Torsionseinheiten in ganzzahligen Gruppenringen nicht auflösbarer Gruppen

Abstract

Gegenstand dieser Arbeit ist die Einheitengruppe eines ganzzahligen Gruppenrings ZG einer endlichen Gruppe G, genauer die Torsionseinheiten in dieser Gruppe, d.h. die Einheiten endlicher Ordnung, und ihre Verbindung zur Gruppenbasis G. Hierbei liegt der Schwerpunkt der Arbeit auf nicht-auflösbaren Gruppenbasen. Die im Moment wichtigste offene Fragestellung in diesem Bereich ist die sogenannte Zassenhausvermutung, die besagt, dass jede Torsionseinheit aus ZG in der rationalen Gruppenalgebra QG bis auf Vorzeichen zu einem Element von G konjugiert ist. Als schwächere Version dieser Vermutung ist die Primgraphfrage von Interesse: Sind p und q verschiedene Primzahlen und enthält ZG eine Einheit der Ordnung pq, enthälz dann auch G ein Element der Ordung pq? Weitere Fragestellungen, die in der Arbeit untersucht werden betreffen auch andere, nicht unbedingt zyklische, endliche Untergruppen der Einheiten von ZG, insbesondere p-Gruppen. 2012 gelang es Kimmerle und Konovalov die Primgraphfrage auf fast-einfache Gruppen zu reduzieren, genauer besitztb die Primgraphfrage für eine Gruppe G eine positive Antwort, wenn sie eine positive Antwort für alle fast-einfachen Bilder von G besitzt. Es gelang ihnen hiernach die Primgraphfrage für die fast-einfachen Gruppen, deren Ordnung durch genau drei paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist, zu beantowrten, bis auf zwei Ausnahmen: Die Mathieaugruppe vom Grad 10 und die PGL(2,9). Diese beiden Gruppen besitzen die Ordnung 720 und enthalten die alternierende Gruppe vom Grad 6 als Normalteiler. Die von Kimmerle und Konovalov verwendete Methode, ist die sogenannte HeLP-Methode (Hetwerck-Kuthar-Passi), welche die gewöhnliche Charaktertafel und die Brauertafeln einer Gruppe nutzt. Zur Beantowortung der Primgraphfrage für die beiden oben erwähnten Gruppen wurde im Rahmen dieser Arbeit zusammen mit Andreas Bächle eine neue Methode entwickelt, die Gitter-Methode, mit deren Hilfe es tatsächlich gelang die Primgraphfrage für beide Gruppen zu beantworten. Die Gitter-Methode involviert gewöhnliche, ganzzahlige und modulare Darstellungstheorie und nutzt u.a. Charakter- und Brauertafeln und Zerlegungsmatrizen. Zur Erprobung dieser neuen Methode wurde außerdem die Klasse der fast-einfachen Gruppen gewählt deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist. Zwar gelingt hier mit der HeLP- und Gitter-Methode keine vollständige Antwort auf die Primgraphfrage, es finden sich aber viele interessante Anwendungen der Gitter-Methode. Insbesondere wird sie erstamals für eine unendliche Serie von Gruppen, gewisse PSL(2,p^f) erfolgreich eingesetzt. Weiterhin wird mit diesen Methoden die Primgraphfrage für vier einfache nicht-abelsche Gruppen beantowrtet, somit ist sie jetzt für genau acht einfache nicht-abelsche Gruppen bekannt. In Bezug auf p-Untergruppen werden die folgenden Resultate gezeigt: Ist G = PSL(2,p^f) mit p = 2 oder f = 1, so ist jede Untergruppe von Primzahlpotenzordnung in der Einheitengruppe von ZG bis auf Vorzeichen rational konjugiert zu einer Untegruppe von G. Das wesentliche Resultat hierzu, ist dass jede Einheit von zu p teilerfremder Primzahlpotenzordung zu einem Element von G bis auf Vorzeichen rational konjugiert ist. Hierbei spielen die Voraussetzungen an p und f keine Rolle. Weiterhin wird mit einer Abwandlung der HeLP-Methode gezeigt, dass im ganzzahligen Gruppenring der PSL(2,p^3) jede Untergruppe von Primzahlpotenzordnung isomorph zu einer Untergruppe der Gruppenbasis ist. Dies beantwortet eine Frage von Hertweck, Höfert und Kimmerle für diese Serie von Gruppen.

The subject of this thesis is the unit group of the integral group ring ZG of a finite group G. More precise the torsion units, i.e. the units of finite order, and their connection to the group base G is studied. The emphasis lies on non-solvable group bases G. The main open question condidering the torsion units of ZG is the so-called Zassenhaus Conjecture. It states that any torsion unit in ZG is, up to sign, conjugate in the rational group algebra QG to an element of G. As a weak form of the Zassenhaus Conjecture also the Prime Graph Question is studied: Given different primes p and q such that ZG contains an unit of order pq, does G necessarily contain an element of order pq? Other question studied in this thesis concern more general finite, not only cyclic, subgroups of the unit group of ZG, especially p-subgroups. 2012 Kimmerle and Konovalov suceeded in reducing the Prime Graph Question to almost simple groups. After this achievement they showed that the Prime Graph Question is valid for all almost simple groups whose order is divisible by at most three pairwise different primes with the possible execptions of the Mathieau group of degree 10 and the PGL(2,9). Both these groups have ordr 720 and containing an alternating group of degree 6 as a normal subgroup. To obtain this result they used the so-called HeLP-method, named after Hertweck-Luthar-Passi, which involves character and Brauer tables. To answer the Prime Graph Question for the two groups mentioned above during the work on this thesis a new method was developed in collaboration with Andreas Bächle, the so-called Lattice-method. Using this method the Prime Graph Question for both groups is proved. The Laatice-method involves ordinary, integral and modular representation theory and uses character and Brauer tables and also decomposition matrices. As a further test object of the Lattice-method the class of almost simple groups whose order is divisible by exactly four pairwise diefferent primes is considered. Although the HeLP- and Lattice-method do not give a full answer to the Prime Graph Question for this class many interesting applications of the Lattice-method are given and it is applied successfully for the first time to an infinite series of groups, some specific PSL(2,p^f). Moreover using these method the Zassenhaus Conjecture is proved for four non-abelian simple groups and it is now known for eight non-abelian simple groups. Conserning the p-subgroups of the unit group the following results are obtained: Let G = PSL(2,p^f) with p = 2 or f = 1. Then any subgroup of prime power order in the unit group of the integral group ring of G is, up to sign, rationally conjugate to a subgroup of G. This result is achieved by showing that any torsion unit of prime power order, where is order is prime to the defining characteristic of G, is up to sign rationally conjugate to an element of G. For this result the assumptions on p and f are not involved. Using moreover a variation of the HeLP-method it is shown that any subgroup of prime power order in the unit group of the integral group ring of PSL(2,p^3) is isomorphic to a subgroup of the group base. This answers a question of Hertweck, Höfert and Kimmerle for this series of groups.