Variance-covariance matrix estimation with LSQR in a parallel programming environment

Abstract

Knowledge about the gravity field allows an insight into the structure and dynamics of the earth. It provides the geoid as the most important physical reference surface in geodesy and oceanography. Since 2000, the CHAMP (CHAllenging Mini-satellite Payload) mission detects the structure of the global gravity field, followed by the launch of GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment) in 2002. In 2008, finally, the GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) satellite is supposed to be set in orbit. These missions demonstrate satellite-based gravity field recovery to be at the center of geo-scientific interest. Interpretation and evaluation of satellite observations are difficult, especially the determination of the unknown gravity field parameters from a huge amount of measurements. Because of the immense demand for memory and computing time, the occurring systems of equations pose a real numerical challenge. Therefore, High-Performance Computing (HPC) is commonly adopted to overcome computational problems. Basically, parallel programming with MPI and OpenMP routines allows to speed up the solution process considerably. In this thesis, firstly global gravity field modelling by means of satellite observations is reviewed. Secondly, the LSQR method (Least-Squares using QR factorization) is introduced in detail in order to solve the resulting least-squares problems. Because the LSQR method is an iterative solver, it basically can not provide the variance-covariance information of the parameter estimate. To investigate the approximate computation of the variance-covariance matrix, two methods are introduced. The first one is based on the generalized inverse of the design matrix. The second approach applies Monte-Carlo integration techniques. Because parallel programming is very helpful to implement such iterative methods, it is necessary to introduce some basic principles and concepts about HPC.

Das Wissen über das Erdschwerefeld ermöglicht einen Einblick in die Struktur und Dynamik der Erde. Es liefert das Geoid als die wichtigste physikalische Bezugsoberfläche in der Geodäsie und Ozeanographie. Seit 2000 erfasst die CHAMP (CHAllenging Minisatellite Payload) Mission die Struktur des globalen Schwerefeldes, gefolgt vom Start der GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment) Mission im Jahr 2002. Im Jahr 2008 ist der Start des GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) Satelliten vorgesehen. Diese Missionen zeigen, dass die satellitengestützte Schwerefeldbestimmung im Zentrum des geowissenschaftlichen Interesses liegt. Die Interpretation und Auswertung von Satellitenbeobachtungen sind schwierig, vor allem die Bestimmung der unbekannten Parameter des Schwerefeldes aus einer großen Anzahl von Messungen. Aufgrund der immensen Nachfrage nach Speicher und Rechenzeit, stellen die auftretenden Gleichungssysteme eine große numerische Herausforderung dar. Zur Behebung der rechentechnischen Schwierigkeiten kommt deshalb üblicherweise High Performance Computing (HPC) zum Einsatz. Grundsätzlich kann die parallele Programmierung mit MPI und OpenMP den Lösungsprozess deutlich beschleunigen. In dieser Arbeit wird zunächst ein kurzer überblick über die satellitengestützte Schwerefeldbestimmung gegeben. Danach wird die LSQR Methode ausführlich eingeführt um die resultierenden least-squares Probleme zu lösen. Da die LSQR Methode ein iterativer Löser ist, kann das Verfahren die Varianz-Kovarianz Informationen der Parameterschätzung grundsätzlich nicht liefern. Um die approximierte Berechnung der Varianz-Kovarianz Matrix zu untersuchen, werden zwei Methoden eingeführt. Die erste basiert auf der generalisierten Inverse des Designmatrix. Der zweite Ansatz gründet auf Monte-Carlo Integration. Da parallele Programmierung zweckdienlich bei der Umsetzung solcher iterativen Methoden ist, ist es notwendig, einige grundlegende Prinzipien und Konzepte zum Thema HPC einzuführen.