B-Spline-Kollokation mit der Kombinationstechnik

Abstract

Wir implementieren eine Methode zur Lösung partieller Differentialgleichungen mithilfe einer Tensorproduktbasis aus B-Splines. Im Gegensatz zur Finite-Elemente-Methode, müssen dabei keine Integrale berechnet werden, was eine Beschleunigung mit sich bringt. Um in mehreren Dimensionen den Fluch der Dimensionalität zu umgehen, verwenden wir die Kombinationstechnik, mit welcher Probleme auf dünnen Gittern gelöst werden können. Die so erhaltene Lösung ist im Allgemeinen keine exakte Dünngitter-Lösung, stellt aber für bestimmte Probleme – wie zum Beispiel für die Poisson-Gleichung – eine gute Approximation dar. In der Hoffnung, diese Approximation zu verbessern, implementieren wir ein iteratives Verfahren, welches das Residuum an den Gitterpunkten weiter verringern soll. Wie sich später herausstellt, geschieht zwar Letzteres, doch wird die Lösung dabei in ihrer Gesamtheit nicht besser. Des Weiteren ist die Methode ungenau bei der Lösung von Problemen mit unstetigen Randbedingungen.