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Authors: Göttler, Thorsten
Title: B-Spline Ansatz für die Berechnung des Motional Stark Effekts
Other Titles: B-Spline ansatz for the calculation of the motional Stark effect
Issue Date: 2015
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-104090
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/5219
http://dx.doi.org/10.18419/opus-5202
Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit bewegten Atomen in starken Magnetfeldern, welche z.B. auf der Oberfläche von Neutronensternen auftreten. Bei der Entstehung dieser Sterne schrumpfen diese auf Radien um 10 km zusammen, was zur Folge hat, dass die Magnetfeldlinien sich durch die näherungsweise Erhaltung des magnetischen Flusses ebenfalls zusammenziehen und sich Magnetfelder im Bereich von 10<sup>5</sup> - 10<sup>9</sup> T einstellen. Messungen der Spektren von Neutronensternen haben gezeigt, dass Absorptionslinien vorhanden sind, welche durch Anwesenheit einer dünnen Atmosphäre, bestehend aus Elementen von Wasserstoff bis Eisen, erklärt werden können. Um diese Vermutung zu überprüfen, müssen Energien und Wellenfunktionen, um im Endeffekt Opazitäten zu erhalten, in starken Magnetfeldern berechnet werden. Mittlerweile können für beliebige Elemente Energien und Oszillatorstärken, sowie Wirkungsquerschnitte aus Photoionisation, berechnet werden. Um aus diesen Daten Opazitäten zu erhalten müssen Linienbreiten berechnet werden, wobei Doppler- und Druckverbreiterung einfach zu handhaben sind. Der wichtigste Effekt ist die Rückwirkung der Bewegung der Atome im starken Magnetfeld auf ihre interne Struktur, was zu enormen Veränderungen der Energien und Wellenfunktionen führen kann. Im ersten Teil dieser Arbeit soll dieser sogenannte Motional Stark Effekt für Wasserstoff berechnet werden. Dafür leiten wir einen Hamiltonoperator her, welcher für unsere numerischen Rechnungen geeignet ist. Hierzu wird zuerst der unbewegte Fall besprochen und dessen Lösung präsentiert, um anschließend auftretende Änderungen für den bewegten Fall zu diskutieren. Anschließend formulieren wir einen Ansatz, welcher genaue Ergebnisse auch für niedrige Magnetfeldstärken erlaubt. Dieser besteht aus einer 2D B-Spline Basis, definiert auf finiten Elementen. Um eine numerisch auswertbare Form der Schrödingergleichung zu erhalten, müssen effektive Potentiale berechnet werden. Dies und eine genaue Besprechung des verwendeten Algorithmus, mit all seinen Herausforderungen und wie diese gemeistert wurden, ist der Inhalt von Kapitel 3. Da keine Symmetrie in den Ansatz eingeht, ist die Flexibilität enorm, was wir anhand der Ergebnisse in Kapitel 4 zeigen wollen. Es werden Energien für verschiedene Magnetfeldstärken vorgestellt und verglichen, sowie verschiedene Eigenschaften wie Geschwindigkeit und effektive Masse diskutiert. Da im Energiespektrum viele vermiedene Kreuzungen auftreten, sollen diese speziell betrachtet werden. Wir beschreiben insbesondere das Verhalten der Wellenfunktionen an diesen vermiedenen Kreuzungen. Im zweiten Teil wird für neutrales Helium ein Hamiltonoperator in Jacobi-Koordinaten hergeleitet. Dazu orientieren wir uns an vorherigen Arbeiten, welche quasi ein Rezept für eine gewisse Art der Koordinatentransformation vorgibt, um einen separierten Hamiltonoperator zu erhalten. Dieser wird anhand des Beispiels mit harmonischer Wechselwirkung untersucht, und es werden erste Ergebnisse beschrieben. Anschließend wird ein Vorschlag erarbeitet, wie die Coulombwechselwirkung mitberücksichtigt werden kann. Dieser basiert auf der Entwicklung der Wellenfunktion in der Landaubasis, welche schon früher erfolgreich angewandt wurde. Da die Gleichungen in Jacobi-Koordinaten anders aussehen als gewohnt, müssen Eigenschaften wie Symmetrie bei Teilchenaustausch und Bedeutung der Potentiale erläutert werden.
This work is dealing with moving atoms in strong magnetic fields, occurring e.g. on the surface of neutron stars. During the formation of these stars, their radii are shrinking to values around 10 km. Due to the quasi conservation of the magnetic flux, the magnetic field lines are also contracting, yielding very high magnetic field strengths in the range of 10<sup>5</sup> to 10<sup>9</sup> T. Measured spectra of neutron stars show broad absorption features, which may be explained by the presence of a thin atmosphere possibly consisting of elements from hydrogen to iron. To verify this assumption, energies and wavefunctions have to be computed as input for the calculation of opacities. State of the art programs are capable of calculating energies, oscillator strengths and photoionisation cross sections. To get opacities from this data, line broadening effects, such as the familiar Doppler- and pressure broadening, have to be considered. The most important effect is the backlash of the movement of the atom in the strong magnetic field on the internal structure, which leads to massive changes in energies and wavefunctions. In the first part of this work, this so called Motional Stark Effect is calculated for hydrogen. A hamiltonian suitable for the numerical computation is derived. First the static case is presented and the solution is discussed. Finally the moving case and changes in contrast to the static case are formulated. Afterwards we formulate an ansatz which allows for accurate calculation of energies at low magnetic field strengths. This is a 2D B-Spline basis, defined on finite elements. To obtain a numerically applicable form of the Schrödinger equation, effective potentials have to be derived. This and a detailed discussion of the used algorithm, with all its difficulties and how to solve these, is the content of chapter 3. The high flexibility of the ansatz, generated by the lack of symmetry, is shown on the basis of the results in chapter 4. Energies at different magnetic field strengths are presented and compared, and various properties, such as velocity and effective mass, are discussed. Due to the existence of many anticrossings in the spectra, a specific discussion is needed. We will describe particularly the behaviour of the wavefunctions at these anticrossings. In the second part a hamiltonian for helium in Jacobi coordinates is derived. Previous works are used as an orientation, and give a quasi recipe to get a separated hamiltonian for a certain coordinate transformation. This is discussed with a harmonic potential, and first results are given. At last, a suggestion is made, how to implement Coulomb interaction into the derived framework. It is based on the expansion of the wavefunction in a Landau basis, which was successfully incorporated many times before. The formulas in Jacobi coordinates look different, and such properties as symmetry by particle interchange or the meaning of potentials have to be explained.
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