Studienarbeit STUD-283 Potentiale des Finite-Elemente- Programms Ansys bei der Simulation von flexiblen Mehrkörpersystemen von Christian Fischer Betreuer: Prof. Dr.–Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dipl.–Ing. J. Fehr Universität Stuttgart Institut für Technische und Numerische Mechanik Prof. Dr.–Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Juni 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Freie elastische Körper 3 2.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Elastische Mehrkörpersysteme 13 3.1 Elastische Körper im Mehrkörpersystem . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Methode des bewegten Bezugssystems . . . . . . . . . 14 3.1.2 Absolute Knotenkoordinaten-Beschreibung . . . . . . . 16 3.2 Modellreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.1 Systemtheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 Modellreduktion durch Projektion . . . . . . . . . . . . 20 3.2.3 Modale Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.4 Weitere Reduktionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ii INHALTSVERZEICHNIS 4 Elastische MKS in der Praxis 24 4.1 Grundlagen der Modellierung in Ansys . . . . . . . . . . . . . 24 4.1.1 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.2 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Beispiel: Schiebermechanismus in Ansys Classic . . . . . . . . 30 4.2.1 Starrkörpersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2.2 Simulation mit elastischer Kurbel . . . . . . . . . . . . 33 4.2.3 Simulationsergebnisse und Rechenzeit . . . . . . . . . . 34 4.3 Beispiel: Fliehkraftregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.1 Modellbildung in Ansys Workbench . . . . . . . . . . 37 4.3.2 Simulation der Bewegung in Ansys Workbench . . . . 41 4.3.3 Modellbildung in Simpack . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.4 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 Zusammenfassung und Ausblick 59 Anhang 61 A.1 Beispiel: Schiebermechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.2 Eingabedatei für den elastischen Arm . . . . . . . . . . . . . . 69 A.3 Inhalt der CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Abbildungsverzeichnis 74 Tabellenverzeichnis 75 Literaturverzeichnis 78 Kapitel 1 Einleitung Zur Simulation von mechanischen Systemen ist die Methode der Mehrkörper- systeme (MKS) ein häufig verwendeter Ansatz. Die Methode der Mehrkör- persysteme ist eine weit verbreitete Methode zur Beschreibung von mecha- nischen Systemen, die aus starren Körpern aufgebaut sind, elastische Effekte und Dämpfungen werden als Koppelelemente zwischen diesen Körpern mo- delliert. Außerdem können Bindungselemente als Randbedingungen berück- sichtigt werden. Solange die elastischen Eigenschaften der Körper vernach- lässigt werden können, beschreibt diese Methode die Bewegung mechanischer Systeme adäquat und führt auf nichtlineare Differentialgleichungen oder dif- ferential-algebraische Gleichungen. In den letzten Jahren hat sich die Leichtbauweise in immer mehr Bereichen des Maschinenbaus verbreitet, z.B. in der Automatisierungstechnik, der Luft- und Raumfahrttechnik oder auch im Automobilbau. Die mit der Leichtbau- weise einhergehenden schlankeren Bauteile führen auf größere elastische Ver- formungen. Die dabei verwendeten Materialien verstärken diesen Effekt zu- sätzlich, da sie nicht nur eine geringere Dichte besitzen, sondern auch we- sentlich geringere Steifigkeiten als gewöhnlicher Stahl haben. Aus dieser Problematik heraus ist die Methode der flexiblen oder elasti- schen Mehrkörpersysteme (EMKS) entstanden, wobei für einzelne Körper auch elastische Eigenschaften beschrieben werden. Zur Modellierung von elastischen Körpern kann die Finite-Elemente- 1 2 KAPITEL 1. EINLEITUNG Methode (FEM) verwendet werden. Sie führt auf Ansatzfunktionen für die Deformation solcher Körper. Um elastische Körper jedoch in Mehrkörpersys- teme einbinden zu können, existieren im Wesentlichen zwei unterschiedliche Methoden. Zum Einen die Methode des bewegten Bezugssystems und zum Anderen die Methode der absoluten Knotenkoordinaten-Beschreibung. Ziel dieser Arbeit ist es, Möglichkeiten der aktuellen Version 11.0 des Finite- Elemente-Programms Ansys bei der Simulation von solchen elastischen Mehrkörpersystemen zu untersuchen. Dies beinhaltet sowohl eine Beschrei- bung zur Vorgehensweise für die traditionelle Benutzeroberfläche Ansys Classic und die neuere Variante Ansys Workbench, als auch einen Vergleich mit der bisherigen Vorgehensweise zur Eingliederung elastischer Körper in das MKS-Programm Simpack. Zu Beginn werden in Kapitel 2 die wesentlichen Gedanken vom Über- gang einer kontinuumsmechanischen Beschreibung freier Einzelkörper hin zur Finite-Elemente-Methode vorgestellt. In Kapitel 3 wird dann die Ein- gliederung von elastischen Körpern in Mehrkörpersysteme kurz erläutert und die wesentlichen Punkte der Modellreduktion solcher Körper vorgestellt. Kapitel 4 beschäftigt sich dann mit der praktischen Umsetzung in Ansys und der ausführlichen Vorstellung von zwei Beispielen. Kapitel 2 Freie elastische Körper In diesem Kapitel soll exemplarisch die kontinuumsmechanische Beschrei- bung elastischer Körper sowie eine weit verbreitete Diskretisierungs-Methode solcher Körper, die Finite-Elemente-Methode, kurz erläutert werden. 2.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Die Kontinuumsmechanik beschäftigt sich mit dem mechanischen Verhalten von Festkörpern, die eine räumliche Ausdehnung haben und deren Eigen- schaften als Kontinuum beschrieben werden können. Es werden jedoch, phy- sikalisch gesehen, ausschließlich makroskopische Effekte berücksichtigt. Die Relativbewegung von einzelnen Punkten auf dem Körper beeinflusst das dy- namische Verhalten und ist somit Teil der so genannten elastischen Mehrkör- persysteme. Wichtig sind hierbei die Dehnungen und Spannungen im Inneren der Körper. Für eine ausführlichere Darstellung der folgenden Zusammenhän- ge, siehe Lehner [4] und Shabana[10]. 2.1.1 Kinematik Die kinematische Beschreibung eines verformbaren Körpers basiert auf der Beschreibung einzelner Punkte P mit dem aktuellen Ortsvektor r(t). Als 3 4 KAPITEL 2. FREIE ELASTISCHE KÖRPER unverformte Konfiguration oder Referenzkonfiguration des Körpers wird die Konfiguration Ω0 zum Zeitpunkt t0 = 0 bezeichnet. Wie in Bild 2.1 darge- stellt, lautet die Verschiebung eines Punktes P zum Zeitpunkt t u(t) = r(t)− r0(t). (2.1) verformte Konfiguration Referenzkonfiguration Ω0 = Ω(t0) Ω(t) P P0 e1 e2 e3 O u(t) r(t) r0 = r(t0) Bild 2.1: Verformte und unverformte Konfiguration Im Folgenden soll die Abhängigkeit von der Zeit nicht weiter angegeben wer- den. Aus den Verschiebungen lässt sich nach Shabana[10] der Deformati- onsgradient F = ∂u∂r0 =  ∂u1 ∂r01 ∂u1 ∂r02 ∂u1 ∂r03 ∂u2 ∂r01 ∂u2 ∂r02 ∂u2 ∂r03 ∂u3 ∂r01 ∂u3 ∂r02 ∂u3 ∂r03  = F s + F r (2.2) bestimmen. Dieser Tensor zweiter Stufe lässt sich in einen symmetrischen Anteil F s = 1 2 ( F + F T ) =  e11 e12 e13 e21 e22 e23 e31 e32 e33  (2.3) 2.1. GRUNDLAGEN DER KONTINUUMSMECHANIK 5 und einen schiefsymmetrischen Anteil F r = 1 2 ( F − F T ) =  0 ω12 ω13 ω21 0 ω23 ω31 ω32 0  , (2.4) mit den Symmetrieeigenschaften eij = eji und ωij = −ωji (2.5) zerlegen. Für kleine Dehnungen beschreibt F s den infinitesimalen Verzer- rungstensor  an einem Punkt des Körpers. Die Matrix F r charakterisiert die mittlere Rotation eines Volumenelements. Die Anteile aus der Verformung des Körpers können beispielsweise nach Leh- ner [4] oder Schwertassek/Wallrapp [9] mit Hilfe des Green-Lagran- ge’schen Verzerrungstensors G = 12 ( F T · F − I ) (2.6) dargestellt werden. Die rotatorischen Anteile verschwinden durch die Mul- tiplikation F T · F , da Rotationsmatrizen durch Multiplikation mit ihrer Transponierten die Einheitsmatrix ergeben. Unter Annahme kleiner Verschie- bungsableitungen ∣∣∣∣ ∂ui∂roj ∣∣∣∣ 1 (2.7) können die nichtlinearen Anteile ( ∂uk ∂r0i ∂uk ∂r0j ) vernachlässigt werden. Unter Verwendung des Verschiebungsvektors u kann der Verzerrungstensor [G]ij = 1 2 ( ∂ui ∂r0j + ∂uj∂r0i + ∂uk ∂r0i ∂uk ∂r0j ) (2.8) in Indexschreibweise durch den infinitesimalen Verzerrungstensor ij = 1 2 ( ∂ui ∂rj + ∂uj∂ri ) (2.9) ersetzt werden. Hier kann auch die aktuelle Konfiguration verwendet werden, da die Ableitungen bezüglich der Referenz- und der aktuellen Konfigurati- on auf Grund von (2.7) äquivalent sind. Die Elemente des infinitesimalen 6 KAPITEL 2. FREIE ELASTISCHE KÖRPER Verzerrungstensors  können in einem Vektor ˆ = [11 22 33 γ12 γ23 γ13]T (2.10) zusammengefasst werden. Nun kann ˆ kompakt mit Hilfe des Differential- operators LL ˆ = LL · u mit LL =  ∂ ∂r01 0 0 0 ∂∂r02 0 0 0 ∂∂r03 ∂ ∂r02 ∂ ∂r01 0 0 ∂∂r03 ∂ ∂r02 ∂ ∂r03 0 ∂∂r01  (2.11) geschrieben werden. In Lehner [4] undWallrapp [11] wird der nichtlineare Verzerrungstensor G analog mit Hilfe von Differentialoperatoren als Vektor kompakt dargestellt. 2.1.2 Spannungen Die Kräfte im Inneren eines kontinuierlichen Körpers werden mit Hilfe von Spannungen beschrieben. Wenn man den Körper am Ort r durch eine Ebene mit dem Normalenvektor n teilt, dann ist der Spannungsvektor die Kraft ∆f , die am Flächenelement ∆a angreift. Durch Grenzübergang erhält man dann den Cauchy’schen Spannungsvektor σˆ = lim ∆a→0 ∆f ∆a = df da . (2.12) Wenn mit Ebenen parallel zu den Koordinatenachsen geschnitten wird, dann entstehen drei dieser Vektoren. Sie können dann als symmetrischer Tensor T = T T = [σˆ1 σˆ2 σˆ3] =  σˆ11 σˆ12 σˆ13 σˆ21 σˆ22 σˆ23 σˆ31 σˆ32 σˆ33  (2.13) 2.1. GRUNDLAGEN DER KONTINUUMSMECHANIK 7 oder als Vektor σ =  σˆ11 σˆ22 σˆ33︸ ︷︷ ︸ Normalspannungen σˆ12 σˆ13 σˆ23︸ ︷︷ ︸ Schubspannungen  T (2.14) geschrieben werden. Die Schubspannungen werden oft mit τij bezeichnet. Häufig sind jedoch alternative Spannungsdefinitionen sinnvoller, die beispiels- weise in Lehner [4] und Wallrapp [11] erläutert werden. Solche Definitio- nen sind z.B. der erste Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor P = det(F )T · F−1 , (2.15) der im Allgemeinen nicht symmetrisch ist und der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor S = ST = F−1 · P , (2.16) der eine symmetrische Modifikation von P darstellt. Nach Lehner [4] ist der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor für kleine Verzerrungen und verzerrungsfreie Referenzlage, sowie isotropes und homogenes Materialver- halten als Funktion des Verzerrungstensors G darstellbar durch S = S(G). Es ergibt sich, für den hier beispielhaft erläuterten Fall der einfachen Cauchy’ schen Spannungsdefinition, die Beziehung σ = E · (r, t) (2.17) zwischen den Spannungen und den Dehnungen für homogenes und isotropes Materialverhalten. Die MatrixE ∈ R6×6 ist in diesem Fall ein Tensor, der das Materialverhalten mit der Querkontraktionszahl und dem Elastizitätsmodul wiedergibt. 2.1.3 Bewegungsgleichungen Um die Bewegung eines Körpers beschreiben zu können, sind, wie in Lehner [4] ausfühlich behandelt, folgende mechanische Bilanzgleichungen nötig. 8 KAPITEL 2. FREIE ELASTISCHE KÖRPER 1. Massenbilanz : Wenn keine Masse durch die Oberfläche des Körpers strömt und keine Masse im Inneren des Körpers entsteht, bleibt die Masse m konstant. Sie kann durch Integration über den Körper be- stimmt werden: m = ∫ Ω0 ρ0dV = ∫ Ω ρdV = ∫ Ω0 det(F )dV = konst. (2.18) 2. Impulsbilanz : Die Impulsbilanz oder auch das zweite Newton’sche Ge- setz besagt, dass in einem Inertialsystem die zeitliche Änderung des Impulses gleich aller von außen auf den Körper wirkenden Kräfte sein muss. Die zeitliche Änderung lautet dann für die Referenzkonfiguration Ω0 ρ0a = ρ0b0 + div(P T ) , (2.19) mit der Beschleunigung a = v˙ = r¨, dem auf die Masse bezogenen Vektor der Volumenkraftdichte b0 und der Divergenz des ersten Piola- Kirchhoff’schen Spannungstensors div(P T ) = [∑ i ∂P1i ∂r0i ∑ i ∂P2i ∂r0i ∑ i ∂P3i ∂r0i ]T . 3. Drallbilanz : Die Drallbilanz geht aus dem Impulssatz hervor und be- sagt, dass die Summe der äußeren Momente gleich der Änderung des Gesamtdrehimpulses im Inertialsystem sein muss. Hier wird davon aus- gegangen, dass keine Momentenspannungen auftreten. Dies ist auch die Voraussetzung für die Symmetrie des Cauchy’schen Spannungstensors T aus (2.13). Die Massen- und Drehimpulsbilanzen werden implizit durch die Symmetrie von T und der Forderung ρ0 = konst. erfüllt. Dies führt dann nach Lehner [4] mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Leis- tung, oder auch Jourdan’sches Prinzip genannt, auf die schwache Form der Bewegungsgleichungen∫ Ω0 ρ0(a− b) · δv dV︸ ︷︷ ︸ Bewegungsleistung - Leistung d. Volumenkräfte = ∫ Γq0 p¯ · δv dA︸ ︷︷ ︸ Leistung d. Oberflächenkräfte − ∫ Ω0 S : δG˙ dV,︸ ︷︷ ︸ Verzerrungsleistung (2.20) 2.2. FINITE-ELEMENTE-METHODE 9 mit der virtuellen Verrückungsgeschwindigkeit δv, der virtuellen Verzerrungs- geschwindigkeit δG˙ sowie der flächenbezogenen Oberflächenkraft p¯. 2.2 Finite-Elemente-Methode Dieses Kapitel behandelt nur die wesentlichen Eigenschaften der Finite-Ele- mente-Methode (FEM), für eine ausführlichere Darstellung siehe Lehner [4] und Shabana[10]. Bei der Finite-Elemente-Methode wird ein kontinuierli- cher Körper in diskrete finite Elemente zerlegt, die für sich einfach beschreib- bar sind, wie in Bild 2.2 dargestellt. e1 e2 e3 O Knoten Knoten Ω Element Om P (t0) P (t) x u rOO′ r(t) Bild 2.2: Links: Unstrukturiertes Finite-Elemente-Gitter aus gmsh. Rechts: Element in einem elastischen Körper. Die Motivation der Finite-Elemente-Methode beruht darauf, dass in der Kon- tinuumsmechanik partielle Differentialgleichungssysteme zu lösen sind, dies ist extrem aufwendig und gelingt nur bei sehr einfachen Geometrien auf ana- lytischem Weg. Deshalb wird eine physikalisch begründete Diskretisierungs- methode gesucht, die den Raum diskretisiert. Dann ist statt einer partiellen Differentialgleichung nur noch ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem zu lösen. Diese Methode hat den Vorteil, dass die Geometrie der Körper durch das Ver- fahren automatisch erfasst wird und Randbedingungen einfach berücksichtigt werden können. Voraussetzung für eine korrekte Wiedergabe der Geometrie 10 KAPITEL 2. FREIE ELASTISCHE KÖRPER ist jedoch eine ausreichend feine Diskretisierung. Diese erhöht die Approxima- tionsgüte und leider jedoch auch die Rechenzeit. Bei der Wahl der Elemente müssen einige Bedingungen eingehalten werden. Es dürfen keine Zwischen- räume zwischen den Elementen entstehen und der Übergang zwischen den Elementgrenzen muss stetig sein. Bei einigen Elementen, meist mit Ablei- tungen oder Verdrehungen als Knotenfreiheitsgrade, muss dieser Übergang zusätzlich differenzierbar sein. Die am häufigsten verwendeten Elemente sind Volumen-, Schalen-, Balken- und Stabelemente. Um Punkte in einem Element m kinematisch beschreiben zu können, muss sowohl die Orientierung als auch die Position des Elements bekannt sein. Die Orientierung des Elements m wird über die Drehmatrix ARm bestimmt. Die Position eines Punktes im Inneren eines Elements ergibt sich durch Trans- formation und Addition der Ortsvektoren, wie sie in Bild 2.2 definiert sind. Die Verschiebung eines Punktes im m-ten Element Ru(t) = ARm ·Nm(x) · qm(t) (2.21) wird durch die Matrix der Ansatz- oder Formfunktionen Nm(x) und den Vektor der Knotenkoordinaten qm(t) beschrieben. Die Formfunktionen sind meist lineare, quadratische oder kubische Funktionen, die die Verschiebung eines beliebigen Punktes innerhalb eines Elements beschreiben. Der Vektor der Knotenkoordinaten enthält für jeden Knoten des Elements m die Ver- schiebungsgrößen und eventuell auch Verschiebungsableitungen bzw. Verdre- hungen. Im Folgenden entfällt die Indizierung für Größen, die im Referenzsystem dargestellt sind. Die Knotenkoordinaten der ganzen FE-Struktur werden in einem weiteren Vektor qF (t) zusammengefasst. Über eine boolsche Sammelmatrix Tm ∈ Rnmq ×nF wird dann der Zusammenhang qm(t) = Tm · qF (t) (2.22) zwischen den beiden Vektoren dargestellt. Die Anzahl der Knotenkoordinaten 2.2. FINITE-ELEMENTE-METHODE 11 ist nmq und nF die Anzahl der Freiheitsgrade bzw. Koordinaten der gesamten FE-Struktur. Nun können die einzelnen Elemente alle in einem globalen Verschiebungs- vektor u(r0, t) zusammengefasst und es kann durch Summation eine globale Ansatzfunktion ΦF (r0) mit u(r0, t) = nE∑ m=1 ARm ·Nm(x) · Tm · qF (t) (2.23) = ΦF (r0) · qF (t) bestimmt werden. Mit der Finite-Elemente-Methode kann systematisch eine globale Ansatzfunktion für ein Kontinuum aufgebaut werden. Diese Ansatz- funktion stellt einen Zusammenhang zwischen den Knotenkoordinaten qF (t) und den Verschiebungen eines beliebigen Punktes u(r0, t) im Körper her. Finite-Elemente-Bewegungsgleichungen Unter der Voraussetzung, dass das Referenzsystem ein Intertialsystem ist, wird aus den Bewegungsgleichungen des freien Körpers (2.20), den globalen Ansatzfunktionen (2.23) und v = r˙ = u˙ und a = r¨ = u¨ die Bewegungsglei- chung eines Finite-Elemete-Körpers MF · q¨F + ( KFL +KFN ) · qF = hFs + hFb . (2.24) In dieser Gleichung treten die MassenmatrixMF , die lineare Steifigkeitsma- trixKFL und die nichtlineare SteifigkeitsmatrixKFN , die verallgemeinerten Oberflächenkräfte hFs und die verallgemeinerten Volumenkräfte hFb auf. Sie 12 KAPITEL 2. FREIE ELASTISCHE KÖRPER sind wie folgt definiert: MF = ∫ Ω0 ρ0ΦTF (r0) ·ΦF (r0) dV , KFL = ∫ Ω0 BTL · Cˆ ·BL dV , KFN = ∫ Ω0 BTN(qF ) · Cˆ ·BL + 1 2 ( BL +BN(qF ) )T · Cˆ ·BN(qF ) dV , hFs = ∫ Γq0 ΦTF (r0) · p¯ dA , hFb = ∫ Ω0 ρ0ΦTF (r0) · b dV . Dabei ist Cˆ der Materialtensor, analog zu E in (2.17) für lineares Material- verhalten. Die virtuelle Verzerrungsgeschwindigkeit aus (2.20) δG˙ = (BL +BN(qF )) · δq˙F (2.25) ist hier unter Verwendung des linearen Materialgesetzes in einen linearen und einen nichtlinearen Anteil zerlegt worden. In Lehner [4] werden zusätzlich zu den Bewegungsgleichung noch geschwin- digkeitsabhängige Dämpfungsterme hinzugefügt, die sich zum Beispiel bei der Rayleigh-Dämpfung als Linearkombination aus Massen- und Steifigkeits- matrix ergeben, da Dämpfungsparameter sehr schwer zu identifizieren sind. Kapitel 3 Elastische Mehrkörpersysteme Elastische Mehrkörpersysteme bestehen sowohl aus elastischen als auch aus starren Körpern. Diese Körper können entweder durch Lagerungen oder durch Koppelelemente miteinander verbunden werden. Unter Lagerungen versteht man geometrische oder kinematische Beziehungen, beispielsweise Drehlager oder Befestigungen. Koppelelemente sind typischerweise Federn, Dämpfer oder Stellglieder. In diesem Kapitel sollen zwei verschiedene Ansätze zur Einbindung elasti- scher Körper in ein Mehrkörpersystem betrachtet werden und die wesentli- chen Aspekte für die Modellreduktion elastischer Körper erläutert werden. 3.1 Elastische Körper im Mehrkörpersystem Zur Beschreibung elastischer Körper in einem elastischen Mehrkörpersystem wird häufig die in Kapitel 2.2 eingeführte Finite-Elemente-Methode verwen- det. Allerdings lassen sich auch durch andere Verfahren Ansatzfunktionen für elastische Körper finden. In Shabana [10] wird beispielsweise die Methode von Rayleigh und Ritz vorgestellt. Bei elastischen Mehrkörpersystemen treten jedoch weitere Probleme auf. Zum einen müssen die verschiedenen Körper durch Lager bzw. Koppelele- mente verbunden werden. Außerdem müssen nichtlineare Bewegungen der 13 14 KAPITEL 3. ELASTISCHE MEHRKÖRPERSYSTEME Körper zugelassen werden, um die Bewegung exakt beschreiben zu können. In den folgenden Abschnitten sollen zwei grundsätzlich verschiedene Varian- ten zur Beschreibung elastischer Körper behandelt werden. Dies stellt einen der wesentlichen Unterschiede zwischen Ansys und Simpack dar. Die erste Variante ist die Methode des bewegten Bezugssystems (floating frame of reference), in der zwei Koordinatensätze verwendet werden. Einer zur Beschreibung der nichtlinearen Bewegung eines Körper-Referenzsystems und ein Satz zur Beschreibung der elastischen Verformung bezüglich dieses Körper-Referenzsystems. Diese Methode wird unter anderem in Lehner [4], Shabana [10] und Schwertassek/Wallrapp [9] behandelt. Diese Vari- ante wird unter anderem im MKS-Programm Simpack verwendet. Alternativ kann die absolute Knotenkoordinaten-Beschreibung (absolute no- dal coordinate formulation bzw. ANCF) verwendet werden. Hier werden ab- solute Verschiebungen und Steigungen der Knoten betrachtet. Diese Methode wird in Shabana [10] und Kübler/Eberhard/Geisler [3] beschrieben. Ansys verwendet diese Methode zur Simulation von elastischen Mehrkör- persystemen. 3.1.1 Methode des bewegten Bezugssystems Bei dieser Methode wird das Problem in eine nichtlineare Bewegung des gesamten Körpers beziehungsweise des Körper-Referenzsystems und eine li- near-elastische Verformung der Knoten relativ zum Körper-Referenzsystem aufgetrennt. Diese Methode ist offensichtlich auf Probleme mit kleinen li- near-elastischen Verformungen und zusätzlich auf lineares Materialverhalten beschränkt. Diese lineare Bewegung bzw. Verformung der Knoten des elasti- schen Körpers hat die Koordinaten q. Das Körper-Referenzsystem Ki ist in Bild 3.1 abgebildet. Der verformte Zu- stand ist in blauer Farbe dargestellt, die Wege auf denen sich das Körper- Referenzsystem Ki und ein beliebig gewählter Punkt Pk bewegen, sind ge- strichelt. Die Bewegung des Punktes Pk relativ zum Körper-Referenzsystem Ki ist in roter Farbe verdeutlicht. 3.1. ELASTISCHE KÖRPER IM MEHRKÖRPERSYSTEM 15 verformte Konfiguration Referenzkonfiguration Pk Pk e1 e2 e3 O rk ri Ki Ki rik dik rik uk Bild 3.1: Kinematische Beschreibung eines elastischen Körpers Unter Verwendung eines mechanischen Prinzips können dann die Bewegungs- gleichungen mI mc˜T (q) CTt (q) mc˜(q) J(q) CTr (q) Ct(q) Cr(q) M e ·  ai αi q¨  =  hat (q, q˙) har(q, q˙) hae(q, q˙) +  0 0 −Ke · q −De · q˙  (3.1) eines elastischen Körpers unter Verwendung der Methode des bewegten Be- zugssystems hergeleitet werden. Für eine ausführlichere Darstellung der Her- leitung siehe z.B. Shabana [10] oder Schwertassek/Wallrapp [9]. Hier treten einige bekannte Terme aus der Struktur- und Starrkörpermecha- nik auf: Die 2x2-Block-Submatrix in der linken oberen Ecke der Massenma- trix entspricht der Massenmatrix eines starren Körpers, mit der Masse m. Der Vektor c˜ steht für den Schwerpunkt und J(q) für den Trägheitstensor. Die Matrizen M e, Ke und De beschreiben das elastische Subsystem. Die Wechselwirkung zwischen den Koordinatensätzen für die nichtlineare Be- wegung des Körper-Referenzsystems und den Koordinatensätzen für die elas- tische Deformation im Körper-Referenzsystem q¨ werden durch die Koppel- matrizen Ct(q) und Cr(q) berücksichtigt. Die translatorische Beschleunigung des Körper-Referenzsystems Ki wird 16 KAPITEL 3. ELASTISCHE MEHRKÖRPERSYSTEME durch ai und die Winkelbeschleunigung durch αi beschrieben. Die rechte Seite des Gleichungssystems besteht aus den Vektoren hat , har und hae , die aus Volumen- und Oberflächenkräften, sowie aus Zentrifugal- und Kreisel- kräften resultieren. Lagerungen oder Verbindungen zwischen verschiedenen Körpern werden meist als zusätzliche algebraische Gleichungen unter Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren eingehalten. Es müssen dann DAE-Systeme gelöst werden. Körper-Referenzsysteme Es gibt mehrere Möglichkeiten ein Körper-Referenzsystem zu definieren. Einige Varianten sind beispielweise in Wallrapp [11] oder Schwertas- sek/Wallrapp [9] behandelt. Das Tangentensystem wird an einem beliebigen Knoten fest angebracht, dies entspricht einer festen Lagerung an diesem Punkt. Es sind sowohl alle Trans- lationen als auch alle Rotationen unabhängig von der Zeit identisch Null. Dieses System setzt dann auch voraus, dass die Ansatzfunktionen keine Starr- körperformen enthalten. Das Buckens-System (Buckens frame oder mean axis frame) befindet sich immer im Schwerpunkt des Körpers, der bei elastischen Körpern nicht fest ist. Die Rotation wird so vorgegeben, dass für den mitbewegten Beobachter die Summe der Quadrate der Verschiebungen u minimal ist. Das Buckens-System führt zu genaueren und stabileren Ergebnissen. An- schaulich erklärt bewegt sich der elastische Körper relativ zum Beobachter weniger als beim Tangentensystem, da das Körper-Referenzsystem sich so mitbewegt, dass die Bewegungen der Knoten minimal sind. 3.1.2 Absolute Knotenkoordinaten-Beschreibung Die Methode der absoluten Knotenkoordinaten-Beschreibung lässt sowohl große Verformungen als auch große Verdrehungen zu. Es werden globale Ver- schiebungen und ihre erste Ableitung, also Steigungen, verwendet. Dadurch 3.2. MODELLREDUKTION 17 erhält man dann auch konstante Massenmatrizen und es wird nur ein Koor- dinatensatz benötigt. Die Bewegungsgleichung eines mit dieser Methode beschriebenen elastischen Körpers lautet nach Kübler/Eberhard/Geisler [3] in Indexschreibweise δuj ( Mjku¨k − gj + ∫ Ω0 BijkFilSlkdV ) = 0 . (3.2) Sie beinhaltet die konstante Massenmatrix Mjk, den konstanten Operator Bijk, den nicht konstanten Deformationsgradient Fil sowie den nicht kon- stanten zweiten Piola-Kirchhoff’schen Spannungstensor Slk. Hierbei sind uj die Verschiebungen und gj die äußeren Kräfte. Der Ausdruck unter dem Integral beschreibt die Steifigkeit des Körpers und ist offensichtlich nicht konstant. Da dieser Ausdruck für jede Konfiguration neu ausgewertet werden muss, ist der nötige Rechenaufwand deutlich höher. 3.2 Modellreduktion Durch die Hinzunahme von elastischen Körpern bei der Simulation von Mehr- körpersystemen erhöht sich die Anzahl der Freiheitsgrade um ein Vielfaches. Folglich erhöht sich die Simulationszeit sehr schnell auf inakzeptable Zei- ten. Aus diesem Grund werden Methoden verwendet, die die Anzahl der Freiheitsgrade der elastischen Körper reduzieren, ohne das Übertragungsver- halten wesentlich zu beeinflussen. In diesem Kapitel werden zunächst einige Grundlagen der Modellreduktion behandelt. Anschließend wird das am häufigsten verwendete Verfahren der modalen Reduktion eingeführt und es werden einige weitere Verfahren kurz vorgestellt. Weitergehende Informationen sind Lehner [4] zu entnehmen. 3.2.1 Systemtheoretische Grundlagen Im Folgenden wird die Methode der Eigenwertzerlegung erläutert, da viele Verfahren der Modellreduktion darauf beruhen. Des Weiteren wird auf die 18 KAPITEL 3. ELASTISCHE MEHRKÖRPERSYSTEME Vorgehensweise bei der Darstellung von Systemen mit Methoden der Sys- temtheorie eingegangen. Eigenwertzerlegung Das Eigenwertproblem besteht darin, Vektoren vi ∈ Cn zu finden, die ihre Richtung bei einer Transformation mitA ∈ Cn×n nicht ändern. Folglich muss A · vi = λi vi (3.3) gelten. Die Faktoren λi werden als Eigenwerte und die Vektoren vi als Ei- genvektoren bezeichnet. Diese Eigenvektoren lassen sich in der so genannten Modalmatrix X ∈ Cn×n spaltenweise anordnen, vorausgesetzt es existieren n linear unabhängige Eigenvektoren vi. Nun kann die Systemmatrix A mit X−1 ·A ·X = diag(λi) (3.4) in eine Diagonalmatrix transformiert werden. Dies ist eine so genannte Ähn- lichkeitstransformation. Darstellung von dynamischen Systemen Mechanische Systeme sind spezielle dynamische Systeme, die meist durch ein nichtlineares Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung beschrieben werden. Diese können dann in linearisierter Form M e · q¨(t) +De · q˙(t) +Ke · q(t) = Be · u(t) , (3.5) y(t) = Ce · q(t) dargestellt werden, mit der MassenmatrixM e ∈ Rn×n, der Dämpfungsmatrix De ∈ Rn×n, der Steifigkeitsmatrix Ke ∈ Rn×n. Diese Matrizen sind nach Lehner [4] alle symmetrisch, die Massenmatrix ist positiv definit und die Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrizen sind zumindest positiv semidefinit. Hier wird der Kraftvektor in eine konstante Matrix Be ∈ Rn×n und einen zeitabhängigen Eingang u(t) ∈ Rn zerlegt. Meist interessiert nur ein Teil 3.2. MODELLREDUKTION 19 der Zustandsgrößen, deshalb wird über die Ausgangsmatrix Ce ∈ Rr×n nur dieser Teil auf den Ausgangsvektor y(t) ∈ Rr abgebildet. Viele Methoden der Systemtheorie, wie etwa Stabilitätsanalysen oder nu- merische Integration, sind auf Systeme erster Ordnung beschränkt. Deshalb wird (3.5) oft in das Differentialgleichungssystem erster Ordnung E · x˙(t) = A · x(t) +B · u(t) , (3.6) y(t) = C · q(t) überführt. Hier ist x = [qT q˙T ]T der neue Zustandsvektor, der sowohl die Zustände als auch die Ableitungen des mechanischen Systems enthält. Die Matrizen E,A ∈ R2n×2n,B ∈ Rr×2n werden häufig folgendermaßen de- finiert: E =  N 0 0 M e , A =  0 N −Ke −De , B =  0 Be , C = [Ce 0] . (3.7) Die Matrix N ∈ Rn×n darf nicht singulär sein und wird meist mit der Ein- heitsmatrix identifiziert. Falls E invertierbar ist, kann (3.7) in die gewöhnli- che Zustandsform x˙(t) = Aˇ · x(t) + Bˇ · u(t) , (3.8) y(t) = C · x(t) , mit den für strukturmechanische Systeme typischen Elementen Aˇ =  0 I −M−1e ·Ke −M−1e ·De , Bˇ =  0 M−1e ·Be  (3.9) transformiert werden. Die Differentialgleichung (3.8) kann nach Lunze [6] mit Hilfe der Laplace-Transformation in den Frequenzbereich transformiert werden. Dies führt dann auf das algebraische Gleichungssystem s2M e ·Q(s) + sDe ·Q(s) +Ke ·Q(s) = Be ·U(s) , (3.10) Y (s) = Ce ·Q(s) 20 KAPITEL 3. ELASTISCHE MEHRKÖRPERSYSTEME für homogene Anfangsbedingungen q = q˙ = 0 und der komplexen Variable s. Q(s),U(s) und Y (s) sind die Laplace-Transformierten von q(t),u(t) und y(t). Durch Elimination von Q(s) in (3.10) erhält man Y (s) = Ce · ( s2M e + sDe +Ke )−1 ︸ ︷︷ ︸ H(s) ·Be ·U(s), (3.11) mit der (r×p) ÜbertragungsmatrixH(s). Eine alternative Darstellungsform H(s) = C · (sE −A)−1 ·B (3.12) kann auch aus der Zustandsgleichung (3.6) oder (3.8) erhalten werden. Diese Übertragungsmatrix beschreibt ausschließlich das Ein-/Ausgangsver- halten und enthält keine Informationen über den inneren Zustand des Sys- tems. Für s = iω nennt man H(iω) Frequenzgangmatrix. Sie wird bei der Untersuchung von harmonisch erregten dynamischen Systemen verwendet. 3.2.2 Modellreduktion durch Projektion Nahezu alle Methoden, die zur Modellreduktion verwendet werden, basieren auf der Reduktion durch Projektion. Die Vorgehensweise wird in Lehner [4] und Lehner/Eberhard [5] anhand der verallgemeinerten Zustandsdarstel- lung (3.6) beschrieben. Um ein reduziertes System zu erhalten, wird die Lösung in einen Unterraum Vs mit der Dimension ms < ns projiziert. Dieser Unterraum wird durch die Matrix V s ∈ Rns×ms dargestellt. Die approximierte Lösung lautet x(t) ≈ V s · x¯(t) (3.13) und ergibt unmittelbar das Transformationsgesetz. Weiterhin müssen Ne- benbedingungen an das Residuum gestellt werden, um eine eindeutige Lö- sung zu erhalten. Diese Nebenbedingungen werden als Orthogonalitätsbe- dingungen bezeichnet und durch einen weiteren Unterraum W mit der Ma- trix W s ∈ Rns×ms beschrieben, so dass das Residuum verschwindet. Einge- setzt in (3.6) ergibt sich dann das Differentialgleichungssystem der Dimension 3.2. MODELLREDUKTION 21 ms ×ms W Ts ·E · V s · ˙¯x(t)−W Ts ·A · V s · x¯(t) = W Ts ·B · u(t) , (3.14) y(t) = C · V s · x¯(t) . Sind die Unterräume V und W identisch, wird die Projektion als orthogonal bezeichnet, andernfalls als schiefe Projektion. Leider erhält diese Projektion im Allgemeinen nicht die Struktur der System- matrizen. Eine Möglichkeit, die Struktur zu erhalten, ist die Verwendung von Blockdiagonalmatrizen. Für die elastischen Koordinaten ergibt sich dann die Näherung q(t) ≈ V · q¯(t) . (3.15) Angewendet auf die Bewegungsgleichungen eines mit der Methode des be- wegten Bezugssystems beschriebenen Körpers folgt aus Gleichung (3.1) das reduzierte System mI mc˜T CTt · V mc˜ J CTr · V W T ·Ct W T ·Cr W T ·M e · V  ·  ai αi ¨¯q  =  hat har W T · hae +  0 0 −W T ·Ke · V · q¯ −W T ·De · V · ˙¯q  . (3.16) 3.2.3 Modale Reduktion Die einfachste und am häufigsten verwendete Variante der Projektion ist die modale Projektion bzw. Reduktion. Bei dieser Methode sind W und V identisch. Somit liegt eine orthogonale Projektion vor. Hier werden die Eigen- vektoren φi des homogenen Systems aus (3.5) durch das Eigenwertproblem( λ2iM e + λiDe +Ke ) · φi = 0 (3.17) bestimmt. Werden die Eigenvektoren bzw. Eigenmoden spaltenweise ange- ordnet, ergibt sich daraus die Modalmatrix V , welche im vorliegenden Fall 22 KAPITEL 3. ELASTISCHE MEHRKÖRPERSYSTEME die Projektionsmatrix darstellt. An dieser Stelle ist auch schon erkennbar, dass das Ein-/Ausgangsverhalten nicht berücksichtigt wird. Dies führt häu- fig zu unbefriedigenden Resultaten. Für proportional gedämpfte Systeme mit der Dämpfungsmatrix De, welche aus einer Linearkombination Massenmatrix M e und Steifigkeitsmatrix Ke ensteht, kann die Dämpfung im Eigenwertproblem weggelassen werden. Die Eigenvektoren des gedämpften Systems stimmen mit den Eigenvektoren des ungedämpften Systems überein. Eine alternative Methode, Dämpfung zu realisieren, ist die modale Dämp- fung. Hier kann nachträglich zum ungedämpften System eine Dämpfungsma- trix hinzugefügt werden. Zu jeder Eigenmode wird ein Dämpfungsparame- ter bestimmt, welcher auf der Diagonalen der Dämpfungsmatrix liegt. Diese Dämpfungsparameter können sogar teilweise experimentell bestimmt werden, beispielsweise mit einer experimentellen Modalanalyse. Werden nun einzelne Eigenmoden nicht in die Projektionsmatrix aufgenom- men, ergibt sich eine Reduktion der Ordnung. Die Auswahl der zu vernach- lässigenden Eigenmoden muss meist manuell, durch Sichtung der einzelnen Eigenmoden oder durch die Bestimmung von so genannten Mode Participati- on Factors, wie in Wallrapp/Wiedemann [12] beschrieben, durchgeführt werden. 3.2.4 Weitere Reduktionsverfahren Es gibt eine große Anzahl an weiteren Reduktionsverfahren, die jeweils für bestimmte Zwecke besser oder weniger gut geeignet sind. In Lehner [4] und Lehner/Eberhard [5] werden einige weitere Methoden vorgestellt. Hier soll beispielhaft noch eine Methode erläutert werden, die das Ein-/Ausgangs- verhalten des Systems berücksichtigt. Eine Gruppe dieser Verfahren berück- sichtigt eine bestimmte Anzahl an Parametern des Originalmodells. Beispiels- weise sollen dominante Eigenvektoren oder Werte der Übertragungsfunktion und eine bestimmte Anzahl ihrer Ableitungen möglichst gut approximiert werden. Diese Methoden werden auch moment matching Methoden genannt. Dies kann durch Projektion auf Krylov-Unterräume erreicht werden. 3.2. MODELLREDUKTION 23 Ein Spezialfall dieser Methode ist die Methode der Frequency Response Mo- des. Sie entspricht der Verwendung der Krylov-Unterraum-Methode für be- stimmte Werte der Übertragungsfunktion, falls keine Ableitungen betrachtet werden sollen. Veranschaulicht bedeutet das, dass die Bewegungsform für eine bestimmte Anregung des Körpers als zusätzliche Mode berücksichtigt wird. Falls diese Methode für die Frequenz 0 Hz durchgeführt wird, spricht man auch von Inertia Relief Attachment Modes, die z.B. zur Verbindung von meh- reren reduzierten Körpern nötig sind. Dies ist Teil der Component Mode Syn- thesis kurz CMS, die in Craig/Bampton [2] beschrieben wird. Mit Hilfe Gram’scher Matrizen ist eine weitere Reduktion durch eine Ener- giebetrachtung des Reduktionsprozesses möglich, damit kann auch eine Feh- lerabschätzung durchgeführt werden. Kapitel 4 Elastische Mehrkörpersysteme in der Praxis Hier werden die wichtigsten Elemente und Zusammenhänge für das FE-Pro- gramm Ansys erläutert, die für eine Simulation von elastischen Mehrkör- persystemen notwendig sind. Es wird ein einfaches Beispiel zur Modellierung und Simulation in Ansys Classic erläutert. Des Weiteren wird ein etwas komplexeres Modell in Ansys Workbench und Simpack modelliert und si- muliert. Anschließend werden die Ergebnisse in Hinblick auf Rechenzeit und Genauigkeit diskutiert. 4.1 Grundlagen der Modellierung in Ansys Ansys ist laut Hersteller seit Version 11 in der Lage, starre wie auch elasti- sche Mehrkörpersysteme zu modellieren. Dazu wurden einige neue Elemente eingeführt, um beispielsweise Verbindungen zwischen Körpern, also Bindun- gen und Koppelelemente wie Feder-Dämpfer-Elemente, erstellen zu können. ImMultibody Analysis Guide [7] ist die Vorgehensweise fürAnsys Clas- sic und teilweise für Ansys Workbench erläutert. Detailliertere Informatio- nen sind dem Contact Technology Guide, der Theory Reference, der Elements Reference und der Commands Reference aus Ansys [8] zu entnehmen. 24 4.1. GRUNDLAGEN DER MODELLIERUNG IN ANSYS 25 4.1.1 Vorgehensweise Zuerst muss das mechanische Problem modelliert werden. Dazu sind folgende Schritte notwendig: • Alle starren Körper werden durch MASS21-Elemente im Schwerpunkt und alle elastischen Körper aus finiten Elementen, wie etwa Balken-, Volumen- oder Schalenelementen, erstellt bzw. vernetzt. • Die Ausdehnung starrer Körper wird entweder durch die vordefinierten, starren MPC184-Balken- oder Stabelemente, oder durch ein allgemeine- res Kontaktpaar aus beispielsweise CONTA176- und TARGE170-Elemen- ten modelliert. • Die starren und elastischen Körper werden mit Gelenken (joints), also MPC184-Elemente oder COMBIN14-Koppelelemente, verbunden. Die Materialparameter werden, wie in normalenAnsys -Simulationen üblich, mit dem MP- bzw. TB-Befehl definiert. Mit dem Befehl TB,JOIN kann hier beispielsweise eine Torsionsfeder in einem Drehlager erstellt werden. Anschließend wird die Lösung berechnet und es werden die Ergebnisse aus- gewertet. 4.1.2 Modellierung Jeder starre Körper kann maximal sechs Freiheitsgrade haben, drei translato- rische und drei rotatorische. Ein starrer Körper wird durch seine Massen- und Trägheitseigenschaften beschrieben. Diese Massen- und Trägheitseigenschaf- ten werden mit einem einzigen Knoten im Schwerpunkt durch das MASS21- Element dem Körper zugeordnet. Hierbei ist jedoch die Drehträgheit optio- nal, so dass auch Massenpunkte beschreibbar sind. Die Stellen des starren Körpers, an denen Lager sind oder Kräfte angrei- fen, werden durch starre MPC184-Balkenelemente mit dem Massenelement im Schwerpunkt verbunden. Diese starren Balken entsprechen den Markern, die aus Simpack bekannt sind. 26 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS Alternativ kann dieser Bezug auch durch Kontaktpaare aus CONTA176-Kon- taktelementen und einem Zielelement (pilot node) TARGE170 hergestellt wer- den. Dieses Zielelement ist sinnvollerweise ebenfalls an dem Knoten, der sich im Schwerpunkt befindet. Es kann aber auch an einer beliebigen anderen Stelle sein, doch dann muss noch ein Kontakt vom MASS21-Element zu die- sem Zielelement erstellt werden. Die Kontakte werden dann automatisch von Ansys, vor der Lösung, intern durch multipoint contraints (MPC) festgelegt. Diese sind nichts anderes als Zwangsbedingungen, die durch Lagrange-Multiplikatoren in die Bewegungs- gleichungen integriert werden. Einfacher ist jedoch, wenn anstatt Kontakt- und Zielelemente die bereits vorgefertigten, starren MPC184- Balkenelemente verwendet werden. Diese zwei Wege führen dann zu den gleichen multipoint constraints, da die MPC184-Elemente laut Ansys [8] aus Kontaktpaaren mit solchen Kontakt- und Zielelementen aufgebaut sind. In Bild 4.1 sind ein elastischer und ein starrer Körper dargestellt. Diese Kör- per sind durch die eben beschriebenen Kontakt- und Zielelemente miteinan- der verbunden, mit der Umgebung verbunden oder durch verschiedene Kräfte angeregt. Es ist auch möglich, Kräfte und Momente auf mehrere Knoten zu verteilen. Knoten Zielelement (pilot node) Kontakt- Massen- und Zielelement starrer Körper und MPC184 revolute joint Anregung Lagerung elastischer Körper oder Balkenelemente im Schwerpunkt Bild 4.1: Verwendung von Kontaktelementen Der Vorteil durch die Verwendung von starren Körpern liegt einerseits darin, 4.1. GRUNDLAGEN DER MODELLIERUNG IN ANSYS 27 dass die Anzahl der Freiheitsgrade stark reduziert wird und somit viel Re- chenzeit pro Zeitschritt eingespart werden kann. Andererseits können steife elastische Körper bei transienten Analysen zu kleinen Zeitschritten führen. Starre Körper hingegen haben keine Schwingungsmoden, weshalb hier grö- ßere Zeitschritte möglich sind. Häufig können steife elastische Körper durch starre Körper ersetzt werden, ohne das Ergebnis wesentlich zu beeinflussen. Dies ist aber stark davon abhängig, welche Informationen aus einer solchen Simulation gewonnen werden soll. Im Folgenden sind noch einige relevante Informationen aufgelistet, die be- achtet werden sollten: • Die Kontaktelemente und Zielelemente müssen die gleiche Material- nummer (real constant id R) haben, denn nur dann bilden sie ein Kon- taktpaar. • Die Bewegung des Körpers wird durch die Freiheitsgrade des Zielele- ments bestimmt. • Ein starrer Körper kann zwei- oder dreidimensional sein, je nachdem welche Kontaktelemente verwendet werden. CONTA176 und TARGE170 sind beispielsweise dreidimensionale Elemente. Zwei- und dreidimen- sionale Elemente können nicht kombiniert werden. • Falls die Massen- und die Trägheitseigenschaften nicht bekannt sind, der Körper jedoch bereits als elastisches Modell vorliegt, können sie über eine Teillösung bestimmt werden. • Laut Ansys [8] muss KEYOPT,Elementnummer,2,1 für das Zielelement immer gesetzt sein, damit Ansys intern keine automatischen Randbe- dingungen erzeugt. • Randbedingungen werden üblicherweise auf dem Knoten des Zielele- ments definiert. Es sollten aber wenn möglich keine Randbedingungen erstellt werden, da sie leicht zu überbestimmten Systemen führen. • Punktkräfte können an jedem Punkt eines starren Körpers angreifen. Wenn die Kräfte, die Bewegungen des Körpers verfolgen sollen, können so genannte FOLLW201-Elemente verwendet werden. 28 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS Vorgehen beim Erstellen von starren Körpern In Ansys Workbench können elastische Körper einfach als starre Körper definiert werden, in Ansys Classic hingegen ist folgendermaßen vorzugehen. 1. Die finiten Elemente mit definierter Dichte auswählen. 2. Eine Teillösung durchführen, um die Masse und die Trägheitseigen- schaften zu erhalten. 3. Eine Punktmasse (MASS21) im Schwerpunkt erstellen. 4. Ein Zielelement (z.B. TARGE170) erstellen, das den selben Knoten ver- wendet wie das Massenelement. Auf der Außenoberfläche des vernetzten Körpers Kontaktelemente (z.B. CONTA176) erstellen. Einfacher: MPC184 Balkenelemente vom Schwerpunkt zu wichtigen Punkten, wie Lagerungen oder Kraftangriffspunkte, auf der Außen- oberfläche erstellen. Verbinden von Körpern mit Gelenken (joint elements) Die folgenden Punkte sind bei der Erstellung von Gelenken und Lagerungen zu beachten: • Es können flexible und starre Körper beliebig miteinander kombiniert und verbunden werden. • Als Gelenke werden MPC184-Lagerelemente verwendet. Diese Element- klasse beeinhaltet bereits einige Lager, wie z.B. Drehlager. Es ist mög- lich, eigene Lager mit den allgemeineren Kontaktpaaren aus CONTA176- und TARGE170-Elementen zu erstellen. • Gelenke bestehen immer aus zwei Knoten, die an beliebigen Orten sein können. Einer der beiden Knoten kann alsmit der Umgebung verbunden (grounded) definiert werden, indem bei der Erstellung des Elements nur ein Knoten angegeben wird (z.B. EN,Elementnummer,Knotennummer, oder EN,Elementnummer,,Knotennummer). 4.1. GRUNDLAGEN DER MODELLIERUNG IN ANSYS 29 • Jedem Gelenk muss eine so genannte Sektion zugeordnet werden (z.B. SECTYPE,JOINT,REVO,revo-01). • Für die kinematischen Zwangsbedingungen muss ein lokales Koordina- tensystem in den Knoten definiert werden (SECJOINT). • Zur Beschreibung von Drehungen werden Kardan-Winkel verwendet. • Reaktionskräfte können nach der Lösung ausgelesen werden. Sie sind Teil der Lösung von MPC184-Elementen. • Es können durch STOPS und LIMITS die Bewegungsmöglichkeiten weiter eingeschränkt werden (SECSTOP, SECLOCK). • Durch die Materialparameter-Angabe mit MP für die Lager kann Rei- bung berücksichtigt werden. Im Contact Technology Guide aus Ansys [8] wird zwischen starren Kon- takten (rigid surface constraint) und Kontakten mit verteilter Kraft (force- distributed constraint) unterschieden. Im ersten Fall sind alle Knoten des elastischen Körpers, die mit Kontaktelementen verbunden sind, relativ zu- einander starr. Bei den Kontakten mit verteilter Kraft wird die Kraft, die am Zielelement (pilot node) angreift, auf alle Knoten der Kontaktfläche ver- teilt. Durch so genannte pinball regions können alle Knoten innerhalb eines Radius um das Zielelement durch Kontaktelemente mit diesem verbunden werden. In Bild 4.1 ist noch einmal verdeutlicht, wie so ein Kontakt prinzi- piell aussieht. Alternativ dazu kann eine Kontaktfläche auch durch elastische oder starre Balkenelemente mit einem einzigen Knoten verbunden werden. Dies eignet sich zum Beispiel dazu, den Eingang auf einen elastischen Körper an einem Knoten zusammenzufassen. Das ist bei Reduktionsmethoden, die den Syste- meingang berücksichtigen, vorteilhaft. 30 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS 4.2 Beispiel: Schiebermechanismus in Ansys Classic Dieses Beispiel soll die eben erläuterte Vorgehensweise an einem einfachen Beispiel in Ansys Classic verdeutlichen. In einem ersten Schritt wird ein rein starres Modell betrachtet. Anschließend wird die Kurbel (crank) durch elastische Balkenelemente modelliert. Es handelt sich hier um einen einfachen Schiebermechanismus, der aus zwei Balken aufgebaut ist. Die Kurbel wird mit konstanter Winkelgeschwindigkeit angetrieben. 4.2.1 Starrkörpersimulation Im Fall einer Starrkörpersimulation liegt auf Grund der konstanten Winkel- geschwindigkeit ein rein kinematisches System vor. Folglich ist dieses Modell sehr leicht analytisch lösbar. Die folgenden Abschnitte sind aus einer Ein- gabedatei für Ansys Classic entnommen und auf das Wesentliche reduziert, um an diesem Beispiel die Modellbildung Schritt für Schritt zu erläutern. Die vollständige Datei befindet sich im Anhang A.1. In Bild 4.2 ist das Modell mit Knoten und Elementen dargestellt. 1 2 3,4 5 6x y starrer Balken (MPC184) mcrank mslider Knoten Massenelement Bild 4.2: Schiebermechanismus Im Folgenden wird immer ein Auszug aus der Eingabedatei mit Kommenta- ren dargestellt und dieser anschließend kurz erläutert. 4.2. BEISPIEL: SCHIEBERMECHANISMUS IN ANSYS CLASSIC 31 ! define element type for the crank /prep7 et ,1,MASS21 ! crank (rigid) -> mass21 keyopt ,1,3,2 ! 3d mass without rotary inertia keyopt ,1,2,1 ! element coord. system is initially !parallel to the nodal csys Man wechselt in den Preprozessormodus und definiert einen neuen Element- typ für einen Massenpunkt. Die keyopt-Befehle verändern die Eigenschaften des Elements, das hinter dem ersten Komma angegeben ist. In diesem Bei- spiel ist dies der soeben definierte Elementtyp 1. Es wird ein Massenpunkt ohne Trägheitstensor ausgewählt und das Elementkoordinatensystem so ge- dreht, dass es zu Beginn parallel zum Knotenkoordinatensystem ist. Dieser Elementtyp beschreibt dann die Kurbel. ! define element type -- connections between CM and joints et ,3,MPC184 keyopt ,3,1,1 ! rigid beam keyopt ,3,2,1 ! lagrange multiplier Der Elementtyp 3 soll ein Kontaktpaar darstellen, das sich wie ein starrer Balken verhält und durch Lagrange-Multiplikatoren beschrieben wird. ! define the joint elements et ,101, MPC184 keyopt ,101,1,6 ! mpc184 element as revolute joint keyopt ,101,4,1 ! z-axis revolute joint et ,121, MPC184 keyopt ,121,1,8 ! mpc184 element as slot joint Elementtyp 101 definiert ein Drehlager (revolute joint) um die z-Achse, Ele- menttyp 121 ein translatorisches Lager (slot joint). ! define the nodes of the crank and rotate the csys local ,11 ,0,0.,0.,0.,45. ,0. ,0. n,1 ,0.0 ,0.0 ! pinned end (node 1) n,2 ,0.05 ,0.0 ! center of mass node n,3 ,0.1 ,0.0 ! end node (with rev joint) nrotat ,1,3 ! rotate the nodal coord. systems to csys11 csys ,0 ! reset coordinate system back to global 32 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS local beschreibt ein um 45◦ verdrehtes Hilfskoordinatensystem. Anschlie- ßend werden drei Knoten definiert, die Knotenkoordinatensysteme ins Koor- dinatensystem 11 gedreht und das ursprüngliche globale Koordinatensystem wiederhergestellt. ! ******** Create the MASS21 elements ******** type ,1 real ,1 r,1,mcrank ! define the mass of the crank en ,1,2 ! 3D mass element without rotary at CM(node2) Auswahl des Elementtyps 1 und der Materialkonstante 1. Definition der Mas- se mcrank und Erstellung des Elements 1 am Knoten 2. ! ******** Create the rigid BEAM (MPC184) elements ******** type ,3 real ,3 en ,11,1,2 ! rigid beam elements en ,12,2,3 en ,21,4,5 en ,22,5,6 Auswahl der Parameter für den Elementtyp 3 und Erstellung von vier starren Balkenelementen jeweils zwischen zwei Knoten. ! *** Create MPC184 -Rev -Joint between ground and crank *** sectype ,101,joint ,REVO ,revo_ground_crank mat ,101 type ,101 real ,101 secnum ,101 en ,101,,1 ! body to ground joint !(ground is the primary joint) Definition eines Drehlagers zwischen der Umgebung und Knoten 1. Die De- finition einer Sektion sectype und deren Auswahl secnum ist bei Gelenken notwendig. ! Solution /solu DJ , 101, omgz , 1.2566 ! 1 revolution per 5 sec. (2*pi/5) nlgeom ,on ! turn nonlinear geometry on 4.2. BEISPIEL: SCHIEBERMECHANISMUS IN ANSYS CLASSIC 33 trnopt ,full , , , , ,HHT ! choose HHT solver solve Zum Schluss wird das Lösungsmodul aktiviert und eine konstante Winkel- geschwindigkeit für das Drehlager 101 definiert. Beim Lösen muss unbedingt nichtlineare Geometrie durch nlgeom aktiviert und der HHT -Algorithmus ausgewählt werden. Dieser Algorithmus ist laut Brüls [1] ein verbesserter Newmark-Algorithmus. 4.2.2 Simulation mit elastischer Kurbel Bisher ist die Kurbel mit zwei MPC184-Balkenelementen und einem MASS21- Massenpunkt modelliert. Diese sollen jetzt durch eine beliebige Anzahl an BEAM188-Balkenelementen ersetzt werden. Im Folgenden sind die wesentlichen Zeilen der Eingabedatei, die von der Starrkörpersimulation abweichen, angegeben. Die vollständige Eingabedatei ist im Anhang A.1 zu finden. ! ******** Create the BEAM188 elements ******** mp ,ex ,1 ,2.1e11 ! E-Modulus mp ,nuxy ,1 ,0.3 ! poisson ratio mp ,density ,1 ,7.85e3 ! mass density sectype , 1, beam , csolid ! solid circle as section type secdata , 0.002 ! set the radius Hier werden mit mp die Materialeigenschaften der Balkenelemente (Element- typ 1) festgelegt und ein kreisförmiger Querschnitt mit 2mm Radius vorge- geben. *DO ,I,1,_num en ,999+I,999+I ,1000+I ! Create the beam188 elements *ENDDO Der Befehl en,e,i,j legt hier das Element e zwischen Knoten i und j an. Die *DO Schleife erzeugt die gewünschte Anzahl an Elementen. 34 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS 4.2.3 Simulationsergebnisse und Rechenzeit In Bild 4.3 sind die Ergebnisse für Knoten 6, also die Bewegung des Schie- bers aus Bild 4.2 im Schubgelenk (slot joint), aufgetragen. Da die Bewegung des starren Modells rein kinematisch ist, lässt sich leicht die exakte Lösung zum Vergleich bestimmen. Es ist erkennbar, dass die starre Simulation nicht ganz korrekt ist. Sie ist gegenüber der exakten Lösung leicht phasenverscho- ben. Dies liegt möglicherweise an der Sprunganregung, da diese Anregung numerisch zu Schwierigkeiten führt. -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0 1 2 3 4 5 V er sc hi eb un g in x -R ic ht un g [m ] Zeit t [s] Differenz elastisch-starr exakt (starr) starr elastisch elastisch-starr Bild 4.3: Simulationsergebnisse des Schiebermechanismus am Knoten 6 Bei der elastischen Simulation wird die Kurbel durch die Sprunganregung zum Schwingen angeregt. Diese Anregung entspricht der ersten Eigenform des Mechanismus, die bei einer Frequenz von etwas weniger als 3 Hz liegt. Diese Schwingung ist der Bewegung überlagert und im Bild als Differenz zwischen elastischer und starrer Bewegung dargestellt. Die Amplitudenvaria- tion hat damit nichts zu tun, sie liegt vielmehr an der momentanen Lage der Kurbel, so dass der Einfluss der elastischen Schwingung unterschiedlich stark ausgeprägt ist. Die Rechenzeit für die starre Simulation sowie für verschiedene Vernetzungen 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 35 der Kurbel sind in Bild 4.4 aufgetragen. Die Rechnungen wurden auf einem 64bit Debian GNU/Linux mit AMD Athon64 X2 3600+ CPU mit 1900MHz durchgeführt. Die Vernetzung scheint hier linearen Einfluss auf die Rechenzeit zu haben. Zur Verdeutlichung ist eine einfache Ausgleichsgerade zwischen den Ergeb- nissen für 10 und 100 Elemente eingezeichnet. 0 20 40 60 80 100 120 140 starr 10 25 50 100 Ze it t [s] Anzahl der Balkenelemente Bild 4.4: Dauer der Simulation in Ansys Classic 4.3 Beispiel: Fliehkraftregler Da die Modellierung und Simulation elastischer Mehrkörpersysteme in An- sys Classic besonders aufwendig ist, bietet es sich an, Ansys Workbench zu verwenden. Hier ist die Bedienung wesentlich einfacher als in Ansys Classic. Leider sind die Möglichkeiten bei Weitem nicht so vielfältig. Nun soll am Beispiel eines etwas komplizierteren Modells vorgestellt werden, wie die Mo- dellierung und Simulation in Ansys Workbench abläuft. Anschließend wird dasselbe Modell möglichst gleich in Simpack modelliert und die Ergebnisse werden mit den in Ansys berechneten verglichen. 36 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS Das in Bild 4.5 dargestellte Modell ist ein vereinfachter Reglermechanismus, dessen Verhalten untersucht werden soll. Dieser Mechanismus hat nur einen Freiheitsgrad, wenn er durch eine konstante Winkelgeschwindigkeit angetrie- ben wird. Alle Körper werden zunächst als starr modelliert. Anschließend werden die Ausleger in der elastischen Simulation als elastische Körper mo- delliert, die restlichen Körper bleiben weiterhin starr. g x y ωs yc z Bild 4.5: Skizze des Reglermechanismus Im Bild sind die Lager durch Kreise gekennzeichnet, die starren Verbindun- gen für die Zusatzmassen sind in den Mittelpunkten dieser Zusatzmassen. Die Lager zwischen den Auslegern und den Verbindungselementen sind so genannte Schleifenschließbedingungen, die so gewählt werden, dass das star- re Modell statisch bestimmt gelagert ist. Dies ist besonders wichtig, da sich sonst die Gleichungen nicht lösen lassen oder Simpack das Lager nicht akzep- tiert. Diese Lager werden unten als Schleifen aufgeführt, sie sind zweiwertige Lager. In Tabelle 4.1 ist eine Bilanzierung der Freiheitsgrade und der Wertigkeiten der Lager dargestellt. Im ersten Abschnitt sind alle Körper des Reglerme- chanismus aufgeführt, während im zweiten Abschnitt alle Lager mit ihrer Wertigkeit aufgelistet sind. Die Anzahl der Freiheitsgrade des gebundenen, 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 37 starren Systems ergibt sich dann aus der Differenz der Freiheitsgrade des ungebundenen Systems n und der unabhängigen Lagerwertigkeiten nc. In diesem Beispiel verbleibt nur die Translation des Rings entlang der y-Achse yc als Freiheitsgrad des gebundenen starren Systems. Tabelle 4.1: Ermittlung der Freiheitsgrade Körper: Modellbezeichnung Achse shaft starr Ring collar starr 1. Ausleger arm elastisch/starr 2. Ausleger arm2 elastisch/starr 1. Zusatzmasse mass starr 2. Zusatzmasse mass2 starr 1. Verbindung coupler starr 2. Verbindung coupler2 starr Freiheitsgrade (starr, frei) n = 8 · 6 = 48 Lager: 5 Drehlager revolute joint 5 · 5 = 25 1 translatorisches Lager translational joint 5 2 feste Verbindungen fixed joint 2 · 6 = 12 2 Schleife (uy, uz fest) general joint 2 · 2 = 4 1 vorgegebene Drehung - 1 Lagerwertigkeiten: constraints nc = 47 Freiheitsgrade (starr, gebunden) dof f = n− nc = 1 4.3.1 Modellbildung in Ansys Workbench Um eine Simulation mit Ansys durchführen zu können, sind einige Schritte nötig, die im Folgenden am Beispiel des Fliehkraftreglers ausgeführt werden. In Bild 4.6 ist die prinzipielle Vorgehensweise der Modellierung und Simula- tion zusammenfassend dargestellt. In diesem Kapitel wird zunächst auf die absolute Knotenkoordinatenbeschreibung (ANCF Method) eingegangen. Der Weg über Simpack mit der Methode des bewegten Bezugsystems (Floating Frame of Reference) wird dann in Kapitel 4.3.3 näher erläutert. Die Theorie zu diesen Methoden wurde in Kapitel 3.1 bereits kurz vorgestellt. 38 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS Ansys Workbench • Körper importieren • einzelne Körper als starr definieren • vernetzen • Lager hinzufügen • Bindungselemente hinzufügen • Anfangsbedingungen und Belastun- gen festlegen Lösen alternativ: Eingabedatei erzeugen Ansys Classic Lösung mit Simpack Methode des bewegten Bezugssystems Ansys Workbench • einen Körper importieren • vernetzen • Eingabedatei erzeugen Ansys Classic • M und K berechnen • Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen Morembs / Fembs Simpack G eo m et rie da te n de r st ar re n K ör pe r CAD Software ( ProE, CATIA, ... ) ANCF Method Erstellen der Körper Floating Frame of Reference Method Lösung mit Ansys mit der absoluten Knotenkoordinaten- Beschreibung • SID - Datei erstellen Bild 4.6: Vorgehensweise bei der Simulation von elastischen Mehrkörpersys- temen Konstruktion der Geometrie Für die Konstruktion der Körper wird ein CAD-Programm wie z.B. ProE oder CATIA, das Daten in einem von AnsysWorkbench unterstützten For- mat exportieren kann, verwendet. • Die einzelnen Körper werden hier als part-Datei in ProE erstellt. • Beim Import in Ansys Workbench muss eine Bezugsebene gewählt werden, an welcher der Körper orientiert wird. Da die Wahl der rich- tigen Bezugsebene und eine nachträgliche Verschiebung der Körper mit den Möglichkeiten von Ansys Workbench nicht zufriedenstellend 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 39 durchführbar sind, kann durch vorbereitende Maßnahmen beim Erstel- len der Einzelkörper viel Arbeit gespart werden. Die Körper werden so konstruiert, dass sie in Ansys Workbench alle bezüglich einer Ebene importiert werden können (z.B. XY-Ebene). Prinzipiell können auch in DesignModeler vonAnsysWorkbench einfa- che Geometrien erstellt werden. Die Positionierung der Körper bereitet aber auch hier Probleme. • Bei der Konstruktion sollten Körper idealisiert werden. Die Idealisie- rungen sollten die Simulationsergebnisse nur gering verfälschen. Die Idealisierungen führen zu einfacheren Vernetzungen, diese spielen gera- de bei instationären Simulationen eine entscheidende Rolle für die Re- chenzeit. Körper, die in der Simulation starr sind, werden nicht ideali- siert, um den korrekten Schwerpunkt, Trägheitstensor und die korrekte Masse zu erhalten. Für Lager und Kontakte werden Körperoberflächen, Linien oder Punkte verwendet und sollten deshalb, falls möglich, auch korrekt wiedergegeben werden. • Da beim Erstellen der Lager in Ansys Workbench nur Flächen aus- gewählt werden können, sollten beim Erstellen der Geometrie schon Flächen vorgesehen werden, welche die Definition der Lager vereinfa- chen. Achtung: Die Bezugskoordinatensysteme der Lager können nur in Flä- chenschwerpunkte gelegt werden. • Die Körper werden schließlich, möglichst in einem standardisierten For- mat, wie etwa dem IGES-Format (Initial Graphics Exchange Specifi- cation), exportiert. Erstellen der Geometrie im DesignModeler aus Ansys Workbench • Die exportierten Körper können nun in den DesignModeler importiert werden. Die Bezugsebene muss dabei immer korrekt ausgewählt sein. Außerdem müssen alle Körper ab dem Zweiten als „eingefroren“ hin- zugefügt werden. Sonst werden sie mit dem ersten Körper zu einem Körper verbunden. 40 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS • Bei Bedarf können jetzt noch weitere, einfache Körper im DesignMode- ler erstellt werden. Die Position lässt sich durch neue Ebenen, die auf den Oberflächen der bereits importierten Körper liegen, festlegen. Erstellen der Lager, Verbindungen und Bindungselemente in Si- mulation aus Ansys Workbench • Lager lassen sich hier leicht erstellen, falls die Flächen, wie oben auf- geführt, entsprechend vorbereitet wurden. Leider ist die Auswahl der Lager nicht besonders groß. Die wichtigsten Lager, wie Drehlager oder translatorische Lager, sind jedoch vorhanden. • In den meisten Fällen ist es einfacher, ein allgemeines Lager (general joint) zu verwenden, da hier die einzelnen Freiheitsgrade größtenteils unabhängig voneinander als gesperrt oder als frei definiert werden kön- nen. • Bei der Verbindung von starren und elastischen Körpern muss der starre Körper zuerst ausgewählt werden. Die zuerst ausgewählte Fläche ist die Referenzfläche, die Andere die mobile Fläche. Im Flächenschwerpunkt der Referenzfläche wird dann ein Bezugskoor- dinatensystem erzeugt, das dann beispielsweise die Drehachse festlegt. Es ist auch möglich dieses Bezugskoordinatensystem hinterher durch Auswahl einer anderen Fläche zu ändern. • Das Lager muss, wenn elastische Körper beteiligt sind, als verformbar eingestellt und der Einflussbereich der Verbindungselemente (pinball region) festgelegt werden. • Die Anfangsbedingungen lassen sich auch nachträglich noch, mit einem Werkzeug, das um die freien Achsen drehen bzw. entlang der freien Achsen verschieben kann, ändern. Hier kann auch die Korrektheit der Lager überprüft werden und die Bewegung des gesamten Mechanismus anschaulich kontrolliert werden. Leider können keine exakten Werte als Anfangsbedingung vorgeben werden. Außerdem müssen bei Federn die Flächen neu ausgewählt werden, falls sich ihre Position verändert hat. 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 41 • Achtung: AnsysWorkbench überprüft nicht automatisch, ob ein Mo- dell statisch bestimmt ist, was folglich manuell überprüft werden muss. Dies kann bei großen Modellen zu Schwierigkeiten führen. Hilfreich ist hierbei der DOF Checker. • Es können auch Feder-Dämpfer-Elemente erstellt werden. Leider kann die ungespannte Federlänge nicht manuell eingestellt werden. Das fertige Modell mit allen Körpern, Lagern und der Vernetzung ist als Bildschirmfoto in Bild 4.7 dargestellt. Bild 4.7: Reglermechanismus in Ansys Workbench mit Rechennetz 4.3.2 Simulation der Bewegung in Ansys Workbench Bei allen Simulationen müssen vorher Belastungen definiert werden. Hierbei können, wie bei FE-Programmen üblich, vielfältige Belastungen und Lager- bedingungen vorgegeben werden: • Volumenkräfte wie Gravitations-, translatorische und Zentrifugalbe- schleunigungen, 42 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS • Oberflächen-, Linien- und Punktlasten, • Einspannungen, • vorgegebene Zustände der Zustandsgrößen in den Lagern, wie konstante Winkel, Winkelgeschwindigkeit oder eine Funktion einer dieser Größen. Zeitintegration mit elastischen Körpern - Flexible Dynamic Bei der Flexible Dynamic-Simulation dürfen rein elastische, starre oder ge- mischte Modelle verwendet werden. Falls nur starre Körper vorhanden sind, ist eine Rigid Dynamic-Simulation sinnvoller, da hierfür ein spezieller Lö- sungsalgorithmus implementiert ist. Da die elastischen Körper große Bewegungen und eventuell auch große Verfor- mungen ausführen, muss nichtlinear gerechnet werden. Da in absoluten Koor- dinaten gerechnet wird, sind die Verschiebungen, trotz kleiner Verformungen, groß. Im Gegensatz dazu kann mit linearem Materialverhalten, wenn diese Vereinfachung zulässig ist, gerechnet werden. Zur Lösung wird hier das HHT -Verfahren (Hilbert-Hughes-Taylor) verwen- det, das in Ansys Classic auch zur Lösung von instationären Problemen verwendet wird. Der HHT -Algorithmus ist ein verbesserter Newmark-Algo- rithmus, welcher laut Brüls [1] speziell für Differentialgleichungen zweiter Ordnung geeignet ist. Dieser Algorithmus ist ein implizites Einschritt-Ver- fahren. Zeitintegration mit ausschließlich starren Körpern - Rigid Dyna- mic Zur Lösung wird hier ein explizites Runge-Kutta-Einschrittverfahren verwen- det, das nicht näher spezifiziert ist. Dieses Verfahren ist auf Grund der hö- heren Ordnung vermutlich besser für starre Mehrkörpersysteme geeignet, als der HHT -Algorithmus. Welcher Algorithmus nun besser ist, lässt sich mit den spärlichen Informationen schlecht sagen, sicher ist nur, dass die Rigid Dynamic-Simulation wesentlich schneller ist. Näheres ist bei der Auswertung der Ergebnisse in Kapitel 4.3.4 zu finden. 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 43 4.3.3 Modellbildung in Simpack Im folgenden Kapitel soll der Fliehkraftregler auch in Simpack modelliert werden, um die Ergebnisse aus Ansys mit der bisher üblichen Vorgehens- weise vergleichen zu können. Auf die Modellierung starrer Körper soll hier verzichtet werden. In Bild 4.6 ist die prinzipielle Vorgehensweise der Model- lierung und Simulation, wie sie im Folgenden für den Teil der elastischen Körper ausführlich beschrieben wird, auch für Simpack dargestellt. Zur Simulation von elastischen Mehrkörpersystemen mit Simpack müssen die einzelnen elastischen Körper mit der Methode des bewegten Bezugssys- tems beschrieben sein. Zuerst wird ein gewöhnliches Mehrkörpersystem mit starren Körpern erstellt. Dessen Trägheitseigenschaften können beispielsweise ausAnsys Classic,An- sys Workbench oder einem CAD-Programm entnommen werden. Anschließend wird das Modell dupliziert und die starren Körper werden durch elastische Körper ersetzt. Diese werden dann mit Hilfe von SID-Dateien ein- gelesen und abhängig vom verwendeten Körper-Referenzsystem mit den an- deren Körpern verbunden. Vorbereitungen in Ansys, um SID-Dateien erstellen zu können Die elastischen Körper werden einzeln in AnsysWorkbench z.B. aus vorhan- denen CAD-Daten eingelesen und vernetzt. Dann wird eine Ansys Classic Eingabe-Datei erzeugt, um die folgenden Schritte mit Ansys Classic durch- führen zu können. Im Anhang A.2 befindet sich eine gekürzte Beispiel-Eingabedatei für den Arm des Fliehkraftreglers. Hier wird im Lösungsmodul zunächst eine Sub- strukturanalyse erstellt, um die MassenmatrixM und die Steifigkeitsmatrix K des Körpers zu erhalten. Anschließend werden die Eigenvektoren und Ei- genwerte berechnet, die später für die verschiedenen Reduktionsverfahren, wie etwa die modale Reduktion, nötig sind. Aus diesen von Ansys generierten Daten kann nun mit Fembs oder Mo- rembs eine SID-Datei erstellt werden. 44 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS SID-Dateien mit Fembs erstellen Das Werkzeug Fembs wird mit Simpack ausgeliefert und kann aus ver- schieden kommerziellen FE-Programmen die nötigen Daten auslesen, eine modale Reduktion durchführen und die SID-Dateien erstellen. Es ist auch möglich zusätzliche Frequency Response Modes auszuwählen, Mode Partici- pation Factors anzugeben und die Dämpfung vorzugeben. Falls als Körper- Referenzsystem das Buckens-System verwendet werden soll, dürfen die ersten sechs Moden nicht verwendet werden. Des Weiteren muss der Körper kom- plett frei gelagert sein und der Ursprung des globalen Koordinatensystems im Schwerpunkt des Körpers sein. Bei der Erzeugung der SID-Datei kann außerdem angegeben werden, welche Knoten gespeichert werden sollen. Hier ist es sinnvoll, nur solche Knoten aus- zuwählen, an denen später auch Gelenke sein sollen. Diese Knoten werden dann in Simpack über Marker zugänglich gemacht. Mehr Knoten auszuwäh- len reduziert in Simpack die Darstellungsgeschwindigkeit. SID-Dateien mit Morembs erstellen Das am Institut für Technische und Numerische Mechanik entwickelte Pro- gramm zur Modellreduktion von elastischen Körpern Morembs ist wesent- lich umfangreicher als Fembs. Hier stehen eine Vielzahl an alternativen Re- duktionsverfahren zur Verfügung, die beispielsweise auch das Ein-/Ausgangs- verhalten des reduzierten Körpers mit einbeziehen. Es beinhaltet aber auch fast alle Funktionen von Fembs. Zusätzlich können auch die Frequenzgänge der mit verschiedenen Reduktionsmethoden erzeugten, reduzierten Systeme verglichen werden. Einbinden der Körper in Simpack In Simpack wird die SID-Datei zur Definition eines elastischen Körpers ein- gelesen. In diesem Beispiel wird das Buckens-System als Körper-Referenz- system verwendet. Deshalb muss der Körper durch ein Gelenk, das alle Be- wegungen zulässt, mit dem Schwerpunkt verbunden werden. Die Verbindung 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 45 mit anderen Körpern erfolgt dann über Constraints. Unter Constraints ver- steht Simpack Schleifenschließbedingungen. Das fertige Modell mit allen Körpern und Lagerungen ist als Bildschirmfoto in Bild 4.8 dargestellt. Bild 4.8: Reglermechanismus in Simpack 4.3.4 Diskussion der Ergebnisse Bei der Auswertung der Ergebnisse der verschiedenen Simulationen in Ansys und Simpack wird ausschließlich die Bewegung der ersten Zusatzmasse in y-Richtung betrachtet, da an dieser Stelle der Anteil der elastischen Verfor- mung am stärksten ist. Da der Mechanismus für große Bewegungen lediglich einen Freiheitsgrad besitzt, reicht auch ein Punkt für eine Betrachtung aus. Die Belastungen in den elastischen Auslegern sind durch die Anordnung re- lativ hoch und liegen in etwa bei 10 MPa. Es kann also mit Sicherheit von linear-elastischem Materialverhalten ausgegangen werden. Um den Einfluss der elastischen Verformung zu maximieren, wurde die Geometrie angepasst. Es wurde eine schwere Zusatzmasse angebracht und eine Magnesiumlegierung 46 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS mit einem niedrigen Elastizitätsmodul von 40 GPa für die Ausleger gewählt. Im Folgenden wird eine Vielzahl an Parametern variiert, um die Unterschie- de zwischenAnsys und Simpack herauszuarbeiten. Die konstante Winkelge- schwindigkeit wird mit einer Sprunganregung zwischen ω = 0, 5, 10 und 20 rad s variiert. Es wird sowohl in Ansys als auch in Simpack starr und elastisch gerechnet. Es wird der Einfluss der Vernetzung in Ansys und der Einfluss der Reduktionsmethode in Simpack für die elastischen Körper untersucht. Außerdem wird in Ansys die Rotation als tatsächliche Rotation und als über eine Volumenkraft beschriebene Zentripetalkraft simuliert. Darüber hinaus wird die benötigte Rechenzeit für die verschiedenen Simula- tionen aufgeführt und, soweit möglich, begründet. Hierbei wird zusätzlich der Einfluss der numerischen Dämpfung auf die Rechenzeit und die Ergebnisse untersucht. Wenn keine näheren Angaben zur Vernetzung in Ansys gemacht werden, ist von der Vernetzung mit 184 Knoten pro Ausleger auszugehen. In Simpack hingegen ist immer von einem ideal reduzierten System auszugehen. Damit sollten die Unterschiede zwischenAnsys und Simpack auf einen Unterschied der verwendeten Methoden zurückzuführen sein, da für die reduzierten Kör- per in Simpack das FE-Modell mit 184 Knoten verwendet wurde. Übersicht In Bild 4.9 sind alle Drehzahlen einer starren Simulation in Simpack darge- stellt, um die nachfolgenden Bilder und Erläuterungen leichter einordnen zu können, da alle Bilder aufgrund der Achsenskalierung ähnlich aussehen. Im hier betrachteten Modell ist die Höhe der Drehachse 200 mm, die Länge der Ausleger 200 mm und die Anfangslage der Zusatzmasse in y-Richtung 46.4 mm. 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 47 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] 0 rad/s 5 rad/s 10 rad/s 20 rad/s Bild 4.9: Bewegung der Zusatzmasse bei verschiedenen Winkelgeschwindig- keiten Einfluss der Vernetzung in Ansys Die Vernetzung hat generell einen großen Einfluss auf die Rechenzeit, da sie die Freiheitsgrade des Systems maßgeblich beeinflusst. Da mit nichtlinearen Verformungen gerechnet werden muss, ist der Rechenaufwand ohnehin enorm hoch. Bei der Untersuchung der Rechenzeiten wird darauf noch ausführlicher eingegangen. In Bild 4.10 sind alle Kurven mit einer Winkelgeschwindigkeit ω = 10 rad s gerechnet und die Vernetzung der Ausleger zwischen den verschiedenen Vor- einstellungen von Ansys Workbench variiert. Es wurde ein normales Netz mit 1148 Knoten pro Ausleger, ein grobes Netz mit 382 Knoten und ein sehr grobes Netz mit 184 Knoten verwendet. Mit dem Relevanz-Parameter kann der Vernetzungsgrad einzelner Körper in Ansys Workbench wahlweise zwischen -100 und +100 variiert werden. Bei diesem Körper ist eine solche automatische Vernetzung nicht von Vorteil ist, da manuell erzeugte Netze hier einfach erzeugt werden können. Für die Bewegung der Zusatzmasse in 48 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS y-Richtung muss das Netz in Längsrichtung verfeinert werden. Die anderen Richtungen haben für diesen Fall nur geringen Einfluss. 47 48 49 50 51 52 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] 184 Knoten 382 Knoten 1148 Knoten Bild 4.10: Einfluss der Vernetzung in Ansys bei ω = 10 rad s Hier ist zu erkennen, dass die Verfeinerung der Netzes einen deutlich erkenn- baren Einfluss auf das dynamische Verhalten der Ausleger hat. Das Ergebnis in der Ruhelage ist selbst bei sehr grober Vernetzung schon sehr gut. Die hier nicht dargestellten Ergebnisse für ω = 0 und 5 rad s stimmen noch bes- ser überein. Die Position im eingeschwungenen Zustand für die restlichen Simulationen sind in Tabelle 4.4 aufgeführt. Einfluss der Modellreduktion auf die Ergebnisse in Simpack Da unter der Annahme von linearen Verformungen die Massen- und Stei- figkeitsmatrizen nur von der Referenzlage abhängen, müssen diese nur zu Beginn der Simulation bestimmt werden. Die Dimension der Matrizen er- höht die Anzahl der Freiheitsgrade des gesamten Mechanismus enorm. Hier hat der Starrkörpermechanismus in Minimalkoordinaten nur wenige Frei- heitsgrade, und folglich nur wenige zu lösende Differentialgleichungen. Für 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 49 das hier verwendete elastische Modell würden die zwei Ausleger multipli- ziert mit 184 Knoten und den drei translatorischen Bewegungsmöglichkeiten insgesamt 1104 zusätzliche Freiheitsgrade erzeugen. Für jeden zusätzlichen Freiheitsgrad muss eine weitere Differentialgleichung gelöst werden. An dieser Stelle kommen die bereits in Kapitel 3.2 beschriebenen Redukti- onsmethoden zum Einsatz, welche die Anzahl der Freiheitsgrade reduzieren. Dabei darf das Verhalten der elastischen Körper im relevanten Frequenzbe- reich möglichst nur wenig beeinflusst werden. In Tabelle 4.2 sind die ersten zehn Eigenfrequenzen der elastischen Ausleger. Da dieser Mechanismus in einem Bereich weit unter der ersten Eigenfrequenz der Ausleger betrieben wird, genügen sehr wenige Moden bzw. Freiheitsgrade um das Verhalten der Ausleger adäquat zu beschreiben. Sie werden nahezu nur statisch belastet. Tabelle 4.2: Eigenfrequenzen ohne Starrkörperbewegungen Nummer Frequenz in [Hz] Nummer Frequenz in [Hz] 7 642 12 4896 8 1770 13 5768 9 2413 14 7518 10 3475 15 8699 11 3583 16 8856 Als FE-Modell für die Reduktion wurde hier ausschließlich das Modell mit 184 Knoten verwendet. Als Referenzlösung werden die Ausleger mit der Krylov-Unterraum-Metho- de so reduziert, dass der relative Fehler der Übertragungsfunktion für einen sehr großen Frequenzbereich beinahe null ist. Dies führt auf 73 Moden je Ausleger. Dieses mit Krylov bezeichnete System wird dann mit Gram’schen Matrizen für einen Frequenzbereich bis 700 Hz weiter reduziert. Diesem Ver- fahren wird dann noch die Anzahl der Moden vorgegeben, bis der Mittelwert im eingeschwungenen Zustand noch nicht wesentlich von der Referenzlösung abweicht. Dafür sind lediglich zwei Moden je Ausleger nötig. Um die Vorteile dieser Vorgehensweise zu verdeutlichen, ist außerdem ein mit modaler Reduktion reduziertes System mit ebenfalls zwei Moden in Bild 4.11 50 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS dargestellt. Das Ergebnis ist, wie in den beiden vergrößerten Darstellungen zu erkennen ist, deutlich schlechter. Dieser Nachteil lässt sich aber durch geschickte Auswahl der Moden verbessern. Eine solche Auswahl ist jedoch bei größeren Modellen, mit stärkerem Einfluss der Dynamik der elastischen Körper, nur sehr eingeschränkt möglich. 47 48 49 50 51 52 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] A B Krylov Krylov + Gram 2 Modal 2 49.3 49.4 49.5 49.6 49.7 49.8 49.9 1.3 1.35 A 49.45 49.46 49.47 49.48 4.7 4.8 4.9 5 B Bild 4.11: Verschiedene Reduktionsmethoden bei ω = 10 rad s 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 51 Einfluss der numerischen Dämpfung in Ansys Der zur numerischen Simulation in Ansys verwendete HHT -Algorithmus verwendet numerische Dämpfung, um die Stabilitätseigenschaften zu verbes- sern und hochfrequente Schwingungen zu unterdrücken. Eine ausführlichere Beschreibung der Dämpfung in diesem Algorithmus ist unter Transient Ana- lysis in der Theory Reference aus Ansys [8] zu entnehmen. Durch die Sprunganregung können solche Schwingungen angeregt werden. Deshalb wird der Einfluss des Parameters γ für die numerische Dämpfung, der mit dem tintp-Befehl vorgegeben wird, untersucht. Dieser Parameter ist auf einen Wert von 0.01 voreingestellt und führt bei zu hohen Werten zu hohen Rechenzeiten oder zu einem Abbruch mit dem Fehler, dass die Stabilität des Verfahrens nicht gewährleistet werden kann. Deshalb macht es wenig Sinn den Wert über 0.2 zu erhöhen. In Bild 4.12 sind die Simulation aus Simpack aufgetragen und die Simulationen ausAnsys bei verschiedenen numerischen Dämpfungen. 47 48 49 50 51 52 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] Simpack elast tintp=0.01 tintp=0.05 tintp=0.10 Bild 4.12: Einfluss der numerischen Dämpfung bei ω = 10 rad s Hier ist deutlich zu erkennen, dass die numerische Dämpfung die hochfre- 52 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS quenten Schwingungen unterdrücken kann und bei geschickter Wahl das Er- gebnis noch relativ wenig beeinflusst. Es lässt sich sicher ein für dieses Modell optimaler Dämpfungsparameter zwischen 0.01 und 0.05 finden. Die Dämpfung lässt sich aber nicht so weit erhöhen, dass die Ergebnisse mit Simpack für alle Zeitpunkte übereinstimmen. Folglich ist die Steifigkeit der elastischen Ausleger in Simpack nicht genau gleich wie in Ansys. Drehbewegung als Volumenkraft in Ansys In Ansys können Drehbewegungen mit Hilfe von Volumenkräften erzeugt werden. In diesem Fall werden die elastischen Körper nicht zu Querschwin- gungen angeregt. Die Abkürzung rot. vel. steht für eine Belastung mit einer Volumenkraft, die die Drehbewegung ersetzt. Das in Bild 4.13 dargestellte Ergebnis ist vor allem zu Beginn nahezu identisch mit dem Ergebnis aus Simpack. Zum Vergleich ist zusätzlich eine numerisch gedämpfte Simulation und das Ergebnis aus Simpack dargestellt. 47 48 49 50 51 52 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] Simpack elast Ansys elast rot. vel. tintp=0.05 Bild 4.13: Drehung als Volumenkraft für ω = 10 rad s Offensichtlich hat die Sprunganregung der realen Drehbewegung einen großen 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 53 Einfluss auf das dynamische Verhalten. Die Drehgeschwindigkeit der elasti- schen Körper schwingt wegen der Sprunganregung, ist also nicht konstant. Das hat zur Folge, dass einerseits die aus der Drehbewegung resultierende Volumenkraft nicht konstant ist und somit vermutlich die Unterschiede im dynamischen Verhalten verursachen. Auswertung der Rechenzeiten Die Rechenzeiten für die durchgeführten Simulationen sind stark unterschied- lich und spielen somit für die Bewertung der Einsatzmöglichkeiten vonAnsys eine große Rolle. Die einzelnen Zeiten sind in Tabelle 4.3 augeführt. Die Rech- nungen in Ansys wurden auch hier auf einem 64bit Debian GNU/Linux mit AMD Athon64 X2 3600+ CPU mit 1900MHz durchgeführt. Für Simpack wurde ein 32bit Debian GNU/Linux mit Intel Pentium 4 CPU mit 3200MHz verwendet. Diese beiden Rechner sind in etwa gleich schnell. Im oberen Teil der Tabelle sind die Rechenzeiten für die Simulation in Sim- pack mit starren und elastischen Auslegern aufgeführt. Für die elastische Simulation wurden die bereits erläuterten Reduktionsverfahren verwendet. Hier hat die Winkelgeschwindigkeit ω keinen erkennbaren Einfluss auf die Rechenzeit. Tabelle 4.3: Rechenzeiten der durchgeführten Simulationen ω = 0 rad s [s] 5 rad s [s] 10 rad s [s] 20 rad s [s] Simpack starr 0.1 0.1 0.1 0.1 krygram 2 0.3 0.3 0.3 0.4 krylov 73 9 14 10 13 Ansys starr RuKu 3 3 3 3 HHT 55 129 190 182 elastisch 184 Kn. 240 2900 4500 382 Kn. 480 5800 8200 1148 Kn. 2300 13300 24000 184 Knoten rot. vel. 260 390 tintp 0.05 3600 tintp 0.20 4700 54 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS Im zweiten Teil der Tabelle ist eine inAnsysmit zwei verschiedenen Lösungs- algorithmen durchgeführte Simulation aufgeführt. Die mit RuKu abgekürzten Simulationen verwenden ein in der Hilfe nicht näher spezifiziertes explizites Runge-Kutta-Einschrittverfahren. Dies ist aber nur in Ansys Workbench als Rigid Dynamic Simulation verfügbar ist. Hier ist offensichtlich auch kein Einfluss durch die Winkelgeschwindigkeit vorhanden. Der HHT-Algorithmus wird auch für die elastischen Simulationen verwendet und zeigt hier bei nied- rigen Winkelgeschwindigkeiten eine deutliche Abhängigkeit von der Winkel- geschwindigkeit, dies scheint sich jedoch bei höheren Winkelgeschwindigkei- ten in Grenzen zu halten. Der HHT-Algorithmus ist dem expliziten Runge- Kutta-Einschrittverfahren in Bezug auf Rechenzeit offensichtlich deutlich un- terlegen. Darunter sind die Rechenzeiten der elastischen Simulationen in Ansys bei verschiedenen Knotenzahlen je Ausleger aufgeführt. In diesem Fall steigen die Rechenzeiten sowohl mit der Winkelgeschwindigkeit, als auch mit der Knotenzahl stark an. Diese beiden Parameter haben glücklicherweise nicht einmal eine Ordnungszahl von O(n) bezüglich der Rechenzeit. Alternativ zu einer vorgegebenen konstanten Winkelgeschwindigkeit kann bei diesem Modell eine rotatorische Beschleunigung als Volumenkraft vorgegeben werden. Dann gibt es zu Beginn der Simultion keine Sprunganregung und die Rechenzeit hängt weniger stark von der Winkelgeschwindigkeit ab. Diese Variante ist in der Tabelle mit rot. vel. abgekürzt. Ganz unten ist der Einfluss der numerischen Dämpfung auf die elastische Simultion inAnsys für zwei verschiedene tintp-Parameter aufgeführt. Es ist eindeutig erkennbar, dass die numerische Dämpfung die Rechenzeit zunächst reduziert, bei höheren Werten jedoch wieder erhöht. Dies kann sogar so weit gehen, dass die Simulation nahezu endlos weiterlaufen würde, da die einzelnen Rechenschritte nicht konvergieren. Die wesentliche Erkenntnis ist hier sicherlich, dass Simulationen in Simpack wesentlich schneller sind als in Ansys. 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 55 Vergleich der Ergebnisse aus Ansys und Simpack In den folgenden Bildern 4.14 bis 4.17 ist die Position der Zusatzmasse in y-Richtung für verschiedene Winkelgeschwindigkeiten aufgetragen. Für die elastische Simulation in Simpack wurde die Reduktion mit der Krylov- Unterraum-Methode auf 73 Moden verwendet. Die starre Simulation aus Ansys ist mit dem expliziten Runge-Kutta-Einschrittverfahren durchgeführt worden. 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] Ansys starr Simpack starr Ansys elast Simpack elast Bild 4.14: Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 0 rad s Die Ergebnisse für die elastische Simulation in Ansys für die Winkelge- schwindigkeit ω = 20 rad s sind über eine Volumenkraft anstelle der tatsäch- lichen Winkelgeschwindigkeit berechnet worden, um die Rechenzeit klein zu halten. Für ω = 10 rad s wird in Bild 4.16 eine Schwingung angeregt. Dafür ist sicherlich die verwendete Sprunganregung verantwortlich. 56 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS 41 42 43 44 45 46 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] Ansys starr Simpack starr Ansys elast Simpack elast Bild 4.15: Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 5 rad s 47 48 49 50 51 52 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] Ansys starr Simpack starr Ansys elast Simpack elast Bild 4.16: Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 10 rad s 4.3. BEISPIEL: FLIEHKRAFTREGLER 57 50 55 60 65 70 75 80 85 90 0 1 2 3 4 5 Po sit io n in y -R ic ht un g [m m ] Zeit t [s] Ansys starr Simpack starr Ansys elast Simpack elast Bild 4.17: Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 20 rad s Insgesamt stimmen die Ergebnisse zwischen Simpack und Ansys sehr gut überein. Außerdem kann hier der elastische Einfluss auf die Bewegung sehr gut erkannt werden. Die veränderte Steifigkeit des gesamten Mechanismus hat einerseits eine Phasenverschiebung und andererseits eine andere Endlage zur Folge. 58 KAPITEL 4. ELASTISCHE MKS IN DER PRAXIS Für die Unterschiede zwischenAnsys und Simpack soll im Folgenden nur die Position im eingeschwungenen Zustand untersucht werden. Die Phasenver- schiebung der Ausschwingvorgänge ist auch von Bedeutung, sie hängt jedoch auch stark von diesem Unterschied im eingeschwungenen Zustand ab und wird deshalb hier nicht weiter betrachtet. In Tabelle 4.4 sind für die verschiedenen simulierten Fälle die y-Position der Zusatzmasse im eingeschwungenen Zustand dargestellt. Diese Tabelle ist genauso aufgebaut wie auch Tabelle 4.3. Tabelle 4.4: Mittelwerte im eingeschwungenen Zustand in [mm] ω = 0 rad s [s] 5 rad s [s] 10 rad s [s] 20 rad s [s] Simpack starr 41.713 43.650 49.192 68.428 krygram 2 41.343 43.43 49.466 70.583 modal 2 49.458 krylov 73 41.343 43.428 49.465 70.585 Ansys starr RuKu 41.359 43.639 49.178 68.234 HHT elastisch 184 Kn. 41.697 43.445 49.46 382 Kn. 43.438 49.47 1148 Kn. 43.438 49.49 184 Knoten rot. vel. 49.451 70.43 tintp 0.05 49.455 tintp 0.20 49.455 Kapitel 5 Zusammenfassung und Ausblick Ziel dieser Arbeit war es, die Vorgehensweise in Ansys bei der Simulation von flexiblen Mehrkörpersystemen zu beschreiben, die Möglichkeiten abzu- schätzen und mit der herkömmlichen Methode in Simpack zu vergleichen. Mit dem ersten Beispiel des Schiebermechanismus konnte ein Einblick in die Vorgehensweise fürAnsys Classic gegeben werden. Auf diese Weise elastische Mehrkörpersysteme zu modellieren ist sehr kompliziert, es bestehen jedoch vielfältige Möglichkeiten zur Modellbildung. Die Geschwindigkeit des Lösers, der hier für Starrkörpersimulationen verwendet werden muss, ist im Vergleich zu MKS-Programmen extrem schlecht. An Hand des Fliehkraftreglers wurde die Vorgehensweise für Ansys Work- bench erläutert. Auf den ersten Blick erscheint hier alles recht einfach, im Detail wird es jedoch recht umständlich. Der Benutzer hat zusätzlich nur sehr eingeschränkte Möglichkeiten, die Modellbildung zu beeinflussen und die spärlichen Fehlermeldungen sind meist wenig hilfreich. Außerdem sind Parametervariationen relativ umständlich, da beispielsweise die Lager neu definiert werden müssen, wenn die Geometrie aktualisiert wird. Die Verwendung von Simpack bietet bei der Simulation von elastischen Mehrkörpersystemen in den meisten Fällen mehr Möglichkeiten und ist we- niger fehleranfällig. In Bezug auf die Rechenzeit ist Simpack bei Starrkörpersimulationen und 59 60 KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK elastischen Simulationen deutlich überlegen. Bei elastischen Simulationen hat jedoch die verwendete Methode zur Beschreibung der elastischen Körper ver- mutlich den wesentlichen Einfluss auf die Unterschiede. Für die Entscheidung mit welchem Programm ein elastisches Mehrkörpersys- tem simuliert werden soll, muss man zunächst abwägen werden, ob linear- elastische Verformungen zulässig sind. Ist dies der Fall, sollte Simpack ein- deutig vorgezogen werden. Sowohl Ansys als auch Simpack sind in Bezug auf Benutzerfreundlichkeit und Qualität deutlich verbesserungfähig. Ganz besonders negativ fallen die vielen softwaretechnischen Fehler in Ansys auf. In Simpack wäre eine Ver- besserung jedoch durch eine intuitivere Oberfläche leicht herbeizuführen, die- se ist auch laut Hersteller für das Jahr 2009 bereits in Entwicklung. In weiterführenden Arbeiten zum Thema elastische Mehrkörpersysteme könnten andere FE-Programme hinsichtlich ihrer Potentiale untersucht wer- den. Auch könnten andere MKS-Programme, die elastische Körper unterstüt- zen, getestet werden. Eine weitere Arbeit zu diesem Thema setzt bei der Erstellung der SID-Datei- en an. Hier könnte beispielsweise ein Open-Source-FE-Programm, wieOpen- cascade oder Elmer, mit Morembs gekoppelt werden, um direkt aus den CAD-Daten die reduzierten Modelle zu erhalten. Alternativ könnte auch das an diesem Institut in Matlab implementierte MKS-Programm für elastische Körper erweitert werden. Anhang A.1 Beispiel: Schiebermechanismus Eingabedatei für die Starrkörpersimulation ! See slider_crank_rigid_no_conta.inp /clear ,nostart /title ,Transient analysis of a Slider Crank mechanism ! This is an example rigid body simulation ! dimension are m, kg, s, ... ! ********************************************************* ! Preprocessor ! ********************************************************* /prep7 DENS =7850 ! density 7850kg/m^3 Pi =3.14159265359 ! define element type for the crank et ,1,MASS21 ! crank (rigid) -> mass21 keyopt ,1,3,2 ! 3d mass without rotary inertia keyopt ,1,2,1 ! element coord. system is initially !parallel to the nodal csys ! define element type for the slider et ,2,MASS21 keyopt ,2,3,0 ! 3d mass with rotary inertia keyopt ,2,2,1 ! define element type -- connections between CM and joints et ,3,MPC184 keyopt ,3,1,1 ! rigid beam 61 62 Anhang keyopt ,3,2,1 ! lagrange multiplier ! define the joint elements et ,101, MPC184 keyopt ,101,1,6 ! mpc184 element as revolute joint keyopt ,101,4,1 ! z-axis revolute joint et ,111, MPC184 keyopt ,111,1,6 ! mpc184 element as revolute joint keyopt ,111,4,1 ! z-axis revolute joint et ,121, MPC184 keyopt ,121,1,8 ! mpc184 element as slot joint ! define the nodes of the crank and rotate the csys local ,11 ,0,0.,0.,0.,45. ,0. ,0. n,1 ,0.0 ,0.0 ! pinned end (node 1) n,2 ,0.05 ,0.0 ! center of mass node n,3 ,0.1 ,0.0 ! end node (with rev joint) nrotat ,1,3 ! rotate the nodal coord. systems to csys11 csys ,0 ! reset coordinate system back to global ! define a new csys and define the nodes of the slider *GET ,_XC ,node ,3,LOC ,X ! extract the coordinates of node 3 in !the global csys *GET ,_YC ,node ,3,LOC ,Y *GET ,_ZC ,node ,3,LOC ,Z *GET ,_XY ,node ,3,ANG ,XY ! extract the orientation of node 3 in !the global csys *GET ,_YZ ,node ,3,ANG ,YZ *GET ,_ZX ,node ,3,ANG ,ZX local ,13,0,_XC ,_YC ,_ZC ,_XY -70,_YZ ,_ZX ! create a translated !and rotated csys n,4 ,0.0 ,0.0 ! first node of the slider n,5 ,0.1 ,0.0 n,6 ,0.2 ,0.0 nrotat ,4,5 csys ,0 ! ******** Create the MASS21 elements ******** type ,1 real ,1 rc = 0.001 hc = 0.1 mcrank=DENS*hc*Pi*rs*rs Anhang 63 r,1,mcrank ! define the mass of the crank en ,1,2 ! 3D mass element without rotary at CM(node2) type ,2 real ,2 rs = 0.005 hs = 0.2 mslider = DENS*hs*pi*rs*rs Ixxslider = mslider*rs*rs/2 Iyyslider = mslider*mslider *(3*rs*rs+hs*hs)/12 ! Iyy = Izz r,2,mslider ,mslider ,mslider ,Ixxslider ,Iyyslider ,Iyyslider !define the mass of the crank en ,2,5 ! ******** Create the rigid BEAM (MPC184) elements ******** type ,3 real ,3 en ,11,1,2 ! rigid beam elements en ,12,2,3 en ,21,4,5 en ,22,5,6 ! *** Create MPC184 Revolute Joint between ground an crank *** sectype ,101,joint ,REVO ,revo_ground_crank mat ,101 type ,101 real ,101 secnum ,101 en ,101,,1 ! body to ground joint !(ground is the primary joint) ! *** Create MPC184 Revolute Joint between crank and slider *** sectype ,111,joint ,REVO ,revo_crank_slide local ,111 ,0 secjoint ,LSYS ,111 ,111 ! define local csys at the nodes !that form the joint type ,111 real ,111 secnum ,111 en ,111,4,3 ! ... this is our rev joint ! *** Create MPC 184 Slot Joint between slider and ground *** sectype ,121,joint ,SLOT ,slot_121 64 Anhang local ,121 ,0 secjoint ,LSYS ,121 ,121 ! define local csys at the nodes !that form the joint mat ,121 real ,121 type ,121 secnum ,121 en ,121,,6 ! body to ground joint finish ! ********************************************************* ! Solution ! ********************************************************* /solu /eof DJ , 101, omgz , 1.2566 ! 1 revolution per 5 sec. (2*pi/5) antype ,trans time ,5.0 nlgeom ,on ! turn nonlinear geometry on kbc ,1 !acel ,0.0 ,9.81 ,0.0 midtol ,on ,1e4 ! automatic time stepping with MIDTOL nsub ,600 ,1e7 ,400 trnopt ,full , , , , ,HHT ! choose HHT solver tintp ,0.05 ! small numerical damping for HHT outres ,all ,all *GET ,_cputime_start ,ACTIVE ,0,TIME ,CPU solve *GET ,_cputime_end ,ACTIVE ,0,TIME ,CPU CPUTIME = _cputime_end - _cputime_start finish /POST1 ! Animate the results PLDI , , ANTIME ,100 ,0.1 , ,1,2,0,5 finish /post26 /xrange ,0. ,5.0 Anhang 65 nsol ,2,6,u,x,ux !x displacement for node 6 nsol ,3,6,u,y,uy !y displacement for node 6 nsol ,4,6,v,x,vx !x velocity for node 6 nsol ,5,6,v,y,vy !y velocity for node 6 nsol ,6,6,a,x,ax !x acceleration for node 6 nsol ,7,6,a,y,ay !y acceleration for node 6 /axlab ,x,Time T /axlab ,y,D/V/A /gropt ,divx ,10 /gropt ,divy ,10 /gthk ,curve ,2 /title ,Transient analysis of a rigid 3D beam rotating about ... plvar ,ux ,uy ,vx ,vy!,ax ,ay finish Eingabedatei für die Simulation mit elastischer Kurbel ! See slider_crank_elastic_no_conta.inp /clear ,nostart /title ,Transient analysis of a Slider Crank mechanism ! This is an example rigid/flexible body simulation ! dimension are m, kg, s, ... ! ********************************************************* ! Preprocessor ! ********************************************************* /prep7 ! Constants DENS =7.85e3 ! density 7850kg/m^3 _num =100 ! number of finite elements ! define element type for the crank et ,1,beam188 ! define element type for the slider et ,2,mass21 ! crank (rigid) -> mass21 keyopt ,2,3,0 ! 3d mass with rotary inertia keyopt ,2,2,1 ! element coord. system is initially !parallel to the nodal csys ! define element type -- connections between CM and joints et ,3,mpc184 keyopt ,3,1,1 !rigid beam 66 Anhang keyopt ,3,2,1 !lagrange multiplier ! define the joint elements et ,101, mpc184 keyopt ,101,1,6 ! mpc184 element as revolute joint keyopt ,101,4,1 ! z-axis rev joint et ,111, mpc184 keyopt ,111,1,6 ! mpc184 element as revolute joint keyopt ,111,4,1 ! z-axis rev joint et ,121, mpc184 keyopt ,121,1,8 ! mpc184 element as slot joint ! define the nodes of the crank and rotate the csys local ,11 ,0,0.,0.,0.,45. ,0. ,0. n,1000 ,0.0 ,0.0 *DO ,I,1,_num n ,1000+I ,0.0+I/10/_num ,0.0 ! Create nodes for the beams *ENDDO nrotat ,1000 ,1000+ _num csys ,0 ! reset coordinate system back to global ! define a new csys and define the nodes of the slider *GET ,_XC ,node ,1000+ _num ,LOC ,X *GET ,_YC ,node ,1000+ _num ,LOC ,Y *GET ,_ZC ,node ,1000+ _num ,LOC ,Z *GET ,_XY ,node ,1000+ _num ,ANG ,XY *GET ,_YZ ,node ,1000+ _num ,ANG ,YZ *GET ,_ZX ,node ,1000+ _num ,ANG ,ZX local ,13,0,_XC ,_YC ,_ZC ,_XY -70,_YZ ,_ZX n,4 ,0.0 ,0.0 ! first node of the slider n,5 ,0.1 ,0.0 n,6 ,0.2 ,0.0 nrotat ,4,5 csys ,0 ! ******** Create the MASS21 elements ******** type ,2 real ,2 rs = 0.005 hs = 0.2 mslider = DENS*hs*pi*rs*rs Ixxslider = mslider*rs*rs/2 Iyyslider = mslider*mslider *(3*rs*rs+hs*hs)/12 Anhang 67 r,2,mslider ,mslider ,mslider ,Ixxslider ,Iyyslider ,Iyyslider en ,2,5 ! ******** Create the BEAM188 elements ******** mp ,ex ,1 ,2.1e11 ! E-Modulus mp ,nuxy ,1 ,0.3 ! poisson ratio mp ,density ,1 ,7.85e3 ! mass density sectype , 1, beam , csolid ! solid circle as section type secdata , 0.002 ! set the radius type ,1 real ,1 mat ,1 secnum ,1 *DO ,I,1,_num en ,999+I,999+I ,1000+I ! Create the beam188 elements *ENDDO ! ******** Create the rigid BEAM (MPC184) elements ******** type ,3 real ,3 en ,21,4,5 en ,22,5,6 ! *** Create MPC184 Revolute Joint between ground an crank *** sectype ,101,joint ,REVO ,revo_ground_crank mat ,101 type ,101 real ,101 secnum ,101 en ,101 , ,1000 ! body to ground joint !(ground is the primary joint) ! *** Create MPC184 Revolute Joint between crank and slider *** sectype ,111,joint ,REVO ,revo_crank_slide local ,111 ,0 secjoint ,LSYS ,111 ,111 ! define local csys at the nodes that !form the joint type ,111 real ,111 secnum ,111 en ,111 ,1000+ _num ,4 68 Anhang ! *** Create MPC 184 Slot Joint between slider and ground *** sectype ,121,joint ,SLOT ,slot_121 local ,121 ,0 secjoint ,LSYS ,121 ,121 ! define local csys at the nodes that !form the joint mat ,121 real ,121 type ,121 secnum ,121 !TB ,join ,121,,,fric ! friction !TBDATA ,1600 ,D44 en ,121,,6 ! body to ground joint finish ! ********************************************************* ! Solution ! ********************************************************* /solu /eof DJ , 101, omgz , 1.2566 ! 1 revolution per 5 sec. (2*pi/5) time ,5.0 nlgeom ,on kbc ,1 !acel ,0.0 ,9.81 ,0.0 midtol ,on ,1e4 !auto time stepping with MIDTOL nsub ,600 ,1e7 ,400 trnopt ,full , , , , ,HHT tintp ,0.05 !small numerical damping for HHT outres ,all ,all *GET ,_cputime_start ,ACTIVE ,0,TIME ,CPU solve *GET ,_cputime_end ,ACTIVE ,0,TIME ,CPU CPUTIME = _cputime_end - _cputime_start finish /POST1 ! Animate the results PLDI , , A.2. EINGABEDATEI FÜR DEN ELASTISCHEN ARM 69 ANTIME ,100 ,0.1 , ,1,2,0,5 finish /post26 /xrange ,0. ,5.0 nsol ,2,6,u,x,ux !x displacement for node 6 nsol ,3,6,u,y,uy !y displacement for node 6 nsol ,4,6,v,x,vx !x velocity for node 6 nsol ,5,6,v,y,vy !y velocity for node 6 nsol ,6,6,a,x,ax !x acceleration for node 6 nsol ,7,6,a,y,ay !y acceleration for node 6 /axlab ,x,Time T /axlab ,y,D/V/A /gropt ,divx ,10 /gropt ,divy ,10 /gthk ,curve ,2 plvar ,ux ,uy ,vx ,vy!,ax ,ay finish A.2 Eingabedatei für den elastischen Arm Die Ansys -Classic-Eingabedatei ist auf das Wesentliche reduziert. Wich- tig ist der Lösungsteil, in dem die nötigen Matrizen, Eigenfrequenzen und Eigenvektoren für die Reduktion berechnet werden. ! See arm_fembs_magnesium.inp /clear ,nostart /filenam ,genps ! ANSYS input file written by Workbench version 11.0 *get ,_wallstrt ,active ,,time ,wall ! File used for geometry attach: ...\ arm.igs /com ,--- Data in consistent MKS units. /units ,MKS /nopr /track ,-1 /prep7 ! Turn off shape checking because checks already performed ! inside WB mesher. ! See help system for more information. SHPP ,OFF ,,NOWARN /nolist etcon ,set ! allow ANSYS to choose best KEYOP ’s 70 Anhang ! for 180x elements /com ,*********** Nodes for the whole assembly *********** nblock ,3 (1i8 ,3e20.9e3) 1 3.469446952E-018 1.810542835E-001 3.248125038E-002 ... ... 184 -1.500000000E-002 6.320315273E-002 1.503323812E-001 ! end of nblock command /com ,*********** Elements for Part 1 *********** et ,1,186 keyo ,1,2,1 eblock ,10 (15i8) 1 1 1 1 0 1 49 48 39 16 28 29 30 77 161 ... ... 0 0 0 0 0 184 93 110 128 127 118 68 164 167 175 -1 /com ,*********** Send Materials *********** MP ,DENS ,1 ,1800. , ! kg/m^3 MP ,NUXY ,1,0.35, MP ,EX ,1 ,45000000000. , ! Pa ! get the diagonal of the bounding box. Needed later for ! other things *get ,_xmin ,node ,,mnloc ,x *get ,_ymin ,node ,,mnloc ,y *get ,_zmin ,node ,,mnloc ,z *get ,_xmax ,node ,,mxloc ,x *get ,_ymax ,node ,,mxloc ,y *get ,_zmax ,node ,,mxloc ,z _ASMDIAG =(_xmax -_xmin )*(_xmax -_xmin )+(_ymax -_ymin )*... (_ymax -_ymin )+(_zmax -_zmin )*(_zmax -_zmin) _ASMDIAG=SQRT(_ASMDIAG) /com ,*********** Set Reference Temperature *********** tref ,22. /gst ,on,on fini Anhang 71 *get ,_numnode ,node ,0,count *get ,_numelem ,elem ,0,count /go /com ,--- Number of total nodes = %_numnode% /com ,--- Number of contact elements = 0 /com ,--- Number of spring elements = 24 /com ,--- Number of solid elements = 18 /com ,--- Number of total elements = %_numelem% *get ,_wallbsol ,active ,,time ,wall ! ************************************************ ! FEMBS ! ************************************************ /eof - paste the following sections in Ansys manually ! Perform a substructure analysis to get M and K /solu antype ,substr ! substructure analysis seopt ,genps ,2,,1 ! create stiffnesss and mass matrices nsel ,all ! select all nodes m,all ,all ! define master dof solve finish /copy ,genps ,sub ,,struct ,sub , save /eof ! Perform a eigenfrequency analysis /clear /filnam ,eigen /prep7 et ,1,matrix50 ! define the superelement type matrix50 se ,genps ! read the superelement from genps.sub finish /solu antype ,modal modopt ,lanb ,101 ! use reduced method , number of modes !to be extracted !D,27,ux ,,,29,,uy,uz ! Boundary conditions !D,48,ux ,,,50,,uy,uz !D,130,ux ,,,131,,uy,uz !D,159,ux ,,,163,,uy,uz 72 Anhang mxpand , ! expand all modes !m,101, rotx ! define master dof at node 111 !m,102,all ,111,1 ! define master dof at all other nodes m,all ,all ! define master dof solve finish A.3. INHALT DER CD-ROM 73 A.3 Inhalt der CD-ROM Die beigelegte CD-ROM enthält in der obersten Dateistruktur die Einträge: • stud_283.pdf : pdf-Datei zur Studienarbeit STUD–283. • STUD_283/: Verzeichnis mit den tex-Dateien des in LATEXverfassten Berichtes zur Studienarbeit STUD–283, sowie alle dazugehörigen Gra- phiken als .pdf-, .ipe- und .png-Dateien. • DATA/: Verzeichnis mit den für diese Arbeit relevanten Daten, Hilfs- programmen, Skripts und Simulationsumgebungen. Zusätzliche Informationen stehen in den readme.txt-Dateien der jeweiligen Verzeichnisse zur Verfügung. Abbildungsverzeichnis 2.1 Verformte und unverformte Konfiguration . . . . . . . . . . . 4 2.2 Unstrukturiertes Finite-Elemente-Gitter und ein Element in einem elastischen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1 Kinematische Beschreibung eines elastischen Körpers . . . . . 15 4.1 Verwendung von Kontaktelementen . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Schiebermechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Simulationsergebnisse des Schiebermechanismus am Knoten 6 34 4.4 Dauer der Simulation in Ansys Classic . . . . . . . . . . . . . 35 4.5 Skizze des Reglermechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6 Vorgehensweise bei der Simulation von elastischen Mehrkör- persystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.7 Reglermechanismus in Ansys Workbench mit Rechennetz . . 41 4.8 Reglermechanismus in Simpack . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.9 Bewegung der Zusatzmasse bei verschiedenen Winkelge- schwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.10 Einfluss der Vernetzung in Ansys bei ω = 10 rad s . . . . . . . . 48 4.11 Verschiedene Reduktionsmethoden bei ω = 10 rad s . . . . . . . 50 4.12 Einfluss der numerischen Dämpfung bei ω = 10 rad s . . . . . . . 51 74 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 75 4.13 Drehung als Volumenkraft für ω = 10 rad s . . . . . . . . . . . . 52 4.14 Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 0 rad s . . . . . . . . . . . . 55 4.15 Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 5 rad s . . . . . . . . . . . . 56 4.16 Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 10 rad s . . . . . . . . . . . . 56 4.17 Bewegung der Zusatzmasse bei ω = 20 rad s . . . . . . . . . . . . 57 Tabellenverzeichnis 4.1 Ermittlung der Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Eigenfrequenzen ohne Starrkörperbewegungen . . . . . . . . . 49 4.3 Rechenzeiten der durchgeführten Simulationen . . . . . . . . . 53 4.4 Mittelwerte im eingeschwungenen Zustand in [mm] . . . . . . 58 76 Literaturverzeichnis [1] Brüls, O.: Integrated Simulation and Reduced-Order Modeling of Con- trolled Flexible Multibody Systems. 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