Zur Topologie quasiperiodischer Tilings

Abstract

In dieser Arbeit wird untersucht, wie Methoden der algebraischen Topologie zur Klassifikation spezieller aperiodischer Parkettierungen beitragen können. Dazu werden die Cech-Kohomologiegruppen ihrer lokaler Isomorphieklassen bestimmt und ein Ansatz für die geometrische Interpretation eines nichttrivialen Torsionsteils in diesen Gruppen aufgestellt. Den lokalen Isomorphieklassen wird daraufhin eine C*-Algebra zugeordnet, deren K-Theorie Aufschluss über physikalische Fragestellungen gibt, wenn die Parkettierung beispielsweise als Modell für einen Quasikristall dient.

In this thesis, we investigate how methods from algebraic topology can contribute to the classification of special kinds of aperiodic tilings. For that purpose, we calulate the Chech cohomology groups of their local isomorphism classes and give an approach to the geometric interpretation of a non-trivial torsion part in these groups. Then we assign a C*-algebra to the local isomorphism classes whose k-theory gives information about physical questions in the case that the tiling models a quasicrystal.