Lösung der Schrödingergleichung für Systeme mit Delta-Potentialen unter besonderer Berücksichtigung des dreidimensionalen harmonischen Oszillators

Abstract

Exzitonen wurden erstmals 1930 eingeführt als die Anregungsquanten von Elektronen in Halbleitern. Zwischen dem Elektron und dem dazugehörigen Loch besteht eine Coulomb-Interaktion, die zu wasserstoffartigen Zustandsserien führt. Das 1S Exziton in Cu2O ist aufgrund seines kleinen Radius eine Mischung aus einem Frenkel und einem Wannier Exziton, weshalb Korrekturen vorgenommen werden müssen, um diesen Zustand korrekt zu beschreiben, die sogenannten Central-Cell-Corrections. Ein Teil dieser Korrekturen kann über ein attraktives Delta-Potential modelliert werden. Da dreidimensionale Delta-Potentiale jedoch aufgrund ihrer Divergenz am Ursprung nicht exakt lösbar sind, sondern nur über Regularisierungen einzelne gebundene Zustände ermittelt werden können, stellt sich die Frage, welchen Einfluss ein attraktives Delta-Potential auf ein bekanntes System hat. In dieser Bachelorarbeit soll daher betrachtet werden, wie sich ein attraktives Delta-Potential auf das bekannte System des dreidimensionalen harmonischen Oszillators auswirkt. Dazu wird dieser zunächst vorgestellt und gelöst und anschließend wird die Auswirkung des Delta-Potentials mittels Störungstheorie auf das System betrachtet. Außerdem wird das gestörte System über die Eigenzustände des ungestörten System als Matrix dargestellt, aus welcher sich durch Diagonalisierung die Energieeigenwerte und Wellenfunktionen des gestörten Systems bestimmen lassen. Hierbei wird die Auswirkung verschiedener Parameter wie der Stärke des Delta-Potentials, die Größe der verwendeten Matrix oder die Skalierung der Koordinaten auf das System untersucht.