Quantum systems with balanced gain and loss, signatures of branch points, and dissociation effects

Abstract

Gain and loss to the wave function of quantum mechanics can in a convenient way be modelled by effective non-Hermitian Hamiltonians. Imaginary contributions to the potential introduce source and drain terms for the probability amplitude. A special class of non-Hermitian Hamiltonians are those which possess a parity-time symmetry. In spite of their non-Hermiticity these Hamiltonians allow for real energy eigenvalues, i.e. the existence of stationary states in the presence of balanced gain and loss. This effect has been identified theoretically in a large number of quantum systems. Its existence has also been proved experimentally in coupled optical wave guides. The wave guides are, however, only optical analogues of quantum systems. In the first part of this thesis it is shown from the theoretical side that Bose-Einstein condensates in a double-well setup are an ideal candidate for a first experimental realisation of a genuine quantum system with parity-time symmetry. When particles are removed from one well and coherently injected into the other the external potential is parity-time symmetric. To investigate the system the underlying time-independent and time-dependent Gross-Pitaevskii equations are solved numerically. It turns out that a subtle interplay between the nonlinearity of the Gross-Pitaevskii equation and the gain-loss effect leads to a complicated dynamics of the condensate wave function. However, the most important result is the existence of stationary states that are sufficiently stable to be observable in an experiment. Two suggestions for experimental realisations are presented. They are based on the idea of embedding the non-Hermitian parity-time-symmetric system into a larger structure described by a Hermitian Hamiltonian. A further effect of non-Hermitian Hamiltonians are so-called exceptional points, at which two resonances coalesce such that both their eigenvalues and wave functions become identical. It is shown that an exceptional point can unambiguously be identified by a characteristic non-exponential decay of the resonances. With numerically exact calculations for the hydrogen atom in crossed electric and magnetic fields this effect is verified in an experimentally accessible quantum system. The second part of the thesis is devoted to semiclassical Gaussian approximations to the Boltzmann operator, which have become an important tool for the investigation of thermodynamic properties of clusters of atoms at low temperatures. A numerically cheap frozen Gaussian approximation to the imaginary time propagator with a width matrix especially suited for the dynamics of clusters is developed. It is applied to the cases of Ar3 and Ar6. For these clusters classical-like transitions in one step from a bounded moiety to free particles are found for increasing temperatures. Additionally, the structure of the Ar6 cluster is studied in the bound configuration and during the dissociation. Quantum effects, i.e. differences with the purely classical case, manifest themselves in the low-temperature behaviour of the mean energy and specific heat as well as in a slight shift of the transition temperature. A first-order correction to the semiclassical propagator is used to improve the results of the calculation for Ar3, and it is shown how the correction can be used to objectively assess the validity of the frozen Gaussian approximation.

Gewinn- und Verlustbeiträge zur quantenmechanischen Wellenfunktion lassen sich sehr elegant durch effektive nichthermitesche Hamiltonoperatoren modellieren. Imaginäre Potentialbeiträge erzeugen Quellen und Senken der Wahrscheinlichkeitsdichte. Hamiltonoperatoren mit einer Paritäts-Zeit-Symmetrie bilden eine besondere Klasse nichthermitescher Operatoren. Trotz ihrer Nichthermitizität erlauben sie das Auftreten reeller Energieeigenwerte, d.h. die Existenz stationärer Zustände in der Gegenwart ausgeglichener Gewinn- und Verlustbeiträge. Dieser Effekt wurde in einer großen Anzahl von Quantensystemen theoretisch gefunden. Seine Existenz wurde darüber hinaus experimentell in gekoppelten optischen Wellenleitern nachgewiesen. Die Wellenleiter stellen jedoch nur ein optisches Analogon eines Quantensystems dar. Im ersten Teil dieser Habilitationsschrift wird von theoretischer Seite gezeigt, dass Bose-Einstein-Kondensate in einer Doppelmulde ein idealer Kandidat für eine erste experimentelle Umsetzung eines originären Quantensystems mit Paritäts-Zeit-Symmetrie sind. Wenn Teilchen aus einer Mulde entfernt und kohärent in die andere eingekoppelt werden, besitzt das System eine Paritäts-Zeit-Symmetrie. Um es zu untersuchen, werden die zeitunabhängige und die zeitabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung numerisch gelöst. Dabei stellt sich heraus, dass das Wechselspiel zwischen der Nichtlinearität der Gross-Pitaevskii-Gleichung und dem Gewinn- und Verlustbeitrag zu einer komplizierten Dynamik der Kondensatwellenfunktion führt. Das wichtigste Ergebnis ist jedoch der Nachweis stationärer Zustände, die hinreichend stabil sind, um in einem Experiment beobachtbar zu sein. Es werden zwei Vorschläge für experimentelle Umsetzungen gegeben. Sie beruhen auf der Idee, das nichthermitesche System mit Paritäts-Zeit-Symmetrie in eine größere Struktur einzubetten, die durch einen hermiteschen Hamiltonoperator beschrieben wird. Ein weiterer Effekt nichthermitescher Hamiltonoperatoren sind sogenannte exzeptionelle Punkte, an denen zwei Resonanzen so zusammenfallen, dass sie identische Eigenwerte und Wellenfunktionen aufweisen. Es wird gezeigt, dass ein exzeptioneller Punkt eindeutig durch einen charakteristischen nichtexponentiellen Zerfall der Resonanzen identifiziert werden kann. Mit numerisch exakten Rechnungen für das Wasserstoffatom in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern wird dieser Effekt in einem experimentell zugänglichen Quantensystem nachgewiesen. Der zweite Teil der Habilitationsschrift widmet sich semiklassischen gaußschen Näherungen des Boltzmannoperators, die zu einem wichtigen Hilfsmittel für die Untersuchung thermodynamischer Eigenschaften von Clustern aus Atomen bei niedrigen Temperaturen geworden sind. Eine numerisch günstige gaußsche Näherung des Imaginärzeitpropagators mit einer festen, besonders an die Dynamik von Clustern angepassten Breitenmatrix wird entwickelt. Die Methode wird auf Ar3 und Ar6-Cluster angewandt. Für diese Cluster werden bei ansteigender Temperatur nahezu klassische Übergänge in einem Schritt von einem festen Verbund zu freien Atomen gefunden. Zusätzlich wird die Struktur von Ar6 im Clusterverbund und während der Dissoziation untersucht. Quanteneffekte, d.h. Unterschiede zum rein klassischen Fall, drücken sich im Niedertemperaturverhalten der mittleren Energie und der Wärmekapazität sowie in einer leichten Verschiebung der Dissoziationstemperatur aus. Eine Korrektur erster Ordnung zum semiklassischen gaußschen Propagator wird verwendet, um die Ergebnisse der Rechnungen für Ar3 zu verbessern. Es wird darüber hinaus gezeigt, dass die Korrektur zur objektiven Beurteilung der Gültigkeit der gaußschen Näherung verwendet werden kann.