l-groups and Bezout domains

Abstract

Wir untersuchen die Strukturtheorie abelscher l-Gruppen im Hinblick auf ihre Beziehungen zur Teilbarkeit in Bezout-Bereichen und zu MV-Algebren. Hauptmotivation für die Arbeit ist die Jaffard-Ohm-Korrespondenz zwischen abelschen l-Gruppen und Bezout-Bereichen, und D. Mundici's funktorielle Äquivalenz zwischen abelschen l-Gruppen mit starker Einheit und MV-Algebren. Mit Hilfe der Bewertungstheorie erhalten wir eine positive Antwort zum Problem von Conrad und Dauns (1969), ob ein Verbandsschiefkörper mit positiven Quadraten stets angeordnet ist. Als Gegenstück hierzu beweisen wir die Existenz gerichteter Algebren mit negativen Quadraten. Für eine beliebige l-Gruppe verallgemeinern wir die Charakterisierung von o-Idealen in Rieszschen Räumen auf l-Ideale (2004). Mittels der Mundici-Korrespondenz zwischen l-Gruppen und MV-Algebren erhalten wir eine negative Entscheidung einer Frage von Belluce (1986) über Prim-Annihilatoren in MV-Algebren. Für eine abelsche l-Gruppe G konstruieren wir eine dichte Einbettung von G in eine lateral vollständige abelsche l-Gruppe E(G) mittels Garbentheorie. Falls G archimedisch ist, beweisen wir, dass E(G) die laterale Vervollständigung von G ist, während dies im Allgemeinen falsch zu sein scheint. Als Nebenprodukt erhalten wir einen eleganten Beweis des Bernauschen Einbettungssatzes für Archimedische l-Gruppen. Ist G die Teilbarkeitsgruppe eines Bezout-Bereichs D, so zeigen wir, dass Spec(D) zum Spektrum Spec*(G) topologisch dual ist im Sinne von Hochster. Wir studieren die C-Topologie abelscher l-Gruppen mit Blick auf Bezout-Bereiche und MV-Algebren. Dabei korrigieren wir zwei Lemmata von Gusi\'c (1998), was zu einer Verallgemeinerung eines seiner Hauptergebnisse führt. Schliesslich beantworten wir eine Frage von Dumitrescu, Lequain, Mott und Zafrullah (2001), indem wir zeigen, dass die Jaffard-Ohm Korrespondenz für abelsche fast-l-Gruppen nicht gilt.

We study the relationship between l-groups, Bezout domains, and MV-algebras. Our main motivation and starting point has been the Jaffard-Ohm correspondence between Abelian l-groups and Bezout domains and Mundici's equivalence between Abelian unital l-groups and MV-algebras. Using valuation theory, we give a positive answer to Conrad and Dauns' problem (1969) whether a lattice-ordered skew-field with positive squares is linearly ordered. As a counterpart, we prove the existence of directed algebras with negative squares. For an arbitrary l-group, we give some characterizations of l-ideals in terms of absolute values, generalizing a similar result for o-ideals in Riesz spaces (2004). A number of ring-theoretical notions and properties are introduced for l-groups and MV-algebras. Using the correspondence between l-groups and MV-algebras, we answer a question of Belluce (1986) on prime annihilators in MV-algebras in the negative. For an Abelian l-group G, we construct a dense embedding of G into a laterally complete Abelian l-group E(G) by means of sheaf theory. In case G is Archimedean, we prove that E(G) is the lateral completion of G, while in general, this seems to be false. As a byproduct, we get a natural and elegant proof of Bernau's celebrated embedding theorem for Archimedean l-groups. If G is the group of divisibility of a B\'ezout domain D, we show that Spec(D) is related to a quasi-compact topology on Spec*(G) which turns out to be the Hochster dual" of the spectral topology. We study the C-topology on Abelian l-groups and apply it to Bezout domains and MV-algebras. We correct two lemmas of Gusi\'c (1998) which leads to a generalization of one of his main results. Finally, we answer a question of Dumitrescu, Lequain, Mott and Zafrullah (20019 which shows that the Jaffard-Ohm correspondence does not hold for Abelian almost l-groups.