Numerical prediction of frictional vibro-impacts : combining massless boundaries and component mode synthesis

Abstract

Vibro-impact processes are a subset of nonlinear vibrations. They involve the essential interaction of instant contacts and vibrations. Their correct prediction and experimental characterization, using dedicated simulation and testing methods, enlarge the design space and robustness of technologies such as Impact Energy Scatterers.

Numerical predictions of vibro-impact have contradicting requirements. A fine spatial and time discretization is needed; however, this yields large model problem sizes which impede long-term simulation. Frequency domain solutions are not applicable for non-periodic states, which are likely to be present in these vibrations. Furthermore, the existing time-domain methods rely on empirical parameters for contact modeling which reduces the predictive nature of the simulation.

This thesis aims to develop and validate a time-domain simulation method for frictional vibro-impact, which is useful for industrial applications. The novel core concept of the method is to unite the concept of massless boundary (originating from computational mechanics) and the idea of component mode synthesis (standard in structural dynamics) by exploiting the key advantages of each. The massless boundaries allow a quasi-static solution of the contact forces, leading to stable contact enforcement, and are numerically more robust than conventional approaches. Until now, massless boundaries have been implemented in finite element models, but such models are still too large, and thus unsuitable to simulate long steady-states. Therefore, model-order reduction with component mode synthesis is quintessential.

The developed method is based on four key components: an underlying finite element model, a time integration scheme compatible with massless boundaries, a solution for dynamic normal and frictional contact enforcement, and a component mode synthesis method compatible with massless boundaries. The semi-explicit time integration scheme is developed to work with singular mass matrices, resulting in a scheme that solves contacts quasi-statically and prioritizes energy conservation. Normal and frictional contacts are modeled as set-valued laws and imposed locally within the spatially resolved contact domain. The finite element model is reduced using the MacNeal method and a mass-boundary compatible variant of the Craig-Bampton method derived in this work. This framework limits the method to linear elasticity and kinematics, while addressing nonsmooth (and therefore nonlinear) contact behavior.

Numerical benchmarks are used to evaluate the method. The kinematics, energy conservation, and computational cost of the conventional mass-carrying models and the proposed method are compared. A variant of the Moreau time integration scheme and the harmonic balance method in conjunction with a dynamic Lagrangian formulation are considered. The results show that the massless boundary models have better energy conservation and convergence properties while reducing the computational time by at least one order of magnitude.

As a first validation step, experimental measurements are used to evaluate the predicted post-impact velocity response and its modal energy distribution. A metal sphere impacts a steel beam, where the velocity response of the beam is measured for a single collision. The measurements are compared with predictions obtained using two different approaches: state-of-the-art finite element analysis and the proposed method. The proposed method reduces the numerical effort by 3-4 orders of magnitude compared to the finite element model without compromising the excellent agreement with the measurements.

Finally, for a second validation step, two cantilever beams subjected to frictional impacts at the free end are measured experimentally. The beams have similar geometries and close but unequal natural frequencies. The underlying linear model is updated based on the natural frequencies and damping ratios identified in the non-impact regime. The nonlinear simulation of the steady-state response to forward and backward stepped-sine excitation is compared with measurements. The results are in excellent agreement with respect to amplitude response, frequency content, and contact activity, especially considering the uncertainty associated with the observed material loss in the contact region and the nonlinear behavior of the clamping.

Vibro-Impakt-Prozesse sind eine Untergruppe der nichtlinearen Schwingungen. Sie beruhen auf der wesentlichen Wechselwirkung zwischen Stöße und Schwingungen. Die korrekte Vorhersage und experimentelle Charakterisierung dieser Prozesse mittels geeigneter Simulations- und Versuchsmethoden vergrößert den Designraum und die Robustheit von Technologien wie Stoßenergiestreuer (Impact Energy Scatterers).

An die numerische Vorhersage der Vibro-Impakt-Dynamik werden widersprüchliche Anforderungen gestellt. Eine feine räumliche und zeitliche Diskretisierung ist erforderlich, führt aber zu großen Modellproblemen, welche die lange Simulation von stationären Zuständen erschweren. Frequenzbereichsmethoden sind für die wahrscheinlich auftretenden, nichtperiodischen Zustände nicht anwendbar. Bestehende Zeitbereichsmethoden basieren auf empirischen Parametern für die Kontaktmodellierung , welche die Vorhersagekraft der Simulation verringert.

Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung und Validierung einer Zeitbereichssimulationsmethode für Vibro-Impakt-Dynamiken/Vibro-Impakt-Schwingungen, die für industrielle Anwendungen nützlich ist. Die innovative Kernidee der Methode ist es, das Konzept der masselosen Ränder (bekannt aus der numerischen Mechanik) mit der Idee der Komponentenmodensynthese (Standard in der Strukturdynamik) zu kombinieren, wobei die Hauptvorteile beider Methoden ausgenutzt werden. Masselose Ränder ermöglichen eine quasistatische Lösung der Kontaktkräfte, was zu einer stabilen Kontaktaufprägung führt und sind numerisch robuster als konventionelle Ansätze. Bisher wurden masselose Ränder in Finite-Elemente-Modelle implementiert, aber solche Modelle sind immer noch zu groß und daher ungeeignet, um lange Simulationen von stationären Zuständen durchzuführen. Die Modellordnungsreduktion durch Komponentenmodensynthese ist daher unerlässlich.

Die entwickelte Methode basiert auf vier Hauptkomponenten: einem zugrundeliegenden Finite-Elemente-Modell, einem Zeitintegrationsschema, das mit masselosen Rändern kompatibel ist, einer Lösung für das dynamische Aufprägen von Normal- und Reibkontakte und einer Methode zur Synthese von Komponentenmodi, die mit masselosen Rändern kompatibel ist. Das semi-explizite Zeitintegrationsschema ist notwendig, um mit singulären Massenmatrizen arbeiten zu können. Das Ergebnis ist ein Schema, das Kontakte quasistatisch löst und der Energieerhaltung priorisiert . Normal- und Reibkontakte werden als Mengengesetze modelliert und lokal innerhalb der räumlich aufgelösten Kontaktfläche aufgeprägt. Das Finite-Elemente-Modell wird mit der MacNeal-Methode und einer in dieser Arbeit entwickelten massenkompatiblen Variante der Craig-Bampton-Methode reduziert. Dadurch ist die Methode auf lineare Elastizität und Kinematik beschränkt, wobei das nicht-glatte (und daher nichtlineare) Kontaktverhalten berücksichtigt wird.

Zur Bewertung der Methode werden numerische Benchmarks eingesetzt. Kinematik, Energieerhaltung und Rechenaufwand der konventionellen, massebehafteten Modelle und der entwickelten Methode werden verglichen. Eine Variante des Zeitintegrationsschemas nach Moreau und die Methode der harmonischen Balance in Verbindung mit einer dynamischen Lagrange-Formulierung werden untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass die Modelle mit masselosem Rand bessere Energieerhaltungs- und Konvergenzeigenschaften aufweisen und gleichzeitig die Rechenzeit um mindestens eine Größenordnung reduzieren.

In einem ersten Validierungsschritt werden experimentelle Messungen verwendet, um die vorhergesagte Geschwindigkeit nach dem Stoß und die modale Energieverteilung zu bewerten. Eine Metallkugel trifft auf einen Stahlträger, wobei die Geschwindigkeit des Balkens für einen einzelnen Aufprall gemessen wird. Die Messungen werden mit Vorhersagen verglichen, die mit zwei verschiedenen Ansätzen berechnet wurden: nach dem aktuellen Stand der Technik mit Finite-Elemente-Analyse und mit der vorgeschlagenen Methode. Die vorgeschlagene Methode reduziert den numerischen Aufwand gegenüber der Finite-Elemente-Methode um 3-4 Größenordnungen, ohne die sehr gute Übereinstimmung mit den Messungen zu beeinträchtigen.

In einem zweiten Validierungsschritt werden schließlich zwei einseitig eingespannte Balken experimentell vermessen, die am freien Ende Reibungsstößen ausgesetzt sind. Die Balken haben ähnliche Geometrien und nahe beieinander liegende, aber ungleiche Eigenfrequenzen. Das zugrundeliegende lineare Modell wird auf Basis der im stoßfreien Bereich ermittelten Eigenfrequenzen und Dämpfungseigenschaften aktualisiert. Die nichtlineare Simulation der stationären Schwingungsantwort auf vorwärts- und rückwärtsgerichtete Stepped Sine Anregungen wird mit Messungen verglichen. Die Ergebnisse stimmen hinsichtlich der Amplitudenantwort, des Frequenzgehaltes und der Kontaktaktivität sehr gut überein, insbesondere unter Berücksichtigung der Unsicherheiten, die mit dem beobachteten Materialverschleiß im Kontaktbereich und dem nichtlinearen Verhalten der Einspannung verbunden sind.