Numerische Methoden mittels eigentlicher Bewegung in der Geometrischen Algebra

Abstract

In der Modellierung und Simulation von Maschinen, zum Beispiel für eine numerische Steuerung von Industrierobotern, ist ein wichtiger Aspekt die Parametrisierung von eigentlicher Bewegung, sowie deren effiziente Verknüpfung auf heutigen Prozessorarchitekturen. Ein vielversprechendes Werkzeug zur Parametrisierung von Bewegung scheint die Geometrische Algebra zu sein. Übliche Definitionen der Geometrischen Algebra basieren auf einem Axiomensystem für das Geometrische Produkt. Ohne Weiteres ist eine Herleitung von diesem Axiomensystem zu einer expliziten Definition des Produktes als Summe von Koordinatenmultiplikationen nur teilweise möglich. Übliche Implementierungen des Geometrischen Produktes basieren auf solchen teilweise expliziten Definitionen; sie beachten die Struktur des Geometrischen Produktes nicht vollständig. Im ersten Teil dieser Arbeit wird die Geometrische Algebra anhand einer neuartigen Konstruktion eingeführt, die das Geometrische Produkt vollständig explizit definiert. Es werden die Eigenschaften der Geometrischen Algebra diskutiert, mit dem Ziel, Bewegung in der Geometrischen Algebra parametrisieren und verknüpfen zu können. Im zweiten Teil wird aus der neuartigen Konstruktion der Geometrischen Algebra eine Vektorisierungsstragie entwickelt, die bei Verwendung bestimmter Koordinatenpermutationen auf heutigen SIMD-Prozessorarchitekturen implementiert werden kann. Ferner wird eine effiziente Möglichkeit der Vorzeichenauswertung von Basisvektorprodukten beschrieben. Der dritte Teil behandelt als Anwendungsbeispiel das Lösen der inversen Kinematik bei Industrierobotern. Es werden Vorteile bezüglich des Laufzeitverhaltens auf modernen SIMD-Prozessorarchitekturen bei der Verwendung der hier beschriebenen Vektorisierungsstrategie des Geometrischen Produktes gegenüber der Matrizenalgebra gezeigt.

When modelling or simulating machines, e.g. for a numerical control of industrial robots, there is the important aspect of parametrising rigid motions, as well as composing them efficiently on modern processor architectures. Geometric Algebra seems to be a promising tool for parametrising motion. Common definitions of Geometric Algebra are based on an axiomatic system for the Geometric Product. Just like that, the derivation from this axiomatic system to an explicit definition of the product as a sum of coordinate multiplications is only partially possible. Common implementations of the geometric product are based on such partially explicit definitions; they do not fully consider the structure of the Geometric Product. In the first part of this thesis, Geometric Algebra will be introduced by a novel construction, which defines the Geometric Product in a totally explicit manner. Properties of the Geometirc Algebra are discussed, with the aim of parametrising and composing motion within Geometric Algebra. In the second part, a vectorisation strategy is developed from the novel construction of the Geometric Algebra, which can be implemented on modern SIMD processor architectures by applying certain coordinate permutations. Furthermore, an efficient alternative for evaluating the sign of base vector products is described. The third part covers as a sample application the solution of inverse kinematics for industrial robots. Concerning runtime behaviour on modern SIMD processor architectures, advantages of using the vectorisation strategy for the Geometric Product described here as opposed to matrix algebra will be shown.