerrungen und Rotationen verbunden sind. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich in diesem Kontext mit Aspekten der Formulierung und numerischen Implementierung dissipativer Elektromechanik bei finiten Deformationen. Dazu wird eine kontinuierliche und diskrete Variationsformulierung für das nichtlineare dissipative Verhalten elektromechanischer Festkörper entwickelt und an das Hystereseverhalten von Piezokeramiken und Ferroelektrischen Polymeren unter elektrischer Belastung angepasst. Ausgangspunkt ist dabei eine allgemeinen Formulierung mit internen Variablen, die die Hystereseantwort als generalisiertes standard-dissipatives Kontinuum mittels Energiespeicherung und ratenabhängiger Dissipation beschreibt. Konsistent dazu wird eine inkrementelle Variationsformulierung des gekoppelten elektromechanischen Randwertproblems entwickelt. Diese Variationsformulierung wird für den Fall der Beschreibung der Hysterese durch eine glatte, ratenabhängige Dissipationsfunktion spezifiziert, wobei die geometrischen Aspekte der dissipativen Elektromechanik besonders hervorgehoben werden. Ein wichtiger Gesichtspunkt ist die numerische Umsetzung des gekoppelten Zweifeld-Problems, dessen Diskretisierung aufgrund des vorgestellten inkrementellen Variationsprinzips auf eine symmetrische und kompakte Form führt. Weiterhin werden konstitutive Annahmen für die speziell im geometrisch nichtlinearen Rahmen auftretenden Probleme diskutiert. Bei der Wahl der internen Variablen in den konstitutiven Funktionen sind kinematische Annahmen entscheidend. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die multiplikative Zerlegung des lokalen Deformationsgradienten in einen reversiblen und einen remanenten Anteil sowie die Einführung einer remanenten Metrik. Eine solche Formulierung ermöglicht die Vorhersage von dielektrischen Hysteresen und Schmetterlingshysteresen, die für ferroelektrische Materialien zusammen mit der Ratenabhängigkeit charakteristisch sind. Ausserdem kann die makroskopisch ungleichmäß ige Verteilung der Polarisation im Probekörper im Rahmen groß er Deformationen reproduziert werden. Die Effizienz der vorgestellten Methoden wird anhand einer Auswahl an Benchmark-Problemen aufgezeigt, die auch grosse Deformationen beinhalten.