Lateinische Quadrate

Abstract

Ein lateinisches Quadrat der Ordnung 𝑛 ist eine 𝑛 × 𝑛 Matrix, in welcher 𝑛 verschiedene Symbole so angeordnet sind, sodass jedes Symbol in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommt. Lateinische Quadrate lassen sich in Hauptklassen aufteilen, sodass Quadrate, die strukturell gleich sind, in derselben Hauptklasse sind. Zwei lateinische Quadrate sind orthogonal, wenn beim Übereinanderlegen der Quadrate jedes Symbolpaar einmal vorkommt. Ein eindeutig vervollständigbares partielles lateinisches Quadrat ist eine Teilmenge eines lateinischen Quadrats 𝐿, sodass 𝐿 das einzige lateinische Quadrat ist, das eine Übermenge davon ist. Eine kritische Menge eines lateinischen Quadrats ist ein eindeutig vervollständigbares partielles lateinisches Quadrat, wobei keine Teilmenge davon eindeutig vervollständigbar ist. In dieser Arbeit reproduzieren wir Ergebnisse der folgenden Probleme mit einem Computerprogramm: • Aufzählen der Hauptklassen von lateinischen Quadraten für Ordnungen 𝑛 ≤ 9. • Aufzählen der Hauptklassen von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnungen 𝑛 ≤ 8. • Aufzählen der kritischen Mengen der Hauptklassen für Ordnungen 𝑛 ≤ 6. • Bestimmen der kleinsten kritischen Menge für Ordnungen 𝑛 ≤ 7. • Bestimmen der größten kritischen Menge für Ordnungen 𝑛 ≤ 6. Außerdem untersuchen wir das folgende Problem: • Aufzählen der eindeutig vervollständigbaren partiellen lateinischen Quadrate für Ordnungen 𝑛 ≤ 6.