Torsionseinheiten in ganzzahligen Gruppenringen nicht auflo¨sbarer Gruppen Von der Fakulta¨t Mathematik und Physik der Universita¨t Stuttgart zur Erlangung der Wu¨rde eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Abhandlung Vorgelegt von Leo Margolis geboren in Kuibyschew Hauptberichter: apl. Prof. Dr. Wolfgang Kimmerle Mitberichter: Prof. Dr. A´ngel del R´ıo Prof. Dr. Meinolf Geck Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 02. Juni 2015 Institut fu¨r Geometrie und Topologie 2015 Эх, Киса, мы чужие на этом празднике жизни. - О.И. Бендер, великий комбинатор I believe in Curtis-Reiner. - Martin Hertweck Danksagung Ich danke Wolfgang Kimmerle dafür, dass er mich den endlichen Gruppen und ihren Gruppenringe vorgestellt hat. Mein Dank gilt Andreas Bächle für fruchtreiche Zusammenarbeit und Martin Hertweck für einige interessante Gespräche. Ich danke auch Alexander Konovalov für die Zusammenarbeit in St Andrews und allen Algebraikern des Fachbereichs Mathematik für ver- schiedene Hinweise. Ich danke Markus Schmidmeier für seinen Hinweis zu den Littlewood-Richardson Koeffizienten. Ich bedanke mich bei Marc Wied und Matthias Breckner für das Korrektur- lesen dieser Arbeit, bei Alexander Thumm für nützliche Gespräche und bei allen Mitarbeitern des CIP-Pools für ihre Geduld und Hilfe. Nicht zuletzt danke ich meinem Vater, meiner Großmutter, meiner Schwester und natürlich meiner Mutter für ihre Unterstützung in allen Lebenslagen. iii iv Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung vii Einleitung 1 1 Grundlagen und Methoden 7 1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Die HeLP-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Die Gitter-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Young Tableaus und kCn-Moduln . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Algorithmische Aspekte der Gitter-Methode . . . . . . . . . . 21 2 Torsionseinheiten im ganzzahligen Gruppenring der PSL(2, q) 23 2.1 Grundlagen und Bekanntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Gruppen- und darstellungstheoretische Grundlagen . . 25 2.1.2 Bekanntes über Torsionseinheiten . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Ein starker Sylowsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Nicht-abelsche p-Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Primgraphfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 Zassenhausvermutung für PSL(2,16), PSL(2,19), PSL(2,23) und PSL(2,25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Gruppen mit wenigen Primteilern 61 3.1 Gruppen mit drei Primteilern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2 Gruppen mit vier Primteilern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.1 Mittels HeLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2 Mittels der Gitter-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A Anhang: Die HeLP-Methode für fast-einfache Gruppen mit vier Primteilern 93 Symbolverzeichnis 107 Literaturverzeichnis 110 v vi Zusammenfassung/Summary Gegenstand dieser Arbeit sind Torsionseinheiten und Torsionsuntergruppen der Einheitengruppe ganzzahliger Gruppenringe nicht-auflösbarer Gruppen. Im ersten Kapitel werden die Methoden eingeführt, auf denen im Wesentli- chen die Ergebnisse der folgenden Kapitel beruhen. Dies sind einerseits die bekannte HeLP-Methode und andererseits eine neue, im Rahmen dieser Ar- beit gefundene Methode, die Gitter-Methode. Im zweiten Kapitel werden verschiedene Ergebnisse über normalisierte Tor- sionseinheiten im ganzzahligen Gruppenring der PSL(2, pf) vorgestellt. In Abschnitt 2.2 wird bewiesen, dass normalisierte Torsionseinheiten, deren Ordnung eine zu p teilerfremde Primzahlpotenz ist, rational konjugiert zu Elementen der Gruppenbasis sind. Hieraus folgt für p = 2 oder f = 1, dass beliebige Torsionsuntergruppen von Primzahlpotenzordnung rational konju- giert zu Untergruppen der Gruppenbasis sind. In Abschnitt 2.3 wird gezeigt, dass im Fall f = 3 Untergruppen von Primzahlpotenzordnung isomorph zu Untergruppen der Gruppenbasis sind. In Abschnitt 2.4 wird bewiesen, dass keine normalisierten Torsionseinheiten der Ordnung 3p existieren, falls 9 kein Teiler der Ordnung von G ist. Hierbei findet erstmals die Gitter-Methode An- wendung. Außerdem werden Ergebnisse Hertwecks über die Torsionseinheiten ganzzahliger Gruppenringe der PSL(2, pf) auf PGL(2, pf) ausgedehnt. Ins- besondere wird die Primgraphfrage für die Gruppen PGL(2, p) gezeigt. In Abschnitt 2.5 wird die Zassenhausvermutung für die Gruppen PSL(2,16), PSL(2,19), PSL(2,23) und PSL(2,25) bewiesen. Im dritten Kapitel wird die Primgraphfrage für Gruppen, deren Ordnung nur durch drei bzw. vier Primzahlen teilbar ist, untersucht. Im ersten Ab- schnitt wird die Primgraphfrage für die Mathieugruppe vom Grad 10 und die PGL(2,9) bewiesen. Dies schließt einen Beweis Kimmerles und Konova- lovs ab, dass die Primgraphfrage für jede Gruppe, für die die Ordnung jedes fast-einfachen Bildes durch maximal drei paarweise verschiedene Primzahlen vii viii ZUSAMMENFASSUNG teilbar ist, eine positive Antwort hat. In Abschnitt 3.2 wird die Primgraph- frage für fast-einfache Gruppen untersucht, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist. Mit Ausnahme der, möglicher- weise unendlichen, Serie der Gruppen PGL(2,3f) und fünf weiterer Ausnah- megruppen gelingt hierbei ein Beweis der Primgraphfrage. The object of study in this thesis are torsion units and torsion subgroups in the normalized unit group of an integral group ring of a finite group. In Chapter 1 two methods are introduced, which are the basis for all the following results. This is the well known HeLP-method and a method found during the work on this thesis, the lattice-method. In Chapter 2 different results on the normalized torsion subgroups of the integral group ring of PSL(2, pf) are presented. In section 2.2 it is proved, that normalized torsion units of prime power order prime to p are rationally conjugate to elements of the group bases. From this it follows that any torsion subgroup of prime power order is rationally conjugate to a subgroup of the group base provided p = 2 or f = 1. In section 2.3 it is proved that in case f = 3 any torsion subgroup of prime power order is isomorphic to a subgroup of the group bases. In section 2.4 the lattice-method is applied for the first time to prove that there are no normalized torsion units of order 3p in the integral group ring of G = PSL(2, pf) provided 9 does not divide the order of G.Moreover results of Hertweck for PSL(2, pf) are generalized to PGL(2, pf), especially the Prime Graph Question for every PGL(2, p) is proved. These results are used in Section 3.2. In section 2.5 the Zassenhaus Conjecture is proved for the groups PSL(2,16), PSL(2,19), PSL(2,23) and PSL(2,25). The third chapter deals with groups whose order is divisible by exactly three or four different primes. In the first section of chapter 3 a positive answer for the Prime Graph Question for the Mathieu group of degree 10 and the group PGL(2,9) is given. This yields, using a result of Kimmerle and Konovalov, that the Prime Graph Question has a positive answer for any group whose orders of all almost simple images have at most three pairwise different prime divisors. In the second section the Prime Graph Question for almost simple groups, whose order has at most four different prime divisors, is studied. Except for the, maybe infinite, series of groups PGL(2,3f) and five other exceptional groups a positive answer is given. Einleitung Die erste Untersuchung der Einheiten endlicher Ordnung eines ganzzahligen Gruppenrings wurde 1940 von G. Higman in seiner Dissertation [Hig40a] vor- genommen. Einige Resultate Higmans wurden in [Hig40b] veröffentlicht und eine Zusammenfassung seiner Dissertation findet sich in [San81]. Für eine endliche Gruppe G bezeichne ZG den ganzzahligen Gruppenring von G und V(ZG) die Gruppe der normalisierten Einheiten in ZG, d.h. die Menge der Einheiten mit Koeffizientensumme 1. Bereits Higman beschäftigte sich im fünften Kapitel seiner Dissertation mit der Fragestellung, ob jede endliche Untergruppe von V(ZG) isomorph zu einer Untergruppe von G ist. Diese Frage wurde später von R. Sandling in [San85, Problem 5.4] als explizites Problem formuliert und ist in spezieller Form in [Seh93, Problem 8] zu finden. Bis heute beruhen alle Gegenbeispiele zu diesen Fragen auf dem Gegenbeispiel M. Hertwecks zum Isomorphiepro- blem [Her98], s. auch [Her01], und im Allgemeinen ist nur sehr wenig über die endlichen Untergruppen von V(ZG) bekannt, vgl. die Grundlagen in Ab- schnitt 1.1. Einen weiteren Schub erlebte das Studium der endlichen Untergruppen von V(ZG) durch drei von H.J. Zassenhaus in den 1960er Jahren geäußerten und später in [Zas74], [Seh84] veröffentlichten Vermutungen, welche Higmans Fra- ge in einer speziellen Form verschärften. Von diesen Vermutungen stellten sich zwei im Allgemeinen als nicht richtig heraus, s. [Rog91, Sco92], während die dritte bis heute offen ist und daher auch einfach Zassenhausvermutung ge- nannt wird. Diese Vermutung gilt heute als das zentrale offene Problem in der Theorie der Einheiten endlicher Ordnung in ganzzahligen Gruppenringen. (ZV) Ist u ∈ V(ZG) eine Einheit endlicher Ordnung, dann existiert in der rationalen Gruppenalgebra QG eine Einheit x, so dass x−1ux ∈ G gilt. Existiert ein solches x, so sagt man, dass u zu einem Element in G rational konjugiert ist. Es sei bemerkt, dass bereits in V(ZS3) Involutionen existieren, welche in V(ZS3) nicht konjugiert sind. 1 2 EINLEITUNG Eine deutlich schwächere Frage, deren Beweis für eine Gruppe als eine erste Annäherung an die Zassenhausvermutung zu werten ist, formulierte W. Kim- merle in [Kim06], s. auch [Ari07, Prob. 21], die sogenannte Primgraphfrage: (PQ) Sind p und q zwei unterschiedliche Primzahlen und enthält die Gruppe V(ZG) ein Element der Ordnung pq, so enthält auch G ein Element der Ordnung pq. Der Primgraph einer Gruppe G ist wie folgt definiert: Die Eckenmenge des Primgraphen besteht aus jenen Primzahlen, die als Elementordnungen von Elementen inG vorkommen, und zwei Ecken p und q werden durch eine Kante verbunden, falls in G ein Element der Ordnung pq existiert. Die Primgraph- frage ist somit äquivalent zu der Aussage, dass die Primgraphen von V(ZG) und G übereinstimmen. Die Primgraphfrage kann aber auch als Spezialfall der oben erwähnten Frage Higmans bzw. Sandlings verstanden werden. Als eine weitere Variation oben genannter Probleme wird auch folgende Fra- gestellung betrachtet: Ist P eine p-Gruppe in V(ZG), ist dann P notwendi- gerweise isomorph zu einer Untergruppe von G oder sogar rational konjugiert zu einer Untergruppe vonG? Eine Aussage solchen Typs kann auch als schwa- cher bzw. starker Sylowsatz für V(ZG) bezeichnet werden. Erste Ergebnisse in dieser Richtung, allerdings in einem sehr viel weiteren Kontext, wurden in [RS87] und [Wei88, Wei91] erzielt, falls G eine p-Gruppe bzw. nilpotent ist. In diesen Fällen sind Untergruppen von V(ZG) sogar p-adisch zu Untergrup- pen von G konjugiert. Letztere der beiden Fragen wurde explizit in [DJ96] formuliert und für einige Klassen auflösbarer Gruppen untersucht. Beide Fra- gestellungen werden in [Kim15] aufgegriffen. Das Studium der Zassenhausvermutung konzentrierte sich bis ca. 2004 haupt- sächlich auf auflösbare Gruppen und viele Arbeiten wurden auf diesem Ge- biet veröffentlicht (vgl. z.B. [Wei91], [Her06], [Her08a], [CMdR13]). Lan- ge Zeit waren hingegen die alternierende Gruppe vom Grad 5 [LP89] und die symmetrische Gruppe vom Grad 5 [LT91] die einzigen nicht-auflösbaren Gruppen, für welche die Zassenhausvermutung bekannt war. Ein wesentli- cher Fortschritt für weitere nicht-auflösbare Gruppen konnte erst durch die Erweiterung der von I.S. Luthar und I.B.S. Passi in [LP89] verwendeten Me- thode durch Hertweck in [Her07] erzielt werden. Diese Methode wird daher als HeLP-Methode bezeichnet und in Abschnitt 1.2 eingeführt. 3Die Grundidee der HeLP-Methode ist folgende: Sei u eine Einheit endlicher Ordnung in V(ZG) und χ ein Charakter, der zu einer G-Darstellung über einem Körper der Charakteristik 0 korrespondiert. Dann ist das Skalarpro- dukt von χ mit jedem Charakter von ⟨u⟩ eine nicht-negative ganze Zahl. Es gelang Hertweck diese Idee auch auf Darstellungen über Körpern positiver Charakteristik p zu übertragen, wobei aber p nicht die Ordnung von u teilen darf. Die HeLP-Methode verwendet Charakter- und Brauer-Tafeln und es bietet sich an, sie für Serien von Gruppen anzuwenden, für die diese Tafeln gene- risch vorliegen. Insbesondere sind dies die Gruppen PSL(2, pf), die projekti- ven speziellen linearen Gruppen, die auf der projektiven Geraden über einem Körper mit pf Elementen operieren. Diese Gruppen haben außerdem den Vorteil, dass zu jeder festen Ordnung einer zyklischen Untergruppe stets nur eine Konjugiertenklasse solcher zyklischer Untergruppen vorliegt. Die HeLP- Methode wird in Abschnitt 2.2 eingesetzt, um zu zeigen, dass Einheiten in V(ZPSL(2, pf)), deren Ordnung eine zu p teilerfremde Primzahlpotenzord- nung ist, rational konjugiert zu Elementen in PSL(2, pf) sind. Hieraus folgt: Satz 2.2.2: Ist p = 2 oder f = 1, so ist jede Untergruppe von V(ZPSL(2, pf)), deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist, zu einer Untergruppe der Gruppen- basis rational konjugiert. Das heißt in solchen Gruppenringen gilt ein starker Sylowsatz. Dieses Resultat findet sich in [Mar14] und verschärft ein Ergebnis von Hert- weck, Höfert und Kimmerle, dass solche Untergruppen zu Untergruppen der PSL(2, pf) isomorph sind [HHK09], d.h. dass in den entsprechenden Grup- penringen ein schwacher Sylowsatz gilt. In Abschnitt 2.3 wird mittels einer Abwandlung der HeLP-Methode gezeigt: Satz 2.3.1: In V(ZPSL(2, p3)) ist jede Untergruppe von Primzahlpotenzord- nung isomorph zu einer Untergruppe der PSL(2, p3), d.h. in solchen Grup- penringen gilt ein schwacher Sylowsatz. Dieses Ergebnis ist in Zusammenarbeit mit A. Bächle entstanden und findet sich in [BM14b]. Es beantwortet eine Frage von Hertweck, Höfert und Kim- merle aus [HHK09] für diese Serie von Gruppen. 4 EINLEITUNG Während für die Zassenhausvermutung kaum strukturelle Theorie vorliegt, z.B. ist es vollkommen unbekannt, ob die Gültigkeit der Zassenhausvermu- tung für eine Gruppe G die Gültigkeit der Vermutung für das direkte Pro- dukt G × G impliziert, gelang es Kimmerle und Konovalov für die Prim- graphfrage eine starke Reduktion zu zeigen: Hat die Primgraphfrage für je- des fast-einfache Bild einer Gruppe G eine positive Antwort, so hat sie eine positive Antwort für G, s. [KK12, Th. 2.1]. Hierbei heißt eine Gruppe G fast-einfach, wenn eine einfache, nicht-abelsche Gruppe S existiert, so dass Inn(S) ≤ G ≤ Aut(S) gilt, wobei Inn bzw. Aut die innere bzw. gesamte Au- tomorphismengruppe bezeichnet. Kimmerle und Konovalov versuchten daraufhin die Primgraphfrage für al- le Gruppen zu beantworten, deren Ordnung von genau drei paarweise ver- schiedenen Primzahlen geteilt wird, indem sie diese für alle fast-einfachen Gruppen mit dieser Eigenschaft zu beantworten suchten [KK13]. Nach der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen und [Fei71, § 7] gibt es bis auf Isomorphie genau 19 solche Gruppen. Es gelang Kimmerle und Konova- lov mittels der HeLP-Methode für 17 dieser 19 Gruppen die Primgraphfrage zu beantworten. Die letzten beiden zu untersuchenden Gruppen waren die Mathieugruppe M10 und die PGL(2,9). Konkret war noch zu zeigen, dass in den normalisierten Einheitengruppen dieser beiden Gruppen jeweils kei- ne Elemente der Ordnung 6 existieren. Im Rahmen dieser Arbeit gelang es, gemeinsam mit A. Bächle, auch für diese Gruppen, die Primgraphfrage zu beantworten, s. Satz 3.1.1, und es ergibt sich somit Korollar 3.1.2: Sei G eine Gruppe, für welche die Ordnung jedes fast- einfachen Bildes von G höchstens drei paarweise verschiedene Primteiler hat. Dann gilt die Primgraphfrage für G. Insbesondere gilt die Primgraphfrage für alle Gruppen, deren Ordnung höchstens durch drei paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist. Dieses Resultat findet sich auch in [BM14a]. Aus den Argumenten des Bewei- ses konnte sogar eine allgemeine Methode entwickelt werden, die sogenannte Gitter-Methode, welche in Abschnitt 1.3 vorgestellt wird. Als Inspiration für die Gitter-Methode diente ein Argument Hertwecks in [Her08c]. Es handelt sich erst um die zweite allgemeine Methode, welche zur Behandlung der Zas- 5senhausvermutung und der Primgraphfrage für nicht-auflösbare Gruppen zur Verfügung steht. Die Grundidee der Gitter-Methode ist folgende: Sei u eine Einheit endlicher Ordnung in V(ZG), weiterhin p ein Primteiler der Ordnung von u und L ein RG-Gitter, welches zu einer Darstellung D von G korrespondiert. Hier- bei bezeichnet R einen Ring der Charakteristik 0, der ein maximales Ideal P enthält, in dem p liegt. Ist die HeLP-Methode für u nicht erfolgreich, so liefert sie dennoch starke Einschränkungen and die möglichen Eigenwerte von D(u). Ist k = R/P der Restklassenkörper von R modulo P und bezeichnet .¯ die Reduktion modulo P , so lassen sich aus diesen Eigenwerten Einschränkungen an die Isomorphietypen der kG-Kompositionsfaktoren von L¯ als k⟨u¯⟩-Moduln gewinnen. Da reduzierte nicht-isomorphe Gitter isomorphe Kompositionsfak- toren besitzen können, kann die Anwendung der Methode auf verschiedene Gitter schließlich einen Widerspruch ergeben. Die für den Einsatz der Gitter- Methode benötigten Zutaten sind Charaktertafeln und Zerlegungsmatrizen sowie teilweise auch Brauer-Tafeln. Das Verhältnis der HeLP- und Gitter-Methode kann auch in folgendem Sinne aufgefasst werden: Während der erfolgreiche Einsatz der klassischen Metho- de von Luthar und Passi, also der HeLP-Methode in Charakteristik 0, die Existenz gewisser Einheiten in der komplexen Gruppenalgebra CG widerlegt, leistet der erfolgreiche Einsatz der Gitter-Methode bezüglich einer Primzahl p dies für den p-adischen Gruppenring ZpG. Die HeLP-Methode und die Gitter-Methode werden in Abschnitt 2.5 einge- setzt, um zu zeigen: Satz 2.5.1: Die Zassenhausvermutung gilt für die vier Gruppen PSL(2,16), PSL(2,19), PSL(2,23) und PSL(2,25). Somit gilt die Zassenhausvermutung für die Gruppen PSL(2, q) mit q ≤ 25. Der Beweis der Zassenhausvermutung für die beiden Gruppen PSL(2,19) und PSL(2,23) ist aus gemeinsamer Arbeit mit A. Bächle entstanden und findet sich in [BM14a]. Die Zassenhausvermutung war bisher nur für sieben nicht-abelsche einfache Gruppen bekannt, s. Proposition 2.1.4. Zur Erprobung der Gitter-Methode wurde für diese Arbeit außerdem die Klasse der fast-einfachen Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paar- weise verschiedene Primzahlen teilbar ist, gewählt. Diese Gruppen werden in 6 EINLEITUNG Abschnitt 3.2 behandelt. Zwar gelingt es nicht, die Primgraphfrage für alle solchen Gruppen zu beweisen, s. Satz 3.2.1, es ergeben sich aber viele inter- essante Anwendungen der Gitter-Methode, s. die Lemmata 3.2.5 bis 3.2.10. Insbesondere wird die Gitter-Methode erstmals auf eine unendliche Serie von Gruppen angewendet, um zu zeigen: Proposition 2.4.1: In V(ZPSL(2, pf)) existieren keine Elemente der Ord- nung 3p, falls 9 nicht die Ordnung der Gruppenbasis PSL(2, pf) teilt. Da auflösbare Gruppen nicht Teil dieser Arbeit sind, ist die Gitter-Methode für diese bisher noch nicht eingesetzt worden und es erscheint hochinter- essant zu erfahren, welche Ergebnisse sie für solche Gruppen liefern könnte. Die kleinste Gruppe, für welche die Gitter-Methode mehr Informationen als die HeLP-Methode liefern könnte, ist nach einem Resultat von A. Herman und G. Singh [HS15] eine Gruppe der Ordnung 200 und die zu untersuchende Einheit hat Ordnung 10. Die Gitter-Methode kann für diese Gruppe tatsäch- lich leicht erfolgreich angewendet werden. Eine erste GAP-Implementierung der Gitter-Methode für unverzweigte Kör- pererweiterungen geschah gemeinsam mit A. Konovalov und wurde teilweise zu Voruntersuchungen der in Abschnitt 3.2.2 erzielten Ergebnisse genutzt. Es erscheint außerdem dringend notwendig, eine Implementierung der HeLP- Methode öffentlich zur Verfügung zu stellen. Ich hoffe sehr, dass die Imple- mentierung in GAP, welche in Zusammenarbeit mit A. Bächle entstanden ist und insbesondere verwendet wurde, um die Ergebnisse in Abschnitt 3.2.1 zu erzielen, noch dieses Jahr veröffentlicht werden kann. Kapitel 1 Grundlagen und Methoden Es bezeichne in diesem Kapitel und in der gesamten weiteren Arbeit G stets eine endliche Gruppe und Z den Ring der ganzen Zahlen. Weiterhin bezeich- ne RG, den Gruppenring von G über R, für einen beliebigen Ring R. Die Abbildung ε ∶ RG→ R, ∑ g∈G rgg ↦ ∑ g∈G rg heißt Augmentationsabbildung und ist ein Ringhomomorphismus. Insbe- sondere folgt für eine Einheit u in ZG die Gleichung ε(u) = ±1. Man nennt u eine normalisierte Einheit, falls ε(u) = 1 gilt. Bezeichne mit V(ZG) die Gruppe aller normalisierten Einheiten in ZG. Dann besteht die Menge aller Einheiten in ZG gerade aus den Elementen von ±V(ZG) und das Studium aller Einheiten des ganzzahligen Gruppenrings reduziert sich auf das Studi- um der normalisierten Einheiten. Im ersten Teil dieses Kapitels werden die grundlegenden bekannten Resultate über Torsionseinheiten ganzzahliger Gruppenringe angegeben. In den beiden folgenden Abschnitten werden die HeLP- und Gitter-Methoden vorgestellt, welche die Grundlage für die darauffolgenden Kapitel und die meisten Re- sultate dieser Arbeit bilden. Notation: Die nachfolgenden Bezeichnungen sollen für die gesamte Arbeit gelten. Ist A eine Matrix mit Eigenwerten α1, ..., αk, wobei die Multiplizitäten mit eingerechnet werden, dann schreibe A ∼ (α1, ..., αk). 7 8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN Besitzt A genau a1 Mal die Eigenwerte α1,1, .., α1,k1 genau a2 Mal die Eigen- werte α2,1, ..., α2,k2 usw., dann schreibe auch A ∼ (a1 × (α1,1, ..., α1,k1), a2 × (α2,1, ..., α2,k2), ..., am × (αm,1, ..., αm,km)). Es bezeichne ζn stets eine primitive n-te Einheitswurzel. Der Körper, in wel- chem ζn liegt, wird sich stets aus dem Kontext ergeben. Schreibe (ζn, ..., ζ−1n ) für die Menge aller primitiven n-ten Einheitswurzeln, falls diese als Eigen- werte einer Matrix auftreten. Handelt es sich bei A um eine Matrix endlicher Ordnung, welche aus einer modularen Darstellung resultiert, so werden die Eigenwerte von A, im Sinne Brauers, als komplexe Einheitswurzeln aufgefasst. 1.1 Grundlagen Für eine beliebige endliche Gruppe G ist über die Einheiten endlicher Ord- nung von V(ZG) nur sehr wenig bekannt. So gut wie die einzigen bekannten Resultate sind: Satz 1.1.1. [ŽK67], [CL65, Cor. 4.1] Ist U ≤ V(ZG) eine endliche Unter- gruppe, so teilt die Ordnung von U die Ordnung von G. Außerdem stimmen die Exponenten von V(ZG) und von G überein. Ist x ∈ G und bezeichnet xG die Konjugiertenklasse von x in G, dann heißt die Abbildung εx ∶ ZG→ Z, u = ∑ g∈G zgg ↦ ∑ g∈xG zg die partielle Augmentation von u bezüglich x. Partielle Augmentationen spielen beim Studium der Zassenhausvermutung bzw. der Primgraphfrage eine wesentliche Rolle vermittels folgenden Lemmas: Lemma 1.1.2. [MRSW87, Th. 2.5] Die Einheit u ∈ V(ZG) ist genau dann zu einem Element von G rational konjugiert, wenn für jedes x ∈ G und jedes d ∈ N die Ungleichung εx(ud) ≥ 0 erfüllt ist. Es sind folgende Tatsachen über die partiellen Augmentationen von Torsi- onseinheiten bekannt: 1.1. GRUNDLAGEN 9 Proposition 1.1.3. Sei u ∈ V(ZG) eine Torsionseinheit. a) Gilt u ≠ 1, so ist ε1(u) = 0 [Hig40a, Th. 10], [Ber55, Lem. 2] (s. auch [Seh93, Proposition 1.4]). b) Gilt εx(u) ≠ 0, so teilt die Ordnung von x die Ordnung von u [Her07, Prop. 2.2]. Die bisher genannten Resultate werden in dieser Arbeit teilweise ohne wei- tere Referenzierung verwendet. Ist man nicht nur an der rationalen Konjugation zyklischer Untergruppen interessiert, ist häufig folgendes Lemma nützlich: Lemma 1.1.4. [Val94, Lem. 4] Sei U eine endliche Untergruppe von V(ZG) und H eine Untergruppe von G isomorph zu U. Ist σ ∶ U → H ein Isomor- phismus, so dass χ(u) = χ(σ(u)) für jedes u ∈ U und jeden gewöhnlichen irreduziblen Charakter χ von G gilt, so ist U rational konjugiert zu H. Ist U eine feste endliche Gruppe und G beliebig, dann ist so gut wie immer unbekannt, ob das Vorhandensein einer zu U isomorphen Untergruppe in V(ZG) dazu führt, dass auch G eine zu U isomorphe Untergruppe enthält. Dies ist nur bekannt, falls U eine zyklische Gruppe von Primzahlpotenzord- nung ist, s. Satz 1.1.1, oder in folgendem Fall. Proposition 1.1.5. [Kim07, Prop.], [Her08b, Cor. 1] Ist p eine Primzahl und enthält V(ZG) eine zu Cp ×Cp isomorphe Untergruppe, so enthält auch G eine zu Cp ×Cp isomorphe Untergruppe. Die bereits in der Einleitung erwähnte Reduktion der Primgraphfrage von Kimmerle und Konovalov besagt: Satz 1.1.6. [KK12, Th. 2.1]: Hat die Primgraphfrage für jedes fast-einfache Bild einer Gruppe G ein positive Antwort, so hat sie eine positive Antwort für G. Ein Lemma, welches bei der Behandlung der Primgraphfrage hilfreich ist und direkt aus [Her07, Bew. von Prop. 6.3] folgt, ist Lemma 1.1.7. Seien p und q verschiedene Primzahlen, so dass G kein Ele- ment der Ordnung pq enthält, und u ∈ V(ZG) eine Einheit der Ordnung pq. Ist s die Summe der partiellen Augmentationen von u bezüglich Konjugier- tenklassen von Elementen der Ordnung p, so gilt s ≡ 0 mod p. 10 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN Zur Übersicht und zur Einordnung der Resultate dieser Arbeit sollen hier noch, bis auf einzelne Ausnahmen auflösbarer Gruppen, alle Gruppen ange- geben werden, für welche die Zassenhausvermutung bzw. die Primgraphfrage bekannt ist. Zu beachten ist hierbei noch die Reduktion in Satz 1.1.6 und Hertwecks [Her08a, Prop. 8.1]. Die Zassenhausvermutung ist bekannt für: • Nilpotente Gruppen [Wei91], • Gruppen G mit einem zyklischen Normalteiler N , so dass G/N abelsch ist [CMdR13], • Gruppen, die eine normale Sylowgruppe mit abelschem Komplement enthalten [Her06], • Frobeniusgruppen, deren Ordnung durch genau zwei Primzahlen teilbar ist [JPM00], • Gruppen der Form X ⋊ A, wobei X abelsch, A elementar abelsch ist und A treu sowie irreduzibel auf X operiert [SW86], • Gruppen der Form X ⋊A, wobei sowohl X als auch A abelsch sind und A von Primzahlordnung p ist, so dass p kleiner ist als jeder Primteiler der Ordnung von X [MRSW87], • Zentrale Erweiterungen der S5 [BH08] und einige PSL(2, q), welche in Proposition 2.1.4 aufgeführt sind, • Gruppen bis Ordnung 159 [HS15]1. Die Primgraphfrage wurde beantwortet für: • Auflösbare Gruppen [Kim06, § 4], [Hö08, Kor. 2.10], • Die Gruppen PSL(2, p), wobei p eine Primzahl bezeichnet [Her07], • Die Hälfte der sporadischen Gruppen (in einer Serie von Artikeln von V. Bovdi, Konovalov und anderen. Siehe z.B. [BKL08]), • Fast-einfache Gruppen, deren Ordnung durch genau drei paarweise ver- schiedene Primzahlen teilbar ist, abgesehen von M10 und PGL(2,9) [KK13]. 1Nach Fertigstellung dieser Arbeit teilte A. Herman mir mit, dass der Beweis dieses Resultats womöglich unvollständig ist. 1.2. DIE HELP-METHODE 11 1.2 Die HeLP-Methode Eine Methode zur Untersuchung rationaler Konjugation von Torsionseinhei- ten in ganzzahligen Gruppenringen, welche gewöhnliche Charaktere benutzt, wurde 1989 von I.S. Luthar und I.B.S. Passi in [LP89] vorgestellt. Sie be- wiesen damit die Zassenhausvermutung für die alternierende Gruppe vom Grad 5. Zusammen mit der symmetrischen Gruppe vom Grad 5, welche von Luthar und Trama in [LT91] untersucht wurde, blieb dies lange Zeit die einzige nicht-auflösbare Gruppe, für die die Zassenhausvermutung bekannt war. Ein erster algorithmischer Einsatz der Methode für generische Charak- tertafeln einer ganzen Serie von Gruppen wurde von R. Wagner in seiner Diplomarbeit [Wag95] unternommen. Später gelang es Hertweck, in einem aus unbekannten Gründen nie veröffentlichten Artikel, diese Methode auf modulare Charaktere auszuweiten [Her07]. Der heute übliche Name „HeLP“ (HertweckLutharPassi) für diese Methode geht, meines Wissens, auf Kono- valov zurück. Die Idee der HeLP-Methode ist nun folgende: Sei u ∈ V(ZG) eine Torsionsein- heit der Ordnung n und K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Cha- rakteristik p ≥ 0, wobei n nicht von p geteilt wird. Sei D eine K-Darstellung von G vom Grad s und χ der zu D gehörende Charakter. Dann lässt sich D, und folglich auch χ, linear auf ZG ausdehnen und D(u) ist eine invertier- bare Matrix endlicher Ordnung, deren Eigenwerte Einheitswurzeln von zu p teilerfremder Ordnung sind. Insbesondere ist D(u) über K diagonalisierbar. Es gilt die Gleichung χ(u) =∑ xG εx(u)χ(x), (1.1) wobei die Summe über alle Konjugiertenklassen xG von G läuft, die Elemente von zu p teilerfremder Ordnung enthalten. Diese Gleichung gilt mit Propo- sition 1.1.3b) offensichtlich für gewöhnliche Charaktere und nach Hertweck [Her07, Th. 3.2] auch für Brauer-Charaktere. Kennt man nun, z.B. nach Induktion, die partiellen Augmentationen aller echten Potenzen von u, dann lassen sich die Charakterwerte für diese Po- tenzen bestimmen und diese Charakterwerte liefern Einschränkungen an die Eigenwerte von D(u). Handelt es sich bei n = qf um eine Primzahlpotenz 12 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN und gilt D(uq) ∼ (α1, ..., αs), so existieren β1, ..., βs mit βqi = αi und D(u) ∼ (β1, ..., βs). Ist n hingegen keine Primzahlpotenz, so existieren zwei zu n nicht teiler- fremde Zahlen m1 und m2 mit um1+m2 = u. Aus D(um1) ∼ (α1, ..., αs) und D(um2) ∼ (β1, ..., βs) und der Tatsache, dass D(um1) und D(um2) als kom- mutierende Matrizen simultan diagonalisierbar sind, folgt D(u) ∼ (α1βi1 , ..., αsβis) mit {i1, ..., is} = {1, ..., s}. In der Regel erhält man durch den Charakterring von χ weitere Einschränkungen an die möglichen Eigenwerte vonD(u), da die Summe der Eigenwerte von D(u) in diesem Charakterring liegen muss. Der Vergleich der so erhaltenen Eigenwerte mit der oben angegebenen Gleichung (1.1) für χ(u), welche partielle Augmentationen von u enthält, liefert dann Einschränkungen an die möglichen partiellen Augmentationen von u. Dies ist die Grundidee der HeLP-Methode. Dies lässt sich technischer auch folgendermaßen schreiben: Bezeichnet ζ eine feste, primitive, komplexe n-te Einheitswurzel und ξ irgendeine n-te komplexe Einheitswurzel, dann ist die Multiplizität von ξ als Eigenwert von D(u), geschrieben µ(ξ, u,χ), eine nicht-negative ganze Zahl und es gilt µ(ξ, u,χ) = 1 n ∑ d∣n d≠1 TrQ(ζd)/Q(χ(ud)ξ−d) + 1 n ∑ xG εx(u)TrQ(ζ)/Q(χ(x)ξ−1). (1.2) Hierbei läuft die zweite Summe über alle Konjugiertenklassen xG von G, die Elemente von zu p teilerfremder Ordnung enthalten, und es bezeichnet TrQ(ζd)/Q die zahlentheoretische Spur, d.h. TrQ(ζd)/Q(x) = ∑ σ∈Gal(Q(ζd)/Q) σ(x). Ist weiterhin u von Primzahlpotenzordnung qf , so vereinfacht sich die erste Summe in (1.2) zu 1 n ∑ d∣n d≠1 TrQ(ζd)/Q(χ(ud)ξ−d) = 1 q µ(ξq, uq, χ). (1.3) 1.3. DIE GITTER-METHODE 13 Diese Formeln finden sich in [Her07, Sec. 4]. Die HeLP-Methode in Charakteristik 0 lässt sich auch als Spezialfall des folgenden Arguments auffassen: Ist U eine endliche Untergruppe von V(ZG) und ψ ein gewöhnlicher Charakter von U sowie χ die lineare Ausdehnung eines gewöhnlichen Charakters von G auf den Gruppenring ZG, so ist ⟨ψ,χ∣U ⟩U ∈ Z≥0. Das Wissen über die Charakterwerte von χ∣U , welches z.B. aus dem Wis- sen über die partiellen Augmentationen der Elemente in U gewonnen wer- den kann, ermöglicht dann die Anwendung dieser Ungleichung. Die HeLP- Methode und die Gleichung (1.2) ergeben sich dann als explizite Berechnung dieses Ansatzes für eine zyklische Gruppe U. Die erste Anwendung dieser Me- thode für ein nicht-zyklisches U geschah in der Doktorarbeit Höferts [Hö08]. Später wurde sie auch in [Her08b] und [HHK09] eingesetzt. In dieser Arbeit wird die Methode für die Heisenberggruppe (Cp ×Cp) ⋊Cp in Abschnitt 2.3 angewendet. 1.3 Die Gitter-Methode In Fällen, in denen die HeLP-Methode nicht ausreicht um rationale Konju- gation gewisser Torsionseinheiten in V(ZG) zu Elementen der Gruppenbasis zu zeigen bzw. die Existenz gewisser Torsionseinheiten zu widerlegen, liefert sie dennoch starke Einschränkungen an die möglichen partiellen Augmen- tationen solcher Einheiten. Ist u eine solche Torsionseinheit und sind auch die partiellen Augmentationen aller echten Potenzen von u bekannt, so las- sen sich für eine K-Darstellung D von G die Eigenwerte von D(u) angeben. Hierbei bezeichnet K einen Körper, dessen Charakteristik teilerfremd zur Ordnung von u ist. Es stellt sich die natürliche Frage: Kann man mit Hilfe dieser Eigenwerte weiteres Wissen über u, bis hin zu seiner Nichtexistenz bzw. seiner rationalen Konjugation zu einem Element in G, gewinnen und wie ließe sich das anstellen? Notation: Es bezeichnet in diesem Abschnitt stets p eine Primzahl, Qp die p-adische Vervollständigung von Q und Zp den Ring der ganzen Zahlen des Körpers Qp. Weiterhin bezeichnet R stets einen vollständigen diskreten Be- 14 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN wertungsring von endlichem Grad über Zp und P das maximale Ideal des Rings R, welches p enthält, sowie K den Quotientenkörper von R. Weiterhin bezeichnet k einen endlichen Körper der Charakteristik p, welcher groß genug ist und den Restklassenkörper R/P enthält. Die Reduktion modulo P , auch in Bezug auf Gitter, wird mit .¯ bezeichnet. Die Grundidee der Gitter-Methode ist nun folgende: Sei u eine Torsionsein- heit in V(ZG), so dass für u und alle echten Potenzen von u die partiellen Augmentationen bekannt sind und p die Ordnung von u teilt. Ist D eine R-Darstellung von G und L ein zu dieser Darstellung passendes RG-Gitter, dann liefern die Eigenwerte von D(u) Einschränkungen an die Struktur von L als R⟨u⟩-Gitter. Hieraus ergeben sich wiederum Einschränkungen an L¯ als k⟨u¯⟩-Modul und daraus Einschränkungen an die als kG-Moduln einfachen Kompositionsfaktoren von L¯, wenn man diese als k⟨u¯⟩-Moduln auffasst, vgl. Abbildung 1.1. Eigenwerte von D(u) // ✤ ✤ ✤ Mögliche Isomorphietypen von L¯ als k⟨u¯⟩-Modul // Mögliche Isomorphietypen der kG-Kompositionsfaktoren von L¯ als k⟨u¯⟩-Moduln Kompositionsfaktoren von K ⊗R L als K⟨u⟩-Modul //❴❴❴ Mögliche Isomorphietypen von L als R⟨u⟩-Gitter OO✤ ✤ ✤ Abbildung 1.1: Die Idee der Gitter-Methode. Da verschiedene Darstellungen und die zugehörigen reduzierten Gitter als kG-Moduln isomorphe Kompositionsfaktoren besitzen können, können die möglichen Isomorphietypen dieser Kompositionsfaktoren als k⟨u¯⟩-Moduln sich widersprechen und einen Widerspruch zur Existenz von u liefern. Die genauen theoretischen Voraussetzungen an die Gitter-Methode finden sich in den folgenden Lemmata und Propositionen, welche aus Resultaten der mo- dularen und ganzzahligen Darstellungstheorie folgen. Einige Teile der hier angeführten Zusammenhänge finden sich in [BM14a]. Das erste Lemma ist Standardwissen der modularen Darstellungstheorie und kann etwa in [HB82a, Ch. VII, Th. 5.3, Th. 5.5] nachgelesen werden. 1.3. DIE GITTER-METHODE 15 Lemma 1.3.1. Sei U = ⟨u⟩ eine zyklische Gruppe der Ordnung pam, wobei m teilerfremd zu p ist. Sei k ein Körper der Charakteristik p, welcher eine primitive m-te Einheitswurzel ζ enthält. Dann gilt: a) Es existieren bis auf Isomorphie genau m einfache kU-Moduln. Diese sind als k-Vektorräume alle 1-dimensional, um operiert auf jedem tri- vial und upa operiert als ζ i mit 1 ≤ i ≤ m. Wir nennen diese Moduln k1, ..., km. b) Die projektiven, unzerlegbaren kU-Moduln sind pa-dimensional. Sie alle sind uniseriell und jeder hat bis auf Isomorphie nur einen Kompositi- onsfaktor. Es gibt bis auf Isomorphie genau m projektive, unzerlegbare kU-Moduln. c) Jeder unzerlegbare kU-Modul ist isomorph zu einem Untermodul eines projektiven, unzerlegbaren Moduls. Es gibt insbesondere bis auf Isomor- phie genau pam unzerlegbare kU-Moduln und jeder solche ist uniseriell und hat bis auf Isomorphie nur einen Kompositionsfaktor. Notation: Ein unzerlegbarer k⟨u⟩-Modul der k-Dimension j mit Komposi- tionsfaktor ki wird mit (Ij)ζi bezeichnet. Geht der Kompostionsfaktor ki aus dem Kontext eindeutig hervor, so wird dieser Modul auch mit Ij bezeichnet. Mit Lemma 1.3.1 und dem Liften von Idempotenten [CR90, Th. 30.4] folgt: Proposition 1.3.2. Sei U = ⟨u⟩ eine zyklische Gruppe der Ordnung pam, so dass m teilerfremd zu p ist. Sei R ein vollständiger, diskreter Bewer- tungsring, welcher eine primitive m-te Einheitswurzel ζ enthält. Sei D eine R-Darstellung von U und L ein zu dieser Darstellung korrespondierendes RU-Gitter. Seien Ai ungeordnete Tupel von pa-ten Einheitswurzeln, so dass ζA1 ∪ ζ2A2 ∪ ... ∪ ζmAm gerade die komplexen Eigenwerte von D(u) sind. Hierbei können manche Ai auch leer sein. Des Weiteren seien V1, ..., Vm solche KU-Moduln, dass für eine zu Vi kor- respondierende Darstellung Ei die Eigenwerte von Ei(u) gerade ζ iAi sind. Dann ist L ≅ Lζ ⊕Lζ2...⊕Lζm und L¯ ≅ L¯ζ ⊕ ...⊕ L¯ζm , so dass rankR(Lζi) = dimk(L¯ζi) = ∣Ai∣ gilt. Hierbei sind die obenstehenden ζ i als Indices zu lesen. Weiterhin ist K ⊗R Lζ i ≅ Vi und der bis auf Isomorphie einzige Kompositionsfaktor von L¯ζi ist ki (vgl. Notation in Lemma 1.3.1). 16 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN In einigen einfachen Fällen lassen sich die Li genau beschreiben. Die nachfol- gende Proposition beschreibt die einfachste Situation und ist eine Folgerung aus [Gud67, Kor. 1 nach Th. 2.2]. Proposition 1.3.3. Sei die Notation wie in Proposition 1.3.2, die Gruppe U von Ordnung p und K unverzweigt über Qp. Sei ξ eine primitive p-te Einheitswurzel. a) Sei L ein unzerlegbares RU-Gitter. Dann tritt für den R-Rang von L, die zu L korrespondierenden Eigenwerte und das Zerfallen von L¯ einer der folgenden Fälle ein. • rank(L) = 1 mit zugehörigem Eigenwert 1 und L¯ ist unzerlegbar, • rank(L) = p − 1 mit zugehörigen Eigenwerten ξ, ξ2, ..., ξp−1 und L¯ ist unzerlegbar, • rank(L) = p mit zugehörigen Eigenwerten 1, ξ, ξ2, ..., ξp−1 und L¯ ist unzerlegbar, • rank(L) = p mit zugehörigen Eigenwerten 1, ξ, ξ2, ..., ξp−1 und L¯ ist die direkte Summe eines trivialen Moduls und eines unzerlegbaren Moduls der k-Dimension p − 1. b) Sei L nun wieder ein beliebiges RU-Gitter. Ist man nur an dem Zusam- menhang zwischen den Eigenwerten von D(u) und dem Isomorphietyp von L¯ interessiert, so kann man nach a) und Lemma 1.3.1 annehmen, dass L nur unzerlegbare direkte Summanden der ersten drei in a) an- gegebenen Isomorphietypen besitzt. Bemerkung und Notation: Die in den ersten drei Fällen in der Proposi- tion 1.3.3a) geschilderten Gitter sind bis auf Isomorphie gerade das triviale Gitter, das Augmentationsideal des Gruppenrings RCp und der Gruppenring RCp selber. Sie sollen daher mit ihren natürlichen Namen R, I(RCp) und RCp versehen werden. Entsprechend werden ihre Reduktionen mit k, I(kCp) bzw. kCp bezeichnet. Nach Proposition 1.3.3b) kann außerdem bei der Anwendung der Gitter- Methode der vierte Fall in Proposition 1.3.3a) ignoriert werden. Einige weitere, für die Gitter-Methode wichtige Aspekte finden sich in fol- gender Bemerkung: 1.3. DIE GITTER-METHODE 17 Bemerkung 1.3.4. Die Notation sei wie in Proposition 1.3.2. a) Das Krull-Schmidt-Azumaya-Theorem gilt für L [CR90, Th. 30.6]. b) Die Anwendung der Gitter-Methode erfordert, einen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten ζ iAi und der Struktur von Lζ i herzustellen. Um dies in voller Allgemeinheit erreichen zu können, muss man also die Darstellungstheorie von R⟨um⟩ studieren. Der Darstellungstyp von R⟨um⟩ kann dabei endlich, zahm oder wild sein. Die Darstellungstheo- rie wird, grob gesprochen, desto komplizierter je größer a wird und je höher der Verzweigungsgrad von K über Qp steigt. Die Auflistung der Darstellungstypen für alle solchen Gruppenringe findet sich in [Die85]. c) Es bezeichne ξ eine primitive, komplexe p-te Einheitswurzel. K habe die Form K1 ⊗Qp K2, wobei K1 einen Teilkörper von Qp(ξ) bezeichnet und K2 eine unverzweigte Erweiterung von Qp. Sei a = 1 und L un- zerlegbar, so dass L bis auf Isomorphie höchstens zwei einfache, nicht- isomorphe RU-Gitter als Kompositionsfaktoren besitzt. Dann tritt jedes dieser nicht-isomorphen einfachen Gitter höchstens ein Mal als Kom- positionsfaktor von L auf [Gud67, Th. 2.2]. d) Sei p eine ungerade Primzahl mit p ≡ ǫ mod 4 und ǫ ∈ {±1}. Weiterhin sei K = Qp(√ǫp) und U von Ordnung p. Bis auf Isomorphie existieren dann genau drei einfache RU-Gitter. Sei L unzerlegbar. Dann tritt jedes der nicht-trivialen einfachen RU-Gitter höchstens ein Mal als Kompo- sitionsfaktor von L auf und das triviale RU-Gitter höchstens zwei Mal [Gud67, Lem. 4.1]. Die Rolle der Gruppe U in Proposition 1.3.2 wird in den Anwendungen von ⟨u⟩ eingenommen, wobei u die untersuchte Torsionseinheit im ganzzah- ligen Gruppenring bezeichnet. Wichtige Aspekte der Darstellungstheorie der Gruppenbasis werden in folgender Bemerkung angegeben. Bemerkung 1.3.5. Sei G eine endliche Gruppe. a) Sei p eine ungerade Primzahl, χ ein irreduzibler Charakter von G und Q(χ) der Charakterkörper von χ. Weiterhin sei pam mit ggT(m,p) = 1 der Exponent von G. Dann existiert nach einem Satz von P. Fong [Isa76, Cor. 10.13] eine den Charakter χ über dem Körper Q(χ)(ζm) 18 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN realisierende Darstellung von G. Nach [Neu92, Kap. II, Satz 7.12] existiert somit ein p-adisch vollstän- diger Körper vom selben Verzweigungsgrad über Qp wie die p-adische Vervollständigung von Q(χ), über dem sich χ realisieren lässt. b) R ist als vollständiger, diskreter Bewertungsring ein Hauptidealbereich. Damit ist jede K-Darstellung von G äquivalent zu einer R-Darstellung [CR90, Prop. 23.16]. Das nachfolgende Lemma beschreibt die einfachste Situation, in welcher sich die Gitter-Methode anwenden lässt. Diese liegt bei der alternierenden Gruppe vom Grad 6 vor und begegnet einem bei den in dieser Arbeit betrachteten Gruppen auch überraschend häufig. Lemma 1.3.6. Sei G eine endliche Gruppe und u ∈ V(ZG) eine Torsions- einheit der Ordnung pq, wobei p und q verschiedene Primzahlen bezeichnen und p ungerade ist. Es bezeichne ζq eine primitive komplexe q-te Einheits- wurzel und χ und ψ seien irreduzible ganzzahlige Charaktere von G. Sei R ein über Zp unverzweigter diskreter vollständiger Bewertungsring, dessen maxi- males Ideal p enthält und über dem sich zu χ und ψ gehörende Darstellungen Dχ und Dψ realisieren lassen (R existiert nach Bemerkung 1.3.5 a)). Seien Lχ und Lψ zu Dχ bzw. Dψ korrespondierende RG-Gitter. Angenommen modulo dem maximalen Ideal von R gilt L¯ζqχ ≅ L¯ζqψ . Dann folgt χ(u) − ψ(u) = χ(uq) − ψ(uq). Diese Situation liegt insbesondere vor, falls L¯χ ein einfacher kG-Modul ist und L¯ψ als kG-Modul als Kompositionsfaktoren den trivialen Modul und L¯χ, jeweils ein Mal, besitzt. Beweis: Sei Dχ(u) ∼ (Y1,X1) und Dψ(u) ∼ (Y2,X2), wobei Y1 und Y2 je- weils nur p-te Einheitswurzeln und X1 und X2 alle anderen, also die primiti- ven q-ten und primitiven pq-ten, Einheitswurzeln enthalten. Wegen L¯ζqχ ≅ L¯ ζq ψ folgt nach Proposition 1.3.3 dann X1 =X2. Somit gilt χ(u) = ∑ y∈Y1 y + ∑ x∈X1 x und ψ(u) = ∑ y∈Y2 y + ∑ x∈X1 x. (1.4) Da χ und ψ ganzzahlig sind, ist jede primitive p-te Einheitswurzel gleich häufig in Y1 enthalten und somit gilt ∑ y∈Y1 y = ∑ y∈Y1 yq. Selbiges gilt auch für Y2. 1.3. DIE GITTER-METHODE 19 Somit folgt χ(uq) = ∑ y∈Y1 y + ∑ x∈X1 xq und ψ(uq) = ∑ y∈Y2 y + ∑ x∈X1 xq. (1.5) Die Subtraktion der jeweils passenden Ausdrücke in den Gleichungen (1.4) und (1.5) zeigt dann die Aussage. ◻ 1.3.1 Young Tableaus und kCn-Moduln Sei k ein genügend großer Körper der Charakteristik p. Eine typische Situa- tion bei der Anwendung der Gitter-Methode ist das Vorliegen eines gewissen k⟨u⟩-Moduls M und der Struktur eines Untermoduls V von M . Diese liegen nicht konkret, sondern nur bis auf Isomorphie, vor und es stellt sich dann die Frage nach den möglichen Isomorphietypen des Quotienten M/V. Nach Lemma 1.3.1 können wir uns hierbei auf FpCpa-Moduln einschränken, wenn ○(u) = pam mit p ∤ m gilt. Die Untersuchung solcher Fragen führt zur Be- handlung von Young-Tableaus und zu Littlewood-Richardson-Koeffizienten. Da diese Begriffe im Bereich der Gruppenringe sonst eher unüblich sind, sol- len hier kurz die notwendigen Grundlagen und Aussagen hierzu zusammen- gefasst werden. Alle Definitionen lassen sich etwa in [Ful97] oder [Mac95] nachlesen. Beachte, dass die Bezeichnungen in der Literatur oft nicht ein- heitlich sind. Definition 1.3.7. Es bezeichne λ = (λ1, λ2, ..., λm) eine Partition, so dass λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λm gilt. Das zu λ gehörige Young Diagramm ist ein aus gleich großen leeren Kästchen bestehendes Diagramm, welches in der ers- ten Zeile λ1 Kästchen, in der zweiten Zeile λ2 Kästchen usw. enthält. Ist µ = (µ1, ..., µk) eine Unterpartition von λ, d.h. λ1 ≥ µ1, λ2 ≥ µ2 usw., dann erhält man durch das Streichen der zu µ gehörenden Kästchen im Young Diagramm von λ das zu λ/µ gehörende Schiefdiagramm. Enthält ein Young Diagramm bzw. Schiefdiagramm Einträge aus einem Al- phabet, typischerweise den natürlichen Zahlen, so heißt es Young Tableau bzw. Schieftableau. Ein Young (Schief)Tableau heißt semistandard, wenn die Einträge in jeder Zeile von links nach rechts nicht kleiner werden und in jeder Spalte von oben nach unten stets größer werden. Ein Wort der Länge r im Alphabet der natürlichen Zahlen erfüllt die Gitter- Eigenschaft, wenn die ersten s Buchstaben stets mindestens so viele 1er wie 20 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN 2er, mindestens so viele 2er wie 3er usw. enthalten, für jedes 1 ≤ s ≤ r. Ein Young (Schief)Tableau erfüllt die Gitter-Eigenschaft, wenn das Wort, wel- ches entsteht, wenn man die Einträge von rechts nach links und oben nach unten hintereinanderschreibt, die Gitter-Eigenschaft erfüllt. Beispiel 1.3.8. Die Partition µ = (3,1,0) ist eine Unterpartition der Par- tition λ = (4,2,1). Das zu λ gehörige Young Diagramm findet sich in der Abbildung 1.2 links. Das mittlere Bild in Abbildung 1.2 ist ein zu λ/µ gehöri- ges Schieftableau, welches die Gitter-Eigenschaft erfüllt. Hingegen erfüllt das rechte Schieftableau in Abbildung 1.2 die Gitter-Eigenschaft nicht. 1 2 1 2 1 1 Abbildung 1.2: Beispiele für ein Young Diagramm und zwei Schieftableaus Ist nun M ein FpCpa-Modul, dann lässt er sich nach Lemma 1.3.1 als M ≅ apaIpa ⊕ ...⊕ a2I2 ⊕ a1I1 mit ai ∈ N0 und jeweils unzerlegbaren Moduln Ii der Dimension i schreiben. Diesem M wird nun eine Partition zugeordnet, welche apa Mal pa,..., a2 Mal die 2 und a1 Mal die 1 enthält. Der nachfolgende Hauptsatz ist eine Folgerung aus [Mac95, II, 4]. Satz 1.3.9. Seien M,V und Q jeweils FpCpa-Moduln mit zugehörigen Young Diagrammen λ,µ bzw. ν = (ν1, ..., νl). Dann existiert in M genau dann ein zu V isomorpher Untermodul V˜ mit M/V˜ ≅ Q, wenn ein semistandard Schief- tableau der Form λ/µ existiert, welches die Gitter-Eigenschaft erfüllt und genau ν1 Mal die 1, ν2 Mal die 2,...,νl Mal l und keine weiteren Zahlen als Einträge enthält. Bemerkung 1.3.10. Die Anzahl der Möglichkeiten ein Schiefdiagramm der Form λ/µ mit Einträgen aus ν auf die oben beschriebene Weise zu füllen heißt Littlewood-Richardson-Koeffizient und wird oft mit cλµν bezeichnet. Für die Anwendung der Gitter-Methode ist es meistens nur von Bedeutung, ob der Littlewood-Richardson-Koeffizient verschwindet. Andere kombinato- rische Beschreibungen für cλµν finden sich in [Ful97, 5.1, Cor. 2], insbesondere die Symmetrie cλµν = cλνµ. 1.4. ALGORITHMISCHE ASPEKTE DER GITTER-METHODE 21 1.4 Algorithmische Aspekte der Gitter-Methode Möchte man die Gitter-Methode algorithmisch auffassen, so lässt sich dies wie folgt verstehen: Eingabe: • Eine endliche Gruppe G. • Eine Torsionseinheit u ∈ V(ZG) der Ordnung n, so dass die partielle Augmentationen von u und ud für jeden Teiler d von n bekannt sind. • Ein Primteiler p von n. • Ein gewöhnlicher Charakter χ von G. • Die Kompositionszahlen von χ modulo p. • Die Werte der zu den kG-Kompositionsfaktoren von χ korrespondie- renden Brauer-Charaktere auf den Konjugationsklassen, deren partielle Augmentation bezüglich einem ud nicht verschwindet. Hierbei bezeich- net k einen endlichen Körper der Charakteristik p, welcher groß genug ist. Ausgabe: Einschränkungen an die möglichen Isomorphietypen der Sζ i m j als k⟨u¯⟩-Moduln mit 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ t. Hierbei bezeichnen S1, ..., St die einfachen Kompositionsfaktoren von L¯ als kG-Modul. Sei n = pammit p ∤m und ferner bezeichneM einen zu χ korrespondierenden KG-Modul mit geeignetem KörperK.Weiterhin sei o.B.d.A.K ein bezüglich der p-adischen Bewertung vervollständigter algebraischer Zahlkörper, der ei- ne primitive m-te Einheitswurzel enthält, und R der Ring der ganzen Zahlen von K. D.h. R ist ein lokaler diskreter Bewertungsring, dessen maximales Ideal p enthält. Nach Bemerkung 1.3.5a) kann man außerdem voraussetzen, dass K über Qp den selben Verzweigungsgrad besitzt wie die p-adische Ver- vollständigung des Charakterkörpers von χ. Es bezeichne .¯ die Reduktion modulo dem maximalen Ideal von R. Außerdem sei D eine zu χ korrespon- dierende R-Darstellung, diese existiert nach Bemerkung 1.3.5b), und L ein zu D korrespondierendes RG-Gitter. Es lassen sich dann zuerst aus den gegebenen partiellen Augmentationen Einschränkungen an die Eigenwerte mitsamt Vielfachheiten von D(u) be- rechnen. Zerlegt man das Polynom (xpa − 1) in R[x] in seine irreduziblen 22 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN UND METHODEN Faktoren, so lassen sich hieraus die einfachen Kompositionsfaktoren der Lζim bestimmen, diese werden als R⟨u⟩-Gitter aufgefasst. Aus der Kenntnis dieser Kompositionsfaktoren lassen sich im Idealfall alle möglichen Isomorphietypen der Lζim bestimmen oder wenigstens Einschrän- kungen an diese Isomorphietypen gewinnen. Da es nach dem Satz von Jordan- Zassenhaus [CR90, Th. 24.1] immer nur endlich viele mögliche Isomorphiety- pen für Lζim gibt, lassen sich diese theoretisch, insbesondere unter Zuhilfenah- me eines Rechners, immer bestimmen. In konkreten Fällen, vor allem wenn der Isomorphietyp von R⟨u⟩ wild ist, kann dies aber sehr aufwendig sein. Aus diesen Isomorphietypen kann man dann wiederum Einschränkungen an die Isomorphietypen der L¯ζim erhalten. Aus der Kenntnis der Werte der Brauercharaktere und der partiellen Aug- mentationen von u lassen sich die Dimensionen der Sζ i m j als k⟨u¯⟩-Modul be- stimmen. Mit dem im vorigen Abschnitt vorgestellten Littlewood-Richardson- Kalkül und dem Wissen um die möglichen Isomorphietypen der L¯ζim erhält man dann mögliche Isomorphietypen der Sζ i m j . Hierbei kann es von großem Vorteil sein, nicht nur die Kompositionszahlen von χ zu kennen, sondern eine konkrete Sockelreihe von L¯ vorliegen zu haben. Diese Reihe kann sich z.B. aus einer Berechnung von D ergeben oder aus theoretischen Gründen, etwa weil kG eine Brauerbaumalgbera ist, folgen. Führt man dieses Verfahren mit mehreren Charakteren aus, die in einem ge- meinsamen Block bezüglich p liegen, so kann man hoffen, schließlich einen Widerspruch zur Existenz einer Einheit mit den gegebenen partiellen Aug- mentationen zu erhalten. In dieser Arbeit wird die Gitter-Methode in den Abschnitten 2.4, 2.5, 3.1 und 3.2.2 angewendet. Kapitel 2 Torsionseinheiten im ganzzahligen Gruppenring der PSL(2, q) In diesem Kapitel werden Torsionseinheiten in ganzzahligen Gruppenringen der Gruppen PSL(2, q) untersucht. Diese Gruppen bieten sich für die in Ka- pitel 1 geschilderten HeLP- und Gitter-Methode besonders an, da sie eine Serie einfacher Gruppen liefern, deren generische Charaktertafeln, sowohl gewöhnlich als auch modular, bekannt und gut zu behandeln sind. Im ers- ten Abschnitt dieses Kapitels werden die gruppen- und darstellungstheoreti- schen Grundlagen für diese Gruppen kurz geschildert. Ebenso werden eini- ge bekannte Resultate über Torsionseinheiten in V(ZPSL(2, q)) angegeben, insbesondere alle Ergebnisse für die Zassenhausvermutung und die Primgra- phfrage. Betrachtet man V(ZG), so stellt sich die Frage, wie ein Sylowsatz hier formu- liert werden könnte. Eine Möglichkeit, sagen wir ein schwacher Sylowsatz, wäre, dass alle p-Untergruppen von V(ZG) zu Untergruppen von G isomorph sind. Eine andere Möglichkeit, sagen wir ein starker Sylowsatz, wäre, dass alle p-Untergruppen von V(ZG) zu Untergruppen von G rational konjugiert sind. Erste Fragen dieser Art wurden explizit von K.W. Roggenkamp und Kimmerle in [KR93] betrachtet, nachdem in [RS87] und [Wei88, Wei91] be- reits ein starker Sylowsatz für die normalisierten Torsionseinheiten ganzzah- liger Gruppenringe von p-Gruppen bzw. nilpotenten Gruppen bewiesen wor- den war. Später bewiesen M.A. Dockuchaev und S.O. Juriaans einen starken Sylowsatz für weitere Klassen auflösbarer Gruppen [DJ96]. Während im Fall einer auflösbaren Gruppe H eine abelsche p-Sylowgruppe impliziert, dass p-Untergruppen von V(ZH) zu Untergruppen von H rational 23 24 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) konjugiert sind [DJ96, Prop. 2.11], ist diese Frage für nicht-auflösbare Grup- pen vollkommen offen. Ist H eine Gruppe mit zyklischer p-Sylowgruppe, so sind auch die p-Untergruppen von V(ZH) zyklisch, vgl. Proposition 1.1.5. Hat die p-Sylowgruppe von H höchstens die Ordnung p2, so folgt bereits nach Satz 1.1.1, dass jede p-Untergruppe von H abelsch ist, da sie höchstens die Ordnung p2 besitzt. Es ist aber, außer für einzelne nicht-auflösbare Gruppen, nicht bekannt, ob eine abelsche, nicht-zyklische p-Sylowgruppe von Ordnung mindestens p3 impliziert, dass auch die p-Untergruppen von V(ZG) abelsch sind. Im zweiten Abschnitt wird zuerst mittels der HeLP-Methode gezeigt, dass Einheiten der Ordnung rn in V(ZPSL(2, pf)) rational konjugiert zu Ele- menten der Gruppenbasis sind. Hierbei bezeichnet r eine von p verschiedene Primzahl. Darauf aufbauend wird ein starker Sylowsatz für V(ZPSL(2, pf)) für p = 2 oder f = 1 bewiesen. Dieses Resultat verallgemeinert ein Ergebnis von Hertweck, Höfert und Kimmerle, s. Proposition 2.1.9. Die Ergebnisse dieses Abschnitts finden sich auch in [Mar14]. Im dritten Abschnitt werden p-Gruppen in V(ZPSL(2, pf)) in definierender Charakteristik untersucht. Es wird ein erster Schritt zur Beantwortung einer Frage von Hertweck, Höfert und Kimmerle aus [HHK09] getätigt und be- wiesen, dass Untergruppen in V(ZPSL(2, p3)) von Primzahlpotenzordnung stets isomorph zu Untergruppen von PSL(2, p3) sind. Dies geschieht mittels der Anwendung der HeLP-Methode auf die Heisenberggruppe (Cp×Cp)⋊Cp. Hieraus folgt ein schwacher Sylowsatz für die Gruppenringe solcher Gruppen. Dieses Resultat findet sich auch in [BM14b]. Im vierten Abschnitt wird, wiederum mit Hilfe der HeLP-Methode, die Prim- graphfrage für alle fast-einfachen Gruppen mit einem zu PSL(2, p) isomor- phen Normalteiler positiv beantwortet, wobei p eine Primzahl bezeichnet. Dies sollte im Rahmen der Reduktion in Satz 1.1.6 gesehen werden. Wei- terhin wird erstmals die die Gitter-Methode angewendet und zwar für eine unendliche Serie von Gruppen. Genauer wird für G = PSL(2, pf) gezeigt, dass V(ZG) keine Elemente der Ordnung 3p enthält, falls 9 kein Teiler der Ordnung von G ist. Im fünften Abschnitt wird die Zassenhausvermutung für die vier Gruppen PSL(2,16), PSL(2,19), PSL(2,23) und PSL(2,25) bewiesen. Während der Beweis für PSL(2,23) und PSL(2,25) nur mittels der HeLP-Methode ge- 2.1. GRUNDLAGEN UND BEKANNTES 25 lingt, wird die Zassenhausvermutung für PSL(2,16) und PSL(2,19) unter zusätzlichem Einsatz der Gitter-Methode bewiesen. Für PSL(2,19) wird ins- besondere erstmals eine verzweigte Körpererweiterung betrachtet. Ein Teil dieser Ergebnisse findet sich auch in [BM14a]. 2.1 Grundlagen und Bekanntes 2.1.1 Gruppen- und darstellungstheoretische Grundla- gen Alle Untergruppen der PSL(2, q) wurden erstmals von L.E. Dickson beschrie- ben. Der für diese Arbeit benötigte Teil ist: Proposition 2.1.1. [Dic01, Th. 260] bzw. [Hup67, Kap. II, Hauptsatz 8.27] Sei G = PSL(2, pf) und d = ggT(2, p−1). Dann hat die Gruppe G die Ordnung (pf − 1)pf(pf + 1)/d. Weiterhin enthält G jeweils eine zyklische Untergruppe der Ordnung p, p f+1 d und p f−1 d , so dass jedes Element von G zu einem Ele- ment in einer dieser drei Untergruppen konjugiert ist. Die p-Sylowgruppen von G sind elementar-abelsch, alle anderen Sylowgrup- pen ungerader Ordnung sind zyklisch und die 2-Sylowgruppe von G ist, für ungerades p, eine Diedergruppe oder eine Kleinsche Vierergruppe. Es gibt d Konjugiertenklassen von Elementen der Ordnung p. Ist g ∈ G nicht von Ord- nung p, so ist g−1 das einzige zu g konjugierte Element in ⟨g⟩. Insbesondere gibt es in G nur eine Konjugiertenklasse von Involutionen. Die gewöhnliche Charaktertafel der PSL(2, q) ist in der gewöhnlichen Cha- raktertafel der zentralen Erweiterung SL(2, q) enthalten. Die Tafeln letzterer Serie wurden zuerst unabhängig von H.E. Jordan [Jor07] und I. Schur [Sch07] bestimmt. Eine Wiedergabe findet sich in [Dor71, §38]. Die für diese Arbeit benötigten Teile werden in den folgenden Absätzen angegeben. Sei G = PSL(2, pf) und d = ggT(2, p−1). Der sogenannte Steinbergcharakter von G, ist der Charakter, welcher sich aus der natürlichen Permutations- darstellung auf der zugehörigen projektiven Geraden ergibt, wenn man den trivialen Untermodul herauskürzt. Da diese Operation 2-transitiv ist, ist die- ser Charakter irreduzibel, s. [Hup67, Kap. V, Satz 20.2]. Bezeichnet ψ den 26 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) Steinbergcharakter, so gilt: ψ(g) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ pf , g = 1 1, ○(g) ∣ pf−1 d 0, ○(g) = p −1, ○(g) ∣ pf+1 d . Die Charaktertafel der PSL(2, pf) findet sich in Tabelle 2.1 und Tabelle 2.2. Für p = 2 stimmt Tabelle 2.1 genau mit der Tafel in [Dor71, Th. 38.2] überein. In diesem Fall bezeichnet c eine Involution, a ein Element der Ordnung 2f −1 und b ein Element der Ordnung 2f +1. Weiterhin bezeichnet ρ eine primitive (2f − 1)-te und σ eine primitive (2f + 1)-te Einheitswurzel. 1 c al bm 1 1 1 1 1 ψ q 0 1 -1 χi q + 1 1 ρil + ρ−il 0 θj q − 1 −1 0 −(σjm + σ−jm) Mit: 1 ≤ i, l ≤ q−2 2 , 1 ≤ j,m ≤ q 2 Tabelle 2.1: Gewöhnliche Charaktertafel der PSL(2, q) für gerades q. Ist p ungerade, so muss die Charaktertafel in [Dor71, Th. 38.1] an den Quoti- enten PSL(2, pf) angepasst werden. Die Tafel in Tabelle 2.2 findet sich genau so in [Her07, Tab. 2]. Die in Tabelle 2.2 benutzten Bezeichnungen sind folgende: a, b, c, d sind Ele- mente in PSL(2, q) = PSL(2, pf), so dass a die Ordnung q−1 2 und b die Ord- nung q+1 2 besitzt. Weiterhin sind c und d von Ordnung p, so dass c und d nicht zueinander konjugiert sind. Es gilt ǫ = (−1) q−12 und ρ bzw. σ bezeichnet eine primitive q−1 2 -te bzw. q+1 2 -te Einheitswurzel. Die p-modularen Darstellungen von PSL(2, pf) wurden zuerst vollständig von R. Brauer und C. Nesbitt bestimmt [BN41]. Die zugehörige Tafel fin- det sich explizit in [Sri64]. Die Zerlegungsmatrizen bezüglich aller Primteiler der Gruppenordnung werden in [Bur76] bestimmt. Diese Zerlegungsmatrizen werden in dieser Arbeit mehrmals benötigt, sollen aber aus Platzgründen nicht alle angegeben werden. Obwohl die Darstellungstheorie der PSL(2, q) also wohlbekannt ist, konnte 2.1. GRUNDLAGEN UND BEKANNTES 27 1 c d al bm 1 1 1 1 1 1 ψ q 0 0 1 -1 χi q + 1 1 1 ρil + ρ−il 0 θj q − 1 −1 −1 0 −(σjm + σ−jm) η1 q+ǫ 2 ǫ+√ǫq 2 ǫ−√ǫq 2 (−1)lδǫ,1 (−1)mδǫ,−1 η2 q+ǫ 2 ǫ−√ǫq 2 ǫ+√ǫq 2 (−1)lδǫ,1 (−1)mδǫ,−1 Mit: 1 ≤ i ≤ q−5 4 , 1 ≤ j, l,m ≤ q−1 4 für ǫ = 1 und 1 ≤ i, j, l ≤ q−3 4 , 1 ≤m ≤ q+1 4 für ǫ = −1. Tabelle 2.2: Gewöhnliche Charaktertafel der PSL(2, q) für ungerades q. ich nachfolgendes Lemma in der Literatur nicht finden. Es findet sich zwar in [Her07], allerdings ohne Beweis. Aus diesen Gründen wird es hier bewiesen. Lemma 2.1.2. Sei G = PSL(2, pf) und d = ggT(2, p − 1). Des Weiteren sei a ein Element der Ordnung p f−1 d und b ein Element der Ordnung p f+1 d in G. Dann existiert zu jedem m ∈ N0 eine p-modulare Darstellung Θm mit zugehörigem Brauercharakter ϕm sowie eine pf−1 d -te primitive Einheitswurzel α und eine p f+1 d -te primitive Einheitswurzel β, so dass für jedes m ∈ N0 gilt: Θm(a) ∼ (1, α,α−1, α2, α−2, ..., αm, α−m), Θm(b) ∼ (1, β, β−1, β2, β−2, ..., βm, β−m). Beweis: Bezeichne k einen algebraisch abgeschlossenen Körper der Cha- rakteristik p. Die Gruppe SL(2, pf) operiert auf dem Vektorraum der homo- genen Polynome in zwei kommutierenden Variablen x und y von festem Grad e über k durch die Ausdehnung der natürlichen Operation auf dem durch x und y aufgespanntem zweidimensionalen Vektorraum. Siehe hierzu zum Bei- spiel [Alp86, S. 14-16]. Diese Operation liefert genau dann eine Darstellung der PSL(2, pf), wenn e gerade und p ungerade oder wenn p = 2 ist, da die Gleichung ⎛ ⎝ −1 0 0 −1 ⎞ ⎠xiyj = (−1)i+jxiyj gilt. Sei im Folgenden e gerade. Die Darstellung, welche sich aus der oben beschriebenen Operation ergibt, heiße Θ e 2 . Sei nun γ der Eigenwert eines Elements in SL(2, pf), welches unter 28 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) der natürlichen Projektion auf PSL(2, pf) auf a abbildet. Somit besitzt Θ e 2 (a) die gleichen Eigenwerte wie Θ e 2 (( γ 0 0 γ−1 )) . Wegen ⎛ ⎝ γ 0 0 γ−1 ⎞ ⎠xiyj = γi−jxiyj sind diese Eigenwerte {γi−j ∣ 0 ≤ i, j ≤ e, i + j = e} = {(γ2t ∣ −e 2 ≤ t ≤ e 2 }. Setzt man α = γ2, so folgt der erste Teil der Behauptung. Sei nun δ ein Eigenwert eines Elements in SL(2, pf), welches unter der natür- lichen Projektion auf PSL(2, pf) auf b abbildet. Die Operation der SL(2, pf) lässt sich auf die SL(2, p2f) ausdehnen. Dann hat Θ e 2 (b) die selben Eigenwerte wie Θ e 2 (( δ 0 0 δ−1 )) , wobei letztere Matrix als Element von SL(2, p2f ) aufgefasst wird. Dann zeigt das selbe Argument wie oben mit β = δ2 den zweiten Teil der Behauptung. ◻ Die Beschreibung der Automorphismengruppen der PSL(2, q) finden sich, in einem sehr viel weiteren Kontext, in [Die71, Ch. 4, §6]. Eine für die hier vorliegenden Gruppen lesbarere Beschreibung findet sich in [Wil09, 3.3.4]. Es gilt: Proposition 2.1.3. Sei G = PSL(2, pf) mit pf ≥ 4. Dann ist Out(G) = ⟨s⟩ × ⟨t⟩ ≅ Cd ×Cf mit d = ggT(2, p − 1). Dabei ist G ⋊ ⟨s⟩ = PGL(2, pf). Der Frobeniusauto- morphismus des Körpers Fpf operiert eintragsweise auf GL(2, pf) und dies induziert den Automorphismus t auf PSL(2, pf). 2.1.2 Bekanntes über Torsionseinheiten Verschiedene Fragestellungen über Torsionseinheiten im ganzzahligen Grup- penring der Gruppen PSL(2, q) wurden in den beiden Diplomarbeiten [Ble93], [Wag95], den Doktorarbeiten [Ble95a], [Hö08] und in den Artikeln [LP89], [Ble95b], [BHK04], [Her06], [Her07], [HHK09], [Her08c], [BK11], [Gil13] und [KK12] untersucht. Die für diese Arbeit relevanten Resultate werden im Fol- genden kurz angegeben. 2.1. GRUNDLAGEN UND BEKANNTES 29 Proposition 2.1.4. Die Zassenhausvermutung gilt für die Gruppe PSL(2, q), falls q ∈ {2,3,4,5,7,8,9,11,13,17}. Jede einfache nicht-abelsche Gruppe, für die die Zassenhausvermutung bekannt ist, ist isomorph zu einer dieser Grup- pen. Bemerkung 2.1.5. Der Beweis der Zassenhausvermutung für q = 2 findet sich in [HP72] und für q = 3 in [AH80]. Die zu A5 isomorphen Fälle q = 4 und q = 5 sind die erste Anwendung der HeLP-Methode in [LP89]. Noch bevor Hertweck die Methode von Luthar und Passi auf modulare Charaktere aus- geweitet hatte, konnte er in [Her06, Ex. 3.6] die Zassenhausvermutung für PSL(2,7) zeigen. Das zusätzliche Argument hierfür war grob folgendes: Ist u eine Torsionseinheit, deren Existenz man widerlegen möchte, D eine gekürzte Permutationsdarstellung und existiert eine Primzahl p, so dass der Grad von D kongruent zu −1 modulo p ist, so muss D(u) einen Eigenwert 1 besitzen. Zwar ist prinzipiell vorstellbar, dass dieses Argument auch für andere Grup- pen Anwendung finden könnte, es ist aber weder mir noch Hertweck selber (mündliche Mitteilung an mich Mitte 2013) ein Beispiel hierfür bekannt. Nachdem Hertweck die Methode von Luthar und Passi auf modulare Cha- raktere übertragen hatte, gelang es ihm weiterhin, nur mit Hilfe der HeLP- Methode, die Zassenhausvermutung für q = 11 und q = 13 zu verifizieren [Her07]. Ebenso mittels der HeLP-Methode konnten J. Gildea [Gil13] und unabhängig davon Konovalov und Kimmerle [KK12] für q = 8 und q = 17 die Zassenhausvermutung verifizieren. Der Fall q = 9 wurde von Hertweck in [Her08c] betrachtet. Hier erwies sich die HeLP-Methode nicht als ausreichend. Das zusätzliche Argument in diesem Artikel war der Anstoß zur Entwicklung der Gitter-Methode. Wie oben erwähnt, geschah die erste Anwendung der HeLP-Methode auf ei- ne Serie von Gruppen, deren Charaktertafeln generisch vorliegen, in Wagners Diplomarbeit [Wag95]. Da der modulare, von Hertweck bewiesenen Teil, der Methode noch unbekannt war und man im Allgemeinen deutlich weniger über partielle Augmentationen wusste, war die Methode noch wesentlich schwä- cher als in ihrer heutigen Form. Wagner konnte folgendes Resultat erzielen, das für den Fall f = 1 in [BHK04] veröffentlicht wurde. Ein kompletter Beweis findet sich auch in [Her07, Prop. 6.1]. Proposition 2.1.6. [Wag95] Sei G = PSL(2, pf) und f ≤ 2. Ist u ∈ V(ZG) von Ordnung p, so ist u rational konjugiert zu einem Element von G. 30 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) Nach der Ausweitung der Luthar-Passi-Methode auf modulare Darstellungen bewies Hertweck weiterhin folgende Aussagen: Proposition 2.1.7. [Her07, Prop. 6.3 - 6.7] Sei G = PSL(2, pf) und u eine Torsionseinheit in V(ZG). Dann gilt: a) Ist f = 1 und ist die Ordnung von u durch p teilbar, so hat u bereits die Ordnung p. b) Ist r eine Primzahl ungleich p und u von Ordnung r, so ist u zu einem Element von G rational konjugiert. c) Hat u Ordnung 6 und ist p ∉ {2,3}, so ist u zu einem Element von G rational konjugiert. d) Ist die Ordnung von u nicht durch p teilbar, so enthält G ein Element der selben Ordnung wie u. e) Sei r eine Primzahl ungleich p und u von Ordnung rn. Sei m < n und S ein Repräsentantensystem von Konjugiertenklassen von G bis Ordnung rm. Dann gilt ∑ s∈S εs(u) = 0. Ist weiterhin g ein Element der Ordnung rn in G, so gilt µ(1, u,ϕ) = µ(1, g,ϕ) für jeden p-Brauer Charakter ϕ der Gruppe G. Bemerkung 2.1.8. Insbesondere folgt aus obigen Resultaten und der Grup- penstruktur von PSL(2, q) (s. Proposition 2.1.1), dass die Primgraphfrage für PSL(2, p), für jede Primzahl p, eine positive Antwort hat. Ein weiteres für diese Arbeit wichtiges Resultat folgt direkt aus den Sätzen [HHK09, Th. 2.1, Th. 3.1]: Proposition 2.1.9. Sei G = PSL(2, pf) mit p = 2 oder f ≤ 2. Dann ist jede Untergruppe von V(ZG), welche Primzahlpotenzordnung hat, isomorph zu einer Untergruppe von G. D.h. in V(ZG) gilt ein schwacher Sylowsatz. 2.2 Ein starker Sylowsatz Die Proposition 2.1.9 zeigt einen schwachen Sylowsatz für einige PSL(2, q). Dieses Ergebnis soll in diesem Abschnitt unter Einsatz der HeLP-Methode wesentlich verschärft werden. Die hier angeführten Resultate finden sich auch in [Mar14]. Konkret wird bewiesen: 2.2. EIN STARKER SYLOWSATZ 31 Proposition 2.2.1. Sei G = PSL(2, pf) und r eine von p verschiedene Prim- zahl. Sei u eine Torsionseinheit in V(ZG) der Ordnung rn, für ein n ∈ N. Dann ist u zu einem Element von G rational konjugiert. Satz 2.2.2. Sei G = PSL(2, pf) und f = 1 oder p = 2. Dann ist jede Un- tergruppe von V(ZG), deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist, rational kon- jugiert zu einer Untergruppe von G. Das heißt in V(ZG) gilt ein starker Sylowsatz. Zunächst einige elementare zahlentheoretische Zusammenhänge: Lemma 2.2.3. Seien s und t natürliche Zahlen und s ein Teiler von t. Weiterhin sei ζs bzw. ζt eine primitive komplexe s-te bzw. t-te Einheitswurzel. Dann gilt: TrQ(ζt)/Q(ζs) = µ(s)ϕ(t)ϕ(s) , wobei µ die Möbius-Funktion und ϕ die Eulersche ϕ-Funktion bezeichnet. Insbesondere folgt für eine Primzahl r und natürliche Zahlen n und m TrQ(ζrn)/Q(ζrm) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ rn−1(r − 1), m = 0 −rn−1, m = 1 0, m > 1. Seien des Weiteren i und j zu r teilerfremde ganze Zahlen. Dann folgt TrQ(ζrn)/Q(ζ irmζ−jrm) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ rn−1(r − 1), i ≡ j(rm) −rn−1, i /≡ j(rm), i ≡ j(rm−1) 0, i /≡ j(rm−1). Beweis: Sei s = pf1 1 ⋅...⋅p fk k die Primfaktorzerlegung von s. Für eine natürliche Zahl ℓ setze I(ℓ) = {i ∈ N ∣ 1 ≤ i ≤ ℓ, ggT(ℓ, i) = 1}. Dann gilt bekanntlich Gal(Q(ζt)/Q) = {σi ∶ ζt ↦ ζ it ∣ i ∈ I(t)}. Hieraus folgt der Fall s = 1. Ansonsten erhalten wir TrQ(ζt)/Q(ζs) = ∑ i∈I(t) ζ is = ϕ(t) ϕ(s) ∑i∈I(s) ζ i s = ϕ(t) ϕ(s) k ∏ j=1 ∑ i∈I(pfj j ) ζ i p fj j . Wegen ∑ i∈I(pfj j ) ζ i p fj j = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ −1, fj = 1 0, fj > 1 32 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) ergibt sich die erste Formel. Die anderen Formeln sind Spezialfälle dieser, welche aus ϕ(rn) = (r − 1)(rn−1) folgen. ◻ Beweis der Proposition 2.2.1: Sei G = PSL(2, pf), sei r eine Primzahl ungleich p und u eine Torsionseinheit der Ordnung rn in V(ZG). Es bezeich- ne ζ eine primitive komplexe rn-te Einheitswurzel und setze TrQ(ζ)/Q = Tr. Ist n = 1, dann ist u nach Proposition 2.1.7b) rational konjugiert zu einem Element von G. Sei also im Folgenden n ≥ 2 und nach Induktion sei ur ratio- nal konjugiert zu einem Element von G. Sei m eine natürliche Zahl kleiner n. Wir zeigen nun induktiv, dass εx(u) = 0 gilt, falls x Ordnung rm hat. Für m = 0 folgt dies aus dem Satz von Berman- Higman und für m = 1 und p = 2 folgt dies aus Proposition 2.1.7e). Sei also εx(u) = 0, falls ○(x) < rm gilt. Setze ℓ = rm−12 , falls r ungerade ist, und ℓ = rm−2 2 , falls r = 2 gilt. Sei außerdem {xi ∣ 1 ≤ i ≤ ℓ, ggT(i, r) = 1} ein Repräsentantensystem von Konjugiertenklassen von Elementen der Ordnung rm in G, so dass xi 1 = xi gilt. Dies ist möglich nach Proposition 2.1.1. Wir werden per Induktion über k zeigen, dass εxi(u) = εxj(u) für i ≡ ±j (rm−k) gilt. Dies gilt offensichtlich für k = 0 und sobald dies für k = m, im Fall r ungerade, bzw. k = m − 1, im Fall r = 2, gezeigt ist, folgt mit Hilfe der Proposition 2.1.7e) auch εxi(u) = 0 für jedes i. Sei also nun εxi(u) = εxj(u) für i ≡ ±j (rm−k). Im Folgenden werden die in Lemma 2.1.2 eingeführten Darstellungen und Charaktere genutzt. Da ur nach Induktion zu einem Element von G rational konjugiert ist, existiert eine primitive, komplexe rn−1-te Einheitswurzel ζrn−1, so dass Θrk(ur) ∼ (1, ζrn−1 , ζ−1rn−1 , ζ2rn−1 , ζ−2rn−1 , ..., ζrkrn−1 , ζ−rkrn−1) gilt. Da die p-modularen Charaktere von G nur reelle Werte annehmen, er- halten wir somit Θrk(u) ∼ (1, a1, a−11 , a2, a−12 , ..., ark , a−1rk ), wobei die ai jeweils Einheitswurzeln mit ar m−k i ≠ 1 bezeichnen. Insbesondere folgt µ(ζrm−k , u,ϕ) = 0 für jede primitive, komplexe rm−k-te Einheitswurzel 2.2. EIN STARKER SYLOWSATZ 33 ζrm−k . Sei ζrm eine primitive, komplexe rm-te Einheitswurzel, so dass Θrk(x1) ∼ (1, ζrm , ζ−1rm , ..., ζrkrm , ζ−rkrm ) gilt, und setze ξ = ζrkrm. Sei weiterhin S eine Repräsentantensystem von Kon- jugiertenklassen von Elementen in G von r-Potenzordnung bis Ordnung rn, welches die Elemente x1, ..., xℓ enthält, und außerdem α eine zu r teilerfremde natürliche Zahl zwischen 1 und ℓ. Ab hier und im Rest des Abschnitts bedeutet eine Summe über i immer die Summe über alle definierten i, dies wird immer 1 ≤ i ≤ ℓ, ggT(i, r) = 1 bedeu- ten. Aus µ(ξα, u,ϕrk) = 0 und εx(u) = 0 für ○(x) < rm folgt dann mit Hilfe der HeLP-Methode aus Gleichung (1.2): 0 = µ(ξα, u,ϕrk) = 1 r µ(ξαr, ur, ϕrk) + 1 rn ∑ x∈S εx(u)Tr(ϕrk(x)ξ−α) = 1 r µ(ξαr, ur, ϕrk) + 1 rn ∑ x∈S○(x)>rm εx(u)Tr(ϕrk(x)ξ−α) + 1 rn ∑ i εxi(u)Tr(ϕrk(xi)ξ−α) = 1 r µ(ξαr, ur, ϕrk) + 1 rn ∑ x∈S εx(u)Tr(ξ−α) + 1 rn ∑ i εxi(u)Tr((ξi + ξ−i)ξ−α) = 1 r µ(ξαr, ur, ϕrk) + Tr(ξ−α) rn + 1 rn ∑ i εxi(u)Tr((ξi + ξ−i)ξ−α). (2.1) Hierbei wird in der dritten Zeile ausgenutzt, dass für eine komplexe Einheits- wurzel ζ˜ von r-Potenzordnung echt größer rm−k auch ζ˜ξ die selbe Ordnung wie ζ˜ besitzt und somit Tr(ζ˜ξ) = 0 nach Lemma 2.2.3 gilt. Beachte im Weiteren, dass für eine zu r teilerfremde Zahl i mit i ≡ α (rm−k) die Kongruenz −i ≢ α (rm−k) folgt, falls rm−k ∉ {1,2} gilt, und wir diese Aus- nahmefälle nach den Voraussetzung an k und m nicht zu betrachten brau- chen. Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden. Sei zuerst k 0 D(u) ∼ ((p + ǫ 2 + xp) × (1), (2x + 1)p × (ζi1 , ..., ζi p−12 ),(p2 − p 2 − xp) × (1, ζ, ..., ζ−1)) mit {i1, ..., i p−1 2 } = Q. Im Fall εg(u) ≤ 0 folgt D(u) ∼ ((p + ǫ 2 + xp) × (1), (2x + 1)p × (ζj1 , ..., ζj p−12 ),(p2 − p 2 − xp) × (1, ζ, ..., ζ−1)) mit {j1, ..., j p−1 2 } = N. Es handelt sich bei H um eine extraspezielle p-Gruppe, ihre Charaktertheo- rie ist wohlbekannt und findet sich z.B. in [Hup67, Kap. V, Satz 16.14]. Es 2.3. NICHT-ABELSCHE P -UNTERGRUPPEN 41 hat H genau p − 1 nicht-lineare irreduzible Charaktere vom Grad p, die auf allen nicht-zentralen Konjugiertenklassen den Wert 0 und auf einer zentra- len den Wert pζ i, für 1 ≤ i ≤ p − 1, annehmen. Außerdem hat H genau p2 lineare Charaktere, die zum Quotienten H/Z(H) ≅ Cp ×Cp korrespondieren. Insbesondere nehmen die linearen Charaktere auf allen zentralen Konjugier- tenklassen den Wert 1 an, vgl. Tabelle 2.4. 1 b b2 ... bp−1cp−1 z ... zp−1 χ1 CT(Cp ×Cp) 1 ... 1 ⋮ ⋮ ⋮ χp2 1 ... 1 ψ1 p 0 0 ... 0 pζ ... pζp−1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ψp−1 p 0 0 ... 0 pζp−1 ... pζ Tabelle 2.4: Charaktertafel von H ≃ (Cp × Cp) ⋊ Cp. Es meint CT(Cp × Cp) die Charaktertafel des Quotienten H/Z(H) ≃ Cp ×Cp. Es wird nun untersucht wie sich η∣H aus den irreduziblen Charakteren von H zusammensetzt und gezeigt, dass dies nicht möglich ist. Es kann dannH nicht existieren. Sei nun u ∈ Z(H). Um dann die oben angegebenen Eigenwerte für D(u) zu erreichen müssen genau p + ǫ 2 + xp + p2 − p 2 − xp = p 2 + ǫ 2 lineare Charaktere von H und entsprechend 1 p (p3 + ǫ 2 − p2 + ǫ 2 ) = p2 − p 2 nicht-lineare irreduzible Charaktere von H aufaddiert werden. Ist nun v ein nicht-zentrales Element in H, so folgt, da v auf jedem nicht-linearen irre- duziblen Charakter von H den Wert 0 annimmt, dass sich η(v) als Sum- me von genau p 2+ǫ 2 Einheitswurzeln ergibt. Hieraus folgt mit obigen Cha- rakterwerten in (2.7) bzw. (2.8), dass entweder (εg(v), εh(v)) = (1,0) oder(εg(v), εh(v)) = (0,1) gilt. Außerdem ergibt sich aus den angegebenen Eigen- werten (εg(v), εh(v)) = (1,0) ⇔ (εg(vn), εh(vn)) = (0,1) ∀n ∈ N. (2.9) 42 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) Sei nun χ ein linearer Charakter von H. Es werden die Beiträge der einzelnen Konjugiertenklassen zyklischer Untergruppen in H zu ⟨η,χ⟩H berechnet. Der allgemeine Faktor 1/∣H ∣ wird dabei erst einmal außen vor gelassen. Der Beitrag der 1 lautet: χ(1)η(1) = p3 + ǫ 2 . Es gibt noch p − 1 weitere zentrale Elemente in H . Hiervon haben p−1 2 für η den Charakterwert p+ǫ 2 + xp + (2x + 1)p ∑ i∈Q ζ i und genausoviele den Wert p+ǫ 2 + xp + (2x + 1)p ∑ i∈N ζ i. Auf χ haben sie den Wert 1. Es folgt der Beitrag p − 1 2 (p + ǫ 2 + xp + (2x + 1)p∑ i∈Q ζ i) + p − 1 2 (p + ǫ 2 + xp + (2x + 1)p∑ j∈N ζj) = p − 1 2 (p + ǫ + 2xp − p(2x + 1)) = ǫ ⋅ p − 1 2 . Im Kern von χ liegt außerdem genau eine weitere Konjugiertenklasse zykli- scher Untergruppen, diese enthält genau p Untergruppen. In einer zyklischen Gruppe haben p−1 2 Elemente den Charakterwert p+ǫ 2 +p ∑ i∈Q ζ i und ebensoviele den Wert p+ǫ 2 + p ∑ i∈N ζ i unter η. Die selbe Rechnung wie soeben liefert dann den Beitrag p ⋅ ǫ ⋅ p − 1 2 . Die Berechnung der anderen Beiträge wird nun komplizierter und involviert einiges Rechnen mit Einheitswurzeln. Es werden folgende Formeln verwendet, welche direkt aus den Gauß’schen Summen in (2.6) folgen: (∑ i∈Q ζ i)(∑ i∈Q ζ i) + (∑ j∈N ζj)(∑ j∈N ζj) = ǫ ⋅ p + 1 2 und (∑ i∈Q ζ i)(∑ j∈N ζj) + (∑ j∈N ζj)(∑ i∈Q ζ i) = −ǫ ⋅ p + 1 2 . Die Beiträge der weiteren Konjugiertenklassen zyklischer Untergruppen er- geben sich wie folgt: Ein Faktor p ist immer vorhanden, da genau p zyklische Untergruppen konjugiert sind. Eine typische zyklische Gruppe sei ⟨d⟩. Es 2.3. NICHT-ABELSCHE P -UNTERGRUPPEN 43 meint ζ i = χ(d) ∈ Q, dass i ∈ Q gilt. Zwei Fälle sind zu unterscheiden: Fall 1: (εg(d), εh(d)) = (1,0) und χ(d−1) ∈ Q oder(εg(d), εh(d)) = (0,1) und χ(d−1) ∈ N. Der Beitrag ist dann p ∑ h∈⟨d⟩∖{1} η(h)χ(h−1) =p(∑ q∈Q (p + ǫ 2 + p∑ i∈Q ζ i) ζq + ∑ n∈N (p + ǫ 2 + p∑ j∈N ζj) ζn) = p(−p + ǫ 2 + p((∑ q∈Q ζq)(∑ i∈Q ζ i) + (∑ n∈N ζn)(∑ j∈N ζj))) = p(−p + ǫ 2 + p(ǫ ⋅ p + 1 2 )) = p(ǫ ⋅ p2 − ǫ 2 ) = ǫ ⋅ p 3 − p 2 . Fall 2: (εg(d), εh(d)) = (1,0) und χ(d−1) ∈ N oder(εg(d), εh(d)) = (0,1) und χ(d−1) ∈ Q. Der Beitrag ist dann p(∑ n∈N (p + ǫ 2 + p∑ i∈Q ζ i) ζn +∑ q∈Q (p + ǫ 2 + p∑ j∈N ζj) ζq) = p(−p + ǫ 2 + p((∑ n∈N ζn)(∑ i∈Q ζ i) + (∑ q∈Q ζq)(∑ j∈N ζj))) = p(−p + ǫ 2 + p(−ǫ ⋅ p + 1 2 )) = p(−ǫ ⋅ p2 − ǫ 2 ) = −ǫ ⋅ p 3 + p 2 . Sei nun χ ein linearer Charakter von H und s ein Element im Kern von χ mit s ∉ Z(H). Weiterhin sei t ∉ Ker(χ) und o.B.d.A. sei χ(t−1) ∈ Q. Dann ist {(tsi)−1 ∣ 1 ≤ i ≤ p} eine Menge, die aus jeder Konjugiertenklasse zyklischer Untergruppen, welche nicht im Kern von χ liegen, genau ein Element enthält und es gilt χ((tsi)−1) ∈ Q. Sei α = ∣{i ∣ (εg(tsi), εh(tsi)) = (1,0)}∣ und β = ∣{i ∣ (εg(tsi), εh(tsi)) = (0,1)}∣. Dann gilt α + β = p und mit allen oben errechneten Beiträgen ergibt sich: ⟨η,χ⟩H = (1/p3)(p3 + ǫ 2 + ǫ ⋅ p − 1 2 + pǫ ⋅ p − 1 2 + αǫ ⋅ p3 − p 2 − βǫ ⋅ p3 + p 2 ) 44 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) = (1/2p3)(p3 + ǫ + ǫp − ǫ + ǫp2 − ǫp + ǫαp3 − ǫαp − ǫβp3 − ǫβp) = (1/2p3)(p3(1 + ǫα − ǫβ) + ǫp2 − ǫ(α + β)p) = 1 + ǫα − ǫβ 2 Ist n ∈ N, so ist χn ∶ H Ð→ Z[ζ], x ↦ χ(x)n ebenso ein linearer Charakter von H und eine analoge Rechnung liefert ⟨η,χn⟩H = 1 − ǫα + ǫβ 2 . Ist also ∣α − β∣ > 1, so ist entweder ⟨η,χ⟩ oder ⟨η,χn⟩ negativ, was einen Wi- derspruch liefern würde. Sei I = {0,1, ..., p − 1}. Für i ∈ I ist nun ⟨c⟩, ⟨bci⟩ ein Repräsentantensys- tem aller Konjugiertenklassen zyklischer, nicht-zentraler Untergruppen in H. Nun wird für alle möglichen partiellen Augmentationen der c, bci gezeigt, dass ein linearer Charakter χ von H existiert, so dass ⟨η,χ⟩H < 0 gilt. Bis auf Galois-Konjugation in Gal(Q(ζ)/Q) wird jeder lineare Charakter von H durch seinen Kern eindeutig beschrieben. Sei n ∈ N. Nach (2.9) existieren dann α0, ..., αp−1 ∈ {1, n}, so dass die Elemen- te c, bα0 , bα1cα1 ..., bαp−1c(p−1)αp−1 rational konjugiert sind, o.B.d.A. sollen alle auf g die partielle Augmentation 1 besitzen. Es werden nun für alle mögli- chen Kerne Repräsentanten der Konjugiertenklassen der Gruppen ⟨c⟩, ⟨bci⟩ bestimmt, welche in einer gemeinsamen Nebenklasse des Kerns liegen. Von diesen müssen dann nach Obigem p±1 2 auf g die partielle Augmentationen 1 und die anderen die partielle Augmentation 0 besitzen. Angenommen ⟨c⟩ liegt im Kern von χ. Dann liegen alle Elemente bci, für i ∈ I, in einer gemeinsamen Nebenklasse des Kerns. Nun ist εg(bαiciαi) = 1 genau dann, wenn αi = 1. Somit gilt m = ∣{i ∈ I ∣ αi = 1}∣ ∈ {p ± 1 2 } . (2.10) Angenommen ⟨bci⟩ liegt im Kern von χ. Es wird nun ein Element der Form bℓαjcℓjαj bestimmt, welches in der selben Nebenklasse des Kerns wie c liegt, d.h. in Ker(χ)c = {zrbkcik+1 ∣ k ∈ I}. 2.3. NICHT-ABELSCHE P -UNTERGRUPPEN 45 Sei also ℓ derart, dass für ein passendes k gilt bkcik+1 = bℓαjcℓjαj . Dann folgt modulo p, dass k = ℓαj und ik + 1 = ℓjαj und hieraus ℓ = 1jαj−iαj . Für die partielle Augmentation von bℓαjcℓjαj ist nur von Bedeutung, ob ℓ ein quadratischer Rest modulo p ist. Allgemein ist (1/s) genau dann ein quadratischer Rest, wenn s ein quadratischer Rest ist, für jedes s ∈ (Z/pZ)∗. Somit hat bℓαjcℓjαj genau dann die gleichen partiellen Augmentationen wie c, wenn ℓ ∈ Q, d.h. jαj − iαj ∈ Q gilt. Somit folgt mi = 1 + ∣{j ∈ I ∣ jαj − iαj ∈ Q}∣ ∈ {p ± 1 2 }, wobei die stets auftauchende 1 das Element c repräsentiert. Für i ∈ I sei nun βi = (αip ) das Legendre-Symbol von αi bezüglich p. Aus der Gleichung (2.10) für m folgt dann ∑ i∈I βi ∈ {±1} und aus einer typischen Gleichung für ein mi folgt 1 +∑ j∈I (j − i p )βj ∈ {±1}. Setze sj = ( jp) . Dann lassen sich letztere Gleichungen so zusammenfassen: Es existieren c0, ..., cp−1 ∈ {±1}, so dass gilt ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ β0 s1 s2 . . . sp−1 sp−1 β1 s1 . . . sp−2 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ s2 . . . sp−1 βp−2 s1 s1 s2 . . . sp−1 βp−1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ β0 β1 ⋮ ⋮ βp−1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ c0 c1 ⋮ ⋮ cp−1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . Summiert man alle Zeilen des Gleichungssystems auf und klammert man hiernach die βi aus, folgt β0(s1 + ... + sp−1) + ... + βp−1(s1 + ... + sp−1) + p = c0 + ... + cp−1. 46 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) Da s1 + ... + sp−1 = 0 gilt, folgt ci = 1 für alle i ∈ I. Somit ist das homogene Gleichungssystem ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 s1 s2 . . . sp−1 sp−1 0 s1 . . . sp−2 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ s2 . . . sp−1 0 s1 s1 s2 . . . sp−1 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ β0 β1 ⋮ ⋮ βp−1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 ⋮ ⋮ 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ zu lösen. Der Lösungsraum hat wegen des nachfolgenden Lemmas 2.3.2 höchs- tens die Dimension 1 und enthält den Vektor (1, ...,1)t, welcher für den Vek- tor (β0, ..., βp−1)t nicht in Frage kommt, da ∑ i∈I βi ∈ {±1} gilt. Somit existiert mindestens ein linearer Charakter χ von H mit ⟨η,χ⟩H < 0, ein Widerspruch dazu, dass sich η auf die Untergruppe H einschränken lässt. ◻ Lemma 2.3.2. Sei m eine ungerade Zahl und A ∈ Fm×m 2 mit A = ( 0 1 1 ... 11 0 1 ... 1⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 1 ... 1 0 1 1 1 ... 1 0 ) . Dann hat A Rang m − 1. Beweis: Die Summe aller Zeilen ergibt 0, somit ist der Rang von A höchs- tensm−1. Seien z1, ..., zm−1 die ersten m−1 Zeilen von A und α1, ..., αm−1 ∈ F2 mit m−1 ∑ i=1 αizi = 0. Dann folgt für jedes j mit 1 ≤ j ≤m − 1, dass m−1 ∑ i=1, i≠j αi = 0. Der Vergleich zweier solcher Summen liefert dann αi = αj für beliebige i und j und somit αi = 0. ◻ 2.4 Primgraphfrage Proposition 2.4.1. Sei G = PSL(2, pf), so dass 9 kein Teiler der Ordnung von G ist. Dann existieren in V(ZG) keine Elemente der Ordnung 3p. 2.4. PRIMGRAPHFRAGE 47 Beweis: Gilt p = 3, so existieren in V(ZG) keine Elemente der Ordnung 9 nach Satz 1.1.1. Sei also p ≠ 3. Seien c und d die Konjugiertenklassen von Elementen der Ordnung p in G und 3a die Konjugiertenklasse der Elemente der Ordnung 3. Im Fall p = 2 existiert d nicht und kann ignoriert werden. Sei u ∈ V(ZG) von Ordnung 3p und n = εc(u) + εd(u) sowie m = ε3a(u). Dann gilt n +m = 1. Sei ψ der Steinberg-Charakter von G und Lψ ein zu ψ korrespondierendes Z3G-Gitter. Weiterhin bezeichne wie üblich .¯ die Reduktion modulo dem maximalen Ide- al von Z3 und k sei F3. Alle folgenden Aussagen über die Zerlegungsmatrizen von G sind aus [Bur76] entnommen. Da die Schur-Indices aller irreduziblen Charaktere von G nach [SS83] jeweils 1 sind, lässt sich jeder ganzzahlige Charakter mittels einer ganzzahligen Darstellung realisieren. Fall 1: 3 ∣ pf − 1: Da ∣G∣ nicht von 9 geteilt wird, existiert im Hauptblock ein ganzzahliger Charakter χ vom Grad pf + 1, so dass χ(3a) = −1 und χ(c) = χ(d) = 1 gilt. Ist Lχ ein zu χ korrespondierendes Z3G-Gitter, so ist L¯ψ ein einfacher kG-Modul und die Kompositionsfaktoren von L¯χ als kG- Modul sind der triviale Modul und L¯ψ, vgl. Tabelle 2.5. 1a c d 3a ψ pf 0 0 1 χ pf + 1 1 1 −1 (a) Teil der Charaktertafel der PSL(2, pf) ϕ1 ϕpf 1 1 ⋅ ψ ⋅ 1 χ 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix Tabelle 2.5: Teil der Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3 für PSL(2, pf) mit 3 ∣ pf − 1 und 9 ∤ ∣PSL(2, pf)∣ Somit lässt sich Lemma 1.3.6 anwenden und es folgt −1− 1 = χ(3a)−ψ(3a) = χ(up)−ψ(up) = χ(u)−ψ(u) = (n−m)−m = n− 2m. Also ist n = 2m−2 und mit n+m = 1 folgt m = 1 und n = 0. Dies widerspricht Lemma 1.1.7, wonach m ≡ 0 mod 3 gelten muss. Fall 2: 3 ∣ pf +1: Die Argumentation ist dem obigen Fall sehr ähnlich. Da wie- derum ∣G∣ nicht von 9 geteilt wird, existiert im Hauptblock ein ganzzahliger Charakter θ mit zugehörigem Z3G-Gitter Lθ und θ(3a) = 2, θ(c) = θ(d) = −1. Es ist L¯θ ein einfacher kG-Modul und L¯ψ besitzt als Kompositionsfaktoren den trivialen Modul und L¯θ, vgl. Tabelle 2.6. 48 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) 1a c d 3a θ pf − 1 −1 −1 2 ψ pf 0 0 −1 (a) Teil der Charaktertafel der PSL(2, pf) ϕ1 ϕpf 1 1 ⋅ θ ⋅ 1 ψ 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix Tabelle 2.6: Teil der Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3 für PSL(2, pf) mit 3 ∣ pf + 1 und 9 ∤ ∣PSL(2, pf)∣ Nach Lemma 1.3.6 folgt also 2 − (−1) = θ(up) − ψ(up) = θ(u) − ψ(u) = (−n + 2m) − (−m) = −n + 3m. Also ist n = 3m − 3 und mit n +m = 1 folgt wieder m = 1 und n = 0, also wieder ein Widerspruch zu m ≡ 0 mod 3 bzw. Lemma 1.1.7. ◻ Satz 2.4.2. Sei G = PGL(2, pf). Ist ℓ eine zu p teilerfremde Zahl und exis- tiert in V(ZG) ein Element der Ordnung ℓ, so existiert ein Element der Ordnung ℓ in G. Ist f = 1, so hat die Primgraphfrage für G eine positive Antwort. Beweis: Die Zassenhausvermutung für die Gruppe PGL(2,2) ≅ S3 wurde in [AH80], für PGL(2,3) ≅ S4 in [AH88] und für PGL(2,5) ≅ S5 in [LT91] bewie- sen. Die gewöhnlichen Charaktertafeln der PGL(2, p) wurde ebenso wie die der PSL(2, p) von Schur [Sch07] und Jordan [Jor07] bestimmt. Sei f = 1 und u ∈ V(ZG) eine Torsionseinheit, deren Ordnung von p geteilt wird. Ist r eine Primzahl ungleich p, die ebenso die Ordnung von u teilt, dann existieren in G keine Elemente der Ordnung pr. Ist r ≠ 2 so lässt sich Hertwecks Beweis aus [Her07, Prop. 6.3] anwenden, da keine neuen Konjugiertenklassen von Ele- menten der Ordnung r oder p hinzukommen und alle im Beweis involvierten Charaktere irreduzibel bleiben. Ist r = 2, so existiert ein gewöhnlicher Cha- rakter χ, der eingeschränkt auf die PSL(2, p) gerade den Steinberg-Charakter liefert und der auf beiden Konjugiertenklassen von Involutionen den selben Wert 1 oder −1 annimmt. Ist dannD eine zu χ korrespondierende Darstellung und u von Ordnung 2p, so gilt D(u2) ∼ (1, ζp, ζ2p ..., ζ−1p ), D(up) ∼ (±1, p − 1 2 × (1,−1)). 2.4. ZASSENHAUSVERMUTUNG 49 Die Summe der Eigenwerte von D(u) muss dann in jedem Fall komplex sein, im Widerspruch dazu, dass χ ganzzahlig ist. Somit ist die Ordnung von u gerade p. Sei also f beliebig und die Ordnung von u teilerfremd zu p. Da die Spur einer Matrix unter Konjugation invariant bleibt, operiert die GL(2, pf) mit- tels Konjugation auf den 2 × 2-Matrizen über Fpf , deren Spur verschwindet. Der Kern dieser Operation ist gerade das Zentrum der GL(2, pf) und somit liefert dies eine 3-dimensionale p-modulare Darstellung Θ der PGL(2, pf). Eingeschränkt auf die PSL(2, pf) ist diese äquivalent zur Darstellung Θ1 aus Lemma 2.1.2. Modulo skalare Vielfache ist A = ( 1 0 0 −1 ) ein Vertreter der Kon- jugiertenklasse von Involutionen in PGL(2, pf), die nicht in PSL(2, pf) liegen. Nun ist ( 1 00 −1 ) ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 und ( 0 10 0 ) und ( 0 01 0 ) sind Eigenvektoren zum Eigenwert −1. Somit ist Θ(A) ∼ (1,−1,−1). Es lässt sich also der Beweis von [Her07, Prop. 6.7] übertragen. ◻ 2.5 Zassenhausvermutung für PSL(2, 16), PSL(2, 19), PSL(2, 23) und PSL(2, 25) Teile der in diesem Abschnitt angeführten Resultate finden sich in [BM14a]. Ziel ist der Beweis folgenden Satzes: Satz 2.5.1. Die Zassenhausvermutung gilt für die Gruppen PSL(2,16), PSL(2,19), PSL(2,23) und PSL(2,25). Zusammen mit Proposition 2.1.4 ergibt sich hieraus direkt: Korollar 2.5.2. Die Zassenhausvermutung gilt für PSL(2, q), für q ≤ 25. Zum Beweis dieses Satzes wird sowohl die HeLP-Methode als auch die Gitter- Methode verwendet. Die mittels der HeLP-Methode erreichbaren Ergebnisse, welche nicht schon bereits an anderer Stelle bewiesen worden sind oder in Kapitel 3 bewiesen werden, finden sich in folgendem Lemma. Dieses Lemma illustriert auch die Bemerkung 2.2.4a). Lemma 2.5.3. Sei G = PSL(2, pf) und u ∈ V(ZG) eine Torsionseinheit. Dann gilt: a) Ist p ∉ {2,3} und u von Ordnung 12, so ist u rational konjugiert zu einem Element von G. 50 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) b) Ist p ∉ {2,5} und u von Ordnung 10, so ist u entweder rational konju- giert zu einem Element von G oder es gilt (ε2a(u), ε5a(u), ε5b(u), ε10a(u), ε10b(u)) = (0,1,−1,1,0), falls u2 rational konjugiert zu einem Element von 5a ist, oder (ε2a(u), ε5a(u), ε5b(u), ε10a(u), ε10b(u)) = (0,−1,1,0,1), falls u2 rational konjugiert zu einem Element in 5b ist. Dabei sind die Konjugiertenklassen von G so bezeichnet, dass Quadrate von Elementen in 10a in 5b liegen. c) Ist p ∉ {3,5} und u von Ordnung 15, so ist u rational konjugiert zu einem Element von G. Beweis: Beachte die gruppentheoretischen Eigenschaften von G aus Pro- position 2.1.1. Sei p ∉ {2,3} und u von Ordnung 12. Nach Proposition 2.1.7d) existieren dann auch in G Elemente der Ordnung 12. Seien 2a, 3a, 4a, 6a, 12a, 12b die Konjugiertenklassen entsprechender Ordnung in G, auf denen die partielle Augmentation bezüglich u potenziell nicht verschwindet. Es werden die in Lemma 2.1.2 eingeführten Darstellungen Θi und Charaktere ϕi ver- wendet. Die für den Beweis benötigten Teile dieser Charaktere werden in Tabelle 2.7 angegeben. 1a 2a 3a 4a 6a 12a 12b ϕ1 3 −1 0 1 2 1 + ζ12 + ζ−112 1 − ζ12 − ζ−112 ϕ2 5 1 −1 −1 1 2 + ζ12 + ζ−112 2 − ζ12 − ζ−112 ϕ3 7 −1 1 −1 −1 2 + ζ12 + ζ−112 2 − ζ12 − ζ−112 ϕ5 11 −1 −1 1 −1 1 1 Tabelle 2.7: Teil einiger p-Brauer-Charaktere von PSL(2, pf) für p ∉ {2,3}. Setze ζ = ζ12. Es wird ζ, ζ11, ζ4, ζ8 als Z-Basis von Z[ζ] verwendet. Dies ist tatsächlich eine Basis, da ϕ(12) = 4 gilt, wobei ϕ die Eulersche ϕ-Funktion bezeichnet, und außerdem gilt: 1 = −ζ4 − ζ8, ζ2 = −ζ8, ζ3 = ζ − ζ11, ζ5 = −ζ11, ζ6 = −1 = ζ4 + ζ8, ζ7 = −ζ, ζ9 = −ζ + ζ11, ζ10 = −ζ4. 2.5. ZASSENHAUSVERMUTUNG 51 Man erhält ε2a(u) + ε3a(u) + ε4a(u) + ε6a(u) + ε12a(u) + ε12b(u) = 1. (2.11) Nach Lemma 2.1.2 folgt Θ1(u9) ∼ (1, ζ3, ζ9) und Θ1(u4) ∼ (1, ζ4, ζ8). Da die p-modularen Charaktere von G nur reelle Werte annehmen, folgt Θ1(u) ∼X mit X ∈ {(1, ζ5, ζ7), (1, ζ, ζ11)} = {(1,−ζ11,−ζ), (1, ζ, ζ11)}. Somit erhält man unter Benutzung der Tabelle 2.7: −ε2a(u) + ε4a(u) + 2ε6a(u) + (1 + ζ + ζ11)ε12a(u) + (1 − ζ − ζ11)ε12b(u) ∈ {1 ± ζ ± ζ11}. Nutzt man ζ, ζ11, ζ4, ζ8 als Basis von Z[ζ] dann ergibt sich durch Koeffizi- entenvergleich also ε12a(u) − ε12b(u) = ± 1, (2.12) −ε2a(u) + ε4a(u) + 2ε6a(u) + ε12a(u) + ε12b(u) =1. (2.13) Analog erhält man Θ2(u9) ∼ (1,−1,−1, ζ3, ζ9), Θ2(u4) ∼ (1, ζ4, ζ8, ζ4, ζ8) und Θ2(u) ∼X mit X ∈ {(1, ζ2, ζ10, ζ, ζ11), (1, ζ2, ζ10, ζ5, ζ7)}. Somit folgt mit Tabelle 2.7 und ζ2 + ζ10 = 1 also ε2a(u)− ε3a(u) − ε4a(u)+ ε6a(u)+ (2+ ζ + ζ11)ε12a(u)+ (2− ζ − ζ11)ε12b(u) ∈ {2± ζ ± ζ11}. Der Koeffizientenvergleich an ζ4 liefert ε2a(u) − ε3a(u) − ε4a(u) + ε6a(u) + 2ε12a(u) + 2ε12b(u) = 2. (2.14) 52 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) Verfährt man analog mit ϕ3, so folgt Θ3(u9) ∼ (1,−1,−1, ζ3, ζ9, ζ3, ζ9), Θ3(u4) ∼ (1, ζ4, ζ8,1, ζ4, ζ8,1) und Θ3(u) ∼ X mit X ∈ {(1,−1,−1, ζ, ζ11, ζ, ζ11), (1,−1,−1, ζ, ζ11, ζ5, ζ7), (1,−1,−1, ζ5, ζ7, ζ5, ζ7), (1, ζ2, ζ10, ζ3, ζ9, ζ, ζ11), (1, ζ2, ζ10, ζ3, ζ9, ζ5, ζ7)}. Somit gilt nach Tabelle 2.7 und mittels der Gleichungen ζ2 + ζ10 = 1 und ζ3 + ζ9 = 0, dass ε2a(u) + ε3a(u) − ε4a(u) − ε6a(u) + (2 + ζ + ζ11)ε12a(u) + (2 − ζ − ζ11)ε12b(u) ∈ {−1 + 2ζ + 2ζ11, −1, −1 − 2ζ − 2ζ11, 2 + ζ + ζ11, 2 − ζ − ζ11}. Die ersten drei Möglichkeiten würden ε12a(u)−ε12b(u) ∈ {−2,0,2} ergeben, ein Widerspruch zu (2.12). Somit bleiben nur die beiden letzten Möglichkeiten und diese liefern −ε2a(u) + ε3a(u) − ε4a(u) − ε6a(u) + 2ε12a(u) + 2ε12b(u) = 2. (2.15) Analog folgt Θ5(u9) ∼ (1,1,1,−1,−1, ζ3, ζ9, ζ3, ζ9, ζ3, ζ9), Θ5(u4) ∼ (1, ζ4, ζ8,1, ζ4, ζ8,1, ζ4, ζ8, ζ4, ζ8), Θ5(u) ∼ (1, ζ, ζ2, ζ3, ζ4, ζ5, ζ7, ζ8, ζ9, ζ10, ζ11). Beachte hierbei, dass ϕ5(u) nicht bloß reellwertig sein muss, sondern sogar einen Wert in Q annimmt, da ϕ5 nur rationale Werte annimmt. Somit folgt −ε2a(u) − ε3a(u) + ε4a(u) − ε6a(u) + ε12a(u) + ε12b(u) = 1. (2.16) Die Subtraktion der Gleichung (2.11) von der Gleichung (2.16) ergibt dann ε2a(u) + ε3a(u) + ε6a(u) = 0 und die Subtraktion von (2.14) von (2.15) ergibt ε2a(u) − ε3a(u) + ε6a(u) = 0. Es folgt ε3a(u) = 0. Dann liefert die Subtraktion von (2.11) von (2.13) genau −2ε2a(u)+ε6a(u) = 0, also gilt ε2a(u) = ε6a(u) = 0. Multipliziert man (2.11) mit 2 und subtrahiert dies anschließend von (2.14), folgt ε4a(u) = 0. Nutzt man (2.11) und (2.12), so bleiben schließlich nur die 2.5. ZASSENHAUSVERMUTUNG 53 trivialen Möglichkeiten (ε2a(u), ε3a(u), ε4a(u), ε6a(u), ε12a(u), ε12b(u)) ∈ {(0,0,0,0,1,0), (0, 0, 0, 0, 0,1)}. Somit ist u rational konjugiert zu einem Element von G. Sei nun p ∉ {2,5} und u ∈ V(ZG) von Ordnung 10. Es werden wiederum die Darstellungen aus Lemma 2.1.2 verwendet, wobei der benötigte Teil der Charaktere in Tabelle 2.8 angegeben wird. 1a 2a 5a 5b 10a 10b ϕ1 3 −1 −ζ25 − ζ−25 −ζ5 − ζ−15 −2(ζ5 + ζ−15 ) − (ζ25 + ζ−25 ) −2(ζ25 + ζ−25 ) − (ζ5 + ζ−15 ) ϕ2 5 1 0 0 −2(ζ5 + ζ−15 ) −2(ζ25 + ζ−25 ) Tabelle 2.8: Teil einiger p-Brauer-Charaktere von PSL(2, pf) für p ∉ {2,5}. Setze ζ = ζ5 und beachte die Gleichung 1 + ζ + ζ2 + ζ3 + ζ4 = 0. Es gilt ε2a(u) + ε5a(u) + ε5b(u) + ε10a(u) + ε10b(u) = 1. Wir haben Θ1(u5) ∼ (1,−1,−1) und Θ1(u6) ∼ (1, ζ2, ζ3). Da ϕ1 immer reell- wertig ist, folgt Θ1(u) ∼ (1,−ζ2,−ζ3). Somit gilt −ε2a(u) + (−ζ2 − ζ3)ε5a(u) + (−ζ − ζ4)ε5b(u) + (−2ζ − ζ2 − ζ3 − 2ζ4)ε10a(u) + (−ζ − 2ζ2 − 2ζ3 − ζ4)ε10b(u) = 1 − ζ2 − ζ3. Nutzt man ζ, ζ2, ζ3, ζ4 als Z-Basis von Z[ζ] so ergibt dies ε2a(u) − ε5b(u) − 2ε10a(u) − ε10b(u) = −1, ε2a(u) − ε5a(u) − ε10a(u) − 2ε10b(u) = −2. Analog folgt Θ2(u5) ∼ (1,1,1,−1,−1) und Θ2(u6) ∼ (1, ζ, ζ2, ζ3, ζ4). Somit ist Θ2(u) ∼X mit X ∈ {(1,−ζ, ζ2, ζ3,−ζ4), (1, ζ,−ζ2,−ζ3, ζ4)}. Da außerdem ϕ2(u) = ε2a(u) − 2(ζ + ζ4)ε10a(u) − 2(ζ2 + ζ3)ε10b(u) 54 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) gilt, folgt (−ε2a(u) − 2ε10a(u),−ε2a(u) − 2ε10b(u)) ∈ {(−2,0), (0,−2)}. Kombiniert man diese Gleichungen mit obigen, so ergibt sich (ε2a(u), ε5a(u), ε5b(u), ε10a(u), ε10b(u)) ∈ {(0,1,−1,1,0), (0,0,0,0,1)}. Ersetzt man im Fall, dass u2 rational konjugiert zu einem Element in 5b ist, jedes ζ i in obiger Rechnung durch ζ2i, so folgt (ε2a(u), ε5a(u), ε5b(u), ε10a(u), ε10b(u)) ∈ {(0,−1,1,0,1), (0,0,0,1,0)}. Somit gilt die Behauptung des Lemmas für Einheiten der Ordnung 10. Sei schlussendlich p ∉ {3,5} und u von Ordnung 15. Nach Proposition 2.1.7d) existieren dann auch in G Elemente der Ordnung 15. Setze ζ = ζ15 und wähle ζ, ζ2, ζ4, ζ7, ζ8, ζ11, ζ13, ζ14 als Z-Basis von Z[ζ]. Dies ist eine Basis, da einerseits ϕ(15) = 8 gilt und andererseits 1 = ζ + ζ2 + ζ4 + ζ7 + ζ8 + ζ11 + ζ13 + ζ14, ζ5 = −ζ2 − ζ8 − ζ11 − ζ14, ζ10 = −ζ − ζ4 − ζ7 − ζ13, ζ3 = −ζ8 − ζ13, ζ6 = −ζ − ζ11, ζ9 = −ζ4 − ζ14, ζ12 = −ζ2 − ζ7. (2.17) Seien 3a, 5a, 5b, 15a, 15b, 15c, 15d die Konjugiertenklassen von Elementen entsprechender Ordnung in G, auf denen die partielle Augmentation von u potenziell nicht verschwindet. Für g ∈ 15a gelte hierbei g2 ∈ 15b, g4 ∈ 15c, g7 ∈ 15d, g3 ∈ 5a, g6 ∈ 5b. Weiterhin sei Θ1(15a) ∼ (1, ζ, ζ14). Es gilt die Gleichung ε3a(u) + ε5a(u) + ε5b(u) + ε15a(u) + ε15b(u) + ε15c(u) + ε15d(u) = 1. (2.18) Nach Proposition 2.1.7b) sind u3 und u5 rational konjugiert zu Elementen von G. Angenommen u3 ist rational konjugiert zu einem Element in 5a. Dann gilt Θ1(u6) ∼ (1, ζ6, ζ9), Θ1(u10) ∼ (1, ζ5, ζ10). 2.5. ZASSENHAUSVERMUTUNG 55 Da ϕ1(u) reellwertig ist, folgt Θ1(u) ∈ {(1, ζ, ζ14), (1, ζ4, ζ11)}. Angenommen es gilt Θ1(u) ∼ (1, ζ, ζ14). Dann folgt unter Benutzung der Charakterwerte von ϕ1 und von (2.17) ϕ1(u) = 1 + ζ + ζ14 = 2ζ + ζ2 + ζ4 + ζ7 + ζ8 + ζ11 + ζ13 + 2ζ14 = (1 + ζ3 + ζ12)ε5a(u) + (1 + ζ6 + ζ9)ε5b(u) + (1 + ζ + ζ14)ε15a(u) + (1 + ζ2 + ζ13)ε15b(u) + (1 + ζ4 + ζ11)ε15c(u) + (1 + ζ7 + ζ8)ε15d(u) = (ζ + ζ14)(ε5a(u) + 2ε15a(u) + ε15b(u) + ε15c(u) + ε15d(u)) + (ζ2 + ζ13)(ε5b(u) + ε15a(u) + 2ε15b(u) + ε15c(u) + ε15d(u)) + (ζ4 + ζ11)(ε5a(u) + ε15a(u) + ε15b(u) + 2ε15c(u) + ε15d(u)) + (ζ7 + ζ8)(ε5b(u) + ε15a(u) + ε15b(u) + ε15c(u) + 2ε15d(u)). Führt man einen Koeffizientenvergleich durch und zieht man dabei in allen Koeffizienten die Gleichung (2.18) ab, so folgt ε3a(u) + ε5b(u) = ε15a(u) − 1 = ε15c(u), ε3a(u) + ε5a(u) = ε15b(u) = ε15d(u). (2.19) Mittels Einsetzen dieser Gleichungen in (2.18) folgt dann außerdem 5ε3a(u) + 3ε5a(u) + 3ε5b(u) = 0. (2.20) Unter Benutzung der Charakterwerte von ϕ3(u) und der Gleichungen (2.17) und (2.19) folgt dann ϕ3(u) = ε3a(u) + (ζ6 + ζ9)ε5a(u) + (ζ3 + ζ12)ε5b(u) + (1 + ζ + ζ14 + ζ2 + ζ13 + ζ3 + ζ12)ε15a(u) + (1 + ζ2 + ζ13 + ζ4 + ζ11 + ζ6 + ζ9)ε15b(u) + (1 + ζ4 + ζ11 + ζ7 + ζ8 + ζ3 + ζ12)ε15c(u) + (1 + ζ7 + ζ8 + ζ + ζ14 + ζ6 + ζ9)ε15d(u) 56 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) = (ζ + ζ14)(ε3a(u) − ε5a(u) + 2ε15a(u) + ε15c(u) + ε15d(u)) + (ζ2 + ζ13)(ε3a(u) − ε5b(u) + ε15a(u) + 2ε15b(u) + ε15d(u)) + (ζ4 + ζ11)(ε3a(u) − ε5a(u) + ε15a(u) + ε15b(u) + 2ε15c(u)) + (ζ7 + ζ8)(ε3a(u) − ε5b(u) + ε15b(u) + ε15c(u) + 2ε15d(u)) = (ζ + ζ14)(5ε3a + 3ε5b(u) + 2) + (ζ2 + ζ13)(5ε3a + 3ε5a(u) + 1) + (ζ4 + ζ11)(5ε3a + 3ε5b(u) + 1) + (ζ7 + ζ8)(5ε3a + 3ε5a(u)). (2.21) Es ist Θ3(u6) ∼ (1, ζ6, ζ9, ζ3, ζ12, ζ3, ζ12) und Θ3(u10) ∼ (1, ζ5, ζ10, ζ5, ζ10,1,1). Da ϕ3(u) reell ist, ergeben sich hieraus sieben Möglichkeiten für die mög- lichen Eigenwerte von Θ3(u). In jedem Fall ist aber ϕ3(u) die Summe von einer 1, zwei primitiven 5-ten Einheitswurzeln und vier primitiven 15-ten Ein- heitswurzeln, wobei zu jeder vorkommenden Einheitswurzel auch ihr komplex Konjugiertes einer dieser Summanden ist. Schreibt man also ϕ3(u) in der ge- gebenen Basis von Z[ζ] und nutzt man die Gleichungen (2.17), so ist die Summe der Koeffizienten aller Basiselemente genau 8+ 2 ⋅ (−2)+ 4 ⋅ 1 = 8 und keiner der Koeffizienten ist größer als 3. Summiert man nun die in (2.21) berechneten Koeffizienten auf, folgt 40ε3a(u) + 12ε5a(u) + 12ε5b(u) + 8 = 8. Hieraus ergibt sich mit Hilfe von (2.20), dass ε3a(u) = 0 und ε5a(u) = −ε5b(u) gilt. Ist ε5a(u) ≠ 0, so ist einer der Koeffizienten in (2.21) somit echt größer als 3, im Widerspruch zu den oben gezeigten Eigenschaften von ϕ3(u). Mit (2.19) folgt insgesamt, dass die partielle Augmentation von u bezüglich jeder Konjugiertenklasse außer 15a verschwindet und u zu einem Element in 15a rational konjugiert ist. Im FallΘ1(u) ∼ (1, ζ4, ζ11) bzw. im Fall, dass u3 zu einem Element in 5b rational konjugiert ist, folgt mit analogen Argumenten, dass u zu einem Element in 15c bzw. 15b oder 15d rational konjugiert ist. ◻ Beweis des Satzes 2.5.1: Sei zuerst G = PSL(2,16). Dann erhält man exp(G) = 2 ⋅3 ⋅5 ⋅17. Nach Proposition 2.1.7 und Lemma 3.2.4 (bzw. nach Ta- belle A.1) sind noch Torsionseinheiten der Ordnung 2, 6 und 15 in V(ZG) zu untersuchen. Aus Proposition 2.4.1 folgt, dass keine normalisierten Einhei- 2.5. ZASSENHAUSVERMUTUNG 57 ten der Ordnung 6 existieren. Beachte, dass letztere Proposition die Gitter- Methode verwendet. Dass normalisierte Einheiten der Ordnung 2 zu Grup- penelementen rational konjugiert sind, folgt direkt, da in G nur eine Konju- giertenklasse von Involutionen existiert. Weiterhin sind nach Lemma 2.5.3c) Einheiten der Ordnung 15 zu Elementen von G rational konjugiert. Die Zas- senhausvermutung gilt also für G. Sei G = PSL(2,23), dann ist exp(G) = 4 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23. Nach Proposition 2.1.6 und Proposition 2.1.7 sind nur Einheiten der Ordnung 4 und 12 in V(ZG) zu untersuchen. Sei zuerst u ∈ V(ZG) von Ordnung 4, dann ist u nach Pro- position 2.2.1 zu einem Element von G rational konjugiert. Dies folgt auch direkt aus Proposition 2.1.7e). Ist weiterhin u von Ordnung 12, so ist u nach Lemma 2.5.3a) zu einem Element von G rational konjugiert. Somit gilt die Zassenhausvermutung für G. Sei G = PSL(2,25), dann ist exp(G) = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 13. Nach Proposition 2.1.7 und Lemma 3.2.4 (bzw. Tabelle A.1) müssen nur noch Einheiten der Ord- nung 12 in V(ZG) untersucht werden und diese sind nach Lemma 2.5.3a) zu Elementen in G rational konjugiert. Sei nun G = PSL(2,19). Nach Proposition 2.1.6 und Proposition 2.1.7 sind noch Einheiten der Ordnung 9 und 10, auf rationale Konjugation zu Elemen- ten in G zu prüfen. Ist u ∈ V(ZG) von Ordnung 9, so ist u nach Proposition 2.2.1 zu einem Element von G rational konjugiert. Sei also u ∈ V(ZG) von Ordnung 10 und ζ = ζ5. Ist u nicht zu einem Element in G rational konjugiert, so ist auch u3 nicht zu einem Element in G rational konjugiert. Ist u2 rational konjugiert zu einem Element in 5a, so ist u6 ratio- nal konjugiert zu einem Element in 5b. Man kann also o.B.d.A. annehmen, dass u2 zu einem Element in 5a rational konjugiert ist. Nach Lemma 2.5.3 ist noch der Fall (ε2a(u), ε5a(u), ε5b(u), ε10a(u), ε10b(u)) = (0,1,−1,1,0) zu untersuchen, wobei Quadrate von Elementen in 10a in 5b liegen. Dies gelingt nicht mittels der HeLP-Methode und es wird die Gitter-Methode ein- gesetzt. 58 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) 1a 2a 5a 5b 10a θ1 18 -2 −ζ5 − ζ−15 −ζ25 − ζ−25 −ζ5 − ζ−15 ψ 19 -1 -1 -1 -1 (a) Teil der Charaktertafel wie in Tabelle 2.2 γ1 γ18 1 1 ⋅ θ1 ⋅ 1 ψ 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix Tabelle 2.9: Teil der Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 5 für PSL(2,19) Sei also u ∈ ZG eine Torsionseinheit der Ordnung 10, so dass (ε2a(u), ε5a(u), ε5b(u), ε10a(u), ε10b(u)) = (0,1,−1,1,0) gilt und u2 zu einem Element in 5a rational konjugiert ist. Wir berechnen zunächst die Eigenwerte von u bezüglich zweier gewöhnlicher irreduzibler Charaktere (vgl. Tabelle 2.9). Dies geschieht auf gewohnte Art und Weise. Seien D18 und D19 Darstellungen von G, welche die Charaktere θ1 bzw. ψ realisieren. Dann gilt D18(u5) ∼ (−1,−1,8 × (1,−1)), D18(u2) ∼ (1, ζ2, ζ3,3 × (1, ζ, ζ2, ζ3, ζ4)). Da θ1(u) = θ1(5a) − θ1(5b) + θ1(10a) = −2(ζ + ζ4) + ζ2 + ζ3 gilt, folgt hieraus mit der HeLP-Methode und ζ + ζ2 + ζ3 + ζ4 = −1, dass D18(u) ∼ (1, ζ, ζ2, ζ3, ζ4,1, ζ2, ζ3,−1,−ζ,−ζ2,−ζ3,−ζ4,−1,−ζ,−ζ4,−ζ,−ζ4) gilt. Analog ergibt sich D19(u5) ∼ (−1,9 × (1,−1)), D(u2) ∼ (ζ, ζ2, ζ3, ζ4,3 × (1, ζ, ζ2, ζ3, ζ4)). Wegen ψ(u) = ψ(5a) − ψ(5b) + ψ(10a) = −1, folgt damit D19(u) ∼ (ζ, ζ2, ζ3, ζ4,1, ζ, ζ2, ζ3, ζ4,2 × (−1,−ζ,−ζ2,−ζ3,−ζ4)). 2.5. ZASSENHAUSVERMUTUNG 59 Da die Schur-Indices aller irreduziblen Charaktere von G genau 1 sind [SS83], darf man davon ausgehen, dass es sich bei D19 um eine Q5-Darstellung und bei D18 um eine K-Darstellung handelt. Hierbei bezeichnet K die 5-adische Vervollständigung des Körpers Q(ζ5 + ζ−15 )(ζ9 + ζ−19 ), vgl. den vollständigen Charakter in Tabelle 2.2. Nach Bemerkung 1.3.5b) darf man dann sogar an- nehmen, dass D19 eine Z5-Darstellung und D18 eine R-Darstellung ist, wobei R den Ring der ganzen Zahlen von K bezeichnet. Sei k ein endlicher Körper der Charakteristik 5, der die Restklassenkörper von Z5 und R enthält und über dem sich alle irreduziblen 5-modularen Darstellungen von G realisieren lassen. Im Folgenden wird jeder Modul eines modularen Gruppenrings als k-Modul aufgefasst. Sei L19 bzw. L18 ein zu D19 bzw. D18 gehörendes Z5G bzw. RG-Gitter. Bezeichne wie üblich mit .¯ die Reduktion modulo dem jeweiligen maximalen Ideal. Nach Proposition 1.3.2 gilt als R⟨u⟩-Gitter bzw. als Z5⟨u⟩-Gitter L18 ≅ L118 ⊕L −1 18 bzw. L19 ≅ L 1 19 ⊕L −1 19 , so dass für i ∈ {18,19} die Kompositionsfaktoren von L¯1i bzw. L¯−1i jeweils trivial bzw. nicht-trivial sind. Laut dem in Tabelle 2.9 angegebenen Teil der Zerlegungsmatrix besitzt L¯19 als kG-Modul als Kompositionsfaktoren einen trivialen Modul und einen zu L¯18 isomorphen Modul. Wieder als k⟨u¯⟩-Modul betrachtet muss der triviale Modul ein Unter- oder Faktormodul von L¯1 19 sein und somit folgt L¯−1 19 ≅ L¯−1 18 . Mit den obigen Eigenwerten von D19(u) und mit den Propositionen 1.3.2 und 1.3.3 gilt L¯−1 19 ≅ X mit X ∈ {2(k)−1 ⊕ 2I(kC5)−1, (k)−1 ⊕ I(kC5)−1 ⊕ (kC5)−1, 2(kC5)−1}. In jedem der drei Fälle besitzt L¯−1 19 zwei unzerlegbare direkte Summanden, deren k-Dimension mindestens 4 ist. Andererseits besitzt mit obigen Eigenwerten von D18(u) das Gitter L−118 zwei Mal den zum Eigenwert -1 korrespondierenden einfachen RC10-Modul, dieser heiße S1, als Kompositionsfaktor, drei Mal den zu den Eigenwerten −ζ,−ζ4 korrespondierenden einfachen RC10-Modul, dieser heiße S2, und ein Mal den zu den Eigenwerten −ζ2,−ζ3 korrespondierenden einfachen RC10-Modul. Letzterer heiße S3. Dies sind tatsächlich die einzigen einfachen RC10-Gitter, deren Eigenwerte nicht zu 5ten Einheitswurzeln korrespondieren, da im Po- 60 KAPITEL 2. TORSIONSEINHEITEN IN V(ZPSL(2, q)) lynomring R[X] die Zerlegung X10 − 1 = (X5 − 1)(X5 + 1) = (X5 − 1)(X + 1)(X2 − (ζ + ζ4)X + 1)(X2 − (ζ2 + ζ3)X + 1) gilt und die letzten drei Faktoren dieser Zerlegung irreduzibel sind. Sei R′ der Ring der ganzen Zahlen von Q5(ζ + ζ−1) = Q5(√5). Nach dem Ende des Beweises von [CR90, Prop. 33.16] existiert zu jedem unzerlegbaren R⟨u⟩- Gitter L ein unzerlegbares R′G-Gitter L′, so dass L ein direkter Summand von R ⊗R′ L′ ist. Insbesondere gelten die Aussagen aus Proposition 1.3.4d) auch für unzerlegbare R⟨u⟩-Gitter. Sei nun L−1 18 ≅ Y ⊕ Z, so dass S3 ein Kompositionsfaktor des unzerlegba- ren Gitters Y ist. Dann besitzt Z nur die Kompositionsfaktoren S1 und S2. Nach Proposition 1.3.4d) und obiger Argumentation besitzt ein unzerlegba- rer Summand von Z jedes der Gitter S1 und S2 höchstens jeweils ein Mal als Kompositionsfaktor. Insbesondere hat jeder unzerlegbare Summand von Z¯ höchstens k-Dimension 3. Nach Proposition 1.3.4d) und den Argumenten aus dem letzten Absatz besitzt aber Y höchstens ein Mal den Kompositi- onsfaktor S2 und zwei Mal den Kompositionsfaktor S1. Somit hat Y¯ höchs- tens die k-Dimension 6. Folglich kann L¯−1 18 nicht zwei direkte unzerlegbare Summanden von k-Dimension mindestens 4 besitzen. Dies widerspricht dem Isomorphietyp von L¯−1 19 und der Isomorphie L¯−1 18 ≅ L¯−1 19 und somit schließlich der Existenz von u. Kapitel 3 Gruppen mit wenigen Primteilern Nachdem Kimmerle und Konovalov die Reduktion der Primgraphfrage auf fast-einfache Gruppen, s. Satz 1.1.6, gelungen war, versuchten Sie diese zu nutzen, um die Primgraphfrage für alle Gruppen, deren Ordnung durch ge- nau drei paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist, zu beweisen. Dies schien insofern aussichtsreich, als dass nach [Fei71, § 7] und der Klassifikati- on der endlichen einfachen Gruppen, bis auf Isomorphie, genau acht einfache Gruppen existieren, deren Ordnung durch genau drei paarweise verschiede- ne Primzahlen teilbar ist. Aus diesen ergeben sich dann insgesamt 19 fast- einfache Gruppen. Mit der Reduktion würde ein Beweis der Primgraphfrage für diese Gruppen also die Primgraphfrage für eine große Klasse von Gruppen beweisen, s. Korollar 3.1.2. Tatsächlich gelang es Kimmerle und Konovalov mittels der HeLP-Methode die Primgraphfrage für 17 dieser 19 Gruppen positiv zu beantworten. Die beiden Gruppen, für die ein Beweis der Prim- graphfrage mittels der HeLP-Methode nicht gelang, gaben den Anstoß zur Entwicklung der Gitter-Methode, welche verbliebene Beweislücken schließen konnte, s. Satz 3.1.1 und Korollar 3.1.2. Der Beweis dieser Resultate ist das Ziel des ersten Abschnitts. Eine weitere interessante Klasse von Gruppen zur Untersuchung der Primgra- phfrage bilden Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschie- dene Primzahlen teilbar ist. Es gibt nach [HL00] drei, möglicherweise unend- liche, Serien einfacher Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist, und die alle vom Typ PSL(2, q) sind. Des Weiteren gibt es noch genau 31 einfache Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist und die nicht zu ei- ner PSL(2, q) isomorph sind. Hier gelingt mit den gegebenen Methoden zwar 61 62 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN kein vollständiger Beweis der Primgraphfrage, es ergeben sich jedoch sowohl für die HeLP- als auch für die Gitter-Methode interessante Anwendungsbei- spiele. Die Klasse dieser Gruppen wird im zweiten Abschnitt behandelt. 3.1 Gruppen mit drei Primteilern Die in diesem Abschnitt untersuchten Gruppen waren die ursprüngliche In- spiration für die Gitter-Methode. Die angeführten Resultate finden sich auch in [BM14a]. Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis folgenden Satzes. Satz 3.1.1. In V(ZM10) und V(ZPGL(2,9)) existieren keine Einheiten der Ordnung 6 und die Primgraphfrage gilt für diese Gruppen. Hierbei bezeichnet M10 die Mathieugruppe vom Grad 10. Hieraus ergibt sich aus [KK12, Th. 3.1] und Satz 1.1.6 direkt: Korollar 3.1.2. Sei G eine Gruppe, so dass die Ordnung jedes fast-einfache Bildes von G höchstens drei paarweise verschiedene Primteiler hat. Dann gilt die Primgraphfrage für G. Insbesondere gilt die Primgraphfrage für alle Gruppen, deren Ordnung höchstens drei paarweise verschiedene Primteiler besitzt. Beweis des Satzes 3.1.1: Nach [KK12, Th. 3.1] sind tatsächlich nur Ein- heiten der Ordnung 6 zu untersuchen. Beide vorliegenden Gruppen M10 und PGL(2,9) besitzen einen Normalteiler von Index 2 isomorph zu A6, vgl. Ab- bildung 3.1. Aut(A6) ≅ PΓL(2,9) ♠♠♠ ♠♠♠ ♠♠♠ ♠♠♠ ♠♠ ❙❙❙ ❙❙❙ ❙❙❙ ❙❙❙ ❙❙ M10 ◗◗◗ ◗◗◗ ◗◗◗ ◗◗◗ ◗◗ S6 ≅ Sp(4,2) PGL(2,9) ❦❦❦ ❦❦❦ ❦❦❦ ❦❦❦ ❦❦ A6 ≅ PSL(2,9) Abbildung 3.1: Die fast-einfachen Gruppen über A6. Der Index aufeinander- folgender Gruppen ist jeweils 2. 3.1. GRUPPEN MIT DREI PRIMTEILERN 63 Ist u eine normalisierte Torsionseinheit der Ordnung 6 im ganzzahligen Grup- penring über einer der beiden Gruppen, verschwinden alle partiellen Augmen- tationen bezüglich u mit Ausnahme der Konjugationsklasse 2a, der Involu- tionen in A6, und der Konjugationsklasse 3a, der Elemente der Ordnung 3 in A6. Beachte hierbei, dass A6 zwei Konjugiertenklassen von Elementen der Ordnung 3 besitzt, diese in den hier vorliegenden Gruppen aber zusammen- fallen. Es gilt dann (ε2a(u), ε3a(u)) = (−2,3) und u3 ist rational konjugiert zu den Elementen in 2a [KK12, S. 11]. Sowohl M10 als auch PGL(2,9) sind außerdem als Normalteiler vom Index 2 jeweils in Aut(A6) enthalten, vgl. Abbildung 3.1, und die Konjugiertenklassen 2a und 3a bleiben hier unverändert. Die nachfolgenden Rechnungen mit Hilfe der Gitter-Methode finden in Aut(A6) statt und durch Einschränkung auf M10 bzw. PGL(2,9) wird sich jeweils ein Widerspruch zur Existenz von u ergeben. Sei also G = Aut(A6) und u eine Einheit der Ordnung 6 in V(ZG), so dass die partiellen Augmentationen bezüglich u auf allen Konjugiertenklassen außer 2a und 3a verschwinden und (ε2a(u), ε3a(u)) = (−2,3) gilt. Weiterhin sei u3 zu den Elementen in 2a rational konjugiert. Die zum Beweis benötigten Teile der Charaktertafel von G und der Zerlegungsmatrix bezüglich 3 werden in Tabelle 3.1 und 3.2 wiedergegeben. Es bezeichne ζ eine komplexe, primitive 3te Einheitswurzel. Mittels der HeLP- Methode und unter Benutzung des Umstands, dass die Charaktere χ10 und χ20 nur reelle Werte annehmen, ergibt sich D10(u) ∼ (2 × (1, ζ, ζ2),−1,−ζ,−ζ2,−1), D20(u) ∼ (8 × (1),6 × (−ζ,−ζ2)). Dies folgt wie in den Rechnungen in Kapitel 2. Hier eine kurze Nachrechnung: Da u4 zu den Elementen in 3a und u3 zu den Elementen in 2a rational konjugiert ist, gilt χ10(u4) = χ10(3a) = 1 sowie χ10(u3) = χ10(2a) = 2 und somit D10(u4) ∼ (1,3 × (1, ζ, ζ2)), D10(u3) ∼ (6 × (1),4 × (−1)). 64 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN 1a 2a 3a χ1a 1 1 1 χ1b 1 1 1 χ10 10 2 1 χ20 20 −4 2 (a) Teil der Charakter- tafel 1a 2a 5a 2b ϕ1a 1 1 1 1 ϕ1b 1 1 1 -1 ϕ6a 6 −2 1 0 ϕ6b 6 −2 1 0 ϕ8 8 0 −2 0 (b) Teil der Brauer-Tafel für p = 3 Tabelle 3.1: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Brauer-Tafel be- züglich 3 von Aut(A6) ϕ1a ϕ1b ϕ6a ϕ6b ϕ8 χ1a 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ χ1b ⋅ 1 ⋅ ⋅ ⋅ χ10 1 1 ⋅ ⋅ 1 χ20 ⋅ ⋅ 1 1 1 Tabelle 3.2: Teil der Zerlegungsmatrix für Aut(A6) bezüglich der Primzahl 3 Nun ist χ10(u) = ε2a(u)χ10(2a) + ε3a(u)χ10(3a) = −1 und da die Eigenwerte vonD10(u) sich als paarweise Produkte der Eigenwerte von D10(u4) und D10(u3) ergeben, folgt die Behauptung für D10(u). Weiterhin ist χ20(u4) = χ20(3a) = 2 und χ20(u3) = χ20(2a) = −4. Es folgt D20(u4) ∼ (1,1,6 × (1, ζ, ζ2)), D20(u3) ∼ (8 × (1),12 × (−1)). Da χ20(u) = ε2a(u)χ20(2a) + ε3a(u)χ20(3a) = 14 gilt, erhält man die oben für D20(u) angegebenen Eigenwerte. Die Werte aller involvierten gewöhnlichen Charaktere von G sind auf allen Konjugationsklassen von G ganzzahlig und somit kann man nach Bemer- kung 1.3.5a) annehmen, dass es sich bei den zugehörigen Darstellungen um K-Darstellungen handelt, wobei K einen 3-adisch vollständigen und über Q3 unverzweigten Körper bezeichnet. Ist R der Ring der ganzen Zahlen von K, lassen sich die Darstellungen nach Bemerkung 1.3.5b) also bereits über R realisieren. Es bezeichne P das maximale Ideal von R und k einen endlichen Körper der Charakteristik 3, so dass sich alle 3-modularen Darstellungen von 3.1. GRUPPEN MIT DREI PRIMTEILERN 65 M10, PGL(2,9) und Aut(A6) über k realisieren lassen und k den Restklas- senkörper von R enthält. Wie üblich bezeichne .¯ die Reduktion modulo P. Weiterhin sei L∗ ein die Darstellung D∗ realisierendes RG-Gitter und T∗ ein zum Brauer-Charakter ϕ∗ gehörender einfacher kG-Modul. Es bezeichne (k)−1 bzw. I(kC3)−1 bzw. (kC3)−1 einen unzerlegbaren 1- bzw. 2- bzw. 3-dimensionalen kC6-Modul, dessen Kompositionsfaktoren alle nicht- trivial sind, vgl. Lemma 1.3.1. Als k⟨u¯⟩-Moduln schreibe, unter Benutzung des Lemmas 1.3.1 und der Proposition 1.3.2, jeweils L¯∗ = L¯1∗ ⊕ L¯−1∗ und T∗ = T 1∗⊕T −1∗ , so dass die Kompositionsfaktoren von L¯1∗ und T 1∗ alle trivial und die Kompositionsfaktoren von L¯−1∗ und T −1∗ alle nicht-trivial sind. Da u3 zu den Elementen in 2a rational konjugiert ist, ist es nach [Her06, Lem. 2.9] auch 3-adisch konjugiert zu den Elementen in 2a. Somit folgen die k-Dimensionen von T 1∗ und T −1∗ aus der Brauer-Tafel, während die k-Dimensionen der L¯1∗ und L¯−1∗ nach Proposition 1.3.2 aus den jeweiligen Eigenwerten abgelesen werden können. Diese Dimensionen werden in Tabelle 3.3 angegeben. k⟨u¯⟩-Modul T k-Dimension von T 1 k-Dimension von T −1 L¯10 6 4 L¯20 8 12 T1∗ 1 0 T6∗ 2 4 T8 4 4 Wobei ∗ alle Werte in {a, b} annimmt. Tabelle 3.3: Dimensionen von T 1 und T −1 gewisser k⟨u¯⟩-Moduln T Es werden Kompositionsreihen von L¯∗ als kG-Modul verwendet, welche mit Hilfe des Computeralgebrasystems GAP [GAP15] gewonnen wurden und in Tabelle 3.4 wiedergegeben werden. kG-Modul T Sockel von T Kopf von T L¯10 T1i T1j L¯20 T6a ⊕ T6b T8 Wobei (i, j) Werte in {(a, b), (b, a)} annimmt. Tabelle 3.4: Kompositionsreihen gewisser reduzierter RAut(A6)-Gitter als kAut(A6)-Moduln Das Krull-Schmidt-Azumaya Theorem wird ab hier ohne weitere Erwähnung verwendet, vgl. Bemerkung 1.3.4a). In diesem Absatz sind alle Moduln k⟨u¯⟩- 66 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN Moduln. Aus den oben berechneten Eigenwerten von D20(u) folgt aus Propo- sition 1.3.2 und Proposition 1.3.3 die Isomorphie L¯−1 20 ≅ 6I(kC3)−1. Nach dem oben angegebenen Teil der Charaktertafel sind T1a und T1b als k⟨u¯⟩-Moduln trivial. Somit folgt unter Verwendung der oben berechneten Eigenwerte von D10(u) und aus Proposition 1.3.3, die Isomorphie T −18 ≅ L¯−110 ≅ X mit X ∈ {(k)−1 ⊕ (kC3)−1,2(k)−1 ⊕ I(kC3)−1}. Da aber T −1 8 ≅ L¯−1 20 /(T −1 6a ⊕ T −1 6b ) gilt, d.h. T −1 8 auch ein Quotient des Moduls L¯−1 20 ≅ 6I(kC3)−1 ist, folgt T −18 ≅ 2(k)−1 ⊕ I(kC3)−1. Somit gilt 6I(kC3)−1/(T −16a ⊕ T −16b ) ≅ L¯−120/(T −16a ⊕ T −16b ) ≅ T −18 ≅ 2(k)−1 ⊕ I(kC3)−1 und dies liefert T −16a ⊕ T −16b ≅ 2(k)−1 ⊕ 3I(kC3)−1. Wegen dimk(T −16a ) = dimk(T −16b ) = 4, erhält man entweder T −16a ≅ 2(k)−1 ⊕ I(kC3)−1 und T −16b ≅ 2I(kC3)−1 oder T −16a ≅ 2I(kC3)−1 und T −16b ≅ 2(k)−1 ⊕ I(kC3)−1. Wir werden nun die beiden Fälle mittels Einschränkung auf die jeweilige Untergruppe abhandeln. Sei hierfür zuerst u ∈ V(ZM10). Dann folgt aus der Brauer-Tafel der M10 zur Primzahl 3, dass T6a und T6b als kM10-Moduln jeweils einfach und isomorph sind, vgl. Tabelle 3.5. Ist u ein Element in ZM10, dann sind sie also auch als k⟨u¯⟩-Moduln isomorph, ein Widerspruch zu Obigem. Angenommen u liegt in V(ZPGL(2,9)). Es bezeichne T den Modul T6a oder T6b, so dass als k⟨u¯⟩-Modul die Isomorphie T −1 ≅ 2(k)−1 ⊕ I(kC3)−1 gilt. Die Brauer-Tafel der PGL(2,9) zur Primzahl 3 zeigt, dass T als Modul 3.1. GRUPPEN MIT DREI PRIMTEILERN 67 1a 2a τ1a 1 1 τ1b 1 1 τ4a 4 0 τ4b 4 0 τ6 6 −2 Tabelle 3.5: Teil der Brauer-Tafel der M10 zur Primzahl 3 mit allen Charak- teren bis Grad 6. über kPGL(2,9) zwei dreidimensionale Kompositionsfaktoren S3a und S3b besitzt, vgl. Tabelle 3.6 und Tabelle 3.1. Genauer korrespondieren die Moduln S3a und S3b zu den Brauer-Charakteren ψ3a und ψ3b aus Tabelle 3.6 oder den Brauer-Charakteren ψ3c und ψ3d. Nach Clifford [CR90, Th. 11.1] ist dann T die direkte Summe seiner Kompositionsfaktoren. Die zu S3a und S3b gehörenden Brauer-Charaktere sind Galois-konjugiert und haben auf der Konjugiertenklasse 2a beide den Wert −1, d.h. als k⟨u¯⟩-Moduln sind S−1 3a und S−1 3b jeweils 2-dimensional. Somit ist einer dieser Moduln isomorph zu 2(k)−1, während der andere zu I(kC3)−1 isomorph ist. 1a 2a 4a 5a 5b 2b ψ1a 1 1 1 1 1 1 ψ1b 1 1 1 1 1 −1 ψ3a 3 −1 1 −α 1 + α −1 ψ3b 3 −1 1 1 + α −α 1 ψ3c 3 −1 1 −α 1 + α 1 ψ3d 3 −1 1 1 + α −α −1 ψ4a 4 0 −2 −1 −1 0 ψ4b 4 0 −2 −1 −1 0 Mit α = ζ5 + ζ45 Tabelle 3.6: Teil der Brauer-Tafel der PGL(2,9) zur Primzahl 3 mit allen Charakteren bis Grad 6. Sei D3a ∶ PGL(2,9) → GL(3, k) eine zu S3a korrespondierende Darstellung und es bezeichne σ die Anwendung des Frobeniusautomorphismus auf k in jedem Eintrag einer 3 × 3-Matrix über k. Dann ist σ ○D3a ebenso eine Dar- stellung von PGL(2,9) und die Brauer-Tafel zeigt wiederum, dass diese Dar- stellung zum Modul S3b korrespondiert. Da es sich bei σ um eine F3-lineare Abbildung auf dem gesamten Matrixring handelt, wird S3a auch als k⟨u¯⟩- Modul mittels σ auf S3b abgebildet. Insbesondere wird auch S−13a mittels σ 68 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN auf S−1 3b abgebildet. Da σ aber die Dimensionen der Eigenräume einer Ma- trix fest lässt, müssen S−1 3a und S −1 3b also isomorph sein, im Widerspruch zu Obigem. ◻ 3.2 Gruppen mit vier Primteilern Ziel dieses Abschnitts ist die Anwendung der HeLP- und der Gitter-Methode auf die Klasse der Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise ver- schiedene Primzahlen teilbar ist. Hierbei konnte leider kein vollständiges po- sitives Resultat erzielt werden. Es finden sich jedoch einige interessante An- wendungsbeispiele der Gitter-Methode. Insgesamt wird bewiesen: Satz 3.2.1. Sei G eine Gruppe, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist. Dann hat die Primgraphfrage für G eine positive Antwort, falls G nicht eine der folgenden Gruppen als Bild besitzt: PSL(2,3f) oder eine Erweiterung der PSL(2,3f) vom Grad 2, PSL(3,7).2, PSL(3,8), PSL(3,17), PSL(3,17).2 oder Sz(32). Beweis: Der Beweis ergibt sich als Kombination der folgenden Lemmata: Lemma 3.2.4 und hiernach Satz 2.4.2, Lemma 3.2.5, Lemma 3.2.4, Lemma 3.2.6, Lemma 3.2.7, Lemma 3.2.8, Lemma 3.2.9, Lemma 3.2.10. ◻ Alle einfachen Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise ver- schiedene Primzahlen teilbar ist, wurden angeblich erstmals von W.J. Shi in [Shi91] klassifiziert. Diesen Artikel konnte ich mir jedoch nicht beschaffen. Eine Beschreibung aller dieser Gruppen mit Beweis findet sich in [HL00]. Hierbei wird die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen verwendet. Weitere arithmetische Einschränkungen an die potenziell unendlichen Serien solcher Gruppen finden sich in [BCM01, Th. 2]. Insgesamt ergibt sich: Lemma 3.2.2. Die fast-einfachen Gruppen G, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist, sind die in Tabelle A.1 aufgeführten Gruppen. Gilt hierbei G = PSL(2,2f), so gilt entweder f = 4 oder 2f − 1 ist eine Mersenne-Primzahl und ebenso ist 2 f+1 3 ein Primzahl. Gilt G = PSL(2,3f) oder G = PGL(2,3f), so gilt entweder f = 4 oder es sind 3f−1 2 und 3 f+1 4 Primzahlen. 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 69 Die Primgraphen fast-einfacher Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist, wurden außerdem in [KK11] detailliert untersucht. 3.2.1 Mittels HeLP Die Ergebnisse, die mit Hilfe der HeLP-Methode für fast-einfache Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist, erzielbar sind, werden in Lemma 3.2.4 angegeben. Die hierfür benötigten Rechnungen werden in der Tabelle A.1 zusammengefasst, welche sich im An- hang dieser Arbeit findet. Die Ergebnisse für die möglicherweise unendlichen Serien dieser Gruppen werden im folgenden Lemma gezeigt. Lemma 3.2.3. Sei G = PSL(2,2f) oder G = PGL(2,3f), so dass die Ord- nung von G durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist. Sind dann p und q Primzahlen mit pq ≠ 6 und existiert in G kein Element der Ordnung pq, dann genügt die HeLP-Methode, um zu zeigen, dass auch in V(ZG) kein Element der Ordnung pq existiert. Beweis: Sei D eine den Steinberg-Charakter von G realisierende Dar- stellung. Beachte, dass sich dieser Charakter von jeder PSL(2, q) auf die PGL(2, q) ausdehnen lässt, vgl. z.B. [Sch07] oder deutlich moderner [Whi13]. Sei zuerst G = PSL(2,2f). Dann sind die Primteiler der Ordnung von G nach Lemma 3.2.2 genau 2, 3, r = 2f+1 3 und s = 2f − 1. Nach Proposition 2.1.7 sind noch Elemente der Ordnung 2r und 2s zu untersuchen. Sei also u ∈ V(ZG) von Ordnung 2r oder 2s. Dann ist D(ur) ∼ (2f−1 × (1,−1)), D(u2) ∼ (1,1,3 × (ζr, ζ2r , ..., ζr−1r )) bzw. D(us) ∼ (2f−1 × (1,−1)), D(u2) ∼ (1,1, ζs, ζ2s , ..., ζs−1s ). In jedem Fall kann die Summe der Eigenwerte von D(u) nicht ganzzahlig 70 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN sein, im Widerspruch dazu, dass der Steinberg-Charakter ganzzahlig ist. Ist G = PGL(2,3f), so sind die Primteiler der Ordnung von G wiederum nach Lemma 3.2.2 genau 2, 3, r = 3f+1 4 und s = 3f − 1. Mit Satz 2.4.2 sind noch Elemente der Ordnung 3r und 3s zu untersuchen. Sei also u ∈ V(ZG) von Ordnung 3r bzw. 3s. Dann ist D(ur) ∼ (3f−1 × (1, ζ3, ζ23)), D(u3) ∼ (1,1,1,4 × (1, ζr, ζ2r , ..., ζr−1r )) bzw. D(us) ∼ (3f−1 × (1, ζ3, ζ23)), D(u3) ∼ (1,1, ζs, ζ2s , ..., ζs−1s ). Wiederum kann dann die Summe der Eigenwerte von D(u) nicht ganzzahlig sein. ◻ Das in Tabelle A.1 dargestellte Ergebnis wird in folgendem Lemma zusam- mengefasst, wobei auch die möglichen partiellen Augmentationen angegeben werden. Lemma 3.2.4. Sei G eine fast-einfache Gruppe, deren Ordnung von ge- nau vier verschiedenen Primzahlen geteilt wird. Seien p und q verschiede- ne Primteiler der Ordnung von G, so dass G kein Element der Ordnung pq enthält, und u ∈ V(ZG) von Ordnung pq. Dann kann man mit Hilfe der HeLP-Methode die Nicht-Existenz von u in allen Fällen zeigen, wenn G nicht Normalteiler einer der folgenden Gruppen ist und u von entsprechender Ord- nung. In Fällen, in denen die partiellen Augmentationen von u angegeben werden, sind nicht erwähnte partielle Augmentationen jeweils 0. • G = PSL(2,2f), es ist 2f −1 eine Mersenne-Primzahl oder 15 und u hat Ordnung 6. • G = PGL(2,3f), es ist entweder f = 4 oder 3f−1 2 und 3 f+1 4 sind Prim- zahlen und u hat Ordnung 6. • G = PSL(2,81).(C2 ×C4) und u hat Ordnung 15 mit (ε3a(u), ε5a(u)) = (6,−5). 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 71 • G = PSL(2,81).2c und u hat Ordnung 6 mit (ε2a(u), ε3a(u)) ∈ {(10,−9), (4,−3), (−2,3), (−8,9), (−14,15)}. • G = PSL(3,4) und u hat Ordnung 6 mit (ε2a(u), ε3a(u)) ∈ {(4,−3), (−2,3)}. • G = PSL(3,5).2 und u hat Ordnung 15 mit (ε3a(u), ε5a(u), ε5b(u)) ∈ {(6, x, y)}, wobei (x, y) vier verschiedene Werte annimmt und x + y = −5 gilt. • G = PSL(3,7).2 und u hat Ordnung 21 mit (ε3a(u), ε7a(u), ε7b(u), ε7c(u)) ∈ {(−6, x, y, z)}, wobei (x, y, z) genau 77 verschiedene Werte annimmt. • G = PSL(3,8) und u hat Ordnung 6 mit (ε2a(u), ε3a(u)) ∈ {(4,−3), (−2,3)}. • G = PSL(3,17).2 und u hat Ordnung 51. Es gibt 42 mögliche partielle Augmentationen für u. • G = PSU(3,4) und u hat Ordnung 6 mit (ε2a(u), ε3a(u)) = (−2,3). • G = PSU(3,7).2 und u hat Ordnung 21 mit (ε3a(u), ε7a(u), ε7b(u)) ∈ {(15,0,−14), (15,−1,−13), (−6,0,7), (−6, 1,6)}. • G = Sz(32) und u hat Ordnung 10 mit (ε2a(u), ε5a(u)) ∈ {(6,−5), (−4,5)}. 72 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN • G = G2(3).2 und u hat Ordnung 21 mit (ε3a(u), ε3b(u), ε3c(u), ε3d(u), ε7a(u)) = (0,0,−2,−4,7), (ε3a(u7), ε3b(u7), ε3c(u7), ε3d(u7)) = (0,0,−2,3) oder (ε3a(u), ε3b(u), ε3c(u), ε3d(u), ε7a(u)) = (0,0,−3,−3,7), (ε3a(u7), ε3b(u7), ε3c(u7), ε3d(u7)) = (0,0,4,−3). 3.2.2 Mittels der Gitter-Methode In diesem Abschnitt wird die Primgraphfrage für die in Lemma 3.2.4 ange- gebenen Fälle mit Hilfe der Gitter-Methode untersucht. Für sieben der in diesem Lemma gelisteten dreizehn kritischen Fälle wird hierbei ein positives Resultat erzielt, s. Lemma 3.2.5 bis Lemma 3.2.8 und Lemma 3.2.10. Für die Gruppe PSL(3,7).2 ergeben sich starke Einschränkungen, die es erlauben die Primgraphfrage für PSL(3,7) zu beweisen, s. Lemma 3.2.9. Die Grup- pen, für die es mir nicht gelungen ist, die Primgraphfrage zu beantworten, sind in Satz 3.2.1 angegeben. Lemma 3.2.5. Sei G = PSL(2,2f), so dass die Ordnung von G durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist. Dann hat die Primgraph- frage für G eine positive Antwort. Beweis: Nach Lemma 3.2.2 gilt f = 4 oder 2f−1 ist eine Mersenne-Primzahl. Im Fall f = 4 gilt für G sogar die Zassenhausvermutung nach Satz 2.5.1. Ist hingegen 2f − 1 eine Mersenne-Primzahl, dann sind nach Lemma 3.2.3 nur noch Einheiten der Ordnung 6 in V(ZG) zu untersuchen. Nach Lemma 3.2.2 ist 9 kein Teiler der Ordnung von G und somit existieren keine Einheiten der Ordnung 6 in V(ZG) nach Proposition 2.4.1. ◻ Lemma 3.2.6. Die Primgraphfrage hat eine positive Antwort für die Grup- pen PSL(3,5).2,PSU(3,4) und PSU(3,7).2. Beweis: Alle Gruppen werden mittels des in Lemma 1.3.6 angegebenen Spe- zialfalls behandelt. Dabei sind alle involvierten Charaktere auf allen Konju- giertenklassen der entsprechenden Gruppe ganzzahlig. 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 73 • Sei G = PSL(3,5).2. Nach Lemma 3.2.4 müssen nur Einheiten der Ord- nung 15 untersucht werden und hat u ∈ V(ZG) Ordnung 15, so ist ε3a(u) = 6 und ε5a(u) + ε5b(u) = −5. Verwende die in Tabelle 3.7 angegebenen Teile der gewöhnlichen Cha- raktertafel und der Zerlegungsmatrix bezüglich p = 3. 1a 3a 5a 5b χ1 1 1 1 1 χ15 124 1 −1 −1 χ21 125 -1 0 0 (a) Teil der Charaktertafel ϕ1 ϕ15 χ1 1 ⋅ χ15 ⋅ 1 χ21 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix bezüg- lich 3 Tabelle 3.7: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix bezüglich 3 von PSL(3,5).2 Es ergibt sich χ21(u) = −ε3a(u) = −6, χ21(u5) = χ21(3a) = −1 und χ15(u) = ε3a(u) − (ε5a(u) + ε5b(u)) = 11, χ15(u5) = χ15(3a) = 1. Mit dem angegebenen Teil der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3 und Lemma 1.3.6 folgt die Aussage. • Sei G = PSU(3,4). Nach Lemma 3.2.4 müssen nur Einheiten der Ord- nung 6 untersucht werden und hat u ∈ V(ZG) Ordnung 6, so ist (ε2a(u), ε3a(u)) = (−2,3). Verwende die in Tabelle 3.8 angegebenen Teile der gewöhnlichen Cha- raktertafel und der Zerlegungsmatrix für p = 3. Dann folgt χ13(u) = 3ε3a(u) = 3, χ13(u2) = χ13(3a) = 1 74 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN 1a 2a 3a χ1 1 1 1 χ13 64 0 1 χ14 65 1 -1 (a) Teil der Charakter- tafel ϕ1 ϕ13 χ1 1 ⋅ χ13 ⋅ 1 χ14 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix bezüg- lich 3 Tabelle 3.8: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix bezüglich 3 von PSU(3,4) und χ14(u) = ε2a(u) − ε3a(u) = −5, χ14(u2) = χ14(3a) = −1. Mit dem angegebenen Teil der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3 und Lemma 1.3.6 folgt die Aussage. • Sei G = PSU(3,7).2. Nach Lemma 3.2.4 müssen nur Einheiten der Ord- nung 21 untersucht werden und hat u ∈ V(ZG) Ordnung 21, so ist (ε3a(u), ε7a(u), ε7b(u)) ∈ {(15,0,−14), (15,−1,−13), (−6,0,7), (−6,1, 6)}. Verwende die in Tabelle 3.9 angegebenen Teile der gewöhnlichen Cha- raktertafel und der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3. 1a 3a 7a 7b χ1 1 1 1 1 χ23 343 1 0 0 χ27 344 -1 1 1 (a) Teil der Charaktertafel ϕ1 ϕ23 χ1 1 ⋅ χ23 ⋅ 1 χ27 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix bezüg- lich 3 Tabelle 3.9: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix bezüglich 3 von PSU(3,7).2 Dann folgt χ23(u) = ε3a(u), χ23(u7) = χ23(3a) = 1 und χ27(u) = −ε3a(u) + (ε7a(u) + ε7b(u)), χ27(u5) = χ27(3a) = −1. 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 75 Gilt ε3a(u) = 15, folgt χ23(u) = 15, χ27(u) = −29. Gilt hingegen ε3a(u) = −6, folgt χ23(u) = −6, χ27(u) = 11. Mit dem angegebenen Teil der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3 und Lemma 1.3.6 folgt die Aussage. ◻ Notation: Es bezeichne G eine endliche Gruppe. Die nachfolgenden Lem- mata wenden die Gitter-Methode an und es sollen in allen folgende Kon- ventionen gelten: Es werden Charaktere verwendet, wie sie sich in der GAP character table library [Bre12] finden und die Namen werden beibehalten. Es bezeichne Di eine zum irreduziblen Charakter χi gehörende Darstellung von G. Ist p eine feste Primzahl, diese wird sich stets aus dem Kontext ergeben, dann lässt sich Di nach Bemerkung 1.3.5a) über einem p-adisch vollständi- gen, diskreten Ring R realisieren, dessen Verzweigungsgrad über Zp gleich dem Verzweigungsgrad des Charakterrings von χi ist. In den nachfolgenden Lemmata wird R stets unverzweigt über Zp sein. Es bezeichne dann Li ein zur Darstellung Di korrespondierendes RG-Gitter, weiterhin bezeichne wie üblich .¯ die Reduktion modulo dem maximalen Ide- al von R und k einen Körper der Charakteristik p, der die Restklassenkörper aller betroffenen vollständigen, diskreten Bewertungsringe enthält und über dem sich weiterhin alle angegebenen p-modularen Darstellungen von G rea- lisieren lassen. Ist ϕi ein irreduzibler Brauer-Charakter von G, so bezeichne Si den zugehörigen kG-Modul. Die Rechnungen werden immer eine Einheit u ∈ V(ZG) involvieren. Sofern nicht anders angegeben, werden die Li als R⟨u⟩-Gitter und die Moduln L¯i und Si als k⟨u¯⟩-Moduln betrachtet. Es wird außerdem für diese die Notation aus Proposition 1.3.1 und Proposition 1.3.2 verwendet. Lemma 3.2.7. Die Primgraphfrage hat eine positive Antwort für PSL(2,81).(C2 ×C4). Beweis: Nach Lemma 3.2.4 müssen nur Elemente der Ordnung 15 unter- 76 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN sucht werden und hat u ∈ V(ZPSL(2,81).(C2 ×C4)) die Ordnung 15, gilt (ε3a(u), ε5a(u)) = (6,−5). Setze G = PSL(2,81).(C2×C4) und verwende die in Tabelle 3.10 angegebenen Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und Zerlegungsmatrix zur Primzahl 5. Beachte hierbei, dass die Brauer-Tafel für p = 5 für diese Gruppe in GAP nicht vorliegt. Dennoch lässt sich bestimmen, welche irreduziblen gewöhnlichen Charaktere in einem gemeinsamen Block liegen, vgl. [Isa76, Th. 15.18]. Da die angegebenen 81-dimensionalen Darstellungen bereits für Untergruppen von G mittels der Reduktion modulo 5 auf einfache modulare Darstellungen abgebildet werden, überträgt sich dieses Verhalten auch auf G und es folgt der angegebene Teil der Zerlegungsmatrix. 1a 3a 5a χ1 1 1 1 χ3 1 1 1 χ28 81 0 1 χ29 81 0 1 χ35 164 2 -1 (a) Teil der Charakterta- fel ψ1 ψ3 ψ28a ψ28b χ1 1 ⋅ ⋅ ⋅ χ3 ⋅ 1 ⋅ ⋅ χ28 ⋅ ⋅ 1 ⋅ χ29 ⋅ ⋅ ⋅ 1 χ35 1 1 1 1 (b) Teil der Zerlegungsmatrix be- züglich 5 Tabelle 3.10: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsma- trix bezüglich 5 von PSL(2,81).(C2 ×C4) Es folgt dann mit Rechnungen wie in Abschnitt 2 D1(u) ∼D3(u) ∼ (1), D28(u) ∼D29(u) ∼ (3 × (1),6 × (ζ5, ..., ζ−15 ),7 × (ζ3, ζ−13 ),5 × (ζ15, ..., ζ−115 )), D35(u) ∼ (20 × (1),9 × (ζ5, ..., ζ−15 ),6 × (ζ3, ζ−13 ),12 × (ζ15, ..., ζ−115 )). Für die vorliegende Situation ist die Argumentation mittels Young Schiefta- bleaus am anschaulichsten, vgl. Abschnitt 1.3.1 Es sind L¯1 und L¯3 Unter- oder Faktormoduln von L¯1 35 und daher kann man nach Bemerkung 1.3.10 da- von ausgehen, dass L¯ζ3 35 einen zu L¯ζ3 28 isomorphen Untermodul enthält, dessen Quotient zu L¯ζ3 29 isomorph ist. Sei λ eine zu L¯ζ3 35 korrespondierende Partition und µ eine zu L¯ζ3 28 korrespondierende Partition. Nach obigen Eigenwerten und Proposition 1.3.3 enthält λ genau 12 Mal einen 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 77 der Einträge 4 oder 5, während µ genau 5 solche Einträge enthält. In jedem Fall enthält der oberste zusammenhängende Teil eines Schiefdiagramms der Form λ/µ mindestens 7 Zeilen der Länge 3, s. Abbildung 3.2. Hierbei sind rosa Kästchen nur potenziell vorhanden, während die weißen Kästchen in jedem Fall auftreten. Abbildung 3.2: Zu L¯ζ3 35 /L¯ζ3 28 gehöriges Schiefdiagramm Möchte man dieses Diagramm nun so mit natürlichen Zahlen füllen, dass es zu einem semistandard Young Tableau wird, welches die Gitter Eigenschaft erfüllt, dann liegen einige Einträge durch die vorgegebene Form bereits fest. Insbesondere müssen die zweite und dritte Spalte jeweils mit den Ziffern 1 bis 7 aufgefüllt werden, s. Abbildung 3.3. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 Abbildung 3.3: Zu L¯ζ3 35 /L¯ζ3 28 gehöriges Schieftableau mit einigen zwingenden Einträgen 78 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN Somit besitzt nach Satz 1.3.9 der Modul L¯ζ3 29 mindestens 7 direkte unzerleg- bare Summanden von k-Dimension mindestens 2, ein Widerspruch zu den oben angegebenen Eigenwerten und Proposition 1.3.3. ◻ Lemma 3.2.8. Die Primgraphfrage hat eine positive Antwort für PSL(3,4). Beweis: Nach Lemma 3.2.4 müssen nur Einheiten der Ordnung 6 untersucht werden und existiert in V(ZPSL(3,4)) ein Element u der Ordnung 6, gilt (ε2a(u), ε3a(u)) ∈ {(4,−3), (−2,3)}. Die Anwendung der Gitter-Methode auf die Gruppe PSL(3,4) selbst würde hier kein vollständiges Resultat liefern. Die Gruppe PSL(3,4) ist jedoch iso- morph zu einer maximalen Untergruppe der M22, der Mathieugruppe vom Grad 22 [HB82b, Ch. XII, Th. 1.4], und in beiden Gruppen existiert jeweils nur genau eine Konjugiertenklasse von Involutionen und von Elementen der Ordnung 3. Existiert also in V(ZPSL(3,4)) ein Element der Ordnung 6, so existiert ein Element u der Ordnung 6 auch in V(ZM22) und es gilt (ε2a(u), ε3a(u)) ∈ {(4,−3), (−2,3)}, wobei 2a und 3a jetzt Konjugiertenklassen in M22 bezeichnen. Diese Mög- lichkeiten können nach [BKL08, Th. 1 (iv)] nicht mittels der HeLP-Methode ausgeschlossen werden. Setze also G =M22. Es werden die in Tabelle 3.11 an- gegebenen Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3 verwendet. 1a 2a 3a χ2 21 5 3 χ8 210 2 3 χ9 231 7 −3 (a) Teil der Charakterta- fel ϕ2 ϕ9 χ2 1 ⋅ χ8 ⋅ 1 χ9 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix be- züglich 3 Tabelle 3.11: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsma- trix bezüglich 3 von M22 Nach Bemerkung 1.3.10 und der Zerlegungsmatrix kann man annehmen, dass L¯9 einen zu L¯8 isomorphen Untermodul enthält. Es bezeichne ζ eine primitive komplexe 3-te Einheitswurzel. 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 79 Fall 1: (ε2a(u), ε3a(u) = (4,−3)). Mit zu den in Abschnitt 2 durchgeführten analogen Rechnungen folgt D8(u) ∼ (38 × (1), 34 × (ζ, ζ2), 34 × (−1), 35 × (−ζ,−ζ2)), D9(u) ∼ (31 × (1), 44 × (ζ, ζ2), 44 × (−1), 34 × (−ζ,−ζ2)). Nach Proposition 1.3.3 besitzt dann L¯−1 8 genau 35 direkte unzerlegbare Sum- manden von k-Dimension mindestens 2, während L¯−1 9 nur 34 solche besitzt. Dies widerspricht der Tatsache, dass L¯−1 8 ein Untermodul von L¯−1 9 ist. Fall 2: (ε2a(u), ε3a(u) = (−2,3). Mit zu den in Abschnitt 2 durchgeführten analogen Rechnungen folgt D8(u) ∼ (36 × (1), 35 × (ζ, ζ2), 36 × (−1), 34 × (−ζ,−ζ2)), D9(u) ∼ (51 × (1), 34 × (ζ, ζ2), 24 × (−1), 44 × (−ζ,−ζ2)). Analog zum Fall 1 besitzt L¯1 8 nach Proposition 1.3.3 genau 35 direkte unzer- legbare Summanden von k-Dimension mindestens 2, während L¯1 9 nur maximal 34 solche Summanden besitzt. Wiederum folgt ein Widerspruch. ◻ Lemma 3.2.9. Sei G = PSL(3,7).2. Existiert u ∈ V(ZG) von Ordnung 21, so gilt (ε7a(u3), ε7b(u3), ε7c(u3)) = (5,0,−4) und (ε3a(u), ε7a(u), ε7b(u), ε7c(u)) = (−6,−1,0,8). Die Primgraphfrage hat eine positive Antwort für PSL(3,7). Beweis: Nach Lemma 3.2.4 sind noch Einheiten der Ordnung 21 zu un- tersuchen und in jedem Fall gilt für eine Einheit u ∈ V(ZPSL(3,7).2) der Ordnung 21, dass ε3a(u) = −6 ist. Setze G = PSL(3,7).2. Die Gitter-Methode und insbesondere Proposition 1.3.3 werden in diesem Beweis mehrmals ohne Referenzierung verwendet. Nutze die in Tabelle 3.12 dargestellten Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3. Sei D5(u) ∼ (a1 × (1), a3 × (ζ3, ζ−13 ), a7 × (ζ7, ..., ζ−17 ), a21 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D23(u) ∼ (b1 × (1), b3 × (ζ3, ζ−13 ), b7 × (ζ7, ..., ζ−17 ), b21 × (ζ21, ..., ζ−121 )), 80 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN 1a 3a 7a 7b 7c χ5 57 3 8 1 1 χ23 399 3 7 0 0 χ25 456 -3 15 1 1 (a) Teil der Charaktertafel ϕ5 ϕ21 χ5 1 ⋅ χ23 ⋅ 1 χ25 1 1 (b) Teil der Zerle- gungsmatrix bezüg- lich 3 Tabelle 3.12: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsma- trix bezüglich 3 von PSL(3,7).2 mit gewissen nicht-negativen ganzen Zahlen ai und bi. Es gelten dann die Gleichungen χ5(u) = a1 + a21 − a3 − a7, χ5(u3) = a1 + 2a3 − a7 − 2a21, χ5(u7) = a1 + 6a7 − a3 − 6a21 = χ5(3a) = 3, χ5(u21) = a1 + 2a3 + 6a7 + 12a21 = 57 = χ5(1a). (3.1) Analoge Gleichungen ergeben sich für χ23. Unabhängig von den genauen partiellen Augmentationen von u und u3 gilt χ5(u3) + χ23(u3) = (8ε7a(u3) + ε7b(u3) + ε7c(u3)) + (7ε7a(u3)) = 15ε7a(u3) + ε7b(u3) + ε7c(u3) = χ25(u3). Sei r = 15ε7a(u) + ε7b(u) + ε7c(u). Dann gilt χ5(u) + χ23(u) = r + 6ε3a(u) = r − 36 = (r + 18) − 54 = χ25(u) − 54. Hieraus folgt D25(u) ∼ (a1 + b1 + 30 × (1), a3 + b3 − 15 × (ζ3, ζ−13 ), a7 + b7 − 6 × (ζ7, ..., ζ−17 ), a21 + b21 + 3 × (ζ21, ..., ζ−121 )). Dies lässt sich mittels der Charakterwerte χ25(u), χ25(u3), χ25(u7) und χ25(u21) verifizieren, was hier kurz geschehen soll. Es ergibt sich χ25(u) = a1 + b1 + 30 + a21 + b21 + 3 − a3 − b3 + 15 − a7 − b7 + 6 = a1 + a21 − a3 − a7 + b1 + b21 − b3 − b7 + 54 = χ5(u) +χ23(u) + 54, 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 81 wie verlangt. Weiterhin gilt χ25(u3) = a1 + b1 + 30 + 2(a3 + b3 − 15) − a7 − b7 + 6 − 2(a21 + b21 + 3) = a1 + 2a3 − a7 − 2a21 + b1 + 2b3 − b7 − 2b21 = χ5(u3) + χ23(u3), χ25(u7) = a1 + b1 + 30 + 6(a7 + b7 − 6) − a3 − b3 + 15 − 6(a21 + b21 + 3) = a1 + 6a7 − a3 − 6a21 + b1 + 6b7 − b3 − b21 − 9 = χ5(u7) + χ23(u7) − 9 = −3 = χ25(3a), χ25(u21) = a1 + b1 + 30 + 2(a3 + b3 − 15) + 6(a7 + b7 − 6) + 12(a21 + b21 + 3) = a1 + 2a3 + 6a7 + 12a21 + b1 + 2b3 + 6b7 + 12b21 = χ5(u21) + χ23(u21) = 57 + 399 = 456 = χ25(1a). Diese Gleichungen zeigen die Richtigkeit der oben angegebenen Eigenwerte für D25(u). Wegen χ5(u7) = χ5(3a) = 3 gilt D5(u7) ∼ (21 × (1),18 × (ζ3, ζ−13 )). Hieraus folgt wiederum a3 + 6a21 = 18. Nun ist L¯1 23 ein Unter- oder Faktormodul von L¯1 25 , woraus sich a3 + b3 − 15 ≥ b3 ergibt, also a3 ≥ 15. Dann muss aber nach Obigem a3 = 18 und a21 = 0 gelten. Somit ist a7 ≤ 3 und L¯ζ75 ≅ a7k. Die Anzahl der direkten Summanden von Dimension mindestens 2 in L¯ζ7 25 ist wenigstens um drei größer als jene von L¯ζ7 23 . Somit ist 3 ≥ dim(L¯ζ7 25 /L¯ζ7 23 ) = dim(L¯5ζ7) = dim(a7k) = a7. Es folgt a7 = 3. Aus der Gleichung (3.1) für χ25(u21) ergibt sich außerdem a1 = 3. Somit ist D5(u3) ∼ (39 × (1),3 × (ζ7, ..., ζ−17 )), 82 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN also χ5(u3) = 36 = 8ε7a(u3) + ε7b(u3) + ε7c(u3). Mit ε7a(u3) + ε7b(u3) + ε7c(u3) = 1 folgt ε7a(u3) = 5. Des Weiteren ist χ5(u) = a1 + a21 − a3 − a7 = 3 − 18 − 3 = −18 = 3ε3a(u) + 8ε7a(u) + ε7b(u) + ε7c(u). Mit ε7a(u) + ε7b(u) + ε7a(u) = 1 − ε3a(u) = 7, ergibt sich ε7a(u) = −1. Es wird nun die HeLP-Methode angewandt, um die partiellen Augmentatio- nen von u3 weiter einzuschränken. Hierfür werden die in Tabelle 3.13 ange- gebenen Charaktere der Brauer-Tafel zur Primzahl 3 verwendet. Sind alle 1a 7a 7b 7c ϕ8 96 −2 5 −2 ϕ9 192 −4 −4 3 Tabelle 3.13: Teil der Brauer-Tafel von PSL(3,1).2 zur Primzahl 3. Eigenwerte von Θ8(u3) primitive 7-te Einheitswurzeln, so gilt ϕ8(u3) = −ϕ8(1) 6 = −16 und somit ϕ8(u3) ≥ −16. Aus ε7a(u3) = 5, folgt ε7b(u3) + ε7c(u3) = −4 und daraus ergibt sich ϕ8(u3) = −2ε7a(u3) + 5ε7b(u3) − 2ε7c(u3) = −10 + 5(−4 − ε7c(u3)) − 2ε7c(u3)) = −30 − 7ε7c(u3) ≥ −16. Hieraus folgt ε7c(u3) ≤ −2. Eine analoge Rechnung für ϕ9 liefert zuerst ϕ9(u3) ≥ −ϕ9(1) 6 = −32 und hiernach ϕ9(u3) = −4ε7a(u3) − 4ε7b(u3) + 3ε7c(u3) 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 83 = −20 − 4(−4 − ε7c(u3)) + 3ε7c(u3)) = −4 + 7ε7c(u3) ≥ −32. Es folgt ε7c(u3) ≥ −4. Es werden nun die drei Fälle ε7c(u3) ∈ {−2,−3,−4} einzeln betrachtet. In allen Fällen wird der in Tabelle 3.14 angegebene Teil der gewöhnlichen Cha- raktertafel und der Zerlegungsmatrix zur Primzahl 3 verwendet. 1a 3a 7a 7b 7c χ4 56 2 7 0 0 χ8 152 −1 5 5 −2 (a) Teil der Charaktertafel ϕ1 ϕ4 ϕ8 χ4 1 1 ⋅ χ8 1 1 1 (b) Teil der Zerlegungs- matrix bezüglich 3 Tabelle 3.14: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsma- trix bezüglich 3 von PSL(3,7).2 In allen Fällen ergibt sich wegen χ4(u) = 2ε3a(u) + 7ε7a(u) = −19 und der entsprechenden Augmentationen von u3 und u7 für die Eigenwerte von D4(u) gerade D4(u) ∼ (2 × (1),18 × (ζ3, ζ−13 ),3 × (ζ7, ..., ζ−17 )). Sei D8(u) ∼ (c1 × (1), c3 × (ζ3, ζ−13 ), c7 × (ζ7, ..., ζ−17 ), c21 × (ζ21, ..., ζ−121 )). Durch die angegebenen Eigenwerte und Teile der Zerlegungsmatrix folgt, dass S1 4 , als Faktor- oder Untermodul von L¯1 4 , wenigstens 17 direkte Summanden von k-Dimension mindestens 2 besitzt. Da S1 4 auch ein Unter- oder Faktor- modul von L¯1 8 ist, folgt c3 ≥ 17. Außerdem gilt χ8(u7) = −1. Hieraus ergibt sich D8(u7) ∼ (50 × (1),51 × (ζ3, ζ−13 )) und dies liefert c3 + 6c21 = 51. Es folgt c3 ≡ 3 mod 6. Fall 1: ε7c(u3) = −2, also (ε7a(u3), ε7b(u3), ε7c(u3)) = (5,−2,−2). In diesem Fall gilt χ8(u3) = 19 und D8(u3) ∼ (38 × (1),19 × (ζ7, ..., ζ−17 )). 84 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN Somit besitzt D8(u) genau 6 ⋅19 = 114 Eigenwerte, welche primitive 7-te oder 21-te Einheitswurzeln sind. Somit verbleiben noch 38 andere Eigenwerte und es folgt c3 ≤ 19. Dies widerspricht aber c3 ≥ 17 und c3 ≡ 3 mod 6. Fall 2: ε7c(u3) = −3, also (ε7a(u3), ε7b(u3), ε7c(u3)) = (5,−1,−3). Analog zum Fall 1 gilt nun D8(u3) ∼ (44 × 1,18 × (ζ7, ..., ζ−17 )) und D8(u) besitzt genau 108 Eigenwerte, welche primitive 7-te oder 21-te Einheitswurzeln sind. Es folgt c3 ≤ 22 und mit Obigem c3 = 21. Aus der Gleichung c3 + 6c21 = 51 folgt weiterhin c21 = 5, hieraus c7 = 8 und daraus c1 = 2. Also ist χ8(u) = c1 + c21 − c3 − c7 = −22. Andererseits gilt mit ε7b(u) + ε7c(u) = 8 die Gleichung −22 = χ8(u) = −ε3a(u) + 5ε7a(u) + 5ε7b(u) − 2ε7c(u) = 6 − 5 + 5(8 − ε7c(u)) − 2ε7c(u) = 41 − 7ε7c(u). Es folgt ε7c(u) = 9 und ε7b(u) = −1. Es wird nun der in Tabelle 3.15 angegebene Teil der gewöhnlichen Charakter- tafel, der Zerlegungsmatrix und der Brauer-Tafel zur Primzahl 7 verwendet. 1a 3a 7a 7b 7c χ7 152 −1 5 5 −2 χ8 152 −1 5 5 −2 χ9 304 −2 10 −4 3 (a) Teil der Charaktertafel 1a 3a ϕ13 117 0 ϕ14 117 0 (b) Teil der Brauer- Tafel bezüglich 7 ϕ3 ϕ4 ϕ6 ϕ7 ϕ13 ϕ14 χ7 ⋅ 1 ⋅ 1 1 ⋅ χ8 1 ⋅ 1 ⋅ ⋅ 1 χ9 1 1 1 1 1 1 (c) Teil der Zerlegungsmatrix bezüglich 7 Tabelle 3.15: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel, der Zerlegungsmatrix und Brauer-Tafel bezüglich 7 von PSL(3,7).2 Aus den in der Brauer-Tafel angegebenen Werten folgt Θ13(u7) ∼ Θ14(u7) ∼ (39 × (1),39 × (ζ3, ζ−13 )) 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 85 und somit sind S1 13 und S1 14 als k⟨u¯⟩-Moduln jeweils 39-dimensional. Mit den üblichen Rechnungen folgt D7(u) ∼D8(u) ∼ (2 × (1),8 × (ζ7, ..., ζ−17 ),21 × (ζ3, ζ−13 ),5 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D9(u) ∼ (46 × (1),9 × (ζ7, ..., ζ−17 ),18 × (ζ3, ζ−13 ),14 × (ζ21, ..., ζ−121 )). Da S1 13 ein Unter- bzw. Faktormodul von L¯1 7 ist, folgt aus diesen Eigenwerten dim(soc(S113)) ≤ 10 und daraus dim(S113/soc(S113)) ≥ 29. Analog folgt dim(S114/soc(S114)) ≥ 29. Da S1 13 und S1 14 beide Unter- oder Faktormoduln von L¯1 9 sind, folgt hieraus dim(L¯19/soc(L¯19)) ≥ 2 ⋅ 29 = 58. Andererseits ist diese Dimension aber durch die Anzahl der primitiven 7-ten Einheitswurzeln, welche als Eigenwerte von D9(u) auftauchen beschränkt und es folgt dim(L¯19/soc(L¯19)) ≤ 9 ⋅ 6 = 54, ein Widerspruch. Fall 3: ε7c(u3) = −4, also (ε7a(u3), ε7b(u3), ε7c(u3)) = (5,0,−4). Analog zu den Fällen 1 und 2 folgt χ8(u3) = 33 und hieraus D8(u3) ∼ (50 × (1),17 × (ζ7, ..., ζ−17 )). Somit besitztD8(u) genau 152−17⋅6 = 50 Eigenwerte, welche keine primitiven 7-ten oder 21-ten Einheitswurzeln sind. Somit gilt c3 ≤ 25 und wie im Fall 2 folgt c3 = 21, c21 = 5, c7 = 7 und c1 = 8. Wiederum analog zum Fall 2 ergibt sich hieraus −15 = χ8(u) = 41 − 7ε7c(u) und somit ε7c(u) = 8 und ε7b(u) = 0. Es ist mir in diesem Fall leider nicht gelungen die Gitter-Methode erfolgreich anzuwenden. 86 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN Angenommen es existiert ein Elemente der Ordnung 21 in V(ZPSL(3,7)). Dann liegt dieses in jeder der drei verschiedenen, aber isomorphen, Erweite- rungen vom Grad 2. Beachte hierfür, dass die äußere Automorphismengruppe der PSL(3,7) eine S3 ist. In PSL(3,7) gibt es vier Konjugiertenklassen von Elementen der Ordnung 7, sagen wir 7α,7β,7γ,7δ. Dabei fallen jeweils zwei verschiedene der 7β,7γ,7δ in einer Erweiterung vom Grad 2 zusammen und die dritte dieser Klassen übernimmt die Rolle der Klasse 7b aus obiger Rech- nung. Es folgt ε7α(u3) = 5 und ε7β(u3) = ε7γ(u3) = ε7δ(u3) = 0, ein Widerspruch. ◻ Lemma 3.2.10. Die Primgraphfrage hat eine positive Antwort für G2(3).2. Beweis: Nach Lemma 3.2.4 müssen nur Elemente der Ordnung 21 un- tersucht werden und es gibt zwei mögliche partielle Augmentationen, wobei aber für beide Fälle ε3a(u) = ε3b(u) = ε3a(u7) = ε3b(u7) = 0 gilt. Entsprechend werden die Konjugiertenklassen 3a und 3b nicht in den nachfolgenden Tabellen und Rechnungen auftauchen. Verwende die in der Tabelle 3.16 angegebenen Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und Zerle- gungsmatrix. 1a 3c 3d 7a χ1 1 1 1 1 χ5 64 4 -2 1 χ7 64 4 -2 1 χ10 78 -3 6 1 χ15 104 2 -1 -1 χ24 729 0 0 1 χ28 832 4 4 -1 (a) Teil der Charaktertafel ϕ1 ϕ5 ϕ7 ϕ10 ϕ15 ϕ23 χ1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ χ5 ⋅ 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ χ7 ⋅ ⋅ 1 ⋅ ⋅ ⋅ χ10 ⋅ ⋅ ⋅ 1 ⋅ ⋅ χ15 1 ⋅ ⋅ ⋅ 1 ⋅ χ24 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 1 χ28 ⋅ 1 1 1 ⋅ 1 (b) Teil der Zerlegungsmatrix bezüglich 7 Tabelle 3.16: Teile der gewöhnlichen Charaktertafel und der Zerlegungsma- trix bezüglich 7 von G2(3).2 Fall 1: (ε3a(u), ε3b(u), ε3c(u), ε3d(u), ε7a(u)) = (0,0,−2,−4,7) und(ε3a(u7), ε3b(u7), ε3c(u7), ε3d(u7)) = (0,0,−2,3). 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 87 Durch Rechnungen wie in Abschnitt 2 folgt D1(u) ∼ (1), D5(u) ∼ D7(u) ∼ (6 × (1), (ζ7, ..., ζ−17 ),2 × (ζ3, ζ−13 ),4 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D10(u) ∼ (7 × (ζ7, ..., ζ−17 ),6 × (ζ3, ζ−13 ),2 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D15(u) ∼ (5 × (ζ7, ..., ζ−17 ),7 × (ζ3, ζ−13 ),5 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D24(u) ∼ (39 × (1),34 × (ζ7, ..., ζ−17 ),33 × (ζ3, ζ−13 ),35 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D28(u) ∼ (22 × (1),43 × (ζ7, ..., ζ−17 ),48 × (ζ3, ζ−13 ),38 × (ζ21, ..., ζ−121 )). Die Isomorphietypen aller Gitter und Moduln werden im Folgenden mit den in Abschnitt 1.3 angegebenen Methoden bestimmt. Es folgt aus den Eigen- werten S115 ≅ 4I6 ⊕ I5. Sei a eine nicht-negative ganze Zahl, so dass gilt: L¯124 ≅ aI7 ⊕ (34 − a)I6 ⊕ (39 − a)I1. Dann hat das zu S1 23 ≅ L¯1 24 /S1 15 gehörige Schiefdiagramm die Gestalt wie in Abbildung 3.4. Das Vorhandensein der rosa Kästchen ist abhängig von a. Hierbei ist die Anzahl der rosa Kästchen in der siebten Spalte genau a und in der ersten Spalte genau 34 − a. 34 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 34−a{ ... ... ... ... ... ... ... ... ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ a Abbildung 3.4: Zu S1 23 gehöriges Schiefdiagramm Ist a ≥ 5, so liegen die meisten Einträge des Schieftableaus fest, die es zu einem semistandard Schieftableau machen, welches die Gitter-Eigenschaft 88 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN erfüllt. Es hat die Gestalt wie in Abbildung 3.5. 34 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 34−a{ 1 2 3 4 1 5 1 1 1 1 1 2 6 2 2 2 2 2 3 7... ... ... ... ... ... ... 29 29 29 29 29 30 34 ... ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ a Abbildung 3.5: Zu S1 23 gehöriges Schieftableau im Fall a ≥ 5 Dann hat S1 23 genau min{29, a} direkte Summanden vom Typ I7. Anderer- seits kann man nach Bemerkung 1.3.10 o.B.d.A. annehmen, dass S1 23 ein Untermodul von L¯1 28 ist und letzterer hat höchstens 22 direkte Summanden vom Typ I7. Es folgt a ≤ 22. Der Sockel von S1 23 hat als Dimension die Anzahl der verschiedenen Ziffern, die im zugehörigen Schiefdiagramm auftauchen, also mindestens die Länge der ersten Spalte, also mindestens 68 − a. Da aber L¯1 28 mindestens a direkte Summanden vom Typ I7 besitzt, folgt aus den oben angegebenen Eigenwer- ten dim(soc(L¯128)) ≤ a + (43 − a) + (22 − a) = 65 − a < 68 − a ≤ dim(soc(S123)), im Widerspruch dazu, dass S1 23 ein Untermodul von L¯1 28 ist. Sei nun a ≤ 4 und L¯128 ≅ bI7 ⊕ (43 − b)I6 ⊕ (22 − b)I1. Dann ist dim(soc(L¯128)) = b + (43 − b) + (22 − b) = 65 − b. Aus 64 ≤ 68 − a ≤ dim(soc(S123)) ≤ dim(soc(L¯128)) folgt dann b ≤ 1, d.h. das zu L¯1 28 /S1 23 gehörige Schiefdiagramm enthält in der 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 89 siebten Spalte höchstens ein Kästchen. Weiterhin folgt dim(soc(L¯128)) − dim(soc(S123)) ≤ 1, d.h. das zu L¯1 28 /S1 23 gehörige Schiefdiagramm enthält in der ersten Spalte höchstens ein Kästchen. Nun ist aber S110 ≅ L¯110 ≅ 7I6 ein Unter- oder Faktormodul von L¯1 28 /S1 23 , d.h. das zugehörige Schieftableau muss die Ziffern 1 bis 7 jeweils mindestens 6 Mal enthalten. Dies würde aber voraussetzen, dass in der ersten und siebten Spalte des zugehörigen Schiefdia- gramms insgesamt mindestens 7 Kästchen vorhanden sind, im Widerspruch zu Obigem. Fall 2: (ε3a(u), ε3b(u), ε3c(u), ε3d(u), ε7a(u)) = (0,0,−3,−3,7) und(ε3a(u7), ε3b(u7), ε3c(u7), ε3d(u7)) = (0,0,4,−3). Durch Rechnungen wie in Abschnitt 2 folgt D1(u) ∼ (1), D5(u) ∼ D7(u) ∼ (6 × (1),5 × (ζ7, ..., ζ−17 ),2 × (ζ3, ζ−13 ),2 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D10(u) ∼ (1 × (ζ7, ..., ζ−17 ),6 × (ζ3, ζ−13 ),5 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D15(u) ∼ (7 × (ζ7, ..., ζ−17 ),7 × (ζ3, ζ−13 ),4 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D24(u) ∼ (39 × (1),34 × (ζ7, ..., ζ−17 ),33 × (ζ3, ζ−13 ),35 × (ζ21, ..., ζ−121 )), D28(u) ∼ (22 × (1),43 × (ζ7, ..., ζ−17 ),48 × (ζ3, ζ−13 ),38 × (ζ21, ..., ζ−121 )). Die Argumentation verläuft ähnlich wie im ersten Fall. Aus den Eigenwerten folgt S115 ≅ 6I6 ⊕ I5. Wiederum sei a eine nicht-negative ganze Zahl, so dass L124 ≅ aI7 ⊕ (34 − a)I6 ⊕ (39 − a)I1 gilt. Das zu L¯1 24 /S1 15 ≅ S1 23 gehörige Schiefdiagramm hat eine ähnliche Gestalt wie im Fall 1, genauer wie in Abbildung 3.6 angegeben. Hierbei ist die Anzahl der rosa Kästchen in der siebten Spalte wieder a und in der ersten Spalte 34 − a. 90 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN 32 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 34−a{ ... ... ... ... ... ... ... ... ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ a Abbildung 3.6: Zu S1 23 gehöriges Schiefdiagramm Es hat dann der Sockel von S1 23 mindestens die Dimension 32 + (34 − a) = 66 − a. Im Fall a ≥ 7 liegen die meisten Einträge fest und wie im Fall 1 hat S1 23 dann min{27, a} direkte Summanden vom Typ I7 und wieder liefert dim(soc(L¯128)) ≤ a + (43 − a) + (22 − a) = 65 − a < 66 − a ≤ dim(soc(S123)) einen Widerspruch. Sei also a ≤ 6 und L¯128 ≅ bI7 ⊕ (43 − b)I6 ⊕ (22 − b)I1. Es enthält dann die erste Spalte des zu L¯1 28 /S1 23 gehörigen Schiefdiagramms höchstens dim(soc(L128)) − dim(soc(S123)) ≤ (65 − b) − (66 − a) = a − 1 − b Kästchen und die siebte Spalte höchstens b Kästchen. Insgesamt sind dies also a − 1 Kästchen. Wie im Fall 1 müssen dies aber wenigstens 5 Kästchen sein, da S1 5 ≅ L¯1 5 ein Unter- oder Faktormodul von L¯1 28 /S1 23 ist und wenigstens fünf unzerlegbare direkte Summanden von Dimension mindestens 6 hat. Es folgt a = 6 und L¯1 28 /S1 23 hat dann genau fünf direkte Summanden vom Typ 3.2. GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 91 I6 und keine vom Typ I7. Mit den in [Sha92] angegebenen Brauer-Bäumen kann man voraussetzen, dass S1 5 ein Untermodul von L¯1 28 /S1 23 ist. Dann hat der Quotient (L¯1 28 /S1 23 )/S1 5 kei- nen unzerlegbaren direkten Summanden von Dimension mindestens 6 mehr. Andererseits ist aber S110 ≅ L¯110 ≅ I6 ein Untermodul von (L¯1 28 /S1 23 )/S1 5 , ein Widerspruch. ◻ Bemerkung 3.2.11. Es konnten in dieser Arbeit bereits einige interessante Aspekte aufgezeigt werden, die bei der Anwendung der Gitter-Methode ei- ne Rolle spielen können. So macht Proposition 2.4.1 deutlich, dass sich die Gitter-Methode auch auf unendliche Serien von Gruppen erfolgreich anwen- den lässt. Die Lemmata 3.2.9 und 3.2.10 zeigen, dass mit Hilfe des Littlewood- Richardson-Kalküls bzw. einem guten Verständnis der Struktur von kCp- Moduln sich die Gitter-Methode auch einsetzen lässt, falls in der Zerlegungs- matrix relativ viele nicht-triviale Einträge auftauchen. Die Verwendung der Gitter-Methode in Satz 2.5.1 bildet in dieser Arbeit insofern eine Ausnahme, als dass es das einzige Mal ist, dass die Gitter- Methode für eine verzweigte Körpererweiterung eingesetzt wird. Es handelt sich bei den betrachteten Modulkategorien aber immer noch um Katego- rien von endlichem Darstellungstyp. Der Einsatz der Gitter-Methode auch bei zahmen oder wildem Darstellungstyp ist in Anbetracht des Satzes von Jordan-Zassenhaus [CR90, Th. 24.1] mit Hilfe eines Rechners zwar vorstell- bar (vgl. Abschnitt 1.4), ist im Rahmen dieser Arbeit aber nicht erfolgt. Ein weiterer interessanter Aspekt geht aus Satz 3.1.1 und Lemma 3.2.8 her- vor. Der Einsatz der Gitter-Methode für eine Gruppe G bringt keinen Erfolg. Es gelingt allerdings die Primgraphfrage für G zu beweisen, indem die Gitter- Methode für eine Gruppe H angewendet wird, welche G enthält. Während dies in Satz 3.1.1 auf eine wenig überraschende Weise geschieht, da mit Hil- fe der Clifford-Theorie Aut(G)-Moduln bekanntermaßen starke Einschrän- kungen an G-Moduln liefern, passiert dies in Lemma 3.2.8 für die Gruppen G = PSL(3,4) und H =M22, eine Erweiterung die im Sinne der Modultheorie auf den ersten Blick nicht besonders ausgezeichnet zu sein scheint. Dies legt nahe, auch für andere Gruppen passende Obergruppen zu betrachten bzw. zu konstruieren, um für diese die Gitter-Methode einzusetzen. 92 KAPITEL 3. GRUPPEN MIT WENIGEN PRIMTEILERN Anhang A Die HeLP-Methode für fast-einfache Gruppen mit vier Primteilern Die mittels der HeLP-Methode erzielten Ergebnisse für fast-einfache Grup- pen, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist, werden in folgender Tabelle zusammengefasst. Die Rechnungen beruhen im Wesentlichen auf den in der GAP character table library [Bre12] verfügbaren Daten. Die Tabelle ist wie folgt zu lesen: • Die erste Spalte der Tabelle enthält einen oder mehrere übliche Na- men der untersuchten Gruppe und, sofern vorhanden, in Schreibma- schinenschrift den Namen der Gruppe, mit dem in GAP [GAP15] die Charaktertafel aufgerufen werden kann. • Die zweite Spalte enthält den Primgraph der entsprechenden Gruppe. • Die dritte Spalte enthält die Ordnungen der Elemente, welche unter- sucht werden müssen, um die Primgraphfrage für die entsprechende Gruppe zu klären. Hierbei wird die zu untersuchende Ordnung nur in der größten Gruppe angegeben, für die dies notwendig ist. Ist also H eine Untergruppe von G und enthalten sowohl G als auch H keine Elemente der Ordnung pq, so wird nur untersucht, ob V(ZG) Elemente der Ordnung pq enthält. • Die vierte Spalte enthält die Charaktere, welche notwendig sind, um für die entsprechende Ordnung das mit Hilfe der HeLP-Methode maximal mögliche Ergebnis zu erzielen. 93 94 ANHANG Es bezeichnet χi/jα den i-ten Charakter der gewöhnlichen Charakter- tafel wie sie sich in GAP findet. Dieser Charakter hat Grad j und exis- tieren mehrere gewöhnliche irreduzible Charaktere vom Grad j, dann bezeichnet α, um welchen von diesen es sich handelt. Dabei bedeutet z.B. α = b, dass es der zweite irreduzible Charakter vom Grad j ist. Es bezeichnet ϕp i/jα einen p-Brauer Charakter aus der GAP-Bibliothek. Dabei sind die Indices i, j und α genauso zu lesen wie im gewöhnlichen Fall. Für einige Gruppen G, deren Charaktertafeln sich in GAP nicht fin- den, werden induzierte Charaktere einer Untergruppe H verwendet, diese werden mit indH(χi/jα) angegeben, wobei das χi/jα der entspre- chende Charakter der Gruppe H ist. Für einige der Gruppen oder einzelne Ordnungen wurde die Primgra- phfrage bereits bewiesen, in diesem Fall finden sich Literaturverweise. Es treten außerdem noch weitere Ausnahmefälle ein: – Für fast-einfache Gruppen, die einen Normalteiler isomorph zu PSL(2,49) enthalten, werden induzierte Charaktere verwendet, welche sich aus den Charakteren in Lemma 2.1.2 ergeben. – Für die Serie PSL(2,2f) werden Charaktere verwendet, die in Ta- belle 2.1 angegeben sind. Für die PGL(2,3f) werden die in Ta- belle A.2 angegebenen Charaktere verwendet, diese finden sich in [Sch07]. – Für PSL(3,17).2 findet sich keine Charaktertafel in GAP. Es wird ein Teil einer Charaktertafel verwendet, der mit Magma berech- net wurde und sich in Tabelle A.3 findet. Die Charaktertafel der PSL(3,17) findet sich außerdem in [SF73]. – Für die beiden Gruppen PSp(4,7).2 und PSp(4,7) wird jeweils eine 5-dimensionale Darstellung über F7 verwendet, welche sich im ATLAS findet und deren Charakter in Tabelle A.4 angegeben ist. Diese Darstellung entsteht durch die Isomorphie der PSp(4,7) zur orthogonalen Gruppe PΩ(5,7). • Falls die HeLP-Methode nicht ausreicht, um die Existenz von Einheiten der angegebenen Ordnung inV(ZG) zu widerlegen, so enthält die fünfte Spalte die Anzahl der noch möglichen partiellen Augmentationen für eine Einheit entsprechender Ordnung. HeLP FÜR GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 95 Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen S7 "S7" 2 3 5 7 2 ⋅ 7 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 5 ⋅ 7 χ2/1b, χ3/6a, χ6/14a χ5/20 χ3/6a, χ5/20 χ3/6a A7 "A7" 2 3 5 7 2 ⋅ 5 [Sal11] S8 "S8" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 3 ⋅ 7 5 ⋅ 7 χ2/1b, χ3/7a, χ5/14a, χ12/28a χ3/7a, χ7/20a χ3/7a A8 "A8" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 5 [Sal11] S9 "S9" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 3 ⋅ 7 5 ⋅ 7 χ3/8a, χ5/42a, χ6/27a χ3/8a A9 "A9" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 [Sal13] S10 "S10" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 5 ⋅ 7 χ3/9a, χ5/35a A10 "A10" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 [Sal13] PSL(2,16).4 "L2(16).4" 2 3 5 17 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 17 3 ⋅ 17 5 ⋅ 17 χ7/16a χ7/16a χ7/16a PSL(2,16).2 "L2(16).2" 2 3 5 17 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSL(2,16) "L2(16)" 2 3 5 17 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 χ2/11a, χ11/17a χ12/17b 2 PSL(2,25).22 "L2(25).2^2" 2 3 5 13 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 13 5 ⋅ 13 χ17/26c χ5/26a χ5/26a 96 ANHANG Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSL(2,25).2c "L2(25).2_3" 2 3 5 13 2 ⋅ 5 2 ⋅ 13 χ11/26d χ3/26a, χ4/48a PSL(2,25).2b "L2(25).2_2" 2 3 5 13 2 ⋅ 13 χ2/1b, χ3/13a PSL(2,25).2a PGL(2,25) "L2(25).2_1" 2 3 5 13 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 2 ⋅ 5 χ2/1b, χ3/26a, χ20/26d PSL(2,25) "L2(25)" 2 3 5 13 PSL(2,27).6 "L2(27).6" 2 3 7 13 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 7 3 ⋅ 13 7 ⋅ 13 χ2/1b, χ7/26a χ2/1b, χ7/26a χ2/1b, χ7/26a PSL(2,27).3 "L2(27).3" 2 3 7 13 2 ⋅ 13 χ4/13a PSL(2,27).2 PGL(2,27) "L2(27).2" 2 3 7 13 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 2 ⋅ 3 χ2/1b, χ3/26a, χ4/26b 4 PSL(2,27) "L2(27)" 2 3 7 13 PSL(2,49).22 "L2(49).2^2" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 5 ⋅ 7 χ5/50a, indPSL(2,49)(ϕ1) χ7/96a χ5/50a PSL(2,49).2c "L2(49).2_3" 2 3 5 7 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 indPSL(2,49)(ϕ1), indPSL(2,49)(ϕ2), indPSL(2,49)(ϕ3) χ18/50g PSL(2,49).2b "L2(49).2_2" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 2 ⋅ 5 indPSL(2,49)(ϕ1), indPSL(2,49)(ϕ2), indPSL(2,49)(ϕ3) PSL(2,49).2a PGL(2,49) "L2(49).2_1" 2 3 5 7 2 ⋅ 7 χ2/1b, χ44/50g HeLP FÜR GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 97 Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSL(2,49) "L2(49)" 2 3 5 7 PSL(2,81) .(C2 ×C4) "L2(81).(2x4)" 2 3 5 41 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 41 5 ⋅ 41 χ13/320a, χ33/164c χ9/82a χ9/82a 1 PSL(2,81).4b "L2(81).4_2" 2 3 5 41 2 ⋅ 41 χ2/1b, χ5/82a PSL(2,81).4a "L2(81).4_1" 2 3 5 41 2 ⋅ 41 χ2/1b, χ5/41a PSL(2,81).22 "L2(81).2^2" 2 3 5 41 ❄❄ ❄❄ ❄❄ PSL(2,81).2c "L2(81).2_3" 2 3 5 41 2 ⋅ 3 χ3/82a, χ32/164c 5 PSL(2,81).2b PGL(2,81) "L2(81).2_2" 2 3 5 41 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 2 ⋅ 3 χ2/1b, χ3/82a, χ52/82h 9 PSL(2,81).2a "L2(81).2_1" 2 3 5 41 PSL(2,81) "L2(81)" 2 3 5 41 PSL(2, p).2 PGL(2, p) 2 3 p r ❄❄ ❄❄ ❄❄ 2 ⋅ p 3 ⋅ p (3 ⋅ r) p ⋅ r Satz 2.4.2 Satz 2.4.2 Satz 2.4.2 Satz 2.4.2 PSL(2, p) 2 3 p r (2 ⋅ 3) Proposition 2.1.7d) PSL(2,2f) 2 3 r s ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 3 2 ⋅ r 2 ⋅ s 3 ⋅ s r ⋅ s θ1, θ3 (s. Tab. 2.1) Lemma 3.2.3 Lemma 3.2.3 Proposition 2.1.7d) Proposition 2.1.7d) 2 f−2+1 3 98 ANHANG Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSL(2,3f).2 PGL(2,3f) 2 3 r s ❄❄ ❄❄ ❄❄ 2 ⋅ 3 3 ⋅ r 3 ⋅ s r ⋅ s χ1b, χ(3f−1)a, χ(3f−1)b (s. Tab. A.2) Lemma 3.2.3 Lemma 3.2.3 Satz 2.4.2 3f−2 + 1 PSL(2,3f) 2 3 r s 2 ⋅ s Proposition 2.1.7d) PSL(3,4).D12 "L3(4).D12" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 5 ⋅ 7 χ7/20a PSL(3,4).S3c "L3(4).3.2_3" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 χ2/1b, χ4/20a PSL(3,4).S3b "L3(4).3.2_2" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 5 χ2/1b, χ7/105a PSL(3,4).6 "L3(4).6" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 χ2/1b, χ13/105a χ2/1b, χ7/20a PSL(3,4).3 PGL(3,4) "L3(4).3" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSL(3,4).2c "L3(4).2_3" U’gruppe .S3c 2 3 5 7 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 χ3/20a χ3/20a, χ5/35a PSL(3,4).2b "L3(4).2_2" U’gruppe .S3b 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 χ3/20a χ3/20a, χ5/35a PSL(3,4).2a "L3(4).2_1" U’gruppe .6 2 3 5 7 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 χ3/20a χ3/20a, χ5/35a PSL(3,4) "L3(4)" 2 3 5 7 2 ⋅ 3 χ3/35a, χ6/45a 2 HeLP FÜR GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 99 Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSL(3,5).2 "L3(5).2" 2 3 5 31 2 ⋅ 31 3 ⋅ 5 3 ⋅ 31 5 ⋅ 31 χ3/30a, χ6/31b χ3/30a, χ8/192a, χ13/124a χ3/30a χ3/30a 4 PSL(3,5) PGL(3,5) "L3(5)" 2 3 5 31 PSL(3,7).S3 "L3(7).S3" 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 19 7 ⋅ 19 χ2/1b, χ4/56a χ4/56a, χ21/342a PSL(3,7).3 PGL(3,7) "L3(7).3" 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSL(3,7).2 "L3(7).2" 2 3 7 19 3 ⋅ 7 3 ⋅ 19 χ3/56a, χ7/152a, χ9/304, χ10/576a χ3/56a, χ7/152a 77 PSL(3,7) "L3(7)" 2 3 7 19 PSL(3,8).6 "L3(8).6" 2 3 7 73 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 73 3 ⋅ 73 7 ⋅ 73 χ7/72a χ7/72a χ7/72a, χ18/511a PSL(3,8).3 "L3(8).3" 2 3 7 73 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSL(3,8).2 "L3(8).2" 2 3 7 73 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSL(3,8) PGL(3,8) "L3(8)" 2 3 7 73 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 3 χ2/7a, χ9/441a 2 PSL(3,17).2 --- 2 3 17 307 2 ⋅ 307 3 ⋅ 17 3 ⋅ 307 17 ⋅ 307 χ4912 χ306, χ4912, χ9216 42 χ306 χ4912 (s. Char. in Tab. A.3) 100 ANHANG Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSL(3,17) --- 2 3 17 307 PSL(4,3).22 "L4(3).2^2" 2 3 5 13 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 13 5 ⋅ 13 χ5/39a, χ9/52a, χ16/260a χ5/39a, χ11/90a, χ16/260a χ5/39a PSL(4,3).2c "L4(3).2_3" 2 3 5 13 2 ⋅ 13 χ2/1b, χ3/52a, χ4/39a PSL(4,3).2b "L4(3).2_2" 2 3 5 13 2 ⋅ 13 ϕ3 2/1b, ϕ 3 3/6a, ϕ 3 5/20 PSL(4,3).2a PGL(4,3) "L4(3).2_1" 2 3 5 13 ❄❄ ❄❄ ❄❄ PSL(4,3) "L4(3)" 2 3 5 13 PSU(3,4).4 "U3(4).4" 2 3 5 13 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 13 3 ⋅ 13 5 ⋅ 13 χ2/1b, χ5/12a χ5/12a χ5/12a, χ9/52 PSU(3,4).2 "U3(4).2" 2 3 5 13 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,4) "U3(4)" 2 3 5 13 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 3 χ7/39a 1 PSU(3,5).S3 "U3(5).S3" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 5 ⋅ 7 χ2/1b, χ4/20a χ4/20a, χ10/84a PSU(3,5).3 "U3(5).3" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,5).2 "U3(5).2" 2 3 5 7 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 χ3/20a, χ7/28a, χ9/56 χ7/28a PSU(3,5) "U3(5)" 2 3 5 7 HeLP FÜR GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 101 Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSU(3,7).2 "U3(7).2" 2 3 7 43 2 ⋅ 43 3 ⋅ 7 3 ⋅ 43 7 ⋅ 43 χ2/1b, χ3/42a χ3/42a, χ10/258a, χ29/688a χ3/42a χ3/42a 4 PSU(3,7) "U3(7)" 2 3 7 43 PSU(3,8) .(C3 × S3) --- 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 19 7 ⋅ 19 indU3(8)(χ2/56), indU3(8)(χ3/57a) indU3(8)(χ2/56) PSU(3,8).32 --- 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 indU3(8)(χ2/56), indU3(8)(χ5/133a) PSU(3,8).S3 "U3(8).S3" 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,8).6 "U3(8).6" 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 3 ⋅ 19 χ7/56a, χ13/114a, χ16/133a PSU(3,8).3c "U3(8).3_3" U’gruppe .6 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,8).3b "U3(8).3_2" U’gruppe .S3 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,8).3a "U3(8).3_1" 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,8).2 "U3(8).2" 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,8) "U3(8)" 2 3 7 19 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,9).4 "U3(9).4" 2 3 5 73 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 73 3 ⋅ 73 5 ⋅ 73 χ2/1b, χ5/72a χ5/72a, χ15/1168a χ5/72a, χ13/292a 102 ANHANG Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSU(3,9).2 "U3(9).2" 2 3 5 73 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(3,9) "U3(9)" 2 3 5 73 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSU(4,3).D8 "U4(3).D8" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 5 ⋅ 7 χ6/21a, χ11/70a, χ41/420a χ6/21a, χ11/70a, χ41/420a χ6/21a PSU(4,3).4 "U4(3).4" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ PSU(4,3).22b "U4(3) .(2^2)_{133}" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ PSU(4,3).22a "U4(3) .(2^2)_{122}" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ PSU(4,3).2c "U4(3).2_3" 2 3 5 7 2 ⋅ 7 χ2/1b, χ3/21a PSU(4,3).2b "U4(3).2_2" 2 3 5 7 2 ⋅ 7 χ2/1b, χ3/21a, χ9/90a PSU(4,3).2a "U4(3).2_1" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ PSU(4,3) "U4(3)" 2 3 5 7 2 ⋅ 5 χ3/35a PSU(5,2).2 "U5(2).2" 2 3 5 11 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 11 3 ⋅ 11 5 ⋅ 11 χ2/1b, χ3/10a, χ11/132 χ3/10a, χ5/22, χ8/55a, χ10/110a χ3/10a PSU(5,2) "U5(2)" 2 3 5 11 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 5 χ2/10a, χ6/55a HeLP FÜR GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 103 Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSp(4,4).4 "S4(4).4" 2 3 5 17 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 17 3 ⋅ 17 5 ⋅ 17 χ2/1b, χ5/18a, χ9/68a χ5/18a χ5/18a, χ9/68a PSp(4,4).2 "S4(4).2" 2 3 5 17 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSp(4,4) "S4(4)" 2 3 5 17 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSp(4,5).2 "S4(5).2" 2 3 5 13 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 3 ⋅ 13 5 ⋅ 13 χ3/26a, χ4/40a χ3/26a, χ13/104a, χ19/130a, χ23/416 PSp(4,5) "S4(5)" 2 3 5 13 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 13 χ2/13a, χ4/40 PSp(4,7).2 "S4(7).2" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 χ3/50a, χ7/175a, ATLAS (s. Tab. A.4) χ3/50, χ4/126a, χ6/300a, χ7/175a, χ7/175c, χ11/224a, χ15/300d, χ21/350a, χ23/400a PSp(4,7) "S4(7)" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ 2 ⋅ 5 χ4/126a, χ8/175b, ATLAS (s. Tab. A.4) PSp(4,9).22 "S4(9).2^2" 2 3 5 41 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 3 ⋅ 41 5 ⋅ 41 χ5/82a, χ7/288a, χ11/369a χ21/450a PSp(4,9).2c "S4(9).2_3" 2 3 5 41 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 41 χ3/82, χ4/288a PSp(4,9).2b "S4(9).2_2" 2 3 5 41 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ PSp(4,9).2a "S4(9).2_1" 2 3 5 41 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 41 χ3/41a, χ4/41b, χ7/288a PSp(4,9) "S4(9)" 2 3 5 41 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 104 ANHANG Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen PSp(6,2) "S6(2)" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 3 ⋅ 7 5 ⋅ 7 χ2/7a, χ3/15a, χ4/21a, χ6/27a χ2/7a, χ3/15a, χ4/21a χ2/7a PΩ+(8,2).S3 "O8+(2).3.2" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 5 ⋅ 7 χ4/28a PΩ+(8,2).3 "O8+(2).3" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 χ4/28a, χ7/105a PΩ+(8,2).2 "O8+(2).2" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 3 ⋅ 7 χ3/28a, χ5/35a, χ7/70a, χ10/84a PΩ+(8,2) "O8+(2)" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ Sz(8) "Sz(8)" 2 5 7 13 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 ⋅ 13 5 ⋅ 7 5 ⋅ 13 7 ⋅ 13 χ4/35a χ4/35a χ2/14a χ2/14a χ2/14a χ2/14a (s. [Bäc08, Kor. 4.2]) Sz(32).5 "Sz(32).5" 2 5 31 41 2 ⋅ 31 2 ⋅ 41 5 ⋅ 31 5 ⋅ 41 31 ⋅ 41 χ6/124a, χ18/1024a χ6/124a χ6/124a χ6/124a χ6/124a Sz(32) "Sz(32)" 2 5 31 41 2 ⋅ 5 χ2/124a 2 G2(3).2 "G2(3).2" 2 3 7 13 2 ⋅ 13 3 ⋅ 7 3 ⋅ 13 7 ⋅ 13 χ14/104a, χ20/896 χ3/14a, χ5/64a, χ9/78a, χ11/91a, χ20/896a χ3/14a, χ5/64a, χ11/91a χ3/14a 2 HeLP FÜR GRUPPEN MIT VIER PRIMTEILERN 105 Gruppe G Γ(G) o(u) Charaktere # Lösungen G2(3) "G2(3)" 2 3 7 13 2 ⋅ 7 χ2/14a 3D4(2).3 "3D4(2).3" 2 3 7 13 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 13 3 ⋅ 13 7 ⋅ 13 χ4/26a, χ10/196a ϕ2 4/24, ϕ 2 5/26a, ϕ 2 10/246a χ4/26a, χ7/52a 3D4(2) "3D4(2)" 2 3 7 13 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2F4(2)′.2 "2F4(2)’.2" 2 3 5 13 2 ⋅ 13 3 ⋅ 5 3 ⋅ 13 5 ⋅ 13 χ8/78a, χ10/300a χ4/27a χ4/27a χ4/27a 2F4(2)′ "2F4(2)’" 2 3 5 13 M11 "M11" 2 3 5 11 2 ⋅ 5 2 ⋅ 11 3 ⋅ 5 3 ⋅ 11 5 ⋅ 11 [BK07] M12.2 "M12.2" 2 3 5 11 2 ⋅ 11 3 ⋅ 5 3 ⋅ 11 5 ⋅ 11 [KK13] M12 "M12" 2 3 5 11 J2.2 "J2.2" 2 3 5 7 ❄❄ ❄❄ ❄❄ ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 3 ⋅ 7 5 ⋅ 7 [KK13] J2 "J2" 2 3 5 7 ⑧⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ 2 ⋅ 7 [BJK11] Tabelle A.1: Ergebnisse der Anwendung der HeLP-Methode auf alle fast- einfachen Gruppen, deren Ordnung durch genau vier paarweise verschiedene Primzahlen teilbar ist. 106 ANHANG 1a 2a 2b 3a χ1b 1 1 −1 1 χ(3f−1)a 3f − 1 2 0 −1 χ(3f−1)b 3f − 1 −2 0 −1 Tabelle A.2: Teil der gewöhnlichen Charaktertafel der PSL(2,3f).2 ≅ PGL(2,3f) für ungerades f. 1a 2a 2b 3a 17a 17b 307x χ306 306 18 0 0 17 0 −1 χ4912 4912 16 16 1 −1 −1 0 χ9216 9216 0 −32 2 Tabelle A.3: Teil der Charaktertafel der PSL(3,17).2. Hierbei bezeichnet 307x jede Konjugiertenklasse von Elementen der Ordnung 307. 1a 2a 2b 3a 3b 5a ϕ 5 −3 1 2 -1 0 Tabelle A.4: Teil des 7-modularen ATLAS-Charakters der PSp(4,7).2. Dabei liegen 2a und 2b in PSp(4,7). Symbolverzeichnis N,N0 Menge der natürlichen Zahlen, der natürlichen Zahlen inklusive 0 Z,Q,R,C Menge der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen, der reellen Zahlen, der komplexen Zahlen Qp,Zp Menge der p-adischen Zahlen, der p-adischen ganzen Zahlen Fpf Endlicher Körper mit pf Elementen Z/pZ Der Restklassenring von Z modulo p (Z/pZ)∗ Die Einheiten in Z/pZ ζn Eine primitive n-te Einheitswurzel d ∣ n, d ∤ n d teilt n bzw. d teilt nicht n ggT(n,m) Größter gemeinsamer Teiler der Zahlen m und n a ≡ b mod n, a ≡ b (n) a ist kongruent b modulo n δi,j Kronecker-Delta ϕ(n) (In manchen Fällen) die Eulersche ϕ-Funktion µ(n) (In manchen Fällen) die Möbius-Funktion ǫ I.d.R. ein Vorzeichen (n k ) Das Jacobi-Symbol von n bezüglich k TrL/K Die zahlentheoretische Spur der Körpererweiterung L/K R[x] Polynomring über R mit Variable x Kn×n n × n-Matrixring über K A ∼ (α1, ..., αm) Die Matrix A besitzt inklusive Vielfachheiten die Eigen- werte α1, ..., αm A ∼ (a1 × (α11, ..., α1k1), ..., am × (αm1 , ..., αmkm)) Die Matrix A besitzt inklusive Vielfachheiten a1 Mal die Eigenwerte α1 1 , ..., α1k1 und ... und am Mal die Eigenwerte αm 1 , ..., αmkm RG Der Gruppenring der Gruppe G über dem Ring R 107 108 SYMBOLVERZEICHNIS I(RG) Das Augmentationsideal eines Gruppenrings RG ε Die Augmentationsabbildung eines Gruppenrings εg(u) Die partielle Augmentation eines Gruppenringelements u bezüglich einem Gruppenelement g µ(ξ, u,χ) Die Vielfachheit einer Einheitswurzel ξ als Eigenwert der Matrix D(u), wobei D eine zum Charakter χ korrespon- dierende Darstellung bezeichnet Q(χ) Der Charakterkörper eines gewöhnlichen Charakters χ ⟨χ,ψ⟩G Das Skalarprodukt der G-Charaktere χ und ψ als Ele- mente der Klassenfunktionen von G soc(M) Der Sockel des Moduls M rad(M) Das Radikal des Moduls M Lζ i Gewisser Teil eines Gitters, s. Proposition 1.3.2 cλνµ Littlewood-Richardson-Koeffizient bezüglich der Parti- tionen λ,µ, ν, s. Bemerkung 1.3.10 U ≤ G U ist Untergruppe von G U ⊴ G U ist Normalteiler von G G ×H Direktes Produkt der Gruppen G und H G ⋊H Semidirektes Produkt der Gruppen G und H G ≅H Die Gruppen G und H sind isomorph ∣G∣ Ordnung der endlichen Gruppe G ○(g) Ordnung eines Gruppenelements g ⟨g⟩ Von einem Gruppenelement g erzeugte zyklische Gruppe Z(G) Zentrum der Gruppe G xG Konjugationsklasse des Elements x in der Gruppe G Aut(G) Automorphismengruppe der Gruppe G G.2 Eine Erweiterung der Gruppe G vom Grad 2, in welcher G normal ist Cn Zyklische Gruppe der Ordnung n An Alternierende Gruppe vom Grad n Sn Symmetrische Gruppe vom Grad n Mi Mathieugruppe vom Grad i GL(n, q) Gruppe der invertierbaren n × n-Matrizen über einem Körper mit q Elementen SL(n, q) Gruppe der Matrizen mit Determinante 1 über einem Körper mit q Elementen 109 PGL(n, q) Projektive generelle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper mit q Elementen PSL(n, q) Projektive spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper mit q Elementen PSU(n, q) Projektive spezielle unitäre Gruppe vom Grad n über einem Körper mit q Elementen PSp(n, q) Projektive spezielle symplektische Gruppe vom Grad n über einem Körper mit q Elementen PΩ+(n, q) Sockel der speziellen orthogonalen Gruppe vom Grad n über einem Körper mit q Elementen mit zugehöriger elliptischer quadratischer Form Sz(q) Suzuki-Gruppe über einem Körper mit q Elementen 110 SYMBOLVERZEICHNIS Literaturverzeichnis [AH80] P. 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