Dynamik von PT -symmetrischen und symmetriebrechenden Zweimodenmodellen, eingebettet in ein zeitabha¨ngiges Viermoden-Bose-Hubbard-System Masterarbeit von Tina Mathea 02. November 2017 Erster Pru¨fer: Apl. Prof. Dr. rer. nat. Jo¨rg Main Zweiter Pru¨fer: Prof. Dr. sc. nat. Hans Peter Bu¨chler 1. Institut fu¨r Theoretische Physik Universita¨t Stuttgart Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 5 1.1. Motivation und Einfu¨hrung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. PT -symmetrische Quantensysteme 11 2.1. Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Bose-Einstein-Kondensat in einem PT -symmetrischen Doppelmuldenpo- tential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Grundlegende Idee: Einbettung in ein hermitesches Viermuldensystem . . 14 3. Mean-Field-Beschreibung des Viermuldensystems 17 3.1. 4× 4-Matrixmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2. Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Mean-Field . . . . . . . . . . 18 4. Vielteilchenbeschreibung 23 4.1. Bose-Hubbard-Modell mit zeitabha¨ngigen Parametern . . . . . . . . . . . 23 4.2. Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2.1. A¨quivalente Formulierung des Bose-Hubbard-Modells u¨ber eine BBGKY-Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2.2. Backreaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.3. Symmetrien der BBR-Na¨herung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.4. Bestimmung von Anfangswerten fu¨r die BBR-Methode . . . . . . 30 4.2.5. Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Vielteilchensystem . . 31 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde 35 5.1. Dynamik im Mean-Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1.1. Anfangszusta¨nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1.2. Zeitliche A¨nderung der Besetzungszahlen . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.3. Grenzfall verschwindender Wechselwirkung, g = 0 . . . . . . . . . 37 5.1.4. Zeitlicher Verlauf der Systemgro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2. Dynamik im Vielteilchensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Inhaltsverzeichnis 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde 49 6.1. Herleitung der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter . . . . . . . . . . 49 6.1.1. Dynamik der Einteilchendichtematrix im Zweimulden- und Vier- muldensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.1.2. Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1.3. Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2. Grenzfall reiner Anfangszusta¨nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3. Unreine Anfangszusta¨nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3.1. Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3.2. Konstruktion unreiner Anfangszusta¨nde . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3.3. Numerische Bestimmung unreiner Zusta¨nde . . . . . . . . . . . . 59 6.4. Diskussion der numerischen Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.4.1. Dynamik der Elemente erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.4.2. Dynamik der Elemente zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 65 7. Zusammenfassung und Ausblick 71 A. Stationa¨re Lo¨sungen des offenen Zweimuldensystems 75 A.1. Lo¨sung der zeitunabha¨ngigen Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . 75 A.2. Bifurkationsdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 B. Dynamik PT -symmetrischer Zusta¨nde im Mean-Field 81 C. Herleitung der Na¨herungsformel der BBR-Methode 85 C.1. Abschneiden der BBGKY-Hierarchie nach der ersten Ordnung . . . . . . 86 C.2. Abschneiden der BBGKY-Hierarchie nach der zweiten Ordnung . . . . . 87 D. Definition der Reinheit 89 E. Erla¨uterungen zur Implemetierung 91 E.1. Normierung der BBR-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 E.2. Lexikographische Fock-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 E.3. Lexikographische Sprungindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Literaturverzeichnis 95 Danksagung 101 4 1. Einleitung Die Energieniveaus und die Zeitentwicklung eines Quantensystems werden durch den Hamiltonoperator Hˆ bestimmt. Der Standardformalismus der Quantenmechanik fordert die Hermitizita¨t von Hˆ, welche garantiert, dass die zugeho¨rigen Energieeigenwerte reell sind und die Teilchenzahl sowie die Gesamtenergie im System erhalten sind. Obwohl die Forderung nach Hermitizita¨t durchaus ihre Berechtigung hat, kann es dennoch sinn- voll sein, nicht-hermitesche Hamiltonoperatoren zu verwenden, was folgendes Beispiel illustriert: Ein charakteristisches Merkmal offener Quantensysteme sind Resonanzzusta¨nde, wel- che quasistationa¨re Zusta¨nde darstellen, die nach einer gewissen Zeit zerfallen. Die Ioni- sation von Atomen und Moleku¨len in a¨ußeren Feldern oder auch die Autoionisation von mehrfach angeregten Atomen stellen typische Beispiele fu¨r quantenmechanische Reso- nanzpha¨nomene dar. Pha¨nomenologisch la¨sst sich die Instabilita¨t eines solchen Niveaus durch die sogenannte Lebensdauer τ charakterisieren. Die Norm eines solchen Zustands |ψ〉 ist dann durch 〈ψ|ψ〉 ∝ exp(−τt/~) gegeben. Formal la¨sst sich dieses Zeitverhalten mithilfe einer komplexen Energie E˜ = E − iτ/2 erzeugen, welche nicht Eigenwert eines hermiteschen Operators sein kann. Dies fu¨hrt auf den Formalismus der nicht-hermiteschen Quantenmechanik (NHQM) [1], welche keinen Widerspruch zur herko¨mmlichen Quantenmechanik darstellt, sondern eine zu dieser a¨quivalente Beschreibung fu¨r geschlossene Systeme liefert und eine Erwei- terung auf offene Systeme erlaubt [2]. NHQM la¨sst sich nicht nur auf Resonanzpha¨nome, sondern auch auf eine Vielzahl weiterer Bereiche anwenden1 und stellt somit ein ma¨ch- tiges Werkzeug zur eleganten Lo¨sung von Problemen dar, insbesondere solcher, die sich mit hermitescher Quantenmechanik nur mit sehr großem Aufwand lo¨sen lassen. Es la¨sst sich zeigen, dass auch nicht-hermitesche Hamiltonoperatoren reelle Ener- gieeigenwerte besitzen ko¨nnen, falls Hˆ mit dem Produkt aus Parita¨tsoperator P und Zeitumkehroperator T vertauscht, d.h. wenn [Hˆ,PT ] = 0 gilt [3, 4]. Dies fu¨hrt auf die PT -symmetrische Quantenmechanik, welche sich sehr gut zur effektiven Beschrei- bung offener Quantensysteme mit ausgeglichenem Gewinn- und Verlustverha¨ltnis fu¨r die Wahrscheinlichkeitsdichte eignet. 1Eine U¨bersicht u¨ber mo¨gliche Anwendungen ist beispielsweise in [1] zu finden. 5 1. Einleitung 1.1. Motivation und Einfu¨hrung in das Thema Die PT -symmetrische Quantenmechanik wurde von Bender und Boettcher 1998 einge- fu¨hrt [3, 4] und motivierte Mostafazadeh zur Einfu¨hrung des allgemeineren Konzepts der Pseudo-Hermitizita¨t [5, 6]. In diesem Sinne stellt PT -Symmetrie eine komplexe Er- weiterung der hermiteschen Quantenmechanik dar [7]. Obwohl der Hamiltonoperator im Allgemeinen nicht hermitesch ist, ko¨nnen fu¨r bestimmte Parameterbereiche rein reelle Eigenwerte auftreten, d.h. mit diesem Formalismus lassen sich auch stationa¨re Zusta¨n- de beschreiben. Dabei stellt Pseudo-Hermitizita¨t eine notwendige Bedingung fu¨r das Auftreten reeller Eigenwerte dar, PT -Symmetrie des Hamiltonoperators ist dafu¨r weder notwendig noch hinreichend [8]. Die erste experimentelle Beobachtung bzw. Realisierung von PT -Symmetrie gelang in optischen Systemen [9, 10]. Guo et al. [9] verwendeten dabei ein passives System mit optischem Verlust, Ru¨ter et al. [10] hingegen realisierten PT -Symmetrie in einem Sys- tem bestehend aus zwei Wellenleitern mithilfe eines komplexen Brechungsindex, welcher zu Gewinnen und Verlusten der Feldsta¨rke im System fu¨hrt. Obwohl vielfache weitere Realisierungen in optischen Systemen gelangen [11–14], konnte PT -Symmetrie in einem Quantensystem bis heute allerdings nicht erzeugt werden. Der Formalismus der PT -Symmetrie kann als effektive Beschreibung eines Quanten- systems mit Gewinn und Verlust dienen. Nach einem Vorschlag von Klaiman [11] ko¨nnte daher ein Bose-Einstein-Kondensat in einer Doppelmulde ein geeignetes System zur Rea- lisierung von PT -Symmetrie in einem Quantensystem darstellen. Koha¨rentes Ein- und Auskoppeln von Teilchen stellt dabei einen PT -symmetrischen Zustand her [15]. Besonderes Augenmerk muss auf die Kontaktwechselwirkung zwischen den Bosonen gelegt werden [11], da sie sich auf die PT -symmetrischen Eigenschaften auswirkt und selbige sogar zersto¨ren kann. Es konnte jedoch gezeigt werden [16], dass in diesem System trotz der Nichtlinearita¨t PT -symmetrische stationa¨re Zusta¨nde auftreten, die zu reellen Energien geho¨ren und man bei entsprechender Wahl der Parameter eine stabile Dynamik erha¨lt. Das Doppelmuldensystem wurde im Rahmen eines Mean-Field-Ansatzes mithilfe der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) schon vielfach untersucht [16–23]. Das Ein- und Aus- koppeln von Teilchen wird dabei effektiv durch komplexe Potentiale beschrieben. Graefe et al. [17–19] untersuchten das System unter Vernachla¨ssigung der Ausdehnung der Wel- lenfunktion in einer Zweimodenna¨herung, in welcher grundlegende Eigenschaften des Systems analytisch zuga¨nglich sind. Ausgedehnte Systeme wurden mithilfe von gauß- schen Variationsansa¨tzen untersucht, außerdem wurden Stabilita¨tsanalysen durchgefu¨hrt [22, 24]. Dabei hat sich gezeigt, dass ein Bose-Einstein-Kondensat in einer dreidimensio- nalen Doppelmulde mit Gewinn und Verlust stationa¨re Zusta¨nde mit reellen Energieei- genwerten aufweist und es somit mo¨glich wa¨re, in diesem Quantensystem PT -Symmetrie zu beobachten. Innerhalb des Mean-Field-Limits wurden außerdem exzeptionelle Punkte und Bifurkationen [16, 23, 25] erfolgreich untersucht. Obwohl die Mean-Field-Na¨herung bei tiefen Temperaturen und hohen Teilchenzahlen 6 1.1. Motivation und Einfu¨hrung in das Thema eine gute Na¨herung darstellt [17, 19], handelt es sich bei dem beschriebenen System eigentlich um ein Vielteilchensystem, bei dem Quanteneffekte eine wichtige Rolle spie- len, welche bei der Mean-Field-Beschreibung nicht beru¨cksichtigt werden ko¨nnen. Eine mo¨gliche Vielteilchenbeschreibung eines PT -symmetrischen Bose-Einstein-Kondensats wurde von Graefe et al. [19] gegeben, wobei Gewinn und Verlust in einem nichthermi- teschen Bose-Hubbard-Dimer mithilfe komplexer Onsite-Energien beschrieben wurden. Da dieses Vorgehen nicht auf die bekannte GPE fu¨hrt, wurde von Dast et al. [26–29] ei- ne Vielteilchenbeschreibung auf Grundlage einer Mastergleichung in Lindblad-Form zur Untersuchung der Vielteilcheneffekte des Systems verwendet. Alle oben genannten Ansa¨tze stellen effektive und nichthermitesche Theorien dar. Wird allerdings ein hermitesches, geschlossenes System gefunden, dessen Teile sich wie das offene System verhalten, so ist eine experimentelle Realisierung von PT -Symmetrie in diesem Quantensystem mo¨glich. Um ein solches abgeschlossenes System zu konstru- ieren, wird bei dem von Kreibich et al. [30–32] verfolgten Ansatz das Zweimodenmodell in ein gro¨ßeres, hermitesches System, beispielsweise ein Viermuldensystem, eingebettet. Die zusa¨tzlichen Mulden dienen dabei als Teilchenreservoire und sind u¨ber Tunnelpro- zesse aneinander gekoppelt. Ein optisches Viermuldenpotential stellt dabei eine Mini- mallo¨sung dar und stellt vier reelle Parameter bereit, deren Zeitabha¨ngigkeit so gewa¨hlt werden kann, dass sich PT -Symmetrie in zwei der Mulden einstellt. Es hat sich gezeigt [30], dass sich auf diese Art und Weise im Mean-Field PT -Symmetrie in den inneren beiden Mulden einstellen la¨sst. Da in dem beschriebenen System Vielteilcheneffekte eine wichtige Rolle spielen, stellt sich die Frage, ob sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zwei- modensystems auch im Viermulden-Vielteilchensystem einstellen la¨sst. Dies wurde in ei- nem ersten Ansatz von Dizdarevic [33] untersucht, da dazu aber insbesondere Produkt- zusta¨nde aus Einteilchenzusta¨nden als Anfangszusta¨nde fu¨r die Dynamik und Zeitab- ha¨ngigkeiten der Kontrollparameter auf Grundlage des Mean-Field-Verhaltens gewa¨hlt wurden, gelang dies nicht vollsta¨ndig. Mithilfe dieses Ansatzes konnte lediglich die Sta- tionarita¨t der Besetzungszahlen und die des Stroms erreicht werden, fu¨r die Phasenkor- relation ließ sich das gewu¨nschte Verhalten nicht einstellen. Diese Restriktionen werden in dieser Arbeit aufgehoben. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass es mo¨glich ist, das Verhalten der PT - symmetrischen Zusta¨nde in der Einteilchendynamik des Vielteilchensystems zu realisie- ren, sofern die Zeitabha¨ngigkeit der verfu¨gbaren Kontrollparameter und die Anfangszu- sta¨nde entsprechend gewa¨hlt werden. Dabei wird der Ansatz der Einbettung von Krei- bich et al. weiterverfolgt, der Fokus liegt dabei auf einer Vielteilchenbeschreibung mit dem Bose-Hubbard-Modell und der Bogoliubov-Backreaction-Methode. Um das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde im Viermulden-Vielteilchensystem zu realisieren, werden, ausgehend vom offenen Zweimuldensystem in der Mean-Field- Beschreibung, Zeitabha¨ngigkeiten fu¨r die Kontrollparameter im Vielteilchensystem for- muliert. Es wird gezeigt, dass Zusta¨nde, die sich zum einen nicht als Produkt von Ein- teilchenzusta¨nden darstellen lassen und zum anderen gewisse Nebenbedingungen erfu¨l- 7 1. Einleitung len, passende Anfangszusta¨nde zur Berechnung der Dynamik darstellen. Die numerische Auswertung der Bewegungsgleichungen zeigt, dass die so bestimmten Zusta¨nde in der Dynamik das gewu¨nschte Verhalten aufweisen und sich somit auf diese Art und Weise die Einteilchendynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde im Vielteilchensystem einstel- len la¨sst. Die hier vorgestellte Methode der Wahl der Anfangszusta¨nde bietet dabei Freiheiten fu¨r weitere Nebenbedingungen und ließe sich daher auch auf gro¨ßere Systeme anwenden. 1.2. Aufbau der Arbeit Die vorliegende Arbeit gliedert sich in zwei Teile: Im ersten Teil wird die Dynamik der PT -brechenden Eigenzusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im hermiteschen Vier- muldensystem untersucht. Im zweiten Teil liegt der Fokus auf einer Vielteilchenbe- schreibung des Systems. Es wird ein Verfahren vorgestellt, mit dem sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Systems im Viermulden-Vielteilchensystem realisieren la¨sst. Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut: In Kapitel 2 werden die fu¨r das behandelte Thema relevanten Aspekte der PT -Symmetrie zusammengefasst. Außerdem wird das dieser Arbeit zugrunde liegende Quantensystem, ein in ein Viermuldensystem eingebet- tetes Zweimodenmodell fu¨r Bose-Einstein-Kondensate in optischen Gittern, eingefu¨hrt. In Kapitel 3 wird die Mean-Field-Beschreibung des Viermuldensystems auf Grundlage der sogenannten Gross-Pitaevskii-Gleichung eingefu¨hrt. Diese liefert eine gute Beschrei- bung des Systems bei tiefen Temperaturen und hohen Teilchenzahlen. Genau genommen stellt das System aber ein Vielteilchensystem dar, in dem Quanteneffekte eine wichtige Rolle spielen. In dieser Arbeit soll der Fokus daher auf einer Vielteilchenbeschreibung des Systems liegen, mit dem Ziel, das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Vielteilchensystem zu realisieren. In Kapitel 4 werden dazu Grundlagen fu¨r eine Vielteilchenbeschreibung mithilfe des Bose-Hubbard-Modells und der Bogoliubov-Backreaction-Methode gelegt. Kapitel 5 befasst sich mit der Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde des offenen Zwei- muldensystems, welche in der Mean-Field-Na¨herung und in der Vielteilchenbeschreibung untersucht wird. Dazu werden passende Anfangszusta¨nde bestimmt und der Grenzfall verschwindender Wechselwirkung analytisch untersucht. In Kapitel 6 wird ein Verfahren entwickelt, mit dem sich das Verhalten der PT - symmetrischen Zusta¨nde in der Einteilchendynamik des Vielteilchensystems erreichen la¨sst. Ausgehend vom offenen Zweimuldensystem werden dazu zuna¨chst Gleichungen fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparameter hergeleitet, welche die Berechnung der Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde, d.h. Zusta¨nde, die sich nicht als Produkt von Ein- teilchenzusta¨nden darstellen lassen, erlauben. Es wird eine Methode vorgestellt, wie sich unreine, aber physikalische Anfangszusta¨nde finden lassen, welche zur Realisierung der 8 1.2. Aufbau der Arbeit gewu¨nschten Dynamik im Vielteilchensystem geeignet sind. Das Kapitel endet mit der Diskussion der numerisch bestimmten Dynamik dieser Zusta¨nde im Vielteilchensystem. Kapitel 7 beinhaltet schließlich eine Zusammenfassung der vorliegenden Arbeit und einen Ausblick. 9 2. PT -symmetrische Quantensysteme In diesem Kapitel werden die fu¨r die vorliegende Arbeit relevanten Aspekte der PT - Symmetrie zusammengefasst und das dieser Arbeit zugrunde liegende Quantensystem eingefu¨hrt. Abschnitt 2.1 stellt dabei allgemeine Eigenschaften PT -symmetrischer Quantensyste- me zusammen. In Abschnitt 2.2 wird eine mo¨gliche Realisierung eines PT -symmetrischen Quantensystems, na¨mlich ein System bestehend aus einem Bose-Einstein-Kondensat in einer optischen Doppelmulde mit ausgeglichenem Gewinn und Verlust (balanced gain and loss), diskutiert. Dieses offene Quantensystem kann durch Einbettung in ein hermitesches Viermuldensystem mithilfe einer entsprechenden Zeitabha¨ngigkeit von Kontrollparame- tern simuliert werden. Die grundlegende Idee dabei wird in Abschnitt 2.3 erla¨utert. Das in Abschnitt 2.3 dargestellte Viermuldensystem stellt die Grundlage der vorliegenden Arbeit dar und wird in einer Vielteilchenbeschreibung untersucht. 2.1. Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme In diesem Abschnitt werden die fu¨r diese Arbeit relevanten Eigenschaften PT -symme- trischer Quantensysteme zusammengefasst. Der Abschnitt ist bewusst kurz gehalten, da Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme in der Literatur bereits ausfu¨hrlich diskutiert worden sind. Fu¨r eine vertiefende Diskussion sei an dieser Stelle auf [2–4] verwiesen. Ein lineares Quantensystem wird als PT -symmetrisch bezeichnet, wenn der Hamil- tonoperator Hˆ mit dem Produkt aus Parita¨tsoperator P und Zeitumkehroperator T vertauscht, d.h. es gilt [ Hˆ,PT ] = 0. (2.1) Die Wirkungen des Parita¨tsoperators P und des Zeitumkehroperators T sind dabei wie folgt definiert: P : xˆ→ −xˆ, pˆ→ −pˆ, (2.2a) T : xˆ→ xˆ, pˆ→ −pˆ, i→ −i. (2.2b) Der Parita¨tsoperator a¨ndert das Vorzeichen des Orts- und des Impulsoperators und stellt einen linearen Operator dar, der Zeitumkehroperator la¨sst den Ortsoperator invariant, a¨ndert das Vorzeichen des Impulsoperators und bewirkt zusa¨tzlich eine komplexe Kon- jugation und ist somit antilinear. Mithilfe der Gleichungen (2.2) ko¨nnen Aussagen u¨ber die Form des Potentials V eines PT -symmetrischen Systems gemacht werden. Besteht 11 2. PT -symmetrische Quantensysteme der Hamiltonoperator aus einem kinetischen Energieoperator und einem Potentialanteil, besitzt also die Form Hˆ = pˆ2 2m + V (xˆ), (2.3) so folgt mit Gleichung (2.2) PT Hˆ = PT ( pˆ2 2m + V (xˆ) ) = pˆ2 2m + V ∗(−xˆ). (2.4) Um Gleichung (2.1) zu erfu¨llen, d.h. damit PT -Symmetrie vorliegt, muss der Realteil des Potentials eine symmetrische Funktion in der Ortskoordinate sein, der Imagina¨rteil hingegen antisymmetrisch, d.h. es muss ReV (xˆ) = ReV (−xˆ), (2.5a) ImV (xˆ) = − ImV (−xˆ) (2.5b) gelten. Im Folgenden soll erla¨utert werden, wie sich ein komplexes Potential physikalisch interpretieren la¨sst. In hermiteschen Systemen ist die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten. In Form einer Kontinuita¨tsgleichung la¨sst sich diese Aussage darstellen als ∂ ∂t |ψ(x, t)|2 + div j(x, t) = 0, (2.6) mit der Wellenfunktion ψ(x, t), der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x, t)|2 und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x, t) mit j(x, t) = i~ 2m (ψ(x, t)∇ψ∗(x, t)− ψ∗(x, t)∇ψ(x, t)) . (2.7) Betrachtet wird nun ein nichthermitescher Hamiltonoperator Hˆ = − ~ 2 2m ∆ + ReV (x) + i ImV (x) (2.8) in Ortsdarstellung. Die zugeho¨rige Kontinuita¨tsgleichung lautet ∂ ∂t |ψ(x, t)|2 + div j(x, t) = 2 ~ |ψ(x, t)|2 ImV (x). (2.9) Fu¨r ein rein reelles Potential verschwindet die rechte Seite von Gleichung (2.9) und man erha¨lt die Kontinuita¨tsgleichung (2.6). Somit ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in nichthermiteschen Systemen im Gegensatz zu hermiteschen Systemen nicht erhalten. Gleichung (2.9) erlaubt daher eine physikalische Interpretation eines komplexen Potenti- als: Ein positiver Imagina¨rteil beschreibt eine Quelle fu¨r die Aufenthaltswahrscheinlich- keit, ein negativer Imagina¨rteil hingegen eine Senke. Folglich ist mit dem Formalismus der PT -Symmetrie eine elegante Beschreibung offener Systeme mo¨glich. 12 2.2. Bose-Einstein-Kondensat in einem PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential Abbildung 2.1.: Bose-Einstein-Kondensat in einem PT -symmetrischen Doppelmulden- potential (Darstellung nach [34]) als offenes Quantensystem. Teilchen werden links mit der Rate γ eingekoppelt und rechts mit derselben Rate ausgekoppelt (balanced gain and loss). An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass in der PT -symmetrischen Quantenmecha- nik Hermitizita¨t im Allgemeinen nicht gegeben ist, da die Forderung nach PT -Symmetrie schwa¨cher ist als die Forderung nach Hermitizita¨t. Damit sind auch die Eigenschaften, die aus der Hermitizita¨t folgen, nicht mehr gegeben. So kann beispielsweise der Ha- miltonoperator komplexe Eigenwerte besitzen und die Norm eines Zustands muss im Allgemeinen nicht mehr erhalten sein, da keine unita¨re Zeitentwicklung vorliegen muss. 2.2. Bose-Einstein-Kondensat in einem PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential In optischen Systemen ist es bereits gelungen, PT -Symmetrie experimentell zu realisie- ren [9, 10]. Ein entsprechendes Experiment zur Realisierung von PT -Symmetrie in einem Quantensystem steht aber noch aus. Ein Vorschlag fu¨r ein Quantensystem, in welchem dies gelingen ko¨nnte, ist ein Bose-Einstein-Kondensat in einem optischen Doppelmulden- potential mit ausgeglichenem Gewinn und Verlust [11]. In diesem Abschnitt wird dieses System in der Mean-Field-Beschreibung [15] eingefu¨hrt. Es liegt allen Betrachtungen in dieser Arbeit zugrunde. Das betrachtete System (siehe Abbildung 2.1) stellt ein offenes Quantensystem dar: In die linke Mulde werden Teilchen eingekoppelt, in der rechten Mulde werden Teilchen ausgekoppelt. Der Gewinn und Verlust von Teilchen in den jeweiligen Mulden kann durch Verwendung von komplexen Potentialen modelliert werden [35]. Der Parameter γ charakterisiert dabei die Einkopplungs- bzw. Auskopplungsrate und ist eine reelle Zahl. Sie soll hier positiv angenommen werden; ein negatives Vorzeichen wu¨rde ein Vertauschen 13 2. PT -symmetrische Quantensysteme der beiden Mulden bewirken. Um ein PT -symmetrisches System zu erhalten, muss nach Gleichung (2.5) die Einkopplungsrate gleich der Auskopplungsrate sein. Die Bosonen ko¨nnen durch die Barriere zwischen den beiden Mulden tunneln, was durch die Tunnelrate J beschrieben wird, welche mit der Ho¨he der Barriere zusammen- ha¨ngt. J wird positiv und reell gewa¨hlt und um Vergleichbarkeit mit anderen Arbeiten [15, 19, 26, 27, 30] zu gewa¨hrleisten, wird J = 1 gesetzt. Die Dynamik eines Bose-Einstein-Kondensats in einem Potential V kann fu¨r tiefe Temperaturen im Rahmen eines Mean-Field-Ansatzes durch eine nichtlineare Schro¨din- gergleichung, der sogenannten Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE), beschrieben werden [15]: i~ ∂ψ(x, t) ∂t = [ − ~ 2 2m ∆ + V (x, t) + g|ψ(x, t)|2 ] ψ(x, t). (2.10) Der Parameter g bezeichnet die makroskopische Wechselwirkungssta¨rke, wobei g < 0 eine anziehende Wechselwirkung und g > 0 eine abstoßende Wechselwirkung beschreibt, und ha¨ngt mit der s-Wellenstreula¨nge a und der Masse m der Teilchen zusammen u¨ber g = 4pi~2a/m. Sind die Mulden tief genug, so kann eine Zweimodenna¨herung der GPE verwendet werden [15]. Es ergibt sich eine PT -symmetrische Gross-Pitaevskii-Gleichung, die sich in Matrixform darstellen la¨sst als i ∂ ∂t ( ψ1 ψ2 ) = ( g|ψ1|2 + iγ −J −J g|ψ2|2 − iγ )( ψ1 ψ2 ) . (2.11) Der Mean-Field-Zustand des Systems (2.11) wird durch einen Vektor ψ = (ψ1, ψ2) T mit der Mean-Field-Wellenfunktion ψi in der Mulde i charakterisiert. Die Anzahl der Teilchen ni in der Mulde i ist durch das Betragsquadrat ni = |ψi|2 gegeben. An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass in Gleichung (2.11) das reduzierte Planck- sche Wirkungsquantum ~ gleich eins gesetzt wurde. Diese Konvention soll in der gesam- ten Arbeit beibehalten werden. Die Lo¨sungen der zeitunabha¨ngigen Gross-Pitaevskii-Gleichung (2.11) werden in den folgenden Kapiteln fu¨r die Ermittlung von Startwerten fu¨r die Dynamikrechnungen beno¨- tigt. Sie sind in Anhang A dargestellt. Hier findet sich auch ein Bifurkationsdiagramm, welches die Lo¨sungsstruktur aufzeigt und Bereiche PT -symmetrischer Lo¨sungen und PT -brechender Lo¨sungen trennt. Die Dynamik der PT -brechenden Lo¨sungen wird in Kapitel 5 dieser Arbeit untersucht. 2.3. Grundlegende Idee: Einbettung in ein hermitesches Viermuldensystem Das Zweimodenmodell (2.11) fu¨r ein Bose-Einstein-Kondensat stellt ein offenes System dar und ist nichthermitesch. Um eine experimentelle Realisierung eines PT -symmetri- schen Quantensystems zu ermo¨glichen, kann ein hermitesches System konstruiert werden, 14 2.3. Grundlegende Idee: Einbettung in ein hermitesches Viermuldensystem Abbildung 2.2.: Einbettung des offenen Zweimuldensystems (rechts) in ein hermitesches Viermuldensystem (links). Die vier freien, reellen Parameter J12, J34, 1 und 4 im Viermuldensystem sollen zeitlich so variiert werden, dass die Dynamik der inneren beiden Mulden des Viermuldensystems identisch mit der Dynamik des offenen Zweimuldensystems ist. wobei sich ein Teil dieses hermiteschen Systems wie das offene Quantensystem verha¨lt, welches, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, PT -Symmetrie aufweist. Die Idee von Kreibich et al. [30–32] ist es nun, die Dynamik des offenen, nichthermiteschen Zweimul- densystems durch Einbettung in ein gro¨ßeres, aber hermitesches Systems zu simulieren. Dies kann bereits unter Verwendung zweier zusa¨tzlicher Mulden, die als Teilchenreser- voir dienen, erreicht werden [30] (siehe Abbildung 2.2). Dazu wird das offene Zweimul- densystem in ein hermitesches Viermuldensystem eingebettet, die Dynamik des offenen Zweimuldensystems (links in Abbildung 2.2) soll dabei identisch sein mit der Dynamik der inneren Mulden des Viermuldensystems (rechts in Abbildung 2.2). Im offenen Zweimuldensystem werden Teilchen auf der einen Seite ein-, auf der ande- ren Seite ausgekoppelt. Dies wird durch den positiven bzw. negativen Imagina¨rteil des Potentials beschrieben. Das Viermuldensystem besitzt vier freie, reelle Parameter, durch welche dieses Verhalten eingestellt werden kann, na¨mlich die Tunnelraten J12 und J34 und die Gitterpunktenergien (Onsite-Energien) 1 und 4. Diese vier Kontrollparame- ter werden zeitlich so variiert, dass die inneren beiden Mulden des Viermuldensystems dieselbe Dynamik aufweisen wie die Mulden des offenen Zweimuldensystems. Die Kopplung der inneren Mulden 2 und 3 (im Folgenden auch als Systemmulden oder eingebettete Mulden bezeichnet) an die a¨ußeren Mulden 1 und 4 (im Folgenden auch Reservoirmulden) erfolgt durch Tunnelprozesse, welche durch die Tunnelraten J12 und J34 beschrieben werden. Diese fu¨hren zu einem Tunnelstrom zwischen den Mul- den. Durch zeitliche Anpassung der Tunnelraten lassen sich so Stro¨me erzeugen, die zu PT -symmetrischen Zusta¨nden in den inneren beiden Mulden fu¨hren [30, 34]. Um PT -Symmetrie in den inneren beiden Mulden zu erreichen, muss nach Gleichung (2.5) 2 = 3 gelten. Es soll im Folgenden 2 = 3 = 0 angenommen werden, d.h. die inneren beiden Mulden markieren den energetischen Nullpunkt. Die Tunnelrate J23 zwischen den Mulden 2 und 3 soll der Tunnelrate im offenen Zweimuldensystem entsprechen und frei 15 2. PT -symmetrische Quantensysteme wa¨hlbar sein, d.h. es ist J23 = J = 1 nach der Konvention aus Abschnitt 2.2. Das hier eingefu¨hrte Viermuldensystem soll Gegenstand der vorliegenden Arbeit sein. Es existieren mehrere mo¨gliche Ansa¨tze zur Beschreibung dieses Systems: Zum einen kann das System mithilfe einer Mean-Field-Na¨herung beschrieben werden, bei der die Wechselwirkung zwischen den Teilchen durch ein a¨ußeres Feld ersetzt wird, welches den Einfluss aller Teilchen auf das Verhalten des Gesamtsystems beschreibt. Dies entspricht einer Einteilchenbeschreibung, die Dynamik wird durch die Mean-Field-Wellenfunktion ψ wiedergegeben. Zum anderen, und darauf soll der Fokus in dieser Arbeit liegen, kann ei- ne daru¨ber hinausgehende Vielteilchenbeschreibung verwendet werden, mit welcher auch Vielteilcheneffekte beru¨cksichtigt werden ko¨nnen. Ziel ist es, eine Methode zu finden, mit der das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Vielteilchensystem simuliert werden kann. Im folgenden Kapitel soll nun die Mean-Field-Beschreibung des Systems eingefu¨hrt werden. Das Mean-Field-Verhalten des Viermuldensystems wurde bereits in zahlreichen Arbeiten untersucht [30, 32–34, 36], weshalb hier nur die Aspekte zusammengefasst wer- den sollen, die fu¨r die vorliegende Arbeit relevant sind. 16 3. Mean-Field-Beschreibung des Viermuldensystems In diesem Kapitel wird die Mean-Field-Beschreibung des Viermuldensystems auf Grund- lage der Gross-Pitaevskii-Gleichung eingefu¨hrt. Genau genommen stellt die Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensats in einem Potential ein Vielteilchenproblem dar, jedoch liefert die Mean-Field-Beschreibung bei tiefen Temperaturen und großen Teilchenzahlen eine gute Na¨herung [17, 19]. In [30] wurde gezeigt, dass durch Vergleich der Dynamik der Mulden des offenen Zweimuldensystem mit der Dynamik der inneren beiden Mulden des Viermuldensystems Gleichungen fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Mean-Field hergeleitet werden ko¨nnen. Werden die Kontrollparameter zeitlich entsprechend gewa¨hlt, so la¨sst sich in den inneren beiden Mulden PT -Symmetrie realisieren. In Abschnitt 3.1 wird das 4×4-Matrixmodell zur Beschreibung des Viermuldensystems eingefu¨hrt und in Abschnitt 3.2 wird eine Zusammenfassung der Herleitung der Zeitab- ha¨ngigkeiten der Kontrollparameter gegeben. Diese Gleichungen werden spa¨ter in der Arbeit dazu verwendet, um zu zeigen, dass sich auch die PT -brechenden Eigenzusta¨nde des Zweimodenmodells in einem hermiteschen Viermuldensystem realisieren lassen. 3.1. 4× 4-Matrixmodell Die Gross-Pitaevskii-Gleichung fu¨r das in Abschnitt 2.3 eingefu¨hrte Viermuldensystem la¨sst sich in einem 4 × 4-Modell zusammenfassen. Fu¨r die Dynamik des Systems im Mean-Field ergibt sich i ∂ ∂t  ψ1 ψ2 ψ3 ψ4  =  g1|ψ1|2 + 1 −J12 0 0 −J12 g2|ψ2|2 + 2 −J23 0 0 −J23 g3|ψ3|2 + 3 −J34 0 0 −J34 g4|ψ4|2 + 4   ψ1 ψ2 ψ3 ψ4  . (3.1) Damit das Verhalten des offenen Zweimuldensystems (2.11) durch das Viermuldensys- tem simuliert werden kann, ist es, wie schon erwa¨hnt, no¨tig, dass die Kontrollparameter J12, J34, 1 und 4 zeitabha¨ngig sind. Die Zeitabha¨ngigkeiten der Gro¨ßen wurde in Glei- chung (3.1) und wird im Folgenden der U¨bersichtlichkeit halber unterdru¨ckt. Fu¨r das Zweimuldensystem gibt die Gross-Pitaevskii-Gleichung (2.11) die Dynamik wieder. Damit nachher ein Vergleich der Gleichungen (2.11) und (3.1) leichter fa¨llt, soll 17 3. Mean-Field-Beschreibung des Viermuldensystems Gleichung (2.11) hier nochmals mit der Bezeichnung der Indizes im Viermuldensystem angegeben werden: i ∂ ∂t ( ψ2 ψ3 ) = ( g|ψ2|2 + iγ −J23 −J23 g|ψ3|2 − iγ )( ψ2 ψ3 ) . (3.2) Damit ein PT -symmetrisches System vorliegt, muss das Potential die Gleichungen (2.5) erfu¨llen. Fu¨r den Hamiltonoperator in Gleichung (3.1) bedeutet das, dass 2 = 3 = 0 gelten muss. Der Einfachheit halber wird im Folgenden die Annahme getroffen, dass g1 = g2 = g3 = g4 ≡ g. An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass kein Hamiltonoperator zur separaten Beschreibung der inneren Mulden des Viermuldensystems existiert, da die Reservoir- mulden durch die Tunnelprozesse, beschrieben durch die Tunnelraten J12 und J34, an die Systemmulden koppeln. Im Folgenden soll nun die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollpa- rameter diskutiert werden. 3.2. Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Mean-Field Ziel ist es nun, dass die inneren beiden Mulden des Viermuldensystems (3.1) dieselbe Dynamik aufweisen wie die Mulden des offenen Systems in Gleichung (3.2). Dazu werden die Parameter des optischen Viermuldenpotentials zeitlich variiert, also ist die Zeitab- ha¨ngigkeit der freien Parameter J12, J34, 1 und 4 zu bestimmen. Der folgende Abschnitt orientiert sich an [33] und gibt eine Zusammenfassung der Herleitung der Zeitabha¨ngig- keit der Kontrollparameter1. Besonderes Augenmerk soll dabei auf die Annahmen, die in diese Herleitung eingehen, gelegt werden, da in Kapitel 6 neue Zeitabha¨ngigkeiten formuliert werden, die auf anderen Annahmen beruhen. Die Gleichungen, die spa¨ter in dieser Arbeit hergeleitet werden, erlauben es, im Vielteilchensystem mehr Nebenbedin- gungen zu erfu¨llen als die in diesem Kapitel vorgestellten Gleichungen und neben der Dynamik reiner Anfangszusta¨nde auch die Zeitentwicklung unreiner Anfangszusta¨nde im System zu bestimmen. Beziehungen zwischen den Phasen Die Mean-Field-Wellenfunktion in Mulde i la¨sst sich eindeutig durch die Teilchenzahl ni und die zugeho¨rige Phase ϕi festlegen und la¨sst sich darstellen als ψi(t) = √ ni(t)e iϕi(t). (3.3) Wird nun die Dynamik der Wellenfunktionen der inneren beiden Mulden des Viermulden- systems mit derjenigen des offenen Zweimuldensystems verglichen, d.h. wird gefordert, 1In [33] wurde fu¨r den Freiheitsgrad, der in [30] auftritt, eine spezielle Wahl getroffen. Das Vorhan- densein eines Freiheitsgrades wird in Kapitel 6 nochmals aufgegriffen und diskutiert. 18 3.2. Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Mean-Field dass i ∂ ∂t ψ2,M=2 ! = i ∂ ∂t ψ2,M=4 (3.4a) und i ∂ ∂t ψ3,M=2 ! = i ∂ ∂t ψ3,M=4 (3.4b) gelten sollen, so folgen mit Gleichung (3.3) die Relationen ϕ1 − ϕ2 = −pi 2 (3.5a) und ϕ4 − ϕ3 = pi 2 . (3.5b) Dies bedeutet, dass die Phasendifferenzen zwischen den Mulden 1 und 2 bzw. 3 und 4 zeitlich konstant den Wert −pi/2 bzw. pi/2 besitzen mu¨ssen, d.h. es existiert eine feste Phasenbeziehung. Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten Nun sollen zuerst die Zeitabha¨ngigkeiten der Tun- nelraten bestimmt werden. Dazu wird gefordert, dass sich die zeitliche A¨nderung der Besetzungszahlen n2 und n3 der inneren Mulden im offenen System und im hermite- schen System gleich verhalten sollen, d.h. es soll gelten i ∂ ∂t n2,M=2 ! = i ∂ ∂t n2,M=4, (3.6a) i ∂ ∂t n3,M=2 ! = i ∂ ∂t n3,M=4. (3.6b) Aus den Forderungen (3.6) folgen unter Verwendung der Gleichungen (3.2) und (3.1) direkt Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Tunnelraten. Sie lauten J12 = 2γn2 j˜12 (3.7a) und J34 = 2γn3 j˜34 , (3.7b) wobei die reduzierte Stromdichte j˜kl = i (ψ ∗ l ψk − ψ∗kψl) (3.8) eingefu¨hrt wurde. Es wird dabei die von Kreibich [34] eingefu¨hrte Notation verwendet. In dieser Notation ist der Strom jkl von Mulde k zu Mulde l gegeben durch jkl = iJkl (ψlψ ∗ k − ψ∗kψl) = j˜klJkl = −jlk. (3.9) Die Definition (3.8) wird spa¨ter zur Beschreibung des Vielteilchensystems verallgemei- nert. 19 3. Mean-Field-Beschreibung des Viermuldensystems Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien Ebenfalls in Anlehnung an [34] sollen Korre- lationen zwischen den Mulden k und l mit ckl bezeichnet werden und sind gegeben durch ckl = ψ ∗ kψl + ψkψ ∗ l . (3.10) Wertet man die Korrelationen (3.10) fu¨r die Mean-Field-Wellenfunktion (3.3) aus, so erha¨lt man fu¨r die Korrelationen zwischen jeweils einer Reservoirmulde und einer inneren Mulde unter Verwendung von Gleichung (3.5) c12 = 2 √ n1n2 cos(ϕ1 − ϕ2) (3.5)= 0 (3.11a) und c34 = 2 √ n3n4 cos(ϕ3 − ϕ4) (3.5)= 0, (3.11b) d.h. die Korrelationen c12 und c34 mu¨ssen verschwinden, wenn fu¨r die Phasendifferenzen die Gleichungen (3.5) erfu¨llt sein sollen. Dass die Gleichungen (3.11) erfu¨llt sind, kann durch eine entsprechende Wahl des Anfangszustands sichergestellt werden, d.h. der An- fangszustand muss so gewa¨hlt werden, dass c12(0) = 0 und c34(0) = 0 gelten. Nun sollen fu¨r die Phasendifferenzen fu¨r alle Zeiten t die Gleichungen (3.5) gelten und somit die Re- lationen (3.11) fu¨r alle t erfu¨llt sein, d.h. es muss gefordert werden, dass die Ableitungen der Gleichungen (3.11) nach der Zeit ebenfalls verschwinden: ∂ ∂t c12(t) ! = 0, (3.12a) ∂ ∂t c34(t) ! = 0. (3.12b) Einsetzen von Gleichung (3.1) fu¨hrt schließlich auf die Ausdru¨cke 1 = −J23 j˜13 j˜12 − (g1n1 − g2n2) (3.13a) und 4 = −J23 j˜24 j˜34 − (g4n4 − g3n3) (3.13b) fu¨r die Onsite-Energien. Es soll angemerkt werden, dass die Gleichungen (3.7) und (3.13) nur im Rahmen der Mean-Field-Beschreibung gelten. In Abschnitt 4.2.5 werden entspre- chende Ausdru¨cke fu¨r das Vielteilchensystem angegeben. Anfangsbedingungen Die Gleichungen (3.2) sowie (3.1) stellen partielle Differential- gleichungen dar, fu¨r deren Lo¨sung Anfangsbedingungen beno¨tigt werden. Um PT -Sym- metrie in der Dynamik zu erreichen, muss schon der Anfangszustand PT -symmetrisch 20 3.2. Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Mean-Field sein. Im Viermuldensystem lassen sich ∂ ∂t c23 und ∂ ∂t j˜23 mithilfe von Gleichung (3.1) schrei- ben als ∂ ∂t j˜23 = (2J23 + gc23) (n2 − n3) (3.14a) und ∂ ∂t c23 = −gj˜23 (n2 − n3) . (3.14b) Die PT -symmetrische Lo¨sung des offenen Zweimodenmodells liegt dann vor, wenn n2 = n3 = n gilt (siehe Anhang A), d.h. mit den Gleichungen (3.14) folgen ∂ ∂t j˜23 = 0 und ∂ ∂t c23 = 0. Ist zur Anfangszeit t = 0 also Gleichbesetzung und PT -Symmetrie gegeben, so a¨ndern sich die Gro¨ßen n2, n3, j˜23 und c23 auch in der Dynamik des Viermulden- systems nicht. Die Anfangszusta¨nde in den inneren beiden Mulden sind dann durch die stationa¨ren Lo¨sungen (A.12) des Zweimuldensystems gegeben und der Anfangszustand ψ(0) zur Berechnung der Dynamik des Viermuldensystems lautet unter Verwendung von Gleichung (3.5) ψ(0) =  ψ1(0) ψ2(0) ψ3(0) ψ4(0)  =  √ n1(0)e i(ϕs,g(0)−pi2 )√ n(0)eiϕs,g(0)√ n(0)e−iϕs,g(0)√ n4(0)e −i(ϕs,g(0)−pi2 )  (3.15) mit ϕs,g(0) = −1 2 arcsin (γ J ) , (3.16) wobei der Index s die symmetrische Lo¨sung bezeichnet und der Index g den Grundzu- stand. Die Anfangsbesetzungen n1(0) und n4(0) der Reservoirmulden lassen sich dabei frei wa¨hlen, ebenso wie die Besetzung n(0) in den inneren beiden Mulden. Es la¨sst sich also festhalten, dass im Mean-Field mithilfe der Zeitabha¨ngigkeiten (3.7) und (3.13) der Kontrollparameter und des Anfangszustands (3.15) PT -Symmetrie in den inneren beiden Mulden des Viermuldensystems realisiert werden kann. Die Mean- Field-Dynamik des PT -symmetrischen Zustands (3.15) ist in Anhang B dargestellt, außerdem werden an dieser Stelle auch analytische Lo¨sungen fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparameter gegeben. An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass die Eigenzusta¨nde (A.12) auf die Anzahl der Teilchen im System normiert sind, wohingegen in Gleichung (3.15) direkt die An- fangsbesetzung n(0) eingeht. Die Normierung hier nicht zu verwenden hat spa¨ter bei der Betrachtung des Vielteilchensystems den Vorteil, dass die Teilchenzahl in den einzelnen Mulden direkt festgelegt werden kann. In den numerischen Ergebnissen in Kapitel 5 wird im Nachhinein aber wieder auf die Teilchenzahl in den inneren beiden Mulden normiert, sodass sich die Resultate leicht mit Ergebnissen anderer Arbeiten vergleichen lassen. 21 4. Vielteilchenbeschreibung Die in Kapitel 3 eingefu¨hrte Mean-Field-Beschreibung des Viermuldensystems beru¨ck- sichtigt keine Vielteilcheneffekte. Das System stellt aber ein Vielteilchensystem dar, in dem Vielteilcheneffekte eine Rolle spielen. Folglich ist eine Vielteilchenbeschreibung zur Erfassung aller auftretenden Effekte notwendig. Um spa¨ter u¨ber die Mean-Field- Na¨herung hinausgehen zu ko¨nnen, werden in diesem Kapitel die Grundlagen fu¨r ei- ne Vielteilchenbeschreibung gelegt. In Abschnitt 4.1 wird das Bose-Hubbard-Modell, welches zur Beschreibung von Bosonen in optischen Gittern verwendet werden kann, eingefu¨hrt. Da der korrespondierende Hilbertraum rasch mit der Teilchenzahl wa¨chst (siehe Gleichung (4.4)), empfiehlt sich die Verwendung von Na¨herungsmethoden zur Be- stimmung der Vielteilchendynamik. In dieser Arbeit wird die Bogoliubov-Backreaction- Methode verwendet, die in Abschnitt 4.2 diskutiert wird. Am Ende dieses Kapitels wird auf die Bestimmung der Kontrollparameter im Vielteilchensystem eingegangen. 4.1. Bose-Hubbard-Modell mit zeitabha¨ngigen Parametern Das Bose-Hubbard-Modell wurde von Jaksch et al. [37] zur Beschreibung ultrakalter Bosonen in optischen Gittern eingefu¨hrt und von experimenteller Seite [38–41] erfolgreich untersucht. Der Hamiltonoperator des Bose-Hubbard-Modells kann ausgehend vom Hamiltonope- rator fu¨r wechselwirkende Bosonen in zweiter Quantisierung hergeleitet werden. Die Feld- operatoren werden dazu in einer Basis bestehend aus Wannier-Funktionen entwickelt und es wird dabei verwendet, dass bei tiefen Temperaturen die s-Wellenstreuung dominiert. Fu¨r eine ausfu¨hrliche Herleitung sei auf [37] verwiesen. In dieser Arbeit wird ein dynamisches Bose-Hubbard-Modell mit zeitabha¨ngigen Pa- rametern verwendet, da die Parameter zur Realisierung von PT -Symmetrie eine Zeitab- ha¨ngigkeit aufweisen mu¨ssen, was bereits am Mean-Field-Grenzfall deutlich wurde. Der Hamiltonian des dynamischen Bose-Hubbard-Modells hat also die Form HˆBH = − ∑ 〈m,m′〉 Jm,m′(t)aˆ † maˆm′ + 1 2 ∑ m Umnˆm (nˆm − 1) + ∑ m m(t)nˆm, (4.1) wobei aˆ†m den Erzeugungsoperator bezeichnet und ein Boson am Gitterplatz m erzeugt und aˆm den Vernichtungsoperator darstellt und ein Boson am Gitterplatz m vernichtet. 23 4. Vielteilchenbeschreibung Der Operator nˆm bezeichnet den Besetzungszahloperator mit nˆm = aˆ † maˆm und liefert die Anzahl der Teilchen am Gitterplatz m. Da Bosonen ununterscheidbar sind und sich bei genu¨gend tiefen Temperaturen im niedrigsten Bloch-Band befinden, wird ein Zustand vollsta¨ndig durch die Anzahl der Teilchen in den einzelnen Mulden charakterisiert. Fu¨r eine Vielteilchenbeschreibung bietet sich daher die Verwendung einer Fock-Basis an, fu¨r vier Mulden ist ein Basiszustand |n1, n2, n3, n4〉 festgelegt u¨ber die Besetzungszahlen ni mit i = 1, . . . , 4 in den vier Mulden. Die Wirkung der Operatoren lautet dann aˆ†m| . . . , nm, . . . 〉 = √ nm + 1| . . . , nm + 1, . . . 〉 (4.2a) und aˆm| . . . , nm, . . . 〉 = √nm| . . . , nm − 1, . . . 〉. (4.2b) Fu¨r die Operatoren (4.2) gelten die bosonischen Vertauschungsrelationen [aˆk, aˆ † l ] = δkl, (4.3a) [aˆk, aˆl] = 0 (4.3b) und [aˆ†k, aˆ † l ] = 0. (4.3c) Der erste Term in Gleichung (4.1) beschreibt das Tunneln eines Bosons von einem Gitterplatz auf den Benachbarten. Die Tunnelrate zwischen den Mulden k und l wird mit Jkl bezeichnet. Es wird nur u¨ber benachbarte Gitterpla¨tze summiert, d.h. Nicht-na¨chster- Nachbar-Spru¨nge werden vernachla¨ssigt. Die Onsite-Wechselwirkung zwischen mehreren Teilchen am selben Gitterplatz wird durch den zweiten Term beschrieben, wobei U die mikroskopische Kontaktwechselwirkung darstellt. Der dritte Term in Gleichung (4.1) bestimmt schließlich die Onsite-Energie. Die Berechnung der Dimension D des zum Fock-Raum |n1, . . . , nM〉 zugeho¨rigen Hil- bertraums la¨sst sich auf ein einfaches kombinatorisches Problem zuru¨ckfu¨hren und ergibt sich aus der Gesamtteilchenzahl Nges im System und der Anzahl M der Mulden u¨ber D(Nges,M) = ( Nges +M − 1 Nges ) . (4.4) Fu¨r Nges →∞ und Nges M liefert die Betrachtung des fu¨hrenden Terms in Gleichung (4.4) den Ausdruck [33] D(Nges,M) ∼ N (M−1) ges (M − 1)! , (4.5) d.h. fu¨r große Teilchenzahlen wa¨chst der Hilbertraum exponentiell mit der Anzahl der Mulden M und polynomial mit der Gesamtteilchenzahl Nges. Der Hilbertraum wird also schnell sehr groß, was spa¨ter bei der Wahl der numerischen Methoden beru¨cksichtigt 24 4.2. Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung werden muss. Fu¨r das in dieser Arbeit betrachtete Viermuldensystem mit M = 4 er- gibt sich beispielsweise schon fu¨r Nges = 22 Teilchen im Gesamtsystem nach Gleichung (4.4) eine Dimension des Hilbertraums von D = 2300, d.h. zur Reduktion des numeri- schen Aufwands empfiehlt sich die Verwendung von Na¨herungen. Im Folgenden soll die Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung eingefu¨hrt werden. 4.2. Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung Wie schon erwa¨hnt, wa¨chst die Dimension des Hilbertraums rasch mit der Teilchen- zahl (siehe Gleichung (4.4)), weshalb es sich anbietet, eine Na¨herung zur Bestimmung der Vielteilchendynamik zu verwenden. Es wurde dafu¨r die Bogoliubov-Backreaction- Methode nach Anglin und Vardi [42, 43] ausgewa¨hlt, welche bereits fu¨r ein geschlossenes Zweimoden-Bose-Hubbard-System [42, 43], Bose-Hubbard-Ketten [44] und andere Syste- me [45] Anwendung fand. Bei der Auswertung der Dynamik mithilfe der BBR-Methode ha¨ngt der numerische Aufwand nicht von der verwendeten Teilchenzahl ab, sondern die Teilchenzahl geht nur als Parameter in die Berechnung ein. Das Verfahren fu¨hrt auf einen Satz gekoppelter Differentialgleichungen, welche beispielsweise mit Runge-Kutta- Algorithmen integriert werden ko¨nnen. Im Folgenden sollen die Grundlagen dieser Me- thode diskutiert werden. In Unterabschnitt 4.2.1 wird eine a¨quivalente Formulierung des Bose-Hubbard-Modells u¨ber eine BBGKY-Hierarchie gegeben, in Unterabschnitt 4.2.2 wird die Na¨herungsmethode vorgestellt und auf die Wahl der Anfangszusta¨nde und der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter eingegangen. 4.2.1. A¨quivalente Formulierung des Bose-Hubbard-Modells u¨ber eine BBGKY-Hierarchie Mithilfe der Von-Neumann-Gleichung i ∂ ∂t ρˆ = [ Hˆ, ρˆ ] , (4.6) welche die Zeitentwicklung des Dichteoperators ρˆ angibt, und des Hamiltonoperators (4.1) des Bose-Hubbard-Modells la¨sst sich die sogenannte BBGKY-Hierarchie (Bogoliu- bov-Born-Green-Kirkwood-Yvon-Hierarchie) herleiten. Sie beschreibt die volle Vielteil- chendynamik des Systems und stellt ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem mit Nges Ordnungen dar, wobei Nges die Teilchenzahl im Gesamtsystem bezeichnet. Fu¨r das betrachtete System lassen sich die Dichteoperatoren σˆ′kl, σˆ ′ klmn, σˆ ′ klmnrs, ... bei 25 4. Vielteilchenbeschreibung Verwendung einer Fock-Basis darstellen als σˆ′kl = aˆ † kaˆl, (4.7a) σˆ′klmn = aˆ † kaˆ † l aˆmaˆn, (4.7b) σˆ′klmnrs = aˆ † kaˆ † l aˆ † maˆnaˆraˆs (4.7c) ... Die Erwartungswerte dieser Dichteoperatoren sollen mit 〈σˆ′kl〉 = 〈ψ|aˆ†kaˆl|ψ〉 ≡ σ′kl, 〈σˆ′klmn〉 = 〈ψ|aˆ†kaˆ†l aˆmaˆn|ψ〉 ≡ σ′klmn, . . . bezeichnet werden und stellen die Elemente der Dichtematrizen dar. In den Dichteoperatoren (4.7) befinden sich alle Erzeuger auf der linken Seite und alle Vernichter auf der rechten Seite. Um spa¨ter die Dynamik effizient bestimmen zu ko¨nnen (siehe dazu Anhang E.3), empfiehlt es sich, Operatoren zur Beschreibung der Dynamik zu verwenden, in welchen Erzeuger-Vernichter-Paare auftreten. Im Folgenden werden mit σˆ stets Operatoren gekennzeichnet, die Teilchen paarweise erzeugen und vernichten, d.h. es gelten insbesondere σˆkl = aˆ † kaˆl, (4.8a) σˆklmn = aˆ † kaˆlaˆ † maˆn, (4.8b) σˆklmnrs = aˆ † kaˆlaˆ † maˆnaˆ † raˆs. (4.8c) Die zugeho¨rigen Erwartungswerte sollen mit 〈σˆkl〉 = 〈ψ|aˆ†kaˆl|ψ〉 ≡ σkl, 〈σˆklmn〉 = 〈ψ|aˆ†kaˆlaˆ†maˆn|ψ〉 ≡ σklmn, . . . bezeichnet werden. Die Vielteilchenoperatoren (4.8) erge- ben sich aus den Vielteilchendichteoperatoren (4.7) mithilfe der Vertauschungsrelation (4.3a). So la¨sst sich beispielsweise der Zweiteilchenoperator σˆklmn u¨ber σˆklmn = aˆ † kaˆlaˆ † maˆn = σˆ ′ kmln − δlmσˆkn (4.9) aus dem Zweiteilchendichteoperator σˆ′kmln in Gleichung (4.7b) bestimmen. An dieser Stelle soll Folgendes angemerkt werden: Um die Termini so einfach wie mo¨glich zu halten, werden in dieser Arbeit in Anlehnung an [33] die Operatoren (4.8) als Ein-, Zwei-, und Dreiteilchendichteoperatoren bezeichnet und nicht, wie ansonsten u¨blich, die Operatoren (4.7). Analog werden die zugeho¨rigen Erwartungswerte σkl, σklmn und σklmnrs als Elemente der Ein-, Zwei- und Dreiteilchendichtematrizen bezeichnet. Im Folgenden werden nun Bewegungsgleichungen fu¨r die Elemente der Dichtematrizen hergeleitet. Werden die Erzeuger und Vernichter in Gleichung (4.1) durch die Operatoren σˆkl und σˆklmn ersetzt, so fu¨hrt das auf den Hamiltonoperator HˆBH = − ∑ 〈m,m′〉 Jmm′σˆmm′ + 1 2 ∑ m Um (σˆmmmm − σˆmm) + ∑ m mσˆmm, (4.10) 26 4.2. Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung welcher natu¨rlich dieselbe Dynamik wie der Hamiltonoperator (4.1) liefert. Die Dynamik der Einteilchendichtematrix kann mithilfe des Hamiltonoperators (4.10) und der Von- Neumann-Gleichung (4.6) bestimmt werden: i ∂ ∂t 〈σˆkl〉 = 〈[ σˆkl, Hˆ ]〉 . (4.11) Nach Auswertung der Gleichungen (4.11) ergeben sich fu¨r die Einteilchendynamik i ∂ ∂t σkl = Jk−1,kσk−1,l + Jk+1,kσk+1,l − Jl,l−1σk,l−1 − Jl,l+1σk,l+1 − Uk (σkkkl − σkl) + Ul (σklll − σkl)− (k − l)σkl = Zkl − (k − l)σkl, (4.12) wobei die Abku¨rzung Zkl eingefu¨hrt wurde, mit Zkl = Jk−1,kσk−1,l + Jk+1,kσk+1,l − Jl,l−1σk,l−1 − Jl,l+1σk,l+1 − Uk (σkkkl − σkl) + Ul (σklll − σkl) . (4.13) Fu¨r die spa¨tere Verwendung werden an dieser Stelle auch noch die Abku¨rzungen Xkl und Ykl eingefu¨hrt, welche den doppelten Real- bzw. Imagina¨rteil von Zkl darstellen, d.h. Xkl = 2 Re (Zkl) (4.14a) und Ykl = 2 Im (Zkl) . (4.14b) In Gleichung (4.12) kommen neben den Elementen der Einteilchendichtematrix auch Elemente zweiter Ordnung vor, d.h. die Dynamik der Einteilchendichtematrizen koppelt durch den Wechselwirkungsterm an die Dynamik der Zweiteilchendichtematrizen. Die Zeitableitung der Zweiteilchendichtematrix koppelt wiederum an die Dynamik der Drei- teilchendichtematrix. Allgemein la¨sst sich zeigen, dass die m-te Ordnung an die (m+1)-te Ordnung koppelt, was insgesamt die sogenannte BBGKY-Hierarchie [42, 43] ergibt: i ∂ ∂t 〈σˆkl〉 = f (〈σˆkl〉, 〈σˆklmn〉) , (4.15a) i ∂ ∂t 〈σˆklmn〉 = f (〈σˆkl〉, 〈σˆklmn〉, 〈σˆklmnrs〉) , (4.15b) i ∂ ∂t 〈σˆklmnrs〉 = f (〈σˆkl〉, 〈σˆklmn〉, 〈σˆklmnrs〉, 〈σˆklmnrspq〉) (4.15c) ... 27 4. Vielteilchenbeschreibung Die zweite Ordnung dieser Hierarchie soll fu¨r die spa¨tere Verwendung an dieser Stelle explizit angegeben werden. Fu¨r die Dynamik der Elemente zweiter Ordnung ergibt sich i ∂ ∂t σklmn = Jk−1,kσk−1,lmn + Jk+1,kσk+1,lmn − Jl,l−1σk,l−1,mn − Jl,l+1σk,l+1,mn + Jm−1,mσkl,m−1,m + Jm+1,mσkl,m+1,n − Jn,n−1σklm,n−1 − Jn,n+1σklm,n+1 − Uk (σkkklmn − σklmn) + Ul (σklllmn − σklmn)− Um (σklmmmn − σklmn) + Un (σklmnnn − σklmn)− (k − l + m − n)σklmn. (4.16) Bei einer Gesamtteilchenzahl Nges im System besitzt das Gleichungssystem (4.15) Nges Ordnungen, wobei jede Ordnung bei vier Mulden 4η Differentialgleichungen liefert, mit η der Anzahl der Indizes. Die Anzahl der zu lo¨senden gekoppelten Differentialgleichungen steigt mit der Ordnung und somit mit der Gesamtteilchenzahl im System rasch an. Um das Differentialgleichungssystem handhabbar zu machen und ein geschlossenes System zu erhalten, wird die BBGKY-Hierarchie nach einer bestimmten Ordnung m abgeschnitten und die Elemente der Ordnung (m + 1) werden durch die Elemente der niedrigeren Ordnungen gena¨hert. Fu¨r m = 2 fu¨hrt dies auf die sogenannte Bogoliubov-Backreaction- Na¨herung. 4.2.2. Backreaction Die BBGKY-Hierarchie beschreibt die Vielteilchendynamik des Systems vollsta¨ndig und ist a¨quivalent zu einer Beschreibung mit Gleichung (4.1). Eine Na¨herung der vollen Vielteilchendynamik ist durch die BBR-Na¨herung gegeben. Dafu¨r wird die BBGKY- Hierarchie nach der zweiten Ordnung abgeschnitten und die auftretenden Elemente drit- ter Ordnung durch Elemente der ersten und der zweiten Ordnung ausgedru¨ckt. Somit ko¨nnen Zweiteilcheneffekte in der Dynamik beru¨cksichtigt werden, wa¨hrend die in Ka- pitel 3 diskutierte Mean-Field-Theorie nur Einteilcheneffekte einbezieht. Die Elemente der Dreiteilchendichtematrizen in Gleichung (4.16) ko¨nnen na¨herungs- weise als eine Kombination der Elemente der Ein- und Zweiteilchendichtematrizen aus- gedru¨ckt werden [42, 43, 46], was eine ” Backreaction“ darstellt1: σˆklmnrs = σˆklσˆmnrs + σˆrsσˆklmn + σˆmnσˆklrs − 2σˆklσˆmnσˆrs. (4.17) Somit bilden die Gleichungen (4.12) und (4.16) mit (4.17) ein geschlossenes Differential- gleichungssystem fu¨r σkl und σklmn. Fu¨r vier Mulden erha¨lt man auf diese Art und Weise 272 zu lo¨sende gekoppelte Differentialgleichungen. 4.2.3. Symmetrien der BBR-Na¨herung In einem System mit M Mulden liefern die Differentialgleichungen (4.12) M2 und die Differentialgleichungen (4.16) M4 komplexe Gleichungen. Es zeigt sich, dass nicht al- 1Eine Zusammenfassung der Herleitung der Na¨herungsformel (4.17) ist in Anhang C zu finden. Fu¨r eine weiterfu¨hrende Diskussion sei an dieser Stelle auf [42, 43, 46] verwiesen. 28 4.2. Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung le diese Gleichungen unabha¨ngig voneinander sind, sondern dass gewisse Symmetrien existieren. Um spa¨ter den numerischen Aufwand zu reduzieren, sollen diese Symmetrien kurz diskutiert werden. Fu¨r die Elemente der Einteilchendichtematrix gilt offensichtlich σkl = 〈aˆ†kaˆl〉 = 〈aˆ†l aˆk〉∗ = σ∗lk, (4.18) die Diagonalelemente sind u¨berdies rein reell, d.h. es gilt σ∗kk = σkk = nk. Somit verblei- ben M2 reelle Eintra¨ge. Die Elemente zweiter Ordnung erfu¨llen σklmn = 〈aˆ†kaˆlaˆ†maˆn〉 = 〈aˆ†naˆmaˆ†l aˆk〉 = σ∗nmlk, (4.19) außerdem lassen sich unter Verwendung der Vertauschungsrelation (4.3a) zusa¨tzlich die Symmetrien σklmn = σmlkn + σknδml − σmnδkl, (4.20a) σklmn = σknml + σknδml − σklδmn (4.20b) und σklmn = σmnkl + σknδml − σmlδkn (4.20c) finden. Die Symmetrien in den Gleichungen (4.20) sind allerdings nur in der echten Vielteilchendynamik vorhanden, die BBR-Na¨herung bricht diese Symmetrien durch die Na¨herung der Elemente dritter Ordnung. Dieses Verhalten wurde in [47] ausfu¨hrlich untersucht. Sie werden daher nicht bei der Berechnung der Dynamik ausgenutzt, spielen aber dennoch bei der Konstruktion von unreinen Zusta¨nden eine wichtige Rolle. An dieser Stelle bietet es sich an, analog zu [26, 27, 44–46], die Kovarianzen ∆klmn einzufu¨hren, da sich mit ihnen die Symmetrien, die sich mithilfe der Vertauschungsre- lationen ergeben, u¨bersichtlich zusammenfassen lassen. Die Kovarianzen sind gegeben durch ∆klmn = σklmn − σklσmn. (4.21) Zusammen mit den Elementen der Einteilchendichtematix beschreiben die Kovarianzen das System a¨quivalent zur Darstellung mit σklmn. Die Differentialgleichungen (4.16) ko¨n- nen mithilfe der Definition (4.21) fu¨r die Kovarianzen umformuliert werden. Es ergeben sich fu¨r die Dynamik der Kovarianzen die Gleichungen [45, 46] i ∂ ∂t ∆klmn = Jk−1,k∆k−1,lmn + Jk+1,k∆k+1,lmn − Jl,l−1∆k,l−1,mn − Jl,l+1∆k,l+1,mn + Jm−1,m∆kl,m−1,n + Jm+1,m∆kl,m+1,n − Jn,n−1∆klm,n−1 − Jn+1,n∆klm,n+1 − (k − l + m − n − Uk + Ul − Um + Un) ∆klmn − (∆klmn (Ukσkk − Ulσll + Umσmm − Unσnn) + Uk∆kkmnσkl − Ul∆llmnσkl + Um∆klmmσmn − Un∆klnnσmn ) , (4.22) 29 4. Vielteilchenbeschreibung wobei in dieser Darstellung die Na¨herung (4.17) schon enthalten ist. Die Gleichungen (4.12) und (4.22) stellen dann einen zu den Gleichungen (4.12) und (4.16) a¨quivalenten Satz gekoppelter Differentialgleichungen dar. Fu¨r die Kovarianzen lassen sich zwei Symmetrien finden [35]. Die erste Symmetrie lautet, analog zu Gleichung (4.19), ∆klmn = ∆ ∗ nmlk. (4.23) Die zweite Symmetrie gilt wieder nur fu¨r die echte Vielteilchendynamik. Sie la¨sst sich mithilfe der Vertauschungsrelationen (4.3) finden und ergibt sich zu ∆klmn = 〈aˆ†kaˆlaˆ†maˆn〉 − 〈aˆ†kaˆl〉〈aˆ†maˆn〉 = 〈aˆ†maˆnaˆ†kaˆl〉 − δkn〈aˆ†maˆl〉+ δlm〈aˆ†kaˆn〉 − 〈aˆ†maˆn〉〈aˆ†kaˆl〉 = ∆mnkl − δknσml + δlmσkn. (4.24) Die Anzahl der unabha¨ngigen Elemente bestimmt sich folgendermaßen: Außer fu¨r den Fall k = m und l = n la¨sst sich mit der Symmetrie (4.24) zu jedem Element eines finden, welches vom ersten abha¨ngig ist. Fu¨r M2 Elemente gilt k = m und l = n, d.h. (M4 −M2)/2 Kovarianzen lassen sich durch andere Elemente ausdru¨cken. Somit verbleiben unter Ausnutzung der Symmetrie (4.24) M4− (M4−M2)/2 = (M4 +M2)/2 komplexe Elemente. Mithilfe der Symmetrie (4.23) folgt, dass jedes der verbliebenen Elemente entweder reell ist, oder ein komplex konjugiertes Gegenstu¨ck besitzt, d.h. die Anzahl der unabha¨ngigen Elemente reduziert sich auf (M4 +M2)/2 reelle Elemente. Die Anfangswerte, die zur Lo¨sung der Differentialgleichungen (4.12) und (4.16) ver- wendet werden, mu¨ssen die Symmetrien (4.18), (4.19) und (4.20) erfu¨llen. Dies muss insbesondere beachtet werden, wenn man unreine Anfangszusta¨nde wa¨hlen will, was in Kapitel 6 untersucht wird. 4.2.4. Bestimmung von Anfangswerten fu¨r die BBR-Methode Zur Lo¨sung der Differentialgleichungen (4.12) und (4.16) werden Anfangsbedingungen fu¨r die Elemente der Ein- und Zweiteilchendichtematrizen beno¨tigt. Es wird hier ein Vorschlag von Dast [26] aufgegriffen, wobei dazu der Erwartungswert der entsprechen- den Operatoren mit dem Vielteilchenzustand eines reinen Kondensats ausgewertet wird. Man erha¨lt so einen reinen2 Anfangszustand fu¨r das Vielteilchensystem, welcher aus den Mean-Field-Koeffizienten konstruiert wird. In dieser Arbeit wird in Kapitel 6 eine Me- thode entwickelt, geeignete unreine Zusta¨nde fu¨r das Vielteilchensystem zu konstruieren, mit welchen sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimul- densystems in der ersten Ordnung der Hierarchie des Vielteilchensystems realisieren la¨sst. 2Zur in dieser Arbeit verwendeten Definition der Reinheit eines Zustands siehe Anhang D. 30 4.2. Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung Der Mean-Field-Zustand eines Kondensats in einem Bose-Hubbard-System ist gegeben durch M Mean-Field-Koeffizienten ψi mit ψ = (ψ1, . . . , ψM) T , wobei M wieder die An- zahl der Mulden darstellt. Ein reines Kondensat bei einer festen Gesamtteilchenzahl Nges kann als Produkt identischer Einteilchenzusta¨nde dargestellt werden. Der entsprechende Vielteilchenzustand |ψ, Nges〉 ist der Produktzustand |ψ, Nges〉 = 1√ Nges! ( M∑ j=1 ψj aˆ † j )Nges |0〉. (4.25) Wertet man nun den Erwartungswert von aˆ†kaˆl fu¨r das reine Kondensat (4.25) aus, so ergeben sich fu¨r die Anfangswerte der Momente erster Ordnung σkl = 〈ψ, Nges|aˆ†kaˆl|ψ, Nges〉 = Ngesψ∗kψl, (4.26) wobei die Relation aˆk|ψ, Nges〉 = √ Ngesψk|ψ, Nges − 1〉 (4.27) verwendet wurde. Fu¨r die zweiten Momente ergeben sich analog σklmn = 〈ψ, Nges|aˆ†kaˆlaˆ†maˆn|ψ, Nges〉 = 〈ψ, Nges|aˆ†k ( aˆ†maˆl + δlm ) aˆn|ψ, Nges〉 = Nges (Nges − 1)ψ∗kψlψ∗mψn +Ngesδlmψ∗kψn. (4.28) Im folgenden Abschnitt werden nun Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollpa- rameter im Vielteilchensystem gegeben. 4.2.5. Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Vielteilchensystem In Abschnitt 3.2 wurde bestimmt, wie die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter aus- sehen muss, um im Mean-Field in den inneren beiden Mulden PT -Symmetrie zu rea- lisieren. Wie schon erwa¨hnt, gelten die dort bestimmten Gleichungen nur im Rahmen der Mean-Field-Beschreibung. Fu¨r eine Vielteilchenbeschreibung mit der BBR-Methode lassen sich a¨hnliche Gleichungen finden [33]. In Abschnitt 5.2 wird mithilfe der hier dar- gestellten Gleichungen die Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde untersucht. Fu¨r eine ausfu¨hrliche Betrachtung der Herleitung der Zeitabha¨ngigkeiten sei auf [33] verwiesen, hier sollen nur die fu¨r diese Arbeit relevanten Aspekte zusammengefasst werden. Als Vor- bereitung sollen zuerst die Ausdru¨cke (3.8) und (3.10) fu¨r den reduzierten Strom und die Korrelation zwischen den Mulden auf die Vielteilchenbeschreibung verallgemeinert werden. 31 4. Vielteilchenbeschreibung Strom und Korrelation im Vielteilchensystem Die Ausdru¨cke (3.8) und (3.10) fu¨r die reduzierte Stromdichte und die Korrelation ko¨nnen im Vielteilchensystem unter Verwen- dung der Elemente der Einteilchendichtematrix verallgemeinert werden [33]. Im Vielteil- chensystem ergibt sich die reduzierte Stromdichte j˜kl zu j˜kl = −i (σkl − σlk) = 2 Im (σkl) (4.29) und die Korrelation ckl zu ckl = σkl + σlk = 2 Re (σkl) , (4.30) d.h. die Elemente der Einteilchendichtematrix lassen sich schreiben als σkl = 1 2 ( ckl + ij˜kl ) . (4.31) An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass sich die Elemente der Einteilchendichte- matrix im Mean-Field-Grenzfall als Produkt der Mean-Field-Koeffizienten ψi darstellen lassen. Es ist in diesem Fall na¨mlich σkl = ψ ∗ kψl, (4.32) und damit liefern die Gleichungen (4.29) und (4.30) die schon in Abschnitt 3.2 einge- fu¨hrten Ausdru¨cke (3.8) und (3.10). Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten Um die Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten zu be- stimmen, wird, a¨hnlich wie in Abschnitt 3.2, die Dynamik der Besetzungszahlen im of- fenen Zweimuldensystem nach Gleichung (3.2) mit der Dynamik nach Gleichung (4.12) verglichen. Fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Tunnelraten folgen auf diese Art und Weise J12(t) = 2γn2(t) j˜12 (4.33a) und J34(t) = 2γn3(t) j˜34 . (4.33b) Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien Im Vielteilchensystem sind die Phasen ϕi mit i = 1, . . . , 4, anders als im Mean-Field-System, wo sie charakteristische Gro¨ßen darstel- len, nicht definiert. Die Forderungen c12(0) = 0, c34(0) = 0 und auch ∂ ∂t c12 = 0 und ∂ ∂t c34 = 0 lassen sich daher nicht direkt auf das Vielteilchensystem u¨bertragen. Hat man bei t = 0 im Vielteilchensystem allerdings einen reinen (d.h. Mean-Field-artigen) Zustand wie in den Gleichungen (4.26) und (4.28) vorliegen, fu¨r welchen dann wieder c12(0) = 0 und c34(0) = 0 gilt, dann lassen sich dieselben Forderungen stellen wie in Abschnitt 3.2. 32 4.2. Bogoliubov-Backreaction-Na¨herung Wird wieder gefordert, dass die zeitlichen Ableitungen dieser Gro¨ßen verschwinden sol- len, so erha¨lt man fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Onsite-Energien im Vielteilchensystem 1(t) = −J23 j˜13(t) j˜12(t) − U1 ( j˜1112(t) j˜12(t) − 1 ) + U2 ( j˜1222(t) j˜12(t) − 1 ) (4.34a) und 4(t) = −J23 j˜24(t) j˜34(t) + U3 ( j˜3334(t) j˜34(t) − 1 ) − U4 ( j˜3444(t) j˜34(t) − 1 ) . (4.34b) Es wurde dabei, in Analogie zu Gleichung (4.29), die Abku¨rzung j˜klmn = −i (σklmn − σnmlk) = 2 Imσklmn (4.35) verwendet. Die so bestimmten Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparameter werden im Folgenden dazu verwendet, die Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde in der Vielteilchenbeschrei- bung zu untersuchen. 33 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde In diesem Kapitel wird die Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde des offenen Zweimul- densystems im hermiteschen Viermuldensystem sowohl in der Mean-Field-Beschreibung als auch in der Vielteilchenbeschreibung untersucht. In Abschnitt 5.1 wird gezeigt, dass sich diese Zusta¨nde im hermiteschen Viermuldensystem im Mean-Field-Limit mithilfe ei- ner entsprechenden Wahl der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter realisieren lassen. Dazu werden zuna¨chst passende Anfangszusta¨nde ermittelt. Mit diesen wird dann die Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde im Mean-Field numerisch bestimmt und mit der Dynamik des offenen Zweimuldensystems verglichen. In Abschnitt 5.2 wird dies dann in einer Vielteilchenbeschreibung mit der BBR-Methode untersucht, wobei nach einem Vorschlag von Dast [26] reine Anfangszusta¨nde verwendet werden. Es zeigt sich, dass diese Beschreibung fu¨r große Teilchenzahlen in den Mean-Field-Grenzfall u¨bergeht, sich das Verhalten der PT -brechenden Zusta¨nde im Vielteilchensystem auf diese Art und Weise jedoch nicht realisieren la¨sst. Dadurch wird schließlich der in Kapitel 6 verfolgte Ansatz motiviert, bei welchem unreine Anfangszusta¨nde zur Bestimmung der Vielteil- chendynamik verwendet werden. 5.1. Dynamik im Mean-Field In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sich im Mean-Field die PT -brechenden Zusta¨nde (A.19) des offenen Zweimuldensystems in einem hermiteschen Viermuldensystem reali- sieren lassen. Dazu werden in Unterabschnitt 5.1.1 zuna¨chst passende Anfangszusta¨nde bestimmt. Anders als bei der Betrachtung der PT -symmetrischen Zusta¨nde (A.12) und (A.13) la¨sst sich fu¨r die PT -brechenden Zusta¨nde selbst im Mean-Field-Limit im Allge- meinen keine analytische Lo¨sung fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter ange- ben. Fu¨r den Grenzfall einer verschwindenden makroskopischen Kontaktwechselwirkung g la¨sst sich jedoch eine analytische Lo¨sung finden, welche in Unterabschnitt 5.1.3 herge- leitet wird. In Unterabschnitt 5.1.4 wird anschließend die Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde im Mean-Field fu¨r g > 0 numerisch bestimmt. 5.1.1. Anfangszusta¨nde Zuna¨chst sollen passende Anfangszusta¨nde fu¨r die Berechnung der Dynamik gefunden werden, mit welchen sich die PT -brechenden Zusta¨nde (A.19) im Mean-Field realisieren lassen. Bei der Herleitung der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter in Abschnitt 3.2 35 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde wurde keine Annahme u¨ber die Art der Anfangszusta¨nde gemacht; es wurde lediglich eine Mean-Field-Wellenfunktion der Form ψi = √ nie iϕi angesetzt. Die Gleichungen (3.7) und (3.13) fu¨r die Tunnelraten und die Onsite-Energien gelten damit allgemein, sind also auch auf die PT -brechenden Zusta¨nde anwendbar. Bei der Wahl des Anfangszustands muss sichergestellt werden, dass die Bedingungen (3.5) an die Phasendifferenzen erfu¨llt sind. Außerdem mu¨ssen die Anfangswerte in den inneren Mulden identisch mit jenen des offenen Zweimuldensystems sein. Unter Verwen- dung der Gleichungen (3.5) und (A.19) folgen fu¨r die Anfangszusta¨nde zur Berechnung der Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde ψ(0) =  ψ1(0) ψ2(0) ψ3(0) ψ4(0)  =  √ n1(0)e i(ϕa−pi2 )√ n(0) (1 + κ)eiϕa√ n(0) (1− κ)e−iϕa√ n4(0)e −i(ϕa−pi2 )  (5.1) mit der Phase ϕa = 1 2 arctan ( 2γ g ) − pi 2 (5.2) und dem Besetzungszahlungleichgewicht κ mit κ = ± √ 1− J 2( g 2 )2 + γ2 . (5.3) Im offenen Zweimuldensystem spaltet der PT -symmetrische Zustand ho¨herer Energie (angeregter Zustand ψs,e) am Bifurkationspunkt in zwei PT -brechende Zusta¨nde mit κ > 0 und κ < 0 auf (siehe Bifurkationsdiagramm in Abbildung A.1). Abha¨ngig davon, welcher Zweig betrachtet werden soll, muss in Gleichung (5.3) das passende Vorzeichen fu¨r κ gewa¨hlt werden. An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass der Zustand (5.1) nicht, wie der Zustand (A.19) des offenen Zweimuldensystems, auf die Anzahl der Teilchen in den inneren Mul- den normiert ist. Dies hat denselben Grund wie in Abschnitt 3.2: Bei der Berechnung der Dynamik im Vielteilchensystem ist es in der nicht normierten Darstellung einfa- cher, die Teilchenzahl in den einzelnen Mulden festzulegen. Die numerischen Resultate werden, um die Vergleichbarkeit mit anderen Arbeiten zu gewa¨hrleisten, anschließend entsprechend normiert. 5.1.2. Zeitliche A¨nderung der Besetzungszahlen Das Viermuldensystem stellt ein geschlossenes System dar. Daher ist die A¨nderung der Besetzungszahl in einer Mulde i die Summe des Tunnelstroms ji−1,i in die Mulde hinein und des Stroms −ji,i+1 aus der Mulde heraus. Diese A¨nderung der Besetzungszahl muss gleich der A¨nderung der Besetzungszahl im offenen Zweimuldensystem sein. Im offenen 36 5.1. Dynamik im Mean-Field System a¨ndert sich die Besetzungszahl in einer Mulde sowohl durch den Tunnelprozess zwischen den beiden Mulden als auch durch die Kopplung an die Umgebung, welche durch den Imagina¨rteil ±iγ des Potentials beschrieben wird. Betrachtet man die A¨nderung der Besetzungszahlen im Viermuldensystem (links in Gleichung (5.4)) und im Zweimuldensystem (rechts in Gleichung (5.4)), so erha¨lt man ∂ ∂t n1,M=4 = −j12 != −2γn2, (5.4a) ∂ ∂t n2,M=4 = j12 − j23 != 2γn2 − 2γ√n2n3, (5.4b) ∂ ∂t n3,M=4 = j23 − j34 != −2γn3 + 2γ√n2n3 (5.4c) und ∂ ∂t n4,M=4 = j34 ! = 2γn3. (5.4d) Um analytische Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten (3.7) zu finden, mu¨ssen n1(t), n2(t), n3(t) und n4(t) analytisch bekannt sein, fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien (3.13) zusa¨tzlich die Zeitabha¨ngigkeit der Elemente j˜13, j˜12, j˜24 und j˜34. Fu¨r g 6= 0 ist das Differentialgleichungssystem (5.4) nicht geschlossen lo¨sbar, au- ßerdem sind ψ2(t) und ψ3(t) des offenen Zweimuldensystems nicht analytisch zuga¨nglich und somit natu¨rlich auch nicht ψ1(t) und ψ4(t). Fu¨r g = 0 ist es jedoch mo¨glich, eine analytische Lo¨sung fu¨r die Tunnelraten und die Onsite-Energien wie in den Gleichungen (B.4) und (B.5) anzugeben, was im folgenden Abschnitt dargestellt ist. 5.1.3. Grenzfall verschwindender Wechselwirkung, g = 0 In diesem Unterabschnitt wird das Gleichungssystem (5.4) fu¨r den Grenzfall g = 0 gelo¨st und damit analytische Gleichungen fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten und der Onsite-Energien angegeben. Das Gleichungssystem (5.4) ist in diesem Fall geschlossen lo¨sbar, da ψ2(t) und ψ3(t) des offenen Zweimuldensystems fu¨r diesen Fall analytisch bestimmt werden ko¨nnen. Der Hamiltonoperator fu¨r das offene Zweimuldensystem lautet fu¨r den Grenzfall g = 0 nach Gleichung (2.11) Hˆ = ( iγ −J −J −iγ ) = ( −√J2 − γ2 0 0 √ J2 − γ2 ) . (5.5) Fu¨r g = 0 ist der Hamiltonoperator nicht explizit zeitabha¨ngig, die Zeitentwicklung ist daher durch ψ(t) = ψ(0)eiEit/~ gegeben, wobei Ei die Eigenwerte bezeichnen. Die Eigenwerte lassen sich leicht durch Diagonalisierung der Matrix (5.5) oder auf dem in 37 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde Anhang A.1 gezeigten Weg bestimmen. Damit ist die Zeitentwicklung der Wellenfunktion fu¨r g = 0 gegeben durch ψ(0) = ( ψ2(0) ψ3(0) ) e±i √ J2−γ2 =  √1+κ2 eiϕa√ 1−κ 2 e−iϕa  eIm(µt), (5.6) wobei ψ2(0) und ψ3(0) die Eigenzusta¨nde (A.19) der zeitunabha¨ngigen GPE darstellen und µa die zugeho¨rigen Eigenwerte (A.18) bezeichnen. Folglich ist die Zeitabha¨ngigkeit der Wellenfunktion, und damit auch die der Besetzungszahlen, exponentiell. Die Zeitabha¨ngigkeit der Besetzungszahlen la¨sst sich nach den Gleichungen (5.4) ein- fach durch Integration bestimmen. Es folgen die Zeitabha¨ngigkeiten n1(t) = − sgn(κ) γn2(0)√ γ2 − J2 ( e2 sgn(κ) √ γ2−J2t − 1 ) + n1(0), (5.7a) n2(t) = n2(0)e 2 sgn(κ) √ γ2−J2t, (5.7b) n3(t) = n3(0)e 2 sgn(κ) √ γ2−J2t (5.7c) und n4(t) = sgn(κ) γn3(0)√ γ2 − J2 ( e2 sgn(κ) √ γ2−J2t − 1 ) + n4(0). (5.7d) Fu¨r den Grenzfall g = 0 zeigen die Besetzungszahlen in den Systemmulden einen ex- ponentiellen Verlauf, d.h. je nach Vorzeichen von κ werden sie exponentiell gefu¨llt oder geleert. Die Reservoirmulden zeigen ebenfalls ein exponentielles Verhalten und fu¨llen bzw. leeren sich nach den Gleichungen (5.7a) und (5.7d). Der zeitliche Verlauf der Be- setzungszahlen ist in den Abbildungen 5.1(a) (κ > 0) und 5.2(a) (κ < 0) dargestellt. Fu¨r die Zeitableitung von j˜23 und c23 gelten nach den Gleichungen (3.14) fu¨r g = 0 ∂ ∂t j˜23 = 2J23(n2 − n3) (5.8a) und ∂ ∂t c23 = 0. (5.8b) Anders als fu¨r die PT -symmetrischen Zusta¨nde ist der Strom zwischen den Mulden 2 und 3 nicht zeitlich konstant. Fu¨r g = 0 ergibt sich unter Verwendung der Gleichungen (5.7) fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit von j˜23 j˜23(t) = J sgn(κ) √ γ2 − J2 (n2(0)− n3(0)) ( e2 sgn(κ) √ γ2−J2t − 1 ) + √ 1 + κ √ 1− κ. (5.9) Fu¨r die Korrelation c23 erha¨lt man c23(t) = const. = 0. Der zeitliche Verlauf beider Gro¨ßen ist in den Abbildungen 5.1(b) (κ > 0) und 5.2(b) (κ < 0) dargestellt. 38 5.1. Dynamik im Mean-Field Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter Unter Verwendung der Zeitabha¨ngigkeit der Besetzungszahlen (5.7) folgen mit den Gleichungen (3.7) und der Phasendifferenzen (3.5) fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Tunnelraten fu¨r g = 0 J12(t) = γ √ n2(t) n3(t) = √ γn2(0) Imµ e2 Imµt n2(0) (1− e2 Imµt) + n1(0) (5.10a) und J34(t) = γ √ n3(t) n4(t) = √ γn3(0) Imµ e2 Imµt n3(0) (e2 Imµt − 1) + n4(0) . (5.10b) Fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Onsite-Energien folgen mit den Gleichungen (3.13) und (3.5) 1(t) g=0 = −J23 j˜13 j˜12 = −J23 cos(2ϕa) √ n3 n2 (5.2) = 0 (5.11) und 4(t) g=0 = −J23 j˜24 j˜34 = −J23 cos(2ϕa) √ n2 n3 (5.2) = 0, (5.12) d.h. die Onsite-Energien sind zeitlich konstant gleich null. Damit ko¨nnen die PT -bre- chenden Zusta¨nde in den inneren Mulden allein durch zeitliche Anpassung der Tunnel- raten eingestellt und aufrecht erhalten werden. Die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter ist in den Abbildungen 5.1(c) und 5.1(d) (κ > 0) und 5.2(c) und 5.2(d) (κ < 0) dargestellt. Zeitabha¨ngigkeit der Phasen Wertet man die erste Zeile des 4×4-Matrixmodells (3.1) aus und lo¨st nach 1 auf, so erha¨lt man 1(t) = − ∂ ∂t ϕ1(t)− gn1(t). (5.13) Vergleicht man dies mit Gleichung (3.13a), so ergibt sich fu¨r die zeitliche Ableitung von ϕ1 nach der Zeit ∂ ∂t ϕ1(t) = 0, (5.14) d.h. es ist ϕ1(t) = const. = ϕa − pi/2. Auf dieselbe Art und Weise erha¨lt man analog ϕ2(t) = const. = ϕa, ϕ3(t) = const. = −ϕa und ϕ4(t) = const. = −ϕa + pi/2. Folglich sind fu¨r g = 0 die Phasen zeitlich konstant. Die Zeitabha¨ngigkeit der Phasen ist in den Abbildungen 5.1(e) (κ > 0) und 5.2(e) (κ < 0) dargestellt. 39 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde 0.001 0.01 0.1 1 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 c23M=4 j˜23M=4 c23M=2 j˜23M=2 c23M=4 j˜23M=4 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 J12(g = 1, 6) J34(g = 1, 6) J12(g = 0.0) J34(g = 0.0) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Ô1(g = 1.6) Ô4(g = 1.6) Ô1(g = 0.0) Ô4(g = 0.0) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ϕ1M=4 ϕ2M=4 ϕ3M=4 ϕ4M=4 ϕ2M=2 ϕ3M=2 (a) (b) (c) (d) (e) t n1M=4(g = 1.6) n2M=4(g = 1.6) n3M=4(g = 1.6) n4M=4(g = 1.6) n2M=2(g = 1.6) n3M=2(g = 1.6) n1M=4(g = 0.0) n2M=4(g = 0.0) n3M=4(g = 0.0) n4M=4(g = 0.0) t t n i j˜ 2 3, c 2 3 J k l Ô i ϕ i Abbildung 5.1.: Dynamik des Viermulden- (durchgezogene Linien) und des Zweimulden- systems (gepunktet) fu¨r die Systemparameter g = 1.6, γ = 2.0, n = 1, n1(0) = n4(0) = 10 und κ > 0, zum Vergleich analytische Lo¨sung fu¨r g = 0 (gestrichelt). Dargestellt sind (a) die Besetzungszahlen ni, (b) die reduzierte Stromdichte j˜23 und die Korrelation c23, (c) die Tunnelraten J12 und J34, (d) die Onsite-Energien 1 und 4 und (e) die Phasen ϕi in Abha¨ngigkeit der Zeit. Es wurde auf die Teilchenzahl in den inneren Mulden normiert. 40 5.1. Dynamik im Mean-Field 0.001 0.01 0.1 1 10 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 c23M=4 j˜23M=4 c23M=2 j˜23M=2 c23M=4 j˜23M=4 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 J12(g = 1, 6) J34(g = 1, 6) J12(g = 0.0) J34(g = 0.0) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 0 0.5 1 1.5 2 Ô1(g = 1.6) Ô4(g = 1.6) Ô1(g = 0.0) Ô4(g = 0.0) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 ϕ1M=4 ϕ2M=4 ϕ3M=4 ϕ4M=4 ϕ2M=2 ϕ3M=2 (a) (b) (c) (d) (e) t n1M=4(g = 1.6) n2M=4(g = 1.6) n3M=4(g = 1.6) n4M=4(g = 1.6) n2M=2(g = 1.6) n3M=2(g = 1.6) n1M=4(g = 0.0) n2M=4(g = 0.0) n3M=4(g = 0.0) n4M=4(g = 0.0) t t n i j˜ 2 3, c 2 3 J k l Ô i ϕ i Abbildung 5.2.: Dynamik des Viermulden- (durchgezogene Linien) und des Zweimulden- systems (gepunktet) fu¨r die Systemparameter g = 1.6, γ = 2.0, n = 1, n1(0) = n4(0) = 10 und κ < 0, zum Vergleich analytische Lo¨sung fu¨r g = 0 (gestrichelt). Dargestellt sind (a) die Besetzungszahlen ni, (b) die reduzierte Stromdichte j˜23 und die Korrelation c23, (c) die Tunnelraten J12 und J34, (d) die Onsite-Energien 1 und 4 und (e) die Phasen ϕi in Abha¨ngigkeit der Zeit. Es wurde auf die Teilchenzahl in den inneren Mulden normiert. 41 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde 5.1.4. Zeitlicher Verlauf der Systemgro¨ßen Wie in Unterabschnitt 5.1.2 gezeigt wurde, ist es nicht mo¨glich, analytische Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter fu¨r den Fall einer nicht verschwindenden makroskopischen Wechselwirkungssta¨rke g zu finden. In diesem Abschnitt wird anhand numerischer Rechnungen gezeigt, dass sich im Mean-Field-Limit im Viermuldensystem die PT -brechenden Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems realisieren lassen. In Abbildung 5.1 bzw. 5.2 ist die Dynamik des Systems fu¨r die beiden PT -brechenden Zusta¨nde mit κ > 0 bzw. κ < 0 fu¨r die Systemparameter g = 1.6 und γ = 2.0 dar- gestellt1. Fu¨r die Besetzungszahlen wurden n(0) = 1 und n1(0) = n4(0) = 10 gewa¨hlt und anschließend auf die Anzahl der Teilchen in den inneren beiden Mulden normiert, um Vergleichbarkeit mit dem Zweimuldensystem zu gewa¨hrleisten. Zusa¨tzlich sind die analytischen Lo¨sungen fu¨r g = 0 aus Unterabschnitt 5.1.3 dargestellt. Die Dynamik des Zweimuldensystems ist vollsta¨ndig charakterisiert durch die Zeitab- ha¨ngigkeiten n2(t), n3(t), c23(t) und j˜23(t). Die Abbildungen 5.1(a) und 5.1(b) (κ > 0) und 5.2(a) und 5.2(b) (κ < 0) zeigen, dass sich in den inneren Mulden des Viermulden- systems durch die Anpassung der Kontrollparameter mit den Zeitabha¨ngigkeiten (3.7) und (3.13) exakt die Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems einstellen, da der zeitliche Verlauf der Gro¨ßen im Viermuldensystem exakt denen im Zweimuldensystem entspricht. Die zentrale Aussage dieses Abschnitts lautet also: Im Mean-Field-Limit lassen sich die PT -brechenden Zusta¨nde (A.19) des Zweimuldensystems im Viermuldensystem unter Verwendung der Gleichungen (3.7) und (3.13) realisieren. Fu¨r g > 0 entleeren oder fu¨llen sich die beiden inneren Mulden, je nach Vorzeichen von κ, fu¨r kleine t exponentiell. Das System bricht zusammen, wenn die linke Reservoir- mulde entleert ist2. Wie in den Abbildungen 5.1(c) bzw. 5.2(c) dargestellt, divergiert die Tunnelrate J12 sobald sich in der linken Reservoirmulde keine Teilchen mehr befinden, was die Ursache fu¨r den Zusammenbruch darstellt. Je nach Vorzeichen von κ la¨sst sich das System la¨nger (κ < 0) oder ku¨rzer (κ > 0) aufrecht erhalten. In den Abbildungen 5.1(d) bzw. 5.2(d) ist der zeitliche Verlauf der Onsite-Energien dargestellt. Wie schon erwa¨hnt, lassen sich die PT -brechenden Zusta¨nde im Fall einer verschwindenden Wechselwirkung nur mithilfe der Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten ein- stellen, fu¨r g > 0 sind Onsite-Energien, die von null verschieden sind, no¨tig. Daraus folgt, wie in den Abbildungen 5.1(e) bzw. 5.2(e) dargestellt, dass die Phasen fu¨r g = 0 zeitlich konstant sind und fu¨r g > 0 dieselbe Zeitabha¨ngigkeit wie im offenen Zweimuldensys- tem aufweisen. Die Phasendifferenzen besitzen dabei immer den Wert ±pi/2, Spru¨nge zwischen beiden Werten sind mo¨glich. Insgesamt la¨sst sich als Ergebnis dieses Abschnitts festhalten, dass sich unter Verwen- dung der Zeitabha¨ngigkeiten (3.7) und (3.13) fu¨r die Kontrollparameter die Dynamik 1Der Parameter γ ist entsprechend dem Bifurkationsdiagramm A.1 so zu wa¨hlen, dass man sich im Bereich der PT -brechenden Lo¨sungen befindet. 2Man vergleiche dazu die Dynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde des Zweimuldensystems in Ab- bildung B.1. 42 5.2. Dynamik im Vielteilchensystem der PT -brechenden Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Viermuldensystem im Mean-Field realisieren la¨sst. 5.2. Dynamik im Vielteilchensystem In diesem Abschnitt wird die Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde in der Vielteilchen- beschreibung untersucht. Zu deren Berechnung wird dabei die BBR-Na¨herung verwen- det, d.h. fu¨r vier Mulden mu¨ssen die 272 gekoppelten Differentialgleichungen (4.12) und (4.16) numerisch gelo¨st werden. Um dies effizient durchzufu¨hren, wurde die Program- miersprache C++ verwendet, die Integrationen wurden mit einer hinsichtlich dessen op- timierten Fortran-Bibliothek durchgefu¨hrt. Details zur Implementierung sind in Anhang E.1 zu finden. Die in Unterabschnitt 4.2.5 hergeleiteten Gleichungen der Zeitabha¨ngigkeit der Kon- trollparameter im Vielteilchensystem gelten nur fu¨r Mean-Field-artige (d.h. reine) Zu- sta¨nde. Nach einem, auch in Unterabschnitt 4.2.4 verwendeten, Vorschlag von Dast [26] werden als Anfangswerte fu¨r die BBR-Methode der in Gleichung (4.26) dargestellte Aus- druck fu¨r die erste Ordnung und der Ausdruck (4.28) fu¨r die zweite Ordnung gewa¨hlt. Damit die Ergebnisse der Rechnung fu¨r das Vielteilchensystem mit den Ergebnissen im Mean-Field verglichen werden ko¨nnen, ist es no¨tig, den Wert fu¨r die mikroskopische Kontaktwechselwirkung U so zu wa¨hlen, dass zwischen der makroskopischen Wechsel- wirkungssta¨rke g und U der Zusammenhang [26] U = g N2 − 1 (5.15) besteht, wobei N2 die Anzahl der Teilchen in den inneren beiden Mulden bezeichnet. Die Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde im Vielteilchensystem, berechnet mithilfe der BBR-Na¨herung, ist in Abbildung 5.3 fu¨r κ > 0 und in Abbildung 5.4 fu¨r κ < 0 dargestellt. Die verschiedenen Kurven zeigen die Dynamik fu¨r verschiedene Gesamtteil- chenzahlen Nges im System, das Verha¨ltnis zwischen n1(0) = n4(0) und n(0) ist dabei konstant und n1(0)/n(0) = 10, d.h. in den Reservoirmulden befinden sich zum Anfangs- zeitpunkt zehnmal so viele Teilchen wie in den inneren Mulden. Zum Vergleich ist die entsprechende Dynamik im Mean-Field aufgetragen. Es zeigt sich, dass der zeitliche Verlauf der Besetzungszahlen vor allem fu¨r geringe Gesamtteilchenzahlen teilweise stark vom gewu¨nschten Verhalten (gestrichelt in den Ab- bildungen 5.3(a-d) bzw. 5.4(a-d)) abweicht. Ein Vergleich der charakteristischen Gro¨ßen n2(t) und n3(t) (siehe Abbildungen 5.3(b-c) bzw. 5.4(b-c)) und j˜23(t) sowie c23(t) (siehe Abbildungen 5.3(e-f) bzw. Abbildungen 5.4(e-f)) des Viermuldensystems in der Viel- teilchenbeschreibung mit denen des Zweimuldensystems (Mean-Field, gestrichelt) zeigt, dass der zeitliche Verlauf nicht u¨bereinstimmt. Folglich la¨sst sich das Verhalten der PT - brechenden Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Viermulden-Vielteilchensystem auf die oben beschriebene Art und Weise nicht realisieren. 43 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde 0 1 2 3 4 5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 5 5.05 5.1 5.15 5.2 5.25 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 n1(0) = (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) t t 10 20 40 102 103 104 MF n 1 n 2 n 3 n 4 j˜ 2 3 c 2 3 J 12 J 34 Teil 1 von Abbildung 5.3. Beschreibung siehe Seite 45. 44 5.2. Dynamik im Vielteilchensystem 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 −10 −5 0 5 10 −14 −12 −10 −8 −6 −4 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 n1(0) = (i) (j) (k) (l) (m) (n) t t 10 20 40 102 103 104 MF j˜ 1 2 j˜ 3 4 Ô 1 Ô 4 P 2 P 4 Abbildung 5.3.: Dynamik des PT -brechenden Zustands mit κ > 0 im Vielteilchensys- tem, berechnet mit der BBR-Methode, den Anfangswerten (4.26) und (4.28) und den Zeitabha¨ngigkeiten (4.33) und (4.34) der Kontrollpara- meter. Die verschiedenen Kurven zeigen die Dynamik fu¨r verschiedene Gesamtteilchenzahlen Nges im System, mit n1(0) = n4(0) und festem Verha¨ltnis n1(0)/n(0) = 10 zwischen der Teilchenzahl in den Reser- voirmulden zu der Teilchenzahl in Systemmulden. Es sind die Zeitab- ha¨ngigkeiten (a-d) der Besetzungszahlen ni, (e-f) der Elemente j˜23 und c23, (g-h) der Tunnelraten, (i-j) der Elemente j˜12, j˜34, (k-l) der Onsite- Energien und (m-n) der Reinheiten P2 und P4 dargestellt. Teil 1 dieser Abbildung befindet sich auf Seite 44. 45 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.5 1 1.5 2 n1(0) = (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) t t 10 20 40 102 103 104 MF n 1 n 2 n 3 n 4 j˜ 2 3 c 2 3 J 12 J 34 Teil 1 von Abbildung 5.4. Beschreibung siehe Seite 47. 46 5.2. Dynamik im Vielteilchensystem 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 1 2 3 4 5 −15 −10 −5 0 5 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 0.5 1 1.5 2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 0.5 1 1.5 2 n1(0) = (i) (j) (k) (l) (m) (n) t t 10 20 40 102 103 104 MF j˜ 1 2 j˜ 3 4 Ô 1 Ô 4 P 2 P 4 Abbildung 5.4.: Dynamik des PT -brechenden Zustands mit κ < 0 im Vielteilchensys- tem, berechnet mit der BBR-Methode, den Anfangswerten (4.26) und (4.28) und den Zeitabha¨ngigkeiten (4.33) und (4.34) der Kontrollpara- meter. Die verschiedenen Kurven zeigen die Dynamik fu¨r verschiedene Gesamtteilchenzahlen Nges im System, mit n1(0) = n4(0) und festem Verha¨ltnis n1(0)/n(0) = 10 zwischen den Teilchenzahlen in den Reser- voirmulden zu der Teilchenzahl in Systemmulden. Es sind die Zeitab- ha¨ngigkeiten (a-d) der Besetzungszahlen ni, (e-f) der Elemente j˜23 und c23, (g-h) der Tunnelraten, (i-j) der Elemente j˜12, j˜34, (k-l) der Onsite- Energien und (m-n) der Reinheiten P2 und P4 dargestellt. Teil 1 dieser Abbildung befindet sich auf Seite 46. 47 5. Dynamik PT -brechender Zusta¨nde Anders als im Mean-Field bricht das System in der Vielteilchenbeschreibung schon vor der Entleerung der linken Reservoirmulde zusammen (siehe Abbildung 5.3(a) bzw. 5.4(a)). Je geringer die Gesamtteilchenzahl im System, desto kleiner ist der Zeitbereich, in dem das System aufrecht erhalten werden kann. Wie aus den Abbildungen 5.3(g-h) bzw. 5.4(g-h) hervorgeht, divergiert, je nach Ge- samtteilchenzahl, entweder die Tunnelrate J12 (gro¨ßere Gesamteilchenzahlen) oder J34 (kleinere Gesamtteilchenzahlen). Dies ist darauf zuru¨ckzufu¨hren, dass entweder j˜12 (klei- nere Gesamtteilchenzahlen) oder j˜34 (gro¨ßere Gesamtteilchenzahlen) gegen null geht (sie- he Abbildungen 5.3(i-j) bzw. 5.4(i-j)). Aus demselben Grund divergieren auch 1 und 4 (siehe Abbildungen 5.3(k-l) bzw. 5.4(k-l)). Deutlich erkennbar ist, dass die Dynamik fu¨r große Gesamtteilchenzahlen Nges in den Mean-Field-Grenzfall u¨bergeht. Durch den Einfluss der Kontaktwechselwirkung U nimmt die Reinheit des Zustands im Laufe der Zeit ab, wie die Abbildungen 5.3(m-n) bzw. 5.4(m-n) zeigen. Die gewa¨hlten Anfangszusta¨nde (4.26) bzw. (4.28) sind reine Zusta¨nde. Besonders fu¨r geringe Teilchen- zahlen nimmt deren Reinheit schnell ab, was wiederum zur Folge hat, dass die Anpassun- gen (4.34) eigentlich nicht mehr verwendet werden ko¨nnen, da sie nur fu¨r reine Zusta¨nde Gu¨ltigkeit besitzen. Somit erha¨lt man Abweichungen vom gewu¨nschten Verhalten, da die Annahmen, die zu den Gleichungen (4.34) gefu¨hrt haben, schon nach kurzer Zeit nicht mehr erfu¨llt sind. Es zeigt sich, dass die Verwendung reiner Anfangszusta¨nde und daraus folgend auch die Verwendung der Zeitabha¨ngigkeiten (4.34) nicht dazu geeignet sind, das Verhalten des offenen Zweimuldensystems im Vielteilchensystem einzustellen. Als Ergebnis dieses Abschnitts la¨sst sich festhalten, dass sich das Verhalten der PT - brechenden Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Vielteilchensystem mithilfe der Zeitabha¨ngigkeiten (4.33) und (4.34) und reiner Anfangszusta¨nde (4.26) bzw. (4.28) nicht realisieren la¨sst. In [33] wurde auf a¨hnliche Art und Weise versucht, die PT -sym- metrischen Zusta¨nde des Zweimuldensystems im Vielteilchensystem einzustellen. Durch Korrekturen zu den Gleichungen (4.34) la¨sst sich zwar erreichen, dass die Besetzungs- zahlen n2 und n3 und der Strom j23 stationa¨r bleiben, fu¨r die Korrelation c23 la¨sst sich das korrekte Verhalten jedoch nicht mehr erzeugen. Dies legt den Schluss nahe, dass eine vollkommen andere Herangehensweise no¨tig ist, um das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des Zweimuldensystems und auch das der PT -brechenden Zusta¨nde im Vielteilchensystem zu realisieren. Im folgenden Ka- pitel wird eine Methode entwickelt, mit der sich dies fu¨r die PT -symmetrischen Zusta¨nde unter Verwendung unreiner Anfangszusta¨nde und Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollpara- meter, die sich von den bisher verwendeten Gleichungen unterscheiden, erreichen la¨sst. 48 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde In diesem Kapitel wird ein Verfahren vorgestellt, mit dem sich die Dynamik der PT - symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Vielteilchensystem einstel- len la¨sst. In Kapitel 5 wurde gezeigt, dass sich die PT -brechenden Zusta¨nde des offenen Zwei- muldensystems im Vielteilchensystem mithilfe der bisher verwendeten Zeitabha¨ngigkei- ten der Kontrollparameter und reinen Anfangszusta¨nden nicht einstellen lassen, dasselbe gilt fu¨r die PT -symmetrischen Zusta¨nde [33]. In letzterem Fall la¨sst sich im Vielteilchen- system auf diese Art und Weise lediglich die Stationarita¨t der Besetzungszahlen n2 und n3 und die der reduzierten Stromdichte j˜23 erreichen, fu¨r die Korrelation c23 la¨sst sich das gewu¨nschte Verhalten nicht mehr erzeugen. Grob gesagt bedeutet dies, dass eine der vier Bedingungen aufgegeben werden musste. Insgesamt legt dies den Schluss nahe, dass eine vollkommen andere Herangehensweise no¨tig ist, um das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde im Vielteilchensystem zu realisieren. Aufgrund der im Vielteilchensystem vorhandenen Kontaktwechselwirkung stellen reine Zusta¨nde als Anfangszusta¨nde keine ideale Wahl dar. In dieser Arbeit wird daher der Ansatz verfolgt, unreine Anfangszusta¨nde zur Realisierung der Dynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde im Vielteilchensystem zu verwenden. Die Zeitabha¨ngigkeiten (4.34) fu¨r die Onsite-Energien gelten nur fu¨r reine Zusta¨n- de. In Abschnitt 6.1 werden daher zuna¨chst, ausgehend vom Zweimuldensystem in der Mean-Field-Beschreibung, Gleichungen fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter hergeleitet, mit welchen sich auch die Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde bestimmen la¨sst. Die Gleichungen beinhalten auch den Grenzfall reiner Zusta¨nde, der in Abschnitt 6.2 kurz diskutiert wird. Da ein unreiner Zustand sehr viele Freiheitsgrade besitzt, dra¨ngt sich die Frage auf, wie passende physikalische unreine Anfangszusta¨nde konstruiert wer- den ko¨nnen, die in der Dynamik das gewu¨nschte Verhalten zeigen. Dies wird in Abschnitt 6.3 erla¨utert. In Unterabschnitt 6.3.3 wird das wesentliche Vorgehen bei der Implemen- tierung zusammengefasst und Abschnitt 6.4 beinhaltet schließlich eine Diskussion der numerischen Ergebnisse. 6.1. Herleitung der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter Wie schon erwa¨hnt, gelten die Zeitabha¨ngigkeiten (4.34) fu¨r die Onsite-Energien nur fu¨r reine Zusta¨nde, da dies, wie in Unterabschnitt 4.2.5 dargestellt, explizit in deren Herlei- 49 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde tung eingeht. Sofern der betrachtete Anfangszustand im Laufe der Zeit an Reinheit ver- liert, fu¨hrt dies natu¨rlich zu einer Abweichung vom gewu¨nschten Verhalten. Zur Behand- lung unreiner Anfangszusta¨nde sind daher andere Gleichungen no¨tig. Da keine der bis- her diskutierten Ergebnisse weiterhin verwendet werden ko¨nnen, empfiehlt es sich, noch einmal an den Ausgangspunkt zuru¨ckzukehren. Ausgangspunkt zur Bestimmung der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter ist somit das offene Zweimuldensystem in der Mean-Field-Beschreibung. Zur Beschreibung des Viermulden-Vielteilchensystems wird wieder die BBR-Na¨herung verwendet. Im Folgenden wird die Dynamik des offenen Sys- tems in der Mean-Field-Beschreibung mit der Dynamik des Viermuldensystems in der Vielteilchenbeschreibung verglichen, wodurch Terme fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Tun- nelraten und der Onsite-Energien gefunden werden ko¨nnen. 6.1.1. Dynamik der Einteilchendichtematrix im Zweimulden- und Viermuldensystem Ziel ist es weiterhin, dass das offene Zweimuldensystem und die inneren beiden Mulden des Viermuldensystems dieselbe Dynamik aufweisen, d.h. das Verhalten des offenen Sys- tems soll sich durch Hinzunahme der Reservoirmulden simulieren lassen ko¨nnen. Durch Vergleich der Dynamik ko¨nnen Forderungen an die einstellbaren Parameter J12(t) und J34(t), wie auch an 1(t) und 4(t), gestellt werden. Die Dynamik des Vielteilchensystems wird durch die Ein- und Zweiteilchendichte- matrizen beschrieben, die des offenen Zweimuldensystems hingegen durch Mean-Field- Wellenfunktionen. Will man die Dynamik vergleichen, muss man die Dynamik der Ein- teilchendichtematrizen fu¨r das offene System bestimmen. In diesem Abschnitt soll die Dynamik der Einteilchendichtematrizen fu¨r beide Systeme zur spa¨teren Verwendung ex- plizit dargestellt werden. In der BBR-Na¨herung wird die Dynamik in der niedrigsten Ordnung durch die Ein- teilchendichtematrix σkl beschrieben. Im Mean-Field lassen sich deren Koeffizienten als Produkt der Mean-Field-Koeffizienten ψi darstellen, d.h. es ist σkl = ψ ∗ kψl und somit gilt fu¨r die Zeitableitung der Elemente der Einteilchendichtematrix σ˙kl = ψ˙ ∗ kψl + ψ ∗ kψ˙l. (6.1) Grundlage zur Beschreibung der Dynamik des offenen Zweimuldensystems im Mean- Field ist die Gross-Pitaevskii-Gleichung (3.2). Mit ihr ergeben sich fu¨r das offene Zwei- muldensystem σ˙22 = 2γσ22 − 2J23 Im (σ23) , (6.2) σ˙23 = −iJ23 (σ33 − σ22) + igσ23 (|ψ2|2 − |ψ3|2) (6.3) und σ˙33 = −2γσ33 + 2J23 Im (σ23) . (6.4) 50 6.1. Herleitung der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter Dieselben Gro¨ßen sind fu¨r das Viermulden-Vielteilchensystem durch Gleichung (4.12) gegeben. Man erha¨lt σ˙22 = 2J12 Im (σ12)− 2J23 Im (σ23) , (6.5) σ˙23 = −iJ23 (σ33 − σ22) + iJ34σ24 − iJ12σ13 + iU2 (σ2223 − σ23)− iU3 (σ2333 − σ23) (6.6) und σ˙33 = 2J23 Im (σ23)− 2J34 Im (σ34) . (6.7) 6.1.2. Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten Zuna¨chst sollen Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten J12 und J34 be- stimmt werden, welche direkt aus Vergleich der Terme in Gleichung (6.2) mit denen in Gleichung (6.5) bzw. aus Vergleich der Gleichungen (6.4) und (6.7) folgen. Man findet so J12(t) = 2γn2(t) j˜12(t) (6.8a) und J34(t) = 2γn3(t) j˜34(t) . (6.8b) An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass sich diese Gleichungen nicht von denen in Abschnitt 4.2.5 unterscheiden und auch fu¨r unreine Anfangszusta¨nde gelten. 6.1.3. Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien Um das Viermulden-System vollsta¨ndig festzulegen, mu¨ssen nun noch Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der beiden Onsite-Energien 1 und 4 gefunden werden. Im Folgenden wird erla¨utert, wie diese aus Vergleich der Gleichungen (6.3) und (6.6) gewonnen werden ko¨nnen. Werden die Gleichungen (6.3) und (6.6) verglichen, so folgt, dass die Summe der Terme, die σ13 und σ24 enthalten, verschwinden muss 1, d.h. es muss −J12σ13 + J34σ24 = 0 (6.9) gelten. Die Forderung (6.9) stellt dabei eine komplexe Gleichung dar, aus der zwei reelle Gro¨ßen, na¨mlich die beiden Onsite-Energien 1 und 4, bestimmt werden ko¨nnen. 1Anschaulich ist dies so zu verstehen, dass die Reservoirmulden im offenen Zweimuldensystem nicht vorhanden sind und diese folglich in der GPE (3.2) nicht auftreten. Die Terme in den Gleichungen (6.3) und (6.6), welche die Wechselwirkung (beschrieben durch g bzw. U) enthalten, entsprechen sich jeweils und werden daher nicht weiter beru¨cksichtigt. 51 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde Durch eine geeignete Wahl der Anfangswerte fu¨r σkl kann die Forderung (6.9) fu¨r den Anfangszeitpunkt t = 0 erfu¨llt werden. Um sicherzustellen, dass die Forderung (6.9) fu¨r alle Zeiten t erfu¨llt bleibt, muss die Ableitung von Gleichung (6.9) nach der Zeit verschwinden, d.h. es muss − ( ∂ ∂t J12 ) σ13 − J12 ˙σ13 + ( ∂ ∂t J34 ) σ24 + J34 ˙σ24 = 0 (6.10) gelten2. Der U¨bersichtlichkeit halber sollen zuna¨chst die Zeitableitungen von J12, J34, σ13 und σ24 separat aufgefu¨hrt werden. Dazu mu¨ssen die Ableitungen von σkl, j˜kl und ckl bestimmt werden, welche sich mit Gleichung (4.12) und den Abku¨rzungen (4.13) und (4.14) zu σ˙kl = −iZkl + i (k − l)σkl, (6.11) ˙˜jkl = −Xkl + (k − l) ckl (6.12) und c˙kl = Ykl − (k − l) j˜kl (6.13) ergeben. Unter Verwendung der Beziehungen (6.8a), (6.8b), (4.31) und (6.11)-(6.13) ergibt sich fu¨r die einzelnen Terme in Gleichung (6.10) ∂ ∂t J12 = J12 ( −iX22 2n2 + Y22 2n2 + X12 j˜12 − c121 j˜12 ) , (6.14) ∂ ∂t J34 = J34 ( −iX33 2n3 + Y33 2n3 + X34 j˜34 − c344 j˜34 ) , (6.15) σ˙13 = 1 2 (−iX13 + Y13 + i1c13 − 1j˜13) (6.16) und σ˙24 = 1 2 (−iX24 + Y24 − i4c24 + 4j˜24) . (6.17) Werden die Gleichungen (6.14)-(6.17) in die Forderung (6.10) eingesetzt, Real- und Ima- gina¨rteil getrennt und anschließend die resultierenden Terme sortiert, so erha¨lt man ein lineares Gleichungssystem in 1 und 4, welches die Form αr1 + βr4 = Ωr, (6.18a) αi1 + βi4 = Ωi (6.18b) 2Bemerkung: Die einfachste Mo¨glichkeit, Gleichung (6.10) zu erfu¨llen, wa¨re, die triviale Lo¨sung von Gleichung (6.9) zu verwenden und σ˙13 = 0 und σ˙24 = 0 zu fordern. Auf diese Art und Weise lassen sich jedoch keine Gleichungen fu¨r die Onsite-Energien 1 und 4 ableiten. 52 6.1. Herleitung der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter besitzt. Die zugeho¨rigen Koeffizienten sind durch αr = 1 2 J12 ( c12c13 j˜12 + j˜13 ) , (6.19) βr = 1 2 J34 ( c34c24 j˜34 + j˜24 ) , (6.20) Ωr = 1 2 J12 ( Y22c13 2n2 + X12c13 j˜12 + X22j˜13 2n2 + Y13 ) − 1 2 J34 ( Y33c24 2n3 + X34c24 j˜34 + X33j˜24 2n3 + Y24 ) , (6.21) αi = 1 2 J12 ( c12j˜13 j˜12 − c13 ) , (6.22) βi = 1 2 J34 ( c34j˜24 j˜34 − c24 ) (6.23) und Ωi = 1 2 J12 ( −X22c13 2n2 + Y22j˜13 2n2 + X12j˜13 j˜12 −X13 ) − 1 2 J34 ( −X33c24 2n3 + Y33j˜24 2n3 + X34j˜24 j˜34 −X24 ) (6.24) gegeben. Das Gleichungssystem (6.18) stellt ein zweidimensionales, lineares Gleichungssystem dar. Ein solches lineares Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lo¨sung, wenn die Determinante d der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Diese Determinante ist fu¨r das System (6.18) gegeben durch d = αrβi − βrαi. (6.25) Ist d 6= 0, so besitzt das Gleichungssystem (6.18) eine eindeutige Lo¨sung, andernfalls unendlich viele Lo¨sungen oder keine Lo¨sung3. Fu¨r den Fall, dass d 6= 0 gilt, ist die eindeutige Lo¨sung des Gleichungssystems (6.18) gegeben durch 1 = βiΩr − βrΩi αrβi − βrαi , (6.26a) 3Bemerkung: Falls d = 0 gilt, so ha¨ngt die Anzahl der Lo¨sungen von den Werten der Nebendeterminan- ten ab. Haben alle Nebendeterminanten den Wert null, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lo¨sungen, ansonsten keine Lo¨sung. 53 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde 4 = −(αiΩr − αrΩi) αrβi − βrαi . (6.26b) Somit sind Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien 1 und 4 durch die Gleichungen (6.26) mit den Koeffizienten (6.19) - (6.24) gegeben, sofern die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Unter dieser Bedingung existiert eine eindeuti- ge Vorschrift zur Bestimmung der Onsite-Energien des Viermulden-Vielteilchensystems. Wie im Folgenden erla¨utert werden wird, ist die Eindeutigkeit der Onsite-Energien fu¨r unreine Anfangszusta¨nde gegeben, fu¨r den Grenzfall reiner Anfangszusta¨nde werden die Gleichungen (6.18) linear abha¨ngig und es existieren unendlich viele Lo¨sungen fu¨r 1 und 4. 6.2. Grenzfall reiner Anfangszusta¨nde Im Grenzfall reiner Anfangszusta¨nde sind die Elemente der Einteilchendichtematrix in der Form σkl = ψ ∗ kψl darstellbar. Wie bereits oben erwa¨hnt, besitzt ein lineares Glei- chungssystem genau dann eine eindeutige Lo¨sung, wenn die Determinante der Koef- fizientenmatrix ungleich null ist. Wertet man den Nenner in den Gleichungen (6.26a) und (6.26b) fu¨r den Spezialfall reiner Zusta¨nde aus, so erha¨lt man als Resultat einer la¨nglichen Rechnung, die hier nicht dargestellt werden soll, dass αrβi − βrαi = 0, (6.27) gilt, d.h. die Determinante verschwindet. Wertet man zudem die Za¨hler in den Gleichun- gen (6.26a) und (6.26b) fu¨r reine Zusta¨nde aus, so erha¨lt man βiΩr − βrΩi = 0 (6.28a) und αiΩr − αrΩi = 0. (6.28b) Somit ist αi/αr = βi/βr = Ωi/Ωr. Das lineare Gleichungssystem (6.18) wird folglich fu¨r den Fall reiner Zusta¨nde linear abha¨ngig, d.h. statt einer eindeutigen Lo¨sung existieren nun unendlich viele Lo¨sungen fu¨r 1 und 4. Die Eindeutigkeit der Lo¨sungen geht also im Grenzfall reiner Zusta¨nde verloren. Es verbleibt eine Gleichung der Form A1 +B4 = C, (6.29) jedoch verbleiben zwei daraus zu bestimmende reelle Parameter 1 und 4. Daraus ergibt sich, dass nun eine zeitabha¨ngige Funktion F (t) zur Verfu¨gung steht, die frei gewa¨hlt werden kann. Es gibt im Grenzfall reiner Anfangszusta¨nde demnach unendlich viele Mo¨glichkeiten, die Onsite-Energien zu wa¨hlen. Eine mo¨gliche Wahl wa¨re z.B. 1 = −F (t) + 1 2 Ωr αr (6.30a) 54 6.3. Unreine Anfangszusta¨nde und 4 = F (t) + 1 2 Ωr βr , (6.30b) d.h. in diesem Fall wurden 1 und 4 symmetrisch gewa¨hlt. Ein anderer Vorschlag wa¨re die Wahl 1 = −F2(t) + Ω12 αr (6.31a) und 4 = F2(t) + Ω34 βr , (6.31b) wobei Ω12 + Ω34 = Ωr mit Ω12 = 1 2 J12 ( Y22c13 2n2 + X12c13 j˜12 + X22j˜13 2n2 + Y13 ) (6.32) und Ω34 = −1 2 J34 ( Y33c24 2n3 + X34c24 j˜34 + X33j˜24 2n3 + Y24 ) . (6.33) Die vorhandene Freiheit wurde in diesem Fall mit F2(t) bezeichnet. Um die Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien fu¨r den Grenzfall reiner Anfangszu- sta¨nde berechnen zu ko¨nnen, ist es no¨tig, die Freiheit F (t) festzulegen. Die einfachste Mo¨glichkeit ist, die Zeitabha¨ngigkeit außer Acht zu lassen und F = const., im Spezi- ellen F = 0, zu wa¨hlen. Der Spezialfall reiner Anfangszusta¨nde und die verschiedenen Mo¨glichkeiten der Wahl des Freiheitsgrades wurden bereits durch Kreibich ausfu¨hrlich untersucht [34]. Das zentrale Ergebnis dieser Arbeit ist es, dass sobald unreine Zusta¨nde betrachtet werden, eine eindeutige Lo¨sung fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Onsite-Energien existiert; der in [34] betrachtete Mean-Field-Fall stellt also einen Spezialfall der hier ge- zeigten Gleichungen dar. Wie noch erla¨utert werden wird, lassen sich mithilfe der oben hergeleiteten Gleichungen und passenden unreinen Anfangszusta¨nden das Verhalten der Dynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde im Vielteilchensystem realisieren. Im Folgen- den wird diskutiert, wie solche Anfangszusta¨nde bestimmt werden ko¨nnen. 6.3. Unreine Anfangszusta¨nde Die Gleichungen (6.26) bieten, anders als die zuvor verwendeten Ausdru¨cke (4.34), die Mo¨glichkeit, die Dynamik eines zum Zeitpunkt t = 0 unreinen Zustands zu berechnen. Die Werte fu¨r die Onsite-Energien sind fu¨r einen solchen unreinen Zustand eindeutig bestimmt, wodurch die zahlreichen Probleme, welche sich in [34] bei Betrachtung von reinen Zusta¨nden ergeben haben, nicht auftreten. 55 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde Anders als fu¨r einen reinen Zustand ist die Anzahl der Freiheitsgrade fu¨r einen unrei- nen Zustand nicht mehr u¨berschaubar. Unter Ausnutzung der Symmetrien (4.18) und (4.23) sowie (4.24) ergeben sich fu¨r M = 4 Mulden eine Gesamtzahl von 152 Freiheits- graden fu¨r einen Anfangszustand der BBR-Na¨herung4. Nun stellt sich die Frage, wie man einen unreinen, aber physikalischen Anfangszustand finden kann, mit dem zusa¨tz- lich die Dynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde des Zweimuldensystems im Vielteil- chensystem realisiert werden kann. Um diese Frage zu beantworten, wird in Unterab- schnitt 6.3.1 zuna¨chst auf die zu erfu¨llenden Nebenbedingungen zur Realisierung von PT -Symmetrie eingegangen. In Unterabschnitt 6.3.2 wird dann erla¨utert, wie physika- lische unreine Zusta¨nde konstruiert werden ko¨nnen und wie sich die Nebenbedingungen erfu¨llen lassen. Unterabschnitt 6.3.3 zeigt schließlich eine Mo¨glichkeit der numerischen Bestimmung ebensolcher Zusta¨nde auf. 6.3.1. Nebenbedingungen Die Dynamik im Vielteilchensystem soll wie in Abschnitt 5.2 mithilfe der BBR-Methode bestimmt werden. Dazu ist es no¨tig, Anfangswerte fu¨r alle Elemente σkl und σklmn der Dichtematrizen zur Verfu¨gung zu haben. Um in der Dynamik die Eigenschaften der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Systems zu erreichen, mu¨ssen diese Elemente bzw. der gewa¨hlte Anfangszustand einige Nebenbedingungen erfu¨llen. Die zu fordernden Nebenbedingungen ergeben sich aus dem offenen Zweimuldensystem im Mean-Field und sollen im Folgenden dargestellt werden. Wie schon in Unterabschnitt 6.1.3 erwa¨hnt, stellt Gleichung (6.9) eine komplexe Be- dingung dar, die es zu erfu¨llen gilt. Da sie direkt aus dem Vergleich des offenen Systems mit dem Vielteilchensystem folgt (siehe Unterabschnitt 6.1.3), stellt sie sicher, dass die Elemente σ13 und σ24 die richtigen Anfangswerte besitzen. Diese komplexe Bedingung liefert also die beiden reellen Bedingungen −J12 Re(σ13) + J34 Re(σ24) != 0 (6.34a) und −J12 Im(σ13) + J34 Im(σ24) != 0. (6.34b) Fu¨r den PT -symmetrischen Zustand des offenen Zweimuldensystems gilt außerdem die Gleichheit der Anfangsbesetzungen in den Systemmulden. Demnach soll also n2 ! = n3 (6.35) gelten. Die Elemente σ22 und σ33 der Einteilchendichtematrix mu¨ssen also denselben Wert besitzen, sprich Reσ22 ! = Reσ33. (6.36) 4Die erste Ordnung der BBR-Na¨herung besitzt 16 unabha¨ngige reelle Parameter und die zweite Ord- nung 136 voneinander unabha¨ngige Gro¨ßen. 56 6.3. Unreine Anfangszusta¨nde Um in der ersten Ordnung die PT -symmetrischen Zusta¨nde zu erhalten, mu¨ssen auch die reduzierte Stromdichte j˜23 und die Korrelation c23 den korrekten Wert besitzen. Die Werte sollen genau denen des offenen Zweimuldensystems gleichen, d.h. man erha¨lt die Nebenbedingungen j˜23 ! = 2 √ n2n3 γ J (6.37a) und c23 ! = 2 √ n2n3 √ 1− γ 2 J2 . (6.37b) Ausgedru¨ckt mit Elementen der Einteilchendichtematrizen heißt das Imσ23 ! = √ Reσ22 Reσ33 γ J (6.38a) und Reσ23 ! = √ Reσ22 Reσ33 √ 1− γ 2 J2 . (6.38b) Die Gleichungen (6.34)-(6.38) stellen fu¨nf reelle Bedingungen an die Elemente der Einteilchendichtematrizen. Aufgrund der Vielzahl von Freiheitsgraden ko¨nnen alle diese Nebenbedingungen von mehr als einem Zustand erfu¨llt werden. Wa¨hlt man irgendeinen Satz von Werten fu¨r alle σkl und σklmn, die die Bedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen, so erha¨lt man nicht unbedingt einen geeigneten Anfangszustand. Die Elemente σklmn sind auch im Fall unreiner Zusta¨nde nicht vollkommen unabha¨ngig von den Elementen erster Ordnung, da Gleichung (4.20) erfu¨llt sein muss, und ko¨nnen daher nicht einfach beliebig gewa¨hlt werden. Zudem mu¨ssen die Symmetrien (4.18) fu¨r die Elemente erster Ordnung und die Symmetrien (4.19) fu¨r die zweite Ordnung erfu¨llt sein. Aus diesem Grund muss nun eine Methode entwickelt werden, physikalische Anfangszusta¨nde zu finden, welche außerdem die Bedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen. Eine solche Methode wird im folgenden Abschnitt vorgestellt. 6.3.2. Konstruktion unreiner Anfangszusta¨nde Im Grenzfall reiner Zusta¨nde sind die Anfangswerte fu¨r alle Elemente σkl und σklmn durch die Gleichungen (4.26) und (4.28) gegeben. Gesucht ist nun ein Verfahren, das die Elemente der Ein- und Zweiteilchendichtematrizen fu¨r unreine, physikalische Zusta¨nde liefert, die außerdem die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen. Das Verfahren soll viele der Freiheitsgrade festlegen, d.h. die Symmetrien (4.18), (4.19) und (4.20) sollen automatisch erfu¨llt sein, aber dennoch sollen noch genu¨gend Freiheiten vorhanden sein, um die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen zu ko¨nnen. Es stellt sich nun die Frage, wie aus der Vielzahl mo¨glicher Zusta¨nde ein passender Zustand ausgewa¨hlt werden kann. 57 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde Die grundlegende Idee dazu ist Folgende: Um einen unreinen, aber physikalischen Zu- stand festzulegen, wird die Tatsache ausgenutzt, dass sich jeder (physikalische) Zustand |ψ〉 des Systems im Fockraum darstellen la¨sst. Ist ein beliebiger Fock-Zustand |ψ〉 gege- ben, so lassen sich die Elemente der Einteilchen- und Zweiteilchendichtematrizen leicht berechnen, indem die Erwartungswerte σkl = 〈ψ|aˆ†kaˆl|ψ〉 und σklmn = 〈ψ|aˆ†kaˆlaˆ†maˆn|ψ〉 gebildet werden. Ein beliebiger Zustand eines Systems bestehend aus M Mulden besitzt in Fock- Darstellung die Form |ψ, Nges〉 = ∑ n1,...,nM n1+···+nM=Nges cn1,...,nM |n1, . . . , nM〉, (6.39) d.h. fu¨r das betrachtete Viermuldensystem mit M = 4 erha¨lt man |ψ, Nges〉 M=4= ∑ n1,n2,n3,n4 n1+n2+n3+n4=Nges cn1,n2,n3,n4|n1, n2, n3, n4〉. (6.40) Bei gegebenen Koeffizienten cn1,n2,n3,n4 sind auch die Elemente der Dichtematrizen be- kannt. Die Anzahl der zu bestimmenden Koeffizienten cn1,n2,n3,n4 ist dabei gleich der Dimension D des Hilbert-Raumes. Die fu¨nf Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) aus Unter- abschnitt 6.3.1 reichen bei Weitem nicht aus, um alle Koeffizienten festzulegen. Eine Mo¨glichkeit, die große Anzahl der Koeffizienten cn1,n2,n3,n4 festzulegen, aber trotz- dem noch genu¨gend Freiheiten zur Erfu¨llung der Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) zur Verfu¨gung zu haben, ist Folgende: Man geht von dem bekannten PT -symmetrischen Mean-Field-Zustand (3.15) aus. Dieser Zustand ist rein und daher sind die Gleichungen (6.26) nicht anwendbar, da das Gleichungssystem (6.18) in diesem Fall linear abha¨ngig ist und somit keine eindeutige Lo¨sung existiert. Im Vielteilchensystem mit M Mulden la¨sst sich dieser Zustand mithilfe von Gleichung (4.25) fu¨r ein reines Kondensat und dem Multinomialtheorem darstellen als [35]: |ψ, Nges〉 = 1√ Nges! ∑ n1,...,nM n1+···+nM=Nges Nges! n1! . . . nM ! ψn11 . . . ψ nM M aˆ n1 1 . . . aˆ nM M |0〉 = ∑ n1,...,nM n1+···+nM=Nges √ Nges! n1! . . . nM ! ψn11 . . . ψ nM M︸ ︷︷ ︸ =cn1,...,nM |n1, . . . , nM〉, (6.41) wobei ψ1, . . . , ψM die Mean-Field-Koeffizienten in der Mulde M bezeichnen. Fu¨r M = 4 Mulden lautet der Zustand dann |ψ, Nges〉 = ∑ n1,n2,n3,n4 n1+n2+n3+n4=Nges √ Nges! n1!n2!n3!n4! ψn11 ψ n2 2 ψ n3 3 ψ n4 4︸ ︷︷ ︸ =cn1,n2,n3,n4 |n1, n2, n3, n4〉. (6.42) 58 6.3. Unreine Anfangszusta¨nde Um einen unreinen Zustand zu erhalten, wird der reine Vielteilchenzustand (6.41) bzw. (6.42) mit gaußverteilten5 Zufallszahlen zn1,...,nM ausgelenkt, d.h. es wird eine kleine Sto¨rung auf den Zustand aufgebracht. Der betrachtete Zustand hat fu¨r M Mulden nun die Form |ψ, Nges〉 = ∑ n1,...,nM n1+···+nM=Nges zn1,...,nM √ Nges! n1! . . . nM ! ψn11 . . . ψ nM M |n1, . . . , nM〉, (6.43) wobei mit zn1,...,nM die zum Basisvektor |n1, . . . , nM〉 zugeho¨rige Zufallszahl bezeichnet. Fu¨r den Fall M = 4 erha¨lt man also |ψ, Nges〉 = ∑ n1,n2,n3,n4 n1+n2+n3+n4=Nges zn1,n2,n3,n4 √ Nges! n1!n2!n3!n4! ψn11 ψ n2 2 ψ n3 3 ψ n4 4 |n1, n2, n3, n4〉. (6.44) Der Zustand (6.43) bzw. (6.44) besitzt folglich weiterhin D Freiheitsgrade, mithilfe welcher die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llt werden ko¨nnen. Da die Zufallszahlen insgesamt nur eine Sto¨rung des reinen Zustands beschreiben, ko¨nnen diese im Nachhinein so angepasst werden, dass der resultierende Zustand die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llt. Es ko¨nnen mit dieser Methode prinzipiell weit mehr Nebenbedingungen erfu¨llt werden, als nur die fu¨nf oben genannten. Wie die so konstruierten unreinen Anfangszu- sta¨nde numerisch bestimmt werden ko¨nnen, wird im folgenden Abschnitt diskutiert. An dieser Stelle soll schließlich noch angemerkt werden, dass die Erwartungswerte der Dichteoperatoren σkl = 〈ψ|aˆ†kaˆl|ψ〉 und σklmn = 〈ψ|aˆ†kaˆlaˆ†maˆn|ψ〉 stets die korrekte Sym- metrie besitzen, na¨mlich die, die die Gleichungen (4.18), (4.19) und (4.20) fordern. Dies folgt direkt aus den Symmetrien der hier eingehenden Operatoren, welche unabha¨ngig vom verwendeten Zustand |ψ〉 sind. Bei der Wahl der Zusta¨nde |ψ〉 muss dies daher nicht zusa¨tzlich beru¨cksichtigt werden, anders als wenn die σkl und σklmn direkt gewa¨hlt worden wa¨ren, d.h. die Elemente erster und zweiter Ordnung der Dichtematrix besitzen automatisch die richtigen Abha¨ngigkeiten. 6.3.3. Numerische Bestimmung unreiner Zusta¨nde In diesem Abschnitt wird ein Verfahren vorgestellt, wie die in Unterabschnitt 6.3.2 be- schriebenen Anfangszusta¨nde fu¨r die BBR-Methode numerisch gefunden werden ko¨nnen. Zuna¨chst wird dazu eine lexikographische Fock-Basis erzeugt, in welcher sich der Zu- stand (6.44) darstellen la¨sst. Details zum Erzeugen einer solchen Basis sind in [48] und in Anhang E.2 zu finden. Als Anfangswerte fu¨r die BBR-Methode sollen die Erwartungs- werte der Dichteoperatoren mit dem Zustand (6.44) bestimmt werden. Die Operatoren, 5Gaußverteilt um den Mittelwert m = 1 mit der Breite d, die frei wa¨hlbar bleiben soll. Die Breite der Verteilung ist ein Maß fu¨r die Sta¨rke der Sto¨rung des Zustands. 59 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde von welchen die Erwartungswerte berechnet werden sollen, bestehen aus Paaren von Er- zeugern und Vernichtern. Solche Erwartungswerte ko¨nnen in der in [49] vorgeschlagenen Methode mithilfe von sogenannten Sprungindizes sehr effizient ausgewertet werden. Die Effizienz dieser Methode ist hier von Vorteil, da die Erwartungswerte sehr oft berechnet werden mu¨ssen, um passende Zufallszahlen zn1,n2,n3,n4 zu finden, die alle Nebenbedin- gungen erfu¨llen. Fu¨r Details zu dieser Methode sei auf Anhang E.3 und [49] verwiesen. Aus einer Gaußverteilung mit einer festen Breite d um den Mittelwert m = 1 werden zufa¨llig D komplexe Zufallszahlen ausgewa¨hlt, die die Startwerte zn1,n2,n3,n4 ∣∣∣ Start fu¨r den Zustand (6.44) darstellen. Je gro¨ßer der Wert von d, desto sta¨rker werden die Mean- Field-Koeffizienten ausgelenkt, d.h. d gibt die Sta¨rke der Sto¨rung des Originalzustands an. Die Werte δi(z) stellen ein Maß dafu¨r dar, wie gut die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) fu¨r den aktuellen Satz z Zufallszahlen erfu¨llt sind: δ1(z) = −J12 Re(σ13) + J34 Re(σ24) != 0, (6.45a) δ2(z) = −J12 Im(σ13) + J34 Im(σ24) != 0, (6.45b) δ3(z) = n2 − n3 != 0, (6.45c) δ4(z) = j˜23 − 2√n2n3 γ J ! = 0, (6.45d) δ5(z) = c23 − 2√n2n3 √ 1− γ 2 J2 ! = 0. (6.45e) Damit δi(z) = 0 fu¨r i = 1, . . . , 5 gilt, mu¨ssen die Zufallszahlen zn1,n2,n3,n4 angepasst werden. Es hat sich herausgestellt, dass numerisch ein Minimierungsverfahren zum ge- wu¨nschten Ergebnis fu¨hrt. Dazu wird die Summe δ(z) der Quadrate der Werte fu¨r δi(z) gebildet mit δ(z) = ∑ i δi(z) 2 != 0, (6.46) welche im Laufe des Verfahrens immer na¨her an den Wert null gebracht werden soll. Da- zu wird eine Zufallszahl zi aus dem Satz z ausgewa¨hlt. Diese Zufallszahl besitzt zu die- sem Zeitpunkt einen bestimmten Wert zs. Es werden anschließend die Werte δ(z) ∣∣∣ zi=zs , δ(z) ∣∣∣ zi=zs+h und δ(z) ∣∣∣ zi=zs−h bestimmt, h bezeichnet dabei die Breite des betrachteten Intervalls und ist fest, aber frei wa¨hlbar. Diese drei Punkte6 definieren eine Parabel p(zi) der Form p(zi) = 1 2 a (zi − zs)2 + b (zi − zs) + c (6.47) 6Um die Parabel genauer zu bestimmen, ko¨nnten ebenso mehr Punkte verwendet und anschließend ein Fit durchgefu¨hrt werden. Da die Rechenzeit aber prima¨r durch die Anzahl der berechneten Erwartungswerte gegeben ist, werden an dieser Stelle nur drei Punkte verwendet, was bezu¨glich der Genauigkeit fu¨r den Zweck ausreichend ist. 60 6.3. Unreine Anfangszusta¨nde mit den Parametern a = p(zs − h) + p(zs + h)− 2p(zs) h2 , (6.48a) b = p(zs + h)− p(zs − h) 2h (6.48b) und c = p(zs). (6.48c) Der Tiefpunkt zTP dieser Parabel befindet sich bei zTP = zs − b a . (6.49) Falls der Tiefpunkt zTP im Intervall [zs − h, zs + h] liegt, so wird der aktuelle Wert zs der gewa¨hlten Zufallszahl zi durch den neuen Wert zneu = zTP ersetzt. Gilt zTP < zs − h, so wird zs durch zneu = zs − h ersetzt und anders herum wenn zTP > zs + h, so wird zs durch zneu = zs + h ersetzt. Anschließend wird δ(z) ∣∣∣ zi=zneu ausgewertet. Falls δ(z) ∣∣∣ zi=zneu < δ(z) ∣∣∣ zi=zs gilt, wird die A¨nderung der Zufallszahl zi akzeptiert, andernfalls wird eine neue Zufallszahl gewa¨hlt. Die gesamte Prozedur wird so lange wiederholt, bis eine hinreichende Genauigkeit erreicht ist, d.h. wenn δ(z) numerisch null ist. Ist dies der Fall, werden die Erwartungswerte der Dichteoperatoren mit dem so bestimmten Zustand ausgewertet und die Bewegungsgleichungen der BBR-Methode integriert. Das eben beschriebene Vorgehen liefert demnach Anfangszusta¨nde, deren Dynamik untersucht werden kann. An dieser Stelle soll noch einmal erwa¨hnt werden, dass mit diesem Verfahren prinzipiell noch weitere Nebenbedingungen erfu¨llt werden ko¨nnten und zwar so viele, wie Freiheitsgrade verfu¨gbar sind. Da jede Zufallszahl sowohl einen Real- als auch einen Imagina¨rteil besitzt, ergibt dies 2D verfu¨gbare Freiheitsgrade. Al- lerdings muss Folgendes angemerkt werden: Eigentlich sollte der numerische Aufwand nicht mit der Anzahl der Bedingungen ansteigen, wie es zum Beispiel bei Verwendung eines Newton-Verfahrens der Fall wa¨re, sondern davon unabha¨ngig sein. Dadurch sollte es sich grundsa¨tzlich einfach gestalten, Bedingungen hinzuzufu¨gen oder wegzulassen. Es hat sich jedoch gezeigt, dass das numerische Verhalten der Methode in großem Maße von der Wahl des Parameters h abha¨ngt und auch der Wert von d einen Einfluss besitzen kann. Obwohl ein Satz Zufallszahlen z gesucht wird, fu¨r den (6.46) erfu¨llt sein soll, kann jedoch vorkommen, dass das Verfahren bei einem fest gewa¨hltem Wert fu¨r h fu¨r einen bestimmten Satz Startwerte zn1,n2,n3,n4 ∣∣∣ Start in ein lokales Minimum hinein la¨uft, welches mit dem gewa¨hlten Wert fu¨r die Intervallbreite nicht mehr verlassen werden kann. Dieses Verhalten ist bei vorgegebenem h wesentlich abha¨ngig von der Anzahl der Bedingungen, weswegen sich zusa¨tzliche Bedingungen nicht ohne jeglichen Aufwand hinzufu¨gen lassen. 61 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde 6.4. Diskussion der numerischen Ergebnisse In diesem Abschnitt werden die numerisch erhaltenen Ergebnisse diskutiert. Es wird gezeigt, dass sich mithilfe der Anpassungen (6.8) und (6.26) der Kontrollparameter die Dynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde des Zweimuldensystems in der ersten Ord- nung der Hierarchie des Vielteilchensystems realisieren la¨sst, sofern die Anfangszusta¨n- de unrein sind und die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen. Dabei ist eine kleine Auslenkung des reinen Mean-Field-Zustands bereits ausreichend, um einen passenden unreinen Zustand zu erzeugen, welcher in der Dynamik dasselbe Verhalten zeigt, wie die PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Systems. Zuna¨chst werden in Unterabschnitt 6.4.1 die Elemente erster Ordnung untersucht und in Unterabschnitt 6.4.2 schließlich die Elemente zweiter Ordnung. 6.4.1. Dynamik der Elemente erster Ordnung Die Ergebnisse der numerischen Rechnungen zeigen, dass sich die Dynamik der PT - symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems in der ersten Ordnung der Hierarchie im Vielteilchensystem realisieren la¨sst. In Abbildung 6.1 ist die Dynamik der Besetzungszahlen ni, der Elemente j˜23 und c23, der Kontrollparameter und die der Reinheit im Vielteilchensystem dargestellt. Fu¨r die Systemparameter wurden γ = 0.5 und U = 0.1 gewa¨hlt. Der reine Mean-Field-Zustand wurde nach Gleichung (6.44) mit gaußverteilten Zufallszahlen der Breite d = 0.008 ausgelenkt. Die Bestimmung eines Vielteilchenzustands (6.44), dessen Erwartungswerte mit den Dichteoperatoren die Ne- benbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen, ist numerisch sehr aufwendig und wurde deshalb fu¨r eine relativ geringe Teilchenzahl von Nges = 22 durchgefu¨hrt 7. Abbildung 6.1(a) zeigt die Besetzungszahlen ni in den einzelnen Mulden in Abha¨ngig- keit der Zeit. Wie im offenen Zweimuldensystem sind die Besetzungszahlen in den inneren beiden Mulden n2 und n3 zeitlich konstant und stets gleich groß. Die Reservoirmulden hingegen leeren bzw. fu¨llen sich linear, so wie es auch schon im Mean-Field-Grenzfall beobachtet wurde (siehe Abbildung B.1 in Anhang B). Bei Betrachtung der Besetzungs- zahlen liefert dieses Vorgehen demnach genau das gewu¨nschte Verhalten. Der zeitliche Verlauf der reduzierten Stromdichte j˜23 und der Korrelation c23 im Viel- teilchensystem ist in Abbildung 6.1(b) aufgetragen (durchgezogene Linien). Die theore- 7Die große Dimension des Hilbertraums stellt einen limitierenden Faktor bei der numerischen Bestim- mung des Anfangszustands dar, da die entsprechenden Erwartungswerte mit den Dichteoperatoren bei der Minimierung sehr oft ausgewertet werden mu¨ssen. Die hier betrachtete Gesamtteilchenzahl im System liegt daher bei Nges = 22 Teilchen. Die BBR-Na¨herung ist jedoch umso genauer, desto gro¨ßerer die Teilchenzahl ist. Die Abweichungen von der echten Vielteilchendynamik sind von der Ordnung O(N3gesf3/2). Um genauere Ergebnisse zu erhalten, kann die Dynamik mithilfe des Bose- Hubbard-Modells bestimmt werden. Da sich das System in den Ergebnissen in Abbildung 6.1 nur fu¨r einen relativ kurzen Zeitbereich aufrecht erhalten la¨sst, z.B. verglichen mit dem Mean-Field-Fall in Abbildung B.1 oder im Vielteilchensystem in den Abbildungen 5.3 und 5.4, spielen die Abweichungen durch Na¨herung der exakten Dynamik keine wesentliche Rolle. 62 6.4. Diskussion der numerischen Ergebnisse 0 2 4 6 8 10 12 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 −40 −20 0 20 40 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 (a) (b) (c) (d) (e) (f) n1 n2 n3 n4 j˜23M=4 j23M=2 c23M=4 c23M=2 J12 J34 j˜12 j˜34 t Ô1 Ô4 t P2 P4 n i j˜ 2 3, c 2 3 J k l j˜ k l Ô k P k Abbildung 6.1.: Dynamik eines unreinen Anfangszustands der Form (6.44) im Vielteil- chensystem mit Nges = 22, berechnet mit der BBR-Methode und den Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparameter (6.8) und (6.26) fu¨r die Pa- rameter γ = 0.5, U = 0.1 und d = 0.008. Es sind die Zeitabha¨ngigkeiten (a) der Besetzungszahlen ni, (b) der Elemente j˜23 und c23, (c) der Tun- nelraten, (d) der Elemente j˜12 und j˜34, (e) der Onsite-Energien und (f) der Reinheit dargestellt. In (a) wurde dabei nicht auf die Besetzungszahl in den mittleren beiden Mulden normiert. Man erha¨lt in der Dynamik das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimul- densystems. 63 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde tischen Werte im Zweimuldensystem sind fu¨r die gewa¨hlten Parameter gepunktet dar- gestellt. Es zeigt sich, dass das in Abschnitt 6.3 dargestellte Verfahren dazu geeignet ist, die korrekten Werte fu¨r die reduzierte Stromdichte j˜23 und die Korrelation c23 im Vielteilchensystem einzustellen. In der Dynamik bleibt der Wert beider Gro¨ßen zeitlich konstant. Das zentrale Ergebnis dieses Abschnitts lautet also wie folgt: Da die Besetzungszah- len in den Systemmulden sowie die reduzierte Stromdichte j˜23 und die Korrelation c23 im Vielteilchensystem zeitlich konstant sind, la¨sst sich im Vielteilchensystem das Ver- halten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems in der ersten Ordnung der Hierarchie erreichen. Dazu mu¨ssen die Anpassungen (6.8) und (6.26) fu¨r die Kontrollparameter verwendet werden und unreine Anfangszusta¨nde der Form (6.44) zur Bestimmnung der Erwartungswerte der Dichtematrizen gewa¨hlt werden, welche die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen. Dies unterscheidet sich wesentlich von dem Er- gebnis in [33], da mit dem hier dargestellten Verfahren die komplette Dynamik der ersten Ordnung der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Vielteil- chensystem eingestellt werden kann. In [33] hingegen konnte nur die Stationarita¨t der Besetzungszahlen n2 und n3 und die der reduzierten Stromdichte j˜23 erreicht werden, d.h. die Bedingung an die Stationarita¨t der Korrelation c23 musste aufgegeben werden und ließ sich nicht erfu¨llen. Abbildung 6.1(c) zeigt die Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten J12 und J34. Wie auch schon bei der Untersuchung der Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde im Vielteilchen- system in Abschnitt 5.2 (siehe Abbildung 5.3 bzw. 5.4) divergieren die Tunnelraten nach einer gewissen Zeit. Auch hier liegt der Grund fu¨r dieses Verhalten in der Dynamik der reduzierten Stromdichten j˜12 und j˜34, welche in Abbildung 6.1(d) dargestellt ist. Die Steigung der zeitlichen Verla¨ufe dieser beiden Gro¨ßen ist zu diesem Zeitpunkt sehr groß und die Gro¨ßen gehen gegen null. Da j˜12 und j˜34 in den Gleichungen (6.8) im Nenner in die Berechnung der Tunnelraten eingehen, divergieren diese wenn j˜12 und j˜34 gegen null streben. Aus demselben Grund divergieren zu diesem Zeitpunkt auch die Onsite- Energien 1 und 4 (siehe Abbildung 6.1(e)), da auch in den Gleichungen (6.26) die Gro¨ßen j˜12 und j˜34 im Nenner auftreten. Die Reinheit P2, bezogen auf das eingebettete System, und die Reinheit P4, bezo- gen auf das Gesamtsystem, sind in Abbildung 6.1(f) dargestellt. In der Dynamik sind P4 und P2 in guter Na¨herung konstant. Beide Werte liegen sehr nah an eins, d.h. der verwendete Zustand ist nur sehr wenig von einem vollkommen reinen Zustand entfernt. Dies bedeutet, dass bereits eine sehr geringe Auslenkung aus dem vollkommen reinen Mean-Field-Zustand genu¨gt und sich bereits mit einem solchen Zustand das gewu¨nschte Verhalten in der ersten Ordnung erreichen la¨sst. Selbst fu¨r geringe Auslenkungen besitzt das Gleichungssystem (6.18) die eindeutige Lo¨sung (6.26). Wie in Abbildung 6.1 ersichtlich ist, kann das System, anders als im Mean-Field- Grenzfall in Abbildung B.1, nicht bis zur Entleerung der linken Reservoirmulde aufrecht erhalten werden. Das System bricht dann zusammen, wenn die Tunnelraten J12 und J34 und die Onsite-Energien 1 und 4 divergieren, was durch den Abfall der Gro¨ßen j˜12 und 64 6.4. Diskussion der numerischen Ergebnisse j˜34 verursacht wird. Der Zeitpunkt des Zusammenbruchs ha¨ngt dabei wesentlich vom gewa¨hlten Anfangszustand ab. In Abbildung 6.2 ist die Dynamik der Besetzungszahlen ni, der Elemente j˜23 und c23, der Kontrollparameter und die der Reinheit fu¨r einen Zustand mit denselben Parametern (γ = 0.5, U = 0.1 und d = 0.008) wie in Abbildung 6.1 dargestellt. Lediglich die Zufallszahlen besitzen andere Werte. Es zeigt sich, dass fu¨r den Zustand in Abbildung 6.2 das System nur ungefa¨hr halb so lange aufrecht erhalten werden kann wie fu¨r den Zustand in Abbildung 6.1. An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass der Zeitpunkt des Zusammenbruchs unter anderem auch von der gewa¨hlten Breite d der Gaußverteilung abha¨ngt, was hier jedoch nicht diskutiert werden soll. 6.4.2. Dynamik der Elemente zweiter Ordnung Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des Zweimuldensystems im Vielteilchensystem in der ersten Ordnung realisie- ren la¨sst. In diesem Abschnitt wird nun das Verhalten der zweiten Ordnung untersucht. Es ist allerdings nicht zu erwarten, dass sich im Vielteilchensystem dieses Verhalten auch in der zweiten Ordnung der BBR-Na¨herung einstellt, da erstens keine Bedingungen an die Anfangswerte der zweiten Ordnung gestellt wurden und zweitens mit den vier ver- fu¨gbaren reellen Kontrollparametern J12, J34, 1 und 4 nur die vier reellen Gro¨ßen der ersten Ordnung zeitlich kontrolliert werden ko¨nnen. Die Zweiteilchendichtematrix besitzt insgesamt 256 Elemente; wie in Unterabschnitt 4.2.3 diskutiert, sind diese nicht alle unabha¨ngig voneinander. Es ist allerdings nur die Dynamik derjenigen Elemente interessant, welche nur die Indizes 2 und 3 besitzen, da sich die Frage stellt, ob sich die mittleren beiden Mulden des hermiteschen Systems so wie das offene System verhalten. Es existieren 16 Elemente, die nur Indizes 2 und 3 besitzen, also sind 32 reelle Gro¨ßen zu untersuchen. Unter Ausnutzung der Symmetrien (4.19) und (4.20) la¨sst sich diese Anzahl noch erheblich reduzieren. Es bleiben neun reelle Gro¨ßen u¨brig. Bei den voneinander unabha¨ngigen Elementen, aus denen sich die Restlichen mithilfe der Symmetrien (4.19) und (4.20) berechnen lassen, handelt es sich um Re(σ2222), Re(σ2223), Im(σ2223), Re(σ2233), Re(σ2323), Im(σ2323), Re(σ2333), Im(σ2333) und Re(σ3333) 8. In Abbildung 6.3 ist die Zeitabha¨ngigkeit der voneinander unabha¨ngigen Elemente σklmn der Zweiteilchendichtematrix dargestellt. Die durchgezogenen Linien zeigen den zeitlichen Verlauf der Elemente im Vielteilchensystem, die gestrichelten Linien stellen deren Dynamik im offenen Zweimuldensystem dar. Die Elemente zweiter Ordnung im 8Bei Betrachtung der Kovarianzen ∆klmn in Gleichung (4.21) bleiben unter Ausnutzung der Symme- trien (4.23) und (4.24), wie in Abschnitt 4.2.3 erla¨utert, (24−22)/2 = 10 reelle Gro¨ßen u¨brig. Bei den voneinander unabha¨ngigen Elementen, aus denen sich in diesem Fall die Restlichen berechnen lassen, handelt es sich um Re(∆2222), Re(∆2223), Im(∆2223), Re(∆2233), Re(∆2323), Im(∆2323), Re(∆2332), Re(∆2333), Im(∆2333) und Re(∆3333). 65 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde 0 2 4 6 8 10 12 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 −30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 (a) (b) (c) (d) (e) (f) n1 n2 n3 n4 j˜23M=4 j23M=2 c23M=4 c23M=2 J12 J34 j˜12 j˜34 t Ô1 Ô4 t P2 P4 n i j˜ 2 3, c 2 3 J k l j˜ k l Ô k P k Abbildung 6.2.: Dynamik wie in Abbildung 6.1 fu¨r die Parameter γ = 0.5, U = 0.1 und d = 0.008, mit anderen Zufallszahlen fu¨r die Auslenkung des Mean- Field-Zustands. Es sind die Zeitabha¨ngigkeiten (a) der Besetzungszahlen ni, (b) der Elemente j˜23 und c23, (c) der Tunnelraten, (d) der Elemente j˜12 und j˜34, (e) der Onsite-Energien und (f) der Reinheit dargestellt. Das System kann im Vergleich mit Abbildung 6.1 nur ungefa¨hr halb so lange aufrecht erhalten werden. 66 6.4. Diskussion der numerischen Ergebnisse offenen System sind dabei natu¨rlich zeitlich konstant, da in diesem System in allen Ordnungen PT -Symmetrie vorliegt. Aus Abbildung 6.3 ist ersichtlich, dass die Elemente zweiter Ordnung im Vielteilchen- system nicht mit denen im offenen Zweimuldensystem u¨bereinstimmen. Das entspricht, wie oben bereits erwa¨hnt, genau der Erwartung, da an die Anfangswerte der zweiten Ord- nung keine Bedingungen gestellt wurden, weswegen sich die Werte im Vielteilchensystem und im offenen Zweimuldensystem zum Zeitpunkt t = 0 unterscheiden. Die Werte liegen dabei dennoch in derselben Gro¨ßenordnung und weisen dasselbe Vorzeichen auf. Dies legt den Schluss nahe, dass sich auch fu¨r die Momente zweiter Ordnung prinzipiell pas- sende Werte einstellen ließen. Dieses Vorgehen wa¨re in dem in dieser Arbeit behandelten Viermuldensystem allerdings nicht besonders zielfu¨hrend: Angenommen, die Elemente der Zweiteilchendichtematrix bzw. die Kovarianzen besa¨ßen die korrekten Anfangswerte, na¨mlich dieselben Werte bei t = 0 wie die entsprechenden Gro¨ßen im offenen Zweimul- densystem. Damit ist dann allerdings nicht automatisch garantiert, dass die Dynamik der Momente zweiter Ordnung mit der des offenen Systems u¨bereinstimmt, d.h. dass die Elemente zeitlich konstant bleiben. Will man das Verhalten des offenen Zweimuldensys- tems simulieren, so stellt das hermitesche Viermuldensystem eine Minimallo¨sung dar, da es nur vier reelle Parameter bereitstellt, mit welchen das Verhalten des offenen Systems eingestellt werden kann. Wie in Anhang B und Kapitel 5 gezeigt, reichen diese vier reel- len Parameter im Mean-Field-Grenzfall aus, um das gewu¨nschte Verhalten zu erzielen. Im Vielteilchensystem ist dies nicht der Fall: Die Gleichungen (6.8) und (6.26) wurden so bestimmt, dass sich das hermitesche System in der ersten Ordnung so wie das offene System verha¨lt. Damit wurde erreicht, dass die vier reellen Gro¨ßen n2, n3, j˜23 und c23, welche das Verhalten des Systems in der ersten Ordnung charakterisieren, in der Dyna- mik dasselbe Verhalten wie das offene System zeigen, sprich zeitlich konstant bleiben. Mit den vier reellen Parametern ko¨nnen folglich die vier reellen Gro¨ßen der ersten Ordnung im Vielteilchensystem, also die Einteilchendynamik, angepasst werden. Da man im Vier- muldensystem nur vier Parameter zur Verfu¨gung hat, la¨sst sich keine Kontrolle u¨ber das Verhalten von Elementen ho¨herer Ordnung gewinnen. Die Realisierung des Verhaltens der PT -symmetrischen Zusta¨nde in der Einteilchendynamik ist das Maximum dessen, was sich mithilfe des Viermuldensystems erreichen la¨sst. Unter Hinzunahme weiterer Re- servoirmulden ließe sich auch in ho¨heren Ordnungen das Verhalten des offenen Systems einstellen. Die in dieser Arbeit vorgestellte Methode zur Bestimmung geeigneter unreiner Anfangszusta¨nde wa¨re auch fu¨r ein System mit mehreren Reservoirmulden geeignet, in dem man dann auch in ho¨heren Ordnungen das gewu¨nschte Verhalten erzielen ko¨nnte, da sich auch Bedingungen fu¨r ho¨here Ordnungen erfu¨llen ließen. Es wa¨ren dann jedoch andere Zeitabha¨ngigkeiten fu¨r die Kontrollparameter no¨tig, welche dann natu¨rlich auch mehr an der Zahl wa¨ren. Als Ergebnis dieses Kapitels la¨sst sich Folgendes festhalten: Es wurde ein Verfah- ren gefunden, mit dem sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Vielteilchensystem in der ersten Ordnung mithilfe der Zeitabha¨n- gigkeiten (6.8) und (6.26) der Kontrollparameter realisieren la¨sst. Dazu wurden unreine 67 6. Dynamik unreiner Anfangszusta¨nde 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 (a) (b) (c) (d) (e) (f) t t Vielteilchenbeschreibung offenes Zweimuldensystem R eσ 22 22 R eσ 22 23 Im σ 22 23 R eσ 22 33 R eσ 23 23 Im σ 23 23 Teil 1 von Abbildung 6.3. Beschreibung siehe Seite 69. 68 6.4. Diskussion der numerischen Ergebnisse 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 (a) (b) (c) t t Vielteilchenbeschreibung offenes Zweimuldensystem R eσ 23 33 Im σ 23 33 R eσ 33 33 Abbildung 6.3.: Dynamik der voneinander unabha¨ngigen Elemente zweiter Ordnung im Vielteilchensystem. Die korrespondieren Elemente erster Ordnung dieses Zustand sind in Abbildung 6.1 dargestellt. Es liegt keine PT -Symmetrie in der zweiten Ordnung der Vielteilchenbeschreibung vor. Teil 1 dieser Abbildung befindet sich auf Seite 68. Anfangszusta¨nde verwendet. Dies unterscheidet sich wesentlich von dem Ergebnis in [33], wo nur die Stationarita¨t der Besetzungszahlen n2 und n3 und die zeitliche Konstanz von j˜23 erreicht werden konnte. Fu¨r ho¨here Ordnungen la¨sst sich im Viermuldensys- tem das gewu¨nschte Verhalten nicht erzeugen, da das System nur vier reelle Parameter bereitstellt. Um dies zu erreichen, wa¨ren mehr verfu¨gbare Freiheitsgrade no¨tig, welche beispielsweise durch ein System mit mehr Mulden bereitgestellt werden wu¨rde. 69 7. Zusammenfassung und Ausblick In dieser Arbeit wurde die Dynamik eines Bose-Einstein-Kondensats in einem PT - symmetrischen Zweimodensystem, welches in ein hermitesches Viermuldensystem mit zeitabha¨ngigen Parametern eingebettet ist, untersucht. Es wurde gezeigt, dass sich im Viermulden-Vielteilchensystem das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des of- fenen Zweimodensystems in der ersten Ordnung der Vielteilchenbeschreibung realisie- ren la¨sst. Die Vielteilchendynamik wurde dabei mithilfe der Bogoliubov-Backreaction- Methode bestimmt, welche eine Na¨herung der exakten Vielteilchendynamik darstellt. Im ersten Teil der Arbeit wurde die Dynamik der PT -brechenden Eigenzusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im hermiteschen Viermuldensystem sowohl im Mean-Field- Limit als auch in der Vielteilchenbeschreibung untersucht. Um die Dynamik im Mean-Field zu bestimmen, wurde die zeitabha¨ngige Gross-Pi- taevskii-Gleichung gelo¨st, die sich fu¨r das betrachtete System in einem 4×4-Matrixmodell zusammenfassen la¨sst. Um passende Anfangszusta¨nde zu finden, wurden Beziehungen zwischen den Phasen der Mean-Field-Wellenfunktion ausgenutzt, die sich aus dem Ver- gleich der Dynamik des Viermuldensystems mit der des offenen Zweimuldensystems er- geben. Fu¨r den Grenzfall einer verschwindenden Wechselwirkung ist die Lo¨sung der Dynamik analytisch zuga¨nglich. Die numerische Auswertung der Dynamik fu¨r eine nicht verschwindende Wechselwirkung ergab, dass sich die Dynamik der PT -brechenden Zu- sta¨nde mithilfe einer entsprechenden Wahl der Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollparameter in den inneren beiden Mulden des Viermuldensystems im Mean-Field einstellen la¨sst. Zur Untersuchung der Dynamik der PT -brechenden Zusta¨nde im Vielteilchensystem wurden nach einem Vorschlag von Dast [26] reine Anfangzusta¨nde, d.h. Zusta¨nde, die sich als Produkt der Einteilchenzusta¨nde darstellen lassen, gewa¨hlt. Fu¨r die Zeitab- ha¨ngigkeit der Kontrollparameter im Vielteilchensystem wurde ein in [33] vorgestellter Vorschlag aufgegriffen. Es ergab sich, dass sich auf diese Art und Weise das Verhalten der PT -brechenden Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems im Vielteilchensystem nicht realisieren la¨sst. Dies gilt ebenso fu¨r die Realisierung der PT -symmetrischen Zusta¨nde [33]. Da das Viermuldensystem vier reelle Gro¨ßen zur Verfu¨gung stellt, mithilfe derer das Verhalten des offenen Zweimuldensystems simuliert werden kann, stehen prinzipiell ge- nu¨gend Parameter zur Verfu¨gung, um das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde sowie auch der PT -brechenden Zusta¨nde des Zweimuldensystems zumindest in der ersten Ordnung im Vielteilchensystem zu realisieren. Ein reiner Zustand stellt jedoch aufgrund der im System vorhandenen Kontaktwechselwirkung keine ideale Wahl fu¨r einen An- 71 7. Zusammenfassung und Ausblick fangszustand zur Bestimmung der Dynamik im Vielteilchensystem dar. Dadurch wird die Verwendung unreiner Anfangszusta¨nde zur Realisierung des Verhaltens der PT - symmetrischen Zusta¨nde des Zweimuldensystems im Vielteilchensystem motiviert. Im zweiten Teil der Arbeit wurde ein Verfahren vorgestellt, mit welchem sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Systems im Viermulden-Vielteil- chensystem in der ersten Ordnung der Hierarchie realisieren la¨sst. Ausgangspunkt der Betrachtungen war dabei das Verhalten des offenen Zweimulden- systems, welches in der Mean-Field-Na¨herung durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung be- schrieben wird. Ausgehend davon wurden durch Vergleich der Dynamik des offenen Sys- tems mit der Dynamik der inneren beiden Mulden des Viermulden-Vielteilchensystems Zeitabha¨ngigkeiten fu¨r die Kontrollparameter gefunden, in welche, anders als in [33], keinerlei Annahmen u¨ber die Anfangszusta¨nde eingehen. Die Zeitabha¨ngigkeit der Tun- nelraten (6.8) ergab sich dabei direkt aus dem Vergleich der Dynamik, fu¨r die Onsite- Energien ließ sich ein lineares Gleichungssystem bestimmen, welches fu¨r unreine Zusta¨n- de, d.h. Zusta¨nde, die sich nicht als Produkt der Einteilchenzusta¨nde darstellen lassen, die eindeutige Lo¨sung (6.26) liefert. Die Werte fu¨r die Onsite-Energien sind fu¨r einen sol- chen unreinen Zustand eindeutig bestimmt, wodurch die zahlreichen Probleme, welche sich in [34] bei Betrachtung von reinen Zusta¨nden ergeben haben, nicht auftreten. Fu¨r reine Anfangszusta¨nde sind die Gleichungen des Gleichungssystems jedoch linear abha¨n- gig und man erha¨lt die in [30, 32, 34] hergeleiteten und im ersten Teil dieser Arbeit verwendeten Gleichungen. Sie stellen dabei einen Grenzfall der allgemeineren Betrach- tungen dieser Arbeit dar. Um in der Vielteilchendynamik das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems zu realisieren, wurden unreine Anfangszusta¨nde konstruiert, welche die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen, die sich aus dem Vergleich mit dem offenen System ergeben. Unreine Zusta¨nde besitzen eine große Anzahl an Freiheitsgra- den, jedoch lassen sich die Elemente der Ein- und Zweiteilchendichtematrix nicht kom- plett unabha¨ngig voneinander wa¨hlen, da sie die Symmetrien (4.20) erfu¨llen mu¨ssen. Um einen passenden Anfangszustand fu¨r die BBR-Methode zu finden, wurde daher zuna¨chst ein entsprechender Fock-Zustand konstruiert und anschließend die Erwartungswerte mit den Dichteoperatoren ausgewertet. Die so bestimmten Elemente erfu¨llen automatisch die Symmetrien (4.18), (4.19) und (4.20). Um einen passenden Fock-Zustand zu finden, wurde der bekannte Mean-Field-Zustand (6.42) des Systems zugrunde gelegt und mit gaußverteilten Zufallszahlen ausgelenkt, d.h. es wurde eine kleine Sto¨rung auf den Zustand aufgebracht. Der Vorteil dieses Vorgehens ist, dass viele der vorhandenen Freiheitsgrade festgelegt werden, aber dennoch genu¨gend Freiheitsgrade verblieben, mit welchen die Nebenbedingungen erfu¨llt werden ko¨nnen. Somit erha¨lt man einen unreinen Zustand, dessen Auslenkung durch einen einzigen Pa- rameter, na¨mlich die Breite der Gaußverteilung, charakterisiert wird. Die Zufallszahlen wurden anschließend mithilfe eines Minimierungsverfahrens so angepasst, dass die re- sultierenden Elemente der Einteilchendichtematrix die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) 72 erfu¨llen. Die auf diese Art und Weise konstruierten Zusta¨nde wurden schließlich fu¨r die Be- rechnung der Dynamik des Vielteilchensystems mithilfe der BBR-Methode verwendet. Es zeigte sich, dass sich mit der in dieser Arbeit vorgestellten Methode das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems in der ersten Ordnung der Hierarchie des Vielteilchensystems realisieren la¨sst. Die Auswertung der numerischen Ergebnisse ergab, dass sowohl die Besetzungszahlen n2 und n3 in den mittleren beiden Mulden als auch der Strom j23 und die Korrelation c23 zwischen den beiden inneren Mulden zeitlich konstant sind. Dies unterscheidet sich wesentlich von dem Ergebnis in [33], da auch die Forderung an die Korrelation c23 erfu¨llt werden konnte, die in [33] un- ter Verwendung reiner Anfangszusta¨nde und Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparameter basierend auf dem Mean-Field-Verhalten nicht erfu¨llt werden konnte. In dem in dieser Arbeit verwendeten Viermuldensystem kann nicht erwartet werden, dass sich das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde auch in der zweiten Ordnung im Vielteilchensystem einstellt. Die Untersuchung der Dynamik der Momente zweiter Ordnung, welche nur die Indizes zwei und drei besitzen, zeigte, dass sie von der Dy- namik der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Systems abweicht. Dies entsprach der Erwartung und hat zwei Ursachen: Zum einen wurden an die Momente zweiter Ordnung keine Nebenbedingungen gestellt und zum anderen wurde mithilfe der Zeitab- ha¨ngigkeiten (6.8) und (6.26) nur die Einteilchendynamik des Systems angepasst. Dies bedeutet, dass selbst wenn entsprechende Nebenbedingungen an die Momente zweiter Ordnung gestellt worden wa¨ren, wu¨rde die Dynamik Abweichungen vom Verhalten des offenen Zweimuldensystems zeigen. Das liegt daran, dass das betrachtete Viermuldensys- tem, welches eine Minimallo¨sung zur Realisierung von PT -Symmetrie durch Einbettung in ein hermitesches System darstellt [30], nur vier reelle Parameter zur Verfu¨gung hat, mit welchen das Verhalten des offenen Systems simuliert werden kann. Mit ihnen ko¨nnen somit maximal die vier Gro¨ßen n2, n3, j˜23 und c23 der ersten Ordnung angepasst werden. Mithilfe des in dieser Arbeit vorgestellten Verfahrens la¨sst sich demnach das Ver- halten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems in der ersten Ordnung der Hierarchie der Beschreibung des Vielteilchensystems mithilfe unreiner An- fangszusta¨nde der Form (6.44), welche die Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) erfu¨llen, und der Zeitabha¨ngigkeiten (6.8) und (6.26) der Kontrollparameter realisieren. Durch Erset- zung der Nebenbedingungen (6.34)-(6.38) durch passende andere ließe sich mit diesem Verfahren analog unter Verwendung derselben Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparame- ter auch das Verhalten der PT -brechenden Zusta¨nde in der Einteilchendynamik des Vielteilchensystems einstellen. Die in dieser Arbeit zur Bestimmung der Dynamik des Vielteilchensystems verwendete BBR-Methode stellt eine Na¨herung der kompletten Viel- teilchendynamik dar. Um genauere Ergebnisse insbesondere fu¨r geringe Teilchenzahlen zu erhalten, kann in weiteren Untersuchungen eine Auswertung der Dynamik mithilfe des Bose-Hubbard-Modells erfolgen. Die hier vorgestellte Methode bietet die Mo¨glichkeit, weitere Nebenbedingungen an 73 7. Zusammenfassung und Ausblick den Anfangszustand zu stellen, da noch viele bisher ungenutzte Freiheitsgrade zur Ver- fu¨gung stehen. Damit ko¨nnten prinzipiell Bedingungen an Elemente ho¨herer Ordnungen erfu¨llt werden, wobei numerische Schwierigkeiten nicht ausgeschlossen werden ko¨nnen. Um das gewu¨nschte Verhalten in ho¨heren Ordnungen auch in der Dynamik zu erzielen, mu¨sste hierzu ein System bestehend aus mehr als nur vier Mulden verwendet werden, um zusa¨tzliche Parameter zur Verfu¨gung zu haben, mit welchen dann auch das Verhalten ho¨- herer Ordnung in der Dynamik kontrolliert werden kann. Somit ko¨nnte auf diese Art und Weise das Verhalten der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zweimuldensystems auch in ho¨heren Ordnungen des Vielteilchensystems realisiert werden. 74 A. Stationa¨re Lo¨sungen des offenen Zweimuldensystems In diesem Anhang werden die stationa¨ren Lo¨sungen des Zweimodenmodells (2.11) ange- geben und die Lo¨sungsstruktur anhand eines Bifurkationsdiagramms erla¨utert. A.1. Lo¨sung der zeitunabha¨ngigen Gross-Pitaevskii-Gleichung Die zeitunabha¨ngige Gross-Pitaevskii-Gleichung fu¨r das offene Zweimuldensystem aus Abschnitt 2.2 ist gegeben durch( g|ψ1|2 + iγ −J −J g|ψ2|2 − iγ )( ψ1 ψ2 ) = µ ( ψ1 ψ2 ) , (2.11) mit dem Eigenwert µ, welcher zugleich das chemische Potential des Systems darstellt. Gesucht sind nun die Eigenzusta¨nde und die zugeho¨rigen Eigenwerte. Die folgende Her- leitung orientiert sich dabei an den Ausfu¨hrungen in [15]. Mithilfe einer Energieverschiebung µ˜ mit µ˜ = µ− g 2 = µ− c, (A.1) wobei c = g/2, erha¨lt man aus Gleichung (2.11) eine GPE der Form( cκ+ iγ −J −J −cκ− iγ )( ψ1 ψ2 ) = µ˜ ( ψ1 ψ2 ) . (A.2) Hierbei wurde das Besetzungsungleichgewicht κ eingefu¨hrt mit κ = |ψ1|2 − |ψ2|2 (A.3) und zudem vorausgesetzt, dass die Wellenfunktion normiert ist, d.h. dass |ψ1|2+|ψ2|2 = 1 gilt. Multiplikation der ersten Zeile von Gleichung (A.2) mit ψ∗1 und der zweiten Zeile mit ψ∗2 und anschließende Addition beider Zeilen fu¨hrt auf einen Ausdruck fu¨r das chemische Potential µ˜: µ˜ = (cκ+ iγ)κ− J(ψ∗1ψ2 + ψ1ψ∗2). (A.4) 75 A. Stationa¨re Lo¨sungen des offenen Zweimuldensystems Ein allgemeiner Ansatz1 zur Lo¨sung von Gleichung (A.2), welcher die Normierung bereits entha¨lt, lautet ψ1 = √ 1 + κ 2 eiϕ, (A.5a) ψ2 = √ 1− κ 2 e−iϕ. (A.5b) Setzt man den Ansatz (A.5) in Gleichung (A.4) ein, so lautet der Ausdruck fu¨r das chemische Potential nun µ˜ = (cκ+ iγ)κ− J √ 1− κ2 cos(2ϕ). (A.6) Einsetzen des Ansatzes (A.5) in Gleichung (A.2) fu¨hrt nach Elimination von µ˜ auf 2 (cκ+ iγ) + J (√ 1 + κ 1− κe 2iϕ − √ 1− κ 1 + κ e−2iϕ ) = 0. (A.7) Wird Gleichung (A.7) in Real- und Imagina¨rteil aufgeteilt, liefert dies das Gleichungs- system cκ+ κ√ 1− κ2J cos(2ϕ) = 0, (A.8a) γ + J√ 1− κ2 sin(2ϕ) = 0. (A.8b) An der Struktur von Gleichung (A.8a) erkennt man, dass zwei verschiedene Fa¨lle un- terschieden werden mu¨ssen, na¨mlich die Fa¨lle κ = 0 und κ 6= 0, welche im Folgenden betrachtet werden. PT -symmetrische Lo¨sungen (κ = 0): Fu¨r κ = 0 ist Gleichung (A.8a) stets erfu¨llt und liefert keine weitere Aussage. Zur Bestimmung der Phase verbleibt nur Gleichung (A.8b), welche fu¨r κ = 0 den Ausdruck sin(2ϕ) = −γ J (A.9) liefert. Das Argument des Sinus ist 2ϕ, was der Phasendifferenz von ψ1 und ψ2 im Ansatz (A.5) entspricht. Diese Gro¨ße besitzt nur im Intervall [−pi,+pi] eine physikalische Bedeutung, d.h. die Gleichung (A.9) liefert zwei relevante Lo¨sungen, na¨mlich ϕs,g = −1 2 arcsin (γ J ) (A.10a) 1Bemerkung: Durch Multiplikation mit einer globalen Phase ko¨nnen die Phasen stets antisymmetrisch gewa¨hlt werden. 76 A.1. Lo¨sung der zeitunabha¨ngigen Gross-Pitaevskii-Gleichung und ϕs,e = 1 2 arcsin (γ J ) − pi 2 . (A.10b) Der Index s steht dabei fu¨r die symmetrische Lo¨sung, der Index g bezeichnet den energe- tisch tiefer gelegenen Grundzustand (unterer Ast im Bifurkationsdiagramm in Abbildung A.1) und der Index e den energetisch ho¨her gelegenen angeregten Zustand (oberer Ast im Bifurkationsdiagramm in Abbildung A.1). Die zu diesen beiden Lo¨sungen geho¨renden Eigenwerte sind gegeben durch µs = g 2 ± √ J2 − γ2. (A.11) Zusammengefasst ergeben sich die PT -symmetrischen Eigenzusta¨nde des Systems zu ψs,g = ( √ neiϕs,g√ ne−iϕs,g ) (A.12) fu¨r den Grundzustand und zu ψs,e = ( √ neiϕs,e√ ne−iϕs,e ) (A.13) fu¨r den angeregten Zustand. PT -gebrochene Lo¨sungen (κ 6= 0): Fu¨r κ 6= 0 la¨sst sich Gleichung (A.8a) durch κ dividieren. Somit verbleiben fu¨r den PT -brechenden Fall zwei Gleichungen zur Bestimmung von ϕ und κ. Quadrieren der Gleichungen (A.8), anschließende Addition und Auflo¨sen nach κ liefert κ = ± √ 1− J 2 c2 + γ2 . (A.14) Um ϕ zu berechnen, wird Gleichung (A.14) in die Gleichungen (A.8) eingesetzt. Man erha¨lt c √ J2 c2 + γ2 = −J cos(2ϕ) (A.15a) und γ √ J2 c2 + γ2 = −J sin(2ϕ). (A.15b) 77 A. Stationa¨re Lo¨sungen des offenen Zweimuldensystems Division der beiden Gleichungen (A.15) fu¨hrt auf tan(2ϕ) = γ c . (A.16) Da das Argument 2ϕ des Tangens wieder die Phasendifferenz zwischen ψ1 und ψ2 dar- stellt und im Intervall [−pi,+pi] liegen muss, ist hier der entsprechende Zweig des Ar- kustangens auszuwa¨hlen. Wie in Abschnitt 2.2 erwa¨hnt, sollen in dieser Arbeit positive Werte von g und γ betrachtet werden. Unter dieser Voraussetzung erha¨lt man fu¨r die Phase ϕa = 1 2 arctan (γ c ) − pi 2 , (A.17) wobei der Index a die antisymmetrische Lo¨sung bezeichnet. Um das chemische Potential fu¨r die PT -brechende Lo¨sung zu finden, werden die Gleichungen (A.14) und (A.17) in Gleichung (A.4) eingesetzt. Man erha¨lt µa = g ± iγ √ J2 c2 + γ2 − 1 = g ∓ iγκ, (A.18) d.h. der zur PT -brechenden Lo¨sung zugeho¨rigen Eigenwerte sind komplex. Insgesamt ergeben sich die PT -brechenden Eigenzusta¨nde zu ψa =  √κ+12 eiϕa√ κ−1 2 e−iϕa  . (A.19) A.2. Bifurkationsdiagramm Stellt man den Wert des chemischen Potentials (A.11) bzw. (A.18) u¨ber dem Paramter γ dar, so erha¨lt man den im Bifurkationsdiagramm in Abbildung A.1 dargestellten Verlauf. Fu¨r J = 1 fallen die PT -symmetrische Lo¨sung (A.11) (angeregter Zustand) und die beiden PT -brechenden Lo¨sungen (A.18) am sogenannten Tripelpunkt γt [50] bei γt = √ 1− g 2 4 (A.20) zusammen. Der Tripelpunkt stellt einen exzeptionellen Punkt dar. Fu¨r γ < γt existieren im System nur die beiden PT -symmetrischen Lo¨sungen, die zugeho¨rigen Eigenwerte sind rein reell. Zwischen γ = γt und γ = 1 findet man sowohl PT -symmetrische als auch PT -brechende Lo¨sungen und fu¨r γ > 0 existieren nur PT - brechende Lo¨sungen. 78 A.2. Bifurkationsdiagramm −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 R e µ ,I m µ γ Reµs Reµa Imµs Imµa Abbildung A.1.: Bifurkationsdiagramm fu¨r g = 1.6. Dargestellt sind Real- und Imagi- na¨rteil der chemischen Potentiale (A.11) und (A.18). Der Tripelpunkt befindet sich bei γt = 0.6. 79 B. Dynamik PT -symmetrischer Zusta¨nde im Mean-Field In diesem Anhang wird die Dynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde des offenen Zwei- muldensystems im hermiteschen Viermuldensystem bestimmt. Dabei werden die in [33] gegebenen Gleichungen verwendet. Die Betrachtungen erfolgen im Mean-Field-Limit mit dem Anfangszustand (3.15) und den Zeitabha¨ngigkeiten (3.7) und (3.13) der Kontroll- parameter. Im Folgenden werden analytische Ausdru¨cke fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Kontrollpa- rameter zur Berechnung der Dynamik der PT -symmetrischen Zusta¨nde in der Mean- Field-Beschreibung gegeben und die Dynamik bestimmt. Fu¨r eine ausfu¨hrlichere Be- handlung sei auf [30, 33] verwiesen. Da das hermitesche Viermuldensystem ein geschlossenes System darstellt, ergibt sich die zeitliche A¨nderung der Besetzungszahlen aus den Tunnelstro¨men in die jeweilige Mulde hinein und aus der jeweiligen Mulde heraus (siehe auch Abschnitt 5.1.2). Es folgen ∂ ∂t n1,M=4 = −j12 = −2γn2, (B.1a) ∂ ∂t n2,M=4 = j12 − j23 = 0, (B.1b) ∂ ∂t n3,M=4 = j23 − j34 = 0 (B.1c) und ∂ ∂t n4,M=4 = j34 = 2γn3, (B.1d) wobei verwendet wurde, dass fu¨r den Strom zwischen den mittleren beiden Mulden mithilfe von Gleichung (3.14a) fu¨r den PT -symmetrischen Anfangszustand (3.15) j˜23 = 2γn(0) (B.2) folgt. Damit ergibt fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Besetzungszahlen zu n1(t) = n1(0)− 2γnt, (B.3a) n2(t) = n(0), (B.3b) n3(t) = n(0) (B.3c) 81 B. Dynamik PT -symmetrischer Zusta¨nde im Mean-Field und n4(t) = n4(0) + 2γnt. (B.3d) Die Gleichungen (B.3) zeigen, dass die Anzahl der Teilchen in den inneren beiden Mulden zeitlich konstant ist und sich die Reservoirmulden linear leeren bzw. fu¨llen. Gleichung (3.14a) liefert, dass der Strom j23 zwischen den beiden inneren Mulden stationa¨r ist und nach Gleichung (3.14b) bleibt auch die Korrelation c23 konstant. Es liegt also PT - Symmetrie im eingebetteten System vor. Die dazu erforderlichen Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparameter lassen sich fu¨r diesen Fall in analytischer Form angeben. Die Gleichun- gen (3.7) fu¨r die Zeitabha¨ngigkeit der Tunnelraten ergeben fu¨r den PT -symmetrischen Anfangszustand (3.15) die analytischen Ausdru¨cke J12(t) = γ √ n(0) n1(0)− 2γn(0)t (B.4a) und J34(t) = γ √ n(0) n4(0) + 2γn(0)t . (B.4b) Fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Onsite-Energien lassen sich ebenfalls analytische Lo¨sun- gen finden. Mithilfe der Gleichungen (3.13) ergeben sich 1(t) = gn(0)− J cos(2ϕ)− gn1(0) + 2gγn(0)t = µs − gn1(0) + 2gγn(0)t (B.5a) und 4(t) = gn(0)− J cos(2ϕ)− gn4(0)− 2gγn(0)t = µs − gn4(0)− 2gγn(0)t, (B.5b) wobei µs das chemische Potential (A.11) des offenen Zweimuldensystems darstellt. In Abbildung B.1 ist die Dynamik des PT -symmetrischen Anfangszustands (3.15) mit den Zeitabha¨ngigkeiten (3.7) und (3.13) der Kontrollparameter dargestellt. 82 02 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 n1 n2n3 n4 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 8 10 c23 j˜23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 J12 J34 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 0 2 4 6 8 10 Ô1 Ô4 −3 −2 −1 0 1 2 3 0 2 4 6 8 10 ϕ4 ϕ2 ϕ3 ϕ1 (a) (b) (c) (d) (e) t t t n i j˜ 2 3, c 2 3 J k l Ô i ϕ i Abbildung B.1.: Mean-Field-Dynamik des PT -symmetrischen Zustands (3.15) fu¨r die Parameter g = 1.6 und γ = 0.5, berechnet durch Lo¨sung des 4 × 4 Matrixmodells (3.1) mit den Zeitabha¨ngigkeiten (3.7) und (3.13) der Kontrollparameter. Es ist die Dynamik der (a) Besetzungszahlen ni in den einzelnen Mulden, (b) der Gro¨ßen j˜23 und c23, (c) der Tunnelraten Jkl, (d) der Onsite-Energien k und (e) der Phasen ϕk dargestellt. Im Mean-Field la¨sst sich folglich PT -Symmetrie in den mittleren beiden Mulden realisieren. 83 C. Herleitung der Na¨herungsformel der BBR-Methode In diesem Anhang wird eine Herleitung der Na¨herungsformel (4.17) fu¨r die Elemente σklmnrs der Dreiteilchendichtematrix, welche in [42, 43, 46] verwendet wird, gegeben. Die hier dargestellte Herleitung orientiert sich dabei an den Ausfu¨hrungen in [35]. Es wird angegeben, wie die bei der Na¨herung vernachla¨ssigten Terme mit der Teilchenzahl skalieren. Fu¨r ein Erzeuger-Vernichter-Paar wird im Folgenden, in Anlehnung an [35], die Ab- ku¨rzung Aˆj = aˆ † kaˆl (C.1) verwendet, um die folgenden Gleichungen u¨bersichtlicher zu gestalten. Der Index j steht dabei fu¨r ein Paar (k, l). Dichtematrizen lassen sich stets diagonalisieren (siehe dazu auch Anhang D). Ist die Einteilchendichtematrix σˆ in der Basis |φi〉 diagonal, so la¨sst sie sich mit den entspre- chenden Eigenwerten λi darstellen als σˆ = ∑ i λi|φi〉〈φi|. (C.2) Die Basisvektoren sollen dabei so angeordnet sein, dass fu¨r die korrespondierenden Ei- genwerte λ1 > λ2 > . . . gilt. Die Gro¨ße f soll im Folgenden den Anteil der Teilchen darstellen, die sich nicht im Kondensatzustand befinden. Der gro¨ßte Eigenwert ist dann gegeben durch λ1 = Nges(1− f), fu¨r alle anderen Eigenwerte gilt folglich λj ≤ fNges. Der Operator, der ein Teilchen in der Basis |φi〉 vernichtet, soll mit bˆj bezeichnet werden, der Erzeuger mit bˆ†j, wobei bˆ † j|0〉 = |φj〉 gilt. Das Erzeuger-Vernichter-Paar Aˆj la¨sst sich in dieser Basis darstellen als Aˆj = ∑ r,s ajrsbˆ † rbˆs, (C.3) wobei die Koeffizienten ajrs fu¨r die folgenden Betrachtungen nicht bekannt sein mu¨ssen. Nun wird angenommen, dass sich die Mehrzahl der Bosonen im Kondensatzustand befindet, d.h. es ist f  1 und (1− f)Nges ≈ Nges. Wird die Wirkung der Erzeuger und Vernichter auf einen Zustand mit (1−f)Nges Bosonen im Kondensatzustand betrachtet, 85 C. Herleitung der Na¨herungsformel der BBR-Methode so ergeben sich bˆ†1|(1− f)Nges, . . . 〉 = √ (1− f)Nges + 1|(1− f)Nges + 1, . . . 〉 ≈√Nges|(1− f)Nges + 1, . . . 〉 (C.4a) und bˆ1|(1− f)Nges, . . . 〉 = √ (1− f)Nges|(1− f)Nges − 1, . . . 〉 ≈√Nges|(1− f)Nges − 1, . . . 〉. (C.4b) Wird ein einzelnes Teilchen in den Kondesatzustand eingebracht oder ausgekoppelt, so wirkt sich dies nicht wesentlich auf den Zustand des Systems aus, sofern sich eine gro¨ßere Anzahl Teilchen im Kondensatzustand befindet. Somit kann die Operatornatur von bˆ†1 bzw. bˆ1 vernachla¨ssigt werden und die Gleichungen (C.4) liefern die Ersetzungsvorschrif- ten bˆ†1 → √ Nges, (C.5a) bˆ1 → √ Nges. (C.5b) Mithilfe der Ersetzungen (C.5) la¨sst sich Gleichung (C.3) schreiben als Aˆj = a j 11Nges + ∑ r,s 6=1,1 ajrsbˆ † rbˆs ≡ Aj + δAˆj, (C.6) d.h. besteht nun aus einer c-Zahl der Ordnung O(Nges) und dem Operator ˆδAj mit der Ordnung O(Nges √ f)1. C.1. Abschneiden der BBGKY-Hierarchie nach der ersten Ordnung In diesem Abschnitt wird die BBGKY-Hierarchie nach der ersten Ordnung abgeschnit- ten und die Elemente zweiter Ordnung werden durch die Elemente der ersten Ordnung gena¨hert. Dies soll als Vorbereitung fu¨r die Herleitung der BBR-Na¨herung in Abschnitt C.2 dienen. Um die Momente zweiter Ordnung durch die Elemente erster Ordnung auszudru¨cken, muss eine Funktion g bestimmt werden, die 〈AˆjAˆk〉 ≈ g ( 〈Aˆj〉, 〈Aˆk〉 ) , (C.7) 1Alle Zusta¨nde, der Kondensatzustand ausgenommen, sind mit maximal fNges Teilchen besetzt. Die gro¨ßten Beitra¨ge in δAˆj werden von denjenigen Termen geliefert, die entweder bˆ † 1 oder bˆ1 enthalten. Die fu¨hrende Ordnung besitzt demnach die Gro¨ßenordnung √ Nges √ fNges = Nges √ f . 86 C.2. Abschneiden der BBGKY-Hierarchie nach der zweiten Ordnung erfu¨llt. Mit der Na¨herung (C.6) folgt fu¨r die linke Seite der Gleichung (C.7) 〈AˆjAˆk〉 = AjAk + Aj〈δAˆk + Ak〉δAˆj + δAˆjδAˆk. (C.8) Fu¨r die Form der Funktion g gibt es in diesem Fall nur eine Mo¨glichkeit, na¨mlich g ( 〈Aˆj〉, 〈Aˆk〉 ) = 〈Aˆj〉〈Aˆk〉. (C.9) Die Terme, die in Gleichung (C.9) gegenu¨ber Gleichung (C.8) vernachla¨ssigt werden, sind von der Gro¨ßenordnung O(N2gesf), d.h. 〈AˆjAˆk〉 = 〈Aˆj〉〈Aˆk〉+O(N2gesf) ≈ 〈Aˆj〉〈Aˆk〉. (C.10) In dieser Na¨herung werden folglich die Kovarianzen (4.21) vernachla¨ssigt, was der Mean- Field-Na¨herung entspricht. C.2. Abschneiden der BBGKY-Hierarchie nach der zweiten Ordnung In diesem Abschnitt wird die BBGKY-Hierarchie nach der zweiten Ordnung abgeschnit- ten, wodurch man die BBR-Methode erha¨lt. Die Elemente dritter Ordnung werden dabei durch eine Kombination der Elemente erster und zweiter Ordnung gena¨hert. Es gilt also wieder eine Funktion g zu finden, welche 〈AˆjAˆkAˆl〉 ≈ g ( 〈AˆaAˆb〉, 〈Aˆc〉 ) (C.11) mit a, b, c ∈ {j, k, l} liefert. Die linke Seite von Gleichung (C.11) liefert 〈AˆjAˆkAˆl〉 = Aj〈δAˆkδAˆl〉+ Ak〈δAˆjδAˆl〉+ Al〈δAˆjδAˆk〉 + AjAk〈δAˆl〉+ AjAl〈δAˆk〉+ AkAl〈δAˆj〉 + AjAkAl + 〈δAˆjδAˆkδAˆl〉. (C.12) Der letzte Term 〈δAˆjδAˆkδAˆl〉 in Gleichung (C.12) besitzt die kleinste Gro¨ßenordnung. Die Funktion g soll diesen Summanden daher nicht erzeugen, sondern er wird vernach- la¨ssigt. Ein entsprechender Ansatz dafu¨r lautet g ( 〈AˆaAˆb〉, 〈Aˆc〉 ) = 〈Aˆj〉〈AˆkAˆl〉+ 〈Aˆk〉〈AˆjAˆl〉+ 〈Aˆl〉〈AˆjAˆk〉 + η〈Aˆj〉〈Aˆk〉〈Aˆl〉, (C.13) mit einem noch zu bestimmenden Faktor η. Wird die Na¨herung (C.6) in den Ansatz (C.13) eingesetzt, so ergibt sich η = −2. Aufgrund des Vernachla¨ssigen des Summanden 87 C. Herleitung der Na¨herungsformel der BBR-Methode 〈δAˆjδAˆkδAˆl〉, welcher in der fu¨hrenden Ordnung die Gro¨ßenordnung O(f 3/2Nges) besitzt, erha¨lt man 〈AˆjAˆkAˆl〉 = 〈Aˆj〉〈AˆkAˆl〉+ 〈Aˆk〉〈AˆjAˆl〉+ 〈Aˆj〉〈AˆkAˆl〉 − 2〈Aˆj〉〈Aˆk〉〈Aˆl〉+O(N3gesf 3/2) ≈ 〈Aˆj〉〈AˆkAˆl〉+ 〈Aˆk〉〈AˆjAˆl〉+ 〈Aˆj〉〈AˆkAˆl〉 − 2〈Aˆj〉〈Aˆk〉〈Aˆl〉. (C.14) Es zeigt sich, dass das Abschneiden der BBGKY-Hierarchie nach der zweiten Ordnung (=BBR-Methode) eine Verbesserung um den Faktor f 1/2 gegenu¨ber des Abschneidens nach der ersten Ordnung darstellt. 88 D. Definition der Reinheit In diesem Anhang wird die in dieser Arbeit verwendete Definition der Reinheit erla¨utert. Zuna¨chst werden dazu einige Eigenschaften des Dichteoperators zusammengefasst, wie sie beispielsweise in [51, 52] zu finden sind. Ein Quantensystem befindet sich in einem Zustand, der als rein bezeichnet wird, wenn es mit einem Zustandsvektor |ψ〉 aus dem Hilbertraum beschrieben werden kann. Das System befindet sich dann mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 in diesem Zustand. Der Dichteoperator ist dann einfach die Projektion ρˆ = |ψ〉〈ψ| auf den Zustand |ψ〉. Ein Zustandsgemisch hingegen besteht aus reinen Zusta¨nden ψi mit einer Wahrschein- lickeitsverteilung pi mit ∑ i pi = 1. Der Dichteoperator ist dann gegeben durch ρˆ = ∑ i pi|ψi〉〈ψ|. (D.1) Er hat folgende Eigenschaften: ρˆ = ρˆ† selbstadjugiert, (D.2) 〈ψ|ρˆ|ψ〉 ≥ 0 positiv definit, (D.3) tr ρˆ = 1 normiert. (D.4) Aufgrund der Eigenschaft (D.2) kann der Dichteoperator immer diagonalisiert werden, ρˆ = ∑ u ρu|ρu〉〈ρu|, (D.5) wobei alle Eigenwerte ρu wegen der Eigenschaft (D.3) positiv sind und wegen der Nor- mierung (D.4) zwischen null und eins liegen. Dabei gilt ∑ u ρu = 1. Die Eigenwerte haben demnach die Bedeutung von Wahrscheinlichkeiten. Im Falle eines reinen Zustands exis- tiert ein Eigenwert, welcher den Wert eins besitzt, alle u¨brigen sind gleich null. Befindet sich das System in einem gemischten Zustand, so ist dies nicht der Fall. Die Reinheit P eines Quantensystems wird daher oftmals definiert als die Spur des Quadrats der Dichtematrix ρ [51] P = tr(ρ2). (D.6) Bei dieser Definition nimmt P Werte zwischen 1/D und 1 an, wenn mit D die Dimension des Systems bezeichnet wird. 89 D. Definition der Reinheit Die reduzierte Einteilchendichtematrix σ1,red ergibt sich aus der Einteilchendichtema- trix σ1, welche sich aus dem Einteilchendichteoperator in Gleichung (4.8a) berechnet, u¨ber σ1,red = σ1 trσ1 , (D.7) wobei trσ1 = ∑ i〈aˆ†i aˆi〉 = ∑ i〈nˆi〉 ist. Die Reinheit der reduzierten Einteilchendichtema- trix ist nach (D.6) gegeben durch P ′ = trσ21,red. (D.8) In dieser Arbeit wird eine davon abweichende Definition fu¨r die Reinheit verwendet, welche in [28, 35] vorgeschlagen wird. Der Ausdruck (D.6) wird dabei so modifiziert, dass P Werte zwischen null und eins annimmt, na¨mlich PM = M tr (σred ·σred)− 1 M − 1 . (D.9) Fu¨r ein reines Bose-Einstein-Kondensat nimmt die reduzierte Einteilchendichtematrix die Form σ1,red = 1 0 . . .  (D.10) an. Der unreinste Zustand, in dem sich das System befinden kann, ist bei M Mulden gegeben durch σ1,red = 1/M 1/M . . .  . (D.11) Fu¨r P = 1 liegt dann ein ga¨nzlich reiner Zustand mit einer reduzierten Einteilchendich- tematrix der Form (D.10) vor, der sich als Produktzustand von Einteilchenzusta¨nden darstellen la¨sst [35]. Fu¨r P = 0 ist der Zustand, in dem sich das System befindet, maxi- mal unrein und die reduzierte Einteilchendichtematrix nimmt die Form (D.11) an. 90 E. Erla¨uterungen zur Implemetierung E.1. Normierung der BBR-Methode Bei Beschreibung des Vielteilchensystems mithilfe des Bose-Hubbard-Modells wa¨chst der Hilbertraum gema¨ß Gleichung (4.4) mit der Teilchenzahl. Bei ho¨heren Teilchenzahlen sto¨ßt man schnell an die Grenzen der Numerik. Die BBR-Methode bietet den Vorteil, dass der numerische Aufwand nicht mit der Teilchenzahl skaliert, sondern diese nur als Parameter eingeht. Die numerische Auswertung der Bewegungsgleichungen (4.12) und (4.16) kann durch Normierung der Elemente der Dichtematrizen verbessert werden. Liegen alle Gro¨ßen in der Gro¨ßenordnung eins, so treten weniger Probleme mit numerischen Effekten wie beispielsweise der Stellenauslo¨schung auf. Wie in Anhang C bei der Herleitung der Na¨herungsformel fu¨r die BBR-Methode ge- zeigt, besitzen die Elemente σkl der Einteilchendichtematrix die Ordnung O(Nges) und die Elemente σklmn der Zweiteilchendichtematrix die Ordnung O(N2ges). Um Elemente der Gro¨ßenordnung eins zu erhalten, werden die Elemente σkl mit Nges normiert, die Elemente σklmn hingegen mit N 2 ges, σkl,norm. = σkl Nges , (E.1) σklmn,norm. = σkl N2ges . (E.2) Da die na¨chstho¨here Ordnung stets mit einem Faktor Nges skaliert, ergeben sich fu¨r die normierten Differentialgleichungen der BBR-Methode i ∂ ∂t σkl = Jk−1,kσk−1,l + Jk+1,kσk+1,l − Jl,l−1σk,l−1 − Jl,l+1σk,l+1 − Uk (Ngesσkkkl − σkl) + Ul (Ngesσklll − σkl)− (k − l)σkl (E.3) in der ersten Ordnung und i ∂ ∂t σklmn = Jk−1,kσk−1,lmn + Jk+1,kσk+1,lmn − Jl,l−1σk,l−1,mn − Jl,l+1σk,l+1,mn + Jm−1,mσkl,m−1,m + Jm+1,mσkl,m+1,n − Jn,n−1σklm,n−1 − Jn,n+1σklm,n+1 − Uk (Ngesσkkklmn − σklmn) + Ul (Ngesσklllmn − σklmn) − Um (Ngesσklmmmn − σklmn) + Un (Ngesσklmnnn − σklmn) − (k − l + m − n)σklmn (E.4) 91 E. Erla¨uterungen zur Implemetierung in der zweiten Ordnung. An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass auch die jeweiligen Gleichungen fu¨r die Zeitabha¨ngigkeiten der Kontrollparameter an den entsprechenden Stellen angepasst wer- den mu¨ssen. E.2. Lexikographische Fock-Basis Eine effiziente Methode [48], um eine Fock-Basis zu erzeugen, ist es, diese in einer lexikographischen Ordnung zu sortieren. Jedem Basisvektor der Fock-Basis wird da- bei ein fester Index ν zugeordnet. Der Index ν = 1 geho¨rt zum ho¨chsten Zustand |ψ〉1 = |n1 = Nges, n2 = 0, ..., nM = 0〉, der Index ν = D zum niedrigsten Zustand |ψ〉D = |n1 = 0, ..., nM−1 = 0, nM = Nges〉, wobei D die Dimension der Basis bezeichnet und mit der Gesamtteilchenzahl Nges und der Anzahl der Mulden M u¨ber Gleichung (4.4) zusammenha¨ngt. Fu¨r zwei Basiszusta¨nde |ψ〉 = |n1, ..., nM〉 und |ψ′〉 = |n′1, ..., n′M〉 gilt |ψ′〉 < |ψ〉, wenn ein Index 1 ≤ m ≤M existiert, sodass n′k nm˜∑M˜−1 m=m˜D(Nm,Mm), n ′ m˜ < nm˜, (E.10) mit m˜ = min(k, l) (E.11) und M˜ = max(k, l). (E.12) Auf diese Weise ko¨nnen direkt die Elemente in Gleichung (E.8) bestimmt werden, die un- gleich null sind. Somit ko¨nnen Erwartungswerte von Erzeuger-Vernichter-Paaren, wie sie im Bose-Hubbard-Hamiltonian vorkommen, sehr einfach und effizient ausgewertet wer- den. Nicht-Na¨chster-Nachbar-Spru¨nge ko¨nnen ebenso, durch mehrmalige Anwendung des Verfahrens, ausgewertet werden. Daher empfiehlt sich die Verwendung des Zweiteil- chenoperators (4.9) zur Auswertung der Dynamik anstelle des Operators (4.7b), da sich 93 E. Erla¨uterungen zur Implemetierung σˆklmn aus zwei Erzeuger-Vernichter-Paaren zusammensetzt, fu¨r welche nacheinander das obige Verfahren angewendet werden kann. Im Operator σˆ′klmn hingegen tauchen erst die Erzeuger und dann die Vernichter auf, wobei sich das Verfahren nicht anwenden la¨sst. Eine Alternative stellt die Verwendung der Kovarianzen ∆klmn in Gleichung (4.21) dar, da auch hier Erzeuger und Vernichter paarweise auftreten. 94 Literaturverzeichnis [1] N. Moiseyev. Non-Hermitian Quantum Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge (2011). [2] C. M. Bender. 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Des Weiteren danke ich Herrn Prof. Dr. sc. nat. Hans Peter Bu¨chler fu¨r die U¨bernahme des Mitberichts. Herrn Prof. Dr. rer. nat. Gu¨nter Wunner danke ich fu¨r Aufnahme an das 1. Institut fu¨r theoretische Physik der Universita¨t Stuttgart wa¨hrend der Bachelor- und Masterarbeit. Außerdem bedanke ich mich bei Herrn Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Holger Cartarius und Herrn Dr. Robin Guto¨hrlein fu¨r die perfekte Systemadministration. Allen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Instituts danke ich fu¨r das gute Arbeits- klima. 101 Erkla¨rung Ich versichere, • dass ich diese Masterarbeit selbsta¨ndig verfasst habe, • dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wo¨rtlich oder sinngema¨ß aus anderen Werken u¨bernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet habe, • dass die eingereichte Arbeit weder vollsta¨ndig noch in wesentlichen Teilen Gegen- stand eines anderen Pru¨fungsverfahrens gewesen ist, • und dass das elektronische Exemplar mit den anderen Exemplaren u¨bereinstimmt. Stuttgart, den 02. November 2017 Tina Mathea