Variational homogenization in electro-mechanics : from micro-electro-elasticity to electroactive polymers

Abstract

In recent years an increasing interest in functional or smart materials such as ferroelectric polymers and ceramics has been shown. Regarding the technical implementation of smart systems a broad variety of physically-based phenomena and materials are available, where some of the most important coupling effects are the shape memory effect, magnetostriction, electrostriction, and piezoelectricity. Typical fields of application are adaptive or controlled systems such as actuators and sensors, micro-electro-mechanical systems (MEMS), fuel injectors for common rail diesel engines, ferroelectric random access memories, and artificial muscles used in robotics. A highly interesting class of these materials are piezoceramics, coming up with short response times, high precision positioning, relatively low power requirements, and high generative forces, providing an excellent opportunity for mass production. Typical examples of such materials are barium titanate and lead zirconate titanate crystals and polycrystals, which exhibit linear and nonlinear coupling phenomena as well as hysteresis under high cyclic loading. At the microscale level, these materials are composed of several homogeneously polarized regions, called ferroelectric domains, whose evolution in time is driven by external electric fields and stresses applied to a sample of the material. Ferroelectric domains are regions of parallel and hence aligned polarization. Electric poling can be achieved by the application of a sufficiently strong electric field, inducing the reorientation and alignment of spontaneous polarization. As a consequence, piezoceramics exhibit a macroscopic remanent polarization. On the other hand, there are electroactive polymers (EAPs) responding by a (possibly large) deformation to an applied electrical stimulus, an effect discovered by the physicist Wilhem Röntgen in 1880 in an experiment on a rubber strip subjected to an electric field. They are divided into two main groups: electronic and ionic materials. The description of these effects through models of continuum physics is a subject of extensive research.

Physically predictive material modeling can be performed on different length- and time scales. The classical setting of continuum mechanics develops phenomenological material models "smeared" over some continuously distributed material, where the material parameters are determined from experimental data. Nowadays developed multiscale techniques focus predominantly on the efficient bridging of neighboring length- and time scales, e.g. the incorporation of the microscopic polarization in order to predict macroscopic hysteresis phenomena. With a continuous increase in computational power and the development of efficient numerical solvers, real multiscale simulations seem to be a reachable goal. Computational homogenization schemes determine, in contrast to initially developed Voigt and Reuss bounds, the effective properties numerically. No constitutive model is explicitly assumed at the macroscale, and the material response at each point is determined by performing a separate numerical analysis at the micro-level. The macroscopic material behavior in this two-scale scenario is then determined by separate FE computations at the microscale. Main ingredients of such a framework are, on the one hand, the solution of a microscopic material model describing mechanical behavior at the representative volume element and, on the other hand, a homogenization rule determining the macroscopic stress tensor by its microscopic counterpart. Goal of these computational homogenization techniques is the modeling of the overall response based on well-defined microstructural information. Concerning the scale transition for functional materials, it is necessary to extend the homogenization principles to coupled problems, incorporating besides the mechanical displacement further primary variables such as the electric potential and the electric polarization. The key aspect of every homogenization scheme is the determination of macroscopic quantities in terms of their microscopic counterpart, driven by appropriate constraints or boundary conditions on the representative volume element. The micro-to-macro transition can be described in a canonical manner by variational principles of homogenization, determining macroscopic potentials in terms of their microscopic counterparts.

In den letzten Jahren wurde ein gesteigertes Interesse an funktionalen oder intelligenten Materialien wie ferroelektrischen Polymeren und Keramiken gezeigt. Ein großes Spektrum an physikalischen Phänomenen und Materialien steht für die technische Umsetzung zur Verfügung, wobei die wichtigsten Kopplungseffekte der Formgedächtnis-Effekt, Magnetostriktion, Elektrostriktion und Piezoelektrizität sind. Typische Einsatzbereiche solcher Materialien sind adaptive Systeme wie Sensoren und Aktoren, Mikrosysteme aus miniaturisierten Bauteilen (MEMS), Einspritzdüsen für Common-Rail-Dieselmotoren, ferroelektrische Arbeits- oder Hauptspeicher für Computersysteme und künstliche Muskeln im Bereich der Robotertechnik. Piezokeramiken sind aufgrund ihrer kurzen Reaktionszeiten, relativ geringen Leistunganforderung und hohen generierten Kräften von großem industriellen Interesse. Daraus resultiert unter anderem eine ausgezeichnete Eignung für die Massenproduktion. Typische Beispiele sind Bariumtitanat und Blei-Zirkonat-Titanat Ein- und Mehrkristalle, welche lineare und nichtlineare Kopplungsphänomene aufweisen, sowie Hysteresekurven bei zyklischen Belastungsprozessen zeigen. Mikroskopisch betrachtet bestehen diese Werkstoffe aus mehreren homogen polarisierten Bereichen, den so genannten ferroelektrischen Domänen, deren zeitliche Entwicklung durch externe elektrische Felder und Spannungen getrieben wird. Domänen sind Bereiche mit gleicher Polarisationsrichtung der Einheitszellen. Die elektrische Polung, d.h. Neuausrichtung der spontanen Polarisation, kann durch anlegen eines hinreichend starken elektrischen Feldes erreicht werden. Als Folge weisen Piezokeramiken eine makroskopische remanente Polarisation auf. Des weiteren gibt es elektroaktive Polymere (EAPs) welche mit einer (möglicherweise großen) Verformung auf elektrische Stimulation reagieren. Dieser Effekt wurde vom Physiker Wilhelm Röntgen 1880 entdeckt, indem er in einem Experiment einen Gummistreifen einem elektrischen Feld ausgesetzt hat. Solche Werkstoffe werden im Allgemeinen in zwei Hauptgruppen unterteilt, die elektronischen und ionischen EAPs. Die Beschreibung dieser Effekte durch physikalische Modelle der Kontinuumsmechanik ist ein umfangreiches Forschungsthema.

Eine physikalisch aussagekräftige Materialbeschreibung kann auf unterschiedlichen Zeit- und Längenskalen durchgeführt werden. Die klassische Kontinuumsmechanik entwickelt phänomenologische Materialmodelle, welche über ein kontinuierlich verteiltes Gebiet verschmiert sind. Die daraus resultierenden Materialparameter müssen durch experimentelle Untersuchungen bestimmt werden. Derzeit entwickelte Multiskalenansätze konzentrieren sich vorwiegend auf die effiziente Überbrückung benachbarter Skalen, z.B. die Berücksichtigung der mikroskopischen Polarisation um makroskopische hysteretische Effekte vorherzusagen. Mit stetiger Leistungszunahme moderner Computer sowie der Entwicklung effizienter numerischer Löser scheint die Verwirklichung von Mehrskalensimulationen ein erreichbares Ziel zu sein. Computerbasierte Homogenisierungsverfahren bestimmen, im Gegensatz zu den ursprünglich entwickelt Verfahren nach Voigt und Reuss, die effektiven Eigenschaften numerisch. Auf der Makroskala wird kein explizites konstitutives Modell entwickelt, hingegen wird die Materialantwort an jedem Punkt durch separate numerische Simulationen auf der Mikroebene bestimmt. Die numerische Lösung des zwei Skalen Szenarios erfolgt durch FE-Berechnungen eines repräsentativen Volumenelementes auf der Mikroskale. Die Lösung des mikroskopischen Problems auf der einen Seite sowie ein geeignetes Homogenisierungskonzept zur Bestimmung der makroskopischen Spannungen auf der anderen Seite sind die Hauptbestandteile eines solchen Konzepts. Ziel der computerbasierten Homogenisierungsverfahren ist die Modellierung der gesamtheitlichen Systemantwort aufgrund von klar definierten mikrostrukturellen Informationen. Bezüglich der Skalenübergänge für funktionale Materialien ist es notwendig die Homogenisierungprinzipien auf gekoppelte Probleme zu erweitern. Dazu werden neben den mechanischen Verschiebungen weitere Primärvariablen einbezogen, wie beispielsweise das elektrische Potential sowie die elektrische Polarisation. Der wichtigste Aspekt jeder Homogenisierungsmethode ist die Bestimmung der makroskopischen Größen in Bezug auf ihre mikroskopischen Pendants, welche durch geeignete Wahl von Randbedingungen für das repräsentative Volumenelement getrieben werden. Der Mikro-Makro Übergang kann in kanonischer Weise durch Variationsprinzipien der Homogenisierung beschrieben werden, welche makroskopische Potentiale in Abhängigkeit ihrer mikroskopischen Gegenstücke bestimmen.