Die Kombinationstechnik als Zeitintegrator in Parareal

Abstract

Um die Rechenzeit beim Lösen zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen zu reduzieren, werden Parallelisierungsmethoden verwendet. Durch die Zeitparallelisierung können verschiedene Zeitabschnitte parallel berechnet werden. Dazu wird das Parareal-Verfahren eingesetzt, bei dem grobe und feine Zeitintegratoren eine Zeitparallelisierung ermöglichen. Das Ziel der vorliegenden Bachelorarbeit war es, die Kombinationstechnik als groben Zeitintegrator für die Parareal-Implementierung zu untersuchen. Bei der Kombinationstechnik werden Linearkombinationen von Lösungen auf verschieden großen Gittern gebildet. Dafür wurde die Kombinationstechnik für das Modellproblem der Wärmeleitungsgleichung in der Programmiersprache Python implementiert. Als feiner Zeitintegrator wurde die Lösung auf einem vollen Gitter verwendet. Das dafür aufgestellte lineare Gleichungssystem wurde mit dem impliziten Euler-Verfahren gelöst. Zum Auswerten der Ergebnisse wurde die Rechenzeit und die Anzahl der Iterationen sowie der dabei entstehende Fehler betrachtet. Ein wichtiger Punkt dabei war die Konvergenzgrenze zu berücksichtigen, die einen Einfluss auf die Anzahl der Iterationen und somit auf die Rechenzeit hat.