05 Fakultät Informatik, Elektrotechnik und Informationstechnik
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Item Open Access Anwendung der Methode der Parabolischen Gleichung in Strahlenkoordinaten zur Analyse dielektrischer Linsenantennen(2007) Maier, Marcus; Landstorfer, Friedrich (Prof. Dr.-Ing. habil.)Die Arbeit behandelt ein neuartiges Verfahren zur Analyse von Linsenantennen, d.h. zur Berechnung der Eigenschaften der Linse als dielektrischer Streukörper mit dem Ziel, die Richtcharakteristik der gesamten Antenne zu bestimmen. Für die Analyse von dielektrischen Linsen sind bisher zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren gebräuchlich, die Geometrische Optik und asymptotisch exakte Methoden. Bei Linsen, die sehr groß gegenüber der Wellenlänge sind, kommt das strahlenbasierte Verfahren der Geometrischen Optik in Betracht. Dieses setzt aber voraus, dass ein einziger Strahl eine lokal ebene Welle repräsentiert und Strukturen, auf die ein Strahl trifft, groß gegenüber der Wellenlänge sind. Die Folge ist eine zunehmende Ungenauigkeit der Geometrischen Optik, je kleiner die Linse wird. Eine unabhängig von der Linsengröße genaue Möglichkeit zur Analyse von dielektrischen Linsen besteht in der Verwendung von sogenannten asymptotisch exakten Verfahren wie der Momentenmethode (MoM) oder Finiten Differenzen im Zeitbereich (FDTD). Für deren effiziente Anwendung ist die Linse mit ihrem Durchmesser von mehreren Wellenlängen bis einigen zehn Wellenlängen jedoch i.Allg. zu groß, d.h. die Analyse erfordert eine beträchtliche Rechenzeit und hat einen erheblichen Bedarf an Speicherplatz. Die Tatsache, dass die Linse für die Anwendung der Geometrischen Optik eher zu klein und für die Verwendung asymptotisch exakter Methoden eher zu groß ist, erfordert das Beschreiten eines Mittelwegs. Ein solcher ist aus dem Gebiet der Wellenausbreitung bekannt, und zwar die Methode der Parabolischen Gleichung (PE). Es wird diskutiert und anhand von Beispielen gezeigt, inwiefern diese Methode zur Analyse von dielektrischen Linsen, die eine nicht näher festgelegte Form aufweisen, verwendet werden kann. Dabei ist es erforderlich, die Parabolische Gleichung in orthogonalen Strahlenkoordinaten zu lösen. Da es sich um Grundsatzuntersuchungen handelt, erfolgt eine Beschränkung auf das Zweidimensionale. Der Ausgangspunkt für das Aufstellen der Parabolischen Gleichung liegt in der elliptischen Wellengleichung für ein Skalar, der Helmholtzgleichung. In Kapitel 2 werden elektrische und magnetische Vektorpotentiale eingeführt, deren Wellengleichungen angegeben, und es wird aufgezeigt, wie Potentiale und Feldstärken ineinander umgerechnet werden können. Kapitel 3 zeigt den Zusammenhang zwischen Strahlenkoordinaten und kartesischen Koordinaten. Es erfolgt eine Herleitung der Vektoroperatoren, die erforderlich sind, um die skalare Wellengleichung in Strahlenkoordinaten zu formulieren. Kapitel 4 behandelt die Herleitung der Parabolischen Gleichung aus der Helmholtzgleichung. Es wird gezeigt, wie die Parabolische Gleichung mittels finiter Differenzen in Strahlenkoordinaten gelöst werden kann. Gaußsche Strahlen werden kurz gestreift, da die Summation gaußscher Strahlen mit der bei der Linsenanalyse häufig anzutreffenden Überlagerung von Elementarquellen verwandt ist. Die gebräuchlichen Methoden zur Analyse dielektrischer Streukörper werden in Kapitel 5 genannt. Neben der Geometrischen Optik und der Verwendung asymptotisch exakter Methoden wird auf die die Fresnel-Integral-Methode eingegangen. Kapitel 6 widmet sich den Besonderheiten bei der Anwendung der Methode der Parabolischen Gleichung auf die Analyse von Linsenantennen. Der Schwerpunkt liegt in einer Erörterung, auf welche Art und Weise der Verlauf der Ausbreitungswege festzulegen ist, entlang derer die Parabolische Gleichung schrittweise gelöst wird. Bei der Analyse von Linsenantennen ist es zweckmäßig, die Parabolische Gleichung ausgehend von der Linseneintrittsfläche zu lösen. Es wird ein Verfahren aufgezeigt, wie die Parabolische Gleichung in Bereichen gelöst werden kann, in denen die Ausbreitungswege nicht im rechten Winkel zur Anfangsfront stehen. Dadurch ist es möglich, im Verlauf einer Rechnung zwischen zwei Koordinatensystemen umzuschalten, z.B. um sich schneidende Strahlen zu vermeiden oder die Richtung der Ausbreitungswege an die tatsächliche Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle anzupassen. Anwendungsbeispiele sind in Kapitel 7 zu finden. Zunächst wird gezeigt, wie sich schräg von einer Anfangsfront abgehende Ausbreitungswege in der Praxis bewähren und wie das Ergebnis durch eine während der Berechnung zweifach erfolgte Anpassung des Verlaufs der Ausbreitungswege an die zu erwartende Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle verbessert werden kann. Anschließend wird eine aus der Literatur bekannte Linsenantenne analysiert und das Ergebnis mit der Berechnung nach einer asymptotisch exakten Methode verglichen. Dadurch kann gezeigt werden, dass die Methode der Parabolischen Gleichung die Probleme der Geometrischen Optik bei kleinen Streukörpern zu überwinden hilft, ohne dass ein Rechenzeit- und Speicherplatzaufwand entsteht, wie er bei den asymptotisch exakten Methoden anzutreffen ist.