Integrating curvature into the cost landscape of variational quantum algorithms

Abstract

Variational Quantum Algorithms (VQAs) are a promising approach to achieve near-term quantum advantage. VQAs provide a hybrid classical and quantum computing approach to solving problems by employing a classical optimizer to train a Parameterized Quantum Circuit (PQC). However, VQAs still face several challenges, including their trainability, efficiency, and accuracy. The trainability, for example, is highly dependent on the structure of the associated cost landscape, which is induced by the cost function of a problem. The optimizer navigates the cost landscape to find local and global optima. A major challenge during optimization is regions in the cost landscape where gradients exponentially vanish. These so-called barren plateaus can be caused by many aspects of a VQA, such as a high degree of entanglement in the training data. To detect such challenging regions, it can be helpful to characterize regions within the cost landscape using roughness metrics such as curvature. This work introduces and implements Total Absolute Scalar Curvature (TASC) for VQA cost functions, which describes the curvature of a region within the cost landscape instead of just at a singular point. We then perform experiments for several different cost landscapes, defined by different training data structures, and evaluate the effectiveness of using TASC to characterize them. Variationelle Quantenalgorithmen (VQAs) sind ein vielversprechender Ansatz, um in naher Zukunft Quantenüberlegenheit zu erreichen. VQAs verbinden klassische und quantenbasierte Komponenten in einem hybriden System. Probleme werden mithilfe eines parametrisierten Quantenschaltkreises gelöst, welcher von einem klassischen Optimierer trainiert wird. Dennoch stehen VQAs vor einigen Herausforderungen, wie ihrer Trainierbarkeit, Effizienz und Genauigkeit. Ihre Trainierbarkeit ist zum Beispiel stark von der Struktur der assoziierten Kostenlandschaft abhängig, welche von der Kostenfunktion eines Problems induziert wird. Der Optimierer navigiert die Kostenlandschaft, um lokale und globale Optima zu finden. Regionen, in welchen die Gradienten der Kostenfunktion exponentiell verschwinden, sind eine signifikante Herausforderung während der Optimierung. Diese so genannten Barren Plateaus können durch viele Aspekte eines VQAs, wie zum Beispiel einem hohen Grad an Verschränkung in den Trainingsdaten, verursacht werden. Um solche schwierigen Regionen zu erkennen, kann es helfen Regionen innerhalb der Kostenlandschaft mithilfe von Metriken, wie der Krümmung, zu charakterisieren. Diese Arbeit stellt die Total Absolute Skalare Krümmung (TASC) für VQA-Kostenfunktionen vor und implementiert sie. TASC beschreibt die Krümmung einer Region der Kostenlandschaft anstatt nur an einem einzelnen Punkt. Anschließend führen wir Experimente für verschiedene Kostenlandschaften durch, welche durch unterschiedliche Struktur der Trainingsdaten definiert sind und bewerten die Effektivität von TASC zur Charakterisierung dieser.