Multi-scale modeling of two-phase flow in porous media including capillary pressure effects

Abstract

The simulation of an increasing number of important applications in porous media such as gas storage, geothermal energy production, or investigation of storage sides for nuclear waste, requires complex physical models and high spatial resolutions, but also the investigation of large-scale effects. Due to the limitations of computational resources, huge model domains often have to be simulated on relatively coarse grids. However, depending on the application, a high spatial resolution may be necessary to capture important effects, for example due to small scale heterogeneities. One solution strategy is multi-scale modeling. The idea is to decrease the number of global degrees of freedom while preserving important fine-scale features.

In this work, a novel approach for multi-scale modeling of two-phase flow in porous media is developed. The method can be applied in a wide range of physical regimes, in particular, in regimes in which capillary effects have a major impact on the flow processes. In this case, many existing upscaling or multi-scale techniques, originally developed and successfully used for advection-dominated systems, fail or are not able to yield sufficiently accurate results.

In the new approach, an h-adaptive grid method is combined with various local upscaling techniques. In particular, the numerical method has to be able to treat complex effective parameters like anisotropic phase permeabilities. A crucial point is the development of suitable grid-adaptation strategies to account correctly for important effects. The method is tested and proven to work for various two- and three-dimensional examples including varying heterogeneous parameter fields and different flow regimes.

For discretizing the two-phase flow equations, a finite volume scheme based on the multi-point flux approximation L-method is developed and validated on various test problems. The tests show that the method is able to approximate important two-phase flow features, to account for the effects of anisotropic coefficients, and to treat hanging nodes which appear in non-conforming adaptive grids. Moreover, different numerical upscaling techniques are combined and extended to get a set of methods which enables the calculation of the effective parameters that appear in the coarse-scale equations. Using the adaptive grid finally provides a scale transfer mechanism and therefore enables a multi-scale solution. The key factor of this novel multi-scale approach is an appropriate adaptation strategy, which aims to refine and coarsen the grid such that the method is efficient and sufficiently accurate. Therefore, different adaptation indicators are suggested. Besides the so-called standard indicators, which try to minimize numerical errors in the solutions, the development of special multi-scale indicators has to be emphasized. The idea of such indicators is to take into account the validity of the upscaled parameters for the error estimation.

Finally, the multi-scale concept is tested and validated on various two- and three-dimensional scenarios relating to realistic applications. The tests show that the multi-scale method performs very well for a variety of challenging heterogeneous parameter fields and for various flow regimes, ranging from the purely viscous dominated case to the capillary dominated case. Furthermore, the results show that the characteristic of saturation transport can dramatically change depending on the capillary pressure influence. Thus, it is extremely important to have efficient multi-scale models which allow us to model large-scale problems and still account for this effect correctly.

Für wichtige Anwendungsbereiche wie die Gasspeicherung, die Nutzung von Geothermie zur Energiegewinnung oder die Beurteilungen potentieller Standorte für nukleare Endlager, gewinnt die Simulation von Strömungs- und Transportvorgängen in porösen Medien zunehmend an Bedeutung. Dies erfordert sowohl die Anwendung komplexer physikalischer Modelle und eine hohe räumliche Auflösung, als auch auch die Untersuchung großskaliger Auswirkungen. Aufgrund von limitierten Hardwareresourcen können große Modellgebiete oft nur auf relativ groben Gittern simuliert werden. Abhängig von der jeweiligen Anwendung kann jedoch eine hohe Auflösung erforderlich sein um alle wichtigen Prozesse, die zum Beispiel durch kleinskalige Heterogenitäten maßgeblich beeinflusst werden können, abzubilden. Ein möglicher Lösungsansatz ist die Mehrskalenmodellierung. Die Grundidee von Mehrskalenmethoden ist die Verringerung der Anzahl globaler Freiheitsgrade bei gleichzeitiger Erhaltung wichtiger feinskaliger Strömungs- und Transporteffekte und Eigenschaften.

In dieser Arbeit wird ein neuartiger Ansatz für die Modellierung von Zweiphasenströmungen in porösen Medien entwickelt. Die Methode kann für ein breites Spektrum physikalischer Regime eingesetzt werden, im Besonderen aber für Systeme, in denen Kapillarkräfte einen entscheidenden Einfluss auf die Strömungsprozesse nehmen. Solche Systeme können von vielen bestehenden Ansätzen, die oft für den Fall advektionsdominierter Verhältnisse entwickelt wurden und dort auch erfolgreich eingesetzt werden, nicht ausreichend genau oder überhaupt nicht beschrieben werden.

Für den neu entwickelten Ansatz wird ein h-adaptives Gitter mit verschiedenen "Local-Upscaling"-Techniken kombiniert. Dabei muss die numerische Methode insbesondere in der Lage sein komplexe effektive Parameter wie anisotrope Phasenpermeabilitäten zu berücksichtigen. Um wichtige Effekte richtig abzubilden ist außerdem die Entwicklung einer geeigneten Gitteradaptionsstrategie ein entscheidender Faktor. Abschließend wird die Mehrskalenmethode an verschiedenen zwei- und dreidimensionalen Beispielen, die sowohl die heterogenen Parameterfelder als auch die physikalischen Regime variieren, erfolgreich getestet.

Für die Diskretisierung der Gleichungen für Zweiphasenströmungen, insbesondere für die Gleichungen der groben Skala, wird eine Finite-Volumen Diskretisierung basierend auf der L-Mehrpunktflussapproximationsmethode entwickelt und an verschiedenen Testproblemen validiert. Diese Tests zeigen deutlich, dass die Diskretisierungsmethode dazu in der Lage ist wichtige Eigenschaften von Zweiphasenströmungen, sowie Effekte anisotroper Koeffizienten, richtig abzubilden. Des weiteren kann die Methode mit hängende Knoten, die in nichtkonformen adaptiven Gittern auftreten, umgehen. Um alle effektiven Parameter, die in den Gleichungen der groben Skala enthalten sind, berechnen zu können, werden verschiedene Upscaling-Techniken ausgewählt, kombiniert und erweitert. Schließlich wird das numerische Upscaling mit einem adaptiven Gitter kombiniert, das einen Skalentransfer und damit eine Mehrskalenlösung erlaubt. Der entscheidende Punkt der neuartigen Mehrskalenmethode ist die richtige Adaptionsstrategie. Diese sollte das Gitter so verfeinern und vergröbern, dass die Methode ausreichend genau und maximal effizient ist. Um dieses zu erreichen, werden verschiedene Adaptionsindikatoren vorgestellt. Dabei muss neben so genannten Standardindikatoren, die das Ziel haben Fehler in der approximativen Lösung zu minimieren, die Entwicklung spezieller Mehrskalenindikatoren hervorgehoben werden. Die Idee dieser Indikatoren ist, dass auch die Gültigkeit der mit der Upscaling-Methode berechneten effektiven Parameter überprüft und für die Fehlerabschätzung berücksichtigt wird.

Abschließend wird die Mehrskalenmethode mit Hilfe verschiedener realitätsnaher zwei- und dreidimensionaler Testszenarien validiert. Für eine Reihe schwieriger heterogener Parameterverteilungen und für variierende Strömungsverhältnisse, die von rein viskos dominierten bis zu kapillar dominierten Verhältnissen reichen, liefert die Mehrskalenmethode sehr gute Ergebnisse. Es zeigt sich außerdem, dass sich der Charakter des Sättigungstransports abhängig vom Einfluss des Kapillardrucks signifikant ändern kann. Um dieses auch bei großskaligen Problemstellungen berücksichtigen zu können, ist es von enormer Bedeutung ein effizientes Mehrskalenmodell zur Verfügung zu haben.