2004 Entwerfen adaptiver Strukturen Lastpfadmanagement zur Optimierung tragender Leichtbaustrukturen Von der Fakultät Bau- und Umweltingenieurwissenschaften der Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung Vorgelegt von Patrick Teuffel aus Aachen Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. Werner Sobek Institut für Leichtbau Entwerfen und Konstruieren Universität Stuttgart Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Dr. h.c. Ekkehard Ramm Institut für Baustatik Universität Stuttgart Tag der mündlichen Prüfung: 15.12.2004 Universität Stuttgart Institut für Leichtbau Entwerfen und Konstruieren Prof. Dr.-Ing. Werner Sobek Prof. Dr.-Ing. Balthasar Novák Entwerfen adaptiver Strukturen Vorwort Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Leichtbau Entwerfen und Konstruieren (ILEK) der Universität Stuttgart in der Zeit von 1999 bis 2003. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Werner Sobek, der mir am Institut einen idealen Rahmen bot, um die Arbeit durchzuführen. Seine Anregungen und seine Unterstützung haben die Arbeit entscheidend geprägt. Weiterhin danke ich für die Erstellung des Hauptberichts. Herr Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Ramm hat dankenswerterweise den Mitbericht erstellt. Allen Mitgliedern des Instituts und meinen Diplomanden möchte ich für die gute Zusammenarbeit und Unterstützung danken. Entwerfen adaptiver Strukturen Inhaltsverzeichnis 4 Inhaltsverzeichnis Bezeichnungen Zusammenfassung Abstract 1 Einleitung 1.1 Leichtbau 1.2 Adaption 1.3 Ziel und Gliederung der Arbeit 2 Adaptive Systeme 2.1 Konzept 2.1.1 Grundlagen 2.1.2 Sensoren 2.1.3 Aktuatoren 2.1.4 Steuerung und Regelung 2.2 Anwendungen 2.2.1 Erste Ideen und Konzepte 2.2.2 Passive Systeme 2.2.3 Aktive Systeme 2.2.4 Semi-aktive Systeme 2.2.5 Hybride Systeme 2.3 Bewertung 3 Strukturoptimierung 3.1 Grundlagen 3.2 Optimalitätskriterienmethoden 3.3 Mathematische Programmierung 3.3.1 Problembeschreibung 3.3.2 Optimierungsverfahren 4 Lastpfadmanagement 4.1 Konzept 4.1.1 Definition und Ziel 4.1.2 Manipulierbarkeit 4.1.3 Übersicht 4.2 Kraftpfadoptimierung 4.2.1 Ermittlung der optimalen Kraftpfade 4.2.2 Formoptimierung 4.2.3 Ermittlung der Differenzkräfte und –verschiebungen 4.2.4 Fail-safe - Konzept 4.3 Auswahl der Aktuatoren und Sensoren 4.3.1 Problematik 4.3.2 Effizienzindikator 4.3.3 Regel- bzw. Steuerbarkeit 4.3.4 Beobachtbarkeit 6 8 9 10 10 10 11 12 12 12 13 14 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20 20 21 21 22 24 24 24 25 26 29 29 34 38 39 40 40 41 43 43 Entwerfen adaptiver Strukturen Inhaltsverzeichnis 5 4.4 Adaptionsvorgang 4.4.1 Vorüberlegungen 4.4.2 Statisch bestimmte Systeme 4.4.3 Statisch unbestimmte Systeme 4.5 Form follows energy 4.5.1 Metabolismus 4.5.2 Formänderungsarbeit 4.5.3 Erweiterung der Kraftpfadoptimierung 5 Tragwerksstudie 5.1 Entwerfen und Analysieren adaptiver Strukturen 5.2. Beispiel 1 – 4-Stabfachwerk 5.2.1 Systembeschreibung 5.2.2 Kraftpfadoptimierung 5.2.3 Fail-safe - Konzept 5.2.4 Ergebnisse 5.3. Beispiel 2 – Fachwerkbogen 5.3.1 Systembeschreibung 5.3.2 Kraftpfadoptimierung 5.3.3 Auswahl der Aktuatoren und Verformungsadaption 5.3.4 Formoptimierung 5.3.5 Ergebnisse 5.4 Beispiel 3 – Fachwerkträger 5.4.1 Systembeschreibung 5.4.2 Form follows energy 5.4.3 Ergebnisse 6 „Stuttgarter Träger“ 6.1 Vorüberlegungen 6.2 Entwurf 6.3 Realisierung 7 Zusammenfassung und Ausblick 7.1 Zusammenfassung 7.2 Ausblick 7.2.1 Tragwerk 7.2.2 Aktuatoren, Sensoren und Regelung 7.2.3 Wirtschaftlichkeit 7.2.4 Full-scale testing und Realisierung 7.2.5 Nutzerakzeptanz Literatur Lebenslauf 44 44 44 45 47 47 48 48 53 53 53 53 54 57 59 59 59 60 62 66 66 66 66 67 69 70 70 70 70 72 72 72 72 73 74 74 75 76 81 Entwerfen adaptiver Strukturen Bezeichnungen Bezeichnungen γ [-] Sicherheitsfaktor γfs [-] reduzierter Sicherheitsfaktor (fail-safe) εik [-] Dehnung, Element i, Lastfall k κ [-] Anzahl der möglichen Aktuatorkombinationen ρ [kg/m3] Materialdichte σik [N/mm2] Spannung (Element i, Lastfall k) σzul [N/mm2] zulässige Spannung σzul fs [N/mm2] zulässige Spannung (fail-safe) Γ [-] Zuordnungsmatrix Θ [-] Entwurfsraum Ψ [m] Knotenkoordinaten a [-] Anzahl der Aktuatoren b [-] Transformationsmatrix c [-] Elementrichtungskosinusse e [-] Effizienzindikatoren der Aktuatoren f Zielfunktion g Ungleichheitsnebenbedingung h Gleichheitsnebenbedingung i [-] Elementnummerierung j [-] Nummerierung der Freiheitsgrade k [-] Nummerierung der Lastfälle l [m] Elementlängenvektor li [m] Länge Element i ∆la [m] adaptive Elementlängenänderungen ∆lp [m] passive Elementlängenänderungen ∆lpa [m] passiv-adaptive Elementlängenänderungen ∆lr [m] geregelte (adaptive + passive) Elementlängenänderungen m [-] Anzahl der Elemente n [-] Anzahl der Freiheitsgrade nf [-] Anzahl der gehaltenen Freiheitsgrade nr [-] Anzahl der zu regelnden Freiheitsgrade p [-] Anzahl der Lastfälle p [m], [m2], [N] Entwurfsparameter r [-] Redundanz 6 Entwerfen adaptiver Strukturen Bezeichnungen s [m2/N] Matrix der inversen Spannungen ujk [m] Knotenverschiebungen, Freiheitsgrad j, Lastfall k ua [m] adaptive Knotenverschiebungen up [m] Knotenverschiebungen (passives System) upa [m] Knotenverschiebungen (passiv-adaptives System) ur [m] Knotenverschiebungen (geregeltes System) ∆u [m] Differenz der Knotenverschiebungen (geregelter Verformungszustand – passiv-adaptiver Verformungszustand) x [m], [m2], [N] Entwurfsvektor xu [m], [m2], [N] untere Grenze des Entwurfsvektors xo [m], [m2], [N] obere Grenze des Entwurfsvektors A [m2] Querschnittsflächen Ag Koeffizientenmatrix Ungleichheitsnebenbedingungen Ah Koeffizientenmatrix Gleichheitsnebenbedingungen E [N/m2] Elastizitätsmodul G [kg] Gewicht Nk [N] Normalkräfte, Lastfall k Ngk [N] Normalkräfte bei Berücksichtigung der geometrischen Kompatibilität Nik [N] Normalkraft, Element i, Lastfall k Na [N] adaptive Normalkräfte Nopt [N] kraftpfadoptimierte Normalkräfte Np [N] Normalkräfte am passiven System Npa [N] Normalkräfte am passiv-adaptiven System ∆N [N] Differenz der Normalkräfte infolge Inkompatibilität Pk [N] Lastvektor, Lastfall k Qk [N] Auflagerkräfte, Lastfall k SN [N/m] Sensitivitäten ausgewählter Aktuatoren, Kraftzustand N~ S [N/m] Sensitivitäten aller möglichen Aktuatoren, Kraftzustand Su [m/m] Sensitivitäten ausgewählter Aktuatoren, Verformungszustand u~ S [m/m] Sensitivitäten aller möglichen Aktuatoren, Verformungszustand V [m3] Volumen WäV [Nm] äußere Verschiebungsarbeit WiV [Nm] innere Verschiebungsarbeit 7 Entwerfen adaptiver Strukturen Zusammenfassung Zusammenfassung Im Rahmen der Arbeit wird ein Entwurfskonzept für adaptive Tragstrukturen entwickelt, mit dem gewichtsminimale Tragwerke unter Beibehaltung von Spannungs- und Verformungskriterien entworfen werden können. Die Adaption an verschiedene Belastungszustände wird durch den Einsatz von längen- und steifigkeitsvariablen Elementen ermöglicht. Dieses Verfahren wird als Lastpfadmanagement (LPM) bezeichnet. Unter adaptiven Tragstrukturen werden Systeme verstanden, die auf äußere Einwirkungen reagieren und ihren Beanspruchungszustand anpassen können. Um die Adaption zu ermöglichen, sind in die Systeme Sensoren, ein Steuerungs- bzw. Regelungssystem sowie Aktuatoren integriert. Das entwickelte Verfahren (LPM) besteht im Wesentlichen aus 3 Schritten: - Bestimmung der optimalen Kraftpfade für verschiedene Lastfälle - Ermittlung der Anzahl und Lage der erforderlichen Sensoren und Aktuatoren - Adaptionsvorgang Die optimalen Kraftpfade werden für verschiedene Lastfälle mit Hilfe der mathematischen Programmierung bestimmt: Ziel ist es, das Eigengewicht (bei gleichzeitiger Berücksichtung von Gleichgewichtsbedingungen und Einhaltung der zulässigen Spannungen) zu minimieren. Im Gegensatz zu einer „normalen“ statischen Berechnung werden die geometrischen Kompatibilitätsbedingungen in diesem Schritt nicht berücksichtigt. Neben der Querschnittsoptimierung kann auch eine Formoptimierung des Systems durchgeführt werden. Durch die nicht berücksichtigte geometrische Kompatibilität ergeben sich Differenzkräfte im System, die durch die adaptiven Elemente ausgeglichen werden müssen. Die Auswahl der hierfür notwendigen Aktuatoren erfolgt in zwei Schritten: Zuerst wird anhand eines Effizienzkriteriums untersucht, welchen Beitrag die einzelnen Elemente am Adaptionsprozess leisten können. Anschließend werden verschiedene Kombinationen der effizientesten Aktuatoren auf Regelbarkeit überprüft. Nach der Wahl der Anzahl und Position der adaptiven Elemente kann die erforderliche Reaktion derselben ermittelt werden. Die erforderlichen Längenänderungen der Elemente können mit Hilfe der geometrischen Kompatibilitätsbedingungen ermittelt werden. Die Kraft- und Verformungsadaption kann auf zweierlei Arten erfolgen, entweder durch eine direkte Längenvariation der Elemente (z. B. durch Linearaktuatoren) oder indirekt über eine Anpassung der Steifigkeiten (z. B. eine Variation der Materialeigenschaften). Weitere Untersuchungen berücksichtigen den Energiebedarf sowie die Tragwerkszuverlässigkeit dieser Systeme. Anhand von numerischen Beispielen wird das Tragverhalten verschiedener Systeme untersucht und hinsichtlich des Gewichtseinsparpotenzials bewertet. 8 Entwerfen adaptiver Strukturen Abstract Abstract In the context of this work a design concept for adaptive structures is developed. The aim of the concept is to minimize the weight of the structures while maintaining stress and deformation criteria. The adaptation to different load conditions can be realized using variable length and variable stiffness elements. This procedure is called load path management (LPM). Adaptive structures can be defined as systems, which are able to react to external stimuli and adapt to variable conditions. In order to achieve the adaptation, the systems consist of sensors, a control unit and actuators. The developed procedure (LPM) essentially consists of 3 steps: - determination of the optimal force path for different load cases - determination of the number and location of the necessary sensors and actuators - adaptation process The optimal force path for different load cases is determined using mathematical programming: The goal is it to minimize the self weight of the structure (taking nodal equilibrium and permissible stresses into account). Contrary to a “conventional” static analysis the geometrical compatibility equations are neglected. Apart from the cross- sectional optimization a shape optimization of the system can be accomplished as well. As a result of ignoring the geometrical compatibility equations constraint forces arise in the real system, which can be compensated by the adaptive elements. The selection of the required actuators takes place in two steps: On the basis of an efficiency criteria the level of contribution of the individual elements at the adaptation process is determined. In a subsequent step the controllability of the combinations of the most efficient actuators is reviewed. After selecting the number and position of the adaptive elements their necessary reaction can be determined. The necessary extension respectively shortening is determined on the basis of the geometrical compatibility equations. The force and deflection adaptation can be achieved in two different ways, either via a direct length variation of the element (e.g. by linear actuators) or indirectly by an adjustment of the rigidity (e.g. a variation of the material properties). Further investigations include the energy requirement as well as the reliability of these systems. On the basis of numerical examples the load carrying behaviour of different systems is examined and evaluated regarding their potential to weight savings. 9 Entwerfen adaptiver Strukturen 1 Einleitung 10 1 Einleitung 1.1 Leichtbau Leichtbau ist Notwendigkeit bei Konstruktionen, die weit gespannt sind oder große Höhen erreichen sollen (Sobek 1995). Auch für mobile oder wandelbare Strukturen bedeutet eine mögliche Gewichtsersparnis einen deutlichen Vorteil. Leichtbau ist aber auch bei allen übrigen Konstruktionen anzustreben, um eine ressourcen- und damit auch energiesparende Bauweise zu realisieren. Dies führt in der Regel auch zu hohen ästhetischen Qualitäten. Grundsätzlich existieren drei verschiedene Prinzipien des Leichtbaus. Beim Materialleichtbau werden Werkstoffe verwendet, die in Relation zum Eigengewicht eine hohe Festigkeit und Steifigkeit haben. Unter Strukturleichtbau versteht man die Vorgehensweise, bei der optimale Lastabtragungsmechanismen für eine Struktur entwickelt werden, z. B. die Vermeidung von Biegebeanspruchungen. Bei der Anwendung des Systemleichtbaus werden verschiedene Funktionen in einem einzelnen Bauteil vereint (Wiedemann 1989). Bei adaptiven Tragwerken werden die Prinzipien des Struktur- und des Systemleichtbaus verwendet. Je leichter eine Konstruktion ist, desto problematischer wird die Bestimmung eines formbestimmenden Lastfalls, da dieser in aller Regel zeitlich nicht mehr invariant ist. Bei einer Betonschale kann das Eigengewicht sinnvollerweise als formbestimmender Lastfall herangezogen werden. Bei noch leichteren Strukturen erscheint es aber sinnvoll, Tragwerke zu entwickeln, die genau auf diese zeitlichen Veränderungen eingehen können, d.h. dass sie sich den äußeren Einflüssen anpassen (Sobek und Teuffel 2001). Insbesondere die Verwendung von hochfesten Materialien kann zu Verformungsproblemen führen, da die höhere Festigkeit zu reduzierten Querschnitten führt. Die dadurch verringerte Bauteilsteifigkeit kann in der Regel nicht durch eine höhere Materialsteifigkeit ausgeglichen werden. 1.2 Adaption Adaptive Systeme sind in der Natur eine Selbstverständlichkeit und können auch beim Einsatz in technischen Systemen Vorteile bieten. Hinsichtlich der Anpassung wird unterschieden, in welchem zeitlichen Rahmen sie sich abspielt (Clark et al. 1998). Man spricht von Kurzzeitadaption, wenn die Anpassung in Echtzeit auftritt, beispielsweise die farbliche Anpassung eines Chamäleons. Langfristige Adaptionsprozesse sind beispielsweise Wachstumsvorgänge von Bäumen (Mattheck 1998) und Knochen (Thompson 1917, Cowin 1990). Es wird Material an hochbeanspruchten Stellen angelagert und somit werden Spannungsspitzen vermieden. Evolutionäre Anpassungsprozesse treten über mehrere Generationen auf und verändern das Erscheinungsbild oder die Funktionalität natürlicher Systeme (Holland 1992). Diese Überlegungen, jedenfalls die zur Kurz- und Langzeitadaption, lassen sich auch auf technische Systeme übertragen. Die Anwendung der Kurzzeitadaption wird im Rahmen Entwerfen adaptiver Strukturen 1 Einleitung 11 dieser Arbeit behandelt, aber auch längerfristige Vorgänge, wie Bauwerkssetzungen, können betrachtet werden. Ebenso denkbar ist die Anwendung der Adaption auf Gebäudehüllen, wie beispielsweise die Verwendung schaltbarer Gläser (Sobek et al. 2000). Eine funktionale Anpassung im Sinne von wandelbaren Dächern oder beweglichen Brücken wurde schon oftmals realisiert. Aufgrund einer höheren Funktionalität adaptiver Systeme erscheint es in jedem Falle sinnvoll, tragende Strukturen adaptiv zu realisieren, um neue Ziele, beispielsweise Extremleichtbau, zu erreichen. Prinzipiell lassen sich mit adaptiven Systemen entweder leichtere Systeme bei gleicher Funktionalität oder Systeme mit gleichbleibendem Gewicht bei höherer Funktionalität schaffen. 1.3 Ziel und Gliederung der Arbeit Ziel der Arbeit ist die Entwicklung eines Verfahrens zum Entwurf gewichtsminimaler adaptiver Strukturen. Es wird eine Vorgehensweise entwickelt, mit der das Potenzial der Adaptivität beim Entwurf einer tragenden Struktur von Beginn an berücksichtigt werden kann. Im Gegensatz zur herkömmlichen Vorgehensweise des structural control werden dadurch nicht "nur" unter Zuhilfenahme von aktiven Elementen die Probleme des passiven Systems gelöst, sondern es wird angestrebt, von Beginn an eine Struktur zu entwickeln, bei der diese Probleme erst gar nicht auftauchen. Dafür wird in dieser Arbeit das Lastpfadmanagement entwickelt, mit dem die Lastabtragung in Strukturen hinsichtlich der Kraftverteilung optimiert werden kann. Weiterhin ist es möglich, das Verformungsverhalten zu manipulieren. Der Aspekt der Formoptimierung wird ebenso untersucht. In Kap. 2 und 3 werden die für die Optimierung adaptiver Strukturen notwendigen Grundlagen und der Stand der Technik erörtert. Verschiedene adaptive Systeme werden in Kap. 2 beschrieben, während in Kap. 3 ein Überblick über verschiedene Verfahren der Strukturoptimierung gegeben wird. Der Hauptteil der Arbeit, das entwickelte Verfahren zum Lastpfadmanagement sowie die Anwendung auf drei Beispiele, wird in Kap. 4 und 5 beschrieben. Neben der Kraftpfadoptimierung, d.h. der Ermittlung der optimalen Kraftzustände, werden weitere Aspekte wie die Auswahl und Positionierung der Aktuatoren, Verformungskriterien, ein fail-safe - Konzept und die Formoptimierung berücksichtigt. Im Rahmen dieser Arbeit entstand ein Prototyp eines adaptiven Systems – der „Stuttgarter Träger“. Die Wirkungsweise sowie die Realisierung werden in Kap. 6 beschrieben. In Kap. 7 werden die wesentlichen Aspekte der Arbeit zusammengefasst und es wird ein Ausblick für die weitere Entwicklung adaptiver Strukturen gegeben. Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 2 Adaptive Systeme 2.1 Konzept 2.1.1 Grundlagen Adaptive Vorgänge sind in der lebenden Natur selbstverständlich und unbedingte Voraussetzung für das Überleben und Weiterentwickeln der jeweiligen Spezies. Die Definition adaptiver Systeme kann auf zweierlei Arten erfolgen (Rogers 1999). Zum Einen können sie über ihre Bestandteile definiert werden, d.h. die Integration von Sensoren, Aktuatoren und einer Regelungseinheit in einem System. Eine weitere Möglichkeit besteht in der Beschreibung des Zieles, d.h. der Erhöhung der Funktionalität durch eine Anpassung an variierende Umgebungsbedingungen. In diesem Ansatz wird nicht der Weg, sondern das Ziel näher beschrieben. Basierend auf der Definition von Yao (1972) ist in Abb. 2.1 ein schematischer Überblick gegeben, der den Zusammenhang zwischen Sensoren, Aktuatoren und der Regelungseinheit wiedergibt. Je nachdem, ob es sich um ein semi-aktives oder ein aktives System handelt, können die Aktuatoren die Systemeigenschaften verändern oder Zusatzkräfte in der Struktur bewirken. Erkennen Entscheiden Regelung TragwerkErregung Systemantwort Sensoren Überwachung der Erregung Sensoren Überwachung der Systemantwort Aktuatoren Ausführung der gewünschten Reaktionen Abb. 2.1: Adaptives System 12 Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 13 Neben dem Begriff „adaptiv" werden in der Literatur weitere Termini, wie „intelligent“ oder „smart“, benutzt. Der Fachbereich, der sich mit dem Zusammentreffen von elektronischen und mechanischen Bauteilen beschäftigt, wird Adaptronik oder auch Mechatronik genannt (Janocha 1999). Im Rahmen dieser Arbeit soll von "adaptiv" gesprochen werden, da Begriffe wie „intelligent" im Zusammenhang mit technischen Produkten – jedenfalls zu Beginn des 21. Jahrhunderts - nicht angebracht erscheinen (Sobek und Teuffel 2002). Die Diskussion über die Verwendung der Begriffe ist umfassend dokumentiert (z. B. Clark et al. 1998, Srinivasan und McFarland 2001) und soll an dieser Stelle nicht weiter geführt werden, sondern mit einem Zitat von Culshaw (1999) abgeschlossen werden: "I conclude by observing that adaptronics, smart structures or whatever we call it, is nothing other than a synonym for good engineering...". Ein weiterer Aspekt bei der Entwicklung adaptiver Strukturen ist die Notwendigkeit einer interdisziplinären Zusammenarbeit verschiedenster Fachrichtungen, die bisher im konstruktiven Ingenieurbau oder auch in der Architektur in dieser Art selten vorkommt. Die Integration von elektronischen Bauteilen in tragende Strukturen sowie der Einfluss der Informationsverarbeitung auf die Gebrauchstauglichkeit von Tragwerken sind heutzutage unüblich. Die drei Hauptbestandteile von adaptiven Systemen - Sensoren, Regelungseinheit und Aktuatoren - werden in den folgenden Abschnitten kurz beschrieben. 2.1.2 Sensoren Bei Sensoren handelt es sich um die Bauteile, welche die Veränderungen von äußeren Einflüssen, aber auch die des systeminternen Zustandes messen und diese Informationen an die Steuerungs- bzw. Regelungseinheit weiterleiten. Je nach der zu messenden Größe, wie z. B. Dehnung oder Beschleunigung, können verschiedene Typen zum Einsatz kommen (Janocha 1999, Srinivasan und McFarland 2001). Resistive, induktive sowie kapazitive Wegaufnehmer werden beispielsweise von Isermann (1999) beschrieben. Dehnmessstreifen gehören zu den am häufigsten verwendeten Sensoren und kommen zum Einsatz, um Dehnungen in Bauteilen zu messen. Die Funktionsweise beruht auf der Änderung des elektrischen Widerstandes des verwendeten Materials infolge einer Längenänderung. Optische Fasern werden heutzutage primär zur Datenübertragung verwendet. Mögliche Einsatzbereiche liegen aber auch im Bereich der Sensorik. Änderungen der optischen Eigenschaften infolge Dehnungen werden genutzt, um den aktuellen Tragwerkszustand zu überwachen. Die Vorteile liegen in ihrem geringen Gewicht, einer geringen Größe und ihrer geometrischen Flexibilität. Faseroptische Sensoren werden hauptsächlich zur zerstörungsfreien Überwachung von Bauwerken (health-monitoring) eingesetzt. Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 14 Der piezoelektrische Effekt wurde von Jacques und Pierre Curie 1888 entdeckt (Janocha 1999). Der Effekt erfasst den Zusammenhang von elastischen Dehnungen und der Ausrichtung von elektrischen Dipolen eines Materials. Durch das Anbringen einer mechanischen Belastung und einer daraus resultierenden Dehnung wird ein elektrisches Feld erzeugt, das gemessen werden kann. Somit können Rückschlüsse auf die Dehnung gezogen werden. Die Anwendung von Sensoren ist relativ ausgereift und verschiedene Systeme für unterschiedliche Aufgaben sind kommerziell erhältlich. Folgende Parameter sind bei der Auswahl zu beachten: Sensitivität hinsichtlich der zu messenden Größen, mechanische Robustheit, Überlastbarkeit, Linearität, Kompatibilität zu anderen Materialien, Messbereich, Auflösung, Kosten sowie Reifegrad der Entwicklung. 2.1.3 Aktuatoren Aktuatoren stellen die Verbindungsglieder zwischen dem informationsverarbeitenden Teil eines Systems, d. h. der Regelung, und einem technischen Prozess dar. Mit ihrer Hilfe findet eine Energieumwandlung statt, z. B. von elektrischer Energie in Bewegungsenergie. Grundsätzlich ist eine Vielzahl von verschiedenen Typen realisierbar (Isermann 1999, Janocha 1999, Srinivasan und McFarland 2001). Im Folgenden sollen die wichtigsten Aktuatorsysteme vorgestellt werden, deren Anwendung im Bauwesen denkbar ist. Neben herkömmlichen Aktuatoren, wie elektromechanischen oder fluidtechnischen Systemen, kommen in den letzten Jahren verstärkt Aktuatoren zum Einsatz, die auf der Verwendung von smarten bzw. intelligenten Werkstoffen basieren. Es handelt sich hierbei um Materialien mit „interessanten“ variablen Eigenschaften. Die für tragwerkstechnische Anwendungen relevanten smarten Materialien können im Wesentlichen in form- und phasenveränderliche Materialien unterteilt werden (Sobek et al. 2000). Elektromechanische Stelleinrichtungen sind aufgrund ihrer großen Typenvielfalt sehr weit verbreitet – eine flexible Anpassung an unterschiedliche Anforderungen ist mit ihnen möglich. Neben diesem Vorteil bieten sie auch gute Regeleigenschaften und hohe Gesamtwirkungsgrade. Nachteilig sind die relativ geringe Leistungsdichte, ein eingeschränkter thermischer Betriebsbereich und ein hoher Anteil an beweglichen Teilen (Isermann 1999). Elektromechanische Antriebe sind in der Lage, translatorische (Elektromagnet, Linearmotor) sowie rotatorische Bewegungen (Elektromotor) durchzuführen. Der Leistungsbereich erstreckt sich bis hin zu Antrieben mit mehreren kW Leistung. Pneumatische und hydraulische Aktuatoren gehören in die Klasse der fluidtechnischen Stellantriebe. Beide Typen werden primär als Lineartranslatoren verwendet. Ihre Vorteile, wie große Stellkräfte (hydraulische Aktuatoren) und große Stellwege, machen sie für den Einsatz im Bauwesen interessant, während Nachteile, wie z. B. eingeschränkte Positioniergenauigkeit, ein nicht allzu großes Problem darstellen. Ein weiterer Vorteil ist, dass hohe statische Gegenkräfte mit geringer Leistung gehalten Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 15 werden können und die Aktuatoren nur im dynamische Zustand Leistung aufnehmen (Isermann 1999). Im Gegensatz zu piezoelektrischen Sensoren wird bei der Anwendung für Aktuatoren der inverse piezoelektrische Effekt genutzt, d. h. durch das Erzeugen eines elektrischen Feldes wird eine elastische Verformung des Materials verursacht. Das am weitesten verbreitete Material ist hierbei Blei – Zirkonium - Titanat (PZT). Die Vorteile dieser Aktuatoren liegen in der hohen Reaktionsgeschwindigkeit (im Bereich von ms), hohen zulässigen Spannungen (ca. 300 N/mm2) sowie einer hohen Steifigkeit; nachteilig ist das geringe Verformungsvermögen (0.2%), das für baupraktische Anwendungen sehr gering ist. Eine dem piezoelektrischen Effekt verwandte Wirkung ist der magnetostriktive Effekt, der in den meisten ferromagnetischen Materialien auftritt. Hierbei kommt es zu einer Expansion bzw. Kontraktion infolge eines magnetischen Feldes. Das am häufigsten verwendete magnetostriktive Material ist TERFENOL (Terbium – Ferrum – Naval – Ordnance - Lab). Formgedächtnislegierungen (FGL), bzw. shape-memory-alloys (SMA), sind in der Lage, beim Übergang vom austenitischen Zustand in den martensitischen Zustand reversible Verformungen durchzuführen. Dieser Übergang erfolgt bei der so genannten Übergangstemperatur. Der Formgedächtniseffekt kann bei metallischen Legierungen und auch bei Kunststoffen auftreten. Eine heutzutage häufig verwendete Formgedächtnislegierung ist NITINOL - eine Nickel-Titan-Legierung (Nickel – Titan – Naval – Ordnance - Lab). Die Integration von Formgedächtnislegierungen in Faserverbundwerkstoffen führt zu aktiven Verbundwerkstoffen. Neuere Entwicklungen zeigen die Möglichkeit auf, auch den Einfluss magnetischer Felder zu nutzen. Magnetic– shape–memory-alloys (MSMA) werden von Tickle und James (1999) beschrieben. Eine Volumenänderung infolge einer Stimulation durch elektrische Signale bzw. durch eine chemische Reaktion ist die Besonderheit des Verhaltens elektro- bzw. chemoaktiver Polymere. Im Gegensatz zu den oben genannten Materialien sind die möglichen Verformungen wesentlich größer (>100%), allerdings verbunden mit geringer Steifigkeit und Festigkeit. Der mögliche Einsatzbereich liegt daher auch eher im biomedizinischen Bereich als im Bauwesen (Gülch et al. 2002). Magneto- wie auch elektrorheologische Fluide besitzen die Eigenschaft, dass ihr rheologisches Verhalten durch das Anlegen eines magnetischen bzw. elektrischen Feldes veränderbar ist. Mit ihnen lassen sich regelbare Dämpfungselemente entwickeln, um Schwingungen zu kontrollieren. Die möglichen Einsatzbereiche liegen im Fahrzeugbau und Bauwesen. In Zukunft werden auch Mikrosysteme (z. B. Mikro-elektro-mechanische Systeme MEMS) eingesetzt werden, um aktuatorische Aufgaben zu übernehmen. Beispielsweise können Schrägseile von Brücken mit multifunktionalen Materialien, wie z. B. piezoelektrischen Keramiken, beschichtet sein, um die aerodynamischen Eigenschaften zu variieren und Schwingungsprobleme zu vermeiden (Korvink und Schlaich 2000). Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 16 Tanaka et al. (2003) beschreiben ein Konzept, mit dem durch die Integration von Funktionsmaterialien (z. B. Piezokeramiken) in ein Verbundsystem Materialien mit variabler Steifigkeit entwickelt werden können. Eine Vielzahl von Typen von Aktuatoren steht heutzutage zur Verfügung. Diese können für verschiedene Aufgaben eingesetzt werden. Für die Beurteilung sind folgende Kriterien zugrunde zu legen: Kraft, Hub bzw. Weg, Beschleunigung, Frequenzbereich, Linearität, Einbaugröße, Wartung, Kosten und Entwicklungsgrad. Für die im Rahmen dieser Arbeit dargestellten Untersuchungen kommen neben herkömmlichen Stellgliedern auch piezoelektrische sowie magnetostriktive Bauteile oder Formgedächtnislegierungen für einen Einsatz in Frage. Weiterhin interessant sind die oben genannten steifigkeitsvariablen Mehrwerkstoffsysteme. 2.1.4 Steuerung und Regelung Der Unterschied zwischen einer Regelung und einer Steuerung liegt darin, dass bei einem geregelten System eine Rückmeldung über die tatsächliche Systemantwort auftritt, während bei einer Steuerung nur die äußeren Einflüsse ermittelt werden. Für die Realisierung adaptiver Strukturen ist eine Regelung notwendig, um eine realistische Beurteilung des Systemverhaltens auch bei möglichen Störeinflüssen, die in der Realität auftreten werden, zu gewährleisten (s. a. Abb. 2.1). Als eine Erweiterung der klassischen Regelung kann die adaptive Regelung angesehen werden, bei der nicht nur das mechanische System einer Anpassung unterliegt, sondern auch die der Regelung zugrunde liegenden Algorithmen mit der Zeit variiert werden können (Clark et al. 1998). Durch den Einsatz neuronaler Netze oder auch künstlicher Intelligenz ist somit in Zukunft auch ein gewisser Lerneffekt erreichbar (Shea et al. 2002). 2.2 Anwendungen 2.2.1 Erste Ideen und Konzepte Die prinzipielle Möglichkeit der Anwendung aktiver Elemente mit variabler Vorspannung in tragenden Strukturen wurde erstmals von Freyssinet in den 60er-Jahren vorgeschlagen (Zuk und Clark 1970). Kobori und Minai (1960) beschreiben Überlegungen zu aktiven Schwingungstilgersystemen. Eine systematische Betrachtung über gesteuerte bzw. geregelte (open vs. closed loop) Systeme wird erstmals von Yao (1972) beschrieben. Die Klassifizierung in passive, semi-aktive, aktive sowie hybride structural control – Systeme wird von Housner et al. (1997) umfangreich anhand von Beispielen beschrieben. Ein aktueller Überblick über realisierte Projekte wird von Spencer und Nagarajaiah (2003) sowie Giuliani (2002) gegeben. Bei den dort beschriebenen Bauwerken werden verschiedene Systeme zur Kontrolle von Bauwerksschwingungen eingesetzt. Im Folgenden sollen die wichtigsten Systeme kurz erläutert werden. Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 17 2.2.2 Passive Systeme Passive Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine externe Energiezufuhr benötigen. Die in einem passiven System hervorgerufenen Reaktionen werden durch Bauwerksbewegungen verursacht. Bei Energiedissipationssystemen ist zwischen Schwingungstilgern und Schwingungsdämpfern zu unterscheiden. Bei Schwingungstilgern wird die extern eingebrachte Energie durch Umwandlung in kinetische Energie dissipiert, während bei Schwingungsdämpfern die Energie in Reibungswärme umgesetzt wird (Housner et al. 1997, Symans und Constantinou 1999). Eine weitere Möglichkeit der passiven Anpassung besteht in der Formadaption (Sobek et al. 2000). Denkbar sind beispielsweise Bauwerke oder Bauwerksteile, die sich entsprechend der Windrichtung ausrichten. Schwingungstilger (tuned mass damper bzw. tuned liquid damper) wurden erstmals 1947 von den Hartog (Housner et al. 1997) vorgeschlagen und werden seitdem primär zur Reduktion wind-, aber auch verkehrsinduzierter Schwingungen verwendet. Die Funktionsweise der Tilger beruht auf dem Effekt, dass die extern eingebrachte Energie (z. B. infolge Wind) durch eine gedämpfte Schwingung des Tilgers dissipiert wird. Schwingungstilger, bestehend aus einem Feder-Masse-System, können für eine bestimmte Frequenz eingestellt („tuned“) werden. Dadurch wird in der Regel die 1. Eigenfrequenz eines Tragwerks getilgt. Weitere Eigenschwingungen können jedoch nicht getilgt werden. Um dieses Problem zu umgehen, können Mehrfach-Schwingungstilger eingesetzt werden, die aus mehreren Feder-Masse-Systeme bestehen und für mehrere Frequenzen eingestellt werden können. Einige Hochhäuser und Brücken sind mit TMDs realisiert worden, erstmals der Centerpoint Tower in Sydney. Weitere frühe Projekte sind das Citicorp Building in New York sowie der John Hancock Tower in Boston (Housner et al. 1997). Als Schwingungsdämpfer können verschiedene Typen zum Einsatz kommen. Ihre Wahl hängt von der Art der Erregung ab: Metallische Dämpfer sowie Reibungsdämpfer kommen bei seismischen Problemen zum Einsatz - sie dissipieren die Energie über plastische Verformungen bzw. über Reibung. Viskoelastische bzw. viskofluide Dämpfungssysteme werden bei wind- bzw. verkehrserregten Schwingungen eingesetzt (Soong und Spencer 2002). Eine weitere Möglichkeit, das Tragverhalten zu kontrollieren, besteht in der Entkopplung des Bauwerks und des Baugrundes. Bei der base isolation wird das Tragwerk gegenüber horizontalen Schwingungen des Baugrundes (Erdbeben) u.a. durch Elastomerlager entkoppelt. 2.2.3 Aktive Systeme Im Gegensatz zu passiven Systemen wird bei aktiven Systemen die Reaktion des Systems nicht direkt durch die äußere Erregung hervorgerufen. Die gewünschte bzw. erforderliche Reaktion wird durch eine Regelung bzw. Steuerung ermittelt und durch die Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 18 Aktuatoren ausgeführt. Mit einer externen Energiezufuhr werden beispielsweise elektromechanische oder –hydraulische Aktuatoren versorgt (Symans und Constantinou 1999). Sakamoto et al. (2000) sowie Spencer und Nagarajaiah (2003) geben einen Überblick über bereits realisierte aktiv kontrollierte Hochbauten und Brücken. Verschiedene Konzepte aktiver Systeme kommen für Tragwerke im Bauwesen zum Einsatz, die an dieser Stelle kurz beschrieben werden sollen. Die Weiterentwicklung der passiven Schwingungstilger (tuned mass damper) führt zur Entwicklung von aktiven Systemen (active mass damper). Das erste realisierte aktiv kontrollierte Gebäude – das Kyobashi Seiwa Building - befindet sich in Japan (Sakamoto et al. 2000). Der Vorteil gegenüber passiven Tilgern liegt in der Anpassbarkeit an verschiedene Erregerfrequenzen. Erste Ideen für Systeme mit einer veränderlichen Vorspannung werden von Zuk und Clark (1970) beschrieben: als mögliche Anwendungen werden Brücken und Hochhäuser genannt. Reinhorn und Soong (1993) verwenden aktive Aussteifungselemente zur Regelung erdbebenerregter Schwingungen. Die Verwendung von regelbaren vorgespannten Stahlbetonträgern zur Reduktion von Vorspannverlusten wird von Pacheco und da Fonseca (2002) vorgeschlagen. Zur Verbesserung des Tragverhaltens von Tensegrity-Strukturen schlagen Fest et al. (2003) den Einsatz aktiver Systeme vor. 2.2.4 Semi-Aktive Systeme Bei semi-aktiven Systemen wird die Anpassung durch die Manipulation der Systemeigenschaften, d. h. der Steifigkeit oder der Dämpfung, erreicht. Sie kombinieren die Vorteile von passiven und aktiven Systemen. Sie sind anpassungsfähig und bieten damit eine ähnliche Leistungsfähigkeit wie aktive Systeme, ohne auf große externe Energiequellen angewiesen zu sein. Sie können daher sehr zuverlässig arbeiten (Symans und Constantinou 1999). Der Einsatz von regelbaren Ventilen in fluiden Dämpfungselementen ermöglicht es, den Strömungswiderstand des Fluides zu kontrollieren und Dämpfer mit variablen Eigenschaften zu realisieren. Dadurch kann das dynamische Verhalten von Tragstrukturen beeinflusst werden. Patten et al. (1999) führten hierzu Versuche an der Interstate I-35 Highway Brücke durch, um die Spannungsspitzen infolge einer Beanspruchung durch Schwerlastverkehr zu reduzieren. Eine weitere Möglichkeit, die Dämpfung zu variieren, liegt im Einsatz von regelbaren Fluiden. Elektro- oder magnetorheologische Fluide besitzen die Eigenschaft, dass ihre Viskosität durch den Einfluss von elektrischen bzw. magnetischen Feldern variiert werden kann. Der Vorteil gegenüber den oben genannten einstellbaren Ventilen bzw. Drosseln liegt im Fehlen von beweglichen mechanischen Bauteilen und damit von potentiellen Fehlerquellen (Spencer und Sain 1997). Sakamoto et al. 2000 beschreiben ein Konzept mit einer variablen Steifigkeitsverteilung in Bauwerken zur Kontrolle von erdbebenerregten Schwingungen. Anstelle der einstellbaren Ventile, die den Widerstand - und damit das Dämpfungsverhalten - Entwerfen adaptiver Strukturen 2 Adaptive Systeme 19 kontrollieren, werden hierbei ein- bzw. ausschaltbare Ventile eingesetzt. Mit diesen Elementen werden beim Kobori Research Complex die einzelnen Aussteifungsverbände aktiviert bzw. deaktiviert und somit werden die Steifigkeit und die Eigenfrequenz der tragenden Struktur entsprechend den Anforderungen eingestellt. Regelbare Reibungselemente bieten die Möglichkeit, eine variable Energiedissipation zu realisieren (Spencer und Nagarajaiah 2003). Hierzu werden Elemente eingesetzt, bei denen die übertragbare Reibungskraft eingestellt werden kann. Eine mögliche Realisierung besteht durch den Einsatz von piezoelektrischen Aktuatoren an den Fügestellen (z. B. Schraubverbindungen). 2.2.5 Hybride Systeme Unter hybriden Systemen versteht man Kombinationen von passiven, aktiven oder semi- aktiven Systemen. Beispiele hierfür sind Systeme wie hybrid mass damper oder hybrid base isolation (Spencer und Sain 1997). Der Grund für die Entwicklung dieser Systeme ist die mögliche Kombinierbarkeit der Vorteile von aktiven Systemen (hohe Leistungsfähigkeit) und von passiven Systemen (hohe Robustheit). 2.3 Bewertung Aktive Systeme, wie aktive Schwingungstilger oder eine geregelte Vorspannung, können als logische Weiterentwicklung ihrer passiven Pendants – tuned mass damper und Vorspannung – gesehen werden. Sie zeichnen sich durch eine hohe Funktionalität aus und ermöglichen eine deutliche Verbesserung des Tragverhaltens. Problematisch kann der erforderliche Energiebedarf sein. Semi-aktive Systeme sind in ihrer Leistungsfähigkeit nicht ganz so hoch einzuschätzen wie aktive Systeme, allerdings wird bei einer Variation der Systemeigenschaften nur Energie zur Regelung benötigt. Die oben beschriebenen Konzepte für anpassungsfähige Tragstrukturen erfuhren in den letzten 20 Jahren eine rasante Entwicklung. Bisher liegt aber kein integratives Konzept für den Entwurf dieser Strukturen vor, sondern die aktiven Elemente werden nur als Hilfsmaßnahmen betrachtet. Weiterhin gibt es bisher auch wenig Kenntnisse bei den Planern und zu wenig Interaktion zwischen allen Projektbeteiligten. Der Einfluss auf das Erscheinungsbild von Bauwerken ist bisher nicht erkennbar. Für die im Rahmen dieser Arbeit vorgeschlagene Vorgehensweise zum Entwurf und zur Optimierung adaptiver Strukturen können die in Kap. 2.1.3 beschriebenen Aktuatoren zum Einsatz kommen. Es wird ein einheitliches Konzept vorgeschlagen, bei dem eine variable Längenänderung einzelner Elemente – aktiv mit Gegenkräften oder semi-aktiv durch Steifigkeitsvariation – verwendet wird. Entwerfen adaptiver Strukturen 3 Strukturoptimierung 20 3 Strukturoptimierung 3.1 Grundlagen Die ersten systematischen Überlegungen zur Optimierung tragender Strukturen werden von Maxwell (1869) und Michell (1904) beschrieben. Ihre Arbeiten bilden die Grundlage für erste Überlegungen zur Gewichtsminimierung tragender Strukturen. Sie entwickelten eine grundlegende Theorie zur optimalen Topologie von tragenden Strukturen, die jedoch auf einen Lastfall und auf Spannungskriterien beschränkt ist. Die mit dieser Theorie entwickelten Optimalstrukturen sind häufig kinematisch, ihre praktische Anwendbarkeit ist daher beschränkt (Wiedemann 1989). Das Zusammenführen der mathematischen Programmierung und der statischen Berechnung von tragenden Strukturen wird erstmals von Schmit (1960) beschrieben und von ihm als systematic synthesis bezeichnet. Im Weiteren wurden verschiedene Verfahren entwickelt, die in unterschiedliche Kategorien unterteilt werden können. Zum einen gibt es die Optimalitätskriterienmethoden (optimality criterion methods, bzw. OC- methods), bei denen durch Aufstellen und Erfüllen eines Kriteriums die Optimalität ermittelt wird (s. Kap. 3.2). Zum anderen gibt es die Verfahren der mathematischen Programmierung (s. Kap. 3.3). Die verschiedenen Verfahren sind umfassend beschrieben (z. B. Adeli 1997, Arora 1989, Bletzinger und Kimmich 1985, Haftka und Gürdal 1992, Kirsch 1993, Maute et al. 1999, Vanderplaats 1999), daher sollen an dieser Stelle nur die wesentlichen Begriffe und Verfahren kurz genannt werden. Bei der Strukturoptimierung ist zu unterscheiden, auf welcher hierarchischen Ebene die Optimierung erfolgt. Im Rahmen dieser Arbeit werden die untersuchten Strukturen hinsichtlich der Elementquerschnitte sowie der Geometrie optimiert. Die Verwendung der Strukturoptimierung zur Formfindung wird von Bletzinger et al. (1995) beschrieben. Die Form- bzw. Geometrieoptimierung kann in einer geschachtelten Form, d.h. iterativ mit einer getrennten Querschnitts- und Formoptimierung erfolgen (Wang et al. 2002). Ebenso ist die gleichzeitige Optimierung von Querschnitt und Form möglich (Topping 1983, Vanderplaats 1984, Bendsøe et al. 1994). Bei der Topologieoptimierung handelt es sich um die komplexeste Aufgabe im Rahmen der Strukturoptimierung, da neben der Anzahl der Knoten und Elemente auch die Beziehungen zwischen Knoten und Elementen, d.h. die Topologie, variabel ist. 3.2 Optimalitätskriterienmethoden Die am weitesten verbreitete Optimalitätskriterienmethode ist das fully-stressed-design (FSD). Das hierbei verwendete Kriterium besagt, dass alle Elemente in mindestens einem Lastfall voll ausgenutzt werden müssen, d.h. fully-stressed sind. Dem FSD liegt der intuitive Ansatz zugrunde, dass eine Gewichtsverringerung durch eine iterative Anpassung der Querschnitte erreicht werden kann (Haftka und Gürdal 1992). Die Ermittlung der Querschnitte erfolgt iterativ nach der stress-ratio-method (SRM). Diese Vorgehensweise führt bei statisch bestimmten Systemen zum Optimum, nicht jedoch bei statisch unbestimmten Tragwerken. Bei ihnen führt das FSD in der Regel zu Entwerfen adaptiver Strukturen 3 Strukturoptimierung gewichtsreduzierten Strukturen, nicht jedoch notwendigerweise zum absoluten Optimum (Schmit 1960). Neben dem FSD wurden in der Vergangenheit noch weitere mathematische OC - Methoden entwickelt, dabei wird das Problem mit Hilfe der Kuhn- Tucker-Bedingungen gelöst. Die hierfür notwendigen Bedingungen werden beispielsweise von Arora (1989) oder Kirsch (1993) näher beschrieben. 3.3 Mathematische Programmierung 3.3.1 Problembeschreibung Mathematische Formulierung Eine allgemeine Optimierungsaufgabe – minimiere die Zielfunktion f(x), unter Berücksichtigung der Gleichheitsnebenbedingungen h(x), Ungleichheitsneben- bedingungen g(x) und der Entwurfsvariablen x zwischen gegebenen oberen xo und unteren xu Grenzen - lässt sich in folgender Form beschreiben: minimiere f(x) 3.1 mit Θ∈ix unter Berücksichtigung h(x)=0 3.2 g(x) ≤ 0 3.3 xu ≤ x ≤ xo 3.4 Entwurfsvariablen und -parameter Mit Hilfe der Entwurfsvariablen x kann ein bestimmter Entwurf beschrieben werden. Der Entwurfsraum wird durch Θ definiert. Auf der Suche nach einem Optimum können die Werte dieser Variablen zwischen den unteren xu und oberen xo Grenzen variiert werden. Im Rahmen der Strukturoptimierung beschreiben sie typischerweise die Querschnittsabmessungen oder die Geometriedaten der tragenden Struktur. Notwendig für eine Lösung des Problems ist, dass die einzelnen Variablen voneinander linear unabhängig sind. Entwurfsparameter p beschreiben einzelne Größen, die einerseits Einfluss auf das Ergebnis der Optimierung haben, andererseits aber konstante Werte annehmen, wie z. B. die zulässigen Spannungen in den Bauteilen. Zielfunktion Die Zielfunktion f(x) beschreibt in Abhängigkeit von den Variablen x und den Parametern p die zu optimierende Größe, z. B. die Kosten eines Projektes oder das Gewicht einer Struktur. Neben der Definition skalarer Zielfunktionen besteht auch die Möglichkeit, vektorielle Zielfunktionen zu definieren, die mehrere zu optimierende Größen enthalten. Man spricht dann von einer Mehrkriterienoptimierung. In der Regel widersprechen sich die Ziele der einzelnen Funktionen. Ein Ansatz zur Lösung der Mehrkriterienoptimierung besteht darin, dass die Gruppe der Funktionen durch eine gewichtete lineare Kombination auf eine einzelne Funktion reduziert wird - problematisch hierbei ist die Wahl der Gewichtungsfaktoren. 21 Entwerfen adaptiver Strukturen 3 Strukturoptimierung Nebenbedingungen Die Nebenbedingungen sind wie die Zielfunktion abhängig von den Variablen x und den Entwurfsparametern p. Für den Fall, dass keine Nebenbedingungen vorliegen, spricht man von unbeschränkten Optimierungsaufgaben, ansonsten von beschränkten Optimierungsaufgaben. Man unterscheidet weiterhin Gleichheitsnebenbedingungen h(x) und Ungleichheitsnebenbedingungen g(x). Mit den Nebenbedingungen werden einzuhaltende Werte, z. B. die zulässigen Spannungen, definiert. Wie die Variablen müssen auch die Nebenbedingungen voneinander linear unabhängig sein. 3.3.2 Optimierungsverfahren Lineare Programmierung (LP) Man spricht von einer linearen Optimierungsaufgabe, wenn sich alle zugrunde liegenden Gleichungen, d.h. Zielfunktion und Nebenbedingungen, linear darstellen lassen. Die mathematische Formulierung lautet in Matrizenschreibweise: minimiere ( ) xcx Tf = 3.5 mit Θ∈x unter Berücksichtigung 0bxAxh =−= hh)( 3.6 0bxAxg ≤−= gg)( 3.7 ou xxx ≤≤ 3.8 Es existieren verschiedene Verfahren zur Lösung der linearen Programmierung (LP), wie das Simplex-Verfahren (Arora 1989) oder das LIPSOL-Verfahren (Zhang 1998). Ein wesentlicher Vorteil linearer Optimierungsaufgaben ist neben einer hohen Rechengeschwindigkeit der globale Charakter der Lösung. Allerdings lassen sich in der Realität nur wenige technische Zusammenhänge linear beschreiben. Nichtlineare Programmierung (NLP) Eine nichtlineare Programmierung (NLP) liegt vor, wenn entweder die Zielfunktion und/ oder eine Nebenbedingung einen nichtlinearen Zusammenhang beschreiben. Im Rahmen der Strukturoptimierung liegt im Allgemeinen eine nichtlineare Optimierungsaufgabe vor. Die Lösung des Problems erfolgt, basierend auf der Angabe eines Startwertes, durch einen iterativen Prozess. Die mathematische Formulierung erfolgt entsprechend Gl. 3.1 – 3.4. Die nichtlineare Programmierung basiert häufig auf verschiedenen Gradientenverfahren, die im Folgenden genannt werden. Bei unbeschränkten Problemen lassen sich die verschiedenen Methoden in Verfahren 0., 1. und 2. Ordnung einstufen. Die Verfahren 0. Ordnung verwenden keine Informationen aus den Ableitungen der Zielfunktion. Gradientenbasierte Verfahren hingegen verwenden die erste Ableitung der Zielfunktion, d. h. die Bedingung ∇f=0. Verschiedene numerische Verfahren, wie die des steilsten Abstieges, die der konjugierten Gradienten (Fletcher-Reeves) sowie das Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno- 22 Entwerfen adaptiver Strukturen 3 Strukturoptimierung 23 Verfahren (BFGS) können hierbei angewendet werden (Venkataraman 2002). Die Anwendung von Verfahren 2. Ordnung kommt aufgrund des großen numerischen Aufwandes durch die Ermittlung der Hesse-Matrix in jedem Iterationsschritt nur selten vor. Im Rahmen der Strukturoptimierung handelt es sich in der Regel um beschränkte nichtlineare Probleme. Die verschiedenen Lösungsverfahren für beschränkte Probleme lassen sich in indirekte und direkte Ansätze einteilen. Bei den indirekten Methoden handelt es sich um Weiterentwicklungen der unbeschränkten Optimierung, während die direkten Verfahren die Zielfunktion und die Nebenbedingung ohne Transformation behandeln. Bei den indirekten Methoden werden die beschränkten Probleme in unbeschränkte Probleme überführt, um z. B. auf robuste Verfahren wie das BFGS- Verfahren zurück greifen zu können. Die Überführung in unbeschränkte Probleme erfolgt mittels der Lagrange-Funktion. Die notwendige Bedingung für das Optimum ergibt sich durch die Kuhn-Tucker-Bedingung (Arora 1989). Im Gegensatz zu den indirekten Methoden werden bei den direkten Verfahren die Gleichungen nicht in unbeschränkte Probleme überführt, sondern die Funktionen in der Regel linearisiert. Neben der sequentiellen linearen Programmierung (SLP) kommt auch die sequentielle quadratische Programmierung (SQP) zum Einsatz. Bei der nichtlinearen Programmierung liegt das Problem vor, dass zwischen lokalen und globalen Minima unterschieden werden muss. Im Falle einer konvexen Zielfunktion (die bei einer linearen Programmierung grundsätzlich vorliegt) existiert genau eine Lösung – das globale Minimum. Die mit den oben genannten Verfahren gefundenen Minimalstellen sind jedoch nicht notwendigerweise globale Optima, sondern eventuell nur lokale Extremstellen. Bei der Verwendung der oben genannten Verfahren muss darum das Ergebnis eventuell mittels verschiedener Startwerte überprüft werden. Verschiedene Verfahren zur globalen Optimierung basieren u. a. auf heuristischen Verfahren, wie das simulated annealing (SA) oder die Verwendung evolutionärer Strategien, wie genetischer Algorithmen (GA), die von Rechenberg (1973) und Goldberg (1989) beschrieben werden. Diskrete Optimierungsprobleme Alle bisher beschriebenen Verfahren beziehen sich auf kontinuierliche Problemstellungen. Bei der praktischen Anwendung handelt es sich bei den Entwurfsvariablen jedoch oftmals um diskrete Größen, z. B. Standardstahlquerschnitte. Zur Lösung von diskreten Optimierungsproblemen sind verschiedene Verfahren, wie die Anwendung von Evolutionsstrategien, entwickelt worden. Eine Form der diskreten Optimierung sind kombinatorische Aufgaben. Im Rahmen dieser Arbeit handelt es sich bei der Auswahl der Aktuatoren und Sensoren um ein diskretes kombinatorisches Optimierungsproblem. Eine Lösungsmöglichkeit dieses Problems ist die totale Enumeration, die aber aufgrund der vielen Kombinationsmöglichkeiten schnell an ihre Grenzen stößt. Eine weitere Möglichkeit besteht im Einsatz von Entscheidungsbäumen (Arora 1997). Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 4 Lastpfadmanagement 4.1 Konzept 4.1.1 Definition und Ziel Unter Lastpfadmanagement wird die gezielte Manipulation der Eigenschaften des Tragwerks (z. B. durch Steifigkeitsvariation) bzw. der Reaktion (z. B. durch längenveränderliche Elemente) verstanden. Ziel ist es, den Lastabtragungsmechanismus für veränderliche Lasten zu optimieren und somit das Gewicht der tragenden Struktur zu minimieren. Neben der Einhaltung der zulässigen Spannungen können auch Verformungsbeschränkungen berücksichtigt werden. Der Sonderfall einer geregelten Verformung von „Null“ entspricht einer unendlichen Steifigkeit. Dies macht deutlich, dass durch die Einführung der Adaptivität nicht nur eine quantitative Verbesserung erreicht werden kann, sondern auch qualitativ neue Möglichkeiten entstehen. Weiterhin erfolgt in dieser Arbeit die Berücksichtigung der optimalen Geometrie zur Abtragung der angreifenden Lasten. Die Untersuchungen im Rahmen dieser Arbeit beziehen sich auf quasi-statische Belastungen von ebenen Fachwerksystemen. Kraftpfadoptimierung: Nik=Nik opt Verformungsregelung: ujk=ujk r Lastpfadmanagement: Nik=Nik opt ujk=ujk r ujk Pjk Pjk Pjk Nik Abb. 4.1: Definition Lastpfadmanagement Lastpfadmanagement beinhaltet sowohl die Manipulation der inneren Kraftpfade (inkl. der Auflagerkräfte) als auch die Regelung der daraus resultierenden Knotenverschiebungen, d.h. es berücksichtigt den kompletten Lastabtragungsmechanismus. Im Gegensatz zur Optimierung von passiven Systemen, bei denen eine optimale Dimensionierung der Bauteile für eine gegebene Beanspruchung 24 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 25 erfolgt, werden für adaptive Systeme die Kraftpfade optimiert und anschließend das Tragwerk so ausgelegt, dass diese Kraftzustände auftreten. Die durch den Adaptionsvorgang hervorgerufenen Zustandsänderungen (Kraft- bzw. Verformungsgrößen) werden im Folgenden als adaptive Zustandsgrößen bezeichnet (Index a). Zustände des adaptiven Systems ohne Regelung (z. B. durch Ausfall) werden als passiv-adaptiv beschrieben (Index pa). Die Überlagerung der passiv-adaptiven Zustandsgrößen mit den adaptiven Größen wird bei Verformungsgrößen als geregelt bezeichnet (Index r). Die Überlagerung der passiv-adaptiven und adaptiven Normalkräfte ergibt für die Kraftpfade den optimalen Zustand (Index opt). Diese Unterscheidung (geregelt vs. optimal) wird gemacht, da die Normalkraftverteilung das Resultat einer Optimierung ist, während die gewünschten Verformungen durch den Planer bzw. Nutzer „beliebig“ definiert werden können und dann durch das System eingeregelt werden. Vergleichstragwerke ohne Aktuatoren, Sensoren und Regelung werden als passive Systeme bezeichnet (Index p). Ziel der Untersuchungen ist primär die Minimierung des Gewichts tragender Strukturen. Es ist jedoch zu unterscheiden, ob es sich um eine reine Gewichtsminimierung handeln soll, d.h. keine Betrachtungen hinsichtlich der für die Aktuatoren erforderlichen Energie in die Optimierung einfließen, oder ob energetische Aspekte zumindest qualitativ betrachtet werden sollen. Für den Fall, dass der Energieaufwand keine Rolle spielt, werden nur Verformungsrestriktionen am geregelten System betrachtet. Dies kann jedoch dazu führen, dass das passiv-adaptive System (d. h. das adaptive System im passiven Zustand) zu flexibel wird und große Längenänderungen der Aktuatoren notwendig werden, um das Verformungsziel zu erreichen. Dies kann verhindert werden, wenn Verformungsbeschränkungen am passiv-adaptiven System eingeführt werden. Das Vorgehen zum Lastpfadmanagement ohne Berücksichtung von Verformungsrestriktionen am passiv-adaptiven System ist in Kap. 4.2 – 4.4 beschrieben. In diesem Fall werden alle Verformungen von den Aktuatoren reduziert bzw. kompensiert. Das Vorgehen mit Berücksichtigung von Verformungsrestriktionen am passiv-adaptiven System ist speziell bei der Formoptimierung von Interesse, da hierbei die eingesetzte Energie die Form und damit das Erscheinungsbild der Struktur beeinflussen kann – form follows energy, s. Kap. 4.5. bzw. 5.4. 4.1.2 Manipulierbarkeit Im Rahmen der Arbeit wird die Manipulation des Systems für quasi-statische Belastungen betrachtet, damit ergeben sich für den Entwurf des topologisch vorgegebenen Systems folgende Möglichkeiten der Tragwerksmanipulation: - zeitlich invariant: Elementquerschnitte A und Knotenkoordinaten Ψ - zeitlich variant: Elastizitätsmodul E und Elementlängen l Die Abhängigkeit der zeitlich varianten Werte von internen bzw. externen Größen bestimmt, ob es sich bei dem Problem um eine Steuerung (open-loop-control) oder um Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 26 eine Regelung (closed-loop-control) handelt. Für den Fall, dass diese von den äußeren Lasten abhängen, spricht man von einer Steuerung, wenn sie jedoch von den Systemverformungen, bzw. von der Systemantwort abhängen, dann spricht man von einer Regelung (s. Kap. 2.1.4). Gleiches gilt auch für die Variation der Systemeigenschaften. Die Mannigfaltigkeit der möglichen Normalkraft- bzw. Spannungszustände ist abhängig vom Grad der statischen Unbestimmtheit des Systems. In einem r-fach statisch unbestimmten System können maximal r verschiedene (linear unabhängige) Kraftzustände erreicht werden. Daher entspricht r auch der minimalen Anzahl der zur exakten Kraftanpassung notwendigen Aktuatoren. 4.1.3 Übersicht Zur Optimierung adaptiver Strukturen wird in dieser Arbeit ein Verfahren vorgestellt, mit dem optimale Kraftzustände entwickelt werden können. Es werden zuerst Kraftzustände für verschiedene Lastfälle optimiert und anschließend die dafür notwendige tragende Struktur bestimmt. Das bedeutet, dass nicht nur die Tragwerksgrößen (Querschnitte, Geometrie) Entwurfsvariablen sind, sondern auch die Zustandsgrößen (Kräfte und Verformungen) direkter Bestandteil des Optimierungsprozesses sind. Zuerst werden mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten die optimalen Kraftpfade für verschiedene Lastfälle entwickelt. Die Kompatibilitätsbedingungen und Verformungskriterien werden an dieser Stelle nicht berücksichtigt und werden erst in einem weiteren Schritt, im Rahmen der eigentlichen Adaption, eingeführt. Dieses Vorgehen kann bei gegebener oder noch zu optimierender Geometrie durchgeführt werden. Ziel ist die Minimierung des benötigten Tragwerksgewichts (s. Kap. 4.2.1 – 4.2.2). Hemp (1973) beschreibt eine ähnliche Vorgehensweise zur Optimierung passiver Strukturen; aufgrund der Verletzung der Kompatibilitätsbedingungen führt diese jedoch nur bei statisch bestimmten Systemen zur richtigen Lösung. Für statisch unbestimmte Systeme kann mit diesem Verfahren nur eine untere Grenze des Optimierungsproblems gefunden werden (Kirsch 1993). Der Einfluss des Ausfalls der Regelung wird durch ein fail-safe - Konzept berücksichtigt, das in Kap. 4.2.4 beschrieben wird. Die notwendige Anzahl a der Aktuatoren ist vom Grad der statischen Unbestimmtheit des Systems sowie der Anzahl nr der zu regelnden Freiheitsgrade abhängig. Die Anordnung der Aktuatoren wird mit Hilfe einer Sensitivitätsanalyse und der Bildung eines Effizienzindikators bestimmt. Dieses Vorgehen wird in Kap. 4.3 näher erläutert. Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 27 Nach der Ermittlung der optimalen Kraftzustände und der eventuellen Vorgabe von Verformungsbeschränkungen erfolgt der eigentliche Adaptionsvorgang, der durch die Veränderung der adaptiven Elemente erreicht wird (s. Kap. 4.4) Bei einer Optimierung ohne Beschränkungen der Aktuation (wie in Kap. 4.2 – 4.4 beschrieben) haben Verformungsrestriktionen des geregelten Systems keinen Einfluss auf die optimale Steifigkeitsverteilung und Geometrie der Struktur. Diese Vorgehensweise ist jedoch bei häufig auftretenden Belastungen nicht sinnvoll, da dann die Gewichtsersparnis durch einen hohen Energieverbrauch bezahlt werden muss. Bei der Berücksichtigung des Energieverbrauchs werden Verformungsrestriktionen am passiv-adaptiven System eingeführt. Daraus folgt ein Einfluss auf die Geometrie der Struktur, d.h. es existiert ein Zusammenhang zwischen erforderlichem Tragwerksgewicht und aufzuwendender Energie, der in Kapitel 4.5 beschrieben wird. Ein Vorteil des in dieser Arbeit vorgestellten Verfahrens liegt darin, dass die Ermittlung der optimalen Kraftzustände ohne Vorgabe der dafür notwendigen Aktuatoren erfolgen kann. Daher ist in der anschließenden Auswahl die Zielsetzung klar definiert und die bevorzugten Positionen der adaptiven Elemente können über den Effizienzindikator ermittelt werden. In Abb. 4.2 ist das beschriebene Verfahren schematisch dargestellt. Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Kraftpfadoptimierung Zielfunktion: min G = Σ l * A * ρ Gleichheitsnebenbedingung: Knoten- und Elementgleichgewicht Ungleichheitsnebenbedingung: Spannungen Berücksichtigung der Formoptimierung Normalkraftermittlung Passiv-adaptives System Verletzung der geometrischen KompatibilitätErmittlung der Diff.kräfte ∆N Auswahl der Aktuatoren über Effizienzindikator Kombination der Aktuatoren Überprüfung der Regelbarkeit Adaption Kraft- und Verformungszustände Optimale Geometrie und Querschnitts- verteilung Ermittlung der Sensitivität SN Ermittlung der Sensitivität Su Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit Anpassung der Elemente a = nr – exakte Verformungsadaption a < nr – Minimum der Fehlerquadrate K ap . 4 .2 .1 - 2 K ap . 4 .2 .3 K ap . 4 .3 K ap . 4 .4 Abb. 4.2: Schematische Übersicht - Lastpfadmanagement Um die oben genannten Untersuchungen zur Optimierung durchzuführen und die entsprechenden Algorithmen zu entwickeln, wird im Rahmen dieser Arbeit das Programm MATLAB verwendet. Bei MATLAB handelt es sich um eine Entwicklungsumgebung für technische Berechnungen, Visualisierung und zur Entwicklung eigener Algorithmen (MathWorks 2002a). Die notwendigen statischen Berechnungen werden mit der Methode der finiten Elemente durchgeführt (Kwon 2000). Hierzu wurde aufbauend auf der FEM-Toolbox CALFEM (CALFEM 2002) ein Berechnungsmodul entwickelt, mit dem die Daten eingelesen werden und die Berechnungen durchgeführt werden. 28 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 4.2 Kraftpfadoptimierung (KPO) 4.2.1 Ermittlung der optimalen Kraftpfade Konzept Anhand eines einfachen Systems soll das Konzept zur Ermittlung der optimalen Kraftpfade kurz beschrieben werden. Bei einem statisch unbestimmten System existieren unendlich viele mögliche Kraftpfade, die eine Gleichgewichtsgruppe bilden können. In dem in Abb. 4.3 dargestellten System existieren für die Lösung eines Gleichungssystems mit 14 Unbekannten (11 Normalkräften und 3 Auflagerreaktionen) und 12 Gleichungen (12 Gleichgewichtsbedingungen für alle Knotenfreiheitsgrade) unendlich viele Lösungen. Ziel der Kraftpfadoptimierung ist es, die Kraftpfade zu finden, die ein minimales Tragwerksgewicht ermöglichen. Q1 Q2 Q5 N1 P10 N9 N8 N7N6 N5N4N3 N2 N11 N10 Abb. 4.3: Kraftsystem im Gleichgewicht – Auflagerreaktionen Qj, Normalkräte Ni, Lasten Pj Dieser Ansatz ist im Gegensatz zur Strukturoptimierung passiver Systeme zulässig, da in einem ersten Schritt auf die Einhaltung der geometrischen Kompatibilität verzichtet werden kann. Dies bedeutet, dass die Verträglichkeiten zwischen Stabend- und Knotenverschiebungen in einem weiteren Schritt gewährleistet werden. Zielfunktion Die Ermittlung optimaler Kraftpfade für verschiedene Lastfälle erfolgt durch Minimierung des Gewichts G bei gleichzeitiger Beachtung von Spannungs- und Gleichgewichtsnebenbedingungen. Für Fachwerkstrukturen mit vorgegebener Topologie und Geometrie lassen sich die optimalen Kraftpfade wie folgt ermitteln: Die Zielfunktion, die das Gewicht G der Struktur beschreibt und die zu minimieren ist, wird durch folgenden linearen Zusammenhang formuliert: 29 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement ρρ ⋅⋅=⋅⋅=∑ = AlT m i ii AlG 1 min 4.1 Das Gesamtgewicht G aller m Elemente ist eine Funktion der Elementlängen l (Entwurfsparameter), der Elementquerschnitte A sowie der Materialdichte ρ. Entwurfsvariablen und Restriktionen Der Entwurfsvektor enthält neben den Normalkräften Nk ~ N k auch die Auflagerreaktionen Qk des Systems für den Lastfall k. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = k k k Q N N ~ 4.2 Diese Entwurfsvariablen und die Querschnittsflächen A werden im Entwurfsvektor x für insgesamt p Lastfälle zusammengefasst. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = p ~ 1 ~ N N A x M 4.3 Weitere Einschränkungen der Optimierungsaufgabe ergeben sich durch Restriktionen der Entwurfsvariablen, hier durch die physikalische Notwendigkeit positiver Werte der Querschnittsflächen A. Für die die Normalkräfte beschreibenden Variablen werden keine Restriktionen vorgegeben. A 0 ≥ 4.4 Somit ergibt sich eine untere Grenze xu der Entwurfsvariablen x (dim(0)=(m x 1)=dim(A)), eine obere Grenze existiert in diesem Fall nicht. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∞− = 0 xu 4.5 Gleichheitsnebenbedingungen Das Knotengleichgewicht für einen Lastfall k wird durch Gleichheitsnebenbedingungen erfüllt. Hierfür wird die Transformationsmatrix b benötigt. Die Transformationsmatrix b (dim(b)=(m x n)) setzt sich aus den Matrizen der Element-Richtungskosinus ci und der topologischen Zuordnungsmatrix Γ zusammen und beschreibt die geometrische Ausrichtung der einzelnen Elemente. [ ]LL T icb = 4.6 30 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Die Berücksichtigung der Auflagerkräfte im Entwurfsvektor x erfordert die Erweiterung der Matrix b zu durch weitere Einträge, d. h. die Auflagerkräfte werden den entsprechenden Freiheitsgraden zugeordnet. Der Zusammenhang zwischen den Normalkräften N ~ b k, den Auflagerreaktionen Qk und den äußeren Lasten Pk für einen Lastfall k lässt sich mit Gl. 4.7 darstellen. 0 ~~ =− kk PNb 4.7 Für insgesamt p Lastfälle wird die Gesamtmatrix folgendermaßen zusammengesetzt: 0 P P N N b00 0b0 00b = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ pp MM L MOMM L L 1 ~ 1 ~ ~ ~ ~ 4.8 Da im Entwurfsvektor die Querschnittsflächen A enthalten sind, diese jedoch bei den Gleichheitsnebenbedingungen keinen Einfluss haben, muss die Gesamtgleichheitsmatrix durch Nulleinträge erweitert werden. Hiermit ergibt sich mit der Einführung der Koeffizientenmatrix Ah folgende Gleichheitsnebenbedingung: 0 P P N N A b000 0b00 00b0 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ p p M M L MOMMM L L 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~ 4.9 bzw. Ah x - P = 0 4.10 Ungleichheitsnebenbedingungen Die Einhaltung der zulässigen Spannungen wird durch Ungleichheitsnebenbedingungen gewährleistet, wobei unterschiedliche Werte für die Zug- und Druckspannungen angenommen werden können. Die entsprechenden Ungleichheitsnebendingungen zur Berücksichtigung der zulässigen Spannungen in Element i bei Lastfall k lauten bei unterschiedlichen zulässigen Druck- und Zugspannungen: Zugstäbe Zizul i ik A N ,,σ≤ 4.11 Druckstäbe Dizul i ik A N ,,σ≤− 4.12 Die zulässigen Spannungen werden entweder als Entwurfsparameter vorgegeben oder unter Berücksichtigung von Einzelstabknicken (Eulerknicklast) in Abhängigkeit von Stablänge und Querschnittswerten ermittelt. Die Definition von Seil- bzw. „nur-Zug“ - 31 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Elementen ist ebenso möglich. Durch Umformung von Gl. 4.11 und 4.12 in Matrizenschreibweise, können die Bedingungen zur Einhaltung der Spannungen für den Lastfall k folgendermaßen formuliert werden. 0ANs ≤−⋅ k 4.13 0ANs ≤−⋅− k 4.14 Die Matrix s beinhaltet die inversen Werte der zulässigen Spannungen. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − mzul izul zul , 1 , 1 1, 1 00 00 00 σ σ σ L MOMM L L s 4.15 Die Berücksichtigung der Auflagerreaktionen im Entwurfsvektor macht auch hier eine Erweiterung der Matrix notwendig. Die Nullmatrix hat hier die Dimension dim(0) = (m x nf). [ ]0ss = ~ 4.16 Der Zusammenbau der Gesamtmatrix der Ungleichheitsnebenbedingungen zur Berücksichtigung der Einhaltung der Zug- und Druckspannungen in allen Lastfällen lässt sich folgendermaßen darstellen: 0 N N A s00 s00 0s0 0s0 00s 00s ≤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − −− − −− − p ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ M L L MOMMM L L L L Ι Ι Ι Ι Ι Ι 4.17 bzw. Ag·x<=0 4.18 I beschreibt die Einheitsmatrix mit der Dimension (m x m). Alle Ungleichheitsnebenbedingungen sind in Gl. 4.18 in Matrizenschreibweise dargestellt. Ag bezeichnet die Koeffizientenmatrix der Ungleichheitsnebenbedingungen. Erweiterte Problembeschreibung Aufgrund der Berücksichtigung der Normalkräfte und Auflagerreaktionen im Entwurfsvektor muss der Elementlängenvektor l in der Zielfunktion um Nulleinträge 32 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement erweitert werden. Für insgesamt p Lastfälle ergibt sich somit folgende Darstellung (dim(O)=((m+nf)x1). [ ]T p TT T OOll L1 ~ = 4.19 Mathematische Formulierung Mit Hilfe der oben beschriebenen Gleichungen kann das Problem in der Standardformulierung der linearen Programmierung (LP) beschrieben werden. Zusammenfassend ergibt sich somit: Minimiere die Funktion ρ⋅⋅= xl T G ~ 4.20 Ah x - P = 0 4.21 unter Einhaltung der Nebenbedingungen Ag·x ≤ 0 4.22 und den Restriktionen x x≥ u 4.23 Lösung Da sich das an dieser Stelle beschriebene Problem einer Fachwerkstruktur mit gegebener Geometrie mittels linearer Zielfunktion und Nebenbedingungen darstellen lässt, handelt es sich um ein konvexes Problem. Die Lösung führt daher mit Sicherheit zu einem globalen Minimum. Die Lösung dieses linearen Problems erfolgt mit dem LIPSOL-(Linear-Interior-Point-Solver)-Verfahren (Zhang 1998). Die optimierten Kraftzustände werden in der Matrix Nopt zusammengefasst. Nopt = [N1 opt ... Np opt] 4.24 Zusammenfassung Im Idealfall ist es möglich, Kraftpfade zu entwickeln, die in allen Lastfällen alle Elemente zu 100% ausnutzen (s. Kap. 5.2). Im allgemeinen Fall ist dies jedoch nicht gegeben. Es ist jedoch erkennbar, dass in den untersuchten Beispielen eine Verbesserung der Lastabtragung mit dieser Tendenz auftritt. Dies wird durch die Erhöhung der Werte der durchschnittlichen Spannungsausnutzung deutlich (s. Kap. 5.3). Die Fragestellung, ob eine 100%-ige Ausnutzung aller Elemente in allen Lastfällen möglich ist, führt zu folgender Überlegung: Bei einer 100%-igen Ausnutzung aller Elemente in allen Lastfällen können die Spannungsungleichheitsbedingungen 4.11 - 4.12 in Gleichheitsnebenbedingungen umgewandelt werden. Zugstäbe Zizul i ik A N ,,σ= 4.25 33 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Druckstäbe Dizul i ik A N ,,σ= 4.26 Die Einhaltung aller Nebenbedingungen ist aber nur dann möglich, wenn die Anzahl der Entwurfsvariablen mindestens so groß ist wie die Anzahl der Gleichheitsneben- bedingungen. Die Anzahl der Variablen (s. Gl. 4.3) beträgt: { { LastfälleaktionenAuflagerrefteElementkrä f rschnitteElementque pnmmVariablen ⋅++= + ∑ 43421 )( 4.27 Die Anzahl der Gleichungen (Gleichgewichts- und Spannungsnebenbedingungen, Gl. 4.21 und 4.22) beträgt: { 321 ungenebenbedingSpannungsningungenchtnebenbdGleichgewi pmpnnGleichunge ⋅+⋅=∑ 4.28 Die Summe der Variablen und die Summe der Gleichungen ist abhängig von der Anzahl der Elemente m, der Anzahl der Freiheitsgrade n, der Anzahl der Auflagerreaktionen nf sowie der Anzahl der Lastfälle p. Die Forderung, dass die Anzahl der Variablen mindesten so groß sein soll wie die Anzahl der Gleichungen, ergibt mit Umformung der Gl. 4.27 und 4.28 folgenden Zusammenhang: 0)( ≥−⋅− fnnpm 4.29 Bei adaptiven Systemen, bei denen Gl. 4.29 erfüllt wird, können alle Elemente in allen Lastfällen zu 100% ausgenutzt werden können (s. Beispiele in Kap. 5.2.4 bzw. 5.3.2). Die Bestimmung der hierfür erforderlichen Aktuatoren wird in Kap. 4.3 beschrieben. 4.2.2 Formoptimierung Konzept Die in Kapitel 4.2.1 beschriebenen Untersuchungen beziehen sich auf die Querschnittsoptimierung von adaptiven Tragwerken mit vorgegebener Geometrie. Die Berücksichtigung der Formoptimierung von adaptiven Strukturen führt zu folgenden Überlegungen: Zum einen ist es möglich, optimale Kraftpfade analog zu dem Vorgehen aus Kap. 4.2.1 mit Berücksichtigung einer variablen Geometrie zu entwickeln. Verformungskriterien werden zuerst nicht berücksichtigt und erst im eigentlichen Adaptionsprozess eingebracht, d.h. diese haben auch keinen Einfluss auf die optimale Geometrie. Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass das Gewicht des Systems minimiert werden kann, allerdings auf Kosten der notwendigen Längenänderungen der Aktuatoren und auch der einzubringenden Energie. Ein Verfahren mit diesem Ansatz wird in diesem Kapitel beschrieben. Alternativ kann die Aktuation in der Optimierungsprozedur berücksichtigt werden. Damit hat die einzusetzende Energie Einfluss auf die optimale 34 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Geometrie sowie Steifigkeitsverteilung, dieser Ansatz – form follows energy – wird in Kapitel 4.5 näher erläutert. Q2 Q1 Q6 N1 P10 N9 N8 N7N6 N5 N4 N3 N2 N11 N10 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 Freiheitsgrade Ψ10 Ψ8= Ψ12 Abb. 4.4: Entwicklung von optimalen Kraftpfaden bei Berücksichtigung der Formoptimierung Die gleichzeitige Optimierung der Querschnittsflächen sowie der Geometrie der Struktur erfolgt mit Hilfe einer geschachtelten Optimierungsprozedur. Dies ist vergleichbar mit der Vorgehensweise bei passiven Systemen, bei denen die Formoptimierung beispielsweise mit einem fully-stressed-design (FSD) kombiniert werden kann. Anstelle des FSD wird für adaptive Systeme die Kraftpfadoptimierung (KPO) verwendet. Hierzu werden die Entwurfsräume für die Geometrie- und die Querschnittsoptimierung getrennt. Zuerst wird, ausgehend von der Ausgangsgeometrie, die Geometrie in der übergeordneten Ebene 1 optimiert - dies stellt ein Problem der nichtlinearen Programmierung dar. Unterhalb dieser Ebene wird für jede Variation der Tragwerksgeometrie eine Querschnittsoptimierung mit Hilfe der KPO durchgeführt. Diese zwei Stufen werden solange durchlaufen, bis ein vorgegebenes Konvergenzkriterium erfüllt wird. Alternativ können diese beiden Probleme in einem Verfahren gekoppelt werden - dies wird in Kap. 4.5.3 näher erläutert. Zielfunktion und Nebenbedingungen Es liegen prinzipiell die gleiche Zielfunktion und die gleichen Nebenbedingungen wie in Kap. 4.2.1 vor. Durch die Abhängigkeit der Elementlängen von den variablen Knotenkoordinaten ergibt sich jedoch eine nichtlineare Problemformulierung. Der Elementlängenvektor l wird daher bei jeder Geometrieänderung aktualisiert. ρρρ ⋅⋅++⋅⋅=⋅⋅= ∑ = )()(...)()()()(min 11 1 xxxxxx mmi m i i AlAlAlG 4.30 35 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Entwurfsvariablen und Restriktionen Der Entwurfsvektor x1 beinhaltet die variablen Knotenkoordinaten Ψ des Tragwerks, der Entwurfsvektor x2 entspricht x aus Kapitel 4.2.1. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ Ψ Ψ == n i M 1 1 Ψx 4.31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = q ~ 1 ~ 2 N N A x M 4.32 Restriktionen für den Entwurfsvektor x1 (Knotenkoordinaten) ergeben sich durch den gegebenen Entwurfsraum des Systems. Einschränkungen können sich z. B. durch vorgegebene Lichtraumprofile ergeben. Die Vektoren Ψ1,u und Ψ1,o beschreiben die unteren und oberen Grenzen des Entwurfsraumes für die einzelnen x- und y- Koordinaten. Nebenbedingungen Weiterhin müssen in jedem Iterationsschritt bei jeder Geometrieveränderung die Gleichheitsnebenbedingungen (Knotengleichgewicht) aktualisiert werden, da diese von den Richtungskosinus der Elemente abhängen. )( neu neu xbb = 4.33 Die Ungleichheitsnebenbedingungen zur Begrenzung der auftretenden Elementspannungen müssen nur bei der Berücksichtigung des Einzelstabknickens modifiziert werden, ansonsten bleiben diese konstant. Lösung Die Lösung des beschränkten nichtlinearen Formoptimierungsproblems erfolgt mit Hilfe der sequentiellen-quadratischen Programmierung (SQP). Hierbei wird in jeder Iteration ein Subproblem der quadratischen Programmierung (QP) gelöst. Die Abschätzung der Hesse-Matrix wird in jeder Iteration mit Hilfe der BFGS - Methode aktualisiert (Venkataraman 2002). Für das lineare Problem der Kraftpfadoptimierung wird wiederum das LIPSOL-Verfahren verwendet (Wang et al. 1998). Die Lösung des Gesamtproblems wird von 2 Lösungsvektoren beschrieben: x1 beinhaltet die optimale Geometrie, x2 beschreibt die Querschnittsverteilung sowie die optimalen Kraftpfade. 36 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 37 Zusammenfassung Das geschachtelte Verfahren zur Formoptimierung verläuft aufgrund der Trennung der Entwurfsräume sehr stabil. Allerdings ist zu beachten, dass die optimale Geometrie nur das Ergebnis aus den optimalen Kraftzuständen ist und eventuelle Verformungsrestriktionen keinen Einfluss auf die gefundene Geometrie haben. Dies kann unter Umständen zu großen Längenänderungen der Aktuatoren führen. Allerdings führt eine Begrenzung der Aktuation bzw. der zu verrichtenden Arbeit zu einem Gewichtsanstieg der Struktur. Darauf wird in Kap. 4.5 näher eingegangen. Der Vorteil des an dieser Stelle verwendeten Verfahrens liegt darin, dass es zum globalen Gewichtsminimum des oben definierten Problems führt. In Abb. 4.5 ist die kombinierte Form- und Querschnittsoptimierung schematisch dargestellt. Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Ebene 1 - Formoptimierung Modifikation der Geometrie – Nichtlineare Programmierung Entwurfsvektor x1 Ebene 2 - Querschnittsoptimierung Ermittlung der optimalen Normalkraftzustände – KPO Entwurfsvektor x2 Zielfunktion G Berücksichtigung von Nebenbedingungen Knotengleichgewicht Ah,neux2-P=0 Einhaltung der Spannungen Agx2<=0 Berechnung der neuen Transformationsmatrix bneu Ermittlung der Gleichheitsnebenbedingungen Ah Elementlängenvektor lneu Zielfunktion Ebene 1: G=l1(x)A1(x) ρ+...+lm(x)Am(x) ρ Zielfunktion Ebene 2: G=lTAρ Einhaltung der Konvergenz Einhaltung der Konvergenz Abb. 4.5: Ablauf der kombinierten Form- und Kraftpfadoptimierung 4.2.3 Ermittlung der Differenzkräfte und -verschiebungen Im Anschluss an die Kraftpfadoptimierung (mit oder ohne Formoptimierung) wird eine statische Berechnung des Systems mit der neu ermittelten Geometrie und Steifigkeitsverteilung durchgeführt. Die sich dabei im System ergebenden Normalkräfte Npa weichen aufgrund der bisher nicht berücksichtigten Verträglichkeit zwischen Stabend- und Knotenverschiebungen von den gewünschten optimierten Normalkräften Nopt ab. Die auftretenden Differenzkräfte und -verschiebungen werden ermittelt und bilden eine Grundlage für die Auswahl der erforderlichen Aktuatoren des Systems (s. Kap. 4.3). 38 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 39 ∆N = Nopt – Npa 4.34 Nopt beinhaltet die Werte aus der Kraftpfadoptimierung, d.h. der optimalen Normalkraftverteilung, Npa beschreibt das Ergebnis der Berechnung am passiv-adaptiven System, d. h. mit der in der KPO ermittelten Steifigkeitsverteilung, aber ohne Adaptionsvorgang. Die Ermittlung der Knotendifferenzverschiebung ∆u erfolgt analog. ∆u = ur – upa 4.35 Hierbei wird die angestrebte Verschiebung mit ur, d.h. mit dem geregelten Zustand bezeichnet. Die Knotenverschiebungen am passiv-adaptiven System werden von upa beschrieben. Die Ermittlung der auftretenden Differenzkräfte ist weiterhin Grundlage der Simulation eines Regelungsausfalles. Dieser Aspekt wird im Folgenden näher diskutiert. 4.2.4 Fail-safe - Konzept Im Rahmen dieser Arbeit wird ein fail-safe - Konzept für die Optimierung adaptiver Strukturen verfolgt. Fail-safe bedeutet, dass eine Struktur nicht durch den Ausfall eines einzelnen Elements versagen darf und alternative Lastabtragungsmechanismen zur Verfügung stehen (Haug und Arora 1979). Im Falle von adaptiven Strukturen betrifft dies neben den einzelnen tragenden Elementen auch die Regelung. Dies bedeutet, dass auch bei einem Ausfall der Regelung die Standsicherheit gewährleistet werden muss. Hierfür können jedoch ein reduzierter Sicherheitsfaktor bzw. reduzierte Lastannahmen akzeptiert werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird dies durch einen reduzierten globalen Sicherheitsfaktor berücksichtigt. Bei statisch unbestimmten System kann der Ausfall einzelner Elemente eventuell akzeptabel sein, ohne die Gesamttragfähigkeit zu verlieren. Im Rahmen dieser Arbeit soll jedoch auch der Ausfall einzelner Elemente beim Ausfall der Regelung verhindert werden. Weitergehende Betrachtungen hierzu können mit Hilfe von Untersuchungen der Redundanzanteile durchgeführt werden (Ströbel 1997). Um den Ausfall der Regelung beim Entwurf und der Optimierung zu berücksichtigen, wird die Einhaltung von Spannungsrestriktionen (mit reduziertem Sicherheitsfaktor) am passiv-adaptiven System als Nebenbedingung eingeführt. Der reduzierte globale Sicherheitsfaktor wird als Optimierungsparameter vorgegeben. Bei der Ermittlung der optimalen Kraftzustände werden zusätzliche Randbedingungen eingeführt, die die Einhaltung der Spannungen im Falle des Ausfalls der Regelung garantieren. Weiterhin sind auch Verformungsvorgaben für den Regelungsausfall möglich. Die mathematische Formulierung der Optimierungsaufgabe (Gl. 4.20 – 4.23) wird durch eine weitere nichtlineare Nebenbedingungen ergänzt: Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 0≤− fs zulik σσ 4.36 mit fszul fs zul γ γσσ ⋅= 4.37 γfs bezeichnet den reduzierten Sicherheitsfaktor bei Regelungsausfall. Prinzipiell ist zu beobachten (s. Kap. 5.2.3), dass oberhalb eines bestimmten Grenzverhältnisses γ/γfs der Zustand „Regelungsausfall“ keinen Einfluss auf das minimale Gewicht hat; dieser Wert ist jedoch systemabhängig. Die mögliche Gewichtseinsparung fällt mit einem steigenden Sicherheitsfaktor γfs ab. Bei einem Verhältnis der Sicherheitsfaktoren von γ/γfs = 1.0 ist keine Gewichtseinsparung möglich, da keine Adaption erfolgt und die Kräfte nicht umgelagert werden können. Durch die reduzierte Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls der Regelung bei gleichzeitiger Maximalbeanspruchung kann ein reduzierter Sicherheitsfaktor akzeptiert werden. Weiterhin ist durch die ständige Systemüberwachung der jeweils aktuelle Zustand des Tragwerks bekannt und eventuelle Bauwerkschädigungen können rechtzeitig erkannt werden. 4.3 Auswahl der Aktuatoren und Sensoren 4.3.1 Problematik Bei der Wahl der Anzahl und der Positionierung der Aktuatoren und Sensoren handelt es sich um ein diskretes kombinatorisches Optimierungsproblem. Die Zahl der möglichen Lösungen steigt mit der Anzahl der Elemente und Aktuatoren bzw. Sensoren drastisch an. Die Anzahl κ kann bei einem System mit m Elementen und a Aktuatoren folgendermaßen ermittelt werden. !)!( ! aam m ⋅− =κ 4.38 Hiermit ergeben sich bei einem System mit 2 Aktuatoren und 10 Elementen 45 Kombinationsmöglichkeiten, die noch problemlos durch eine totale Enumeration überprüft werden können. Bei einem, aus baupraktischer Sicht, kleinen System mit 13 Aktuatoren und 49 Elementen (s. Kap. 5.3) steigt die Zahl auf 2.63·1011 Möglichkeiten an. Die Anzahl a der notwendigen Aktuatoren ergibt sich aus dem Grad der statischen Unbestimmtheit bzw. der Redundanz r des Systems, d. h. a=r. Dies kann mittels einer Betrachtung des Kraftgrößenverfahrens erklärt werden: in einem r-fach statisch unbestimmten System können r verschiedene linear unabhängige Kraftzustände erzeugt werden. Für jeden weiteren zu kontrollierenden Verformungsfreiheitsgrad wird ein weiterer Aktuator benötigt, um die exakte Lösung zu erhalten. Näherungslösungen sind mit weniger Aktuatorelementen möglich. 40 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Um eine optimale Positionierung der Aktuatoren zu erreichen, werden die Sensitivitäten der Normalkräfte sowie der Knotenverschiebungen bezüglich einer Einheitsverlängerung aller Elemente bestimmt. Hierzu wird das Prinzip der virtuellen Kräfte angewandt. Durch die Einführung eines Effizienzindikators, der die Kraft- wie auch die Verformungsbedingungen berücksichtigt, kann eine Rangliste der Elemente erstellt werden, die den gewünschten Kraft- und Verformungszustand einstellen können. Bei der Betrachtung der Sensitivitätsmatrix zeigt sich, dass ihr Rang dem Grad der statischen Unbestimmtheit des Systems entspricht, d.h. in einem r-fach statisch unbestimmten System liegt die Mannigfaltigkeit der möglichen Kraftzustände bei r. Mathematisch bedeutet dies, dass der Rang der Matrix der Normalkraftsensitivitäten der ausgewählten Elemente gleich dem Rang der Gesamtsensitivitätsmatrix sein muss, damit die gewünschte Normalkraftänderung als Linearkombination der adaptiven Elemente darstellbar ist. 4.3.2 Effizienzindikator Um die Zahl der zu untersuchenden Aktuatorkombinationen zu reduzieren, wird mit Hilfe einer Sensitivitätsanalyse die Effizienz der einzelnen Elemente bestimmt. Mit ihr kann der Anteil der Wirkung des Aktuators an der für die Adaption erforderlichen Differenzkräfte bzw. –verschiebungen bestimmt werden. Mittels des Effizienzindikators kann eine Vorauswahl getroffen werden, welche Elemente sinnvollerweise zu verwenden sind. Zuerst werden die Sensitivitäten ermittelt, die den Zusammenhang zwischen Längenveränderungen der einzelnen Elemente und den gewünschten Regelgrößen, d.h. Kräften und Verschiebungen, beschreiben. Die Sensitivitäten der Stablängenänderungen hinsichtlich den Normalkräften und den Knotenverschiebungen im System sind in Gl. 4.39 und 4.40 dargestellt. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = m m i i N l N l N l N M M KL 1 1 ~ S 4.39 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = m n i j u l u l u l u M M KL 1 1 ~ S 4.40 41 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement N ii 21 ~ S beschreibt den Einfluss einer Längenänderung von Element i2 (i2-te Spalte) auf die Normalkraft von Element i1 (i1-te Zeile). beschreibt den Einfluss einer Längenänderung von Element i (i-te Spalte) auf die Verformungsgröße j (j-te Zeile). u ji ~ S Mit der Betrachtung der Effizienz der einzelnen Elemente wird untersucht, inwieweit die gewünschten Kraft- oder Verformungszustandsänderungen durch eine Aktuation erreicht werden können. Unter der Annahme, dass alle Elemente adaptiv sind, wird die für die gewünschte Anpassung notwendige Aktuation ermittelt. Diese kann mit Hilfe der Lösung eines linearen Gleichungssystems (Bedingungsgleichungen für die Normalkräfte) mit m Unbekannten (Anzahl der Elemente) und m Gleichungen bestimmt werden. Der Rang der Koeffizientenmatrix ist aber r < m, d.h. es existieren unendlich viele Lösungen. Zur Einschränkung des Problems wird es als Optimierungsaufgabe formuliert. Ziel ist es, die vorgegebene Verformungsfigur unter Beachtung der optimierten Kraftzustände möglichst gut zu approximieren. Hierfür wird eine Minimierung der Fehlerquadrate durchgeführt. 2 ~~ min a au ulS −∆ 4.41 mit Berücksichtigung der Nebenbedingung (s. Gl 4.29) NlS ∆=∆ aN ~~ 4.42 Die Lösung von Gl. 4.41 unter Berücksichtigung von Gl. 4.42 ergibt die Lösung a~ l∆ . Liegen keine Verformungsrestriktionen für das geregelte System vor, so wird ua = 0 gewählt, d.h. es sollen möglichst keine Knotenverschiebungen infolge der Adaption auftreten und somit keine äußere Arbeit verrichtet werden. Basierend auf dieser Lösung wird in einem weiteren Schritt untersucht, welchen Anteil jedes Element zu der erforderlichen Gesamtänderung beiträgt. Der Term im Zähler des Bruches in Gl. 4.43 beschreibt die Änderung der Normalkräfte infolge der Aktuation des Elements i, der Nenner bezeichnet die gewünschte Normalkraftänderung. Die Matrix e a i ~ l∆ i erhält dadurch Werte, die für jedes Element i den Anteil an der Zustandsänderung aller Elemente und aller Lastfälle beschreiben. N lS e ∆ ∆⋅ = a i N i ~~ 4.43 42 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Die Summe für alle Elemente und Lastfälle ist ein Indikator dafür, wie hoch der Anteil jedes Elements am Adaptionsvorgang ist. ∑∑ = = = p k m i iie 1 1 e 4.44 Die Summe aller Anteile ergibt 100%. Bei der Berücksichtigung von Verformungsrestriktionen gehen diese in die Gleichheitsnebenbedingungen (Gl. 4.42) ein. 4.3.3 Regel- bzw. Steuerbarkeit Unter Regel- bzw. Steuerbarkeit versteht man die prinzipielle Möglichkeit, durch die Regelung bzw. Steuerung und die vorhandenen Aktuatoren die gewünschten Zielgrößen (Verformungen oder Kraftzustände) zu beeinflussen. Sie beinhaltet keinerlei Aussagen über die dafür notwendigen quantitativen Größen der Aktuationen. Die Regelbarkeit mit den gewählten Aktuatoren wird über eine Überprüfung der linearen Unabhängigkeit gewährleistet. Hierzu werden nacheinander die Spalteneinträge der einzelnen Elemente (Reihenfolge entsprechend ihrer Effizienz) in eine Matrix addiert. Entspricht der Rang dieser Matrix dem Rang der Gesamtmatrix der Sensitivitäten, dann ist das System mit den gewählten Elementen regelbar. Andernfalls werden die Werte eines weiteren Elements zu der Matrix ergänzt. Für den Fall, dass der Rang sich nicht vergrößert, d.h. eine lineare Abhängigkeit besteht, wird das entsprechende Element nicht ausgewählt, sondern das nachfolgende Element aus der Rangliste verwendet. Rang[SN i+1] = Rang[SN i]+1 4.45 Dieser iterative Vorgang wird so lange wiederholt, bis der Rang der Matrix der Anzahl der zu verwendenden Elemente entspricht. Zuletzt ergibt sich somit folgender Zusammenhang, d.h. ∆N ist als Linearkombination von SN darstellbar. Rang[SN] = Rang[SN ∆N] 4.46 4.3.4 Beobachtbarkeit Die Beobachtbarkeit behandelt die Frage, inwieweit äußere Erregungen durch eine vorgegebene Anzahl und Positionierung von Sensoren erkannt und eindeutig beschrieben werden können. Im Vergleich zu den Aktuatoren liegen die Kosten von Sensoren deutlich niedriger, während der technische Reifegrad in der Regel höher liegt. Daher erscheint es nicht sinnvoll, das Optimierungspotenzial der Adaptivität durch die Anzahl der Sensoren einzuschränken. Bei der Positionierung der Sensoren ist zu unterscheiden, ob die angreifenden Belastungen, wie z. B. die sich bewegenden Fahrzeuge auf Brücken, gemessen werden oder ob direkt die Beanspruchungszustände im Tragwerk überwacht werden. Werden die Beanspruchungen des Systems beobachtet, dann handelt es sich um ein geregeltes System. 43 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement 4.4 Adaption 4.4.1 Vorüberlegungen Wie in Kapitel 4.2 erwähnt, werden bei der Kraftpfadoptimierung die geometrischen Kompatibilitätsbedingungen nicht berücksichtigt. Im Rahmen des Adaptionsprozesses muss die geometrische Kompatibilität wieder hergestellt werden, um die optimalen Kraftpfade in einem realen Tragwerk, d.h. mit Berücksichtigung der Steifigkeiten, zu ermöglichen. Diese Anpassung kann entweder über steifigkeits- oder längenvariable Elemente erfolgen. In diesem Schritt werden auch Verformungsrandbedingungen definiert und die entsprechenden Verschiebungen der Freiheitsgrade angepasst. In dieser Arbeit soll nicht strikt zwischen aktiven und semi-aktiven Systemen getrennt werden - es soll das jeweils angemessene verwendet werden, d.h. eine Kombination von aktiven als auch von semi-aktiven Elementen ist einzusetzen, um die Vorteile beider Konzepte zu nutzen. Hierzu wird eine entsprechende Vorgehensweise vorgestellt. Für den Adaptionsvorgang sind zwei verschiedene Fälle zu unterscheiden. Zum einen die Verformungsregelung bei statisch bestimmten Tragwerken, bei denen keine Verletzung der Kompatibilität auftritt und daher keine Anpassung der Kraftzustände möglich bzw. nötig ist. Zum anderen werden statisch unbestimmte Systeme untersucht, bei denen eine Anpassung zur Erreichung der optimalen Kraftzustände nötig ist. Weiterhin können hier Verformungsrandbedingungen berücksichtigt werden. Basierend auf den Untersuchungen zur Auswahl der Aktuatoren werden die Sensitivitätsmatrizen und zu S N~ S u~ S N und Su reduziert – durch die Auswahl der entsprechenden Spalten aus den Sensitivitätsmatrizen werden nur noch die ausgewählten Elemente berücksichtigt. N N SS → ~ 4.47 u u SS → ~ 4.48 4.4.2 Statisch bestimmte Systeme Einen Sonderfall stellt die Adaption bei statisch bestimmten Systemen dar, da keine Kompatibilitätsverletzung auftritt und jegliche Längen- bzw. Steifigkeitsänderungen der Elemente keine Änderung der Kraftzustände hervorrufen. Die Aktuatoren werden nur für die Verformungsadaption benötigt. Die Kraftpfadoptimierung entspricht bei statisch bestimmten Systemen einer herkömmlichen Querschnittsoptimierung. Die passiv- adaptiven Verschiebungen upa sind aus der statischen Berechnung des passiv-adaptiven Systems für alle Lastfälle bekannt (Kap. 4.2.3). Die angestrebten Verschiebungen der einzelnen Freiheitsgrade werden vorgegeben und für alle Lastfälle durch die Matrix ur beschrieben. Die Differenz muss durch die Aktuatoren ausgeglichen werden. 44 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement auapar lSuuuu ∆⋅==−=∆ 4.49 Die erforderlichen Längenänderungen der Aktuatoren können dann mit Gl. 4.50 ermittelt werden. uSl ∆⋅=∆ −1ua 4.50 Für mehrere Lastfälle gilt: ][ 1 puuu ∆∆=∆ L 4.51 ][ 1 p aaa lll ∆∆=∆ L 4.52 Entspricht die Anzahl a der Aktuatoren der Anzahl nr der zu regelnden Freiheitsgrade kann eine exakte Lösung gefunden werden. Für den Fall, dass weniger Aktuatoren verwendet werden, kann eine Näherungslösung mittels der Minimierung der Fehlerquadrate gefunden werden. Die Matrix Su ist in diesem Fall nicht quadratisch und damit nicht invertierbar. Die Näherungslösung erfolgt daher mit der Moore-Penrose- Pseudoinversen Su+ (MathWorks 2002b). uSl ∆⋅=∆ +ua 4.53 4.4.3 Statisch unbestimmte Systeme Bei statisch unbestimmten Systemen ist zu unterscheiden, ob nur eine Anpassung an die in Kap. 4.2 entwickelten optimalen Kraftpfade erfolgen soll, oder ob zusätzliche Verformungsrandbedingungen zu berücksichtigen sind. Die reine Kraftanpassung verläuft vergleichbar zur Verformungsregelung statisch bestimmter Systeme. aNapaopt lSNNNN ∆⋅==−=∆ 4.54 SN beschreibt die Sensitivitäten der einzelnen Normalkräfte der einzelnen Elemente hinsichtlich einer Längenänderung der Aktuatoren. Die erforderliche Aktuation kann direkt bestimmt werden. Die Anzahl a der variablen Elemente muss der Redundanz r des Systems entsprechen, um eine exakte Lösung zu finden. Auch hier kann eine Näherungslösung ermittelt werden, falls die Anzahl der Aktuatoren geringer ist. NSl ∆⋅=∆ +Na 4.55 Im Falle von Verformungsrestriktionen sind weitere Aktuatoren erforderlich. Zur Ermittlung der notwendigen Aktuation wird die Sensitivitätsmatrix Su verwendet, die die Einflüsse von Längenänderungen einzelner Elemente auf die Knotenverschiebungen beinhaltet. Die Matrizen ∆u und ∆N beschreiben die notwendigen Korrekturen hinsichtlich der Knotenverschiebungen und der Normalkraftverteilung im Rahmen des Adaptionsvorganges. 45 Entwerfen adaptiver Strukturen 4 Lastpfadmanagement Die erforderlichen adaptiven Längenänderungen ∆la können mit Hilfe einer Fehlerquadratminimierung bestimmt werden. 2 2 1 min ulS ∆−∆⋅ au 4.56 Hierbei wird vorausgesetzt, dass der optimale Kraftzustand exakt erreicht werden soll – dieser geht daher als Gleichheitsnebenbedingung in die Lösungsprozedur ein. 0NNlS =−+∆⋅ optpaN 4.57 Die notwendigen Adaptionskräfte Na werden durch folgenden Zusammenhang beschrieben: aNa lSN ∆⋅= 4.58 Nur für den Fall, dass die Summe aus der Anzahl der zu regelnden Freiheitsgrade und der Redundanz des Systems mit der Anzahl der Aktuatorelemente übereinstimmt, ist eine exakte Lösung möglich, d.h. 0ulS =∆−∆⋅ 2 2 1 au . Ist die Anzahl der adaptiven Elemente geringer, wird eine Näherungslösung ermittelt. Die eigentliche Anpassung im physikalischen Sinn kann auf zweierlei Arten erfolgen: zum einen können längenveränderliche Elemente (z. B. Linearaktuatoren) eingesetzt werden, zum anderen kann untersucht werden, ob die Adaption über eine Steifigkeitsvariation des Materials erfolgen kann. Bei den Aktuatoren setzt sich die Gesamtverlängerung bzw. –verkürzung (d. h. der geregelte Zustand) aus dem passiv-adaptiven und dem adaptiven Anteil zusammen. Bei Systemen mit längenveränderlichen Elementen werden die erforderlichen Veränderungen direkt über translatorische Aktuatoren aufgebracht, d.h. es ist möglich Zugelemente zu kürzen bzw. Druckel