Stochastic differential equations driven by Gaussian processes with dependent increments and related market models with memory

Abstract

In the last ten years fractional Brownian motion BHt received a lot of attention (e.g. [Be],[GrNo], [HuOk],[HuOkSa], [So] [DeUs], [Oh] and [DuHuPa]). This process has dependent increments, which make it interesting for many applications such as finance (e.g. [HuOk], [Be]) and network simulations (e.g. [No]). However, BHt has a covariance function E(BHt BHs ),which depends only on the Hurst parameter H 2 (0, 1). It follows for example that one cannot model a process with short range dependency with BHt . As a generalization a class of centered Gaussian processes with dependent increments Bvt is defined. If Bvt is used as noise process, it is often important to have an integral driven by this process.Several authors defined the stochastic integral driven by fractional Brownian motion RR XsdBHs . In order to use this integral to explain stochastic differential equations it is desirably that the stochastic integral driven by fractional Brownian motion has expectation value 0. If the integral is defined by use of the Wick product ([Be], [HuOk]) the expectation value of the stochastic integral driven by BHt is zero. Thus this definition is interesting for applications. In order to use the Wick product it was helpful to use white noise distribution theory, because the Wick product is not closed in L2( ). This theory ([HiKuPoSt], [Ku], [PoSt])offers also the possibility to derivate fractional Brownian motion in the Hida distribution sense. Further, it has a lot of advantages in the treatment of the Wick product, e.g. the Wick calculus is closed in the space of the Hida distributions [Be], [La]. So one can define stochastic differential equations by integrating the Wick product of the integrand with the derivative of the fractional Brownian motion and solve the bilinear equation (e.g. [HuOk] ). This approach is formulated here for stochastic differential equations driven by Bvt. In the first chapter the auxiliary results of white noise theory are summarized. It begins in Section 2.1 with the construction of the Schwartz space and its dual, which is later used to define the Hida test and distribution space. In Section 2.2 the class of Gaussian processes Bvt is defined and several properties are shown. The Section 2.3 introduces the Hida test and Hida distribution space. Their construction is using the chaos decomposition theorem and the definition of the Schwartz space. As mentioned before one can derivate certain stochastic processes in the Hida distribution space. This is based on the derivative of a deterministic function in the sense of tempered distributions. Further tools to examine the convergence in the Hida distribution space are part of the following section. There the S-transform and the Wick product are defined. The S-transform is a mapping, which allows to examine stochastic processes in a deterministic manner, as we will see in Chapter 3. At the end of Chapter 2, 4 1 Introduction there are some characterization and convergence theorems referring to elements of the Hida distribution space. In Chapter 3 the derivative of the Gaussian process Bvt will be declared by a derivative in the sense of tempered distributions. In Section 3.1 we define the stochastic integral RR Xs dBvs . Further, conditions are presented under which the integral can be approximated by Riemann sums. Several typical applications of the stochastic integrals are developped like partial integration or solving the bilinear stochastic differential equation driven by Bvt . An existence and uniqueness theorem for solutions of stochastic differential equations is formulated a general one in Section 3.4. In Section 3.2 a stochastic integral driven by a in the Hida sense continuously differentiable stochastic process is discussed. As an example the related Ornstein-Uhlenbeck process is treated. In Section 3.3 we derive a chain formula and variants thereof for stochastic distribution processes, which concides with Itˆo’s rule in the case of Brownian motion. By the S-transform and the Wick product it is possible to obtain the chain rule directly be the derivative of a deterministic function, which makes applications practical and proofs easy. As already mentioned, Section 3.4 presents several theorems on the existence and uniqueness of solutions of stochastic differential equations. The results of this dissertation are already published in the preprints [DiSc] and [DiSc2].

Zahlreiche Anwendungen zur fraktalen Brownschen Bewegung BHt wurden in den letzten zehn Jahren publiziert, siehe [Be], [GrNo], [HuOk],[HuOkSa], [So] [DeUs], [Oh] und [DuHuPa]. Die fraktale Brownsche Bewegung hat abhängige Zuwächse, so dass sie für Anwendungen in Finanzmathematik (siehe [HuOk] und [Be]) und in Netzwerk-Simulationen [No] interessant ist. Die Kovarianzfunktion der fraktalen Brownschen Bewegung lässt sich lediglich durch den Hurst-Parameter verändern. Insbesondere ist es nicht möglich, ein Kurzzeitgedächtnis durch eine Wahl des Hurst-Parameters zu bekommen. Verallgemeinernd wird eine Klasse von zentrierten Gaußschen Prozessen mit abhängigen Zuwächsen Bvt definiert, welche die fraktale Brownsche Bewegung beinhaltet. In Anwendungen dieser Prozesse, insbesondere in der Finanzmathematik in geeigneten Black-Scholes-Modellen, braucht man ein stochastisches Integral, welches durch Bvt getrieben wird. Wenn man das Integral mit dem Wick-Produkt definiert, so ist, wie im bereits bekannten Fall für die fraktale Brownsche Bewegung [HuOk],[Be], gesichert, dass der Erwartungswert des Integrals RR XsdBv s 0 ist. Das Wick-Produkt ist jedoch nicht abgeschlossen in L2(), daher ist es hilfreich White-Noise-Theorie zu benutzen [HiKuPoSt],[Ku],[PoSt]. Mit der White-Noise-Theorie ist es weiterhin möglich, geeignete stochastische Prozesse abzuleiten [Ku],[La],[Be]. Insbesondere ist es gelungen, die bilineare stochastische Differentialgleichung mit fraktalen Brownschen Bewegungen zu lösen [HuOk]. Dieser Ansatz wird für stochastische Differentialgleichungen, getrieben durch Gaußsche Prozesse mit abhängigen Zuwächsen, formuliert. Abschnitt 2.1 beginnt mit der Konstruktion des Schwartzschen Raumes und dessen Dualraum, welche später zur Erstellung der Hida-Test- und Hida-Distributionen-Räume verwendet werden. In dem darauffolgenden Abschnitt 2.2 wird die Klasse der Gaußschen Prozesse Bvt eingeführt. Hierbei werden zahlreiche Eigenschaften dieser Klasse bewiesen und diskutiert. Der Abschnitt 2.3 ist den Hida-Test- und Hida-Distributionen-Räumen gewidmet. Im Abschnitt 2.4 werden die S-Transformation und das Wick-Produkt definiert. Diese sind für die Beweise in den folgenden Kapitel relevant. Mit der S-Transformation und dem Wick-Produkt ist es möglich, stochastische in deterministische Probleme umzuformulieren. Das macht Beweise kurz. Im Abschnitt 2.5 werden Charakterisierungs- und Konvergenztheoreme im Hida-Distributionen-Raum erläutert. Das dritte Kapitel beginnt mit der Ableitung des Gaußschen Prozesses Bvt im Hida-Distributionen-Sinn, welche durch die Ableitung im Sinne der temperierten Distributionen erklärt ist. Im Abschnitt 3.1 wird das stochastische Integral, getrieben durch den Gaußschen 2 Contents Prozess mit abhängigen Zuwächsen, definiert. Dabei wird gezeigt, unter welchen Bedingungen sich das Integral durch Wick-Riemann-Summen approximieren lässt. Weiterhin werden typische Anwendungen des Integrals, wie partielle Integration und das Lösen der bilinearen stochastischen Differentialgleichung, gezeigt. Es ist auch ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen formuliert, diese ist jedoch nicht auf viele Fälle anwendbar, so dass im Abschnitt 3.4 ein allgemeinerer Satz gezeigt und diskutiert wird. Im Abschnitt 3.2 werden allgemeinere Prozesse als der Gaußsche Prozess Bvt betrachtet. Das korrespondierende Integral und die entsprechenden Eigenschaften werden diskutiert. Im Abschnitt 3.3 wird eine Ableitungsregel bewiesen, welche im Falle der Brownschen Bewegung mit der Itˆo-Regel identisch ist. Mehrere Version dieser Ableitungsregel werden vorgestellt. Die Ergebnisse dieser Dissertation wurden bereits in den Preprints [DiSc] und [DiSc2]veröffentlicht.