Entwicklung eines tachymeter-basierten Zielsystems Von der Fakultät Luft- und Raumfahrttechnik und Geodäsie der Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung Vorgelegt von M.Sc. Aiham Hassan aus Latakia, Syrien Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Volker Schwieger Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Andreas Eichhorn Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Ingo Neumann Tag der mündlichen Prüfung: 10.02.2023 Institut für Ingenieurgeodäsie der Universität Stuttgart 2023 Inhaltsverzeichnis III Inhaltsverzeichnis Tabellen VII Abbildungen IX Zusammenfassung XIII Abstract XV 1 Einführung 1 1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Struktur der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Grundlagen und Stand der Technik 5 2.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Geodätische Schätzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Beobachtungsmodelle in der Ausgleichungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Gauß-Helmert-Modell (GHM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.3 Gauß-Markov-Modell (GMM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.4 Transformation des GHMs in ein GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Allgemeine Einführung in die Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Varianzfortpflanzungsgesetz (VFG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.3 Lokale Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 6DOF-Zielsysteme und Bestimmungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Die 6DOF eines Objektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 Anwendungen der 6DOF-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.3 6DOF-Zielsysteme für polare Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.4 Verfahren und Sensoren zur Bestimmung der Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . 30 2.5 Tachymetrische Punktaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.1 Das elektronische Tachymeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.2 Reflektoren und Punktsignalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.3 Tachymetrische Aufnahme von verdeckten, unzugänglichen oder schwer zugänglichen Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.4 Anwendungen und Genauigkeitsanforderungen der tachymetrischen Messung . . 53 3 Realisierung und Vorbetrachtung 55 3.1 Anforderungen und Konzeptentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.1 Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.2 Bestehende Konzepte und notwendige Verbesserungen . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.3 Messkonzept des TZS und Vorteile gegenüber bestehenden Messverfahren . . . 57 3.2 Systemkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Tachymeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Prototyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.3 Steuerungssoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 IV Inhaltsverzeichnis 3.3 Deterministisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.1 Notwendige Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.3 Kalibrierparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.4 Herleitung des allgemeinen deterministischen Modells . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.5 Rotationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.6 Bestimmung der Rotationswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 Kalibrieransatz und Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.1 Allgemeine Einführung und Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.2 Kalibrieransatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4.3 Deterministisches Modell für die Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5 Stochastisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5.1 Stochastisches Modell für die Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.2 Stochastisches Modell für die Schätzung des Rotationswinkels . . . . . . . . . . 83 3.5.3 Genauigkeit der Objektpunktkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6 Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6.1 Messbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6.2 Abschätzung der Orientierungsgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 Mess- und Evaluierungsansatz 91 4.1 Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 Kalibriermessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 Auswertung der Kalibriermessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.3 Evaluierung und Qualitätsmerkmale der Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Empirische Evaluierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.1 Bereitstellung der Referenz- beziehungsweise Vergleichswerte . . . . . . . . . . 100 4.2.2 Konzipierung und Durchführung der Testmessungen . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.3 Auswertung und Genauigkeitsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 Erweiterung des Ansatzes der lokalen Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.1 Gruppenbildung der Eingangsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.2 Anwendungsorientierte Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.3 Verallgemeinerung über die Messbereiche ausgewählter Beobachtungen . . . . . 112 4.3.4 Varianzanteile der korrelierten Eingangsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.5 Abtastung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Eingangsgrößen . . . . . . 114 5 Ergebnisse und Diskussion 115 5.1 Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1.1 Ergebnisse der Auswertung mittels GHMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1.2 Vergleich der Lösungen mittels GHMs mit den Lösungen mittels GMMs . . . . 119 5.1.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Empirische Evaluierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2.1 Maximale Reichweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2.2 Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2.3 Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.4 Zusammenfassende Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3 Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.3.1 Varianzanteile der Beobachtungen und der gesamten Kalibrierung . . . . . . . . 131 5.3.2 Varianzanteile der einzelnen Kalibrierparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3.3 Normierte Sensitivitätsmaße zweiter Ordnung der Beobachtungen . . . . . . . . 137 5.3.4 Verifizierung der Ergebnisse der Varianzanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3.5 Zusammenfassende Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Inhaltsverzeichnis V 6 Fazit und Ausblick 147 6.1 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Literatur XVII Abkürzungsverzeichnis XXIII Anhang A Kalibrierung XXV A.1 Vorgehensweise zur Auswertung der Kalibriermessung mittels GMM . . . . . . . . . . XXV A.2 Differenzen zwischen den GHM- und den GMM-Kalibrierlösungen . . . . . . . . . . . XXVII B Empirische Evaluierung XXIX B.1 Verteilung der empirisch ermittelten Abweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIX B.2 Vergleich der empirisch ermittelten Abweichungen mit den Standardabweichungen . . . XXX C Sensitivitätsanalyse XXXIII C.1 Abtastung der Wahrscheinlichkeitsdichtfunktionen der Eingangsgrößen . . . . . . . . . XXXIII C.2 Modelloptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXVI Lebenslauf XXXVII Tabellen VII Tabellen 2.1 Genauigkeit und Reichweite der I-Probe 360 und der vProbe . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Genauigkeit und Reichweite der T-Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Spezifikationen für ausgewählte Lasertrackers von API, Leica und FARO . . . . . . . . 33 2.4 Einteilung der Tachymeter nach der Strecken- (σs) und Richtungsmessgenauigkeit (σr) . 42 2.5 Reichweite und Messgenauigkeit für die Tachymeter Leica Nova MS60, Trimble SX10 und Spectra Precision FOCUS 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Genauigkeitsklassen der Ingenieurvermessung bei Lage- und Höhenmessungen . . . . . 54 3.1 Anforderung an das TZS in der ersten Entwicklungsstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Bewertung der Eignung bestehender Messkonzepte für das TZS . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Die Beobachtungen der verschiedenen Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Eingesetzte Kalibrierparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 Standardabweichungen der Beobachtungen für das stochastische Modell . . . . . . . . . 82 3.6 Kenngrößen der Simulation für die Abschätzung der Orientierungsgenauigkeit . . . . . . 85 4.1 Verteilungen der Kalibriermessungen für die weiteren Beobachtungen . . . . . . . . . . 94 4.2 Anzahl der Beobachtungen, Unbekannte und Gleichungen, sowie der Freiheitsgrad bei der ersten Kalibrierauswertevariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3 Näherungswerte, Linearisierungszuschläge und Iterationsschwellwerte für die Kalibrierparame- ter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4 Anzahl der Beobachtungen, Unbekannten und Gleichungen, sowie der Freiheitsgrad bei der zweiten Kalibrierauswertevariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Verteilungen der Messwerte der weiteren Beobachtungen bei Testszenario 1 . . . . . . . 104 4.6 Angaben zu den Messungen für die Genauigkeitsuntersuchung bei Testszenario 3 . . . . 104 4.7 Beträge der Beschleunigungen accy′′ , accz′′ und der Beschleunigung accx′′ bei Testszenario 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.8 Exzentrische Strecke sowie Abstand zu Tachymeter bei Testszenario 6 . . . . . . . . . . 107 5.1 Wichtige Kenngrößen der beiden Kalibrierauswertevarianten bei einer Auswertung mittels GHMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Globaltest für die Kalibrierauswertevarianten bei einer Auswertung mittels GHMs . . . . 116 5.3 Die mittels GHMs geschätzten Kalibrierparameter und deren Standardabweichungen . . 116 5.4 Liste der stark korrelierten Kalibrierparameterpaare für beide Auswertevarianten . . . . 118 5.5 Differenzen des Varianzfaktors sowie der mittleren Punktabweichung zwischen den Lösungen mittels GHMs und mittels GMMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.6 Punktabweichungen bei den Testszenarien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.7 Empirische Standardabweichungen der Punktkoordinaten und der Punktposition bei Testszenario 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.8 Präzision bei Testszenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.9 Ergebnisse der Schätzung der Punktabweichungsanteile im Nahbereich . . . . . . . . . 124 5.10 Relative Häufigkeiten der empirischen Koordinaten- und Punktabweichungen und Sollwerte der relativen Häufigkeit bei einer Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.11 Empirische Korrelationskoeffizienten zwischen den behandelten Zeitreihen . . . . . . . 128 5.12 Mittlere exzentrische Strecke, Anzahl der notwendigen Iterationen, geschätzter Varianzfaktor und mittlere Punktabweichung der Kalibrierung nach der jeweiligen Optimierungsstufe . 139 5.13 Ergebnisse der Schätzung der Punktabweichungsanteile im Nahbereich vor und nach der Opti- mierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 VIII Tabellen 5.14 Relative Häufigkeiten der empirischen Koordinaten- und Punktabweichungen nach der Optimie- rungsstufe 1 und Sollwerte der relativen Häufigkeit bei einer Normalverteilung . . . . . 143 5.15 Relative Häufigkeiten der empirischen Koordinaten- und Punktabweichungen nach der Optimie- rungsstufe 2 und Sollwerte der relativen Häufigkeit bei einer Normalverteilung . . . . . 144 A.1 Differenzen zwischen der Kalibrierlösung anhand des nicht strengen GHMs und der Kalibrierlö- sung anhand des GMMs für beide Auswertevarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXVII C.1 Schätzwerte und Standardabweichungen der Kalibrierparameter vor und nach der jeweiligen Optimierungsstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXVI Abbildungen IX Abbildungen 2.1 Die 6DOF eines Objektes im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Lochprisma mit CCD-Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 API-Lasertrackerzielsysteme; von links nach rechts: I-Probe, vProbe, IScan II und Active TargetTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Lasertracker mit integrierter T-Cam (Links); 6DOF-Bestimmung der T-Probe (Rechts) . 26 2.5 Leica-Lasertrackerzielsysteme; von links nach rechts: T-Probe, T-Scan, T-Mac und B-Probe 26 2.6 Die 6Probe von FARO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7 Super 6DOF TrackArm. Links: Funktionsprinzip, rechts FARO-Arm mit Prisma . . . . . 28 2.8 Aufbau und Funktionsmuster von A-TOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9 A-TOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.10 Komponenten und Funktionsprinzip des Lasertrackers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.11 Beispiele für kommerzielle Lasertrackers von links nach rechts: API Radian, Leica AT 901-LR und FARO Vantage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.12 Lochkameramodell mit den Parametern der inneren Orientierung . . . . . . . . . . . . . 34 2.13 Äußere und innere Orientierung einer zentralperspektivischen Abbildung . . . . . . . . 35 2.14 Zusammenhang zwischen Neigungswinkel α′′ und Rotationswinkel φ′′ und ω′′ . . . . . 37 2.15 Einteilung der Winkelmesssensoren nach Winkelmessprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.16 Links: Stehachse (V), Kippachse (K) und Zielachse (Z) eines Tachymeters. Rechts: Tachymeter- koordinatensystem und Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.17 Beispiele für moderne Tachymeter von links nach rechts: Leica Nova MS60, Trimble SX10 und Spectra Precision FOCUS 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.18 Funktionsprinzip eines Tripelprismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.19 Schnitt durch ein Tripelprisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.20 Verschiedene Reflektoren. Von links nach rechts: Tripelprisma, 360◦ Prisma, Trimble aktives Prisma und Reflexfolie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.21 Diffuse Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.22 Reflektorlose Messung an Ecken und Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.23 Vermessung von schwer zugänglichen und verdeckten Punkten mit dem Kanalstab . . . 51 2.24 Exzentrische Messung von einem verdeckten Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.25 Das Argus-Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.26 Exzentrische Streckenmessung mit dem Argus-Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1 Messkonzept und Komponenten des TZS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Messkonzept des TZS - Ablaufdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Industriekamera UI-1480SE-M-GL der Firma IDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Lochprisma, montiert auf der Lochkamera. Links: Photo. Rechts: Querschnitt (Skizze unmaß- stäblich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5 Dreiachsige MEMS-Beschleunigungssensor FXLS8471Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6 Aufbau des Prototyps, Schrägansicht (Oben) und Frontansicht (Unten) . . . . . . . . . . 62 3.7 Der Prototyp montiert auf dem Kamerastativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.8 Laserspot des Tachymetermessstrahls auf dem Bildsensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.9 Pixel- und Bildkoordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.10 Kamerakoordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.11 Beschleunigungssensor- und Prototypkoordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.12 Lage und Orientierung des Distometers im Prototypkoordinatensystem . . . . . . . . . . 66 3.13 Verwendete Koordinatensysteme im Tachymeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.14 Zusammenhang zwischen ω und ω′ F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 X Abbildungen 3.15 Messbereich aus einer Prototypposition projiziert auf einer Einheitskugel. Links: Draufsicht. Rechts: 3D Ansicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.16 Orientierungsgenauigkeit des Beschleunigungssensors. Oben für den gesamten Messbereich. Unten: Links für [100 ≥ α′′ > 25] gon, Mitte für [25 ≥ α′′ > 5] gon und rechts für [5 ≥ α′′ ≥ 0] gon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.17 Geschätzte Standardabweichung des Winkels ω in Abhängigkeit von y′ . . . . . . . . . 88 3.18 Geschätzte Standardabweichung des Winkels φ über den Messbereich des Bildsensors . 89 4.1 Verteilung der Objektpunkte bei der Kalibrierung (Vertikalebene) . . . . . . . . . . . . . 92 4.2 Begrenzung der räumlichen Tiefe durch Einfallswinkelbereich des Prismas und Länge der exzentrischen Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3 Messkonfiguration für die Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4 Verteilung der Beschleunigungsmessungen (accy′′ , accz′′) für die Kalibrierung. . . . . . 93 4.5 Verteilung der Kalibriermessungen auf dem Bildsensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.6 Messkonfiguration für Testszenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.7 Kameramessungen bei Testszenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.8 Beschleunigungsmessungen für accy′′ und accz′′ bei Testszenario 1 . . . . . . . . . . . 103 4.9 Messaufbau bei Testszenario 4: Erste Testmessung (links) und zweite Testmessung (rechts) 105 4.10 Messkonfiguration bei Testszenario 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.11 Messkonfiguration bei Testszenario 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1 Korrelationskoeffizienten zwischen den Kalibrierparametern bei der ersten Auswertevariante 117 5.2 Korrelationskoeffizienten zwischen den Kalibrierparametern bei der zweiten Auswertevarian- te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Punktabweichungen beim Testszenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4 Punktabweichungen beim Testszenario 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5 Punktabweichung in Abhängigkeit der Kameramessungen beim Testszenario 5 . . . . . 123 5.6 Punktabweichungen (∆P i) im Nahbereich, geschätzte Kurve dieser Abweichungen (∆PSe), sowie Positionsstandardabweichung bei klassischer Vermessung mit einem Reflektor (σR P ) unter identischen exzentrischen Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.7 Zeitreihen und Trends der reduzierten Objektpunktkoordinaten bei Testszenario 7 . . . . 127 5.8 Zeitreihen und Trends der reduzierten Objektpunktkoordinaten, nach dem Abzug der Zeitreihen der reduzierten Prismenkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.9 Zeitreihe und Trend der reduzierten Zob, nach der Addition der Zeitreihe der reduzierten exzen- trischen Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.10 Mittlere Varianzanteile der Beobachtungen und der gesamten Kalibrierung . . . . . . . . 132 5.11 Mittleren Varianzanteile der einzelnen Beobachtungen im Verhältnis zum gesamten mittleren Varianzanteil aller Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.12 Mittlere Varianzanteile der Kalibrierparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.13 Gegenüberstellung der Varianzanteile der gesamten Kalibrierung mit der Summe der Varianzan- teile der vier wichtigsten Kalibrierparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.14 Mittlere Positionsvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.15 Mittlere normierte Sensitivitätsmaße zweiter Ordnung für die Punktposition . . . . . . . 137 5.16 Erweiterte Kalibriermesskonfiguration für Optimierungsstufe 2 . . . . . . . . . . . . . . 138 5.17 Mittlere Varianzanteile der Beobachtungen und der gesamten Kalibrierung nach der Optimie- rungsstufe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.18 Mittlere Varianzanteile der Beobachtungen und der gesamten Kalibrierung nach der Optimie- rungsstufe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.19 Mittlere Varianzanteile der Kalibrierparameter nach der Optimierungsstufe 1 . . . . . . . 141 5.20 Mittlere Varianzanteile der Kalibrierparameter nach der Optimierungsstufe 2 . . . . . . . 141 Abbildungen XI 5.21 Mittlere Positionsvarianz: Vor der Optimierung (blau), nach der Optimierungsstufe 1 (schwarz) und nach der Optimierungsstufe 2 (grün) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.22 Geschätzte Kurven der Punktabweichungen: Vor der Optimierung (blau), nach der Optimie- rungsstufe 1 (rot) und nach der Optimierungsstufe 2 (grün) . . . . . . . . . . . . . . . . 143 B.1 Verteilungen (absolute Häufigkeiten) der empirisch ermittelten Abweichungen: Oben links für die Punktabweichungen (∆P i), oben rechts für die Abweichungen der X-Koordinate (∆Xi), unten links für die Abweichungen der Y-Koordinate (∆Y i) und unten rechts für die Abweichungen der Z-Koordinate (∆Zi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIX B.2 Gegenüberstellung der empirisch ermittelten Abweichungen mit den dazugehörigen Standard- abweichungen (für alle Messungen): Oben links für die Punktabweichungen, oben rechts für die Abweichungen der X-Koordinate, unten links für die Abweichungen der Y -Koordinate und unten rechts für die Abweichungen der Z-Koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXX B.3 Gegenüberstellung der empirisch ermittelten Abweichungen mit den dazugehörigen Standard- abweichungen (für das Testszenario 3): Oben links für die Punktabweichungen, oben rechts für die Abweichungen der X-Koordinate, unten links für die Abweichungen der Y -Koordinate und unten rechts für die Abweichungen der Z-Koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXI C.1 Mittlere Varianzanteile der Beobachtungen und der gesamten Kalibrierung bei ∆Li = 0,5σLi und ∆X̂j C = 0,5σ X̂j C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXIII C.2 Mittlere Varianzanteile der Kalibrierparameter bei ∆X̂j C = 0,5σ X̂j C . . . . . . . . . . . XXXIII C.3 Mittlere Varianzanteile der Beobachtungen und der gesamten Kalibrierung bei ∆Li = 2σLi und ∆X̂j C = 2σ X̂j C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXIV C.4 Mittlere Varianzanteile der Kalibrierparameter bei ∆X̂j C = 2σ X̂j C . . . . . . . . . . . . XXXIV C.5 Mittlere Varianzanteile der Beobachtungen und der gesamten Kalibrierung bei ∆Li = 3σLi und ∆X̂j C = 3σ X̂j C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXV C.6 Mittlere Varianzanteile der Kalibrierparameter bei ∆X̂j C = 3σ X̂j C . . . . . . . . . . . . XXXV Abbildungen XIII Zusammenfassung Verdeckte Objektpunkte können oft nicht direkt mithilfe eines Tachymeters mit einem klassischen Reflektor und einem Reflektorstab erfasst werden. Aus diesem Grund wird im Rahmen dieser Arbeit ein Prototyp für ein flexibel einsetzbares Tachymeterzielsystem (TZS) zur Vermessung verdeckter Objektpunkte entwickelt. Für die flexible Einsetzbarkeit werden die sechs Freiheitsgrade (6DOF: Six Degrees Of Freedom) des Prototyps im Tachymeterkoordinatensystem für jede Messung bestimmt. Hierzu werden ein Lochprisma, eine Lochkamera sowie ein dreiachsiger Beschleunigungssensor im Prototyp verwendet. Zusätzlich verfügt dieser Prototyp über ein Distometer zur Messung der Strecke zwischen Prototyp und Objektpunkt (exzentrische Strecke). Dabei sind alle im Prototyp verbauten Sensoren low-cost Sensoren. Für die Bestimmung der 6DOF des Prototyps sowie der Koordinaten der verdeckten Objektpunkte wird ein deterministisches Modell entwickelt. Darin enthaltene Kalibrierparameter werden mithilfe eines eigens entwickelten Kalibrieransatzes bestimmt. Er basiert auf der Systemkalibrierung und benötigt, außer dem Tachymeter und dem Prototyp, keine zusätzlichen Messmittel. Dieser kann somit für eine Feldkalibrierung eingesetzt werden. Zusätzlich wird das stochastische Modell der Beobachtungen aufgestellt und sowohl bei der Kalibrierung als auch bei der Bestimmung der Objektpunktkoordinaten berücksichtigt. Die Messgenauigkeit des Prototyps wird empirisch anhand von Testmessungen untersucht. Als Maß für diese Genauigkeit wird die mittlere Punktabweichung im Nahbereich verwendet. Diese Abweichung ist von der exzentrischen Strecke (Se) abhängig und beträgt √ (0,0015)2 + (0,0018 · Se)2 [m]. Die Genauigkeit liegt somit in der gleichen Größenordnung der Genauigkeit klassischer, tachymetrischer Vermessung mit einem auf einem Stab montierten Reflektor. Für die Abschätzung dieser Genauigkeit werden reflektorlose Tachymetermessungen als Vergleichsmessungen verwendet. Die Unsicherheiten dieser Vergleichsmessungen beeinflussen somit die geschätzte Genauigkeit. Des Weiteren kann der Prototyp bis zu einem Abstand (maximale Reichweite) von 350 m zum Tachymeter eingesetzt werden. Außerdem weisen die Messergebnisse (Objektpunktkoordinaten) eine hohe Präzision (unterer mm-Bereich für die Punktposition) sowie kein Driftverhalten, welches auf die im Prototyp verbauten Sensoren zurückzuführen ist, auf. Zusammengefasst zeigen die Ergebnisse dieser Arbeit, dass das Potenzial des TZS vielversprechend ist. Abschließend wird der Ansatz der lokalen Sensitivitätsanalyse zur Identifikation der wichtigen Modelleingangs- größen (Beobachtungen und Kalibrierparameter) eingesetzt. Dieser Ansatz wird erweitert, da das deterministische Modell nicht linear ist. Anschließend wird dieser Ansatz auf die Anwendung des Modells (model use) angepasst. Ferner werden neue Sensitivitätsmaße für korrelierte Eingangsgrößen entwickelt. Dadurch können zum einen die wichtigsten Eingangsgrößen identifiziert und zum anderen die Schwachstellen der Kalibrierung aufgedeckt werden. Anhand dieser Ergebnisse wird eine Optimierung des Kalibrierprozesses vorgenommen. Durch diese Optimierung wird die mittlere Positionsvarianz außerhalb des Kalibrierbereichs deutlich reduziert. Abbildungen XV Abstract Hidden object points cannot be measured directly using a total station with a classic reflector and reflector pole. In order to enable the measurement of those points, a prototype for a flexibly applicable total station target system has been developed within the scope of this thesis. For the flexible usability the six degrees of freedom (6DOF) of the prototype are determined in the total station’s coordinate system for each measurement. Therefore, a pinhole prism, a pinhole camera and a triaxial accelerometer are installed in the prototype. In addition, this prototype is equipped with a laser rangefinder to measure the distance between the prototype and the object point (eccentric distance). All sensors used in the prototype are low-cost sensors. In order to determine the 6DOF of the prototype and the coordinates of the hidden object points, a deterministic model and a calibration approach for the prototype has been developed. The calibration approach is based on the system calibration and does not require any additional measuring equipment apart from the total station and the prototype. It can therefore be used for a field calibration. Furthermore the stochastic model of the observations is compiled and taken into account both for the calibration and for the determination of the object point coordinates. The accuracy of the prototype is empirically verified by test measurements. The mean point deviation in the close range ist used as a measure for this accuracy. This deviation depends on the eccentric distance (Se) and is estimated to √ (0,0015)2 + (0,0018 · Se)2 [m]. This is the same order of magnitude as accuracy of the classic survey using a total station and a reflector mounted on a pole. However, for this accuracy estimation, reflectorless total station measurements are used as comparison measurements. Uncertainties of these comparative measurements thus influence the estimated accuracy. Furthermore, the prototype can be used up to a distance (maximum range) of 350 m from the total station. Additionally the measurement results (object point coordinates) show high precision (lower mm range for point position) and no drift behavior that can be attributed to the sensors installed in the prototype. In summary, the results of this work show that the potential of the total station target system is promising. Finally, the approach of local sensitivity analysis is used to identify the important model input variables (observations and calibration parameters). However, this approach is extended, since the deterministic model is nonlinear. In addition, this approach is adapted to the model use. Furthermore, new sensitivity measures for correlated input variables have been developed. This allows on the one hand to identify the most important input variables and on the other hand to reveal the weak points of the calibration. Based on these results, an optimization of the calibration is performed. By this optimization the mean position variance outside the calibration range is significantly reduced. 1 1 Einführung 1.1 Einleitung Das Tachymeter ist ein zentrales Vermessungsinstrument, das bei fast allen klassischen Ingenieurvermessungs- aufgaben, von der Aufnahme über die Absteckung bis hin zum Monitoring, zum Einsatz kommt. Im Laufe seiner Entwicklungsgeschichte von knapp 100 Jahren erfuhr das Tachymeter viele technische Verbesserungen. Die ersten Tachymeter entstanden durch Ausstattung von winkelmessenden, analogen, optischen Theodoliten mit einem optischen Streckenmessmodul (Donath 2009). Heutzutage sind Tachymeter echte Multisensorsysteme mit elektronischen Strecken- und Winkelmesssensoren, elektronischen Libellen und teilweise mit Temperatur- und Luftdrucksensoren. Außerdem enthalten sie auch Module zur Datenspeicherung, Stromversorgung sowie eine Mensch-Maschine Schnittstelle (Joeckel et al. 2008; Schwieger et al. 2020). Moderne Tachymeter sind teilweise motorisiert und mit optoelektronischen Sensoren zum automatischen Anzielen von Reflektoren ausgestattet. Damit sind sie in der Lage ein Ziel automatisch zu erkennen und zu verfolgen. Ferner werden mittlerweile auch Kameras und Laserscanner beziehungsweise Laserscannerfunktionalitäten in Tachymetern integriert (Schwieger et al. 2020). Diese zusätzlichen Fähigkeiten haben zur Erweiterung des Aufgabenspektrums des Tachymeters weit über die Grenzen der klassischen Vermessungsaufgaben hinaus beigetragen. Neue Aufgabenfelder sind beispielsweise die Steuerung von Baumaschinen (Beetz 2012; Lerke und Schwieger 2016) sowie die Steuerung von Unmanned Aerial Vehicles (UAV) (Maxim et al. 2017). Eine klassische Aufgabe des Tachymeters ist die Messung von einzelnen diskreten Objektpunkten. Die Bestimmung der Objektpunktposition erfolgt dabei anhand kombinierter Richtungs- und Streckenmessungen des Tachymeters. Moderne Tachymeter stellen zwei Messmodi für die Streckenmessung zur Verfügung (Joeckel et al. 2008). Der gängigste Messmodus ist der Reflektormodus, bei dem die Objektpunkte mithilfe eines Reflektors signalisiert werden müssen. Da der Reflektor in der Regel nicht direkt auf dem Objektpunkt platziert werden kann, wird er auf einem Reflektorstab angebracht, der lotrecht über dem Objektpunkt aufgestellt werden muss. Alternativ können Objektpunkte im zweiten Messmodus reflektorlos, das heißt direkt ohne zusätzliche Signalisierung, angemessen werden. Des Weiteren können die tachymetrischen Messungen bei motorisierten zielverfolgenden Tachymetern im Tracking- (kinematisch) und im Standardmodus (statisch) durchgeführt werden (vergleiche Möser et al. 2012; Joeckel et al. 2008). Die Genauigkeit eines mittels Tachymeters gemessenen Objektpunktes ist vom eingesetzten Messmodus (reflek- torgestützt oder reflektorlos, statisch oder kinematisch), von der Entfernung zwischen Tachymeter und Messpunkt sowie von den atmosphärischen Bedingungen abhängig (Möser et al. 2012; Joeckel et al. 2008). Dabei können Genauigkeiten bis zu 0.5mm+ 1ppm für die Strecken- und bis zu 0.15mgon für die Richtungsmessung eines Tachymeters der Präzisionstachymeterklasse erreicht werden (Möser et al. 2012). Weiterhin sind Tachymeter durch ihre großen Reichweiten gekennzeichnet. Vom Tachymeter aus sichtbare Objektpunkte sind bis zu einer Entfernung von mehreren Kilometern in nahezu jeder beliebigen Richtung messbar. Dabei ist die Reichweite vom eingesetzten Streckenmessmodus und von den atmosphärischen Bedingungen abhängig (Möser et al. 2012). 1.2 Motivation Trotz der großen Reichweite von Tachymetern erfordern tachymetrische Messungen immer eine direkte Sichtverbindung zwischen dem Tachymeter und den zu messenden Objektpunkten beziehungsweise den Reflektoren. Aus diesem Grund können verdeckte Objektpunkte nicht ohne Weiteres gemessen werden. Um 2 1 Einführung diese Punkte zu messen, muss das Tachymeter auf einem weiteren Standpunkt, von dem die Objektpunkte zu sehen sind, neu stationiert werden. Dieser Vorgang ist zeitaufwendig und beeinträchtigt deswegen die Effektivität der Vermessung. Ein alternativer Lösungsansatz ist die exzentrische Messung von verdeckten Objektpunkten (exzentrische Streckenmessung). Dabei erfolgt die Orientierung der exzentrischen Strecke gegenüber der Zielachse des Tachymeters mit dem Augenmaß des Vermessers (siehe 2.5.3.4). Dies führt zu erheblichen Genauigkeitsverlusten, die proportional zur exzentrischen Strecke sind und gegebenenfalls vorgegebene Genauigkeitsvorgaben überschreiten. Weitere Lösungsmöglichkeiten für die direkte tachymetrische Vermessung von verdeckten Objektpunkten haben sich in der Praxis nicht etabliert, beispielsweise das Argus-Auge (siehe 2.5.3.5), oder sind lediglich für eng begrenzte spezielle Messaufgaben konzipiert, beispielsweise der Kanalstab für die Kanalaufnahme (siehe 2.5.3.3). Aus diesen Gründen soll im Rahmen dieser Arbeit ein flexibel einsetzbares Tachymeterzielsystem (TZS) entwickelt werden, das in Verbindung mit einem Tachymeter die Vermessung von verdeckten Objektpunkten ermöglicht, ohne dieses neu stationieren zu müssen. Ferner müssen durch den Einsatz des TZS die oben aufgeführten zu den exzentrischen Strecken proportionalen Genauigkeitsverluste minimiert werden. Im Gegensatz zur traditionellen Messweise mit einem Reflektor beziehungsweise einem Reflektorstab soll das neue TZS nicht lotrecht über den zu messenden Objektpunkt gehalten werden müssen. Das TZS soll so platziert werden, dass sowohl zwischen dem TZS und dem Tachymeter als auch zwischen dem TZS und dem anzumessenden Objektpunkt eine freie Sichtverbindung besteht. In diesem Fall können die Koordinaten des Objektpunkts bestimmt werden, wenn die sechs Freiheitsgrade (6DOF: Six Degrees Of Freedom) des TZS im Tachymeterkoordinatensystem für jede Messung bekannt sind. Die Bestimmung der Freiheitsgrade erfolgt anhand der Tachymetermessung sowie der im TZS verbauten Sensoren. Ähnliche Zielsysteme sind bereits in der industriellen Messtechnik bekannt und werden als Lasertrackerziel- systeme zur Messung verdeckter Objektpunkte eingesetzt. Beispiele für solche Systeme sind die vProbe (API 2016c), die T-Probe (Hexagon 2013) und die 6Probe (FARO 2018). Die Bestimmung der Freiheitsgrade des TZS wird ähnlich wie bei den genannten Lasertrackerzielsystemen erfolgen müssen. Allerdings müssen die Unterschiede zwischen dem Tachymeter (2.5.1) und dem Lasertracker (2.4.4.1), wie beispielsweise die geringere Genauigkeit, geringere Messfrequenz, größere Reichweite und Feldtauglichkeit des Tachymeters gegenüber dem Lasertracker, bei dieser Bestimmung berücksichtigt werden. Zudem soll das TZS, im Gegensatz zu den Laser- trackerzielsystemen, kostengünstig sein. Aus diesem Grund werden im TZS low-cost Sensoren zur Bestimmung der Freiheitsgrade verwendet. 1.3 Zielsetzung Im Rahmen dieser Arbeit wird ein Messkonzept für das TZS entwickelt. Dies umfasst die Konstruktion eines Prototyps des TZS ebenso wie die Entwicklung eines deterministischen Modells zur direkten Bestimmung der Koordinaten der (verdeckten) Objektpunkte im Tachymeterkoordinatensystem. Da die Kalibrierparameter des TZS beziehungsweise des Prototyps für diese Bestimmung benötigt werden, wird ein Kalibrieransatz für das TZS entwickelt. Dabei wird ein Kalibrieransatz bevorzugt, der keine zusätzlichen Messmittel benötigt und deswegen auch bei einer Feldkalibrierung eingesetzt werden kann. Ferner wird das stochastische Modell der Beobachtungen aufgestellt und sowohl bei der Bestimmung der Koordinaten der verdeckten Objektpunkte als auch bei der Bestimmung der Kalibrierparameter des TZS berücksichtigt. Für alle Anwendungen (Koordinatenbestimmung und Bestimmung der Kalibrierparameter) wird eine Echtzeitfähigkeit des Systems vorausgesetzt. 1.4 Definitionen 3 Des Weiteren werden sowohl die Gültigkeit der entwickelten Modelle (deterministisches und stochastisches Modell) und des Kalibrieransatzes, als auch die Genauigkeit und die Reichweite des TZS empirisch, das heißt anhand von Testmessungen, evaluiert. Dabei werden unterschiedliche Messszenarien durchgeführt. Da weder eine Synchronisation der einzelnen Sensoren im Prototyp zueinander noch zu den Messeinheiten im Tachymeter im Rahmen dieser Arbeit angestrebt wird, werden die Testmessungen statisch beziehungsweise quasistatisch (stop and go) durchgeführt. Abschließend sollen die Eingangsgrößen (Beobachtungen und Kalibrierparameter), die für die Genauigkeit der verdeckten Punkte maßgeblich sind, durch die lokale Sensitivitätsanalyse (siehe Turanyi und Rabitz 2000) identifiziert werden. Da allerdings die Aussagekraft der lokalen Sensitivitätsanalyse bei nicht linearen Modellen begrenzt ist (Saltelli et al. 2000), wird ein erweiterter Ansatz der lokalen Sensitivitätsanalyse im Rahmen dieser Arbeit entwickelt. Des Weiteren stellen korrelierte Eingangsgrößen ein Problem sowohl für die lokale als auch für die globale Sensitivitätsanalyse dar (Saltelli et al. 2000; Schwieger 2005). Solche Eingangsgrößen werden deswegen gesondert, unter anderem durch die Entwicklung geeigneter Sensitivitätsmaße für korrelierte Eingangsgrößen, behandelt. Anhand der Ergebnisse des erweiterten und weiterentwickelten Ansatzes der lokalen Sensitivitätsanalyse wird eine Optimierung des deterministischen Modells beziehungsweise des Kalibrieransatzes vorgenommen und gleichzeitig eine Basis für die zukünftige Entwicklung beziehungsweise Verbesserung der Genauigkeit des TZS gebildet. 1.4 Definitionen Die folgenden Begriffe tauchen an mehreren Stellen in dieser Arbeit auf und sind dementsprechend wichtig. Aus diesem Grund und für eine bessere Lesbarkeit der Arbeit werden diese Begriffe im Folgenden definiert. 6DOF (Six Degrees Of Freedom): Die sechs Freiheitsgrade sind sechs Variablen, die die Position und die Orientierung eines Objekts im Raum beschreiben (siehe 2.4.1). Messsystem: Ein Messsystem umfasst alle Bestandteile (beispielsweise eine Hauptkomponente und eine Zielkomponente), die zur Erfüllung der beabsichtigten Messaufgabe notwendig sind, zum Beispiel Nivelliergerät und Nivellierlatte (vergleiche Hennes und Ingensand 2000). Zudem gehört die Software, die für die Erfassung und Verarbeitung der Messdaten notwendig ist, zum Messsystem. Hauptkomponente eines Messsystems: Diese repräsentiert im Rahmen dieser Arbeit das tatsächliche Messinstrument, beispielsweise Lasertracker oder Tachymeter. Das Koordinatensystem der Hauptkomponente eines Messsystems ist mit dem Koordinatensystem desselben Messsystems gleichzusetzen. Zielsystem: Umfasst die Zielkomponente eines Messsystems mehrere Sensoren, wird diese im Rahmen dieser Arbeit als Zielsystem bezeichnet (zum Beispiel Lasertrackerzielsysteme (siehe 2.4.3) oder das zu entwickelnde TZS). Bezugspunkt beziehungsweise Referenzpunkt eines Messsystems, Zielsystems oder Sensors: Für ein Messsystem, Zielsystem oder Sensor wird in der Regel ein Koordinatensystem definiert. Der Ursprung dieses Koordinatensystems wird im Rahmen dieser Arbeit als Bezugspunkt oder Referenzpunkt des betrachteten Systems beziehungsweise Sensors bezeichnet. Exzentrische Strecke: Als exzentrische Strecke wird im Rahmen dieser Arbeit die Strecke zwischen dem Referenzpunkt eines Zielsystems beziehungsweise einer Zielkomponente eines Messsystems und dem zu 4 1 Einführung messenden Objektpunkt bezeichnet. Die Reflektorhöhe bei der klassischen tachymetrischen Vermessung mit einem Reflektor ist beispielsweise als exzentrische Strecke anzusehen. Reichweite beziehungsweise maximale Reichweite: Besteht ein Messsystem aus zwei räumlich getrennten Komponenten (eine Hauptkomponente und ein Zielsystem), repräsentiert die maximale Reichweite die maximale Entfernung zwischen diesen Komponenten wie beispielsweise die maximale Entfernung zwischen einem Lasertracker (siehe 2.4.4.1) und einem Lasertrackerzielsystem (siehe 2.4.3), in der das gesamte Messsystem einsetzbar ist. Verdeckter Punkt: Objektpunkte, die zu messen sind und nicht in einer direkten Sichtverbindung zur Haupt- komponente eines Messsystems stehen, werden im Rahmen dieser Arbeit als verdeckte Punkte bezeichnet. 1.5 Struktur der Arbeit Neben der hier aufgeführten Einführung ist die vorliegende Arbeit in fünf weiteren Kapitel gegliedert: Die für die Entwickelung des TZS relevanten Grundlagen werden in Kapitel 2 vorgestellt. Dabei wird auf die Koordinatentransformation, die Schätzverfahren sowie die lokale Sensitivitätsanalyse eingegangen. Im Anschluss wird der Stand der Technik behandelt. Es werden zunächst die verfügbaren 6DOF-Zielsysteme sowie die Verfahren und die Sensoren, die bei diesen Zielsystemen zur Bestimmung der 6DOF eingesetzt werden, diskutiert. Anschließend wird die tachymetrische Punktaufnahme behandelt. Hierbei wird auf das elektronische Tachymeter, die Reflektoren sowie die Möglichkeiten zur tachymetrischen Aufnahme von Objektpunkten, die für eine klassische tachymetrische Aufnahme mit einem Reflektorstab problematisch sind, eingegangen. Danach werden einige Aufgabenfelder sowie deren Genauigkeitsanforderungen bei der Vermessung mittels eines Tachymeters kurz vorgestellt. Im Anschluss werden in Kapitel 3 zunächst die Anforderungen an das zu entwickelende TZS definiert. Basierend auf diesen Anforderungen wird das Messkonzept des TZS entwickelt. Anschließend werden die Systemkomponenten für den ersten Prototyp des TZS vorgestellt. Im Anschluss wird die modellseitige Entwicklung des TZS behandelt. Dabei wird auf das deterministische Modell, den Kalibrieransatz und das stochastische Modell eingegangen. Des Weiteren werden in diesem Kapitel sowohl der Messbereich des Prototyps als auch die Orientierungsgenauigkeiten der im Prototyp verbauten Sensoren durch eine Vorbetrachtung untersucht. In Kapitel 4 werden die Gestaltung sowie die Durchführung der Kalibrier- und Testmessungen behandelt. Außerdem wird die lokale Sensitivitätsanalyse in diesem Kapitel erweitert, beziehungsweise weiter entwickelt, damit diese Analyse aussagekräftige Ergebnisse für das vorhandene Modell liefert. Die Ergebnisse der Kalibrierung, der Testmessungen sowie der Sensitivitätsanalyse werden in Kapitel 5 vor- gestellt und diskutiert. Abschließend werden in Kapitel 6 zum einen die Ergebnisse dieser Arbeit im Fazit zusammengefasst und zum anderen einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten gegeben. 5 2 Grundlagen und Stand der Technik Die grundlegenden Methoden und Ansätze, die im Rahmen dieser Arbeit verwendet werden, werden in diesem Kapitel vorgestellt. Zunächst wird die Koordinatentransformation behandelt. Diese Transformation ist sowohl für Transformation zwischen den Koordinatensystemen der verschiedenen Sensoren des TZS als auch für die Transformation zwischen dem TZS-Koordinatensystem und dem Tachymeterkoordinatensystem wichtig. Anschließend werden ausgewählte Schätzverfahren vorgestellt. Diese werden zum einen im Rahmen eines Kalibrierprozesses zur Schätzung der Kalibrierparameter des TZS (siehe 4.1.2) und zum anderen zur Schätzung der sechs Freiheitsgrade (6DOF) im normalen Betrieb des TZS (siehe 3.3.6) benötigt. Im Anschluss wird die Sensitivitätsanalyse vorgestellt. Dabei wird das Varianzfortpflanzungsgesetz diskutiert. Dieses wird zur Ermittlung der Standardabweichungen der anhand des TZS gemessenen Objektpunkte eingesetzt und ist gleichzeitig grundlegend für die darauf folgende lokale Sensitivitätsanalyse. Diese ist wiederum wichtig für die Analyse der Ergebnisse und die Definition von wichtigen Einflussvariablen und bildet deswegen eine Grundlage für die weitere Entwicklung des TZS. Dieses Kapitel befasst sich zudem mit dem Stand der Technik in den Themenfeldern, die für die Entwicklung des TZS relevant sind. Im Abschnitt 2.4 wird die Thematik der 6DOF behandelt. Dabei werden die 6DOF zuerst definiert, bevor einige Anwendungsfelder der 6DOF-Bestimmung diskutiert und im Anschluss aktuelle 6DOF- Zielsysteme vorgestellt werden. Daraufhin werden Verfahren und Sensoren, die zur Bestimmung der 6DOF in diesen Systemen zum Einsatz kommen, diskutiert. Anschließend wird im Abschnitt 2.5 die tachymetrische Punktbestimmung vorgestellt. Dabei wird auf die notwendige Hardware und die verschiedenen Messmodi sowie die erreichbare Genauigkeit eingegangen. Angewendete Lösungen für die Vermessung von verdeckten, unzugänglichen oder schwer zugänglichen Punkten werden ebenfalls in diesem Teil diskutiert. 2.1 Koordinatentransformation Allgemein wird eine Koordinatentransformation für die Überführung der Koordinaten von einem Ausgangs- in ein Zielkoordinatensystem verwendet. Es existieren mehrere Transformationsmodelle (vergleiche Niemeier 2008; Luhmann 2010b), die sich neben der mathematischen Modellierung auch in der Anzahl der notwendigen Transformationsparameter unterscheiden. Die Wahl des geeigneten Transformationsmodells ist problemabhängig und hängt vor allem von der Form des Ausgangs- und des Zielkoordinatensystems (zweidimensional (2D) oder dreidimensional (3D), Orthogonalität und Skalierung der Koordinatenachsen des jeweiligen Koordinatensystems) ab. An dieser Stelle wird ausschließlich die räumliche Ähnlichkeitstransformation (auch 3D-Helmerttransformation) betrachtet. Sie ist eine formtreue Transformation und ist bei dreidimensionalen kartesischen Ausgangs- und Zielkoordinatensystemen anwendbar, wenn die Koordinatenachsen des jeweiligen Koordinatensystems rechtwinklig zu einander stehen und gleich skaliert sind. Für die Ähnlichkeitstransformation werden sieben Transformationsparameter benötigt, diese sind: • Drei Translationsparameter X0 (X0,Y0,Z0): Diese sind die Koordinaten des Koordinatenursprungs des Ausgangskoordinatensystems im Zielkoordinatensystem und beschreiben somit die notwendigen Verschie- bungen des Ausgangskoordinatensystems gegenüber dem Zielkoordinatensystem. • Drei Dreh- oder Rotationswinkel (ω, φ, κ): Diese Winkel beschreiben die notwendigen Rotationen des Ausgangskoordinatensystems gegenüber den Koordinatenachsen des Zielkoordinatensystems. Dabei repräsentiert ω den Rotationswinkel um die X-Achse, φ den Rotationswinkel um die Y -Achse und κ den Rotationswinkel um die Z-Achse des Koordinatensystems. 6 2 Grundlagen und Stand der Technik • Ein Maßstabsfaktor m: Dieser beschreibt die Skalierung des Ausgangskoordinatensystems gegenüber dem Zielkoordinatensystem und nimmt, wenn beide Koordinatensysteme gleich skaliert sind, den Wert eins an. Die Überführung der Koordinaten vom Ausgangskoordinatensystem x ins Zielkoordinatensystem X erfolgt anhand X = X0 +m ·R(ω,φ,κ) · x. (2.1) Dabei ist R die Rotationsmatrix zwischen beiden Koordinatensystemen. Diese Matrix kann allgemein anhand R(ω,φ,κ) = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33  (2.2) ausgedrückt werden. Dabei sind die Elemente der Rotationsmatrix (rij) trigonometrische Funktionen der Rotationswinkel. Die gesamte Rotationsmatrix ergibt sich aus der Multiplikation der nacheinander ausgeführten elementaren Rotationen um die jeweilige Koordinatenachse des Koordinatensystems (Luhmann 2010b). Die elementaren Rotationen sind in (2.3) dargestellt. In dieser Ausführung repräsentieren diese eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Da die Rotationsmatrizen orthonormal sind, gilt R−1 = RT (Luhmann 2010b). Aus diesem Grund können die transponierte Matrizen der elementar Rotationen in (2.3) verwendet werden, um elementare Rotationen im Uhrzeigersinn zu realisieren (vergleiche Soler 2018). Rω = 1 0 0 0 cosω − sinω 0 sinω cosω  , Rφ =  cosφ 0 sinφ 0 1 0 − sinφ 0 cosφ  , Rκ = cosκ − sinκ 0 sinκ cosκ 0 0 0 1  (2.3) Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, hängt die Gesamtrotation von der Reihenfolge der Aus- führungen der einzelnen Rotation ab. Diese Reihenfolge ist somit nicht beliebig wählbar. Abhängig von dieser Reihenfolge können Fälle auftreten, bei denen die Umkehrberechnung (das heißt, die Berechnung der Rotati- onswinkel aus der Rotationsmatrix) mehrdeutig ist oder sogar zu Singularitäten führt (vergleiche Wendel 2011; Luhmann 2010b). Im Rahmen dieser Arbeit wird die Rotationsreihenfolge Rφ · Rω · Rκverwendet. Diese Reihenfolge wird von Luhmann (2010b) zur Vermeidung dieser Mehrdeutigkeiten für die Anwendungen in der Nahbereichsphotogrammetrie, bei denen die Kameraaufnahmeachse ungefähre horizontal ausgerichtet ist, empfohlen. Entsprechend dieser Reihenfolge ergibt sich die folgende Gesamtrotationsmatrix: R = Rφ ·Rω ·Rκ =  cosφ cosκ+ sinφ sinω sinκ − cosφ sinκ+ sinφ sinω cosκ sinφ cosω cosω sinκ cosω cosκ − sinω − sinφ cosκ+ cosφ sinω sinκ sinφ sinκ+ cosφ sinω cosκ cosφ cosω  , (2.4) jedoch können auch bei dieser Reihenfolge bei beliebiger Orientierung der Kamera beziehungsweise des Ausgangskoordinatensystems gegenüber dem Zielkoordinatensystem weiterhin Mehrdeutigkeiten bei der Orientierungsbestimmung (Bestimmung der Rotationswinkel) auftreten. Um die Mehrdeutigkeiten zu beseitigen, können die Rotationen mit den Quaternionen anstelle von Rotationswinkeln beschrieben werden. Die Elemente der Rotationsmatrix werden dabei, anstelle von mehrdeutigen trigonometrischen Funktionen, mit eindeutigen algebraischen Funktionen der vier Quaternionen mathematisch modelliert (Luhmann 2010b). Dieser Ansatz wird 2.2 Geodätische Schätzverfahren 7 allerdings im Rahmen dieser Arbeit nicht verwendet, da sich die mathematischen Zusammenhänge zwischen den Messgrößen und den Rotationswinkeln (siehe 3.3.6) einfacher formulieren lassen. Zudem ist eine geometrische Interpretation der Ergebnisse beim Einsatz von Quaternionen nicht möglich (Niemeier 2008). Aus diesem Grund wird der Ansatz der Quaternionen hier nicht weiter diskutiert. Für einen tieferen Einblick in diesen Ansatz sei auf Luhmann (2010b) und Wendel (2011) verwiesen. Die Transformationsparameter werden üblicherweise in der Geodäsie und der Photogrammetrie anhand iden- tischer Punkte beziehungsweise Passpunkte bestimmt beziehungsweise geschätzt. Im Rahmen dieser Arbeit werden diese Parameter aus den Messgrößen, sowohl vom Tachymeter als auch von den im TZS integrierten Sensoren, abgeleitet (siehe 3.3). Dabei ist das Koordinatensystem des TZS als Ausgangskoordinatensystem und das Tachymeterkoordinatensystem als Zielkoordinatensystem zu verstehen. Diese Transformation wird als maßstabsfrei (das heißt m = 1) konzipiert. Die restlichen sechs Transformationsparameter sind mit den 6DOF des neuen TZS gleichzusetzen. 2.2 Geodätische Schätzverfahren Aufgrund der Imperfektion der Messgeräte, Unzulänglichkeit der menschlichen Sinne und unkontrollierbaren Umgebungseinflüsse sind zufällige Messabweichungen der Messgrößen unvermeidlich. Eine qualitative Aussage über diese Messgrößen ist nur anhand statistischer Mittel möglich und erfordert deswegen Wiederholmessungen. Werden aus den originalen Messgrößen (Beobachtungen) weitere Parameter abgeleitet, so wird in der Geodäsie in der Regel dafür gesorgt, dass mehr Messungen (Beobachtungen) als die mindest nötige Anzahl durchgeführt werden. Dies ermöglicht zwar eine Kontrolle der berechneten Parameter, führt aber zu einem überbestimmten Gleichungssystem. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist allerdings aufgrund der zufälligen Abweichungen der Beobachtungen nicht eindeutig. Um zur optimalen Lösung des überbestimmten Gleichungssystems zu gelan- gen, werden die Methoden der Parameterschätzung beziehungsweise der Ausgleichungsrechnung angewendet. Zudem können dadurch bei ausreichender Anzahl an überschüssigen Beobachtungen zum einen mögliche Ausreißer oder grobe Messfehler auf Basis von statistischen Tests aufgedeckt und zum anderen qualitative Aussagen hinsichtlich der Genauigkeit und der Zuverlässigkeit der Ergebnisse getroffen werden (Niemeier 2008). Die im Folgenden betrachteten Parameterschätzungsansätze nach den Modellen von Gauß-Helmert (GHM) und Gauß-Markov (GMM) gehören zur Kategorie der optimalen Schätzer. Diese liefern die genausten (minimale Varianz) und wahrscheinlichsten (erwartungstreue) Parameterschätzwerte, wenn die Beobachtungen ausschließ- lich normalverteilten oder mindestens nahezu normalverteilten (das heißt zufälligen) Abweichungen unterliegen (Pelzer 1985; Jäger et al. 2005; Niemeier 2008). Solche Schätzansätze basieren auf der Methode der kleinsten Quadrate (MKQ) und werden auch als L2-Norm-Schätzer bezeichnet. Das Schätzprinzip solcher Schätzer ist die Minimierung der Verbesserungsquadratsumme beziehungsweise der gewichteten Verbesserungsquadratsumme Ω: Ω = vTPv → min, (2.5) wobei P die Gewichtsmatrix (2.10) und v der Vektor der Verbesserungen (2.18) sind. 8 2 Grundlagen und Stand der Technik 2.2.1 Beobachtungsmodelle in der Ausgleichungsrechnung Für die Schätzung der unbekannten Parametern X werden die mathematischen Zusammenhänge zwischen diesen und den Beobachtungen L benötigt. Diese Zusammenhänge werden als das funktionale Modell bezeichnet. Das Aufstellen des Modells ist problemabhängig und erfordert Fachwissen. Allgemein kann dieses Modell anhand F(L̃,X̃) = 0 (2.6) ausgedrückt werden. Wobei sich der Akzent (˜) auf die theoretischen, in der Regel unbekannten, wahren Werten der Beobachtungen und der Parameter bezieht, da das Modell streng genommen nur bei diesen Werten gültig ist (Niemeier 2008). Die Notation X wird in der geodätischen Fachliteratur für die unbekannten Parameter benutzt, da diese im Bereich der Geodäsie meistens Koordinaten, die mit derselben Notation bezeichnet werden, enthalten. Aus diesem Grund wird diese Notation in den folgenden Teilabschnitten beibehalten. Damit es aber nicht zu Verwechselung kommt, wird im weiteren Verlauf dieser Arbeit von dieser Notation entsprechend der zu schätzenden Größen abgewichen. Im Abschnitt 3.3.6 wird die Notation XR für die zu schätzenden Rotationswinkel und im Abschnitt 4.1.2 die Notation XC für die zu schätzenden Kalibrierparameter verwendet. Neben den Zusammenhängen zwischen den Parametern und den Beobachtungen sind manchmal gewisse Restriktionen zwischen den Parametern zu erfüllen. Diese können zwar gesondert in der Ausgleichung behandelt werden, werden aber zur Vereinfachung öfter als zusätzliche Beobachtungen (fiktive Beobachtungen) betrachtet und im funktionalen Modell (2.6) integriert (vergleiche Niemeier 2008). Für die in den folgenden Teilabschnitten betrachteten Modelle der Parameterschätzung muss der funktionale Zusammenhang in (2.6) linear sein beziehungsweise linearisiert werden (siehe 2.2.2). In der Regel bestehen die Beobachtungen aus verschiedenen geometrischen Größen (zum Beispiel Strecken und Winkeln) und besitzen unterschiedliche Genauigkeiten. Um die unterschiedlichen Genauigkeiten der verschiedenen Beobachtungen in der Ausgleichung zu berücksichtigen, muss ein stochastisches Modell für die Beobachtungen aufgestellt werden. Das Aufstellen dieses Modells erfordert Kenntnisse über die Genauigkeiten der verschiedenen Beobachtungen sowie über die stochastischen Abhängigkeiten zwischen diesen. Diese Kenntnisse können beispielsweise aus den Herstellerangaben der verwendeten Messgeräte oder durch empirische Untersuchungen gewonnen werden. Liegen keine Kenntnisse diesbezüglich vor, werden diese Genauigkeiten häufig abgeschätzt beziehungsweise approximiert (Niemeier 2008). Das stochastische Modell der Beobachtungen kann anhand der Kovarianzmatrix Σll (n,n) =  σ2 1 . . . σ1n ... . . . ... σn1 . . . σ2 n  (2.7) vollständig beschrieben werden. Auf der Hauptdiagonale dieser Matrix werden die Genauigkeiten der einzelnen Beobachtungen in Form von Varianzen (σ2 i ) eingetragen. Die Elemente der Nebendiagonale dieser Matrix enthal- ten die Kovarianzen (σij) und damit implizit die Korrelationskoeffizienten (ρij) zwischen den Beobachtungen. Diese Koeffizienten können aus den Kovarianzen anhand ρij = σij σi · σj (2.8) 2.2 Geodätische Schätzverfahren 9 abgeleitet werden. Für die Parameterschätzung mittels der Methode der kleinsten Quadrate sind die Genau- igkeitsrelationen zwischen den Beobachtungen ausreichend. Diese können anhand der Kofaktormatrix Qll repräsentiert werden. Der Zusammenhang zwischen den absoluten Genauigkeiten der Beobachtungen (das heißt der Kovarianzmatrix) und deren Genauigkeitsrelationen (das heißt der Kofaktormatrix) kann anhand Σll = σ2 0 ·Qll (2.9) ausgedrückt werden. Dabei ist σ2 0 der unbekannte Varianzfaktor oder auch die Varianz der Gewichtseinheit. Für diesen Varianzfaktor wird ein a priori Wert (meistens eins) angenommen, wobei ein a posteriori Wert für diesen Varianzfaktor σ̂2 0 unabhängig vom angenommen Wert im Rahmen der Ausgleichung mitgeschätzt wird (Niemeier 2008). Bei komplexeren Modellen können für verschiedene Beobachtungsgruppen verschiedene Varianzfaktoren eingeführt und im Rahmen einer Varianzkomponentenschätzung (vergleiche Niemeier 2008) geschätzt werden. Dieser Fall wird im Rahmen dieser Arbeit nicht betrachtet. Die Inverse der Kofaktormatrix repräsentiert den relativen Einfluss der einzelnen Beobachtungen auf das Schätzergebnis. Diese Inverse wird als Gewichtsmatrix P = Qll −1 (2.10) bezeichnet. Bei unkorrelierten Beobachtungen und unter der Annahme, dass σ2 0 = 1 ist, ist die Gewichtsmatrix eine diagonale Matrix mit den Reziproken der Varianzen der Beobachtungen auf der Hauptdiagonale. Beobach- tungen mit besseren Genauigkeiten und damit kleineren Varianzen haben somit ein höheres Gewicht und damit mehr Einfluss auf das Schätzergebnis im Vergleich zu weniger genauen Beobachtungen. Werden Restriktionen zwischen den Parametern als fiktive Beobachtungen betrachtet, müssen diese fiktiven Beobachtungen mit hohen Gewichten versehen werden (Niemeier 2008), damit die Restriktionen in der Ausgleichung weitgehend eingehalten werden. Abschließend soll noch erwähnt werden, dass es sich sowohl beim funktionalen als auch beim stochastischen Modell um eine Annahme oder Approximation der Realität handelt. Aus diesem Grund müssen diese Modelle anhand statistischer Methoden auf ihre Gültigkeit überprüft werden (Niemeier 2008). Diese Überprüfung kann anhand des Globaltests erfolgen (siehe Niemeier 2008), in dem der angenommene a priori Wert des Varianzfaktors (σ2 0) mit dem geschätzten a posteriori Wert dieses Faktors (σ̂2 0) verglichen wird. Stimmen beide Werte unter einer gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit (1− α) überein, werden die überprüften Modelle als gültig betrachtet. Der Globaltest kann mathematisch anhand P { Ω σ2 0 = v̂TPv̂ σ2 0 = f · σ̂2 0 σ2 0 > χ2 f,1−α | H0 } = α (2.11) ausgedrückt werden. Dabei ist f der Freiheitsgrad und repräsentiert im Allgemeinen die Anzahl der über- schüssigen funktionalen Zusammenhänge zwischen den Beobachtungen und den Parametern (2.21), χ2 f,1−α ist das Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Freiheitsgrad f und einem Signifikanzniveau von 1− α. H0 ist die Nullhypothese. Diese Hypothese besagt für den Globaltest, dass sowohl das funktionale als auch das stochastische Modell bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit α gültig sind. 10 2 Grundlagen und Stand der Technik 2.2.2 Gauß-Helmert-Modell (GHM) Im allgemeinen Fall enthält jede Gleichung der Form (2.6) mehrere Beobachtungen und mehrere Parameter. Solche Gleichungen werden als gemischte Gleichungen bezeichnet. Das Gauß-Helmert-Modell (GHM) eignet sich für die Lösung der Ausgleichungsaufgabe bei gemischten Gleichungen und wird deswegen als Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung bezeichnet. Im Folgenden werden die Lösungsschritte der Ausgleichung nach dem GHM, wie sie in Niemeier (2008) und Pelzer (1985) beschrieben sind, erläutert. Die Grundforderung der Ausgleichungsaufgabe ist, dass das funktionale Modell nach der Ausgleichung, das heißt auch zwischen den ausgeglichenen Beobachtungen L̂ und Parametern X̂, gültig bleibt (2.12): F(L̂,X̂) = 0, (2.12) wobei dieses Modell in der Regel nicht linear ist und linearisiert werden muss. Für diesen Zweck müssen Näherungswerte für die gesuchten Parameter X0 eingeführt werden. Zudem müssen die Näherungswerte für die Beobachtungen L0 so bestimmt werden, dass diese der Forderung F(L0,X0) = 0 (2.13) genügen. Die Linearisierung erfolgt nach Niemeier (2008) und Pelzer (1985) an der Stelle des tatsächlichen Beobachtungsvektors L und der Näherungswerte der Parameter X0 mithilfe der Taylor-Reihenentwicklung. Dabei wird die Reihenentwicklung nach den Gliedern erster Ordnung (den linearen Gliedern) abgebrochen. Die linearisierte Form des Zusammenhangs (2.12) ist in (2.14) gezeigt und in (2.15) zusammengefasst. F(L̂,X̂) = F(L,X0) + ∂F ∂L ∣∣∣ L,X0 (L̂− L) + ∂F ∂X ∣∣∣ L,X0 (X̂−X0) = 0, (2.14) w (b×1) + B (b×n) · v̂ (n×1) + A (b×u) · x̂ (u×1) = 0, (2.15) wobei w (b×1) = F(L,X0) (2.16) den Widerspruchsvektor w repräsentiert. Die partiellen Ableitungen nach den Beoachtungen sind in der Matrix B, B (b×n) =  ∂f1 ∂L1 ∣∣∣ L,X0 . . . ∂f1 ∂Ln ∣∣∣ L,X0 ... . . . ... ∂fb ∂L1 ∣∣∣ L,X0 . . . ∂fb ∂Ln ∣∣∣ L,X0  , (2.17) enthalten. Diese wird mit v̂ (n×1) = L̂− L, (2.18) 2.2 Geodätische Schätzverfahren 11 dem Vektor der Verbesserungen, multipliziert. Vervollständigt wird die Reihenentwicklung durch die Matrix der partiellen Ableitungen nach den Parametern A, A(b×u) =  ∂f1 ∂X1 ∣∣∣ L,X0 . . . ∂f1 ∂Xu ∣∣∣ L,X0 ... . . . ... ∂fb ∂X1 ∣∣∣ L,X0 . . . ∂fb ∂Xu ∣∣∣ L,X0  (2.19) und durch x̂ (u×1) = X̂−X0, (2.20) den Vektor der Parameterzuschläge. Die Dimensionen der Vektoren und Matrizen werden durch die Anzahl der funktionalen Zusammenhänge zwischen den Beobachtungen und den Parametern (b), die Anzahl der unbekannten Parameter (u) und die Anzahl der Beobachtungen (n) bestimmt. Der Freiheitsgrad f ergibt sich zu f = b− u. (2.21) Die Berechnung der partiellen Ableitungen (das heißt Elemente der Matrizen B und A) ist bei komplexen Mo- dellen aufwendig. Als Alternative können für solche Modelle Differenzen anstelle von analytischen Ableitungen eingesetzt werden (Luhmann 2010b; Niemeier 2008). Dabei wird für jedes Matrixelement der entsprechenden Variable (Beobachtungen für die Elemente der B-Matrix und Parameter für die Elemente der A-Matrix) um einen kleinen Zuschlag (∆lj beziehungsweise ∆Xj) geändert und die Auswirkung dieser Änderung auf die Funktion berechnet. Anschließend wird die Funktionsänderung durch den Variablenzuschlag dividiert und dadurch der Differenzenquotient berechnet. Dabei soll beachtet werden, dass der Variablenzuschlag in der gleichen Größenordnung wie die Variablenstandardabweichung liegt, da zu große Zuschläge zu einem größeren Linearisierungsfehler und zu kleine Zuschläge zu nummerischen Instabilitäten führen können (Schwieger 2005). Formel (2.22) zeigt beispielhaft die Bestimmung des (i, j)-ten Elements der B-Matrix mittels nummerischer Differenzierung. bij = ∆fi ∆lj = fi(l1,l2, . . . ,lj +∆lj , . . . ,ln,X 0)− fi(l1,l2, . . . ,lj −∆lj , . . . ,ln,X 0) 2∆lj (2.22) Neben der Forderung in (2.12) beziehungsweise der linearisierten Form dieser Forderung in (2.15) muss die Lösung die minimale gewichtete Verbesserungsquadratsumme (2.5) aufweisen. Die Extremwertaufgabe in (2.5) mit der Nebenbedingung in (2.15) kann anhand der Methode von Lagrange mit unbestimmten Multi- plikatoren (vergleiche Niemeier 2008) gelöst werden. Daraus ergibt sich in Blockmatrizenschreibweise die Normalgleichung ( BQllB T A AT 0 )( k x̂ ) = ( −w 0 ) , (2.23) dabei repräsentiert k den (b× 1)-dimensionalen Korrelatenvektor. Ist der erste Term auf der linken Seite von (2.23) invertierbar, so ergibt sich die Lösung ( BQllB T A AT 0 )( k x̂ ) = − ( BQllB T A AT 0 )−1( w 0 ) = ( Q11 Q12 Q21 Q22 )( w 0 ) , (2.24) 12 2 Grundlagen und Stand der Technik mit: Q22 = −(AT (BQllB T )−1A)−1, Q12 = −(BQllB T )−1AQ22, Q21 = Q12 T , Q11 = −(BQllB T )−1(I−AQ21). (2.25) Die Parameterzuschläge können somit anhand x̂ = −Q21w (2.26) berechnet werden. Die Schätzwerte der Parameter ergeben sich durch Umformung von (2.20) zu X̂ = X0 + x̂. (2.27) Aufgrund der Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung bei der Linearisierung des funktionalen Modells entsteht bei nicht linearen Modellen ein Linearisierungsfehler. Aus diesem Grund muss bei solchen Modellen die Ausgleichung iterativ erfolgen. Dabei werden die in einem Iterationsschritt geschätzten Parameter X̂ als Näherungswerte X0 für die Parameter im nächsten Iterationsschritt eingesetzt. Die Iteration wird solange durchgeführt, bis ein vordefiniertes Abbruchkriterium erreicht wird. Dabei werden die Beträge der Parameterzuschläge betrachtet. Sind diese kleiner als ein vorgegebener Schwellwert, wird die Iteration gestoppt. Auffällig dabei ist, dass die Näherungswerte für die Beobachtungen L0 in der Bestimmung der ausgeglichenen Parameter in dieser Lösung nicht einfließen. Jedoch werden diese für die Herleitung der Kofaktormatrizen der ausgeglichenen Größen mittels des Varianzfortpflanzungsgesetzes (2.3.2) benötigt (vergleiche Pelzer 1985). Damit ergibt sich die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Parameter zu Qx̂x̂ = −Q22 (2.28) und der Schätzwert des Varianzfaktors zu σ̂2 0 = v̂TPv̂ f , (2.29) wobei v̂ = −QllB TQ11w (2.30) gilt. Erwähnenswert an dieser Stelle ist, dass die oben aufgeführte Lösung des GHMs in mehreren Publikationen, zum Beispiel L. Lenzmann und E. Lenzmann (2004), Neitzel und Petrovic (2008) und Neitzel (2010), kritisiert und als nicht streng bezeichnet wird. Für die strenge Lösung muss die Linearisierung in (2.14) beziehungsweise in (2.17) und (2.19), nach den Autoren, an der Stelle (L0,X0) erfolgen. Zudem wird die linearisierte Form des Widerspruchsvektors w (b×1) = −Bl (2.31) 2.2 Geodätische Schätzverfahren 13 für diese Lösung verwendet, wobei l = L − L0 der verkürzte Beobachtungsvektor ist. Für die weitere Vorgehensweise zur strengen Lösung des GHMs werden die an der Stelle (L0,X0) berechneten A- und B-Matrizen in den Gleichungen (2.25) sowie die linearisierte Form von w in (2.26) eingesetzt. Die weiteren Lösungsschritte unterscheiden sich nicht von den Schritten der nicht strengen Lösung. Diese Lösung erfordert somit das Auffinden von L0, die der Forderung (2.13) genügen. Jedoch ist die Erfüllung dieser Forderung bei komplexeren gemischten Gleichungen sehr aufwändig und sogar bei Modellen, in denen die gleichen Beobachtungen in mehreren Gleichungen auftauchen, teilweise nicht möglich (vergleiche 4.1.2). Die strenge Lösung ist somit nicht immer anwendbar. Aus diesem Grund wird eine weitere Variante zur Lösung des GHMs in 2.2.4 vorgestellt. 2.2.3 Gauß-Markov-Modell (GMM) Das Gauß-Markov-Modell (GMM) wird auch als vermittelnde Ausgleichung bezeichnet (Jäger et al. 2005). Es kann dann eingesetzt werden, wenn das funktionale Modell in (2.6) so formuliert werden kann, dass jede einzelne Beobachtung als Funktion der gesuchten Parameter dargestellt wird. Das GMM ist somit ein Sonderfall des GHMs, das bei funktionalen Modellen der Form (2.32) eingesetzt werden kann. Die hier vorgestellten Formeln zur Lösung des GMMs sind Niemeier (2008) und Jäger et al. (2005) entnommen: L̃ = F(X̃). (2.32) Ist der funktionale Zusammenhang (2.32) nicht linear, muss auch hier eine Linearisierung durchgeführt werden. Für diesen Zweck werden Näherungswerte X0 für die Parameter benötigt. Die Näherungswerte der Beobachtun- gen L0 ergeben sich dann direkt durch Einsetzten von X0 in (2.32). L0 = F(X0) (2.33) Daraus ergibt sich der verkürzte Beobachtungsvektor l = L− L0. (2.34) Die Linearisierung erfolgt dann wieder mittels Taylor-Reihenentwicklung an der Stelle der Näherungswerte X0 der Parameter. Dabei werden nur die partiellen Ableitungen (beziehungsweise die Differenzenquotienten) nach den Parametern beziehungsweise die A-Matrix (2.19) benötigt. Das linearisierte Modell ergibt sich zu l+ v̂ = A · x̂. (2.35) Die Lösung ergibt sich unter Berücksichtigung der zu minimierende Zielfunktion der Methode der kleinsten Quadrate (2.5) zu x̂ = (ATPA)−1ATPl. (2.36) Diese Lösung erfolgt nach dem regulären GMM unter der Bedingung, dass die Normalgleichungsmatrix N = ATPA invertierbar ist, das heißt einen vollen Rang (rg(N) = u) besitzt. Ansonsten erfolgt die Lösung nach dem GMM mit nicht vollem Rang. Für eine detaillierte Beschreibung der Lösung des GMMs mit nicht vollem Rang sei an dieser Stelle auf Koch (1997) verwiesen. 14 2 Grundlagen und Stand der Technik Ähnlich wie beim GHM erfolgt die Lösung bei nicht linearen Modellen iterativ bis zur Erfüllung des Abbruchkri- teriums. Dabei sind nicht nur die geschätzten Parameter, sondern auch deren Kofaktormatrix Qx̂x̂ von Interesse. Diese Matrix ergibt sich zu Qx̂x̂ = (ATPA)−1 = N−1. (2.37) Der Schätzwert des Varianzfaktors kann wieder anhand (2.29) berechnet werden. Dabei kann der Freiheitsgrad direkt aus der Differenz zwischen der Anzahl der Beobachtungen (n) und der unbekannten Parameter (u) berechnet werden, da die Anzahl der Beobachtungen und der Gleichungen (b) in der Sonderform des funktionalen Modells (2.32) gleich sind. Der Vektor der Verbesserungen für die Ausgleichung nach dem GMM ergibt sich durch Umformung von (2.35) zu v̂ = A · x̂− l. (2.38) Abschließend soll noch erwähnt werden, dass das GMM gewisse Vorteile gegenüber dem GHM hinsichtlich der einfacheren Handhabung und insbesondere der einfacheren Bestimmung von L0 aufweist. 2.2.4 Transformation des GHMs in ein GMM Eine weitere Variante zur Lösung des GHMs (2.2.2) ist die Transformation in das einfachere GMM (2.2.3). Die im Folgenden beschriebene Vorgehensweise für diese Transformation ist Jäger et al. (2005) entnommen. Es wird jedoch von der dort verwendeten Notation an einigen Stellen abgewichen, damit diese in den Gesamtkontext dieser Arbeit passt. Der n-dimensionale Beobachtungsvektor L wird in zwei Teilvektoren aufgeteilt; der b-dimensionale L1 und der (n− b)-dimensionale L2. L2 wird zum einen, neben X̂, als weitere Gruppe (Ŷ) der zu schätzenden Parameter und zum anderen als direkte Beobachtungsgruppe eingeführt. Das Funktionalmodell (2.12) ergibt sich somit zu F(L̂1,L̂2,X̂) = F(L̂1,Ŷ,X̂) = 0 (2.39) und wird um L̂2 = Ŷ (2.40) erweitert. Als Näherungswerte für die zusätzlichen Parameter Ŷ0 werden die Beobachtungswerte L2 eingesetzt. Damit ergibt sich der Widerspruchvektor zu w = F(L1,Y 0,X0). (2.41) Die Linearisierung von (2.39) und (2.40) führt zu B1 · v̂1 +Ay · ŷ +A · x̂+w = 0 (2.42) L̂2 + v̂2 = I · ŷ +Y0, (2.43) 2.3 Sensitivitätsanalyse 15 wobei der Vektor ŷ die Parameterzuschläge für die Parametergruppe Ŷ repräsentiert und B2 = I gilt. Der Übergang zum mathematischen Modell eines GMMs erfolgt durch eine Linksmultiplikation der Gleichung (2.42) mit B−1 1 . Dabei muss bei der Wahl der beiden Teilvektoren der Beobachtungen darauf geachtet werden, dass B1 einen vollen Rang besitzt. Die Verbesserungsgleichung des GMMs ergibt sich zu v̂ = ( v̂1 v̂2 ) = ( −B−1 1 Ay −B−1 1 A I 0 )( ŷ x̂ ) + ( −B−1 1 w 0 ) . (2.44) Durch eine Umformulierung von (2.44) gelangt man zu (2.35). Die weitere Lösung erfolgt somit analog zur weiteren Vorgehensweise in 2.2.3, jedoch muss für diese Lösung folgendes stochastisches Modell eingesetzt werden: Σll = ( Σl1l1 Σl1l2 Σl2l1 Σl2l2 ) . (2.45) 2.3 Sensitivitätsanalyse Die lokale Sensitivitätsanalyse wird im Rahmen dieser Arbeit zur Identifikation von wichtigen Eingangsgrößen des deterministischen Modells (3.3) sowie zur Optimierung des Kalibrieransatzes (3.4) eingesetzt. Für das Verständnis der lokalen Sensitivitätsanalyse wird in diesem Abschnitt zunächst eine Einführung in die Sensitivi- tätsanalyse gegeben. Anschließend wird das Varianzfortpflanzungsgesetz (VFG) hervorgehoben. Dieses Gesetz ist grundlegend für die lokale Sensitivitätsanalyse, die im Anschluss als Spezialfall der Sensitivitätsanalyse behandelt wird. 2.3.1 Allgemeine Einführung in die Sensitivitätsanalyse Mithilfe der Sensitivitätsanalyse können Modelle auf ihre Empfindlichkeit gegenüber Änderungen der Eingangsgrößen oder der Modelleigenschaften untersucht werden (Saltelli et al. 2000; Schwieger 2005). Damit kann der Zusammenhang zwischen den Varianzen der Eingangsgrößen und der Ausgangsgrößen eines Modells quantitativ und/oder qualitativ beschrieben werden. Dabei können sowohl variable Daten (zum Beispiel Beobachtungen) als auch Modellparameter, beispielsweise Kalibrierparameter, als Eingangsgrößen betrachtet werden (vergleiche Schwieger 2005). Die Sensitivitätsanalyse trägt zum besseren Verständnis der Modellreaktion auf Änderungen der Modellein- gangsgrößen bei (Saltelli et al. 2000). Sie kann somit im Modellierungsprozess integriert und zum Zwecke der • Modellvalidierung, • Modelloptimierung, • Identifikation wichtiger Eingangsgrößen, • Identifikation von Modelleigenschaften • und Risikobewertung eingesetzt werden (Saltelli et al. 2000; Schwieger 2005). Die Methoden der Sensitivitätsanalyse lassen sich im Allgemeinen nach der Art und dem Gültigkeitsbereich ihrer Aussage in drei Kategorien einteilen (Saltelli et al. 2000): 16 2 Grundlagen und Stand der Technik • Screening Methode: Diese Methode liefert lediglich qualitative Aussagen. In anderen Worten, sie er- möglicht es, die Einflussfaktoren (Eingangsgrößen oder Modelleigenschaften) nach ihrer Wichtigkeit beziehungsweise Signifikanz für die Ausgangsgrößen zu ordnen. Eine quantitative Aussage, das heißt eine genaue prozentuale Angabe bezüglich des Beitrags der Varianz der einzelnen Einflussfaktoren zur Varianz der Ausgangsgrößen, ist allerdings nicht möglich. • Lokale Sensitivitätsanalyse: Bei dieser Kategorie werden im Allgemeinen die einzelnen Einflussfaktoren der Reihe nach variiert, und die sich daraus ergebenden Änderung der Ausgangsgrößen als Sensitivitätsmaß betrachtet. Dadurch werden sowohl qualitative als auch quantitative Aussagen erzielt. Allerdings sind diese Aussagen bei nicht linearen Modellen nur für einen bestimmten Linearisierungspunkt (lokal) unter einer vorgegebenen Änderung des jeweiligen Einflussfaktors gültig. • Globale Sensitivitätsanalyse: Bei dieser Kategorie wird sowohl die gesamte Wahrscheinlichkeits- dichtefunktion als auch der gesamte Wertebereich der Einflussfaktoren des Modells berücksichtigt. Dementsprechend liefert diese Methode qualitative und quantitative Aussagen, die über den gesamten Modellbereich gültig sind. Die globale Sensitivitätsanalyse weist allerdings im Vergleich zur lokalen Sensitivitätsanalyse und Screening Methode eine höhere Komplexität auf und benötigt dementsprechend einen höheren Rechenaufwand. Innerhalb jeder der oben genannten Kategorien existieren mehrere Methoden der Sensitivitätsanalyse beziehungsweise Sensitivitätsmaße, die sich unter anderem in ihrer Eignung für bestimmte Modelleigenschaften unterscheiden. Eine ausführliche Beschreibung dieser Methoden kann man in Saltelli et al. (2000) finden. Schwieger (2005) fasst einige dieser Methoden zusammen und definiert deren Eignung hinsichtlich der Modelleigenschaften Linearität, Monotonität und Additivität. Die Sensitivitätsanalyse kann in verschiedenen Disziplinen Anwendung finden. Sie kann beispielsweise in der Chemie zur Analyse der thermodynamischen Einflüsse auf das Ergebnis eines chemischen Modells, in der Softwareentwicklung zur Analyse der Softwarezuverlässigkeit gegenüber bestimmten Annahmen und in der Ökonomie zur Analyse der Stabilität der geschätzten Parameter eines Modells gegenüber allen Faktoren, die von der Schätzung ausgeschlossen sind, eingesetzt werden (Saltelli et al. 2000). In der Ingenieurgeodäsie wird die Nützlichkeit der Sensitivitätsanalyse in mehreren Publikationen bewiesen. Das Potenzial der globalen Sensitivitätsanalyse wird beispielsweise in Schwieger (2005) zur Analyse von kinematischen Modellen und in Ramm (2008) zur Analyse von Filteralgorithmen gezeigt. Für aussagekräftige Ergebnisse wird jedoch ein ausreichend großer Stichprobenumfang benötigt (Schwieger 2005). Beetz (2012) nutzt die lokale Sensitivi- tätsanalyse zur Aufdeckung und Behebung der Schwachstellen einer Sensorkombination beziehungsweise zur Wahl von geeigneten Sensoren, um eine Zielvarianz der Ausgangsgröße zu erreichen. Er zeigt, dass die lokale Sensitivitätsanalyse bei geringeren Abweichungen des untersuchten Modells von der Linearität beziehungsweise bei genauen Eingangsgrößen zufriedenstellende Ergebnisse liefert. In solchen Fällen ist diese Methode deswegen und aufgrund der erheblichen Aufwandseinsparung gegenüber der globalen Sensitivitätsanalyse vorzuziehen. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird ausschließlich die lokale Sensitivitätsanalyse betrachtet und angewendet. 2.3.2 Varianzfortpflanzungsgesetz (VFG) Mit dem VFG können die Varianzen beziehungsweise die Kovarianzmatrix (ΣXX) der Ausgangsgrößen X eines Modells ausgehend von der Kovarianzmatrix (ΣLL) der stochastischen Eingangsgrößen L desselben Modells ermittelt werden. Die allgemeine Form des VFGs für ein Modell ist ΣXX = F ·ΣLL · FT , (2.46) 2.3 Sensitivitätsanalyse 17 wobei F die Jacobi-Matrix ist. Sie enthält die partiellen Ableitungen der Ausgangsgrößen nach den Eingangsgrö- ßen beziehungsweise die Differenzenquotienten dieser Größen (vergleiche 2.2.2). Durch die Bildung dieser Matrix werden nicht lineare Modelle gegebenenfalls linearisiert (vergleiche 2.2.2), deswegen kann das VFG sowohl auf lineare als auch auf nicht lineare Modelle angewendet werden. Für die Herleitung des VFGs sei an dieser Stelle auf Niemeier (2008) verwiesen. Es muss noch mal darauf hingewiesen werden, dass hier wieder auf die in der Geodäsie gebräuchliche Notation der stochastischen Eingangsgrößen (in der Regel Beobachtungen) und der Ausgangsgrößen (meistens Koordinaten) zurückgegriffen wird. Entsprechend der tatsächlich betrachteten Größen wird in Kapitel 3 und 5 dieser Arbeit eine andere Notation für diese Größen verwendet. Entsprechend der Formel (2.46) kann die Varianz σ2 Xj der Ausgangsgröße Xj anhand σ2 Xj = n∑ i=1 ( ∂Xj ∂Li )2 · σ2 Li + 2 · n−1∑ i=1 n∑ k=i+1 ∂Xj ∂Li · ∂Xj ∂Lk · σLiLk ≈ n∑ i=1 ( ∆Xj ∆Li )2 · σ2 Li + 2 · n−1∑ i=1 n∑ k=i+1 ∆Xj ∆Li · ∆Xj ∆Lk · σLiLk (2.47) bestimmt werden, wobei j = 1,2, . . . ,m mit m als Anzahl der Ausgangsgrößen, i = 1,2, . . . ,n, k = 2,3, . . . ,n mit n als Anzahl der Eingangsgrößen, σ2 Li die Varianz der i-ten Eingangsgröße und σLiLk die Kovarianz zwischen der i-ten und der k-ten Eingangsgröße ist. Für den Sonderfall der nicht korrelierten Eingangsgrößen gilt σLiLk = 0, somit ergibt sich der zweite Term in der rechten Seite der Gleichung (2.47) zu null. In diesem Fall kann die Varianz σ2 Xj der Ausgangsgröße Xj anhand der einfachen Form des VFGs in (2.48) bestimmt werden. σ2 Xj = n∑ i=1 ( ∂Xj ∂Li )2 · σ2 Li ≈ n∑ i=1 ( ∆Xj ∆Li )2 · σ2 Li (2.48) Abschließend soll noch der Vollständigkeit halber erwähnt werden, dass die Varianzen der Ausgangsgrößen anhand von stichprobenbasierten Methoden, zum Beispiel Monte-Carlo-Simulation, ermittelt werden können (Luhmann 2010b). Dabei muss eine ausreichend große Anzahl an Daten für die Eingangsgrößen generiert und ausgewertet werden. Anschließend werden die Variationen der Ergebnisse dieser Auswertung, das heißt der Ausgangsgrößen, zur Bestimmung der Varianzen der Ausgangsgrößen herangezogen. Ramm (2008) zeigt an einigen Beispielen, dass sich die ermittelten Varianzen aus dem VFG und der Monte-Carlo-Simulation für normal verteilte Eingangsgrößen nur bei stark nicht additiven Modellen signifikant unterscheiden. Diese Unterschiede sind auf Linearisierungsfehler beim VFG zurückzuführen, da nicht lineare Varianzanteile, aufgrund der Vernachlässigung der Glieder höher Ordnung bei der Reihenentwicklung für die Linearisierung (vergleiche 2.2.2), bei dem VFG vernachlässigt werden. Diese Anteile werden hingegen bei der Monte-Carlo-Methode berücksichtigt. 2.3.3 Lokale Sensitivitätsanalyse In der lokalen Sensitivitätsanalyse können mehrere Sensitivitätsmaße zum Ausdruck des Zusammenhangs zwischen den Varianzen der Ein- und Ausgangsgrößen eines Modells herangezogen werden. Eine vertiefende Übersicht für diese Maße findet man in Turanyi und Rabitz (2000). Im Rahmen dieser Arbeit werden die 18 2 Grundlagen und Stand der Technik normierten Sensitivitätskoeffizienten sowie die Sensitivitätsmaße zweiter Ordnung verwendet. Diese werden in diesem Abschnitt behandelt. Im Anschluss werden die Einschränkungen der lokalen Sensitivitätsanalyse hervorgehoben. 2.3.3.1 Sensitivitätsmaße Allen lokalen Sensitivitätsmaße liegen die partiellen Ableitungen der Ausgangsgrößen nach den Eingangsgrößen des betrachteten Modells zugrunde (Schwieger 2005). Die Sensitivitätsmatrix S ist somit mit der Jacobi-Matrix F gleichzusetzen. F = S =  S11 S12 · · · S1n S21 S22 · · · S2n ... ... . . . ... Sm1 Sm2 · · · Smn  (2.49) Die Elemente Sji der Sensitivitätsmatrix S werden als Sensitivitätskoeffizienten bezeichnet, wobei Sji = ∂Xj ∂Li ≈ ∆Xj ∆Li (2.50) ist. Die Koeffizienten in (2.50) repräsentieren die Änderung der Ausgangsgröße Xj , die durch eine Änderung der Eingangsgröße Li hervorgerufen wird. Diese Koeffizienten können somit als Sensitivitätsmaß eingesetzt werden. Allerdings haben die Sensitivitätskoeffizienten in einer Zeile der Sensitivitätsmatrix, entsprechend den Einheiten der verschiedenen Eingangsgrößen, unterschiedliche Einheiten. Ein direkter Vergleich dieser Koeffizienten ist somit nicht möglich (Turanyi und Rabitz 2000). Eine Aussage über die Wichtigkeit der jeweiligen Eingangsgrö- ßen wird dadurch erschwert. Dieses Problem lässt sich durch eine Normierung der Sensitivitätskoeffizienten beseitigen. Dabei wird eine varianzbezogene Normierung bevorzugt, da diese Normierung auch eine mögliche Gewichtung der Eingangsgrößen, die die Varianz der Ausgangsgrößen ebenfalls beeinflusst, berücksichtigt (Schwieger 2005). Entsprechend dieser Normierung ergeben sich die normierten Sensitivitätskoeffizienten Sσ ji zu Sσ ji = ∂Xj ∂Li · σLi σXj ≈ ∆Xj ∆Li · σLi σXj . (2.51) Die Koeffizienten in (2.51) sind dimensionslos und können deswegen direkt mit einander verglichen werden. Setzt man die normierten Koeffizienten an der entsprechenden Stellen in (2.49) ein, ergibt sich die normierte Sensitivitätsmatrix Sσ =  Sσ 11 Sσ 12 · · · Sσ 1n Sσ 21 Sσ 22 · · · Sσ 2n ... ... . . . ... Sσ m1 Sσ m2 · · · Sσ mn  . (2.52) Schwieger (2005) weist drauf hin, dass die normierten Sensitivitätskoeffizienten einer Ausgangsgröße bei linearen Modellen die Bedingung n∑ i=1 ( Sσ ji )2 = 1 (2.53) 2.3 Sensitivitätsanalyse 19 erfüllen. Somit kann eine genaue prozentuale Angabe zum Beitrag der Eingangsgröße Li zur Varianz der Ausgangsgröße Xj durch S2 ji[%] = ( Sσ ji )2 · 100 (2.54) angegeben werden. Bei linearen Modellen sind diese Koeffizienten deswegen als quantitative Sensitivitätsmaße zu betrachten. Wird jedoch die Varianz der Ausgangsgröße mit dem VFG bestimmt, so gilt die Bedingung (2.53) und somit die Angabe in (2.54) nur für den Sonderfall der nicht korrelierten Eingangsgrößen. Viel mehr und aufgrund der impliziten Linearisierung beim VFG gilt diese Bedingung in diesem Fall unabhängig von den ursprünglichen Eigenschaften des Modells. Der Beweis für diese Erkenntnisse wird im Folgenden aufgeführt. Durch Einsetzten von (2.51) in (2.53) ergibt sich, unter Betrachtung der einfachen Form des VFGs (2.48), n∑ i=1 ( Sσ ji )2 = n∑ i=1 ( ∂Xj ∂Li · σLi σXj )2 = 1 σ2 Xj · n∑ i=1 ( ∂Xj ∂Li · σLi )2 = 1 σ2 Xj · σ2 Xj = 1. (2.55) Das Ergebnis der Gleichung (2.55) ist, unabhängig von den Modelleigenschaften, gleich eins. Im Gegensatz dazu und bei korrelierten Eingangsgrößen ergibt sich die Summe ∑n i=1 ( ∂Xj ∂Li · σLi )2 unter Betrachtung der Gleichung (2.47) nicht zu σ2 Xj . In diesem Fall ist das Ergebnis von (2.55), auch unabhängig von den Modelleigenschaften, ungleich eins. Da bei der Berechnung eines normierten Sensitivitätskoeffizienten lediglich eine Eingangsgröße geändert wird, erlauben diese Koeffizienten keine Aussagen über die Wirkung der gleichzeitigen Änderungen mehrerer Eingangsgrößen auf die Ausgangsgrößen. Für diesen Zweck können lokale Sensitivitätsmaße höherer Ordnung eingesetzt werden. Dabei wird die Ausgangsgröße mehrfach, das heißt nach mehreren Eingangsgrößen, abgeleitet (Brayton und Spence 1980). Die Formel (2.56) zeigt beispielhaft die Berechnung des lokalen Sensitivitätsmaßes zweiter Ordnung für die Ausgangsgröße Xj bei einer gleichzeitigen Änderung der Eingangsgrößen Li und Lk. Sjik = ∂2Xj ∂Li∂Lk (2.56) Dieses Maß ist wieder von den Einheiten der Eingangsgrößen abhängig und erfordert deswegen eine Normierung. Im Rahmen dieser Arbeit wird eine varianzbezogene Normierung (2.57), entsprechend der Normierung in (2.51), vorgeschlagen und für die Bestimmung der normierten Sensitivitätsmaße zweiter Ordnung Sσ jik eingesetzt. Sσ jik = ∂2Xj ∂Li∂Lk · σLi · σLk σXj (2.57) Bei komplexeren Modellen mit zahlreichen Eingangsgrößen erhöht sich die Anzahl der möglichen Kombinatio- nen aus diesen Eingangsgrößen und somit auch die Anzahl der normierten Sensitivitätsmaße zweiter Ordnung. Dies erfordert einen hohen Rechenaufwand und erschwert gleichzeitig die Interpretation der Ergebnisse. Erwähnenswert ist, dass die notwendigen Ableitungen in (2.56) beziehungsweise in (2.57) ebenfalls nummerisch anhand 20 2 Grundlagen und Stand der Technik ∂2Xj ∂Li∂Lk ≈ Xj(Li+∆Li,Lk+∆Lk)−Xj(Li+∆Li,Lk−∆Lk)−Xj(Li−∆Li,Lk+∆Lk)+Xj(Li−∆Li,Lk−∆Lk) 4∆Li∆Lk (2.58) (Davis und Polonsky 1967) bestimmt werden können. 2.3.3.2 Einschränkungen der lokalen Sensitivitätsanalyse Die lokale Sensitivitätsanalyse weist folgende Einschränkungen auf: • Bei der Bestimmung der lokalen Sensitivitätsmaße werden weder der gesamte Wertebereich noch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der jeweiligen Eingangsgröße berücksichtigt. Diese Sensitivitätsmaße werden lediglich an einem bestimmten Wert der jeweiligen Eingangsgröße berechnet. Dabei wird die Wirkung einer festgelegten Änderung der jeweiligen Eingangsgröße auf die Ausgangsgrößen quantifiziert. Wird jedoch der aktuell betrachtete Wert oder die festgelegte Änderung der jeweiligen Eingangsgröße geändert, ändert sich bei nicht linearen Modellen diese Wirkung und somit auch der Wert des Sensitivi- tätsmaßes. Die lokalen Sensitivitätsmaße sind demzufolge weder für den gesamten Wertebereich noch für die gesamte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Eingangsgrößen von nicht linearen Modellen aussagekräftig. • Beim Vorliegen von korrelierten Eingangsgrößen verliert die Bedingung in (2.53) ihre Gültigkeit. Demzu- folge verlieren die lokalen Sensitivitätsmaße in diesem Fall ebenfalls ihre Gültigkeit oder zumindest ihre quantitative Aussagekraft. Erwähnenswert ist, dass dieses Problem nicht nur die lokale, sondern auch die globale Sensitivitätsanalyse betrifft. Für die globale Sensitivitätsanalyse existieren jedoch Lösungsansätze für dieses Problem, beispielsweise in Jacques et al. (2006). In dieser Lösung werden die Eingangsgrößen in Gruppen unterteilt, zwischen denen keine Korrelationen existieren. Die Sensitivitätsmaße werden für diese Gruppen der Eingangsgrößen bestimmt. Dennoch können durch diese Lösung die Sensitivitäten des Modells gegenüber den einzelnen Eingangsgrößen nicht bestimmt werden. Das Problem der korre- lierten Eingangsgrößen in der globalen Sensitivitätsanalyse ist somit, streng betrachtet, noch nicht gelöst (Schwieger 2005). • Eine weitere Einschränkung, die sowohl die lokale als auch die globale Sensitivitätsanalyse betrifft, tritt bei einer großen Anzahl an Modellausgangsgrößen auf. Dabei können die Einflüsse der einzelnen Eingangsgrößen auf die unterschiedlichen Ausgangsgrößen unterschiedlich ausfallen. In solchen Fällen ist die Interpretation der Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse problematisch und gegebenenfalls unmöglich (Saltelli et al. 2000). Diese Ergebnisse müssen deswegen für die Ausgangsgrößen zusammengefasst werden. Anstatt einer ausgangsgrößenbasierten Analyse wird in Saltelli et al. (2000) deswegen eine anwendungsbezogene Analyse empfohlen, die auf der Anwendung des Modells (model use) basiert. Entsprechend des im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Modells werden Lösungen für die oben aufgeführten Einschränkungen der lokalen Sensitivitätsanalyse vorgeschlagen (siehe Abschnitt 4.3) und implementiert. 2.4 6DOF-Zielsysteme und Bestimmungsverfahren 2.4.1 Die 6DOF eines Objektes Ein Freiheitsgrad ist „eine der Variablen (maximale Anzahl 6), die zur Festlegung der Bewegung eines Körpers im Raum erforderlich sind“ (DIN 2010e). Demzufolge legen die sechs Freiheitsgrade (6DOF) eines Objektes die Position und die Ausrichtung dieses Objektes in einem 3D-Raum für einen bestimmten Zeitpunkt fest. Im Einzelnen handelt es sich dabei um drei Translationen und drei Rotationen (Hennes und Richter 2008). Die 6DOF 2.4 6DOF-Zielsysteme und Bestimmungsverfahren 21 sind somit äquivalent zu den Transformationsparametern einer 3D-Helmert-Transformation (ohne Maßstab) beispielsweise zwischen dem Objektkoordinatensystem beziehungsweise körperfesten Koordinatensystem und einem übergeordneten Koordinatensystem (Abb. 2.1). Abb. 2.1: Die 6DOF eines Objektes im Raum, modifiziert nach NASA (2019) Die drei Translationen beschreiben in diesem Fall den Raumvektor X0 zwischen den Ursprüngen beider Koordi- natensysteme. Die drei Rotationen beschreiben die drei Rotationswinkel Roll, Nick und Gier beziehungsweise roll, pitch und yaw (Orientierungsfreiheitsgrade) der Koordinatenachsen des körperfesten gegenüber den Koordinatenachsen des übergeordneten Koordinatensystems. Erwähnenswert an dieser Stelle ist, dass andere bekannte Fachbegriffe eng mit dem 6DOF-Begriff verbunden sind. Der Begriff Pose eines Objektes (Hennes und Richter 2008; Herrmann 2016) oder der in der Photogrammetrie gebräuchliche Begriff äußere Orientierung (Luhmann 2010b) werden durch sechs Parameter beschrieben, die mit den 6DOF gleichzusetzen sind. 2.4.2 Anwendungen der 6DOF-Bestimmung Die korrekte Bestimmung der 6DOF eines Objektes beziehungsweise Messsystems im Raum ist bei vielen Anwendungen in verschiedenen Disziplinen eine Voraussetzung für die Qualitätssicherung des Endproduktes (Herrmann 2016). Entsprechend der zahlreichen Anwendungen existieren heutzutage zahlreiche Verfahren und Technologien zur Bestimmung der 6DOF. Im Folgenden werden Beispiele für verschiedene Anwendungsfelder der 6DOF-Bestimmung (ohne Anspruch auf Vollständigkeit) genannt. Ein tieferer Einblick in diese Anwen- dungsfelder kann unter anderem aus Herrmann (2016) entnommen werden. Die umfassende Darstellung eines Objektes in Form eines 3D-Modells, beispielsweise für Anwendungen in der Ingenieurvermessung, Denkmalpflege, Archäologie oder Architektur, erfordert in vielen Fällen die Fusionierung und Integration der Messdaten von unterschiedlichen Sensoren, zum Beispiel von Laserscannern und Kamera (Schuhmacher und Böhm 2005). In anderen Fällen, in denen das zu erfassende Objekt eine große räumliche Ausdehnung oder eine komplexe Form aufweist, reicht ein Standpunkt des Sensors zur vollständigen Erfassung nicht aus. Das Objekt muss deswegen von mehreren Standpunkten erfasst werden. In beiden Fällen müssen die Messdaten der verschiedenen Sensoren beziehungsweise der verschiedenen Standpunkte in ein gemeinsames Koordinatensystem überführt werden. Für diese Überführung ist die Bestimmung der 6DOF des jeweiligen Sensors für jeden Standpunkt in dem gemeinsamen Koordinatensystem erforderlich. Für diese Bestimmung in einem geodätischen Bezugssystem werden zusätzliche Messverfahren, zum Beispiel Tachymeter (2.5.1) oder globale Navigationssatellitensysteme (GNSS) eingesetzt (Schuhmacher und Böhm 2005). Alternativ kann eine Transformation in ein gemeinsames Koordinatensystem auch mithilfe der von den Aufnahmesensoren 22 2 Grundlagen und Stand der Technik (Laserscanner oder Kamera) erfassten Daten und ohne weitere Messverfahren realisiert werden. Dabei wird eine ausreichende Anzahl an Zielzeichen (mindestens drei) benötigt, die von den verschiedenen Sensoren beziehungsweise Standpunkte erfasst werden müssen. Alternativ kann diese Überführung ohne Zielzeichen bei ausreichender Überlappung der generierten 3D Punktwolken durch den ICP (iterative closest point) -Algorithmus (Besl und McKay 1992) erfolgen. Auch bei kinematischen Anwendungen, wie zum Beispiel dem Mobile Mapping, werden die 6DOF der mobilen Plattform zu jedem Messzeitpunkt benötigt. Solche Messplattformen sind in der Regel sowohl mit Aufnahmesensoren zum Erfassen der Umgebung (zum Beispiel Laserscanner, Kamera), als auch mit Sensoren zur Bestimmung der Position und Orientierung (6DOF) der Plattform (beispielsweise GNSS, INS, Odometer) (Luhmann 2010b; Herrmann 2016), ausgestattet. Zusätzlich zu der rein sensortechnischen 6DOF Bestimmung, können diese auch aus den Messdaten der Aufnahmesensoren abgeleitet werden. Ein Beispiel hierfür sind SLAM (Simultaneous Localization And Mapping) -Algorithmen (Durrant-Whyte und Bailey 2006). 6DOF-Messsysteme kommen auch in vielen Anwendungen der industriellen Messtechnik, zum Beispiel bei der Qualitätsprüfung der Produkte, der Automatisierung von Fertigungsprozessen, der Roboterkalibrierung (Luhmann 2009) zum Einsatz. Die eingesetzten 6DOF-Messsysteme können dabei entweder photogrammetrische Systeme (Luhmann 2010a), Koordinatenmessmaschinen (Deumlich und Staiger 2002), Messarme (Neukirch 2012) oder Lasertracker mit Erweiterungen (siehe 2.4.3) sein. Zunehmend werden 6DOF-Syteme auch in der Medizin eingesetzt. Luhmann (2010b) stellt ein Beispiel vor, in dem ein photogrammetrisches System, das aus einem Zwei-Kamera-Onlinesystem besteht, zur bildgestützten Planung und Durchführung von Operationen (image guided surgery) verwendet wird. Beide Kameras sind auf einer mobilen Plattform befestigt und erfassen fortlaufend Referenzpunkte, die sowohl am Patienten als auch an den Operationswerkzeugen angebracht sind. Dadurch können Lage und Orientierung (6DOF) der Operationswerkzeuge gegenüber dem lokalen Koordinatensystem, das durch die am Patienten angebrachten Referenzpunkte definiert ist, bestimmt werden. 2.4.3 6DOF-Zielsysteme für polare Messverfahren Wie in dem vorherigen Abschnitt erwähnt wurde, existieren heutzutage zahlreiche 6DOF-Systeme. Diese Systeme können in zwei Gruppen unterteilt werden. Die erste Gruppe umfasst Messsysteme, bei denen das 6DOF-System (oder das 6DOF-Subsystem) direkt in der Hauptkomponente des Systems verbaut ist. In dieser Kategorie fallen unter anderem Koordinatenmessmaschinen und Messarme. In der zweiten Gruppe bilden die 6DOF-Systeme die Erweiterungen (das heißt Zielsysteme) zu einem bestehenden Messsystem. Diese Erweiterungen ermöglichen unter anderem das Messen von Objekten oder Teilobjekten, die sich nicht in der direkten Sichtverbindung zur Hauptkomponente des Messsystems befinden (Herrmann 2016). Damit können insbesondere verdeckte Punkte erfasst werden. Diese übernehmen somit eine ähnliche Aufgabe wie das zu entwickelnde TZS, das als Erweiterung zum Tachymeter anzusehen ist und deswegen der zweiten Gruppe zugeordnet werden kann. Aus diesem Grund werden in den folgenden Teilabschnitten nur Systeme der zweiten Gruppe behandelt. Zudem werden auch nur solche Systeme, die als Erweiterung eines Polarmessverfahrens dienen, behandelt, da diese dem Messverfahren des Tachymeters entsprechen. Ein Beispiel für solche Systeme sind Lasertrackererweiterungen. Es handelt sich bei diesen Erweiterungen um Zielsysteme, die so konzipiert sind, dass deren drei Orientierungsfreiheitsgrade fortlaufend im Koordinatensystem des Lasertrackers bestimmt werden. Die anderen drei Freiheitsgrade, das heißt die Translationen, werden in der Regel direkt aus den Polarmesselementen des Lasertrackers bestimmt (vergleiche 2.4.4.1). 2.4 6DOF-Zielsysteme und Bestimmungsverfahren 23 Eine weitere Unterteilung dieser Systeme kann nach verschiedenen Kriterien erfolgen. Nach dem Einsatzbereich kann man zwischen Systemen zum Erfassen bezie