Discretization techniques and efficient algorithms for contact problems

Abstract

This thesis is concerned with the development of efficient numerical solution algorithms for nonlinear contact problems with friction. Such type of problems play an important role in many technical and engineering applications. Thus, the design of discretization techniques and efficient solution strategies is still a challenging task both from the engineering and the mathematical point of view.

Domain decomposition techniques based on finite element methods are a powerful tool to approximate the solution of partial differential equations as they occur in the framework of structural mechanics. Here, we focus on discretization techniques based on the mortar method by introducing an additional unknown named Lagrange multiplier or dual variable in order to formulate the interface constraints between the involved bodies. In the framework of contact problems, where the weak formulation consists of a variational inequality, this additional variable models the contact stresses at the common contact interface. Using standard finite elements for the discretization of the Lagrange multiplier, the contact conditions result in a segment-to-segment approach, where the mechanical inequality constraints can only be resolved by some global optimization procedure on the contact boundary. This can be avoided by working with locally defined dual or biorthogonal basis functions for the Lagrange multiplier space. Then, the segment-to-segment approach is algebraically equivalent to a node-to-segment approach, and the inequality constraints decouple point-wise. Additionally, we are able to transform a two-body contact problem into a one-body problem by a local preprocess, and hence apply the same nonlinear solver. Mathematically, the preprocess is equivalent to a basis transformation; physically, master and slave side are glued together such that the two bodies form a composite material and the displacement on the slave side reflects the relative displacement between the two bodies. In this thesis, we analyze the discretization error of the proposed mortar formulation and give optimal a priori error estimates. A various set of numerical examples are given to confirm the achieved theoretical results.

The decoupled contact constraints provide a basis for the construction of efficient solution algorithms. The presented numerical approaches are semi-smooth Newton methods which are equivalent to a primal-dual active set strategy in the case without friction. The point-wise inequality constraints between the primal variable, i.e., the displacement, and the dual variable, i.e., the Lagrange multiplier, are written as an equality constraint by the use of a semi-smooth nonlinear complementarity function. Even for the case of contact problems including friction with Coulomb's friction law we are able to construct a full semi-smooth Newton algorithm. Due to the use of the dual basis functions for the Lagrange multiplier, we are able to locally eliminate the degrees of freedom for the dual variable. Thus, in each iteration step, we have to solve a linear system with respect to the primal variable, where, the contact constraints enter as boundary conditions of Dirichlet-, Neumann-, or Robin-type. Therefore, existing finite elements codes for structural mechanics can be easily extended to the case of contact problems by using the proposed methods. Using iterative solvers like optimal multigrid methods to solve the arising linear system in each step, we are able to construct inexact strategies, where the linear system is not completely solved in each Newton step. By this, we get an efficient algorithm for solving a fully nonlinear contact problem whose additional cost is negligible compared to solving a linear system. Several numerical examples are provided to investigate the performance and efficiency of the introduced algorithms.

In the last part of this thesis, we extend the proposed formulation and the efficient solution algorithms to more general applications. Firstly, we adapt our solution strategies to the case of dynamical contact problems in combination with nonlinear material laws. Especially, we focus on energy-conserving algorithms. Secondly, we treat thermo-mechanical contact problems, where, the temperature is introduced as an additional unknown. This extension is quite natural since heat is generated due to the mechanical frictional work. Similar as the mechanical Lagrange multiplier takes care on the mechanical contact constraints, a thermal Lagrange multiplier modeling the heat flux across the contact interface is added to enforce the thermal flux conditions over the contact interface. We propose a mortar formulation for this Robin-type thermal interface conditions and extend our contact algorithms to solve the resulting nonlinear problem.

Die numerische Simulation von Vorgngen in Natur und Technik nimmt in heutiger Zeit eine stetig zunehmende Rolle in der Entwicklung neuer Produkte in der Industrie aber auch im Verständnis von Naturphänomenen ein. Selbst in der Medizin werden mittlerweile numerische Simulationsmethoden beispielsweise zur Planung von komplizierten Operationen eingesetzt. Mathematisch werden alle diese Vorgänge mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen beschrieben, deren analytische Lösungen im Allgemeinen nicht bekannt sind. Geeignete Diskretisierungsmethoden, wie beispielsweise Finite Element Methoden in Kombination mit effizienten Lösungsverfahren, stellen daher ein mächtiges Werkzeug dar, um näherungsweise Lösungen dieser Systeme zu erhalten.

Diese Arbeit befasst sich mit der Diskretisierung und der Entwicklung effizienter Lösungsverfahren für Kontaktprobleme in der nichtlinearen Strukturmechanik. Kontaktprobleme spielen nicht nur im Alltag, sondern auch in vielen ingenieurswissenschaftlichen Fragestellungen ein große Rolle. Beispielsweise stellt jede Art der Fortbewegung, sei es das Gehen oder der rollende Reifen eines Autos einen reibungsbehafteten Kontaktvorgang dar. In der Technik findet man derartige Vorgänge zum Beispiel in der Blechumformung oder beim Crash zweier Fahrzeuge. Gerade hier ist man an einer effizienten Simulation bereits im Entwicklungsstadium eines Fahrzeuges sehr interessiert.

Da bei der Simulation solcher Vorgänge meist mehrere Objekte beteiligt sind und diskretisiert werden müssen, stellen moderne Gebietszerlegungsmethoden einen hervorragenden Ausgangspunkt für die Entwicklung effizienter Lösungsalgorithmen dar. Insbesondere eignet sich hierfrü die Mortar-Methode, welche einen mathematisch analysierbaren Zugang liefert, der ein nichtkonformes Vernetzen der beteiligten Objekte an ihren Schnittstellen, den Kontaktflächen, erlaubt. Somit können die Rechengitter den Eigenschaften der einzelnen Objekte separat erzeugt und deren Gestalt optimal angepasst werden. Der Informationsaustausch zwischen den einzelnen Teilgebeiten geschieht bei der Mortar-Methode mit Hilfe einer zusätzlichen Variablen, dem Lagrange-Multiplikator. Im Falle eines Kontaktvorgangs berschreibt dieser gerade die Kontaktkräfte, die zwischen den beteiligten Objekten ausgetauscht werden. Für die diskrete Beschreibung des Lagrange-Multiplikators werden in dieser Arbeit duale Basisfunktionen verwendet. Die Verwendung dieser Basisfunktionen führt zu einer Entkopplung der Kontaktnebenbedingungen an den einzelnen Diskretisierungspunkten an der Kontaktfläche, welche dann einen hervorragenden Ausgangspunkt für die Entwicklung effizienter iterativer Lösungsalgorithmen für das entstehende nichtlineare Gleichungssystem basierend auf nichtglatten Newton-Verfahren darstellt. Somit ist der Zugang mit Mortar-Techniken, der in seiner Grundform eine Segment-to-Segment-Formulierung darstellt, in seiner algebraischen Form äquivalent zu einer Node-to-Segment-Formulierung. Weiter lassen sich aufgrund der Wahl dieser speziellen Basisfunktionen im resultierenden algebraischen Gleichungssystem die zusätzlichen Freiheitsgade für den Lagrange-Multiplikator auf effiziente Weise lokal eliminieren, so dass am Ende nur noch ein auskondensiertes System bezüglich der primalen Variable gelöst werden muss. Nichtglatte Newton-Verfahren gewinnen in modernen Simulationstechniken stetig an Bedeutung. Im Rahmen dieser Arbeit soll ihre Anwendung auf Kontaktprobleme in Kombination mit der Mortar-Methode vorgestellt und untersucht werden.