Vorhersage von kritischen Ereignissen mittels gradientenbasierten Verfeinerungsmethoden für adaptive dünne Gitter

Abstract

Diese Bachelorarbeit befasst sich mit der Entwicklung und Evaluierung eines effizienten Verfahrens zur Vorhersage kritischer Ereignisse, insbesondere der Identifizierung von Fehlerbereichen in der Risikoanalyse, unter Verwendung von möglichst wenigen Auswertungen der zugrundeliegenden, als rechenintensiv angenommenen Funktion. Die Motivation ergibt sich aus der Notwendigkeit präziser Risikoanalysen in Anwendungsfeldern wie dem autonomen Fahren, wo herkömmliche numerische Methoden bei hochdimensionalen Modellen aufgrund des „Fluchs der Dimensionalität“ an ihre Grenzen stoßen und die globale Fehlerreduktion für die spezifische Problemstellung suboptimal ist. Das Hauptziel der Arbeit bestand in der Entwicklung einer neuartigen, gradientenbasierten Verfeinerungsstrategie für adaptive dünne Gitter auf Basis hierarchischer B-Splines, die eine skalierbare und präzise Bestimmung der Menge kritischer Ereignisse Df = {x ∈ Ω | 𝑓 (x) ≤ 𝑠} ermöglicht. Dies umfasste die Erweiterung des Ritter-Novak-Ansatzes, die Untersuchung des Gradienten als Gütekriterium und die Entwicklung neuer Gütekriterien, die die Funktion sowie Unsicherheitsmaße besser berücksichtigen. Methodisch wurde ein Ansatz zur adaptiven Gitterverfeinerung entwickelt, der spezifische Fehlermetriken zur Bewertung der Surrogatfunktion nutzt, die mittels Monte-Carlo-Integration geschätzt wurden. Sechs neue Gütekriterien wurden konzipiert und in zwei neue Gewichtsfunktionen integriert, die eine dimensionsunabhängige bzw. einseitige Verfeinerung des Gitters erlauben und somit eine höhere Adaptivität bieten. Die optimalen Hyperparameter dieser Funktionen wurden mittels Bayes’scher Optimierung bestimmt. Ein Abbruchkriterium basierend auf der Stabilität der Surrogatfunktion und Optimierungen der Systemlösung sowie eine Randbehandlung wurden implementiert und evaluiert. Als Testbasis dienten analytische Funktionen und der MNIST-Datensatz. Die experimentelle Evaluation zeigte, dass die neu entwickelten Gewichtsfunktionen, insbesondere die einseitige Verfeinerung, das ursprüngliche Ritter-Novak-Verfahren signifikant übertreffen und zu einer verbesserten Approximation der Fehlerbereiche führen. Die Randoptimierung trug zur Steigerung der Genauigkeit in den Randbereichen bei. Das Abbruchkriterium funktionierte zuverlässig für verschiedene Testfälle und ermöglichte eine automatische Terminierung der Gittergenerierung. Bei hochdimensionalen Problemen nahm die Approximationsgüte erwartungsgemäß ab, was die Skalierbarkeit des Ansatzes bei begrenzten Gitterpunktzahlen aufzeigte. Die Arbeit schlussfolgert, dass die entwickelten gradientenbasierten Verfeinerungsmethoden eine effiziente Identifizierung kritischer Ereignisse ermöglichen und eine solide Grundlage für die zukünftige Forschung bieten, insbesondere im Bereich der Risikoanalyse und für Anwendungen wie das autonome Fahren.