Continuation and optimization of gaits and other non-smooth orbits

Abstract

Gaining insights into locomotion patterns in legged systems has broad implications, from advancing our understanding of animal movement to informing the design and control of prosthetics, exoskeletons, and legged robots. While nature often prioritizes minimizing metabolic cost through the body’s morphology, engineers rely on optimization methods to accomplish similar efficiency. This dissertation presents mathematical tools that bridge these perspectives, systematically exploring the relationship between economical periodic motion patterns (gaits) and a system’s morphology. A primary focus in this dissertation is the generation of continuous families of gaits, considering that legged systems operate across a wide range of speeds and exhibit various locomotion patterns. A core insight underlying the generation of these gait families is that unactuated (passive) periodic motions in a dynamical system are inherently optimal from an energy perspective. Leveraging this, the dissertation formulates an inverse optimization problem in which passive motions are the globally optimal solutions in an optimal control framework, where the most efficient actuation is no actuation at all. In this context, this dissertation contributes to two key research areas. The first is the analysis of periodic orbits in conservative hybrid dynamical systems, particularly in unforced systems that conserve energy or other quantities. In such systems, periodic orbits are shown to belong to families parameterized by their conserved quantities. The problem of identifying these motions is formulated as a parameterized root-finding problem, enabling their exploration through numerical continuation methods. Starting from trivial solutions, such as equilibria, families of periodic orbits can be constructed. The second area of contribution comprises parameterized trajectory optimization problems that may also incorporate passive solutions. To extend the analysis of optimal and passive motions, a model homotopy is introduced to bridge energetically conservative and dissipative dynamics with a homotopy (dissipation) parameter. The first-order necessary conditions for optimality are also framed as a parameterized root-finding problem, allowing the use of continuation methods to generate families of optimal gaits. Crucially, the formulation of optimality conditions involves an infinite-dimensional actuation space, which is tackled using both direct and indirect methods, paired with a shooting approach. Extensions to the indirect method serve as a further contribution to the field of periodic trajectory optimization. By generating and analyzing families of gaits, this dissertation offers a comprehensive view of energy economy in legged systems. Passive periodic motions are particularly valuable within these families, as they allow for an in-depth study of a system’s inherent dynamics, independent of control influences, thereby revealing how morphology alone shapes gait efficiency. Ein tiefgehendes Verständnis von Bewegungsmustern in Systemen mit Beinen hat weitreichende Implikationen, von der Vertiefung unseres Wissens über Tierbewegungen bis hin zur Entwicklung und Steuerung von Prothesen, Exoskeletten und Laufrobotern. Während in der Natur die Minimierung des metabolischen Energieaufwands durch die Körpermorphologie im Vordergrund steht, greifen Ingenieure auf Optimierungsmethoden zurück, um eine ähnliche Effizienz zu erreichen. Diese Dissertation stellt mathematische Werkzeuge vor, die diese beiden Perspektiven verbinden, und untersucht systematisch die Beziehung zwischen ökonomischen periodischen Bewegungsmustern (Gangarten) und der Morphologie eines Systems. Ein Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Generierung kontinuierlicher Familien von Gangarten, da Laufsysteme in einem breiten Geschwindigkeitsbereich operieren und verschiedene Bewegungsmuster aufweisen. Eine zentrale Erkenntnis für die Generierung solcher Gangfamilien ist, dass nicht aktuierte (passive) periodische Bewegungen von Natur aus energetisch optimal sind. Auf dieser Grundlage formuliert die Arbeit ein inverses Problem, bei dem passive Bewegungen als globale Lösungen eines Optimierungsproblems identifiziert werden. Somit ist die effizienteste Aktuation gerade kein Antrieb - die Bewegung erfolgt passiv. In diesem Kontext leistet diese Dissertation Beiträge zu zwei zentralen Forschungsbereichen. Der erste Bereich umfasst die Analyse periodischer Orbits in konservativen hybriden dynamischen Systemen, insbesondere in nicht-aktuierten Systemen, die Energie oder andere Größen erhalten. In solchen Systemen gehören periodische Orbits zu Familien, die durch ihre Erhaltungsgrößen parametrisiert sind. Zur Identifikation dieser Orbits wird ein parametrisiertes Nullstellenproblem formuliert, das eine gezielte Exploration mittels numerischer Fortsetzungsmethoden ermöglicht. Ausgehend von trivialen Lösungen wie Gleichgewichtspunkten können so Familien periodischer Orbits konstruiert werden. Der zweite Beitrag betrifft parametrisierte Trajektorienoptimierungsprobleme, die ebenfalls passive Lösungen enthalten können. Um die Analyse optimaler und passiver Bewegungen zu erweitern, wird eine Modell-Homotopie eingeführt, welche energetisch konservative und dissipative Dynamiken mit einem Homotopie- (Dissipations-)Parameter verbindet. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden ebenfalls als parametrisiertes Nullstellenproblem formuliert, sodass Fortsetzungsmethoden zur Generierung von Familien optimaler Gangarten genutzt werden können. Besonders relevant ist dabei, dass die Formulierung der Optimalitätsbedingungen einen unendlich-dimensionalen Aktuationsraum umfasst. Dieses Problem wird mit direkten und indirekten Methoden sowie einem Schießverfahren behandelt. Erweiterungen der indirekten Methode stellen einen weiteren Beitrag zum Bereich der periodischen Trajektorienoptimierung dar. Durch die Generierung und Analyse von Gangfamilien bietet diese Arbeit einen umfassenden Einblick in die Energieeffizienz von Laufsystemen. Passive periodische Bewegungen sind innerhalb dieser Familien besonders wertvoll, da sie eine tiefgehende Untersuchung der inhärenten Dynamik eines Systems ermöglichen, unabhängig vom Antrieb. Dies zeigt, wie allein die Morphologie die Effizienz der Gangart bestimmt.