Verbrennung von Mischungen aus Anthrazit- und Braunkohle Von der Fakultät für Energie-, Verfahrens- und Biotechnik der Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung vorgelegt von Kamil Marcak aus Tarnowitz Hauptberichter: Prof. Dr. techn. Günter Scheffknecht Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. habil. Klaus Görner, Universität Duisburg-Essen Tag der mündlichen Prüfung: 20.Dezember 2022 Institut für Feuerungs- und Kraftwerkstechnik der Universität Stuttgart 2023 Danksagung und Vorwort III Danksagung und Vorwort „Du hast'n Pulsschlag aus Stahl.“ Herbert Grönemeyer Die Aufgabenstellung und der Beginn der vorliegenden Arbeit entstanden im Rahmen meiner Tätig- keit als Projektingenieur bei der RWE Technology. Für diese Möglichkeit bin ich dem Unternehmen zu Dank verpflichtet. Der überwiegende Teil dieser Arbeit bis hin zum erfolgreichen Abschluss er- folgte berufsbegleitend. Ein besonderer Dank gilt Herrn Univ.-Prof. Dr. techn. Günter Scheffknecht für die Übernahme des Hauptberichts und die gute Betreuung sowie Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Klaus Görner für die Übernahme des Mitberichts. Ebenfalls danken möchte ich Herrn apl. Prof. Dr.-Ing. Uwe Schnell für die intensive Begleitung und die zahlreichen fachlichen Diskussionen. Herzlich danken möchte ich vor allem meinen lieben Eltern, die mich mit einer schier unendlichen Geduld sowohl bei der Erstellung dieser Arbeit als auch in meiner persönlichen Weiterentwicklung sehr unterstützen. Auch meiner Frau Patricia, meiner Familie und meinen Freunden gilt ein besonde- rer Dank für ihr Verständnis, zahlreiche Stunden meiner Freizeit in das Erstellen einer Arbeit zu investieren, auf die ich sehr stolz bin. Neben der Erfüllung der Aufgabenstellung konnte ich mein persönliches Anliegen umsetzen, dass die deduktive Vorgehensweise bei der Erstellung der Arbeit sich im Text widerspiegelt: Die allem zugrundeliegende Modellierung in der Detailtiefe der moleku- laren Bewegung wird sukzessive erweitert, um letztlich den Zustand eines komplexen technischen Prozesses zu berechnen. IV Danksagung und Vorwort Danksagung und Vorwort V „Und der Mensch heißt Mensch, weil er vergisst, weil er verdrängt, weil er irrt und weil er kämpft, und weil er schwärmt und glaubt, sich anlehnt und vertraut, und weil er hofft und liebt, weil er mitfühlt und vergibt.“ Herbert Grönemeyer VI Danksagung und Vorwort Inhaltsverzeichnis Danksagung und Vorwort III Inhaltsverzeichnis VII Nomenklatur IX Kurzfassung XVI Abstract XVIII 1 Aufgabenstellung 1 2 Stand des Wissens 4 2.1 Allgemeiner Kohlenstaubverbrennungsprozess 4 2.2 Wesentliche Aufbau- und Betriebsmerkmale der Feuerung Ibbenbüren 6 3 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 9 3.1 Prozessabstraktion in der Detailtiefe der Molekularbewegung 9 3.1.1 Physikalische Grundlagen 9 3.1.2 Eigentliche Prozessabstraktion 10 3.2 Prozessabstraktion in der Detailtiefe der Strömungsbewegung 13 3.2.1 Ableitung der Bilanzgleichungen der exakten Strömungsbewegung 13 3.2.2 Vereinfachung der Bilanzgleichungen der exakten Strömungsbewegung 20 3.3 Modellierung nicht anwendungsspezifischer Prozessmerkmale 24 3.3.1 Stoffverhalten 24 3.3.2 Strömungsverhalten 31 3.3.3 Strahlungsverhalten 36 3.3.4 Umwandlungsverhalten 41 3.4 Resultierende Bilanzgleichungen 55 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Modellierung anwendungsspezifischer Prozessmerkmale 56 4.1 Simulationsraum 56 4.2 Massenstrom und Zustand der eintretenden Ströme 57 4.3 Stoffverhalten 60 4.4 Strahlungsverhalten 61 4.5 Umwandlungsverhalten 64 5 Aufbereitung und Berechnung des Gleichungssystems 67 5.1 Unterteilung des Simulationsraumes in nicht überlagerte Kontrollvolumina 67 5.2 Umformung der für jedes Kontrollvolumen aufgestellten Bilanzgleichungen 68 5.3 Approximation von Größen an den Rändern der Kontrollvolumina 70 5.4 Lösung des Gleichungssystems 72 6 Simulationsergebnisse 74 6.1 Festlegung unbekannter, anwendungsspezifischer Prozessmerkmale 74 6.2 Validierung der Vorgehensweise zur Simulation 78 6.3 Erörterung des Zünd- und Abbrandverhaltens 85 7 Zusammenfassung und Ausblick 90 Literaturverzeichnis 95 Anhang 108 A Ableitung der Bilanzgleichungen der exakten Strömungsbewegung 109 A.1 Wiederkehrende Umformungen 109 A.2 Umformung der Bilanzgleichungen 123 B Vereinfachung der Bilanzgleichungen der exakten Strömungsbewegung 134 B.1 Folgerungen einer Vereinfachung der Partikelbewegung 134 B.2 Umformung der Bilanzgleichungen 135 C Feuerungsunabhängige Stoffwerte 142 D Bestimmtheit der Energiebilanz des Gesamtprozesses 148 E Emissionsgrad der Gasphase 149 F Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse 151 Lebenslauf 154 Nomenklatur Symbole lateinische Buchstaben Symbol Einheit Bedeutung 𝐴 𝑚# Fläche 𝑎 𝑚#/𝑘𝑔 massenspezifische äußere Partikeloberfläche 𝐵)* − Ausbrandwert 𝑐 𝐽/(𝑘𝑔 𝐾) integrale massenspezifische Wärmekapazität 𝑐 𝑚/𝑠 Lichtgeschwindigkeit im Vakuum 𝐶 𝐽/(𝑘𝑔 𝐾) differentielle massenspezifische Wärmekapazität 𝐶 𝑣𝑎𝑟. Konstante, Hilfsgröße 𝐷 𝑚#/𝑠 Diffusionskoeffizient 𝐷 𝑚 Durchmesser 𝒆𝒄𝒉𝒆𝒎, 𝑒=>?@ 𝐽/𝑘𝑔 chemische Energie 𝒆𝒊𝑩, 𝑒CD 𝐽/𝑘𝑔 Energie der inneren Bewegungen 𝐸* 𝐽/𝑚𝑜𝑙 Aktivierungsenergie eines Arrheniusansatzes 𝒇, 𝑓 𝑚/𝑠# Phasenwechselbeschleunigung 𝑔 𝑚/𝑠# Erdbeschleunigung 9,80665 𝐺 𝑘𝑔/(𝑚 𝑠Q) Turbulenzproduktion ℎST 𝐽 𝑠 Planck-Konstante 6,62607 ∙ 10YQZ ∆ℎ\?] 𝐽/𝑘𝑔 Reaktionsenthalpie 𝐻_ 𝐽/𝑘𝑔 Heizwert im Referenzzustand 𝐼 𝑊/(𝑚# 𝑠𝑟) Strahlungsintensität 𝑗 𝑘𝑔/(𝑚# 𝑠) Massendiffusionsstromdichte 𝑘 1/𝑚 spektraler Koeffizient 𝑘 𝐽/𝑘𝑔 Turbulenzenergie 𝑘c 𝑣𝑎𝑟 Frequenzfaktor eines Arrheniusansatzes 𝑘Dd 𝐽/𝐾 Boltzmann-Konstante 1,38062 ∙ 10#Q X Nomenklatur 𝐿 𝑚 Mischungsweg 𝑳, 𝐿 𝑊/(𝑚Q 𝑠𝑟) spektrale Strahlungsdichte 𝑀i 𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙 molare Masse �̇�\?] 𝑘𝑔/(𝑚Q 𝑠) Reaktionsgeschwindigkeit 𝑛*lm − Ausbrandparameter 𝑁𝑢 − Nusseltzahl 𝑃𝑟 − Prandtlzahl 𝑝 𝑁/𝑚# Druck 𝑄 − relativer Wirkungsquerschnitt �̇� 𝑊 Feuerungswärmeleistung �̇� 𝑊/𝑚# Wärmestromdichte 𝑅 𝑣𝑎𝑟. Geschwindigkeitskonstante 𝑅 − Rückstand 𝑅u 𝐽/(𝑚𝑜𝑙 𝐾) universelle Gaskonstante 8,314 𝑆𝑐 − Schmidtzahl 𝑆ℎ − Sherwoodzahl 𝑆=>?@ 𝑊/𝑚Q Chemischer Quellterm 𝑺𝑴, 𝑆i 𝑘𝑔/(𝑚Q 𝑠) Massenquellterm 𝑺𝑺𝒕𝒓, 𝑆|}~ 𝑊/𝑚Q auf Wärmestrahlung beruhender Energiequellterm 𝑡 𝑠 Zeit 𝑇 𝐾 Temperatur 𝒖, 𝑢 𝑚/𝑠 Geschwindigkeit der Translation 𝑼, 𝑈 𝐽/𝑘𝑔 innere Energie ∆𝑈\?] 𝐽/𝑘𝑔 Reaktionsenergie ∆𝑈}> 𝐽/𝑘𝑔 thermischer Anteil der Änderung der inneren Energie 𝑉 𝑚Q Volumen 𝑋 𝑚, 𝑠 zeit-räumliche Stelle 𝑋�_ 𝑚 Skala der Turbulenz 𝑋�l 𝑚 Skala der Wärmebewegung 𝒙, 𝑥 𝑘𝑔/𝑘𝑔 Massenanteil 𝑥 𝑚 Raumrichtung Nomenklatur XI Symbole griechische Buchstaben Symbol Einheit Bedeutung 𝛼 𝑊/(𝑚# 𝐾) Wärmeübergangskoeffizient 𝛽 𝑘𝑔/(𝑚# 𝑠) Stoffübergangskoeffizient 𝛾�� − Masseanteil der Fine Structures 𝛤 − Richtungskosinus 𝛿 𝑚 gleichwertige Schichtdicke 𝜀 𝑚#/𝑠Q Dissipation 𝜀 − Emissionsgrad ∆𝜀 − Bandenüberlappung 𝜗 °𝐶 Temperatur 𝜅 − Isentropenexponent 𝜆 𝑊/(𝑚 𝐾) Wärmeleitfähigkeit 𝜆 𝑚 Wellenlänge 𝜇 𝑘𝑔/(𝑚 𝑠) dynamische Viskosität 𝜈 𝑚#/𝑠 kinematische Viskosität 𝜈 − stöchiometrischer Koeffizient 𝝆, 𝜌 𝑘𝑔/𝑚Q Dichte 𝜎 − Kennzahl 𝜎 𝑁/𝑚# Spannung 𝜎 𝑊/(𝑚# 𝐾Z) Stefan-Boltzmann-Konstante 5,67051 ∙ 10Y� 𝜏 𝑁/𝑚# Schubspannung 𝜏�� 𝑠 Verweildauer in den Fine Structures 𝜙 − allgemeine Bilanzgröße 𝜑 − relative Feuchtigkeit 𝚽, Φ − allgemeine Größe Φ − Phasenfunktion 𝛺 𝑠𝑟 Raumwinkel XII Nomenklatur Tiefgestellte Indizes lateinische Buchstaben Symbol Einheit Bedeutung 𝐴 − Asche 𝐴_𝑝 − Asche der Klasse 𝑝 𝑎𝑏𝑠 − Absorption 𝑏 − Bestandteil der Suspension (siehe Tabelle 3.1 und Tabelle 3.2) 𝐶_𝑝 − Substanz, aus der mineralstofffr. Koks der Klasse 𝑝 entsteht 𝐶𝐻4 − Methan 𝐶𝑂 − Kohlenstoffmonoxid 𝐶𝑂2 − Kohlenstoffdioxid 𝑐 − Wärmekapazität 𝐷 − Durchmesser 𝑒𝑚𝑠 − Emission 𝐹𝐵 − Flüchtige Bestandteile 𝐹𝑠 − Fine Structure 𝐺 − Gasphase, Masse der Gasphase 𝐺𝑔𝑓 − Gleichgewichtsfeuchte 𝐺𝑠 − Partikelgrenzschicht 𝐻2 − Wasserstoff 𝐻2𝑂 − Wasser 𝐼𝐴𝑘 − Ibbenbürener Anthrazitkohle 𝑖 − Koordinatenrichtung (1, 2, 3) 𝑗 − Koordinatenrichtung (1, 2, 3) 𝐾𝐿_𝑝 − Kohle der Klasse 𝑝 𝐾𝑉 − Kontrollvolumen 𝑘 − Koordinatenrichtung (1, 2, 3) 𝑘 − Turbulenzenergie 𝑘𝑜𝑛𝑣 − Konvektion 𝑘𝑜𝑟𝑟 − Korrektur 𝑙𝑒𝑖𝑡 − Leitung 𝑚 − Raumwinkel (siehe Unterkapitel 5.2) 𝑚𝑎𝑥 − maximal 𝑚𝑓𝐾𝐿_𝑝 − mineralstofffreie Kohlesubstanz der Klasse 𝑝 Nomenklatur XIII 𝑚𝑤𝑓𝐾𝐿_𝑝 − mineralstoff- und wasserfreie Kohlesubstanz der Klasse 𝑝 𝑚𝑓𝐾𝐾_𝑝 − mineralstofffreie Kokssubstanz der Klasse 𝑝 𝑁2 − Stickstoff 𝑂2 − Sauerstoff 𝑃 − Partikelphase, Partikel, Masse der Partikelphase 𝑃𝐼𝐴 − Primärgas aus Ibbenbürener Anthrazitkohle 𝑃𝑅𝐵 − Primärgas aus Rheinischer Braunkohle 𝑃ℎ − Spezifikation auf eine Phase (𝐺 oder 𝑃) 𝑝 − Partikelklasse (siehe Unterkapitel 4.2) 𝑅𝐵𝑘 − Rheinische Braunkohle 𝑅𝑈 − Ruß 𝑟 − Bruttoreaktion (siehe Tabelle 3.11) 𝑟𝑒𝑓 − im Referenzzustand 𝑟𝑓𝑙 − Reflexion 𝑟𝑠𝑡𝑟 − Rückwärtsstreuung 𝑆𝑂2 − Schwefeldioxid 𝑆ä𝑡𝑡 − Sättigungsdampfdruck von Wasser 𝑇𝑆 − Teerstoffe 𝑤𝑓𝐾𝐿_𝑝 − wasserfreie Kohlesubstanz der Klasse 𝑝 𝑥 − Raumrichtung 0_ 𝑝 − Trocknung der mineralstofffreien Kohlesubstanz der Klasse 𝑝 I_ 𝑝 − Primärpyrolyse der mineralstoff- und wasserfreien Kohlesub- stanz der Klasse 𝑝 II_ 𝑝 − Umwandlung der mineralstofffreien Kokssubstanz der Klasse 𝑝 III − Abbrand von Methan IV − Abbrand von Kohlenstoffmonoxid V − Abbrand von Wasserstoff VI − Abbrand von Teerstoffen VII − Sekundärpyrolyse von Teerstoffen im Hochtemperaturbereich VIII − Abbrand von Ruß IX − Sekundärpyrolyse von Teerstoffen im Niedertemperaturbe- reich XIV Nomenklatur Tiefgestellte Indizes griechische Buchstaben Symbol Einheit Bedeutung 𝜀 − Dissipation 𝜆 𝑚 Wellenlänge (0,1 - 1000 𝜇𝑚) 𝜙 − allgemeine spezifische Bilanzgröße Hochgestellte Indizes lateinische Buchstaben Symbol Einheit Bedeutung 𝐴_𝑝 − an der äußeren Oberfläche der Partikel der Klasse 𝑝 𝐵𝑒𝑤 − Bewegungsinduziert 𝑒𝑓𝑓 − effektiv 𝐺 − Anteil der Gasphase 𝐺𝑔𝑤 − im Gleichgewichtszustand 𝑖𝑔 − Stoffwert eines idealen Gases 𝑘𝑟𝑖𝑡 − im kritischen Zustand 𝑀 − materialspezifische Größe 𝑀𝑃 − im Mittelpunkt eines Kontrollvolumens 𝑚𝑎𝑥 − maximal 𝑚𝑖𝑡 − massengemittelt 𝑚𝑖𝑛 − minimal 𝑃 − Anteil der Partikelphase, Partikel 𝑝0 − Druck von 1 𝑏𝑎𝑟 𝑝𝑠𝑑 − Pseudo 𝑆𝑎𝑡 − im Sattdampfzustand 𝑆𝑏 − Strömungsbewegung 𝑇𝑢 − Turbulenz, turbulenzinduziert, Wirbelstoffwert 𝑈𝑚𝑤 − umwandlungsinduziert 𝑣 − isochore Zustandsänderung 𝑊𝑏 − Wärmebewegung, wärmeinduziert 0 − Anfangszustand +𝑖 − Kontrollvolumenrand in positiver Koordinatenrichtung 𝑖 −𝑖 − Kontrollvolumenrand in negativer Koordinatenrichtung 𝑖 Nomenklatur XV Hochgestellte Indizes griechische Buchstaben Symbol Einheit Bedeutung 𝜀 − Emissionsgrad Abkürzungen Symbol Bedeutung 𝐴« Asche der Klasse 𝑝 Bre. Brenner 𝐶𝐻Z Methan 𝐶𝑂 Kohlenstoffmonoxid 𝐶𝑂# Kohlenstoffdioxid FWL Feuerungswärmeleistung 𝐻# Wasserstoff 𝐻#𝑂 Wasserdampf 𝐾𝐿« Kohle der Klasse 𝑝 𝑚𝑓𝐾𝐾« mineralstofffreier Koks der Klasse 𝑝 𝑚𝑓𝐾𝐿« mineralstofffreie Kohle der Klasse 𝑝 𝑚𝑤𝑓𝐾𝐿« mineralstoff- und wasserfreie Kohle der Klasse 𝑝 𝑁# Stickstoff 𝑂# Sauerstoff 𝑅𝑈 Ruß SIMPLEC Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Consistent 𝑆𝑂# Schwefeldioxid 𝑇𝑆 Teerstoffe 𝑤𝑎𝑓 wasser- und aschefrei Kurzfassung Die RWE Generation SE betreibt in Ibbenbüren unter zunehmend schwierigeren wirtschaftlichen Randbedingungen ein Kohlekraftwerk. Möglicherweise kann zur Erhöhung des Deckungsbeitrags ein Teil der betriebsüblich eingesetzten Ibbenbürener Anthrazikohle durch Rheinische Rohbraunkohle substituiert werden. Beide Kohlen unterscheiden sich in der Ausprägung eines grundsätzlich gleichen Aufbaus aller Kohlen, was sich auf verschiedene Weise auf den Verbrennungsprozess auswirken kann. Die Aufgabe dieser Arbeit besteht darin, auf Grundlage entsprechender numerischer Strö- mungssimulationen zu erörtern, inwiefern entsprechende Kohlemischungen mit einem Feuerungs- wärmeanteil der Rheinischen Braunkohle von bis zu 40% im Dampferzeuger des Kraftwerks Ibben- büren zünden und abbrennen würden. Die Strömungssimulationen erfolgen mittels einer entsprechen- den Weiterentwicklung von AIOLOS, eines am Institut für Feuerungs- und Kraftwerkstechnik der Universität Stuttgart eigens zur Simulation von Kohlenstaubverbrennungsprozessen entwickelten Re- chencodes. (siehe Kapitel 1) Zur Führung des Verbrennungsprozesses dient im Kraftwerk Ibbenbüren eine Schmelzfeuerung. Diese umfasst unter anderem acht Walzenschüsselmühlen, in denen die Kohle simultan gemahlen und getrocknet wird, ehe sie über entsprechende Brenner in zwei Feuerräume eintritt. In den Feuer- räumen bewirken die Vermischung des Kohlenstaub-Trägergas-Gemisches mit Rauchgas und der Strahlungswärmeaustausch die Umwandlung der Kohle. Hierbei entweichen zunächst adsorptiv ge- bundene Gase. Im weiteren Verlauf wandelt sich die feste Kohle, wobei verschiedene Gase entstehen, und Verbrennungsprozesse setzen ein. Die Rauchgase beider Feuerräume strömen in einen gemein- samen Strahlungsraum, an dessen Ende die Konvektivheizflächen beginnen. (siehe Kapitel 2) Die erstellten Strömungssimulationen basieren auf der Modellierung des allgemeinen Kohlenstaub- verbrennungsprozesses. Dieser Prozess ist in der Detailtiefe der molekularen Bewegung durch jeweils eine Bilanzgleichung für die Masse eines Bestandteils, den Impuls jeder Phase, die gesamte Energie jeder Phase und die Änderung der spektralen Strahlungsdichte beschrieben. Aus diesem Gleichungs- system ist die Prozessbeschreibung in der geringeren Detailtiefe der Strömungsbewegung abgeleitet, was unter anderem eine Modellierung verschiedener, unbekannter Terme beinhaltet. (siehe Kapitel 3) Kurzfassung XVII Die Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses führt zu einem unterbestimm- ten Gleichungssystem. Dessen Schließung erfolgt mittels einer Modellierung verschiedener anwen- dungsspezifischer Prozessmerkmale. Hierzu zählen Randbedingungen betreffend die Ausprägung des Simulationsraumes und den Zustand der eintretenden Stoffströme wie auch Eigenschaften, die das Stoff-, Strahlungs- und Umwandlungsverhalten beschreiben. (siehe Kapitel 4) Das resultierende Gleichungssystem ist analytisch nicht lösbar. Eine entsprechende Aufbereitung des Gleichungssystems ermöglicht die Berechnung einer Näherung des Prozesszustandes an diskreten Stellen. Die Aufbereitung umfasst die Unterteilung des Simulationsraumes in Kontrollvolumina, die Umformung der für jedes Kontrollvolumen aufgestellten Bilanzgleichungen und die Approximation von Größen an den Rändern der Kontrollvolumina. (siehe Kapitel 5) Die Ausprägung von zwei anwendungsspezifischen Prozessmerkmalen ist nicht bekannt, weswegen ihre Festlegung auf einer entsprechenden Sensitivitätsanalyse basiert. Aufgrund dieser und weiterer Vereinfachungen ist die gesamte Vorgehensweise mit dem Ergebnis validiert, dass der Einfluss einer Mitverbrennung Rheinischer Braunkohle auf das Zünd- und Abbrandverhalten zuverlässig analysiert werden kann. Die Analyse zeigt, dass die Struktur und Lage der Flammen sich nur unwesentlich ändern, während die Wärmeaufnahme der Feuerraumwände zurückgeht. So sinkt die Wärmeauf- nahme der Feuerraumwände um 12% bei einer Mitverbrennung Rheinischer Braunkohle mit einem Feuerungswärmeanteil von 40%. Der Glühverlust am Strahlungsraumende steigt bei Mitverbrennung Rheinischer Braunkohle geringfügig an. Eine Mitverbrennung Rheinischer Braunkohle mit einem Feuerungswärmeanteil von bis zu 40% ist aus feuerungstechnischer Sicht unbedenklich, doch ist die Beeinflussung des Produktionsbetriebes insbesondere durch die sich ändernden Wärmeaufnahmen der verschiedenen Heizflächen näher zu erörtern. (siehe Kapitel 6) Abstract The RWE Generation SE operates a coal-fired power plant in Ibbenbüren under increasingly difficult economic conditions. Possibly, in order to increase the contribution margin, a part of the normal used anthracite from Ibbenbüren can be substituted by Rhenish lignite. Both coals differ in the form of a basically identical structure of all coals, which can affect the combustion process in different ways. The task of this thesis is to discuss, on the basis of corresponding numerical flow simulations, how the corresponding coal mixtures in the steam generator of the power plant in Ibbenbüren would ignite and burn off. The flow simulations are made by means of a relevant evolution of AIOLOS, a computer code specially developed for the simulation of pulverized coal combustion processes at the Institute of Combustion and Power Plant Technology of the University of Stuttgart. (see chapter 1) In the power plant in Ibbenbüren a slag-tap furnace is installed to handle the combustion process. This includes, inter alia, eight vertical roller mills in which the coal is ground and dried simultane- ously before it enters two combustion chambers via respective burners. In the combustion chambers the conversion of the coal is induced by the mixing of the coal dust-carrier gas mixture with flue gas and the radiant heat exchange. At first, adsorptively bound gases escape. Then the solid particle struc- ture changes and combustion processes begin. The flue gases flow from the combustion chambers into a common radiation section. At the end of the radiation space the convective heating surfaces are installed. (see chapter 2) The flow simulations created are based on the modeling of the general coal dust combustion process. This process is described in the depth of detail of the molecular motion through a balance equation for the mass of a component, the momentum of each phase, the total energy of each phase and the change of the spectral radiation. From this process description the process description is derived in the lesser depth of detail of the flow movement, which among other things includes a modeling of different unknown terms. (see chapter 3) The modeling of the general pulverized coal combustion process leads to a under-determined system of equations. Its closure takes place by means of the modeling of various application-specific process Abstract XIX features. These include boundary conditions regarding the design of the simulation space and the state of the incoming material flows as well as properties that describe the substance, radiation and con- version behavior. (see chapter 4) The resulting system of equations cannot be solved analytically. A corresponding preparation of the equation system makes it possible to calculate an approximation of the process state at discrete posi- tions. The processing includes the subdivision of the simulation space in control volumes, the trans- formation of the balance equations established for each control volume and the approximation of quantities at the boundaries of the control volumes. (see chapter 5) The characteristics of two application-specific process features are not known, why their determina- tion is based on a corresponding sensitivity analysis. Due to these and other simplifications, the entire procedure is validated with the result that the influence of co-firing of Rhenish lignite on the ignition and combustion behaviour can be reliably analysed. The analysis shows that the structure and position of the flames only change insignificantly due to the lower heat absorption of the combustion chamber walls. The loss on ignition at the end of the radiation space increases slightly when Rhenish lignite is co-fired. Co-firing of Rhenish lignite with a proportion of rated thermal input of up to 40% is harm- less, but the influence on production operations, in particular due to the changed heat absorption of the various heating surfaces, needs to be discussed in more detail. (see chapter 6) 1 Aufgabenstellung Die RWE Generation SE betreibt in Ibbenbüren ein Kohlekraftwerk. Als Brennstoff dient im We- sentlichen die in der unmittelbar angrenzenden Zeche gewonnene Anthrazitkohle, für die die Anlage ausgelegt wurde. Im Bestreben nach einem höheren Deckungsbeitrag wird überlegt, einen Teil der Ibbenbürener Anthrazitkohle durch Rheinische Braunkohle zu substituieren. Hierzu soll auf dem Be- kohlungsweg dem Gesamtmassenstrom an Ibbenbürener Anthrazitkohle Rheinische Braunkohle gleichmäßig zugemischt und sowohl die installierte Anlagentechnik als auch die gegenwärtige Be- triebsweise beibehalten werden. Die genannten Kohlen haben wie die Kohlen aller Lagerstätten einen grundsätzlich gleichen Aufbau, der lagerstättenspezifisch unterschiedlich ausgeprägt ist. So besteht Kohle aus einer festen, porösen Struktur [1], in der vor allem Wasser adsorbiert ist. Die feste Struktur setzt sich überwiegend aus aromatischen und aliphatischen Kohlenwasserstoffverbindungen und verschiedenen Mineralien zu- sammen. Der Anteil und die Größe der aromatischen Strukturen sind tendenziell größer, je höher inkohlt eine Kohle ist [2]. Die chemische Struktur von Kohle und eine damit zusammenhängende Einteilung von Kohle in verschiedene Sorten ist durch die nachstehende Abbildung veranschaulicht. Abbildung 1-1: Chemische Struktur von Kohle [2] und Einteilung in Kohlesorten [3] Ein aromatreicherer Aufbau spiegelt sich in einer tendenziell weniger porösen Struktur und einem kleineren Anteil adsorbierten Wassers wider. Der Anteil weiterer Gase, die bei entsprechender Er- wärmung aus Kohle hervorgehen, sinkt tendenziell mit steigendem Inkohlungsgrad. Diese Gase Braunkohle Flamm- und Fett- und Mager- und Gasflammkohle Esskohle Anthrazitkohle Inkohlungsgrad 2 Aufgabenstellung entstehen nämlich vermehrt aus aliphatischen Strukturen, während Aromate erhalten bleiben und erst durch Verbrennungsreaktionen aufgebrochen werden. Die Tendenz eines größeren Aromatenanteils und eines geringeren Wassergehaltes äußert sich zudem in einem tendenziell höheren Heizwert. Zur Quantifizierung des Unterschieds zwischen Ibbenbürener Anthrazitkohle und Rheinischer Braun- kohle sind in der folgenden Tabelle ausgewählte Eigenschaften beider Kohlen gegenübergestellt. Tabelle 1.1: Eigenschaften Ibbenbürener Anthrazitkohle und Rheinischer Braunkohle auf den Rohzustand bezogene Eigenschaft Ibbenbürener Anthrazitkohle Rheinische Braunkohle Massenanteil Wasser nach DIN 51718 [4] 9,00% 54,00% Massenanteil Asche nach DIN 51719 [5] 8,10% 2,50% Massenanteil Flüchtige nach DIN 51720 [6] 5,47% 23,50% Massenanteil Kohlenstoff nach DIN 51733 [7] 76,30% 30,40% Massenanteil Wasserstoff nach DIN 51733 [7] 3,15% 2,20% Massenanteil Sauerstoff nach DIN 51733 [7] 1,75% 10,30% Massenanteil Stickstoff nach DIN 51733 [7] 0,88% 0,40% Massenanteil Schwefel nach DIN 51733 [7] 0,82% 0,20% Heizwert nach DIN 5499 [8] in 𝑀𝐽/𝑘𝑔 28,70 10,10 Dichte der Kohle in 𝑘𝑔/𝑚Q 1450 940 Der Einsatz einer Mischung beider Kohlen würde sich auf die Massenströme der für den Verbren- nungsprozess wesentlichen Betriebsstoffe Kohle und Luft auswirken. Aus den in der vorstehenden Tabelle aufgeführten Eigenschaften geht hervor, dass bei konstanter Feuerungswärmeleistung der Kohlemassenstrom mit zunehmendem Anteil an Rheinischer Braunkohle markant steigen würde, während der Luftmassenstrom und die Summe dieser beiden Massenströme nahezu unverändert bliebe. Dies verdeutlicht die folgende Abbildung, die auf Basis einer entsprechenden Verbrennungs- rechnung die relative Änderung der in den Dampferzeuger eintretenden Massenströme über den An- teil an Feuerungswärmeleistung durch Rheinische Braunkohle zeigt. Aufgabenstellung 3 Abbildung 1-2: relative Massenströme von Kohle und Luft bei einem Gesamtluftverhältnis von 1,08 Unbekannt ist, inwiefern sich eine höhere Kohlenstaubkonzentration und die unterschiedliche Aus- prägung des Kohlenaufbaus auf den Verbrennungsprozess auswirken würden: Einerseits könnte bei- spielsweise ein größerer Anteil flüchtiger Bestandteile eine frühere Zündung der Anthrazitkohle be- wirken; andererseits könnte der größere Wassereintrag über eine mögliche Temperaturabsenkung die Zündung der Anthrazitkohle verzögern. Dass derartige Wechselwirkungen bei Einsatz von Kohlemi- schungen auftreten können, zeigten beispielsweise Ikeda et al. [9] oder Hashimoto und Shirai [10]. So stellten Ikeda et al. [9] eine Verlangsamung des Abbrandes einer Gasflammkohle in einer Brenn- kammer mit einer thermischen Leistung von 0,76 𝑀𝑊 fest, als diese gemeinsam mit einer Braun- kohle verbrannt wurde, einhergehend mit einem höheren Glühverlust in der Asche. Ursächlich hierfür war nach Ikeda et al. [9] der geringere Sauerstoffpartialdruck an der Oberfläche der Gasflammkohle- partikel, der vom größeren Wassereintrag durch die Braunkohle herrührte. In einer weitergehenden Untersuchung dieser Versuche mittels numerischer Strömungssimulation zeigten Hashimoto und Shirai [10], dass die Verbrennungszone mit zunehmendem Braunkohleanteil weiter entfernt vom Brenner liegt. Hashimoto und Shirai [10] machten hierfür die niedrigere Temperatur im Brennernah- bereich aufgrund des größeren Wassereintrags durch die Braunkohle verantwortlich. Vor diesem Hintergrund scheint es möglich, dass auch bei Einsatz einer Mischung aus Ibbenbürener Anthrazitkohle und Rheinischer Braunkohle der Abbrand langsamer abläuft und der Anteil an Un- verbranntem in der Asche größer ausfällt als derzeit üblich. Auch das Aussetzen einer Zündung der Anthrazitkohle kann nicht ausgeschlossen werden. Auf Basis numerischer Strömungssimulationen zu erörtern, inwiefern entsprechende Kohlemischungen mit einem Feuerungswärmeanteil der Rhei- nischen Braunkohle von bis zu 40% im Dampferzeuger des Kraftwerks Ibbenbüren zünden und ab- brennen würden, ist Aufgabe dieser Arbeit. 0% 50% 100% 150% 200% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% re la tiv er M as se ns tro m [- ] Anteil Rheinischer Braunkohle an Feuerungswärmeleistung [-] Kohle Luft Kohle + Luft 2 Stand des Wissens 2.1 Allgemeiner Kohlenstaubverbrennungsprozess Bei Kohlenstaubverbrennungsprozessen wird die Kohle gemahlen und getrocknet, ehe sie mithilfe eines Trägergases in einen Feuerraum eingeblasen wird, in dem der Strahlungswärmeaustausch und die Vermischung des Kohlenstaub-Trägergas-Gemisches mit Rauchgas und Luft die Umwandlung der Kohlepartikel initiiert. Den allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozess zeichnet aus, dass alle stofflichen Umwandlungen auf fünf sogenannte umwandlungsrelevante Teilprozesse reduziert sind. Diese umfassen die Trocknung der Kohlepartikel, die Primärpyrolyse der trockenen Kohlesubstanz, die Sekundärpyrolyse von Teerstoffen, den Abbrand gasförmiger Bestandteile und die Umwandlung von Koks. Die umwandlungsrelevanten Teilprozesse sind nachstehend erläutert. Der im Feuerraum zeitlich zuerst einsetzende Teilprozess ist die Trocknung der Kohlepartikel. An- schließend folgen weitere Trenn- und Umwandlungsvorgänge. So entweichen zuerst absorptiv ge- bundene Gase mit einem Molekulargewicht unter 200 𝑘𝑔/𝑘𝑚𝑜𝑙 [11]. Ab einer Temperatur von etwa 400 °𝐶 wandelt sich die feste Kohlestruktur: Verschiedene Verbindungen dissoziieren, beginnend bei den thermisch instabilsten, zu denen bspw. Wasserstoffbrückenbindungen oder aliphatische Ver- bindungen zwischen den aromatischen Strukturen zählen [11]. Aus den langkettigen Strukturen ent- stehen so kleinere Fragmente, sogenannter Metaplast [12] oder sogenanntes Urbitumin [13]. Schnelle Rekombinationsreaktionen lassen verschiedene Gase entstehen, die an die äußere Oberfläche der Par- tikel diffundieren und in die Gasphase übergehen können [11]. Die während der Primärpyrolyse ent- weichenden Gase unterscheiden sich in die sogenannten Primärgase und Teerstoffe [14] [11]. Die Teerstoffe umfassen nach Solomon et al. [12] alle Pyrolyseprodukte, die bei Raumtemperatur flüssig sind, außer Wasser. Somit heben sich Teerstoffe von den Primärgasen durch ihre größere molekulare Struktur ab. Der feste Rückstand der Primärpyrolyse heißt Koks. Stand des Wissens 5 Die Sekundärpyrolyse umfasst verschiedene Dissoziations- und Rekombinationsreaktionen, auf- grund derer aus den Teerstoffen unter anderem Ruß und verschiedene, leichte Gase entstehen können [14]. Anhand der Reaktionsprodukte unterscheidet sich die Sekundärpyrolyse in zwei Bereiche: Im Niedertemperaturbereich entstehen aus den Teerstoffen überwiegend Ruß, Kohlenstoffmonoxid und leichtere Kohlenwasserstoffe [15] [16] [17]. Im Hochtemperaturbereich hingegen entsteht Wasser- stoff anstelle der leichteren Kohlenwasserstoffe [18] [19] [20]. Gasförmige Bestandteile und Ruß verbrennen. Koks hingegen kann sich prinzipiell auf vier Weisen umwandeln [21]: 1) An der Partikeloberfläche kann Koks vollständig abbrennen, sofern dort der Sau- erstoffpartialdruck und die Temperatur ausreichend hoch sind. Hierbei entsteht Kohlenstoffdioxid. 2) Koks und Sauerstoff können an der Partikeloberfläche auch zu Kohlenstoffmonoxid reagieren, das in der Gasphase verbrennt. 3) Alternativ kann an der Partikeloberfläche gebildetes Kohlenstoffmonoxid in Oberflächennähe verbrennen. 4) Weiterhin kann Koks an seiner Oberfläche mangels Sauerstoff vergasen, indem Kohlenstoffdioxid und Koks zu Kohlenstoffmonoxid oder Wasserdampf und Koks zu Kohlenstoffmonoxid und Wasserstoff reagieren. Die Ursache für den Sauerstoffmangel liegt in einer partikelnahen Verbrennung des Kohlenstoffmonoxids, wodurch jeglicher Sauerstoff in Parti- kelnähe gebunden wird. Üblicherweise beträgt in einer Kohlenstaubfeuerung die Verbrennungstemperatur mehr als 800 °𝐶 und der Partikeldurchmesser weniger als 200 𝜇𝑚, sodass Koks und Sauerstoff überwiegend zu Koh- lenstoffmonoxid reagieren, das vermehrt außerhalb der Partikelgrenzschicht abbrennt. Dies geht aus der Analyse des Verhältnisses zwischen Kohlenstoffmonoxid und Kohlenstoffdioxid als Produkte des Abbrandes von Graphit und eines Kohlenkokses nach Arthur [22] und ihrer Erweiterung um den Einfluss der Partikelgröße nach Görner [23] hervor, wie Abbildung 2-1 zeigt. Abbildung 2-1: Anteil Kohlenstoffmonoxid als Produkt des Koksabbrandes [22] [23] 0% 25% 50% 75% 100% 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 M as se na nt ei l C O [k g C O / (k g C O + k g C O 2) ] Temperatur [°C] = 50 µm = 100 µm = 200 µm = 300 µm = 400 µm𝐷S 𝐷S 𝐷S 𝐷S 𝐷S 6 Stand des Wissens 2.2 Wesentliche Aufbau- und Betriebsmerkmale der Feuerung Ibbenbüren In Ibbenbüren ist eine Schmelzfeuerung mit einer Feuerungswärmeleistung im Volllastbetrieb von etwa 2060 𝑀𝑊 installiert. Der Verbrennungsprozess läuft überwiegend in zwei identischen, spiegel- symmetrisch angeordneten Feuerräumen ab. In den Feuerräumen herrscht aufgrund ihrer kompakten Bauweise eine vergleichsweise hohe Temperatur, damit die niederflüchtige Ibbenbürener Anthrazit- kohle zündet und abbrennt (vgl. [24]). Im unteren Bereich der Feuerräume strömen die Rauchgase in einen mittig angeordneten Strahlungsraum, ehe sie die Konvektivheizflächen passieren. Ein Schnitt- bild des Dampferzeugers zeigt Abbildung 2-2. Abbildung 2-2: Seitenwand-paralleler Schnitt durch den Dampferzeuger im Kraftwerk Ibbenbüren [25] Abbildung 2-3: Walzenschüsselmühle [26] Zur Mahltrocknung der Rohkohle dienen acht Walzenschüsselmühlen, deren Aufbau Abbildung 2-3 veranschaulicht. Im Volllastbetrieb der Anlage werden sieben von ihnen nahezu gleichmäßig mit Kohle beaufschlagt. Hierzu dient jeweils ein Kohlefallschacht je Mühle, durch den die Kohle auf eine rotierende Schüssel fällt, auf der sie sich der Fliehkraft wegen nach außen bewegt. Dabei überrollen drei Mahlwalzen die Kohle. Am Schüsselrand strömt die Primärluft in vertikaler Richtung nach oben. Kohlefall- schacht Schüssel Mahlwalze Lamellen- sichter Lufteinlass Austritt Feuerräume Strahlungs- raum Konvektiv- heizfächen Vorderwand Rückwand Stand des Wissens 7 Sie erfasst den Kohlenstaub und trägt diesen Richtung Austritt. Währenddessen trocknet der Kohlen- staub. Am Mühlenkopf muss der Kohlenstaub-Luft-Strom einen rotierenden Lamellensichter passie- ren. Dieser bewirkt eine Rückführung grober Partikel ins Mahlbett. Der den Sichter passierende Koh- lenstaub-Luft-Strom verlässt die Walzenschüsselmühle am Mühlenkopf. Jeder Feuerraum verfügt über 16 Stufenmischbrenner, die in zwei parallelen, vertikal versetzten Rei- hen im Feuerraumdach installiert sind. Vier Stufenmischbrenner sind an jeweils eine Walzenschüs- selmühle angeschlossen. Die Anordnung der Brenner sowie den Aufbau eines Stufenmischbrenners veranschaulichen die nachstehenden Abbildungen. Abbildung 2-4: Anordnung und Zählweise der Brenner Abbildung 2-5: Stufenmischbrenner [27] Der Kohlenstaub-Luft-Strom durchströmt im Stufenmischbrenner einen ringspaltförmigen Kanal, ehe er in den Feuerraum eintritt. In diesem Kanal prägen 18 Schaufeln dem Gemisch einen Drall auf. Die Schaufeln schließen mit der Strömungsrichtung einen Winkel von 40° ein. Durch einen größeren, konzentrisch angeordneten ringspaltförmigen Kanal strömt die Sekundärluft in den Feuerraum. Auch in diesem Kanal bewirken 14 Schaufeln eine gleichorientierte Verdrallung. Der Winkel zwischen diesen Schaufeln und der Strömungsrichtung beträgt 60°. Die Drallorientierung von nebeneinander installierten Brennern ist gegensätzlich. Durch den Kern des Brenners strömt die Kühlluft in den Feuerraum. Kohlenstaub-Luft- Strom Sekundärluft- strom Kühlluftstrom Sekundärluft- Schaufeln Primärluft- Schaufeln 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 𝑢7 𝑢8 𝑜1 𝑜2 𝑜3 𝑜4 𝑜5 𝑜6 𝑜7 𝑜8 rechte Seitenwand Vorderwand 8 Stand des Wissens An der äußeren Seitenwand jedes Feuerraums befinden sich jeweils 16 Öffnungen, durch die versetzt zu den Brennerachsen und nach unten geneigt die Tertiärluft eintritt (siehe Abbildung 4-1). Mit der hohen Temperatur in den Feuerräumen geht ein Aufschmelzen der Aschepartikel einher. Diese setzen sich überwiegend an den Feuerraumwänden ab und fließen in Richtung entsprechender Auslässe im Feuerraumboden, durch die die flüssigen Ascheströme abgeschieden werden. Zur Bereitstellung der Verbrennungsluft dienen zwei parallel geschaltete Stränge, deren wesentliche Aggregate jeweils ein Frischlüfter und ein in Strömungsrichtung folgender Luftvorwärmer sind. Der gesamte Luftmassenstrom wird über die Laufschaufelverstellung der Frischlüfter geregelt, sodass im Volllastbetrieb der Anlage das Gesamtluftverhältnis einen Wert von etwa 1,08 annimmt. In diesem Lastzustand erwärmt sich die Luft in den Luftvorwärmern auf etwa 385 °𝐶. Die Luftströme beider Stränge strömen hinter den Luftvorwärmern in einen Ringkanal, von dem aus verschiedene Kanäle zu den entsprechenden Feuerraumeintritten führen. Acht parallel geschaltete Primärlüfter saugen un- mittelbar vor und hinter den Luftvorwärmern die Primärluft an und fördern diese in jeweils eine Koh- lemühle. Die Warmluftströme werden so geregelt, dass der jeweilige Primärluftmassenstrom einen anlagenlastspezifischen Wert annimmt. Der entsprechende Kaltluftstrom wird auf eine Temperatur am Mahltrocknungsanlagenaustritt von etwa 100 °𝐶 geregelt. Der Aufbau des Luftsystems und eine betriebsübliche Aufteilung des Luftgesamtstromes im Volllastbetrieb sind nachstehend dargestellt. Abbildung 2-6: vereinfachtes R&I-Fließschema des Luftsystems Tabelle 2.1: betriebsübliche Aufteilung des Luftgesamtmassenstroms im Volllastbetrieb Luftstrom Primärluft Sekundärluft Tertiärluft Kühlluft Massenanteil 13% 54% 29% 4% 3 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Kohlenstaubverbrennungsprozesse können auf verschieden detaillierte Weise abstrahiert werden. Die Prozessabstraktion in der Detailtiefe der Molekularbewegung bildet die Grundlage der durchgeführ- ten Simulationen. Aus dieser Prozessbeschreibung ist nämlich die simulierte, weniger detaillierte Prozessbeschreibung in der Detailtiefe der Strömungsbewegung abgeleitet, da zur Bewältigung der Aufgabenstellung eine Betrachtung von in Zeit und Raum gemittelten Prozessgrößen genügt. In jeweils einem der folgenden Unterkapitel ist die Prozessabstraktion in der Detailtiefe der Moleku- larbewegung, die Prozessabstraktion in der Detailtiefe der Strömungsbewegung und die Modellie- rung nicht anwendungsspezifischer Prozessmerkmale erläutert. Im abschließenden Unterkapitel sind die resultierenden Bilanzgleichungen dargestellt. 3.1 Prozessabstraktion in der Detailtiefe der Molekularbewegung In den zwei folgenden Unterkapiteln sind die physikalischen Grundlagen als Voraussetzung zur Be- schreibung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses in der Detailtiefe der Molekularbe- wegung und die eigentliche Prozessabstraktion beschrieben. 3.1.1 Physikalische Grundlagen Die Beschreibung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses in der Detailtiefe der Mole- kularbewegung basiert auf der von Einstein [28] skizzierten Unterscheidung eines jeden physikalisch real existierenden Raumes anhand der Natur seiner Zustandsänderung in diskret verteilte Materie und verschiedene Felder. So ist jede Zustandsänderung von Materie auf die unmittelbare Wirkung eines Feldes, eine sogenannte Nahwirkung, zurückzuführen und durch die Newtonschen Axiome be- schreibbar. Jede Zustandsänderung eines Feldes hingegen unterliegt nicht den Newtonschen Axio- men und breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. 10 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses In der Detailtiefe der Molekularbewegung entspricht Materie verschiedenen Molekülen. Jedes belie- bige Molekül hat die Eigenschaften harmonischer Oszillatoren [29], aufgrund derer es Energie in Form von Transversalwellen gekoppelter elektrischer und magnetischer Felder, sogenannte elektro- magnetische Strahlung, emittieren, absorbieren und reflektieren kann. Folglich können Moleküle mit- tels elektromagnetischer Strahlung miteinander interagieren. Weiterhin ist jedes Molekül in seinem Nahbereich von einem elektrischen Feld umgeben [30]. Die Nahwirkung dieser Felder bestimmt, wie sich die Moleküle relativ zueinander verhalten, worin sich der Aggregatzustand eines Stoffes wie folgt wiederspiegelt: In einem festen Stoff bewegt sich jedes Molekül um eine eigene Gleichgewichtsposition, die sich ohne den Einfluss einer äußeren Kraft re- lativ zu den Gleichgewichtspositionen der anderen Moleküle nicht ändert [31]. Moleküle eines flüs- sigen Stoffes nehmen keine Gleichgewichtsposition ein [31]. Trotz der Translation ihrer Moleküle behält eine Flüssigkeit ohne den Einfluss einer äußeren Kraft ihr Volumen [31]. Jedes Molekül eines gasförmigen Stoffes beschreibt ebenfalls eine Translation, die jedoch überwiegend unbeeinflusst von der Nahwirkung der übrigen Moleküle erfolgt [31]. Unabhängig vom Aggregatzustand eines Stoffes und über die Translation hinausgehend, können Moleküle prinzipiell um ihren Schwerpunkt rotieren und sich periodisch deformieren [31]. 3.1.2 Eigentliche Prozessabstraktion Die Suspension des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses ist ein Gemisch, dessen Be- standteilen ein maßgeblicher Einfluss auf den Prozess unterstellt ist. Die Bestandteile dieses Gemi- sches sind zum einen Moleküle unterschiedlicher Gase und zum anderen verschiedene Partikel. Hier- bei sind die Partikel ihrer ursprünglichen Kohlesorte und Größe nach in verschiedene Klassen unter- schieden, die mittels der Größe 𝑝 indiziert sind. Die anwendungsspezifische Festlegung der Partikel- klassen ist in Unterkapitel 4.2 erläutert. Die Prozessabstraktion geht mit unterschiedlichen Vorstel- lungen über den Aufbau von Partikeln einher: Dass die Partikel einer Klasse ausschließlich aus einem Bestandteil bestehen, ist eine Vorstellung, die ausschließlich der Beschreibung ihrer Bewegung dient. Der Beschreibung ihres übrigen Verhaltens liegt die Vorstellung zugrunde, dass sich die Partikel einer Klasse homogen aus allen Bestandteilen der Klasse zusammensetzen. Eine Übersicht über alle be- rücksichtigten Bestandteile der Suspension sowie den sie kennzeichnenden tiefgestellten Index 𝑏 ist durch die zwei nachstehenden Tabellen gegeben. Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 11 Tabelle 3.1: Bestandteile der Gasphase Tabelle 3.2: Bestandteile der Partikelphase Bestandteil Index 𝑏 Bestandteil Index 𝑏 Kohlenstoffdioxid 𝐶𝑂2 Asche der Klasse 𝑝 𝐴_𝑝 Kohlenstoffmonoxid 𝐶𝑂 Kohle der Klasse 𝑝 𝐾𝐿_𝑝 Methan 𝐶𝐻4 mineralstofffreie Kohlesubstanz der Klasse 𝑝 𝑚𝑓𝐾𝐿_𝑝 Ruß 𝑅𝑈 Sauerstoff 𝑂2 mineralstofffreie Kokssubstanz der Klasse 𝑝 𝑚𝑓𝐾𝐾_𝑝 Schwefeldioxid 𝑆𝑂2 Stickstoff 𝑁2 mineralstoff- und wasserfreie Kohlesubstanz der Klasse 𝑝 𝑚𝑤𝑓𝐾𝐿_𝑝 Teerstoffe 𝑇𝑆 Wasserdampf 𝐻2𝑂 Wasserstoff 𝐻2 Ruß ist als ein Bestandteil der Gasphase berücksichtigt (vgl. Tabelle 3.1). Rußpartikel sind nämlich so klein, dass ihr Verhalten demjenigen von Molekülen eines Gases gleiche. Zur quantitativen Beschreibung der Suspension dienen verschiedene materiespezifische Größen. Diese geben im Schwerpunkt eines Moleküls der Gasphase oder eines Partikels den Wert der entspre- chenden Größe wieder und nehmen ansonsten den Wert null an. Fast alle materiespezifischen Größen sind auf die Masse der jeweiligen Phase bezogene Größen, was die tiefgestellten Indizes 𝐺 für die Gasphase und 𝑃 für die Partikelphase kenntlich machen. Stellvertretend für beide Indizes steht der Index 𝑃ℎ. Die phasenspezifischen Größen umfassen die Dichte 𝝆S>, die Geschwindigkeit der Trans- lation 𝒖S>,C in Richtung einer Koordinate (indiziert durch 𝑖, 𝑗 und 𝑘), den Massenanteil 𝒙S>,l eines Bestandteils, die Energie der inneren Bewegungen (Rotation und Deformation) 𝒆CD,S>, die chemische Energie 𝒆=>?@,S> als Energie der intra- und intermolekularen Bindungen, die gerichtete Phasenwech- selbeschleunigung 𝒇S>,C als Beschleunigung während einer phasenübergreifenden Wechselwirkung und die auf Wärmestrahlung beruhende Energieänderung 𝑺|}~,S>. Eine materiespezifische, nicht pha- senspezifische Größe ist die bestandteilspezifische Massenänderung 𝑺i,l . Die quantitative Beschreibung der elektromagnetischen Wellen erfolgt durch jeweils eine spektrale Strahlungsdichte 𝑳­,® je Wellenlänge 𝜆 und Raumrichtung 𝑥 . Die spektrale Strahlungsdichte ent- spricht der auf die Strahlungsfläche und -dauer, die Wellenlänge und den Raumwinkel 𝛺 bezogenen Energie der entsprechenden Strahlungswelle [32] [33]. Elektromagnetische Wellen sind ausschließ- lich im Bereich der Wärmestrahlung berücksichtigt. Dieser Bereich umfasst Wellen mit einer Länge 12 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses von etwa 0,1 bis 1000 𝜇𝑚 [34]. Neben den Wärmestrahlungsfeldern wirkt ein weiteres zeit- und raumfüllendes Feld: das Erdgravitationsfeld, das als konservatives Kraftfeld mit der gerichteten Be- schleunigung 𝑔C angenommen ist. Die Bilanzgleichungen bringen zum Ausdruck, - dass sich die Masse eines Bestandteils ausschließlich aufgrund eines stofflichen Umwandlungs- prozesses ändert, m m} ¯𝝆S>𝒙S>,l ∙ 𝑑𝑉° = 𝑺i,l ∙ 𝑑𝑉 (3.1) - dass sich der Impuls jeder Phase ausschließlich aufgrund einer Wechselwirkung mit dem Gra- vitationsfeld der Erde oder mit der jeweils anderen Phase ändert, m m} ¯𝝆S>𝒖S>,C ∙ 𝑑𝑉° = ¯𝑔C + 𝒇S>,C°𝝆S> ∙ 𝑑𝑉 (3.2) - dass sich die gesamte Energie jeder Phase ausschließlich aufgrund einer Wechselwirkung mit dem Gravitationsfeld der Erde, mit der jeweils anderen Phase oder mit der Wärmestrahlung ändert m m} ²𝝆S> ³𝒆CD,S> + 𝒆=>?@,S> + ´ # 𝒖S>,C𝒖S>,Cµ ∙ 𝑑𝑉¶ = ¯𝑔C + 𝒇S>,C°𝝆S> ∙ 𝑑𝑉 ∙ m®· m} + 𝑺|}~,S> ∙ 𝑑𝑉 (3.3) - und dass eine Änderung der spektralen Strahlungsdichte ausschließlich aufgrund der Emission, Absorption oder Reflexion von Strahlung erfolgt: m m® 𝑳­,® = m m® 𝑳­,®¸ ?@� + m m® 𝑳­,®¸ ]l� + m m® 𝑳­,®¸ ~¹T (3.4) Für die vorstehenden Bilanzgleichungen bestehen die Randbedingungen, - dass die mit einem stofflichen Umwandlungsprozess einhergehende, mögliche Änderung der Gesamtmasse gegenüber der Gesamtmasse vernachlässigbar gering sei, ∑ ³m m} ¯𝝆S>𝒙S>,l ∙ 𝑑𝑉°µl − ∑ »𝑺i,l ∙ 𝑑𝑉¼l ≈ ∑ ³m m} ¯𝝆S>𝒙S>,l ∙ 𝑑𝑉°µl (3.5) Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 13 - dass bei einer unmittelbaren Wechselwirkung zwischen einem Molekül der Gasphase und ei- nem Partikel die wirkenden Kräfte und Energien entgegengesetzt und gleich groß sind 𝒇¾,C𝝆¾ = −𝒇S,C𝝆S (3.6) 𝒇¾,C𝝆¾𝒖¾,C = −𝒇S,C𝝆S𝒖S,C (3.7) - und dass die auf Wärmestrahlung beruhende Energieänderung dem negativen Integral der nach der Richtung differenzierten spektralen Strahlungsdichte über alle Wellenlängen der Wärme- strahlung und alle Richtungen des Raumes gleicht (vgl. [35]): 𝑺|}~,S> = −∫ ∫ ² m m® 𝑳­,®¶ ∙ 𝑑𝜆 ­À´cccÁ@ ­Àc,´Á@ ∙ 𝑑𝛺Z (3.8) 3.2 Prozessabstraktion in der Detailtiefe der Strömungsbewegung Die Abstraktion des Kohlenstaubverbrennungsprozesses in der Detailtiefe der Strömungsbewegung beinhaltet zum einen die Ableitung von Bilanzgleichungen zur Betrachtung einer exakten Strömungs- bewegung, systematisch erläutert in Unterkapitel 3.2.1 und dargestellt in Anhang A, und zum anderen eine Vereinfachung dieser Bilanzgleichungen, systematisch erläutert in Unterkapitel 3.2.2 und dar- gestellt in Anhang B. 3.2.1 Ableitung der Bilanzgleichungen der exakten Strömungsbewegung Die Bilanzgleichungen (3.1) bis (3.3) beschreiben die Molekularbewegung der Materie der Suspen- sion auf Lagrangesche Weise. Da eine Prozessbetrachtung auf Eulersche Weise einen geringeren Aufwand zur Berechnung des resultierenden Gleichungssystems erfordert, sind die genannten Bi- lanzgleichungen mithilfe des Reynoldsschen Transporttheorems (A.1) entsprechend transformiert. Die Betrachtung gemittelter Prozessgrößen basiert darauf, dass Maxwell [36] und Reynolds [37] die sich ständig ändernde Translation der Moleküle eines Gases als Superposition einer über Zeit und Raum gemittelten Bewegung, der mean-motion [37] bzw. Molarbewegung, und einer dementspre- chend fluktuierenden Bewegung, der relative-motion [37] bzw. Wärmebewegung, beschrieben, und 14 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses dass Reynolds [37] die Molarbewegung wiederum als Superposition einer über Zeit und Raum ge- mittelten Bewegung, der mean-mean-motion [37] bzw. Strömungsbewegung, und einer dementspre- chend fluktuierenden Bewegung, der relative-mean-motion [37] bzw. Turbulenz, auffasste. Dieses Superpositionsprinzip ist in Abbildung 3-1 veranschaulicht. Abbildung 3-1: Superposition der verschiedenen Bewegungen [37] Die Anteile der verschiedenen Bewegungen sind am Beispiel einer allgemeinen Größe 𝚽 an der zeit- räumlichen Stelle 𝑋´ nachstehend definiert. Hierbei bezeichnet ein nach unten offenes Dach einen der Molarbewegung zugehörigen Mittelwert und ein Balken einen der Strömungsbewegung zugehö- rigen Mittelwert. Ein einfaches und ein doppeltes Apostroph kennzeichnen die entsprechenden Fluk- tuationswerte. 𝚽à 〈𝑋´〉: = ∫ [𝚽〈È〉]∙mÈÊËÌ〈ÊÍ〉 ∫ [´]∙mÈÊËÌ〈ÊÍ〉 (3.9) 𝚽ÃÎ 〈𝑋´〉: = ∫ ¯𝚽Ã〈È〉°∙mÈÊÏÐ〈ÊÍ〉 ∫ [´]∙mÈÊÏÐ〈ÊÍ〉 (3.10) 𝚽Ñ〈𝑋´〉: = 𝚽〈𝑋´〉 − 𝚽Ã〈𝑋´〉 (3.11) »𝚽ü ÑÑ〈𝑋´〉: = 𝚽Ã〈𝑋´〉 −𝚽ÃÎ 〈𝑋´〉 (3.12) Die zeit-räumlichen Mittelungsintervalle heißen Skala der Wärmebewegung 𝑋�l und Skala der Tur- bulenz 𝑋�_ . Sie sind Funktionen von Zeit und Raum, von deren Definition der zeit-räumliche Verlauf der Mittel- und Fluktuationswerte abhängt. Es ist nämlich möglich, dass über die entsprechende Skala ein Mittelwert fluktuiert und ein Fluktuationswert einen mittleren Wert ungleich null annimmt. Molekularbewegung Molarbewegung / mean-motion Strömungsbewegung / mean-mean-motion Turbulenz / relative-mean-motion Wärmebewegung / relative-motion Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 15 Die angewendete Definition der Skala der Wärmebewegung ist an die Eigenschaft der Suspension geknüpft, sich an jeder zeit-räumlichen Stelle im Zustand des lokalen thermodynamischen Gleichge- wichtes zu befinden. In diesem Zustand kommt es innerhalb der Skala der Wärmebewegung zu so vielen intermolekularen Wechselwirkungen, dass die intensiven Zustandsgrößen der Molekularbe- wegung durch Gleichgewichtsverteilungen beschrieben sind (vgl. [38]). Weiterhin ist im Zustand des lokalen thermodynamischen Gleichgewichtes die Änderung von Zustandsgrößen der Molarbewegung innerhalb der Skala der Wärmebewegung vernachlässigbar gering (vgl. [39] [40]). Dementsprechend gleicht das Integral einer beliebigen Größe der Molekularbewegung über die Skala der Wärmebewe- gung an jeder Stelle 𝑋# innerhalb der Skala der Wärmebewegung an der Stelle 𝑋´ näherungsweise dem Integral der Größe über die Skala der Wärmebewegung an der Stelle 𝑋´: ∫ [𝚽〈𝑋〉] ∙ 𝑑𝑋ÈËÌ〈ÈÒ〉 ≈ ∫ [𝚽〈𝑋〉] ∙ 𝑑𝑋ÈËÌ〈ÈÍ〉 für alle 𝑋# ∈ 𝑋�l〈𝑋´〉 (3.13) Die Skala der Turbulenz 𝑋�_ ist für die Simulation in dem Bereich, der nach unten durch die Skala der Wärmebewegung beschränkt ist, prinzipiell frei wählbar. Je größer sie gewählt wird, umso mehr wird das Zeitverhalten des Mittelwertes gedämpft. Die Skala der Turbulenz ist als zeitliches Mitte- lungsintervall so groß gewählt, dass ein nach Gleichung (3.10) definierter Mittelwert Zeit-unabhängig ist, und dass ein nach Gleichung (3.12) definierter Fluktuationswert im Mittel den Wert null annimmt: ∫ ¯𝚽à 〈𝑋〉° ∙ 𝑑𝑋ÈÏÐ〈ÈÒ〉 = ∫ ¯𝚽à 〈𝑋〉° ∙ 𝑑𝑋ÈÏÐ〈ÈÍ〉 für alle 𝑋# ∈ 𝑋�_〈𝑋´〉 (3.14) Da ein nach Gleichung (3.10) definierter Mittelwert keine Funktion der Zeit ist, nimmt jedes partielle Differential nach der Zeit eines solchen Mittelwerts den Wert null an: Ô Ô} ²𝚽ÃÎ ¶ = 0 (3.15) Aus der Definition beider Skalen folgt, dass die nach den Gleichungen (3.9) und (3.10) definierten Mittelwerte über die jeweilige Skala hinweg konstant sind (siehe Gleichung (A.6) bzw. (A.7)) und dass die nach den Gleichungen (3.11) und (3.12) definierten Fluktuationswerte über die jeweilige Skala hinweg den Wert null annehmen (siehe Gleichung (A.10) bzw. (A.11)). Vor diesem Hinter- grund entsprechen die nach den Gleichungen (3.9) und (3.10) definierten Mittelwerte ausschließlich dem Anteil der jeweiligen mittleren Bewegung und die nach den Gleichungen (3.11) und (3.12) de- finierten Fluktuationswerte ausschließlich dem Anteil der entsprechenden fluktuierenden Bewegung. 16 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Die eindeutige Zuordnung der Mittel- und Fluktuationswerte auf die verschiedenen Bewegungen er- möglicht die Ableitung von Bilanzgleichungen zur Betrachtung der Molarbewegung, indem die Terme der Bilanzgleichungen zur Betrachtung der Molekularbewegung in einen nach Gleichung (3.9) definierten Mittelwert und einen nach Gleichung (3.11) definierten Fluktuationswert unterschieden und die Mittelwerte dem Superpositionsprinzip gemäß separat betrachtet sind. In analoger Weise ge- hen aus den Bilanzgleichungen zur Betrachtung der Molarbewegung die Bilanzgleichungen zur Be- trachtung der Strömungsbewegung hervor. Bei der Separation der Anteile einer mittleren und fluktuierenden Bewegung ist zu beachten, dass das Produkt von Anteilen der gleichen fluktuierenden Bewegung aus einem Anteil der entsprechenden mittleren Bewegung bestehen kann, falls die Größen korrelieren (vgl. [41] [42] [43]). Zwecks einer Reduktion derartiger Kovarianzterme sind die Anteile der Bewegungen an denjenigen Größen, die in den Bilanzgleichungen in einem Produkt mit der Dichte der entsprechenden Phase enthalten sind, anders definiert. Die Mittelung erfolgt in Anlehnung an Reynolds [37] nicht ausschließlich zeit-räum- lich, sondern zusätzlich mit der entsprechenden Dichte gewichtet, was im allgemeinen Sprachge- brauch als Favre-Mittelung bekannt ist: 𝚽Õ 〈𝑋´〉: = ∫ [𝝆Ö×〈È〉∙𝚽〈È〉]∙mÈÊËÌ〈ÊÍ〉 ∫ [𝝆Ö×〈È〉]∙mÈÊËÌ〈ÊÍ〉 (3.16) 𝚽ÕØ 〈𝑋´〉: = ∫ ¯𝝆ÙÖ×〈È〉∙𝚽Õ〈È〉°∙mÈÊÏÐ〈ÊÍ〉 ∫ [𝝆ÙÖ×〈È〉]∙mÈÊÏÐ〈ÊÍ〉 (3.17) 𝚽∗〈𝑋´〉:= 𝚽〈𝑋´〉 −𝚽Õ〈𝑋´〉 (3.18) »𝚽Õ¼ ∗∗〈𝑋´〉: = 𝚽Õ〈𝑋´〉 −𝚽ÕØ 〈𝑋´〉 (3.19) Hierbei bezeichnet ein nach oben offenes Dach einen der Molarbewegung zugehörigen dichtegemit- telten Mittelwert und eine Tilde einen der Strömungsbewegung zugehörigen dichtegemittelten Mit- telwert. Ein einfaches und ein doppeltes Sternchen kennzeichnen die entsprechenden dichtegemittel- ten Fluktuationswerte. Fett markierte Größen sind Größen der Molekularbewegung. Im weiteren Textverlauf ist zwecks besserer Lesbarkeit der Anteil der Molarbewegung an einer solchen Größe nicht fett markiert, wie es in den nachstehenden Tabellen zusammengefasst ist. Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 17 Tabelle 3.3: Neubezeichnung nicht massen- gemittelter Größen der Molarbewegung Tabelle 3.4: Neubezeichnung massen- gemittelter Größen der Molarbewegung Größe Definition Größe Definition allgemeine Größe Φ ≔ 𝚽à allgemeine Größe Φ ≔ 𝚽Õ Dichte 𝜌S> ≔ 𝝆ÙS> chemische Energie 𝑒=>?@,S> ≔ 𝒆Ü=>?@,S> Massenquellterm 𝑆i,l:= 𝑺Ãi,l Energie der inneren Bewegungen 𝑒CD,S> ≔ 𝒆ÜCD,S> Phasenwechsel- beschleunigung 𝑓S>,C: = 𝒇ÝS>,C innere Energie 𝑈S> ≔ 𝑼ÕS> spektrale Strahlungs- dichte 𝐿­,®:= 𝑳Ý­,® Geschwindigkeit 𝑢S>,Þ ≔ 𝒖ßS>,Þ Strahlungsquellterm 𝑆|}~,S>: = 𝑺Ã|}~,S> Massenanteil 𝑥S>,l ≔ 𝒙ßS>,l Trotz der verschiedenen Mittelungen enthalten die Bilanzgleichungen zur Beschreibung der Strö- mungsbewegung verschiedene Kovarianzterme. Einige Kovarianzterme sind zu verschiedenen Grö- ßen zusammengefasst. Die Definition dieser Größen ist, unterschieden nach Bilanzgrößen, Größen zur Beschreibung des Stoffverhaltens und Größen zur Beschreibung des Strömungsverhaltens, in den nachstehenden Tabellen aufgeführt. Tabelle 3.5: auf Kovarianztermen beruhende Bilanzgrößen Größe Definition Gasphase Definition Partikelphase innere Energie 𝑼¾:= 𝒆CD,¾ + 𝒆=>?@,¾ + 𝒖à,· ∗ 𝒖à,· ∗ # 𝑼S:= 𝒆CD,S + 𝒆=>?@,S + 𝒖Ö,· ∗ 𝒖Ö,· ∗ # Turbulenzenergie 𝑘¾:= _à,· ∗∗ _à,· ∗∗ # 𝑘S:= _Ö,· ∗∗ _Ö,· ∗∗ # Tabelle 3.6: das Stoffverhalten beschreibende Größen Größe Definition Gasphase [36] Definition Partikelphase wärmeinduzierte Massendiffusion 𝑗¾,l,Þ�l ≔ 𝜌¾»𝒙¾,l𝒖¾,á ̇∗â ¼ 𝑗S,l,Þ�l ≔ 𝜌S»𝒙S,l𝒖S,á ̇∗â ¼ wärmeinduzierte Spannung 𝜎¾,C,Þ�l ≔ 𝜌¾»𝒖¾,ã̇𝒖¾,á ̇∗ ¼â 𝜎S,C,Þ�l ≔ 𝜌S»𝒖S,ã̇𝒖S,á ̇∗ ¼â wärmeinduzierte Wärmeleitung �̇�T?C},¾,Þ�l ≔ 𝜌¾»𝑼¾𝒖¾,á ̇∗ ¼â �̇�T?C},S,Þ�l ≔ 𝜌S»𝑼S𝒖S,á ̇∗ ¼â 18 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Tabelle 3.7: das Strömungsverhalten beschreibende Größen Größe Definition Gasphase Definition Partikelphase turbulenzinduzierte Massendiffusion 𝑗¾,l,Þ�_ ≔ 𝜌¾»𝒙¾,l𝑢¾,á ̇∗∗â ¼ 𝑗S.l,Þ�_ ≔ 𝜌S»𝒙S,l𝑢S,á ̇∗∗ ¼â turbulenzinduzierte Spannung 𝜎ä,C,Þ�_ ≔ 𝜌¾»𝒖¾,ã̇𝑢¾,á ̇∗∗ ¼â 𝜎S,C,Þ�_ ≔ 𝜌S»𝒖S,ã̇𝑢S,á ̇∗∗ ¼â turbulenzinduzierte Wärmeleitung �̇�T?C},¾,Þ�_ ≔ 𝜌¾»𝑼¾𝑢¾,á ̇∗∗ ¼â �̇�T?C},S,Þ�_ ≔ 𝜌S»𝑼S𝑢S,á ̇∗∗ ¼â bewegungsinduzierte Turbulenzproduktion 𝐺¾D?å ≔ −𝜎æ¾,C,Þ�_ Ô Ô®ç »𝑢è¾,C¼ 𝐺SD?å ≔ −𝜎æS,C,Þ�_ Ô Ô®ç »𝑢èS,C¼ umwandlungsinduzierte Turbulenzproduktion 𝐺¾é@å ≔ ´ # 𝑢è¾,C𝑢è¾,C ∑ ¯𝑆i̅,l°l(¾) 𝐺Sé@å ≔ ´ # 𝑢èS,C𝑢èS,C ∑ ¯𝑆i̅,l°l(S) Dissipation der Strömungsbewegung 𝜀¾|l ≔ −�̅�¾Y´𝜎æ¾,C,Þ�l Ô Ô®ç »𝑢è¾,C¼ 𝜀S|l ≔ −�̅�SY´𝜎æS,C,Þ�l Ô Ô®ç »𝑢èS,C¼ Dissipation der Turbulenz 𝜀¾�_ ≔ −�̅�¾Y´ ë𝜎¾,ã̇,á ̇�l Ô Ô®ì ̇ »𝑢¾,ã̇∗∗ ¼í ææææææææææææææææææææææ 𝜀S�_ ≔ −�̅�SY´ ë𝜎S,ã̇,á ̇�l Ô Ô®ì ̇ »𝑢S,ã̇∗∗ ¼í ææææææææææææææææææææææ umwandlungsinduzierte Dissipation 𝜀¾é@å ≔ ´ #îÎà »𝑢¾,ã̇# ∑ ¯𝑆i,l°l(ï) ¼ææææææææææææææææææææææ 𝜀Sé@å ≔ ´ #îÎÖ »𝑢S,ã̇# ∑ ¯𝑆i,l°l(�) ¼ææææææææææææææææææææææ Die gemäß den vorstehenden Ausführungen abgeleiteten Bilanzgleichungen sind nachfolgend aufge- führt. Sie stellen die Bilanz des Anteils der Strömungsbewegung - an der Masse eines Bestandteils, Ô Ô®ç ¯�̅�S>𝑥èS>,l𝑢èS>,Þ + 𝚥S̅>,l,Þ�_ + 𝚥S̅>,l,Þ�l ° = 𝑆i̅,l (3.20) - am gerichteten Impuls der Translation, Ô Ô®ç ¯�̅�S>𝑢èS>,C𝑢èS>,Þ + 𝜎æS>,C,Þ�_ + 𝜎æS>,C,Þ�l ° = 𝑔C�̅�S> + 𝑓ñS>,C�̅�S> (3.21) - an der kinetischen Energie der Strömungsbewegung Ô Ô®ç ²´ # �̅�S>𝑢èS>,C𝑢èS>,C𝑢èS>,Þ + 𝑢èS>,C𝜎æS>,C,Þ�_ + 𝑢èS>,C𝜎æS>,C,Þ�l ¶ = −𝐺S>D?å − 𝐺S>é@å − �̅�S>𝜀S>|l + 𝑔C�̅�S>𝑢èS>,C + 𝑓ñS>,C�̅�S>𝑢èS>,C (3.22) Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 19 - an der Turbulenzenergie 𝑘uS>, Ô Ô®ç ²�̅�S>𝑘uS>𝑢èS>,Þ + �̅�S>»𝑘S>𝑢S>,á ̇∗∗ ¼ò + »𝜎S>,ã̇,á ̇�l 𝑢S>,ã̇∗∗ ¼ææææææææææææææææ¶ = 𝐺S>D?å + 𝐺S>é@å − �̅�S>𝜀S>�_ − �̅�S>𝜀S>é@å + �̅�S>»𝑓S>,ã̇∗∗ 𝑢S>,ã̇∗∗ ¼ò (3.23) - an der inneren Energie 𝑈ØS>, Ô Ô®ç ²�̅�S>𝑈ØS>𝑢èS>,Þ + ³𝜌S>»𝑼S>𝑢S>,á ̇∗∗ ¼â µææææææææææææææææææææææ + ³𝜌S>»𝑼S>𝒖S>,á ̇∗ ¼â µææææææææææææææææææææææ¶ = �̅�S>𝜀S>|l + �̅�S>𝜀S>�_ + �̅�S>𝜀S>é@å + 𝑆|̅}~,S> + �̅�S> ³»𝒇S>,ã̇∗ 𝒖S>,ã̇∗ ¼â µò (3.24) - und an der spektralen Strahlungsdichte dar. m m® 𝐿æ­,® = m m® 𝐿æ­,®¸ ?@� + m m® 𝐿æ­,®¸ ]l� + m m® 𝐿æ­,®¸ ~¹T (3.25) Anhand der Bilanzgleichungen zur Betrachtung des Anteils der Strömungsbewegung an der kineti- schen Energie der Strömungsbewegung, der Turbulenzenergie und der inneren Energie wird der Zu- sammenhang zwischen Strömungsbewegung, Turbulenz und Wärmebewegung deutlich: Aus den räumlichen Differentialen geht hervor, dass die Energie jeder genannten Bewegung von jeder Bewe- gung auf unterschiedliche Weise durch den Raum transportiert wird. So wird die Energie einer jeden Bewegung mit der Geschwindigkeit der jeweiligen Bewegung und der Bewegungen mit einem höhe- ren zeit-räumlichen Mittelungsintervall konvektiv transportiert. Dieser Konvektion ist aufgrund der Spannung der feineren Bewegungen eine Diffusion von Energie überlagert. Bei der Konvektion und Diffusion von Energie handelt es sich um Energietransporte, die ausschließlich innerhalb einer Be- wegung stattfinden. Demgegenüber findet auch ein Energietransport zwischen den verschiedenen Be- wegungen statt. So geht die Energie der Strömungsbewegung durch die bewegungsinduzierte und die umwandlungsinduzierte Turbulenzproduktion 𝐺S>D?å bzw. 𝐺S>é@å in Turbulenzenergie und durch die Dissipation der Strömungsbewegung 𝜀S>|l in innere Energie über. Durch die Dissipation der Turbulenz 𝜀S>�_ und die umwandlungsinduzierte Dissipation 𝜀S>é@å geht Turbulenzenergie ebenfalls in innere Energie über. Die mittleren Turbulenzproduktionen und die mittleren Dissipationen sind überwie- gend positiv, sodass die Energie einer Bewegung überwiegend in Energie feinerer Bewegungen über- geht (vgl. [44] [45]). 20 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Zur Definition der Dissipation der Turbulenz der Gasphase 𝜀¾�_ existieren unterschiedliche Ansätze. Beispiele hierfür können den Arbeiten von Launder und Spalding [46], Vos [47] und Wilcox [48] entnommen werden. Jedoch beschreibt keine andere als die in Tabelle 3.7 gezeigte Definition die Dissipation vollständig. Würde die Dissipation nämlich anders definiert sein, so enthielten die resul- tierenden Bilanzgleichungen für die innere Energie und die Turbulenzenergie zusätzliche Terme mit unterschiedlichem Vorzeichen, die einen entsprechenden Energietransport anzeigen würden und des- halb der Dissipation angerechnet werden müssten. 3.2.2 Vereinfachung der Bilanzgleichungen der exakten Strömungsbewegung Um den Berechnungsaufwand zu reduzieren, ist unter anderem die exakte Bewegung von Partikeln durch eine vereinfachte Bewegung abstrahiert (vgl. [49]). Hierzu ist für die Partikelphase jeder Be- wegungsanteil der Superposition für sich vereinfacht: Der Vereinfachung der Wärmebewegung von Partikeln liegt die Annahme zugrunde, dass bei einer unmittelbaren Wechselwirkung zwischen einem Molekül der Gasphase und einem Partikel die Ge- schwindigkeit des Partikels aufgrund seiner wesentlich größeren Masse unverändert bleibt. Der Ein- fluss unmittelbarer Wechselwirkungen von Partikeln untereinander ist in Kohlenstaubflammen auf- grund des geringen Volumenanteils der Partikelphase vernachlässigbar gering [50]. Folglich ist die Wärmebewegung von Partikeln gegenüber ihrer Molarbewegung vernachlässigbar, sodass ihre exakte Geschwindigkeit näherungsweise mit der Geschwindigkeit ihrer Molarbewegung überein- stimmt: 𝒖S,C = 𝒖ßS,C + 𝒖S,C∗ ≈ 𝒖ßS,C (3.26) Für die Vereinfachung der Strömungsbewegung und Turbulenz der Partikel gleiche der Impuls und der Impulstransport der Strömungsbewegung der Partikel näherungsweise dem Impuls bzw. dem Im- pulstransport der Strömungsbewegung der Gasphase mit einer veränderten Trägheit. Die Trägheits- veränderung entspricht dem Verhältnis der Dichten beider Phasen: »𝜌S𝑢S,ã̇¼æææææææææææ ≈ îÎÖ îÎà »𝜌¾𝑢¾,ã̇¼æææææææææææ (3.27) »𝜌S𝑢S,ã̇𝑢S,á ̇ ¼ææææææææææææææææ ≈ îÎÖ îÎà »𝜌¾𝑢¾,ã̇𝑢¾,á ̇ ¼ææææææææææææææææ (3.28) Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 21 In analoger Weise gleiche der turbulente Energietransport der Partikel dem turbulenten Energietrans- port der Gasphase: ³𝜌S»𝑼S𝑢S,á ̇∗∗ ¼â µææææææææææææææææææ ≈ îÎÖ îÎà ³𝜌¾»𝑼¾𝑢¾,á ̇∗∗ ¼â µææææææææææææææææææ (3.29) Die erläuterte Vereinfachung der Partikelbewegung geht mit verschiedenen Folgerungen einher, mit- hilfe derer die Bilanzgleichungen zur Betrachtung der exakten Strömungsbewegung vereinfacht sind, und die in Anhang B.1 zusammengefasst sind. Eine Folgerung beispielweise ist, dass die Geschwin- digkeit der Strömungsbewegung beider Phasen übereinstimmt, wie Gleichung (B.1) darstellt. Es ist davon auszugehen, dass die Vereinfachungen (3.26) bis (3.29) auf den allgemeinen Kohlen- staubverbrennungsprozess zutreffen, da verschiedene Simulationen, die mit ihrer Zuhilfenahme er- stellt wurden, entsprechende Messergebnisse gut wiedergeben – selbst im Brennernahbereich, in dem die größte Abweichung zu erwarten ist (vgl. [49]). Über die Vereinfachung der Partikelbewegung hinaus bestehen weitere Vereinfachungen. So sei der Einfluss der Dissipation der Strömungsbewegung und Turbulenz beider Phasen auf die innere Energie beider Phasen vernachlässigbar gering: Ô Ô®ç ¯»�̅�¾𝑈ؾ + �̅�S𝑈ØS¼𝑢è¾,Þ° − �̅�¾𝜀¾|l − �̅�S𝜀S|l − �̅�¾𝜀¾�_ − �̅�S𝜀S�_ ≈ Ô Ô®ç ¯»�̅�¾𝑈ؾ + �̅�S𝑈ØS¼𝑢è¾,Þ° (3.30) Auch die Interaktion zwischen der Gas- und Partikelphase ist vereinfacht. So sei zum einen der Ein- fluss der Nahwirkung von Partikeln auf den konvektiven Transport der inneren Energie der Gasphase über die zeit-räumlichen Skalen der Turbulenz vernachlässigbar gering Ô Ô®ç ¯�̅�¾𝑈ؾ𝑢è¾,Þ° − �̅�¾ ³»𝒇¾,ã̇∗ 𝒖¾,ã̇∗ ¼ â µò ≈ Ô Ô®ç ¯�̅�¾𝑈ؾ𝑢è¾,Þ° (3.31) und zum anderen die Summe der dichtegewichteten, umwandlungsinduzierten Dissipationen ver- nachlässigbar gering: �̅�¾𝜀¾é@å + �̅�S𝜀Sé@å = ´ # »𝑢¾,ã̇𝑢¾,ã̇ − 𝑢S,ã̇𝑢S,ã̇¼ ∑ ¯𝑆i,l°l(ï) æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ≈ 0 (3.32) 22 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Zwecks besserer Lesbarkeit der Bilanzgleichungen sind einige phasenspezifische Größen in suspen- sionsspezifische Größen überführt. Suspensionsspezifische Größen enthalten keinen Index zur Kenn- zeichnung ihres Bezuges auf die Suspension. Die Definition jeder suspensionsspezifischen Größe ist in der nachstehenden Tabelle dargestellt. Tabelle 3.8: Definition suspensionsspezifischer Größen Größe Definition Dichte �̅�: = �̅�¾ + �̅�S Massenanteil eines Bestandteils der Gasphase 𝑥èl:= îÎà®èà,Ì îÎ Massenanteil eines Bestandteils der Partikelphase 𝑥èl:= îÎÖ®èÖ,Ì îÎ Geschwindigkeit der Translation 𝑢èÞ: = 𝑢è¾,Þ Innere Energie 𝑈Ø:= îÎàéØàóîÎÖéØÖ îÎ Strahlungsquellterm 𝑆|̅}~: = 𝑆|̅}~,¾ + 𝑆|̅}~,S Über die Vereinfachungen hinaus ist die Änderung der inneren Energie in einen thermischen und einen chemischen Anteil unterschieden, was nach Lucas [51] für die Betrachtung eines Prozesses mit stofflichen Umwandlungen sinnvoll ist. Der thermische Anteil der Änderung der inneren Energie ∆𝑈Ø}> bezeichnet den Unterschied zwischen der inneren Energie im Strömungszustand und der inne- ren Energie in einem Referenzzustand 𝑈Ø~?¹ . Als Referenzzustand dient der nach DIN 1343 [52] de- finierte Normzustand mit einer Temperatur 𝑇~?¹ von 273,15 𝐾 und einem Druck 𝑝~?¹ von 101325 𝑃𝑎. Der chemische Anteil der Änderung der inneren Energie, zusammengefasst zum chemi- schen Quellterm 𝑆=̅>?@, entspricht der Änderung der inneren Energie aufgrund einer stofflichen Um- wandlung im Referenzzustand. Die Definitionen der beiden Größen sind nachstehend dargestellt. ∆𝑈Ø}>:= »𝑈Ø − 𝑈Ø~?¹¼ (3.33) 𝑆=̅>?@:= − Ô Ô} ¯�̅�𝑈Ø~?¹° − Ô Ô®ç ¯�̅�𝑈Ø~?¹𝑢èÞ° (3.34) Gemäß den vorstehenden Erläuterungen gehen aus den Bilanzgleichungen zur Betrachtung der exak- ten Strömungsbewegung der Suspension die Bilanzgleichungen zur Betrachtung einer vereinfachten Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 23 Strömungsbewegung der Suspension hervor. Sie stellen die Bilanz des Anteils der Strömungsbewe- gung - an der Masse eines Bestandteils der Gasphase, Ô Ô®ç ¯�̅�𝑥èl𝑢èÞ + 𝚥¾̅,l,Þ�_ + 𝚥¾̅,l,Þ�l ° = 𝑆i̅,l (3.35) - an der Masse eines Bestandteils der Partikelphase, Ô Ô®ç ¯�̅�𝑥èl𝑢èÞ + 𝚥S̅,l,Þ�_ ° = 𝑆i̅,l (3.36) - an der gesamten Masse Ô Ô®ç ¯�̅�𝑢èÞ° = 0 (3.37) - am gerichteten Impuls der Translation, Ô Ô®ç ²�̅�𝑢èC𝑢èÞ + îÎ îÎà 𝜎æ¾,C,Þ�_ + 𝜎æ¾,C,Þ�l ¶ = 𝑔C�̅� (3.38) - an der Turbulenzenergie, Ô Ô®ç ²�̅�𝑘u¾𝑢èÞ + �̅�»𝑘¾𝑢¾,á ̇∗∗ ¼ò + »𝜎¾,ã̇,á ̇�l 𝑢¾,ã̇∗∗ ¼ ææææææææææææææ¶ = îÎ îÎà 𝐺¾D?å − �̅�¾𝜀¾�_ (3.39) - am thermischen Anteil der Änderung der inneren Energie, Ô Ô®ç ²�̅� ∙ ∆𝑈Ø}> ∙ 𝑢èÞ + îÎ îÎà �̇�æT?C},¾,Þ�_ + �̇�æT?C},¾,Þ�l ¶ = 𝑆|̅}~ + 𝑆=̅>?@ (3.40) - und an der spektralen Strahlungsdichte dar. m m® 𝐿æ­,® = m m® 𝐿æ­,®¸ ?@� + m m® 𝐿æ­,®¸ ]l� + m m® 𝐿æ­,®¸ ~¹T (3.41) 24 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 3.3 Modellierung nicht anwendungsspezifischer Prozessmerkmale Die Modellierung nicht anwendungsspezifischer Prozessmerkmale ist, unterschieden nach Stoffver- halten, Strömungsverhalten, Strahlungsverhalten und Umwandlungsverhalten, in den folgenden Un- terkapiteln erläutert. 3.3.1 Stoffverhalten Zur Modellierung der Größen, die das Stoffverhalten beschreiben, dienen verschiedene Stoffgesetze, die ursprünglich in der Detailtiefe der Molarbewegung formuliert wurden. Sie gelangen in einer ver- einfachten Weise zur Anwendung. Die ursprüngliche und angewendete Formulierung der Stoffge- setze ist in der folgenden Tabelle gegenübergestellt und für jede zu modellierende Größe in jeweils einem der folgenden Unterkapitel erläutert. Tabelle 3.9: Modellierung der das Stoffverhalten beschreibenden Größen Größe Ursprüngliche Formulierung des Stoffgesetzes Angewendete Formulierung des Stoffgesetzes �̅� 𝜌¾i = «à ËÌ �à ∙ ô𝑅u ∑ õ ®à,Ì iö,Ì ÷¾ ø Y´ �̅� = «ùúû �uà ∙ ô𝑅u ∑ õ ®èÌ iö,Ì ÷¾ ø Y´ 𝑇u¾ 𝑐¾ ü,Cï〈𝑇¾〉»𝑇¾ − 𝑇~?¹¼ − ∆𝑈}>,¾ = 0 𝑐ü,¾〈𝑇u¾〉»𝑇u¾ − 𝑇~?¹¼ − ∆𝑈Ø}>¾ = 0 𝑇uS,« �̇�ýdþü,«〈𝑇S,«〉 + �̇�|}~,«〈𝑇S,«〉 + �̇�=>?@,« = 0 �̇�æýdþü,«〈𝑇uS,«〉 + �̇�æ|}~,«〈𝑇uS,«〉 + �̇�æ=>?@,« = 0 𝜎æ¾,C,Þ�l 𝜎¾,C,Þ�l = −𝜏¾,C,Þ�l + 𝛿CÞ»𝑝¾�l + 𝜎ýd~~,¾�l ¼ 𝜎æ¾,C,Þ�l = −𝜏̅¾,C,Þ�l + 𝛿CÞ»�̅�¾�l + 𝜎æýd~~,¾�l ¼ mit mit 𝜏¾,C,Þ�l = 𝜇¾ Cï õÔ_à,· Ô®ç + Ô_à,ç Ô®· ÷ 𝜏̅¾,C,Þ�l = 𝜇¾ Cï õÔ_ÿ· Ô®ç + Ô_ÿç Ô®· ÷ 𝜎ýd~~,¾�l = # Q 𝜇¾ Cï Ô_à,! Ô®! 𝜎æýd~~,¾�l = # Q 𝜇¾ Cï Ô_ÿ! Ô®! �̇�T?C},¾,Þ�l �̇�T?C},¾,Þ�l = −𝜆¾ Cï Ô�à Ô®ç �̇�æT?C},¾,Þ�l = − Áà ·"∙#à S~à ËÌ ∙ Ô∆éØ$× Ô®ç 𝑗¾,l,Þ�l 𝑗¾,l,Þ�l = −𝜌¾i𝐷¾,l Cï Ô®à,Ì Ô®ç 𝚥¾̅,l,Þ�l = − Áà ·" S~à ËÌ ∙ Ô®èÌ Ô®ç Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 25 Die Modellierung des Stoffverhaltens unterliegt vier übergreifenden Vereinfachungen, die in jeweils einem der folgenden Absätze beschrieben sind. Mögliche Kovarianzen von Schwankungsanteilen der Turbulenz innerhalb eines jeden Stoffgesetzes seien vernachlässigbar gering. Der Anteil der Strömungsbewegung an jedem Stoffwert gleiche näherungsweise dem Stoffwert im Zustand der Strömungsbewegung. Das Stoffverhalten der realen Gasphase gleiche dem Verhalten eines idealen Gases, was der hochge- stellte Index 𝑖𝑔 an den Stoffwerten symbolisiert. Ein ideales Gas ist ein Gas, dessen Verhalten dem Gesetz von Boyle-Mariotte und dem Gesetz von Gay-Lussac vollkommen folgt [31]. Wie ein ideales Gas verhält sich ein Gas umso stärker, je weiter sein Zustand vom Kondensationszustand entfernt ist [53]. Die Annahme dieses idealen Verhaltens ist für Gase mit einem Druck von weniger als 5 𝑏𝑎𝑟 zulässig [54] und damit für die Gasphase eines Kohlenstaubfeuerungsprozesses zulässig. Die Gasphase verhalte sich wie ein inkompressibles Gas. Inkompressibilität bezeichnet die Dominanz der Wärmebewegung gegenüber der Molarbewegung, sodass in der Detailtiefe der Molarbewegung die Gasphase durch die Molarbewegung weder verdichtet noch verdünnt wird. Dichte der Suspension Die Berechnung der Dichte der Suspension 𝜌 beruht auf der Zustandsgleichung eines idealen Gases. Diese Zustandsgleichung enthält in ihrer ursprünglichen Form die Materialdichte der Gasphase 𝜌¾i, wie Tabelle 3.9 zeigt. Die Materialdichte unterscheidet sich von der Dichte der Gasphase 𝜌¾ , indem sie sich ausschließlich auf den von der Gasphase eingenommenen Raum und nicht auf den Gesamt- raum bezieht [55]. Die beiden Dichten gleichen sich beim Kohlenstaubverbrennungsprozess annä- hernd (vgl. [55]), da der Volumenanteil der Partikelphase vernachlässigbar gering ist [49]: 𝜌¾ ≈ 𝜌¾i (3.42) Mittels der vorstehenden Näherung ist die erwähnte Zustandsgleichung umgeformt und durch Multi- plikation mit dem Verhältnis aus der Suspensionsdichte und der Gasphasendichte in die Gleichung zur Bestimmung der Suspensionsdichte überführt. In der in Tabelle 3.9 gezeigten Darstellung ist der Quotient des gasphasenspezifischen Massenanteils 𝑥¾,l eines Bestandteils und des genannten Dich- teverhältnisses zum entsprechenden suspensionsspezifischen Massenanteil 𝑥èl zusammengefasst. 26 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Zur Berechnung der Suspensionsdichte erlaubt die Annahme der Inkompressibilität, anstelle des tat- sächlich vorliegenden Druckes 𝑝¾�l den Referenzdruck 𝑝~?¹ zu verwenden, worauf in Unterkapitel „Wärmeinduzierte Spannung“ auf Seite 29 eingegangen ist. Temperatur der Gasphase Die Berechnung der Gasphasentemperatur 𝑇¾ basiert auf der Proportionalität, die nach Lucas [56] zwischen dem Differential der Temperatur und dem Differential des thermischen Anteils der inneren Energie besteht. Der Proportionalitätsfaktor heißt differentielle isochore Wärmekapazität der Gas- phase 𝐶¾ ü,Cï. Der Zusammenhang trifft für ideale Gase auch bei nicht isochoren Zustandsänderungen zu [56], was seine Anwendung auf Kohlenstaubverbrennungsprozesse rechtfertigt: 𝑑∆𝑈}>,¾ = 𝐶¾ ü,Cï ∙ 𝑑𝑇¾ (3.43) Eine Integration des vorstehenden Zusammenhanges führt zur Bestimmungsgleichung für die Tem- peratur der Gasphase, die in ihrer ursprünglichen Formulierung die integrale isochore Wärmekapazi- tät der Gasphase 𝑐¾ ü,Cï enthält, wie Tabelle 3.9 zeigt. Dieser Stoffwert bezeichnet einen Mittelwert der differentiellen isochoren Wärmekapazität im Bereich zwischen Referenz- und Stoffzustand: 𝑐¾ ü,Cï〈𝑇¾〉:= ´ �àY�ùúû ∫ 𝐶¾ ü,Cï〈𝑇〉 ∙ 𝑑𝑇�à �ùúû (3.44) Aufgrund eines geringeren Aufwandes für die Temperaturberechnung sind die integrale isochore Wärmekapazität der Gasphase 𝑐¾ ü,Cï in den Anteil der Gasphase an der isochoren Wärmekapazität der Suspension 𝑐ü,¾ und der thermische Anteil der inneren Energie der Gasphase ∆𝑈Ø}>,¾ in den Anteil der Gasphase am thermischen Anteil der inneren Energie der Suspension ∆𝑈Ø}>¾ überführt, wie aus Tabelle 3.9 hervorgeht (vgl. [57]). Die genannten Größen unterscheiden sich in ihren Bezug auf die Gasmasse (𝑐¾ ü,Cï, ∆𝑈Ø}>,¾) bzw. die Gesamtmasse (𝑐ü,¾, ∆𝑈Ø}>¾ ), wie die folgenden Gleichungen zeigen. 𝑐ü,¾:= îà î 𝑐¾ ü,Cï〈𝑇u¾〉 = ∑ ¯𝑥èl𝑐l ü,Cï〈𝑇u¾〉°l(ï) (3.45) ∆𝑈Ø}>¾ := îà î ∆𝑈Ø}>,¾ = ∆𝑈Ø}> − ∆𝑈Ø}>S (3.46) Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 27 Der Anteil der Gasphase an der integralen isochoren Wärmekapazität der Suspension 𝑐ü,¾ hängt vom Massenanteil und der integralen isochoren Wärmekapazität jedes Bestandteils der Gasphase ab, wie Gleichung (3.45) darstellt. Die integrale isochore Wärmekapazität jedes Bestandteils der Gasphase ist eine Funktion der Temperatur der Gasphase. Dieser Zusammenhang ist durch jeweils ein Polynom vierten Grades beschrieben, das in Anhang C erläutert ist. Der Anteil der Gasphase am thermischen Anteil der inneren Energie der Suspension ∆𝑈Ø}>¾ gleicht der Differenz zwischen dem thermischen Anteil der inneren Energie der Suspension und dem entspre- chenden Anteil der Partikelphase ∆𝑈Ø}>S , wie Gleichung (3.46) zeigt. Der Anteil der Partikelphase am thermischen Anteil der inneren Energie der Suspension geht aus der Temperatur der Partikel 𝑇uS,«, ihrer Zusammensetzung und den spezifischen integralen Wärmekapazitäten 𝑐l hervor: ∆𝑈Ø}>S = ∑ ¯∑ ¯𝑥èl ∙ 𝑐l〈𝑇uS,«〉 ∙ »𝑇uS,« − 𝑇~?¹¼°l(S) °« (3.47) Die Berechnung der Wärmekapazität der partikelförmigen Bestandteile ist in Anhang C erklärt. Die Temperatur der Gasphase ist mit der resultierenden Gleichung analytisch nicht berechenbar. Der hierdurch erforderliche Einsatz eines numerischen Verfahrens ist in Unterkapitel 5.4 beschrieben. Temperatur der Partikel Die Temperatur der Partikel einer Klasse 𝑇uS,« geht aus einer Energiebilanz über die äußere Oberflä- che der entsprechenden Partikel hervor. Der Summe eines oberflächenspezifischen Wärmestroms aufgrund des Strahlungswärmeaustausches �̇�|}~,«, eines oberflächenspezifischen Wärmestroms auf- grund von Konvektion �̇�ýdþü,« und einer entsprechend modellierten oberflächenspezifischen Ener- gieänderung aufgrund stofflicher Umwandlungen innerhalb der Partikel �̇�=>?@,« steht die zeitliche Änderung der inneren Energie der Partikel gegenüber. Bei Kohlenstaubverbrennungsprozessen än- dert sich die innere Energie der Partikel so schnell, dass der hierfür stehende Term fast jederzeit den Wert null annimmt. Somit sind bei Eulerscher Betrachtungsweise der Partikelphase die genannten Wärmeströme näherungsweise überall im Gleichgewicht: [57] �̇�æ|}~,« + �̇�æýdþü,« + �̇�æ=>?@,« ≈ 0 (3.48) Der oberflächenspezifische Wärmestrom aufgrund des Strahlungsaustausches zwischen den Partikeln und der Gasphase setzt sich aus einem Anteil der Emission und einem Anteil der Absorption 28 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses zusammen. Der Anteil der Emission ist eine Funktion der Partikeltemperatur, der Stefan-Boltzmann- Konstanten 𝜎 und des Emissionsgrads der Partikel (vgl. [58]), der einen konstanten Wert von 0,85 annehme. Der Anteil der Absorption gleicht dem Produkt des Absorptionskoeffizienten der Partikel und der mittleren, auf die Partikel fallenden Strahlungsenergie, die dem Produkt der mittleren, ge- richteten Strahlungsdichte und der Kreiszahl 𝜋 entspricht. Die Berechnung der mittleren, gerichteten Strahlungsdichte erfolgt unter der Annahme, die Gasphase sei ein diffuser Strahler. Für ein diffus strahlendes Gas gleicht die mittlere, gerichtete Strahlungsdichte dem auf die Oberfläche der Einheits- kugel bezogenen Integral der gerichteten Strahlungsdichte über die Einheitskugel. Der Absorptions- grad der Partikel gleiche vereinfachend ihrem Emissionsgrad. Dementsprechend gilt für die Wär- mestromdichte aufgrund des Strahlungsaustausches folgende Berechnungsgleichung. �̇�æ|}~,« = 0,85 ë𝜋 ∫ ²∫ ¯&æ',(°∙m­ ')Í***+, ')Í+, ¶∙m-./ Z − 𝜎𝑇uS,«Z í (3.49) Der oberflächenspezifische Wärmestrom aufgrund von Konvektion ist einem empirischen Ansatz nach eine Funktion des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten in der Partikelgrenzschicht 𝛼¾�,« und der Differenz zwischen Gas- und Partikeltemperatur: �̇�æýdþü,« = 𝛼¾�,«»𝑇u¾ − 𝑇uS,«¼ (3.50) Der mittlere Wärmeübergangskoeffizient in der Partikelgrenzschicht ist eine Funktion der entspre- chenden Nusseltzahl 𝑁𝑢¾� und Wärmeleitfähigkeit 𝜆¾�,« sowie des mittleren Partikeldurchmessers 𝐷ÎS,«, dessen Modellierung in Unterkapitel 3.3.4 erläutert ist: 𝛼¾�,« = 0_à1 ∙­à1,2〈�uà1,2〉 3ÎÖ,2 (3.51) Die Nusseltzahl des Wärmeübergangs zwischen der Gasphase und den Partikeln in einer Kohlen- staubflamme nimmt einen Wert von zwei an [59]. Dies ist mit demjenigen Wärmeübergangsgesetz im Einklang, das den Wärmeübergang für eine umströmte Kugel bei unendlich kleiner Relativge- schwindigkeit zwischen Kugel und Umströmungsmedium beschreibt (vgl. [60]). Die Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit in der Partikelgrenzschicht erfolgt mittels einer anwendungsspezifischen Funktion, die in Unterkapitel 4.3 beschrieben ist. Die Temperatur der Partikelgrenzschicht gleiche dem arithmetischen Mittelwert zwischen Gas- und Partikeltemperatur: Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 29 𝑇u¾�,« ≈ �uàó�uÖ,2 # (3.52) Eine Energieänderung der Partikel wegen stofflicher Umwandlungen ist auf die Trocknung der mi- neralstofffreien Kohlesubstanz oder die Umwandlung der mineralstofffreien Kokssubstanz zurück- zuführen. Der entsprechende fiktive oberflächenspezifische Wärmestrom ist eine Funktion von brut- toreaktionsspezifischen Größen (siehe Unterkapitel 3.3.4), der auf die Suspensionsmasse bezogenen äußeren Partikeloberfläche 𝑎æS,« (siehe Unterkapitel 3.3.4) und der Suspensionsdichte: �̇�æ=>?@,« = ∆é4ú5,*_2∙@̇Î4ú5,*_2ó∆é4ú5,66_2∙@̇Î4ú5,66_2 ]æÖ,2îÎ (3.53) Die Bestimmung der Partikeltemperatur mittels der den vorstehenden Erläuterungen entsprechenden Energiebilanz ist ausschließlich numerisch möglich und folglich in Unterkapitel 5.4 erläutert. Wärmeinduzierte Spannung Die wärmeinduzierte Spannung der Gasphase 𝜎¾,C,Þ�l ist wie bei Maxwell [36] in drei Anteile unter- schieden: die richtungsabhängige Schubspannung 𝜏¾,C,Þ�l , den richtungsunabhängigen, mittleren wär- meinduzierten Druck der Gasphase 𝑝¾�l , der im allgemeinen Sprachgebrauch als Druck bezeichnet wird, und die Spannungskorrektur 𝜎ýd~~,¾�l , deren Bezeichnung auf ihre Bedeutung als Differenz zwi- schen der tatsächlichen Spannung und den beiden anderen Anteilen hinweist. Die wärmeinduzierte Schubspannung 𝜏¾,C,Þ�l sei über die dynamische Viskosität der Gasphase 𝜇¾ Cï den entsprechenden Geschwindigkeitsgradienten proportional [36], wie Tabelle 3.9 zeigt. Die dynami- sche Viskosität hängt von der Zusammensetzung der Gasphase und der dynamischen Viskosität der einzelnen Bestandteile ab (vgl. [61] [62]). Dieser Zusammenhang ist vereinfacht berücksichtigt, wie in Unterkapitel 4.3 beschrieben ist. Der Druck ist ein Maß für die spezifische Energie der Wärmebewegung. Die Molarbewegung der Moleküle der Gasphase kann zu einer Änderung des Druckes führen, obwohl die Molarbewegung gemäß der Inkompressibilität der Gasphase diese weder verdichten noch verdünnen kann. Folglich sind das Differential des Druckes und das Differential der Dichte in einem sich inkompressibel ver- haltenden Gas nicht gekoppelt. Dies rechtfertigt die Nutzung des Referenzdruckes zur Bestimmung der Suspensionsdichte. Für den Druck existiert keine Bestimmungsgleichung, weswegen das 30 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses resultierende Gleichungssystem mithilfe eines auf den Bilanzgleichungen (3.37) und (3.38) basieren- den Druckkorrekturverfahrens umgeformt ist (siehe Unterkapitel 5.4). Die Spannungskorrektur sei gemäß der Hypothese von Stokes modelliert (vgl. [36] [63]). Wärmeinduzierte Wärmeleitung Die Berechnung der wärmeinduzierten Wärmeleitung �̇�T?C},¾,Þ�l basiert auf dem Fourierschen Gesetz. In seiner ursprünglichen Formulierung enthält es die Wärmeleitfähigkeit der Gasphase 𝜆¾ Cï . Dieser Stoffwert ist auf die gasphasenspezifischen Größen dynamische Viskosität, differentielle isochore Wärmekapazität, Isentropenexponent 𝜅¾ und wärmeinduzierte Prandtlzahl 𝑃𝑟¾�l zurückgeführt: 𝜆¾ Cï = Áà ·"∙)à 7,·"∙#à S~à ËÌ (3.54) Vereinfachend seien die wärmeinduzierte Prandtlzahl und der Isentropenexponent mit jeweils einer anwendungsspezifischen Konstanten bedacht, deren Festlegung in Unterkapitel 4.3 dargelegt ist. In Hinblick auf ein standardisiertes Vorgehen bei der Lösung des resultierenden Gleichungssystems gleiche das Differential des thermischen Anteils der inneren Energie der Gasphase 𝜕∆𝑈Ø}>,¾ dem Dif- ferential des thermischen Anteils der inneren Energie der Suspension 𝜕∆𝑈Ø}> (vgl. Gleichung (3.46)): 𝜕∆𝑈Ø}>,¾ ≈ 𝜕∆𝑈Ø}> (3.55) Wärmeinduzierte Massendiffusion Zur Modellierung der wärmeinduzierten Massendiffusion der Gasphase 𝑗¾,l,Þ�l dient das erste Ficksche Gesetz. Der in seiner ursprünglichen Formulierung enthaltene Diffusionskoeffizient 𝐷¾,l Cï hängt von der dynamischen Viskosität und Materialdichte der Gasphase sowie der bestandteilspezifischen, wär- meinduzierten Schmidtzahl 𝑆𝑐¾,l�l ab. Die wärmeinduzierte Schmidtzahl und die wärmeinduzierte Prandtlzahl stimmen in Gasen näherungsweise überein [64] und sind deswegen einander gleichge- setzt: 𝐷¾,l Cï = 𝜇¾ Cï»�̅�¾i ∙ 𝑆𝑐¾,l�l¼ Y´ ≈ 𝜇¾ Cï»�̅�¾i ∙ 𝑃𝑟¾�l¼ Y´ (3.56) Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 31 Für die Modellierung der wärmeinduzierten und turbulenzinduzierten Massendiffusion gelte für das Differential eines gasphasenspezifischen Massenanteils 𝜕𝑥è¾,l die nachstehende Vereinfachung. 𝜕𝑥è¾,l = 𝜕 ² îÎ îÎà 𝑥èl¶ ≈ îÎ îÎà 𝜕𝑥èl (3.57) Weiterhin sei für die Berechnung der wärmeinduzierten Massendiffusion das Dichteverhältnis in der vorstehenden Gleichung vernachlässigt. Aufgrund dessen werden im Vergleich zur realen wärmein- duzierten Massendiffusion kleinere Werte für die wärmeinduzierte Massendiffusion der gasförmigen Bestandteile berechnet. Hierdurch würde eine zusätzliche Relativbewegung zwischen Gas- und Par- tikelphase induziert. Diesem Umstand ist begegnet, indem den Partikeln eine analog modellierte wär- meinduzierte Massendiffusion aufgeprägt ist: 𝚥S̅,l,Þ�l : = − Áà ·" S~à ËÌ ∙ Ô®èÌ Ô®ç (3.58) 3.3.2 Strömungsverhalten Die Modellierung des Strömungsverhaltens umfasst eine Modellierung der turbulenzinduzierten Grö- ßen Spannung, Wärmeleitung und Massendiffusion, eine Modellierung der turbulenzinduzierten Konvektion und Diffusion von Turbulenzenergie und eine Modellierung der Dissipation der Turbu- lenz der Gasphase. Die angewendeten Modellierungsansätze stellen zusammengefasst eine Variante der Standard 𝑘-𝜀-Modelle dar. Die abgeleiteten Bilanzgleichungen für die Turbulenzenergie 𝑘u¾ und die Dissipation der Turbulenz 𝜀¾�_ unterscheiden sich von den entsprechenden Bilanzgleichungen be- kannter Standard 𝑘 -𝜀 -Modelle, beispielsweise demjenigen von Launder und Spalding [46], von Vos [47] oder von Wilcox [48]. Die Ursache hierfür ist die abweichende Definition der Turbulenz der Gasphase, worauf in Unterkapitel 3.2.1 eingegangen ist. Die Modellierung des Strömungsverhal- tens ist der erwähnten Unterscheidung nach in den folgenden Unterkapiteln beschrieben. Turbulenzinduzierte Spannung, Wärmeleitung und Massendiffusion Auf Basis der formalen Analogie zwischen Wärmebewegung und Turbulenz (vgl. Unterkapitel 3.2.1) modellierte Boussinesq [65] die turbulenzinduzierte Spannung 𝜎æ¾,C,Þ�_ in einer zur Modellierung der wärmeinduzierten Spannung 𝜎æ¾,C,Þ�l formal gleichen Weise [66] [67]. Das entsprechende 32 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Strömungsgesetz enthält statt der dynamischen Viskosität der Gasphase 𝜇¾ Cï die dynamische Wirbel- viskosität der Gasphase 𝜇¾�_ . Die turbulenzinduzierte Wärmeleitung �̇�æT?C},¾,Þ�_ und Massendiffu- sion 𝚥S̅>,l,Þ�_ können analog modelliert werden [68]. Diese Strömungsgesetze finden Anwendung, in- dem sie zunächst für die in Unterkapitel 3.2.2 beschriebene Betrachtung einer vereinfachten Strö- mungsbewegung und das in Unterkapitel 3.3.1 erläuterte Stoffverhalten spezifiziert und anschließend vereinfacht sind, so wie es in Tabelle 3.10 zusammengefasst und nachfolgend erklärt ist. Tabelle 3.10: Modellierung des Strömungsverhaltens Größe Ursprüngliche Formulierung des Strömungsgesetzes Angewendete Formulierung des Strömungsgesetzes 𝜎æ¾,C,Þ�_ 𝜎æ¾,C,Þ�_ = −𝜏̅¾,C,Þ�_ + 𝛿CÞ»�̅�¾�_ + 𝜎æ¾,9d~~�_ ¼ 𝜎æ¾,C,Þ�_ = −𝜏̅¾,C,Þ�_ + 𝛿CÞ»�̅�¾�_ + 𝜎æ¾,9d~~�_ ¼ mit mit 𝜏̅¾,C,Þ�_ = 𝜇¾�_ õ Ô_ÿà,· Ô®ç + Ô_ÿà,ç Ô®· ÷ 𝜏̅¾,C,Þ�_ = 𝜇¾�_ õ Ô_ÿ· Ô®ç + Ô_ÿç Ô®· ÷ �̅�¾�_ = # Q �̅�¾i𝑘u¾ �̅�¾�_ = # Q �̅�¾𝑘u¾ 𝜎æ¾,9d~~�_ = # Q 𝜇¾�_ Ô_ÿà,! Ô®! 𝜎æ¾,9d~~�_ = # Q 𝜇¾�_ Ô_ÿ! Ô®! �̇�æT?C},¾,Þ�_ �̇�æT?C},¾,Þ�_ = −𝜆¾�_ Ô�uà Ô®ç �̇�æT?C},¾,Þ�_ = − Áà ÏÐ∙#à S~à ÏÐ ∙ Ô∆é Ø$× Ô®ç 𝚥S̅>,l,Þ�_ 𝚥¾̅,l,Þ�_ = −𝜌¾i𝐷¾,l�_ Ô®à,Ì Ô®ç 𝚥S̅>,l,Þ�_ = − ÁÏÐ S~à ÏÐ ∙ Ô®èÌ Ô®ç Zur Berechnung der Wirbelviskosität der Gasphase 𝜇¾�_ dient bei Standard 𝑘-𝜀-Modellen folgender Zusammenhang (vgl. [69]). 𝜇¾�_ = 0,09�̅�¾ ýuà Ò :à ÏÐ (3.59) Die vorstehende Gleichung geht auf Prandtl [70] [71] zurück, der aufgrund der formalen Analogie zwischen Wärmebewegung und Turbulenz darauf schloss, dass die dynamische Wirbelviskosität der Gasphase 𝜇¾�_ sich näherungsweise proportional zur Dichte der Gasphase, zum Mischungsweg der Turbulenz 𝐿�_ und zur Wurzel der Turbulenzenergie der Gasphase verhält: Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 33 𝜇¾�_ ∝ �̅�¾𝐿�_𝑘u¾ c,< (3.60) Der Mischungsweg der Turbulenz 𝐿�_ beschreibt eine mittlere Größe der turbulenten Strukturen. Sein Analogon ist der Mischungsweg der Wärmebewegung, der nach Maxwell [72] dem mittleren Abstand zwischen den Molekülen eines Gases entspricht. Der Mischungsweg und die Dissipation der Turbulenz der Gasphase seien keine unmittelbaren Funktionen von Stoffwerten der Wärmebewe- gung, sondern ausschließlich unmittelbar von der Turbulenz beeinflusste, einander proportionale Größen, woraus Taylor [73] durch eine Dimensionsanalyse folgenden Zusammenhang ableitete (vgl. [74]). 𝐿�_ ∝ ýuà Í,= :à ÏÐ (3.61) Der Modellierungsansatz für die turbulenzinduzierte Wärmeleitung enthält die Wirbelwärmeleitfä- higkeit der Gasphase 𝜆¾�_ . In analoger Weise zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit 𝜆¾ Cï , dargestellt in Gleichung (3.54), ist die Wirbelwärmeleitfähigkeit der Gasphase eine Funktion der Wirbelvisko- sität 𝜇¾�_ , der isochoren Wärmekapazität 𝐶¾ ü,Cï, des Isentropenexponenten 𝜅¾ und einer entsprechend definierten Wirbel-Prandtlzahl der Gasphase 𝑃𝑟¾�_ : 𝜆¾�_ = Áà ÏÐ∙)à 7,·"∙#à S~à ÏÐ (3.62) Die Wirbel-Prandtlzahl der Gasphase nehme einen Wert von 0,70 an (vgl. [50]). Auch der zur Modellierung der turbulenzinduzierten Massendiffusion erforderliche Wirbeldiffusi- onskoeffizient eines Bestandteils der Gasphase 𝐷¾,l�_ ist wie sein Analogon berücksichtigt: dem Dif- fusionskoeffizienten 𝐷¾,l Cï , berechnet nach Gleichung (3.56). Der Wirbeldiffusionskoeffizient hängt von der Wirbelviskosität 𝜇¾�_ , der Materialdichte �̅�¾i und einer bestandteilspezifischen Wirbel- Schmidtzahl der Gasphase 𝑆𝑐¾,l�_ ab. Die Wirbel-Schmidtzahl gleiche aufgrund der formalen Analo- gie zwischen Turbulenz und Wärmebewegung der Wirbel-Prandtlzahl: 𝐷¾,l�_ = 𝜇¾�_»�̅�¾i ∙ 𝑆𝑐¾,l�_ ¼ Y´ ≈ 𝜇¾�_(�̅�¾i ∙ 𝑃𝑟¾�_)Y´ (3.63) Die Massendiffusion partikelförmiger Bestandteile 𝚥S̅,l,Þ�_ ist durch jeweils einen zur Massendiffusion gasförmiger Bestandteile 𝚥¾̅,l,Þ�_ analogen Ansatz erfasst. 34 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Einige Terme des resultierenden Gleichungssystems enthalten das Produkt der Wirbelviskosität der Gasphase und des Quotienten aus der Dichte der Suspension und der Dichte der Gasphase. Diese Größen sind zur Wirbelviskosität der Suspension 𝜇�_ zusammengefasst: 𝜇�_: = îÎ îÎà 𝜇¾�_ (3.64) Bei der Anwendung der vorstehenden Strömungsgesetze kann eine fehlerhafte Berücksichtigung der turbulenzinduzierten Größen nicht ausgeschlossen werden. Beispielsweise kann die turbulenzindu- zierte Massendiffusion auch entgegen des entsprechenden Gradienten verlaufen [75], was einen ne- gativen Wert der per Definition positiven Wirbelviskosität erfordern würde. Derartige Fehler sind darin begründet, dass die angewendeten Strömungsgesetze auf der formalen Analogie zwischen Wär- mebewegung und Turbulenz und nicht auf physikalischen Gesetzen basieren. Dies unterscheidet die Strömungsgesetze von den Stoffgesetzen. So kann nach Maxwell [72] beispielsweise die dynamische Viskosität 𝜇¾ Cï auf Basis der molekularen Bewegung berechnet werden. Weiterhin stellt die Isotropie der Wirbelviskosität der Gasphase eine nicht allgemeingültige Vereinfachung dar (vgl. [76]). Insbe- sondere kann nach Jones [77] die Wirbelviskosität der Gasphase in einer Strömung mit einem ge- krümmten Strömungsverlauf eine nicht isotrope Größe sein [78]. Turbulenzinduzierte Konvektion und Diffusion von Turbulenzenergie Die turbulenzinduzierte Konvektion �̅�»𝑘¾𝑢¾,á ̇∗∗ ¼ò und Diffusion »𝜎¾,ã̇,á ̇�l 𝑢¾,ã̇∗∗ ¼ ææææææææææææææ von Turbulenzenergie sind nicht unmittelbar modelliert. Sie unterliegen zunächst einigen Umformungen, sodass die Bilanz- gleichung für die Turbulenzenergie die nachstehend dargestellte Form annimmt, wie in Anhang B.2 dargelegt ist. Ô Ô®ç ²�̅�𝑘u¾𝑢èÞ + �̅�»𝑘¾𝑢¾,á ̇∗∗ ¼ò + ³»𝑝¾�l¼ ÑÑ 𝑢¾,á ̇∗∗ µææææææææææææææææææ¶ + Ô Ô®ç ô−𝜇¾ Cï Ôýæà Ô®ç − 𝜇¾ Cï õ Ô_à,ì ̇ ∗∗ Ô®> ̇ 𝑢¾,ã̇∗∗ ÷ ææææææææææææææ + # Q 𝜇¾ Cï ³ Ô_à,! ∗∗ Ô®! 𝑢¾,á ̇∗∗ µ ææææææææææææææ ø = − Ô Ô®ç ²𝜎æ¾,C,Þ�l »𝑢¾,ã̇∗∗ ¼ æææææææ¶ − îÎ îÎà 𝜎æ¾,C,Þ�_ Ô_ÿ· Ô®ç − �̅�¾𝜀¾�_ (3.65) Die zu modellierenden Größen der vorstehenden Bilanzgleichung sind wie folgt berücksichtigt: Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 35 Zwischen der turbulenzinduzierten Konvektion der Turbulenzenergie �̅�»𝑘¾𝑢¾,á ̇∗∗ ¼ò und der Definition der turbulenzinduzierten Spannung 𝜎¾,C,Þ�l , dargestellt in Tabelle 3.6, besteht eine formale Analogie. Dies legt nahe, auch die turbulenzinduzierte Konvektion von Turbulenzenergie durch einen Gradien- tenansatz zu modellieren. Üblicherweise wird jedoch die Summe der turbulenzinduzierten Konvek- tion von Turbulenzenergie und der turbulenzinduzierten Konvektion der turbulenzinduzierten Druck- schwankung »𝑝¾�l¼ ÑÑ 𝑢¾,á ̇∗∗æææææææææææææææ durch einen gemeinsamen Ansatz erfasst, da kein geeigneter Modellie- rungsterm für die letztgenannte Größe bekannt ist [74]. Dieser Ansatz findet in einer vereinfachten Weise Berücksichtigung, indem die turbulenzinduzierte Konvektion der turbulenzinduzierten Druck- schwankung um das Verhältnis aus der Dichte der Gasphase und der Dichte der Suspension erweitert ist: �̅�¾»𝑘¾𝑢¾,á ̇∗∗ ¼ò + îÎà îÎ ³𝑢¾,á ̇∗∗ »𝑝¾�l¼ ÑÑ µææææææææææææææææææ ≈ − Áà ÏÐ ?! Ôýuà Ô®ç (3.66) Die dimensionslose Kennzahl 𝜎ý nimmt bei Standard 𝑘-𝜀-Modellen den Wert 1,0 an (vgl. [46]). Zur Berücksichtigung des ersten Terms in der zweiten Zeile von Bilanzgleichung (3.65) gleiche das Differential des nicht-dichtegewichteten Anteils der Strömungsbewegung an der Turbulenzenergie dem Differential des entsprechenden dichtegewichteten Anteils. Weiterhin ergänze der Kehrwert der dimensionslosen Kennzahl 𝜎ý den genannten Term: Ô Ô®ç ô𝜇¾ Cï Ôýæà Ô®ç ø ≈ Ô Ô®ç ôÁà ·" ?! Ôýuà Ô®ç ø (3.67) Die übrigen Terme in der zweiten Zeile von Bilanzgleichung (3.65) seien vernachlässigbar gering: Ô Ô®ç ô−𝜇¾ Cï õ Ô_à,ì ̇ ∗∗ Ô®>̇ 𝑢¾,ã̇∗∗ ÷ ææææææææææææææ + # Q 𝜇¾ Cï ³ Ô_à,! ∗∗ Ô®! 𝑢¾,á ̇∗∗ µ ææææææææææææææ ø ≈ 0 (3.68) Die Modellierung des Anteils der Strömungsbewegung an der turbulenten Geschwindigkeitsfluktua- tion »𝑢¾,á ̇∗∗ ¼ææææææææ geht auf einen von Hogg [79] beschriebenen Ansatz zurück: »𝑢¾,ã̇∗∗ ¼ æææææææ ≈ Áà ÏÐ îÎà Ò Ô Ô®· [�̅�¾] (3.69) 36 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Dissipation der Turbulenz der Gasphase Die exakte Bilanzgleichung für die Dissipation der Turbulenz 𝜀¾�_ geht aus der Impulsbilanzglei- chung hervor (vgl. [80]). Beinahe jeder Term dieser exakten Bilanzgleichung erfordert eine proble- matische Modellierung (vgl. [81]). Deswegen wird die Dissipation 𝜀¾�_ mithilfe einer vereinfachten Form dieser Bilanzgleichung berechnet, die der Bilanzgleichung für die Turbulenzenergie 𝑘u¾ ähnelt: Statt der Konvektion und Diffusion der Turbulenzenergie 𝑘u¾ enthält die Bilanzgleichung entspre- chende Ausdrücke für die Konvektion und Diffusion der Dissipation 𝜀¾�_ (vgl. [81]). Die übrigen Terme der Bilanzgleichung für die Turbulenzenergie der Gasphase sind mit jeweils einer Konstanten und dem Verhältnis aus der Dissipation 𝜀¾�_ und der Turbulenzenergie 𝑘u¾ multipliziert [81]. Die den Erläuterungen dieses Unterkapitels nach abgeleiteten Bilanzgleichungen für die Turbulenz- energie 𝑘u¾ und die Dissipation der Turbulenz 𝜀¾�_ sind nachfolgend dargestellt. Ô Ô®ç ô�̅�𝑘u¾𝑢èÞ − Áúûû ?! ∙ Ôý uà Ô®ç ø = −õ Ô Ô®ç ô𝜎æ¾,C,Þ�l Áà ÏÐ îÎà Ò ÔîÎà Ô®· ø + îÎ îÎà 𝜎æ¾,C,Þ�_ Ô_ÿ· Ô®ç + �̅�¾𝜀¾�_÷ (3.70) Ô Ô®ç ô�̅�𝜀¾�_𝑢èÞ − Áúûû ?@ ∙ Ô:à ÏÐ Ô®ç ø = −õ1,44 Ô Ô®ç ô𝜎æ¾,C,Þ�l Áà ÏÐ îÎà Ò ÔîÎà Ô®· ø + 1,44 îÎ îÎà 𝜎æ¾,C,Þ�_ Ô_ÿ· Ô®ç + 1,92�̅�¾𝜀¾�_÷ :à ÏÐ ýuà (3.71) Die vorstehenden Bilanzgleichungen enthalten die effektive dynamische Viskosität 𝜇?¹¹ , die als Summe der Wirbelviskosität und der dynamischen Viskosität der Gasphase definiert ist. 𝜇?¹¹:= 𝜇�_ + 𝜇¾ Cï (3.72) Die dimensionslose Kennzahl 𝜎: nimmt bei Standard 𝑘-𝜀-Modellen den Wert 1,3 an (vgl. [46]). 3.3.3 Strahlungsverhalten Die Modellierung des Strahlungsverhaltens erfordert die Modellierung der absorptions-, emissions- und reflektionsbedingten Änderung der spektralen Strahlungsdichte jedes Wärmestrahlungsfeldes. Die Grundlage hierfür bildet die Beschreibung des exakten Strahlungsverhaltens eines Gases in der Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses 37 Detailtiefe der Molarbewegung, in der beispielsweise Kirchhoff [82] die Eigenschaften von Körpern zur Emission und Absorption von Wärmestrahlung beschrieb. Das exakte Strahlungsverhalten eines Gases ist in einer vereinfachenden Weise auf das Strahlungsverhalten der Suspension übertragen. Exaktes Strahlungsverhalten eines Gases Die Änderung der spektralen Strahlungsdichte jedes Wärmestrahlungsfeldes aufgrund einer entspre- chenden Absorption durch ein Gas steht in einem proportionalen Zusammenhang zur spektralen Strahlungsdichte [83]. Die Proportionalitätskonstante heißt spektraler Absorptionskoeffizient 𝑘]l�,¾,­: m m® 𝐿­,®¸ ]l�,¾ = −𝑘]l�,¾,­ ∙ 𝐿­,® (3.73) Die spektrale Strahlungsdichte der Wärmestrahlung, die von einem Körper emittiert werden kann, ist nach oben begrenzt. Ein Körper, der über das gesamte Wärmestrahlungsspektrum und in jede Rich- tung Strahlung mit maximaler Energie emittiert, heißt schwarzer Körper. Die spektrale Strahlungs- dichte der von Gasen emittierten Wärmestrahlung gleicht je nach Wellenlänge und Richtung unter- schiedlich stark der Strahlungsenergie eines schwarzen Körpers. Mit der Emission von Wärmestrah- lung geht eine Änderung der Strahlungsdichte einher, die über den spektralen Absorptionskoeffizien- ten der maximal emittierbaren spektralen Strahlungsdichte 𝐿@]®,­,® proportional ist [83]: m m® 𝐿­,®¸ ?@�,¾ = 𝑘]l�,¾,­ ∙ 𝐿@]®,­,® (3.74) Planck [84] leitete für die maximal emittierbare spektrale Strahlungsdichte eine Berechnungsglei- chung her, die nur unter der Voraussetzung des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts gültig ist [38]. Vom Zustand des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts an jeder zeit-räumlichen Stelle ist auszugehen, wie in Unterkapitel 3.2.1 erläutert ist. Dies rechtfertigt die Nutzung der von Planck [84] hergeleiteten Berechnungsgleichung. Die maximal emittierbare spektrale Strahlungs- dichte ist nach Planck [84] eine Funktion der Temperatur des strahlenden Körpers und der Wellen- länge des Strahlungsfeldes, wie es die nachfolgende Gleichung darstellt, in der 𝑐 die Lichtgeschwin- digkeit im Vakuum, ℎST die Planck-Konstante und 𝑘Dd die Boltzmann-Konstante symbolisieren [85]. 𝐿@]®,­,® = #∙=Ò∙>ÖA ­= ²𝑒𝑥𝑝 ³ >ÖA∙= ýBC∙­∙� µ − 1¶ Y´ (3.75) 38 Modellierung des allgemeinen Kohlenstaubverbrennungsprozesses Die Verteilung der maximal emittierbaren spektralen Strahlungsdichte gemäß der Planckschen Be- rechnungsgleichung ist in der folgenden Abbildung für verschiedene Temperaturen 𝜗 veranschau- licht. Abbildung 3-2: Maximal emittierbare spektrale Strahlungsdichte Die vorstehende Abbildung verdeutlicht, dass die maximal emittierbare spektrale Strahlungsdichte für eine bestimmte Wellenlänge einen maximalen Wert annimmt, von dem aus sie monoton fallend verläuft. Mit zunehmender Temperatur des strahlenden Körpers erhöht sich die maximal emittierbare spektrale Strahlungsdichte über das gesamte Spektrum, wobei sich das Maximum zu einer geringeren Wellenlänge verschiebt. Eine Reflexion von Wärmestrahlung kann mit einer Änderung der Wellenlänge einhergehen, was als unelastische Reflexion bezeichnet wird [86]. Die Auswirkung der unelastischen Reflexion auf einen Kohlenstaubverbrennungsprozess ist vernachlässigbar gering (vgl. [86]). Die elastische Reflexion von Wärmestrahlung ist in einer vergleichbaren Weise zur Emission und Absorption mithilfe des spektralen Reflexi