A domain decomposition method for the efficient direct simulation of aeroacoustic problems

Abstract

A novel domain decomposition approach is developed in this thesis, which significantly accelerates the direct simulation of aeroacoustic problems. All relevant scales must be resolved with high accuracy, from the small, noise generating flow features (e.g., vortices) to the sound with small pressure amplitudes and large wavelengths. Furthermore, the acoustic waves must be propagated over great distances and without dissipation and dispersion errors. In order to keep the computational effort within reasonable and feasible limits, the calculation domain is divided into subregions with respect to the local physical requirements. In these domains, the numerical method which is most suitable and optimized for the considered subproblem is employed. The proposed method differs from established approaches, e.g. the grid coupling is not limited to Chimera techniques but presents a consistent way for the space-time coupling of high order methods. Various domain decomposition options are examined and implemented in a common code framework.

In the subdomains, the Navier-Stokes, Euler and linearized Euler equations are solved, for which methods from the discontinuous Galerkin (DG), finite volume (FV) and finite difference (FD) class are available with their respective special properties. For example, DG methods are very suitable for highly accurate solutions on unstructured grids due to their locality, while FD methods are very efficient on Cartesian grids for the simulation of linear wave propagation. In turn, FV methods are very robust in the presence of strong gradients, e.g. shocks. All implemented methods have in common, that they are explicit one-step time integration schemes and thus are especially applicable for unsteady calculations. Furthermore, their order of accuracy in space and time may be chosen arbitrarily. A newly developed numerical solver, the STE-FV method on Cartesian grids, closes the gaps in the repertoire of numerical schemes in the coupling framework. It forms a fast high order method that features great robustness also at nonlinearities by employing a WENO algorithm. For validation purposes, convergence studies and benchmark tests, e.g. the popular double Mach reflection in 2D and an explosion in 3D, are performed for the STE-FV method with orders in space and time up to six and beyond.

The coupling of different grids is based on high order interpolations and the data exchange over the ghost elements of the calculation domains. The Gauss integration points in the cells are used here in order to find a source domain for the interpolation and for providing high order boundary conditions afterwards. The grids are not required to be matching or overlapping. Furthermore, arbitrary constellations of structured and unstructured grids are possible. The optimal time steps, which can be different of each other, are allowed in the subregions. This is made possible by employing the Cauchy-Kovalevskaja procedure, which delivers a Taylor series that provides boundary information for the intermediate points of time for domains with a smaller time step. The implementation structure inside the code framework is largely modular. The fluid and acoustics solvers can be used as stand-alone codes, and also new ones can be easily added. Furthermore, external programs, which may run on separate computer systems, can be linked to the framework. The distribution to different system architectures is also possible for the internal solvers. Hence, the respective properties of the numerical methods regarding vectorization and parallelization can be exploited in an optimal way.

It is shown on the basis of convergence studies for different constellations of grids, equations and methods, that the domain decomposition approach is capable of maintaining high order of accuracy globally. An examination regarding high-frequency perturbations reveals a natural filtering process if perturbations cannot be resolved on a coarse mesh anymore. Hence, a spatial filtering operator is not a necessity. Another study shows, that the magnitude of reflections occurring at the domain boundaries are in good accordance with theoretical estimations. Besides the change from nonlinear to linear equations, also the jump in resolution matters in this context. However, the reflections are negligible in general.

The accuracy and efficiency of the proposed domain decomposition method is illustrated for benchmark examples like the acoustic scattering at a sphere or at multiple cylinders and for the Von Karman vortex street. Here, especially the method's potential for efficient far field calculations becomes clear, but also the advantages in the presence of complex geometries are emphasized. Finally, the simulation of a nozzle flow with a supersonic free jet and the associated noise underlines the practical applicability of the domain decomposition approach.

In dieser Arbeit wird ein Gebietszerlegungsverfahren entwickelt, welches die direkte Simulation von aeroakustischen Problemen erheblich beschleunigt. Alle relevanten Skalen müssen hier sehr genau aufgelöst werden, von den kleinen, Schall produzierenden Strömungsphänomenen, die relativ viel Energie enthalten (z.B. Wirbel), bis hin zum langwelligen Schall mit niedrigen Druckamplituden, der über eine große Distanz und ohne Dissipations- und Dispersionsfehler transportiert werden muss. Damit der Rechenaufwand nicht die Möglichkeiten heutiger Computer übersteigt, bzw. um lange Rechenzeiten auf ein wirtschaftlich vertretbares Maß zu verkürzen, wird das Rechengebiet gemäß der auftretenden physikalischen Phänomene aufgeteilt. In diesen Untergebieten wird dann ein möglichst optimales und auf das Teilproblem zugeschnittenes Verfahren verwendet. Das vorgestellte Verfahren unterscheidet sich dabei von bisher üblicherweise eingesetzten Techniken. So beschränkt sich die Gitterkopplung z.B. nicht auf Chimera-Verfahren, sondern zeigt einen konsistenten Ansatz für die Kopplung in Raum und Zeit von Verfahren hoher Ordnung auf.

Verschiedene Optionen der Gebietszerlegung werden untersucht und in einem übergreifenden Programmgerüst vereint. In den Untergebieten werden die Navier-Stokes-, Euler- und linearisierten Eulergleichungen gelöst, wofür Discontinuous Galerkin (DG), Finite Volumen (FV) und Finite Differenzen (FD) Methoden jeweils mit ihren speziellen Eigenschaften zur Verfügung stehen. So eignen sich DG Verfahren aufgrund ihrer Lokalität für sehr genaue Lösungen auf unstrukturierten Gittern, während FD Verfahren lineare Schallausbreitung besonders effizient auf kartesischen Gittern simulieren. FV Verfahren wiederum sind sehr robust in der Gegenwart von starken Gradienten, z.B. Stößen. Ein im Rahmen dieser Arbeit neu entwickeltes Verfahren, die STE-FV Methode auf kartesischen Gittern, schließt die Lücken in der Auswahl der vorhandenen Löser und stellt ein schnelles Verfahren hoher Ordnung dar, welches durch einen WENO Algorithmus auch bei Nichtlinearitäten robust bleibt. Zur Validierung der STE-FV Methode werden Konvergenztests durchgeführt und Beispiele mit bis zu sechster Ordnung in Raum und Zeit und darüber hinaus gerechnet.

Die Gitterkopplung selbst beruht auf Interpolationen hoher Ordnung und dem Datenaustausch über die Geisterelemente der Rechengebiete. Hier werden die Stützstellen für die Gauß-Integration in den Zellen benutzt, um geeignete Quellgebiete für die Interpolation zu finden und danach die Kopplungsrandbedingungen hoher Ordnung zu setzen. Die Gitter brauchen sich dabei nicht zu überlappen und müssen nicht konform sein, außerdem sind beliebige Konstellationen unstrukturierter und strukturierter Gitter möglich. In den Teilgebieten sind jeweils optimale und voneinander verschiedene Zeitschritte erlaubt, was durch den Einsatz der Cauchy-Kovalevskaja Prozedur ermöglicht wird. Diese stellt eine Taylorreihe in der Zeit zur Verfügung, welche Randdaten für die Zwischenzeitpunkte der Gebiete mit kleinerem Zeitschritt liefert. Die Implementierung im Programmgerüst ist weitgehend modular aufgebaut, so dass die einzelnen Strömungs- und Akustiklöser auch separat verwendet und neue hinzugefügt werden können. Weiterhin besteht die Möglichkeit, externe Programme, die zudem auf einem getrennten Computersystem laufen können, anzukoppeln. Die Verteilung auf verschiedene Rechnerarchitekturen ist ebenso für die internen Rechengebiete möglich, so dass die jeweils unterschiedlichen Eigenschaften hinsichtlich Vektorisierung und Parallelisierung optimal ausgenutzt werden können.

Für das Gebietszerlegungsverfahren wird in Konvergenzstudien bewiesen, dass die hohe Ordnung der eingesetzten Methoden global erhalten bleibt. Untersuchungen bezüglich hochfrequenter Störungen zeigen, dass selbst ohne das Anwenden eines räumlichen Filteroperators eine Art natürliche Filterung stattfindet, wenn die Störungen auf einem groben Gitter nicht mehr aufgelöst werden können. Eine weitere Studie zeigt, dass die Größe der auftretenden Reflektionen an den Gebietsgrenzen gut mit theoretischen Abschätzungen übereinstimmt. Außer dem Wechsel von nichtlinearen zu linearisierten Gleichungen spielt hier auch der Sprung im Auflösungsvermögen eines Verfahrens eine Rolle. Generell sind die Reflektionen so klein, dass sie vernachlässigt werden können.

Die Effizienz und Genauigkeit der vorgestellten Gebietszerlegungsmethode wird anhand von Beispielen wie der akustischen Streuung an einer Kugel und mehreren Zylindern, sowie der Von Karmanschen Wirbelstraße aufgezeigt. Hier wird besonders das Potential des Verfahrens für effiziente Fernfeldrechnungen, aber auch die Einsetzbarkeit beim Vorhandensein komplexer Geometrien deutlich. Die Simulation einer Düse mit supersonischem Freistrahl und des damit verbundenen Lärms unterstreicht schließlich die praktische Anwendbarkeit des Gebietszerlegungsverfahrens.