Totalkrümmung geschlossener Hyperflächen des euklidischen Raums

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage wie sich die Totalkrümmung eingebetteter, geschlossener Hyperflächen im euklidischen Raum bestimmen lässt. Mit Hilfe des Satzes von Gauß-Bonnet-Hopf, der eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Gauß-Bonnet darstellt, wird zunächst die Totalkrümmung unterschiedlich eingebetteter Parallelmengen von k-dimensionalen Sphären berechnet. Da eine geschlossene Hyperfläche den umgebenden Raum in zwei Zusammenhangskomponenten teilt, wird im Weiteren Inneres und Äußeres unterschiedlich eingebetteter Hyperflächen betrachtet. Es zeigt sich, dass für die Eulercharakteristik des Inneren bzw. Äußeren nur bestimmte Werte in Frage kommen. Mit Methoden der algebraischen Topologie wird diese Abhängigkeit untersucht. Die hauptsächlichen Resultate dieser Arbeit sind, dass zu gegebener geschlossener Hyperfläche die möglichen Werte für die Totalkrümmung eingeschränkt werden können, zu beliebig gewählten natürlichen Zahlen Hyperflächen konstruiert und diese dann so eingebettet werden, dass jeder, der zuvor bestimmten Werte für die Totalkrümmung, auch tatsächlich angenommen wird.