Browsing by Author "Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)"

Now showing 1 - 20 of 20

Open Access
Atomistic dynamics of crack propagation in complex metallic alloys
(2008) Rösch, Frohmut; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
The failure of solid matter is familiar to us from everyday life. A broken dish or a shattered glass is annoying. The breakage of a ship or an airplane hull, however, can cost human lives. Nevertheless, insight into the fundamental mechanisms leading to fracture has been gained only within the last couple of years. One reason for this is that fracture is a multi-scale phenomenon. A macroscopic external strain is directed to the crack tip, where it breaks atomic bonds. Thus, to understand fracture mechanisms in macroscopic devices, one also has to know the processes on the atomic scale. These are hardly accessible by experiments, in particular when dynamic aspects are the center of interest. They are also not included in the classical elastic theory of fracture. Computer simulations have proven to be a useful tool to examine fracture processes on an atomic level. In molecular dynamics simulations the trajectories of the atoms are calculated by integration of Newtons equations of motion. Numerical experiments with simple crystal structures and model interactions reveal phenomena that are related to the discrete nature of matter and therefore cannot be explained by continuum theories. In more complex systems the mechanisms are not yet clear. In the current work two extreme cases of complex metallic alloys are investigated. The model quasicrystal is built-up mainly from atomic clusters. Due to the aperiodic long-range order, no unit cell exists. A major building block of the quasicrystal can also be used to obtain a periodic Friauf-Laves compound. The Friauf-Laves phases are topologically close-packed binary structures and form a huge class of intermetallic compounds. Among them are many candidates for high-temperature use. However, their brittleness at low and ambient temperature limits applications. Molecular dynamics simulations are performed to examine this brittle behavior at low temperature. First, model potentials are applied to qualitatively probe the influence of the underlying structure on crack propagation. In a second step, a specific Friauf-Laves compound is chosen. Interatomic potentials are constructed, which reproduce quantities obtained by quantum-mechanical calculations. Systematic fracture simulations then are performed.
Open Access
Atomistic simulation of shock waves : from simple crystals to complex quasicrystals
(2005) Roth, Johannes Werner; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
This habilitation thesis describes molecular dynamics simulations of solids. The impact of shock waves on a number of solids is studied: In the first part binary icosahedral quasicrystals and Laves crystals are treated, in the second part monatomic dodecagonal quasicrystals and body centered cubic crystals are dealt with. The third part contains studies of intermediate phases and solitons which show up in the body centered cubic crystals if shocked along a three-fold axis. In all cases three ranges of different behavior are observed: if the shock waves are weak, elastic deformations occur, in a medium range elastic and plastic waves or phase transitions are observed. If the shock waves are strong, the initial structures are completely destroyed. In this work we are concerned especially with the range of medium strong shock waves. For the binary crystal structure fragmentation occurs. The emerging crystallites are rotated with respect to each other and separated by boundary layers which are several atomic distances thick. The main difference between crystal and quasicrystal are phason-like defects which lead to a continuous transition between the range of weak and medium shock waves. For the monatomic crystal structures the Dzugutov potential has been applied to stabilize the structures. Here we find in the range of medium shock waves phase transitions from quasicrystals and approximants to the body centered cubic structure. Depending on the orientation and strength of the shock waves the transition takes places within a few atomic layers or spread out across many layers. In the quasicrystal and the approximants atomic flips are observed in the elastically compress region. Body centered cubic crystals possess an inherent instability along the three-fold axes. In many materials, this leads to a phase transition to the so-called omega-phase. In our case the omega-phase is stable only in a small range of compression, thus a forth- and back-transformation from body centered cubic to the omega-phase takes place, as long as the phase transition front moves slower than the speed of sound. If this is no longer the case, solitons shock up which contain in their interior. In summary several differences could be observed between crystals and quasicrystals. The results obtained for the Dzugutov potentials are comparable to the outcome of simulation of shock waves in iron with materials-specific interactions.
Open Access
Computer simulations of laser ablation from simple metals to complex metallic alloys
(2011) Sonntag, Steffen; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
In this work, a method for computer simulations of laser ablation in metals is presented. The ambitious task to model the physical processes, that occur on different time and length scales, is overcome to some extent by the combination of two techniques: Molecular dynamics and finite differences. The former is needed to achieve atomistic resolution of the processes involved. Material failure like melting, vaporization or spallation occur on the atomic scale. Light absorption and electronic heat conduction, which plays the major role in metals, is described by a generalized heat conduction equation solved by the finite differences method. From the so-called Two-Temperature Model temperature, density and pressure evolution - both in time and space - can be derived. With this, various studies on laser heated metals were done. For reasons discussed in more detail later, aluminum was chosen as a model system for most simulations on isotropic materials. As a more complex structure, the metallic alloy Al13Co4 was used because of its special material properties. As an approximant to the decagonal phase of Al-Ni-Co, the alloy shows an anisotropy in its transport properties, e.g. an anisotropic heat conduction. It will be shown, that the model is able to describe the physics in laser heated solids on time scales from 100 fs up to the ns-scale properly. Great insight was gained about the processes occuring during and shortly after the laser pulse. Many of the quantities interesting for experimentalists can be predicted by the theory. From the simulations relevant parameters like the electron-cooling time or the important ablation threshold were calculated. All values match their experimental counterpart very well.
Open Access
Crack propagation in decagonal and icosahedral quasicrystals
(2004) Rudhart, Christoph Paul; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
In the pressent work the propagation of cracks in two-dimensional decagonal and three-dimensional icosahedral model quasicrystals under mode I loading is studied by means of molecular dynamics simulations. The dependence on temperature, applied load and underlying structure has been investigated in particular. The samples are endowed with an atomically sharp crack and loaded by linear scaling of the displacement field. Subsequently the response of the system is monitored by molecular dynamics simulations. In the decagonal systems three different regimes of propagation are discernable with increasing temperature: For low temperatures the crack velocity grows monotonically with the applied load. We observe that the crack follows the path of dislocations nucleated at its tip. For temperatures above 30% of the melting temperature the crack does not remain atomically sharp but is blunting spontaneously. In the temperature range between 70% and 80% of the melting temperature the quasicrystal fails by nucleation, growth and coalescence of micro voids. This gradual, dislocation-free crack extension is caused by plastic deformation which is mediated by localized rearrangements comparable to so-called shear transformation zones. These are also observed in amorphous solids. In conclusion at low temperatures the crack propagates along crystallographic planes just like in periodic crystals, whereas a glass-like behavior is dominant at high temperatures. In the icosahedral quasicrystals brittle fracture without any crack tip plasticity is observed irrespective of the orientation of the cleavage plane and the propagation direction. The fracture surfaces are not flat but show a pronounced roughness on the atomic scale, comparable to that observed experimentally. The magnitude of the roughness depends on both the cleavage plane and the propagation direction. The clusters inherent in the structure are not strictly circumvented but are cut to some extent by the moving crack. However, a detailed analysis of the fractured samples indicates that the roughness of the fracture surfaces can be assigned to the occurrence of the clusters.
Open Access
Development and test of interaction potentials for complex metallic alloys
(2008) Brommer, Peter; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Complex metallic alloys and quasicrystals show extraordinary physical properties relevant for technological applications, for example hardness at low density. In the study of these systems, atomistic simulation with classical interaction potentials is a very promising tool. Such simulations require classical effective potentials describing the cohesive energy as a function of the atomic coordinates. The quality of the simulation depends crucially on the accuracy with which this potential describes the real interactions. One way to generate physically relevant potentials is the force matching method, where the parameters of a potential are adjusted to optimally reproduce the forces on individual atoms determined from quantum-mechanical calculation. The programme package potfit developed as part of this thesis implements the force matching method efficiently. Potentials are generated for a number of complex metallic alloy systems. A potential for the decagonal basic Ni-rich Al-Co-Ni quasicrystal is used to simulate diffusion processes and melting. In the CaCd6 system built from multishelled clusters, the shape and orientation of the innermost cluster shell is studied. Finally, phonon dispersion in the Mg-Zn system is determined and compared to experiment. The programme potfit is shown to be an effective tool for generating physically justified effective potentials. Potentials created with potfit can greatly improve the understanding of complex metallic alloys through atomistic simulations.
Open Access
Dynamics and defects of complex crystals and quasicrystals : perspectives from simple model systems
(2008) Engel, Michael; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Komplexe Kristalle und Quasikristalle sind geordnete Festkörperstrukturen mit sehr großen beziehungsweise unendlichen großen Einheitszellen. Ihre Teilchendynamik unterscheidet sich grundlegend von derjenigen der einfachen Kristalle: Aufgrund der strukturellen Komplexität treten lokale Umordnungen, sogenannte Phasonflips, und neueartige Versetzungen auf. Um das Verhalten auf einer elementaren Ebene zu verstehen, werden drei ein- und zweidimensionale Modellsysteme eingeführt. Die Systeme werden sowohl analytisch, als auch mit numerischen Simulationen untersucht. (i) Die Strukturfaktoren der dynamischen Fibonacci-Kette wurden in hoher Auflösung berechnet. Sie zeigen eine charakteristische Verbreiterung der Phonondispersionsrelation. Die Teilchendynamik im Realraum zeichnet sich durch Soliton- und Breathermoden aus, welche zusammen mit Phasonflips auftreten. (ii) Mit Hilfe eines Tilingmodells wurde die experimentelle Beobachtung von Metaversetzungen im intermetallischen System AlPdMn und die damit verbundene kollektive strukturelle Umordnung erklärt. Die Burgersvektoren der Versetzungen können aus Energieüberlegungen abgeleitet werden. (iii) Im Lennard-Jones-Gauß-System treten eine überaschende Vielzahl an zweidimensionalen komplexen Kristallen, ein dekagonaler und zwei dodekagonale Quasikristalle auf. Bei Temperaturen nahe des Schmelzpunktes ordnen sich die Teilchen per Phasonflips um. Während des Abkühlens transformieren sich die entropisch stabilisierten Quasikristalle reversibel in komplexe Kristalle. Mit dem Lennard-Jones-Gauß-System ist es zum ersten Mal möglich, das Wachstum, die Gleichgewichtsdynamik und die Defekte von Quasikristallen und komplexen Kristallen in Simulationen zu untersuchen.
Open Access
Dynamik von Disklinationen in anisotropen Fluiden
(2002) Reichenstein, Michael; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Flüssigkristalle vereinen das Fließverhalten herkömmlicher Flüssigkeiten mit einer Anisotropie physikalischer Eigenschaften, wie sie in kristallinen Festkörpern auftritt. Die elektro-optische Anisotropie der Flüssigkristalle ist auf die weitreichende Orientierungsordnung der Moleküle zurückzuführen. In dieser Orientierungsordnung ist auch die Ausbildung von linienförmigen Singularitäten möglich, welche als Disklinationen bezeichnet werden. Ihre dynamischen Eigenschaften werden in der vorliegenden Arbeit untersucht. Zu diesem Zweck stellen wir für einen tensoriellen Orientierungsordnungsparameter hydrodynamische Gleichungen auf. Mit Hilfe des Tensorordnungsparameters kann der Kern von Disklinationen physikalisch korrekt wiedergegeben werden. Zusätzlich zur Navier-Stokes-Gleichung für die Fließdynamik erhalten wir aus der Drehimpulsbilanz eine Gleichung, welche die zeitliche Entwicklung des Ordnungsparameters bestimmt. Das gekoppelte Gleichungssystem wird numerisch integriert, wobei wir unsere Aufmerksamkeit auf zwei verschiedene Konfigurationen richten. Zunächst betrachten wir die Bewegung, Nukleation und Annihilation von Disklinationslinien als Ganzes. Durch Anlegen einer elektrischen Spannung an eine sogenannte Multidomänenzelle kann der Schaltvorgang beim Einsatz in der Displaytechnologie simuliert werden, bei dem auch die Defektbewegung eine Rolle spielt. Durch leicht veränderte Randbedingungen können in der Multidomänenzelle auch Nukleation und Annihilation von Disklinationen beobachtet werden. Anschließend untersuchen wir die Reibungskraft, die auf einen Disklinationskern in einer homogenen Strömung wirkt. Um die zugehörigen statischen Ordnungsparameterfelder zu erhalten, verwenden wir als Fernfeld der Disklination den analytischen Ausdruck für einen uniaxialen Tensor. Das Ergebnis der Energieminimierung ist ein oblat-uniaxialer Defektkern, welcher von einem Ring maximaler Biaxialität umgeben ist. Das Feld außerhalb des Kerns bleibt prolat-uniaxial. Die derart erzeugte Disklinationsline bringen wir nun in eine homogene Strömung. Wir berechnen die Stromlinien und die Divergenz des Spannungstensors. Aus letzterer erhalten wir die Reibungskraft pro Längeneinheit der Disklinationslinie. Das Ergebnis ist eine "negative" Reibungskraft, welche entgegen der Strömungsrichtung gerichtet ist.
Open Access
Effective potentials for numerical investigations of complex intermetallic phases
(2013) Schopf, Daniel; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
The class of Complex Metallic Alloys (CMAs) is interesting for its wide range of physical properties. There are materials that exhibit high hardness at low density or good corrosion resistance, which is important for technological applications. Other compounds are superconductors, have strong anisotropic transport coefficients or exhibit a novel magnetic memory effect. The theoretical investigation of CMAs is often very challenging because of their inherent complexity and large unit cells with up to several thousand atoms. Molecular dynamics simulations with classical interaction potentials are well suited for this task – they can handle hundreds of thousands of atoms in reasonable time. Such simulations can provide insight into static and dynamic processes at finite temperatures on an atomistic level. The accuracy of these simulations depends strongly on the quality of the employed interaction potentials. To generate physically relevant potentials the force-matching method can be applied. A computer code called potfit has been developed at the Institute for Theoretical and Applied Physics (ITAP) especially for this task. It uses a large database of quantum-mechanically calculated reference data, forces on individual atoms and cohesive energies, to generate effective potentials. The parameters of the potential are optimized in such a way that the reference data are reproduced as accurately as possible. The potfit program has been greatly enhanced as part of this thesis. The optimization of analytic potentials, new interaction models as well as a new optimization algorithm were implemented. Potentials for two different complex metallic alloy systems have been generated and used to study their properties with molecular dynamics simulations. The first system is an approximant to the decagonal Al-Pd-Mn quasicrystal. A potential which can reproduce the cohesive energy with high accuracy was generated. With the help of this potential a refinement of the experimentally poorly determined structure model could be performed. The second class of potentials was fitted for intermetallic clathrate systems. They have interesting thermoelectric properties which originate from their special structure. Silicon- and germanium-based clathrate potentials were derived and the influence of the complex structure on the thermal conductivity has been studied.
Open Access
Elektronentheorie der dissipativen Magnetisierungsdynamik : anisotrope und nichtlokale Effekte
(2010) Seib, Jonas; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Das Verständnis der dissipativen Magnetisierungsdynamik spielt eine Schlüsselrolle bei der Entwicklung zukünftiger Datenverarbeitungs- und Speichertechnologien auf magnetischer Basis. Mikromagnetische Simulationen dynamischer magnetischer Systeme basieren meist auf der Gilbertgleichung, die Relaxationsprozesse durch einen Dämpfungsterm mit phänomenologischem Dämpfungsskalar beschreibt. In der vorliegenden Arbeit werden Modelle vorgestellt, diskutiert und erweitert, die den mikroskopischen Dämpfungsmechanismus durch Anregung und Relaxation von Elektron-Loch-Paaren beschreiben. Während die Anregung der Elektron-Loch-Paare durch Größen beschrieben wird, die mit der ab-initio Spin-Dichte-Funktional-Theorie berechnet werden können, werden die Relaxationsprozesse durch eine phänomenologische Relaxationszeit behandelt. Es werden dissipative Bewegungsgleichungen für die Dynamik magnetisch kollinearer und nichtkollinearer Systeme abgeleitet und diskutiert. In kollinearen Systemen enthält der Dämpfungsterm eine im Allgemeinen von der Richtung der Magnetisierung abhängige Dämpfungsmatrix. Damit treten prinzipiell zwei Arten der Anisotropie, die "rotational" und die "orientational" Anisotropie auf. Es wird gezeigt, dass in der Ferromagnetischen Resonanz, über die Linienbreite der absorbierten Leistung, nur die "orientational" Anisotropie eines effektiven Dämpfungsskalars beobachtbar ist. Die "rotational" Anisotropie wird ausgeschmiert. In den 3d-Übergangsmetallen Fe, Co und Ni zeigen numerische Untersuchungen, dass beide Arten der Anisotropie nur bei kleinen Streuraten vorhanden sind und beim Übergang zu großen Streuraten verschwinden. Im Seltenerdmetall Gd werden die Anisotropien der Dämpfungsmatrix, die auf das magnetische Moment der Valenzelektronen wirkt, numerisch untersucht und ein ähnlicher Grad der Anisotropie wie in Co festgestellt. Außerdem wird der Beitrag dieser Dämpfung zur Dämpfung des Moments der 4f-Elektronen, vermittelt durch die Austausch-Wechselwirkung, bestimmt. Die für nichtkollineare Systeme abgeleitete Bewegungsgleichung enthält einen nichtlokalen Dämpfungsterm. Die Dämpfungsmatrizen werden hier von der vergleichsweise starken Austausch-Wechselwirkung dominiert, während sie in kollinearen Systemen von der sehr viel schwächeren Spin-Bahn-Kopplung bestimmt sind. In zwei einfachen nichtkollinearen Modellsystemen werden die Eigenschaften der Dämpfungsmatrizen numerisch untersucht. Es wird ein betragsmäßiger Anstieg der Dämpfungsparameter mit dem Grad der Nichtkollinearität festgestellt. Im Vergleich zu kollinearen Systemen sind diese betragsmäßig um eine bis mehrere Größenordnungen größer, wobei die tatsächlich auftretenden effektiven Dämpfungseffekte stark von der Relativdynamik abhängen. Eine abfallende Stärke der Nichtlokalität wird bei wachsendem Abstand in einem der Modellsysteme festgestellt.
Open Access
Die Hintergrundeigenschwingungen der Erde
(2009) Kurrle, Dieter; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Gegenstand der Arbeit sind die Hintergrundeigenschwingungen der Erde. Das Ziel war es, die Ursachen der permanenten Anregung der sphäroidalen Fundamentalmoden zu ermitteln, die auch zu Zeiten ohne starke Erdbeben nachgewiesen werden kann. Dies sollte durch die Analyse seismischer Daten geschehen, wobei der Schwerpunkt auf der Anwendung von Methoden der Array-Seismologie - z.B. der Frequenz-Wellenzahl-Analyse - auf die Daten seismischer Breitbandnetzwerke liegen sollte. Die Untersuchung der mit dem German Regional Seismic Network und zwei weiteren Netzwerken in Japan und Kalifornien aufgezeichneten vertikalen Daten ergab, daß die den Hintergrundeigenschwingungen entsprechenden Hintergrund-Rayleigh-Wellen im regelmäßigen jahreszeitlichen Wechsel ihre dominante Ausbreitungsrichtung ändern. Im Nordwinter kamen die stärksten Rayleigh-Wellen aus dem Nordpazifik, im Südwinter aus dem Südatlantik und dem Indischen Ozean. Dies deutet darauf hin, daß die Hintergrundeigenschwingungen ihren Ursprung in den Ozeanen haben. Der Nachweis der Anregung langperiodischer Rayleigh-Wellen im direkten Zusammenhang mit Stürmen über dem Nordatlantik unterstreicht dies. Im Rahmen dieser Arbeit wurde entdeckt, daß neben den sphäroidalen auch die toroidalen Fundamentalmoden permanent angeregt sind. Da alle bisher für die permanente Anregung der fundamentalen Sphäroidalmoden in Betracht gezogenen Modellvorstellungen auf Druckkräften basieren, diese aber wohl nicht in der Lage sind, wie beobachtet zu gleichen Teilen sphäroidale und toroidale Moden anzuregen, erfordert diese Entdeckung ein Umdenken bei der Suche nach den Ursachen. Eine detailliertere Untersuchung der toroidalen Hintergrundeigenschwingungen und ihrer Quellen konnte, da die toroidalen Hintergrundeigenschwingungen im Gegensatz zu den sphäroidalen nur in den mit einem wesentlich höheren Rauschpegel belegten horizontalen seismischen Daten nachweisbar sind, nicht durchgeführt werden.
Open Access
Lattice dynamics of complex metallic alloys
(2011) Euchner, Holger; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Throughout this thesis the lattice dynamics in CMA phases with different structural and dynamical peculiarities have been studied in experiment and simulation. While inelastic neutron and X-ray scattering enabled an experimental approach to dynamical quantities as dispersion curves, vibrational density of states or dynamical structure factors, the theoretical approach was based on ab-initio and molecular dynamics simulations. Experimental results could be analyzed and interpreted by means of computer simulations, thus yielding insight into dynamical processes on an atomistic level. Indeed, this combination of experiment and simulation proved to be a powerful tool for the investigation of different dynamical phenomena. In the Mg-Zn system the impact of structural complexity on vibrational properties was studied. Pure hcp Zn and the MgZn2 Laves phase were used as rather simple reference structures and compared to the structurally more complex Mg2Zn11 Pauling triacontahedral phase. While MgZn2 showed the behavior of an almost perfectly harmonic solid, Mg2Zn11 turned out to exhibit quite unusual dynamical features. In the case of MgZn2 experimental results from INS could be reproduced with high accuracy. For Mg2Zn11 experimental results and DFT calculations first evidenced non-negligible discrepancies. After reinvestigating the structure of Mg2Zn11 with both, experimental and computational methods, a partially occupied Zn site could be spotted as possible source of the occurring discrepancies. Surprisingly, the partially vacant Zn1 position, at the center of the mini-Bergman cluster proved to exert a strong influence on stability and dynamics of this system. After taking vacancy disorder into account, the experimental results could be decently reproduced and differences could be understood. With this knowledge the experimental GVDOS was finally interpreted in terms of distinct atomic motions, thus connecting macroscopic properties with processes on atomistic scale. The second Zn-based CMA phase that was explored, is the ScZn6 1/1-approximant. The structure of this phase is closely related to the Cd-based binary icosahedral quasicrystals in the Cd-Yb and Cd-Ca system, thus making it an interesting phase with respect to structure and dynamics of quasicrystals like Mg-Zn-Sc. Secondly, the ScZn6 1/1-approximant evidences an order-disorder phase transition at about 150 K. The dynamical aspects of this phase transition were investigated throughout this work, using quasielastic neutron scattering and molecular dynamics methods. Interestingly, the phase transition could be shown to be closely related to a freezing in of the tetrahedral shell in the center of the Tsai-type cluster building blocks. In fact, experiment and calculation clearly evidenced a dynamic disorder of the tetrahedral shell above the transition temperature. The tetrahedral shell is constantly reorienting between different, energetically equivalent configurations. From neutron scattering experiments the residence time between two tetrahedron jumps could be estimated to be of the order of a few ps, while it was overestimated by the conducted MD simulations. These results thus answer the controversially debated question about the nature of the disorder in ScZn6 in favor of a dynamic process. Finally the dynamic reorientations of the tetrahedron are highly interesting with respect to entropical stabilization, a possible candidate for quasicrystal stabilization. In the last part of the thesis the clathrate system Ba-Ge-Ni, was studied with respect to its cage-like structure and the resulting effects on its dynamical properties. Inelastic neutron scattering experiments nicely evidenced a flat dispersionless optic-like phonon branch, which by means of DFT could be shown to stem from localized motions of the encaged Ba atoms - so-called rattling modes. The cage structure of the Ba-Ge-Ni clathrates furthermore made a decomposition into different subsystems possible, such that their contributions to the vibrational spectrum could be analyzed. A comparison to a hypothetical Ge46 structure could be used to elaborate the influence of the encaged Ba-atoms and the host-lattice, respectively. Interestingly, the introduction of Ba-atoms creates a localized, dispersionless phonon branch at rather low energy, which interacts with the acoustic modes of the host structure, resulting in a reduction of the velocity of sound. Thus the low lattice thermal conductivity in this phase seems to be related to both, rattling modes of Ba guest atoms and reduced velocity of sound of the host framework.
Open Access
Micromechanical modeling of ferroelectric thin films and bulk ceramics in a multi-scale approach
(2012) Anand, Olena; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
In the present work systematic calculations of piezo- and ferroelectric properties of barium titanate (BTO), lead titanate (PTO) and lead zirconate titanate (PZT) thin films and bulk ceramics are performed using novel multi-scale coupling techniques and one-scale modeling procedures. The results are discussed aiming at the prediction of macroscopic linear and non-linear properties. It is demonstrated that the results of simulations allow the understanding of several previously non-conceivable experimental findings, such as an extremely low dielectric coefficient of PTO ceramics in comparison to the PTO thin film and BTO bulk ceramics. The multi-scale scheme elaborated in this thesis has been shown to possess a high predictability under certain conditions. It might be therefore useful for simulation of further classes of ferroelectrics and for development of new ceramics, for which the experimental data are not yet available. Furthermore, existing approaches realizing realistic grain models are discussed and a new procedure generating 3D periodic extendable grain structures with a given lognormal grain size distribution and periodically extendable finite-element meshes is proposed in the present thesis. By means of such models FE simulations with periodic boundary conditions, giving a more realistic description of thin films and bulk materials, can be performed.
Open Access
Molecular dynamics simulations of precursor-derived Si-C-N ceramics
(2005) Resta, Nicoletta; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
The microscopic mechanisms behind the transformation from the amorphous Si-C-N ceramics to the polycrystalline material are studied by isolating its fundamental steps. Si-C-N amorphous ceramics, amorphous and crystalline silicon carbide, and carbon, are numerically modeled by means of classical molecular dynamics. The interatomic interactions are modeled by the Tersoff many-body empirical potential. In the first part amorphous Si-C-N materials are studied. We show how the atomic structures of these ceramics depend on their chemical composition. Amorphous systems are obtained by rapid cooling from high temperatures. We find that the atomic structures depend on the relative concentration of silicon and nitrogen, regardless of the carbon amount. In particular, for a stoichiometric nitrogen/silicon greater or equal than 4/3, the atoms separate into two amorphous phases, a sp2 hybridized C-rich, and a Si/N-rich one. In this phase, silicon atoms form mainly SiN4 and mixed Si(C,N)4 tetrahedra. Far above the 4/3 ratio, we find Si/N-rich domains, where Si atoms are more than four-fold coordinated, and are surrounded by graphitic monolayers. In another set of simulations, the thermal evolution of a Si-C-N system is followed by annealing it at high temperatures. Volume shrinkage of about 12\% is observed and diffusion activation energies of 3.43 eV for Si, 3.63 eV for C, and 2.94 eV for N are calculated. We find that carbon atoms are the slowest atomic species in the amorphous network. In the second part of this work we study the crystal growth of silicon carbide from the amorphous phase. In a preliminary set of simulations, the study of diamond crystal growth demonstrates that empirical potentials can predict crystallization processes in complex covalent compounds. The crystal growth of a seed of cubic SiC into the amorphous material is then investigated. The dependence of the growth process on the crystallographic orientation of the crystalline/amorphous interface is studied by considering three different crystal planes, namely the {100}, {110}, and {111} planes. We observe the crystal growth only for the {110} and the {111} orientations, but not for the {100} ones. All interfaces after the annealing have a common atomic structure: Silicon {111} layers, triple bonded to the bulk. Moreover, we find that the preferential growth directions are the <110> ones, perpendicular to the {110} surfaces. Crystal growth proceeds by faceting on the {111} planes.
Open Access
Molekulardynamiksimulation der Diffusion in dekagonalen Quasikristallen mit optimierten Wechselwirkungspotentialen
(2007) Hocker, Stephen; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Die etwa 25 Jahre zurückliegende Entdeckung der Quasikristalle erweiterte das Gebiet der Festkörperphysik um einen neuen Strukturtyp. In der Erforschung dieser geordneten, jedoch nicht periodischen Strukturen wurden seither bedeutende Erfolge erzielt. Von verschiedenen Quasikristalltypen konnten zunehmend detaillierte Strukturmodelle erstellt werden. Zunächst wurden in der numerischen Simulation einfache binäre Modellsysteme untersucht, inzwischen sind realistische ternäre Strukturen Gegenstand der numerischen Forschung. Für die Molekulardynamiksimulation solcher Strukturen ist, neben einem geeigneten Strukturmodell, eine gute Modellierung der atomaren Wechselwirkungen erforderlich. Besonders für Simulationen nahe der Schmelztemperatur besteht Bedarf nach einem realistischen Wechselwirkungspotential. Da herkömmliche Potentiale üblicherweise an Parameter der Grundzustandsstruktur angepasst wurden, tendieren diese dazu, bei hohen Temperaturen zu versagen. Die numerische Exploration in diesem Temperaturbereich kann einen wichtigen Beitrag zum Verständnis der Quasikristalle liefern. Diffusionsprozesse, die bedeutend für die Entstehung von quasikristallinen Hochtemperaturphasen sind, können im Fall von Aluminium nur in der Simulation erforscht werden, weil für das übliche Messverfahren kein geeignetes Radioisotop existiert. Da Aluminium ein wesentlicher Bestandteil vieler Quasikristalle ist, ist das Verständnis der Aluminiumdiffusion von großer Bedeutung. Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Aluminiumdiffusion in den dekagonalen Quasikristallen AlNiCo und AlCoCu mittels Molekulardynamiksimulation. Dazu werden zunächst, durch Anpassung an Ab-initio-Daten, Wechselwirkungspotentiale für die Strukturen entwickelt. Mit diesen Potentialen werden Simulationen bei hohen Temperaturen durchgeführt. Die dabei auftretende Diffusion wird ausgewertet und mit Daten aus Ab-initio-Rechnungen verglichen. Die in der vorliegenden Arbeit konstruierten EAM-Potentiale für Hochtemperatursimulationen an dekagonalen Quasikristallen erwiesen sich als geeignet, um grundlegende Eigenschaften der Systeme richtig zu modellieren. Der Vergleich mit der Ab-initio-Rechnung lieferte für alle Atomsorten eine sehr gute Übereinstimmung in den aus der thermischen Bewegung resultierenden Atomaufenthaltswahrscheinlichkeiten der Strukturen. Auch einzelne mit den EAM-Potentialen untersuchten Al-Diffusionsprozesse konnten in der Ab-initio-MD-Simulation bestätigt werden. In den quasikristallinen Strukturen wurde in der klassischen Molekulardynamiksimulation weit reichende Aluminiumdiffusion beobachtet. Die durch Ab-initio-Rechnungen bestätigten Al-Diffusionsprozesse wurden detailliert untersucht. Dabei wurde deutlich, dass die Diffusion in der dekagonalen Ebene über quasikristallspezifische Mechanismen verläuft. Bedeutend ist hierbei die Besonderheit, dass Gebiete existieren, die zur Atomabgabe neigen, während andere ein zusätzliches Atom aufnehmen können. Es finden Kettenprozesse statt, an deren Start- und Endpositionen sich diese Regionen befinden. Charakterisch für diese Gebiete ist, dass die Al-Positionen nicht scharf lokalisiert sind, sondern innerhalb eines Bereichs eine kontinuierliche Al-Aufenthaltswahrscheinlichkeit besteht. In der periodischen Richtung existieren durchgängige Kanäle kontinuierlicher Al-Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Durch diese Kanäle verläuft die Al-Diffusion in periodischer Richtung. Der Diffusionsmechanismus ist hierbei die direkte, synchron verlaufende, Bewegung innerhalb einer Reihe von Atomen. Dabei befinden sich immer drei Atome pro Schicht im Kanal. Bei mehr als drei Schichten findet meist eine Kopplung mit einem Prozess der dekagonalen Ebene statt, wobei ein Atom aus der dekagonalen Ebene in den Diffusionskanal springt, während ein anderes diesen verlässt. In diesem Fall diffundieren nur die sich dazwischen befindenden Atome entlang des Kanals. Zur Diffusion in der dekagonalen Ebene können deutlich mehr Al-Atome beitragen als zu jener in der periodischen Richtung, welche auf die Diffusionskanäle beschränkt ist. Da jedoch die Mobilität der Al-Atome in den Diffusionskanälen deutlich höher ist, liegen die Diffusionskoeffizienten für die periodische Richtung über jenen der dekagonalen Ebene. Die geringe Energiebarriere innerhalb der Diffusionskanäle wurde mit Ab-initio-Rechnungen bestätigt.
Open Access
Numerical simulation of dislocation motion in icosahedral quasicrystals
(2002) Schaaf, Gunther; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
We have simulated shear deformation of an icosahedral model quasicrystal at elevated temperatures with molecular dynamics (MD). For the study of defects like dislocations and phason walls a new visualization method was developed. The generation of a dislocation loop was observed at a critical stress almost as large as the theoretical shear strength. Built-in dislocations started moving at a temperature-dependent critical stress considerably lower. While at zero temperature the dislocation propagated intermittently by large jumps its motion became viscous as temperature increased. The dislocation cores were considerably bulged out due to pinning at obstacles inherent in the structure. A calculation of the energy of a Peierls-Nabarro dislocation moved rigidly through the sample allowed us to determine the dominant obstacles. The results are set in relation to two different models of quasicrystalline plasticity.
Open Access
Numerical simulations of metal-oxides
(2015) Chatzopoulos, Andreas; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Oxides like silicates, alumina or periclase, are materials with significant properties and are therefore investigated extensively in experiment and in theory. The aim of this PhD thesis was to propose and further to develop methods, which make molecular dynamic simulations of oxides with large particle numbers and for long simulation times possible. The work consists of three parts. In the first one the already existing methods for simulating oxides will be discussed, while in the second one their methodological progress will be presented. The third chapter is solely reserved for the phenomenon of flexoelectricity, which has been discovered during the visualization of the crack propagation in alumina.
Open Access
Phason-elastische Energie in dekagonalen Quasikristallen
(2005) Koschella, Ulrich; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Als Shechtman et al. 1984 an einer abgeschreckten AlMn-Legierung Beugungsbilder mit scharfen Bragg-Reflexen und kristallographisch verbotener Symmetrie fanden, war eine neue Klasse von Festkörpern entdeckt. Einerseits muss die Legierung wegen der Bragg-Peaks eine weit reichende Translationsordnung besitzen, andererseits kann diese wegen der Punktsymmetrie nicht periodisch sein. Levine und Steinhardt erklärten dies mit aperiodischen Gittern wie dem zweidimensionalen Penrosemuster oder seinem dreidimensionalen Analogon. Die Beugungsbilder dieser Gitter bestehen aus Delta-Funktionen, und sie können nichtkristallographische Punktsymmetrien aufweisen. Entsprechend der Einheitszelle bei periodischen Gittern gibt es für diese quasiperiodischen Gitter eine endliche Anzahl von Kacheln, die den Raum lückenlos und überlappungsfrei überdecken, wenn man sie an die Gitterpunkte anlegt. Elser und Henley stellten fest, dass auch Zufallsparkettierungen aus denselben Kacheln im Ensemblemittel nichtkristallographische Symmetrie und Beugungsbilder mit Bragg-Reflexen aufweisen. Wegen der perfekten Ordnung sind die quasiperiodischen Gitter ein Modell für energiestabilisierte Quasikristalle, während die Zufallsparkettierungen aufgrund der Konfigurationsentropie ein Modell für entropiestabilisierte Quasikristalle sind. Abweichungen von der quasiperiodischen Ordnung lassen sich mit einer verallgemeinerten, sogenannten phasonischen Verschiebung beziehungsweise deren Gradient, der phasonischen Verzerrung, beschreiben. Parkettierungsmodelle ergeben ein quadratisches Verhalten der freien Energie in dieser phasonischen Verzerrung für die entropiestabilisierten Quasikristalle, während die Locked-State-Theorie für die energiestabilisierten ein nichtanalytisches lineares Verhalten voraussagt. Strukturmodelle für reale Quasikristalle werden durch eine atomare Dekoration der Kacheln beschrieben. Damit sind sie sowohl mit den quasiperiodischen Gittern als auch mit den Zufallsparkettierungen kompatibel. Für die entropiestabilisierten Quasikristalle kann der Übergang vom Parkettierungsmodell zu einer atomaren Struktur gemacht werden, indem man fordert, dass die lokalen atomaren Umgebungen auf der Größenordnung der Kacheln energetisch stark favorisiert sind, die Anordnung dieser Umgebungen zueinander dagegen zufällig erfolgt. Das Verhalten der freien Energie kann somit vom Parkettierungsmodell auf das atomare übertragen werden. Für die energetische Stabilisierung werden bestimmte Kachelkonfigurationen, die gegen Anlegeregeln verstoßen, mit Strafenergien belegt. Es ist a priori nicht klar, wie man diese Energiebewertung auf atomare Wechselwirkungen übertragen kann. Das nichtanalytische Verhalten der freien Energie wurde deshalb noch nicht in einem atomaren Modell beschrieben. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der energetischen Stabilisierung eines atomaren zweidimensionalen Modellquasikristalls mit dekagonaler Symmetrie. In molekulardynamischen Relaxationssimulationen wird durch Aufbringen verschiedener phononischer und phasonischer Verzerrungen die Abhängigkeit der Energie von den Verzerrungen bestimmt. Es wird eine Entwicklung der freien Energie nach der phasonischen Verzerrung vorgestellt, die durch die atomaren Wechselwirkungen parametrisiert ist. Diese Entwicklung liefert zum einen die allgemeine Abhängigkeit der freien elastischen Energie von der phasonischen Verzerrung, zum anderen kann man vorhersagen, wie atomare Wechselwirkungen aussehen müssen, damit sie einen Quasikristall energetisch stabilisieren. Um den Quasikristall und seine Approximanten mit dem Grundzustand vergleichen zu können, wurden Monte-Carlo-Kühlsimulationen durchgeführt. Die Relaxationssimulationen und die Entwicklung für kleinere Abschneideradien ergeben eine quadratische Abhängigkeit der freien elastischen Energiedichte von der phasonischen Verzerrung bei Temperatur null. Über dieses quadratische Verhalten können bei entsprechender Wahl der Potentiale lokale Umgebungen favorisiert werden. Die Radien dieser Umgebungen liegen in der Größenordnung des Abschneideradius der Potentiale. Das Resultat ist ein Supertile-Random-Tiling, eine weit reichende quasiperiodische Ordnung kann nicht erzeugt werden. Erst bei sehr großen Abschneideradien der Potentiale, deutlich größer als man sie üblicherweise annimmt, zeigt die freie elastische Energiedichte nichtanalytisches Verhalten in der phasonischen Verzerrung, wie es benötigt wird, um mit einer endlichen Reichweite der Wechselwirkung eine perfekte quasiperiodische Ordnung zu erzeugen. Die Potentiale müssen starke Gradienten aufweisen, die bei diesen großen Abständen sehr genau positioniert sein müssen. Aus den Ergebnissen kann man schließen, dass der Locked-State wohl ein akademisches Modell ist, reale Tieftemperatur-Quasikristalle muss man sich als eingefrorene Supertile-Random-Tilings mit globaler phasonischer Verzerrung null und kleinen Fluktuationen vorstellen.
Open Access
Phasonendynamik in dekagonalen Quasikristallen
(2014) Lipp, Hansjörg; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Quasikristalle weisen mehr an Freiheitsgraden auf als die üblichen phononischen: Es gibt sogenannte phasonische Flips, atomare Sprünge zwischen nahe beieinanderliegenden Minima in der komplexen Energielandschaft dieser Festkörper. Sowohl diese anharmonischen Potentiale als auch die Existenz des phasonischen Freiheitsgrads haben großen Einfluss auf die thermodynamischen und mechanischen Eigenschaften der Quasikristalle. Hierzu gibt es experimentelle Befunde von K. Edagawa et al., die in der vorliegenden Arbeit theoretisch untersucht werden. Einerseits wurde eine über Dulong-Petit hinausgehende Wärmekapazität festgestellt, als deren Ursache der zusätzliche Freiheitsgrad vermutet wurde. Diese Arbeit untersucht eindimensionale Modellsysteme, die Teilchenflips zulassen und in denen Teilchen gemäß einem anharmonischen Doppelmuldenpotential wechselwirken. Dazu werden Molekulardynamiksimulationen durchgeführt und analytische Rechnungen angestellt. Dabei stellt sich heraus, dass die thermodynamischen Eigenschaften dieses Systems hauptsächlich vom Wechselwirkungspotential bestimmt werden. Die Wärmekapazität lässt sich daher analytisch berechnen und weist allein aufgrund der Anharmonizität einen erhöhten Wert auf. Der größere zweite Teil der Arbeit behandelt von Edagawas Gruppe durchgeführte elektronenmikroskopische Aufnahmen von dekagonalem Al-Cu-Co. Hier beobachtete Edagawa helle Flecken, die an den Vertices eines Tilings lagen und sich im Laufe der Zeit ähnlich einem Phasonenflip änderten: Sie erschienen und verschwanden auf erratische Weise. Bemerkenswert war hierbei die Zeitskala: Die Intensitätsschwankungen der Flecken erfolgen im Sekunden- und Minutenregime, während man aus Neutronenbeugungsexperimenten weiß, dass atomare phasonische Flips in diesen Systemen im Pikosekundenbereich vorkommen. Dekagonales Al-Cu-Co besteht aus periodisch angeordneten Doppelschichten. Jede Doppelschicht kann entsprechend einem Strukturmodell von Zeger et al. als Tiling von Rauten betrachtet werden, die mit Atomen dekoriert sind. In übereinander liegenden Rauten können die Atome zwischen verschiedenen Flippositionen springen. Dementsprechend werden statistische Modelle übereinander liegender Rauten erstellt, die verschiedene diskrete Zustände annehmen können. Diese Rauten können ihren Zustand entsprechend umgebungsabhängiger Sprungraten in einem Zufallsprozess ändern, wodurch die Schichten gekoppelt sind. Definiert man nun die mesoskopische Sichtbarkeit eines hellen Flecks über gemeinsame Zustände mehrerer übereinander liegender Rauten, so kann man die Sprungraten und Sichtbarkeitswahrscheinlichkeiten der Flecken untersuchen. Dies erfolgt in der vorliegenden Arbeit analytisch und mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen. Dabei zeigt sich, dass sich im System übereinander liegende Rauten gleichen Zustands, sogenannte Cluster, bilden, welche die Sichtbarkeit der Flecken bestimmen. Diese Cluster werden in der Zeitentwicklung gebildet, zerstört oder verschoben. Die Verteilung der Clustergrößen weist einen stabilen Gleichgewichtszustand auf, der von der Kopplungsstärke der Rauten abhängt. Die Anzahl der Cluster fluktuiert um den Gleichgewichtswert. Die Abweichungen können über einen neuartigen Zufallsprozess, den "harmonischen Random Walk" beschrieben werden, bei dem die Sprungwahrscheinlichkeit proportional zur Entfernung vom Gleichgewicht ist. Dieser Zufallsprozess stabilisiert den Gleichgewichtszustand und wird zum besseren Verständnis des Systems analytisch und numerisch behandelt. Er erlaubt es, Sprungraten und Sichtbarkeitswahrscheinlichkeiten der Flecken in Simulation und analytischer Rechnung zu bestimmen. Daraufhin werden von K. Edagawa zur Verfügung gestellte Beobachtungsdaten eines HRTEM-Experiments analysiert. Sprungraten und Sichtbarkeitswahrscheinlichkeiten werden extrahiert und mit den theoretischen Ergebnissen verschiedener Modelle verglichen. Dabei zeigt sich eine gute Übereinstimmung des Experiments mit einem aus Doppelschichten aufgebauten System, in dem sich Ringe aus zehn Atomen durch kollektive Flips verschieben können. Die langsame Flipdynamik der Flecken lässt sich also statistisch dadurch erklären, dass sich Atome in vielen Schichten kollektiv bewegen müssen.
Open Access
Physics of inhomogeneous nematic liquid crystals : colloidal dispersions and multiple scattering of light
(1999) Stark, Holger; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
The habilitation thesis deals with two interesting aspects of nematic liquid crystals with an inhomogeneous orientational order induced either by dispersed particles or by thermal director fluctuations. In the first part, the phenomenological description of the nematic phase and its topological defects are reviewed. The second part addresses the physics of nematic colloidal dispersions as a novel challenging type of soft matter. We first investigate the nematic environment of one particle with homeotropic boundary condition. Three possible structures are identified and discussed in detail; the dipole, the Saturn-ring and the surface-ring configuration. Secondly, we treat dipolar and quadrupolar two-particle interactions with the help of a phenomenological theory. Thirdly, we calculate the anisotropic Stokes drag of a particle in a nematic environment which determines its Brownian motion. We then turn our interest towards colloidal dispersions in complex geometries where we identify the dipolar configuration and study its formation. Finally, we demonstrate that surface-induced nematic order above the nematic-isotropic phase transition results in a strongly attractive but short-range two-particle interaction. Its strength can be controlled by temperature and thereby induce flocculation in an otherwise stabilized dispersion. In the third part we study multiple scattering of light from thermal fluctuations of the director. We use this scattering mechanism to test our generalized theory for the diffuse transport of light and its temporal correlations in random anisotropic media. Diffusing light constitutes a successful regime for accessing multiply scattered light. In diffusing-wave spectroscopy it is used to monitor the dynamics of turbid systems. We first provide a review of all the fascinating facets of multiply scattered light, and we introduce the basic theory of diffuse light transport in isotropic systems.
Open Access
Zwei-Fermionen-Systeme in der relativistischen Schrödinger-Theorie
(2007) Pruß-Hunzinger, Stefanie; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
Für lokale Wechselwirkungen zwischen asymptotisch freien Teilchen bietet die QED eine äußerst exakte Beschreibung. Anders sieht es jedoch für gebundene Teilchen aus, wo die Teilchen "kontinuierlich" wechselwirken. Für zwei Teilchen existiert zwar die Bethe-Salpeter-Gleichung, die jedoch diverse Interpretationsprobleme aufwirft; für mehr als zwei gebundene Teilchen gibt es noch keine ausgereiften Ansätze. Für gebundene Mehrteilchenprobleme werden deshalb Energiewerte gewöhnlich zuerst semiklassisch berechnet und dann die entsprechenden QED-Korrekturen hinzu addiert. In der vorliegenden Dissertation werden gebundene Mehrteilchenprobleme auf der Grundlage der Relativistischen Schrödinger Theorie (RST) untersucht. Hierbei handelt es sich um einen alternativen fluiddynamischen Ansatz, der auf einer grundlegend anderen Struktur als die konventionelle Quantenmechanik basiert, indem nämlich zur Beschreibung von Mehrteilchenzuständen keine Produktstruktur sondern eine Summenstruktur (Whitney-Summe) verwendet wird. Zudem wird im Rahmen der RST von einer erweiterten Strukturgruppe Gebrauch gemacht, die es ermöglicht, die Austauschwechselwirkungen zwischen identischen Teilchen und die elektromagnetischen Wechselwirkungen auf dieselbe Weise zu behandeln. Dieser Ansatz ermöglicht es auch, QED-analoge Korrekturen, wie z.B. der Selbstwechselwirkung, auf nicht-störungstheoretische Weise in die Theorie zu integrieren. In der hier vorliegenden Arbeit wird nun der allgemeine RST-Ansatz auf den Fall heliumähnlicher Ionen spezialisiert. Es zeigt sich dabei, dass für den semiklassischen Fall ohne Selbstwechselwirkungskorrekturen die mithilfe der RST gewonnenen Wechselwirkungs- und Ionisierungsenergien in derselben Größenordnung liegen wie konventionelle Rechnungen. Die Einbeziehung von Selbstwechselwirkungskorrekturen erfolgt im konventionellen Fall durch Addition dieser Korrekturen zu den semiklassischen Berechnungen, wohingegen bei der RST die Theorie selbst eine Möglichkeit bietet, die Selbstwechselwirkungen exakt zu behandeln, indem man den RST-Selbstwechselwirkungsparameter ungleich Null wählt. Vergleicht man nun die konventionellen Berechnungen und die analogen RST-Ergebnisse mit den experimentellen Daten, so zeigt es sich, dass die RST-Voraussagen für die Ionisierungs-, bzw. Wechselwirkungsenergien näher an den experimentellen Daten liegen als die konventionellen Berechnungen. Die Übereinstimmung mit den experimentellen Daten wird bei wachsender Kernladungszahl (Z>30) immer besser, wenn man den Selbstwechselwirkungsparameter der RST bei einer möglichst hohen Kernladungszahl festlegt (z.B. Wismuth, Z=83).