Berechnung instantaner Raten für getriebene Systeme mit Rang-1-Sattel unter Verwendung der linearisierten Bewegungsgleichungen

Abstract

Zum Verständnis von vielen physikalischen Systemen ist es von fundamentaler Bedeutung, die Gestalt des zugehörigen Potentials zu untersuchen. Diese können allerlei Formen annehmen. So lässt sich der harmonische Oszillator z.B. durch ein parabelförmiges Potential beschreiben, oder die Dynamiken in unserem Sonnensystem über ein Zentralpotential. Für chemische Reaktionen wird das zugrunde liegende Potential durch ein Born-Oppenheimer Potential beschrieben. Hierbei findet eine Reaktion im statischen 1D-Fall genau dann statt, wenn ein effektives Teilchen eine Potentialbarriere überwindet. Die Theorie des Übergangzustandes (engl. Transition State Theorie, TST) ist eine Theorie zur Beschreibung von solchen Reaktionsprozessen, welche dabei auf Methoden der klassischen Mechanik zurückgreift. Für Systeme mit mehreren Freiheitsgraden ist eine solche Reaktion immer mit der Überwindung eines Rang-1 Sattelpunktes verbunden. Dieser ist dadurch ausgezeichnet, dass er in genau einer Richtung, der sogenannten Reaktionskoordinate x, verlassen werden kann. Die Betrachtung solcher Systeme erfolgt hierbei über die Untersuchung des resultierenden Phasenraumes. Während eine Reaktion beschreibt, wie ein Teilchen die Potentialbarriere überwindet, beschreibt der Zerfall, wie ein Teilchen den Übergangszustand verlässt. Der Übergangszustand befindet sich beispielsweise im 1D-Fall bei dem Hochpunkt der Potentialbarriere. Zur Bestimmung von Zerfallsraten wird daher betrachtet, wie sich Trajektorien, die in der Nähe der NHIM initialisiert werden, zeitlich entwickeln. Für die Berechnung der Zerfallsraten ist es notwendig, die Steigungen der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit zu kennen. Eine am ITP1 entwickelte Methode, die Local Manifold Aanalysis, LMA, bestimmt diese Steigungen mithilfe einer Intervallschachtelung. Für zeitlich getriebene Systeme ist das numerisch sehr kostspielig, da hier für jeden Zeitpunkt separat die zugehörige instantane Zerfallsrate berechnet werden muss. Ziel dieser Arbeit ist es, eine neue Methode für ein bereits gut bekanntes Modellsystem zu erproben und zu implementieren, die die Ratenberechnung numerisch günstiger vollzieht. Dafür sollen die linearisierten Bewegungsgleichungen des Systems gelöst werden. Mit der sich hieraus ergebenden Fundamentalmatrix ist es dann analytisch möglich, instantane Raten zu berechnen. Diese Methode wird vom Autor konvergierte Fundamentalmatrix Methode (engl. Converged Fundamentalmatrix Method, CFM) getauft.