Numerische Verfahren für Polynomsysteme mit Anwendungen in der Robotik

Abstract

Zur Steuerung von Robotern und Werkzeugmaschinen werden Systeme multivariater Polynome gelöst. Diese Gleichungen lassen sich in ein äquivalentes Eigenwertproblem transformieren. Dadurch können die gesuchten Lösungen mithilfe der Eigenwerte und -vektoren in einem Schritt berechnet werden. Diese Methode wird auf allgemeine kinematische Ketten mit sechs Gelenken angewendet, so dass sich auch Roboter ohne Handgelenk steuern lassen. Jedoch ergibt sich ein Polynomsystem, welches auch mit den aktuellen Methoden zum automatisierten Umformen nicht in eine Eigenwertgleichung transformiert werden kann. Um das Problem zu lösen, nutzt man Eigenschaften der Euklidischen Bewegungsgruppe. Dafür wird die kinematische Transformation als Produkt aus Exponentialfunktionen für Matrizen dargestellt. Diese Produktformel gilt in allen Darstellungen der Gruppe. So ergibt sich ein Verfahren, das sich leichter implementieren lässt als bisher bekannte Methoden.

To control robots and machine tools systems of multivariate polynomials need to be solved. These equations can be transformed into an equivalent eigenvalue problem. In doing so, the unknown solutions are obtained in a single step, by means of roots and eigenvectors. This method will be applied to general kinematic chains of six joints, so that three consecutive axes are no longer necessary to form a wrist. However, the resulting system of polynomials cannot be transformed into an eigenvalue problem by state of the art methods of automated symbolic calculations. The problem will be solved by using properties of the Euclidean group. For this purpose, the kinematic transformation is represented as a product of matrix exponential functions. The product formula remains valid in any representation of the group. This approach leads to an algorithm which is easier to implement than previously described procedures.