Nonlinearity assessment and linear control of nonlinear systems

Abstract

Linear control may be favorable over nonlinear control because linear design techniques greatly facilitate the controller design process and because linear controllers impose lower requirements on the implementation of the control law as compared to nonlinear controllers. It is therefore a tempting idea to use linear models and linear controller design methods also for nonlinear systems. However, the assumption of linear dynamics generally implies a modelling error that has to be taken into account in the controller design process.

In this work, a methodology is presented that allows to quantify the degree of nonlinearity of a system’s dynamic behaviour, to derive an optimal linear model, and that allows using this or any other linear model to design a linear controller for the nonlinear system that guarantees stability also for the nonlinear closed loop.

A key component of the underlying concept is to consider the nonlinear behaviour only on a designated operating regime. This way, only nonlinear behaviour is taken into account, that also matters for the practical operation of the nonlinear plant. The presented methodology uses an input-output approach, and the operating regime is characterized by the set of admissible input signals. For special system classes, the nonlinearity measure and best linear model can be determined with given formulas, while optimization techniques are used for general system classes.

The results for controller design are built on concepts from robust control. The nonlinear plant it therefore devided into a nominal linear model and a nonlinear error term. The given stability conditions then allow to design a linear controller for the saturated nominal linear model such that the closed loop remains stable if the nonlinear error term is present.

Die lineare Regelung ist gegenüber der nichtlinearen Regelung vorteilhaft, weil lineare Methoden den Entwurfsprozess vereinfachen und lineare Regelgesetze niedrigere Anforderungen an die technische Realisierung des Reglers stellen als nichtlineare Regelgesetze. Es ist deshalb erstrebenswert, lineare Modelle und lineare Reglerentwurfsverfahren auch für nichtlineare Regelstrecken zu verwenden. Die Annahme einer linearen Dynamik impliziert jedoch im allgemeinen einen nicht vernachlässigbaren Modellfehler, der beim Reglerentwurf berücksichtigt werden muss.

In der vorliegenden Arbeit wird eine Methodik vorgestellt, mit deren Hilfe die Nichtlinearität eines dynamischen Systems quantitativ erfasst werden kann, ein optimales lineares Modell hergeleitet werden kann, und dann anhand dieses oder eines anderen linearen Modells ein linearer Regler für das nichtlineare System entworfen werden kann, der die Stabilität des geschlossenen Kreises garantiert.

Ein entscheidender Punkt des vorgestellten Konzepts ist die Einbeziehung des Arbeitsbereichs der Regelung in die Berechnungen. Auf diese Weise wird nur dasjenige nichtlineare Verhalten berücksichtigt, welches im realen Betrieb auch tatsächlich von Bedeutung ist.

Die vorgestellte Methodik stellt dabei auf das Ein-/Ausgangsverhalten ab, und der Arbeitsbereich ist durch die Menge zulässiger Eingangssignale charakterisiert. Die Bestimmung der Nichtlinearität und des besten linearen Modells erfolgt für spezielle Systemklassen anhand von direkt auswertbaren Formeln, während bei allgemeinen Systemen Methoden der konvexen Optimierung Anwendung finden.

Die Ergebnisse für den Reglerentwurf stützten sich auf Konzepte der robusten Regelungen. Die nichtlineare Regelstrecke wird dabei in ein lineares nominelles Modell und einen nichtlinearen Störterm geteilt. Die angegebenen Stabilitätsbedingungen ermöglichen dann den Entwurf eines linearen Reglers für das lineare gesättigtes nominelle Modell, so dass auch der geschlossene Kreis auch dann noch stabil ist, wenn der nichtlineare Störterm vorhanden ist.