The Cahn-Larché system : a model for spinodal decomposition in eutectic solder ; modelling, analysis and simulation

Abstract

Electronic control of mechanical procedures in particular within an automobile becomes recently more and more important. Due to this fact reliability and life time of a solder joint in a control device become significant for automotive industry. Experimental investigations of a solder joint where the configuration is subjected to several thousand power cycles show an essential change of the microstructure in the alloy. The originally fine mixture separates into two or more phases. However, regions with a coarse microstructure are not randomly distributed over the solder joint. They are located in a vicinity of a notch or a reentrant corner or lie nearby a hard clamped boundary part of the solder bump. In the worst case cracks appear in the alloy between regions of coarse and fine microstructure. The phase separation process is modelled by a diffusive phase interface model, which was derived by Cahn and Hilliard and extended by Cahn and Larché in order to consider elastic effects. In this thesis a mathematical rigorous derivation of the Cahn-Larché system is presented, which additionally takes into account external mechanical loadings and viscosity. The examination of the general entropy principle is done by applying Lagrangian multipliers to the thermodynamics of the spinodal decomposition. The existence of a weak solution of the viscous Cahn-Larché system is shown under consideration of a concentration dependent mobility tensor and external mechanical forces. In order to attain this result, we extend the method developed by Garcke consisting of a time discretisation, minimising the internal energy and maximising the dissipation. An interesting result of our investigations is the fact that the a-priori estimates do not depend on the friction coefficient. Due to this observation we simultaneously get the existence of a weak solution of the viscous and non-viscous system. Thereby we observe that a weak solution of the viscous system is smoother with respect to time than a solution of the non-viscous system. The numerical simulations of the phase separation are done by using a Faedo-Galerkin method. Extremely small surface stress tensors cause the Gibbs phenomena. This means that high overshoots and undershoots appear within a diffusive interface. In order to solve this problem a numerical approximation method stabilised by dynamical friction is developed. A second viscous approximation method is analyzed, where friction is formulated in terms of driving forces. We show the equivalence of both methods by using the flow gradient structure of the system. Finally, an operator-splitting method is derived, where the Gibbs free energy density is decomposed into a convex and a concave part. The different numerical simulations show that the Cahn-Larché system with a concentration dependent elasticity tensor fits qualitatively better to the experiment than the simple model with a constant elasticity tensor. Mechanical stress singularities, which result from reentrant corners or changing boundary conditions affect the development of the microstructure essentially. In both cases a phase consisting of the softer material develops in a vicinity of a point with a stress singularity.

Die elektronische Steuerung von mechanischen Vorgängen insbesondere in der Kraftfahrzeugtechnik wird zunehmend wichtiger für die Automobilindustrie. Aufgrund dieser Entwicklung gewinnt die Zuverlässigkeit und Lebensdauer einer Lotstelle im Steuergerät immer mehr an Bedeutung. Experimentelle Untersuchungen von Lotstellen, bei denen die Konfiguration vielen Belastungszyklen unterzogen wird, zeigen eine deutlich veränderte Mikrostruktur der Legierung. Die ursprünglich feine Mischung separiert in zwei oder mehrere Phasen. Dabei sind Gebiete mit grober Mikrostruktur nicht zufällig über die Lotstelle verteilt, sondern beginnen an Spitzkerben, einspringenden Ecken oder befinden sich an fest eingespannten Randstücken. Eine genaue Kenntnis der Entwicklung der Mikrostruktur des Lotes ist insbesondere wichtig, da sich Risse und Schädigungen des Materials zwischen Regionen mit feiner und grober Mikrostruktur entwickeln. Der Phasenseparationsprozess wird mittels eines diffusiven Phasen-Interface-Modells beschrieben, welches von Cahn und Hilliard hergeleitet und von Cahn und Larché auf den Einfluss elastischer Effekte erweitert wurde. In dieser Arbeit wird eine mathematisch rigorose Herleitung des Cahn-Larché Systems dargestellt, welche gegenüber bisherigen Modellen zusätzlich den Einfluss externer mechanischer Randlasten und Viskosität beschreibt. Die Auswertung des allgemeinen Entropieprinzips für die Phasenseparation erfolgt mit Hilfe Lagranger Multiplikatoren. Im analytischen Teil der Arbeit wird die Existenz einer schwachen Lösung des viskosen Cahn-Larché Systems unter Einbeziehung eines konzentrationsabhängigen Mobilitätstensors und externer mechanischer Kräfte gezeigt. Der Existenzbeweis besteht aus einer Zeitdiskretisierung mit anschließender Minimierung der inneren Energie und Maximierung der Dissipation. Ein interessantes Ergebnis der hier vorgestellten Untersuchungen besteht darin, dass die a-priori Abschätzungen der schwachen Lösung nicht vom Reibungskoeffizienten abhängen. Dadurch erhält man gleichzeitig die Existenz einer schwachen Lösung des viskosen und nicht viskosen Cahn-Larché Systems. Ein weiteres entscheidendes Ergebnis ist hierbei, dass die Lösung des viskosen Systems in Bezug auf die Zeit regulärer ist als eine Lösung des nicht viskosen Systems. Die numerischen Simulationen der Phasenseparation erfolgen mittels eines klassischen Faedo-Galerkin Verfahrens. Bei extrem kleinen Oberflächenspannungen, wie sie bei praktischen Anwendungen vorkommen, tritt dass Gibbs Phänomen auf, welches durch starke Oszillation innerhalb der Interfaces charakterisiert ist. Dieses Problem wird mittels eines neuen Verfahrens gelöst, welches durch einen dynamischen Reibungsterm stabilisiert ist. Ein zweites Approximationsverfahren wird untersucht, bei dem der stabilisierende Reibungsterm in Form von treibenden Kräften eingebracht wird. Hervorzuheben ist, dass die Äquivalenz beider Methoden unter Verwendung der Flussgradientenstruktur des Systems gezeigt wird. Abschließend wird eine Operator-Splitting Methode entwickelt, bei der die Gibbs freie Energiedichte in einen konvexen und konkaven Anteil zerlegt wird. Alle hier vorgestellten Methoden führen zu stabilen Lösungen, die Operator-Splitting Methode ist aber im Vergleich zu den beiden viskosen Methoden nicht effizient, da hier sehr kleine Zeitschrittweiten gewählt werden müssen. Die numerischen Simulationen zeigen, dass das Cahn-Larché Modell mit konzentrationsabhängigem Elastizitätstensor qualitativ besser mit dem Experiment übereinstimmt als das einfachere Modell mit konstantem Elastizitätstensor. Ferner zeigen die Simulationen, dass mechanische Spannungssingularitäten, die aus wechselnden Randbedingungen oder einspringenden Ecken resultieren, die Mikrostruktur stark beeinflussen. In beiden Fällen entwickelt sich in einer Umgebung der Spannungssingularität eine Phase bestehend aus dem weicheren Material.