Polynomial Chaos Expansion mit räumlich adaptiven Sparse Grids

Abstract

Die Polynomial Chaos Expansion (generalized Polynomial Chaos) ist eine Methode aus der Uncertainty Quantification. Mit ihr können die stochastischen Momente einer Funktion R, deren Parameter gemäß Verteilungsfunktionen verteilt sind, schnell berechnet werden. Außerdem liefert die Methode ein akkurates Surrogat das effizient ausgewertet werden kann. Dazu werden abhängig von den Verteilungsfunktionen in jeder Dimension bestimmte orthogonale Polynombasen verwendet. Die verwendeten Polynome sind jeweils genau bezüglich der Dichtefunktion der jeweiligen Verteilung orthogonal. Die Koeffizienten der Expansion werden mithilfe eines Spectral Projection Ansatzes berechnet. Bei diesem müssen hochdimensionale Integrale gelöst werden. In dieser Arbeit wird die Polynomial Chaos Expansion implementiert. Da traditionelle Integrationsmethoden unter dem sogenannten Fluch der Dimensionalität leiden, werden die Integrale mithilfe von räumlich adaptiven Sparse Grids (dünnen Gittern) gelöst. Die Ergebnisse der Polynomial Chaos Expansion mit räumlich adaptiven Sparse Grids werden mit denen einer Polynomial Chaos Expansion mit regulären Sparse Grids verglichen. Außerdem werden die Ergebnisse noch mit einer weiteren Methode aus der Uncertainty Quantification, der Stochastic Collocation, verglichen.