Entwicklung kontinuumskompatibler
Federmodelle
Von der Fakultät
Luft- und Raumfahrttechnik und Geodäsie der Universität Stuttgart
zur Erlangung der Würde eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)
genehmigte Abhandlung
Vorgelegt von
Dipl.-Ing. Michael Reck
aus Forchheim
Hauptberichter: Privatdozent Dr.-Ing. Ioannis Doltsinis
Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Peter Middendorf
Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Karl Schweizerhof
Tag der mündlichen Prüfung: 12.09.2017
Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen
Universität Stuttgart
2017
D93
ISBN 978-3-942807-06-7
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die
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Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig.
Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen
des Urheberrechtsgesetzes.
© Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen,
Universität Stuttgart, Stuttgart, 2017
Dieser Bericht kann über das Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruk-
tionen, Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 27, 70569 Stuttgart, Telefon: (0711) 6856-63612,
Fax: (0711) 6856-63706, bezogen werden.
Vorwort
Diese Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am
Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen (ISD) der
Universität Stuttgart als Nachfolgearbeit der Dissertation von Dr.-Ing. Manfred Hahn.
Jedoch haben auch weitere Personen zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen. Hervorzu-
heben ist hierbei insbesondere Herr Priv.-Doz. Dr.-Ing. Ioannis Doltsinis, dem ich für die
Übernahme des Hauptberichts dieser Arbeit sowie deren fachlicher Betreuung danken
möchte. Des Weiteren soll auch der Beitrag der Mitberichter, Herr Prof. Dr.-Ing. Karl
Schweizerhof und Herr Prof. Dr.-Ing. Peter Middendorf, nicht unerwähnt bleiben, die
mit der Übernahme des Mitberichts und den damit verbundenen kritischen Fragen zu
einer Verbesserung dieser Arbeit beigetragen haben.
Auch meinen Kollegen möchte ich für die gemeinsame produktive und schöne Zeit am
Institut danken. Hervorzuheben sind hierbei die interessanten fachlichen Diskussionen
mit Rafael Jarzabek, Manfred Hahn, Christian Messe und Karsten Keller. Auch Andrea
Berghammer möchte ich einen besonderen Dank aussprechen für ihre Freundlichkeit und
Hilfsbereitschaft.
Nicht zuletzt danke ich meiner Familie, insbesondere meiner Frau Sarah, für die fortwäh-
rende Unterstützung während der Abfassung dieser Arbeit.
Stuttgart, September 2017 Michael Reck

Inhaltsverzeichnis
Nomenklatur xi
Kurzfassung xv
Abstract xvii
1. Einleitung 1
1.1. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Ziele der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Diskrete numerische Methoden in der Mechanik 5
2.1. Theoretische Resultate der mikromechanischen diskreten Modellierung . 6
2.2. Modellierung des makroskopischen Materialverhaltens . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Federmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Balkenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3. Die Diskrete-Elemente-Methode nach CUNDALL . . . . . . . . . . 15
2.2.4. Starrkörper-Feder-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.5. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Netzgenerierung bei diskreten Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1. Periodische Netze bei diskreten Modellen . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2. Unregelmäßige Netze aus der DELAUNAY-Triangulation und ihren
dualen VORONOI-Polygonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Stabgittermodelle für unregelmäßige Netze 21
3.1. Herleitung von Stabgittermodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1. Allgemeine Herleitung der Federsteifigkeiten . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2. Grenzen derartig hergeleiteter Modelle . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Ein 2D-Stabgittermodell für Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1. Beitrag einer Längsfeder zur Elastizitätsmatrix . . . . . . . . . . 26
3.2.2. Beitrag einer Winkelfeder zur Elastizitätsmatrix . . . . . . . . . . 27
viii INHALTSVERZEICHNIS
3.2.3. Bestimmung der Federsteifigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.4. Vereinfachungen für isotrope Materialien . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Ein 3D-Stabgittermodell für Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1. Beitrag einer Längsfeder zur Elastizitätsmatrix . . . . . . . . . . 33
3.3.2. Beitrag einer Winkelfeder zur Elastizitätsmatrix . . . . . . . . . . 35
3.3.3. Bestimmung der Federsteifigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Beziehungen zur Lösung der Finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5. Berechnung der Dehnungen bei Stabgittermodellen . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1. Berechnung der Zelldehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.2. Berechnung der Knotendehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.3. Berechnung der Dehnungen in Federverbindungen im zweidimen-
sionalen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6. Ergebnisse linear-elastischer Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.1. Ergebnisse für Probleme mit konstantem Dehnungsfeld . . . . . . 44
3.6.2. Ergebnisse für einen Hohlzylinder unter Innendruck . . . . . . . . 45
4. Ein elasto-plastisches Stabgittermodell 53
4.1. Grundlagen der isotropen Kontinuumsplastizität . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1. Aufteilung der Verformung in elastischen und plastischen Anteil . 54
4.1.2. Berechnung des plastischen Anteils der Verformung . . . . . . . . 55
4.2. Grenzen der Modellbildung für Stabgittermodelle . . . . . . . . . . . . . 58
4.3. Plastische Verformung im Federmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.1. Berechnung der plastischen Verformung . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.2. Übertragung der plastischen Dehnung auf das zweidimensionale
Federmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.3. Modifikation der Federsteifigkeiten bei plastischer Verformung . . 66
4.3.4. Eine Anmerkung zur Konvergenz des Iterationsverfahrens . . . . 66
4.4. Ergebnisse elasto-plastischer Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1. Perfekte Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.2. Elastoplastizität mit lokaler Entfestigung . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.3. Elastoplastizität mit Verfestigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.4. Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. Rissbildung und -fortschritt beim Stabgittermodell 77
5.1. Bruchmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
INHALTSVERZEICHNIS ix
5.2. Rissmodellierung bei diskreten Makromodellen . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1. Punkt-Feder-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2. Balkenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.3. Starrkörper-Feder-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.4. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3. Sprödbruchmodellierung im neuen Federmodell . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.1. Berechnung der Verformung der Verbindungen . . . . . . . . . . . 87
5.3.2. Modelle für das Versagen der Verbindungen . . . . . . . . . . . . 91
5.3.3. Notwendige Modellmodifikationen beim Versagen einer Verbindung 91
5.4. Ergebnisse von Sprödbruchrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.1. Bruch unter einer Belastung nach Rissmodus I . . . . . . . . . . . 98
5.4.2. Bruch unter einer gemischten Belastung nach Rissmodus I/II . . 98
5.5. Simulation eines duktilen Bruchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6. Zusammenfassung und Ausblick 105
6.1. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Anhänge 109
A. Herleitungen 109
A.1. Schub- und Winkelfedern in diskreten Modellen . . . . . . . . . . . . . . 109
A.1.1. Über die Verletzung des Momentengleichgewichts bei der Verwen-
dung von Schubfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.1.2. Zur Äquivalenz von Schub- und Winkelfedern bei Erfüllung des
Momentengleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.3. Schlussfolgerungen für die Verwendung von Schubfedersystemen . 114
A.2. DELAUNAY-Triangulation und VORONOI-Polygone . . . . . . . . . . . . . 114
A.3. Vereinfachungen der Federsteifigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . 116
A.4. Volumenerhaltung der plastischen Verformung . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.5. Energieabnahme beim Bruch einer Verbindung . . . . . . . . . . . . . . . 119
B. Hinweise zu den Modelleigenschaften 121
B.1. Verhalten unter endlichen Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
x INHALTSVERZEICHNIS
C. Steifigkeitsmatrizen und Kräfte der Federelemente 125
C.1. Herleitung aus der inneren Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C.2. Die Normalkraftfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C.3. Die Winkelfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C.3.1. Vereinfachung für eine Winkelfeder zwischen drei Knoten . . . . . 128
C.3.2. Vereinfachung für den zweidimensionalen Fall . . . . . . . . . . . 128
Literaturverzeichnis 131
Nomenklatur
Im Folgenden sind die Formelzeichen und mathematischen Operatoren aufgeführt, die in
der vorliegenden Arbeit wiederholt auftreten.
Koordinatensysteme
Vektorielles
Symbol
Koordinaten Bezeichnung
X X,Y, Z Karthesisches Koordinatensystem
Xr r, θ, z Zylinderkoordinatensystem
ξ ξ, η Mitdrehendes Koordinatensystem im Dreieck
Matrizen und Vektoren
Symbol Einheit Bezeichnung
0 — Nullmatrix
E Nm2 Elastiziätsmatrix in VOIGT’scher Notation
E˜ Nm2 Beitrag einer Feder zur Kontinuumssteifigkeit
F N Kraftvektor
F — Deformationsgradient
H — Tensorielle HENCKY-Dehnung
I — Einheitsmatrix
K Nm Steifigkeitsmatrix
n — Normalenvektor
T — Transformation zwischen Dehnungen und Federverformungen
u m Verschiebungsvektor eines Knoten
ε — Dehnungstensor
εˆ — Lineares Dehnungsmaß in VOIGT’scher Notation
λ — Plastische Variablen
ξ m Relative Koordinaten eines Knoten
σ Nm2 CAUCHY-Spannungstensor
σˆ Nm2 CAUCHY-Spannung in VOIGT’scher Notation
xii NOMENKLATUR
Lateinische Symbole
Symbol Einheit Bezeichnung
a m Halbe Risslänge
A m2 Fläche
A4 m2 Fläche eines Dreiecks
E Nm2 Elastizitätsmodul
f — Fließfunktion
F N Skalare Kraft
G Nm Energiefreisetzungsrate
H — Skalare HENCKY-Dehnung
k Nm Federsteifigkeit
K Nm− 32 Spannungsintensität
l m Länge (der Verbindung zweier Punkte)
lv m Länge einer Kante eines VORONOI-Polygons
N — Anzahl der Federn in einer Federzelle
q — Verallgemeinerte, dimensionslose Verformung
t m Modelldicke
u, v, w m Verschiebungen eines Knoten
Griechische Symbole
Symbol Einheit Bezeichnung
α — Lagewinkel
γ — Schubwinkel
ε — Skalare Dehnung
ε˜l — Längsdehnung einer Normalkraftfeder
λ — Streckung
ν — Querkontraktionszahl
Π Nm Arbeit
σ Nm2 Skalare Spannung
ϕ — Winkel in einem Dreieck
χ — Relative Intensität des plastischen Flusses
Ω m3 Volumen
xiii
Mathematische Operatoren
Operator Bezeichnung
‖ · ‖2 Länge (2-Norm) eines Vektors
Sp Spur einer Matrix
Indices
Symbol Bezeichnung
0 Bezogen auf den Anfangszustand
∞ Im Unendlichen
a Bezogen auf eine Winkelfeder
acc. Akkumulierte Größe
c Kontinuumsgröße
dev. Deviatorischer Anteil eines Tensors
e Bezogen auf den elastischen Anteil der Verformung
ges. Gesamte Größe
n Bezogen auf eine Normalkraftfeder
nom. Nominale Größe
p Bezogen auf den plastischen Anteil der Verformung
s Bezogen auf eine Schubfeder
v Vergleichsgröße
z Bezogen auf eine Federzelle

Kurzfassung
Die numerische Simulation des Versagensverhaltens von Werkstoffen ist eine Problemstel-
lung, die bis heute noch nicht vollständig gelöst ist. Neben den klassischen Kontinuums-
modellierungen wie den erweiterten Finiten Elementen werden hierfür oftmals diskrete
Modelle verwendet. Diese bieten den Vorteil, dass das diskrete Phänomen des Risses
durch einfaches Entfernen von diskreten Elementen modelliert werden kann, wohingegen
Kontinuumsmethoden eine kontinuierliche Beschreibung des Verschiebungsfelds in der
Nähe der Rissspitze erfordern.
Die Zuverlässigkeit bestehender diskreter Modelle ist jedoch durch signifikante Probleme
in ihrer Modellierung stark eingeschränkt. So können sie bislang in der Regel homogene,
klassische Kontinua nur unter Beschränkung auf isotrope Materialien bestimmter Quer-
kontraktionszahlen abbilden. Zudem kann die Homogenität des diskreten Modells nur
gewährleistet werden, indem periodische Rechengitter verwendet oder Kontinuumsele-
mente wie Finite Elemente in das Modell eingebaut werden. Auch plastisches Verhalten
– insbesondere die reine deviatorische Natur des plastischen Fließens – kann in diesen
Modellen nicht abgebildet werden.
In dieser Arbeit wird ein neues, kontinuumskompatibles Federmodell für zwei- und drei-
dimensionale quasistatische Anwendungen entwickelt, das diesen Beschränkungen nicht
unterworfen ist. Hierzu werden neue Federzellen eingeführt, die mithilfe einer Kombinati-
on aus Normalkraft- und Winkelfedern einen beliebigen konstanten Dehnungszustand
bei einem homogenen Material abbilden können. Es wird gezeigt, dass dieses Modell
somit in der Lage ist, für Netze aus Simplex-Zellen beliebiger Geometrie ein beliebiges
homogenes Material mit anisotropen Elastizitätseigenschaften im linear-elastischen Fall
zu approximieren. Sie verhalten sich damit im linear-elastischen Fall so wie die linearen
Dreiecks- und Tetraederelemente, die aus der Methode der Finiten Elemente bekannt
sind.
In der Folge wird das zweidimensionale Federmodell um eine Modellierung für elasto-
plastisches Materialverhalten mit isotroper Verfestigung erweitert und dargelegt, wie
auch andere Plastizitätsformulierungen in das Federmodell integriert werden können.
Bei dieser Plastizitätsmodellierung werden mithilfe des dehnungsbasierten Ansatzes
xvi KURZFASSUNG
der Kontinuumsplastizität die plastischen Änderungen der Federn berechnet. Es wird
demonstriert, dass das entwickelte Modell – erstmals für ein diskretes Modell – in
der Lage ist, auch die Volumenerhaltung der plastischen Verformung exakt abzubilden.
Zusätzlich wird auf den Effekt der Lokalisierung der plastischen Dehnung in Scherbändern
eingegangen.
Abschließend wird eine Formulierung für die Simulation von Rissen für dieses Modell
vorgestellt. Analog zu diskreten Modellen aus der Literatur werden dabei sowohl dehnungs-
basierte Bruchkriterien für die Federn verwendet, die die Lage der Federn berücksichtigen,
als auch solche, die unabhängig von der Orientierung der Federn sind. Es kann dabei
gezeigt werden, dass dieses Rissmodell im Stande ist, in Versuchen ermittelte Riss-
pfade zu reproduzieren, sofern ein geeignetes Bruchkriterium für die Federn gewählt
wird. Auch der duktile Bruch kann mit diesem Ansatz bei Nutzung der entwickelten
Plastizitätsformulierung approximiert werden.
Das neu entwickelte Modell ist damit in der Lage, die erwähnten Nachteile der aus
der Literatur bekannten diskreten Federmodelle zu beheben, während es zugleich in
der Risssimulation, für die solche Modelle regelmäßig verwendet werden, die Pfade des
Risswachstums zuverlässig vorhersagen kann.
Abstract
One of the major problems which are yet to be solved by means of modern numerical
simulations is the simulation of the fracture process of materials. To achieve this end, both
simulation techniques describing the material as a continuous system and techniques using
a discrete approach are used. The advantage of the latter is the fact that in these models
a crack is simply formed by removal of a discrete element, whereas the former needs a
description of the displacement field in the vicinity of the crack. However, discrete models
currently described in literature show severe problems. The most pressing problem is that
they cannot be used for modelling arbitrary homogeneous materials in computations with
aperiodic meshes. While some models are able to model some homogeneous materials,
they are still limited in their choice of the material parameters. In specific, these models
allow only the use of isotropic materials with a fixed POISSON’s ratio. An additional
problem of these models is that nonlinear phenomena of the continuous material such as
plasticity cannot be modelled at all without violating constraints posed by the observation
of these phenomena. For example, in the case of plastic deformation the strict deviatoric
nature of the plastic flow cannot be enforced upon existing discrete models. This means
that such models are so far not suitable for the fracture simulation of materials with a
non-negligible plastic flow before fracture.
In this work, a new discrete lattice spring model for two- and three-dimensional quasi-
static applications is proposed. With this model, which is comprised of normal springs
and angular springs arranged in triangular and tetrahedral cells, an arbitrary homoge-
nous material can be approximated. Within the limits of a linear-elastic analysis, this
approximation is exact for every constant strain field within each cell. It thus has in this
case the same properties as constant strain triangles and constant strain tetrahedrons
known from the Finite Element Method.
Following the introduction of this new lattice spring model, a method of modelling
elasto-plastic behaviour in this model is proposed. Using a strain-driven plasticity model,
both perfect plasticity and plasticity with hardening and softening can be reproduced
with this approach. By mapping the continuum plastic flow resulting from this approach
to the lattice springs, the discrete nature of the model is maintained. In addition, the
xviii ABSTRACT
compliance with the deviatoric nature of the plastic flow in this approach is proven and
localisation phenomena occurring in this model are discussed.
Finally, the fracture modelling within the context of the proposed model is discussed.
Following literature, strain-driven fracture criteria are chosen for the model. These are
applied both in a directional, that is along the axes of the springs, and in a rotationally
invariant version. As is shown in simulations, the right choice of the fracture criterion
leads to the development of crack paths during simulations, which closely follow those
observed in experiments. This is the case for both brittle fracture and ductile fracture
when using the proposed plasticity formulation.
It is thus justified to conclude that the proposed model can be used to solve the
aforementioned problems of the discrete models in literature whilst their main advantage,
that is the ability to predict crack paths with simple fracture models, is being retained.
1. Einleitung
1.1. Motivation
Für die Berechnung des mechanischen Verhaltens von Bauteilen hat sich die numerische
Simulation als Standardwerkzeug des Ingenieurs etabliert. Die Gründe hierfür sind prak-
tischer Natur: Durch die Entwicklung der Methode der Finiten Elemente (FEM) steht
dem Ingenieur eine Methode zur Verfügung, mit der im linear-elastischen Fall einfach und
schnell die zu erwartende Beanspruchung des Bauteils im Betrieb gut angenähert werden
können. Selbst bei großen Verformungen ist es möglich, die Beanspruchungen näherungs-
weise vorherzusagen. Dennoch sind bei weitem noch nicht für alle Problemstellungen
im Ingenieurwesen präzise Vorhersagen der Resultate mithilfe numerischer Simulation
möglich. Dies betrifft insbesondere Problemstellungen, bei denen das Material des Bau-
teils versagt, wie zum Beispiel bei Brüchen aufgrund statischer Überbeanspruchung oder
aufgrund von Materialermüdung durch dynamische Belastung. Es ist folglich nicht ver-
wunderlich, dass sich die Forschung in den letzten Jahrzehnten auf genau dieses Thema,
die Simulation des Versagensverhaltens von Werkstoffen und Bauteilen, konzentriert hat.
Die Gründe für die Schwierigkeiten der Simulation des Materialversagens sind vielfältig.
Zum einen ist es sehr schwierig, das Material hinreichend genau zu beschreiben. Dies
ist nicht zuletzt deshalb der Fall, weil für den Versagensvorgang der lokale Zustand
des Materials ausschlaggebend ist, welcher wiederum von der Ausrichtung der Körner
in Metallen, Gitterdefekten, der Vorschädigung des Werkstoffs durch die Fertigung
und Ähnlichem beeinflusst wird. Neben der Tatsache, dass diese Einflüsse selbst bei
Testkörpern identischer Fertigung unterschiedlich und damit für die Simulation unbekannt
sind, stehen oft auch nur globale, homogenisierte Werkstoffdaten zur Verfügung.
Ein weiteres Problem stellen die Simulationsmethodiken selbst dar. Zwar existiert eine
Vielzahl von Methoden zur numerischen Simulation der Rissbildung, jedoch sind alle
dieser Methoden mit Nachteilen behaftet. Auf der einen Seite existieren numerische Appro-
ximationen des Materials als Kontinuum, wie die Methode der Finiten Elemente. Hierbei
müssen jedoch, um den diskontinuierlichen Effekt des Risses darstellen zu können, entwe-
der Elemente aus der Diskretisierung entfernt werden, oder zusätzliche, diskontinuierliche
2 1. EINLEITUNG
Ansatzfunktionen eingeführt werden, die diesen abbilden können (dies ist zum Beispiel
bei XFEM [17,111] der Fall), oder die Diskontinuität muss, wie bei der Modellierung mit
Phasenfeldern [3], regularisiert und damit mathematisch geglättet werden [86]. Während
ersteres einen enormen zusätzlichen Rechen- und Komplexitätsaufwand darstellt, wird bei
letzterem die diskrete Struktur des Risses durch die Modellierung verfälscht, um den Riss
als glatte Funktion darzustellen und damit mit stetigen Ansatzfunktionen approximieren
zu können.
Im Gegensatz dazu erfreuen sich diskrete Methoden der Materialmodellierung, die im
Kapitel 2 im Detail eingeführt werden, bei der Risssimulation hoher Beliebtheit. Sie bieten
den Vorteil, dass aufgrund der kondensierten Darstellung der Materialeigenschaften in
diskreten Massen und Feder- oder Strukturelementen die Risssimulation durch einfaches
Entfernen ebendieser Elemente durchgeführt werden kann. Dies bietet zudem den Vorteil,
dass die Phänomene der Rissbildung, des Risswachstums, der Risskoaleszens und der
Rissverzweigung nicht separat behandelt werden müssen, sondern direkt als Ergebnis
des Versagens der einzelnen Verbindungen entstehen. Die diskreten Modelle sind damit
nach POTYONDY und CUNDALL [137] in der Lage, auf einfache Art die elastischen
Eigenschaften eines Materials, Risse im Material, die Ausbildung anisotropen Verhaltens
sowie die Schallemission durch ebendiese Risse, und viele weitere Eigenschaften von
Materialien abzubilden.
Jedoch leiden auch die diskreten Modellierungen, die in der Literatur zu finden sind,
unter Defekten: Sie sind weder im Stande, für klassische Kontinua bei unregelmäßi-
gen Rechennetzen ein beliebiges homogenes, linear-elastisches Material zu modellieren,
noch können sie – aufgrund der Kondensation der Materialeigenschaften in diskrete
Elemente – Kontinuumseffekte reproduzieren. Letzteres hat zur Folge, dass diese Modelle
beispielsweise nicht im Stande sind, die Volumenerhaltung der plastischen Verformung
abzubilden, womit bei der Simulation elasto-plastischen Materialverhaltens in diesen
Modellen signifikante Fehler in den Ergebnissen entstehen. Ersteres lässt sich zwar durch
die Nutzung periodischer Rechengitter in der Simulation teilweise beheben. Diese bringen
jedoch den Nachteil mit sich, dass bei Bruchsimulationen die Risse der Ausrichtung des
periodischen Netzes folgen, und die Rissbilder und Bauteilfestigkeiten somit stark von
der Ausrichtung des Netzes abhängen1.
Dennoch wurde vielfach gezeigt, dass diskrete numerische Verfahren gute Ergebnisse
für die statische und dynamische Bruchsimulation bei vertretbarem Aufwand erzeugen
können. Zusätzlich wurde kürzlich durch Untersuchungen am ISD gezeigt, dass auch für
1 Dies wird auch als netzinduzierte Anisotropie bezeichnet.
1.2. ZIELE DER ARBEIT 3
die Lebensdauersimulation mechanisch und thermomechanisch belasteter Bauteile mit
diskreten Methoden zufriedenstellende Ergebnisse für die Bruchlastspielzahl und das
Bruchbild erreicht werden können [65, 142].
1.2. Ziele der Arbeit
Das Ziel dieser Arbeit ist, ein neues diskretes Federmodell zu entwerfen, das die Vorteile
der diskreten Modelle aus der Literatur – namentlich die einfache Modellierung von
Rissen – reproduziert, ohne jedoch unter den Nachteilen dieser Modelle zu leiden. Hierzu
müssen mehrere Anforderungen an das Modell gestellt werden: So soll es zum einen
in der Lage sein, unabhängig vom gewählten Rechengitter ein beliebiges homogenes,
linear-elastisches Materialverhalten zu reproduzieren, um die netzinduzierte Anisotropie
der Ausrichtung der sich bildenden Risse zu eliminieren. Ein weiterer Vorteil dieser
Anforderung ist, dass der Modellrand genauer erfasst werden kann als bei der Vorgabe
periodischer Rechengitter. Zweitens soll das neue Modell in der Lage sein, Rissbilder aus
Versuchen mit spröden Materialien ähnlich genau zu reproduzieren wie bereits vorhandene
Modelle. Drittens soll die Möglichkeit der Modellierung der Kontinuumsplastizität in
diskreten Modellen untersucht und, falls möglich, ein elasto-plastisches Materialmodell
für das neu zu entwickelnde diskrete Verfahren eingeführt werden.
1.3. Aufbau der Arbeit
Diese Arbeit gliedert sich wie folgt: In Kapitel 2 wird die Grundidee der diskreten
Modellierung des mechanischen Kontinuums vorgestellt. Außerdem wird sowohl auf
die wichtigsten Vertreter dieser Modellklasse für die Risssimulation und den aktuellen
Stand dieser Verfahren eingegangen, als auch das Vorgehen der Netzgenerierung für die
numerische Simulation mit diskreten Modellen erläutert.
Kapitel 3 stellt das deformationsenergiebasierte Konzept der Herleitung von Feder-
modellen vor und nutzt dieses, um ein neues zwei- und ein dreidimensionales diskretes
Federmodell zu entwickeln. Es wird gezeigt, das diese Modelle alle Anforderungen erfüllen,
die in den Zielen der Arbeit für die linear-elastische Modellierung genannt wurden.
In Kapitel 4 wird auf die Modellierung elasto-plastischen Materialverhaltens im neu
entwickelten zweidimensionalen Federmodell eingegangen. Es wird dabei gezeigt, dass es
bei diesem Modell möglich ist, eine Formulierung für das plastische Verhalten des Modells
zu erstellen, die die Volumenerhaltung bei plastischen Deformationen exakt erfüllt. Bei-
4 1. EINLEITUNG
spielrechnungen für Zugproben mit unterschiedlichen Materialien zeigen, dass mit diesem
Modell sowohl Verfestigung, Entfestigung als auch die perfekte Plastizität berechnet
werden können, und dass die Lokalisierung der plastischen Deformation aufgrund der
Eigenschaften des Modells automatisch stattfindet.
Kapitel 5 geht auf die Modellierung des Bruchverhaltens im neu entwickelten zweidimen-
sionalen Federmodell ein. Es wird dabei ersichtlich, dass mit diesem Modell alle aus der
Literatur bekannten Versagenshypothesen erfasst werden können. Beispielrechnungen mit
unterschiedlichen Kriterien zeigen, dass bei geeigneter Wahl des Versagenskriteriums eine
Reproduktion der Rissbilder aus Versuchen aus der Literatur möglich ist. Zum Abschluss
dieses Kapitels wird gezeigt, dass auch eine Kombination der Plastizitätsformulierung
mit diesem Rissformalismus möglich ist, um duktiles Bruchverhalten zu simulieren.
Kapitel 6 fasst schließlich die Ergebnisse dieser Arbeit zusammen und gibt Anstöße zur
Weiterentwicklung des neuen Federmodells.
2. Diskrete numerische Methoden in der
Mechanik
Die Idee, ein mechanisches Kontinuum durch ein System diskreter Punkte zu beschreiben,
die paarweise durch kraftübertragende Elemente verbunden sind, reicht weit zurück. So
wurde ein solches System bereits im 19. Jahrhundert von NAVIER [118], POISSON [135],
CAUCHY [34] und KIRSCH [92] verwendet, um das mechanische Gleichgewicht und die
Differentialgleichung der Mechanik herzuleiten. Die mathematische Rechtfertigung hierfür
wurde von KLEIN undWIEGHARDT [93] geliefert, die zeigen konnten, dass bei Stabwerken,
deren Stäbe sich nicht schneiden, die Existenz eines Gleichgewichtszustands an allen
Knoten mit der Existenz einer Spannungsfunktion nach AIRY [1] gleichbedeutend ist.
Es wurde jedoch bereits durch CAUCHY [33] festgestellt, dass der Elastizitätstensor
des Materials, das mithilfe eines Stabgittermodells nachgebildet werden kann, in jedem
Fall vierfache Symmetrie besitzt. Diese vierfache Symmetrie wird nach dem Entdecker
auch als CAUCHY-Bedingung bezeichnet. Sie bedeutet eine starke Einschränkung der
Materialien, die mit Stabwerken modelliert werden können, und insbesondere, dass bei der
Modellierung isotroper Kontinua mithilfe eines Stabwerks die Querkontraktionszahl immer
einen Wert von ν = 14 im dreidimensionalen Fall und ν =
1
3 im ebenen Spannungszustand
annimmt1. VOIGT [168] zeigt in seiner Arbeit, dass eine andere Querkontraktionszahl
zum Beispiel durch die Annahme der Momentenübertragung zwischen den Punkten des
Netzes bei Verdrehung dieser erzeugt werden kann2.
1 Trotz dessen, dass diese Bedingungen schon seit über einem Jahrhundert bekannt sind, versuchen
nach KOT, NAGAHASHI und SZYMCZAK [96] immer noch viele Forscher, unter Anwendung von
Normalkraftfedern diskrete Modelle anderer Querkontraktionszahl zu erzeugen.
2 Es soll jedoch bereits hier erwähnt werden, dass bei der Verwendung nicht-zentraler Kräfte, zum
Beispiel durch Schub- oder Winkelfedern, nach LAKES [99] Materialien beliebiger – auch negativer –
Querkontraktionszahlen modelliert werden können.
6 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
2.1. Theoretische Resultate der mikromechanischen
diskreten Modellierung
Eine auf BORN zurückgehende Reihe von Veröffentlichungen [23–26,28,53,54,109] widmet
sich der analytischen Untersuchung des Verhaltens eines Materials nahe des absoluten
Temperaturnullpunkts, bei dem die einzelnen Atome, die als punktförmig angenommen
werden, rein über Normalkräfte, die sich aus Zweipunktpotentialen ergeben, interagieren.
Die Ergebnisse dieser Untersuchungen sind vielfältig: So leitet BORN [25] her, dass
auch bei der Herleitung der Materialdaten über die freie Energie des Atomsystems
für kleine Deformationen3 die CAUCHY-Bedingung erfüllt wird, und dass die Stabilität
eines Atomgitters gleichbedeutend ist mit der positiven Definitheit der makroskopischen
Deformationsenergie. Als Resultat dieser Überlegungen stellt er fest, dass das kubisch-
flächenzentrierte Atomgitter immer stabil ist, während das kubisch-raumzentrierte Gitter
energetisch bedingt stabil und das einfache kubische Atomgitter immer instabil ist. Dies
wird auch durch die numerischen Auswertungen der Ergebnisse mithilfe des Potentials
nach JONES [84,85] durch MISRA und BORN [109] bestätigt. Für hexagonale Gitter stellt
BORN [23] unter Erweiterung der Theorie um die Tensornotation fest, dass nur das
dichtestgepackte hexagonale Gitter stabil ist, nicht aber das hexagonale BRAVAIS-Gitter.
PENG und POWER [133] erweitern diese Stabilitätskriterien für rhomboedrische Kristalle,
während POWER [138] zeigt, dass der Nachweis makroskopischer Stabilität eines Kristalls
auch die mikroskopische Stabilität impliziert.
BORN und FÜRTH [24] nutzen das BORN’sche Stabilitätskriterium hingegen, um den
Versagensvorgang eines Atomgitters zu untersuchen. Die Ergebnisse für die Bruchspan-
nungen nach dieser Methodik sind zwar verglichen mit Versuchen viel zu hoch, aber
genauer als die Spannungen, die Mittels anderer Verfahren – als Beispiel wird die Ar-
beit von POLANYI [136] genannt – berechnet werden können. Die Autoren gehen davon
aus, dass dies der Tatsache geschuldet ist, dass die Modellierung nicht in der Lage
ist, Imperfektionen zu berücksichtigen. Außerdem wird in der Modellierung von einer
Temperatur nahe des absoluten Nullpunkts ausgegangen und somit die Ortsänderung
der Atome aufgrund der BRAUN’schen Bewegung ignoriert. Aufgrund dessen untersu-
chen FÜRTH und BORN [53, 54] den Einfluss der Temperatur auf das Elastizitäts- und
Bruchmodell. Sie stellen dabei fest, dass die Änderung der Elastizitätsmoduli durch die
Temperaturänderung im Modell gut mit Versuchen übereinstimmt, aber dennoch bei den
3 BORN berücksichtigt in dieser Arbeit nur lineare und quadratische Energieterme. Terme höherer
Ordnung werden in einer späteren Arbeit von BORN und MISRA [28] untersucht.
2.2. MODELLIERUNG DES MAKROSKOPISCHEN MATERIALVERHALTENS 7
Bruchspannungen hohe Abweichungen von 700% zwischen Versuch und Theorie beobach-
tet werden können. Diese Arbeiten zeigen somit, dass für eine theoretische Beschreibung
des Bruchvorgangs, die im Einklang mit Versuchsergebnissen steht, die Betrachtung
regelmäßiger Gitterstrukturen nicht ausreichend ist.
2.2. Modellierung des makroskopischen
Materialverhaltens mit diskreten Modellen
Diskrete Modelle wurden in der Form von Stabwerken 1941 erstmals von HRENNIKOFF [70]
zur Berechnung der Verformung makroskopischer kontinuierlicher Systeme eingeführt. In
seiner Veröffentlichung führt er dazu mehrere Federzellen ein, mit denen das Verhalten
eines isotropen mechanischen Kontinuums nachgebildet werden kann. Bei diesen Feder-
zellen handelt es sich um Anordnungen von Stabfedern, mit denen ein Gebiet durch
periodische Anordnung dieser vollständig diskretisiert werden kann. Außerdem führt er
Zellen aus BERNOULLI-Balken ein, mithilfe derer das Biegeverhalten von Platten durch
ein reines Balkenmodell modelliert werden kann. Neben Stabfedermodellen und Balken-
modellen, auf die in den Abschnitten 2.2.1 beziehungsweise 2.2.2 im Detail eingegangen
wird, existieren noch viele weitere diskrete Modellierungsverfahren zur Berechnung makro-
skopischer Strukturen4. Die wichtigsten Vertreter dieser Verfahren, auf die im Folgenden
ebenfalls detailliert eingegangen wird, sind die Methode der Diskreten Elemente nach
CUNDALL [41, 42] (Abschnitt 2.2.3) sowie Starrkörper-Feder-Modelle (Abschnitt 2.2.4).
Nicht nur die Modelle, sondern auch die Anwendungsbereiche von diskreten Modellen
sind vielfältig. Sie reichen von linear-elastischen Berechnungen über Rissberechnungen
ein- und mehrphasiger Stoffe bis zur vereinfachten Berechnung dynamischer, biegesteifer
Systeme ohne rotatorische Freiheitsgrade [8] und sogar zur Computergrafik [104], wo
diese Modelle aufgrund des geringen Rechenaufwands geschätzt werden.
2.2.1. Federmodelle
Punktmassen-Federmodelle (engl. Lattice Spring Models – LSM) sind die einfachsten
Vertreter der diskreten Modellierungsverfahren. Diese Modelle versuchen, die elasti-
schen Eigenschaften des Kontinuums ausschließlich mit Federn oder biegesteifen Stäben
4 Auf Methoden zur Simulation des mikromechanischen Verhaltens, wie zum Beispiel der Molekulardy-
namik, wird in dieser Arbeit nicht weiter eingegangen.
8 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
zwischen Knoten zu modellieren5. Für dynamische Rechnungen werden zusätzlich die
Masseneigenschaften des Kontinuums auf diese Knoten konzentriert. Diese Modelle ge-
hen auf die wegweisende Arbeit von HRENNIKOFF [70] zurück. Dieser nutzt Stäbe zur
Entwicklung von Federzellen, um die makroskopischen elastischen Eigenschaften des
Materials abzubilden. Diese Zellen haben jedoch zwei signifikante Nachteile: Zum einen
lassen sich mit ihnen nur periodische Netze erzeugen, auf deren Probleme in Abschnitt
2.3.1 eingegangen wird. Zum anderen sind die vorgestellten Zellen nur in der Lage, eine
Querkontraktionszahl von ν = 13 zu modellieren
6. Die Einschränkung auf periodische
Gitter wird durch die Arbeit von SPIERIG [160] behoben. Diese stellt Dreieckszellen
mit beliebiger Form vor, die in der Lage sind, ein homogenes, isotropes Material zu
modellieren. Dies wird dadurch ermöglicht, dass neben den Stäben, die nur Normalkräfte
übertragen können, zusätzlich Getriebesysteme zwischen drei Knoten eines Dreiecks
eingeführt werden. Eine andere frühe Idee, beliebige Querkontraktionszahlen abbilden zu
können, basiert auf der Idee von BORN und HUANG [27], die Netzknoten zusätzlich zu den
Normalkraftfedern mit Schubfedern zu verbinden. Hierbei muss jedoch darauf geachtet
werden, dass diese Schubfedern, wie in Anhang A.1.1 gezeigt wird, im Allgemeinen das
Momentengleichgewicht nicht erfüllen7 und Systeme, die solche Federn enthalten, nicht
invariant gegenüber Rotation sind. KEATING [89] behebt diesen Nachteil dadurch, dass
nicht mehr einzelne Schubfedern in das System eingebracht werden, sondern Winkelfe-
dern, die bei einer Winkeländerung zwischen zwei Normalkraftfedern ein Gegenmoment
erzeugen. Solche Federn wurden zuvor schon von KIRKWOOD [91] verwendet, um die
Schwingungen langkettiger Moleküle zu berechnen. Ein so erzeugtes System aus Knoten
und Federn ist invariant gegenüber Rotation und zudem in der Lage, das Kräfte- und
Momentengleichgewicht an jedem Knoten zu erfüllen.
Durch die Entwicklung der Methode der Finiten Elemente ging das Interesse der Ingenieure
an der Stabgittermethode zur Berechnung kontinuierlicher Systeme in den 1950er und
1960er Jahren stark zurück. Zeitgleich wurden Stabgittermodelle jedoch vermehrt zur
Berechnung von Rissen genutzt, da die Kraftinteraktion in diesen Modellen Ähnlichkeiten
zur Kraftinteraktion zwischen Atomen besitzt. So konnten THOMSON, HSIEH und RANA
[164] zeigen, dass mithilfe von Stabgittermodellen eine Rissfortschrittsrechnung auf
5 Auch das umgekehrte Vorgehen, die Bestimmung der Verformung von Gitterstrukturen mit Kontinu-
umsmethoden, ist möglich [119,129].
6 HRENNIKOFF stellt in der Arbeit zwar auch Zellen vor, die eine Querkontraktionszahl von ν 6= 13
modellieren sollen. Diese Zellen sind jedoch nur unter Zugbelastung bei einer nichtlinearen Betrachtung
stabil und verhalten sich im Inneren der Zelle nicht homogen. Sie sind damit zum Beispiel für
Risssimulationen ungeeignet.
7 Das Momentengleichgewicht an einer Schubfeder wird nur dann erfüllt, wenn die Feder die Länge
l = 0 hat.
2.2. MODELLIERUNG DES MAKROSKOPISCHEN MATERIALVERHALTENS 9
atomarer Ebene durchführbar ist. Dabei kann das Risswachstum im Gegensatz zur
Kontinuumstheorie nach GRIFFITH [59] nicht nur stabil oder instabil verlaufen, sondern
in der Nähe der kritischen Bruchspannung einen weiteren Zustand einnehmen. In diesem
Zustand ist der Riss nach der GRIFFITH’schen Theorie zwar bereits instabil, kann
sich aber aufgrund der diskreten Struktur des Atomgitters nicht weiter ausbreiten
und ist somit durch das Atomgitter gefangen. Dieser Zustand wird auch als ”lattice-
trapped“ bezeichnet. Auch zur numerischen Simulation der dynamischen Rissausbreitung
erfreuen sich Stabgittermodelle hoher Beliebtheit. SANDERS [149] nutzt beispielsweise
ein Federmodell, das aus Normal- und Schubfedern aufgebaut ist, um die Ausbreitung
von Wellen in Kristallen zu untersuchen. Eine Feststellung aus diesem Modell ist, dass
sich bei diskreten Modellen durch lokale Moden, die in Kontinuumsmodellen nicht
existieren, Spannungswellen auch überschallschnell ausbreiten können. WEINER und
PEAR [172] konnten zeigen, dass die Rissausbreitungsgeschwindigkeit in einem solchen
Modell gegen einen spannungsabhängigen Wert konvergiert, der, außer bei sehr hohen
Spannungen, im Unterschallbereich des Materials liegt. Werden in dem Modell zusätzlich
plastische Versetzungen im Material zugelassen, so kann beobachtet werden, dass der
Riss nicht wächst, sondern durch die plastische Verformung abstumpft. ASHURST und
HOOVER [7] hingegen untersuchen die dynamischen Eigenschaften von Stabgittermodellen,
die nur Normalkraftfedern enthalten. Sie kommen dabei zu dem Schluss, dass auch ein
Modell, das nur aus linear-elastischen Normalkraftfedern mit sprödem Bruchgesetz
besteht, ausreichend komplex ist, um die vielfältigen Phänomene der Schädigung, der
Rissbildung und der Wellenausbreitung zu beschreiben, während es zugleich einfach
genug ist, die auftretenden Phänomene analytisch zu beschreiben. Zudem zeigen sie,
dass das Federmodell bei der Verwendung gleichseitiger Dreiecke als Gitterzellen im
linear-elastischen Fall äquivalent zur Berechnung mit der Methode der Finiten Elemente
ist, wenn bei dieser lineare Dreieckselemente verwendet werden.
Der erste signifikante Beitrag zur Untersuchung von Stabgittermodellen mit aperiodischen
Netzen findet sich bei OSTOJA-STARZEWSKI undWANG [124,125]. Diese untersuchen die
makroskopischen Eigenschaften eines Stabgitters, das durch DELAUNAY-Triangulation ei-
ner aperiodischen Punktwolke erzeugt wurde. Sie zeigen dabei, dass bei Netzverfeinerung
die makroskopischen Elastizitäten gegen einen Wert konvergieren, der von der Methodik
abhängt, mit der die Punkte in der Ebene verteilt werden. Außerdem untersuchen sie
den Einfluss der geometrischen und physikalischen Unordnung8 auf die makroskopische
Steifigkeit des Systems. Dabei zeigt sich, dass die geometrische Unordnung des Netzes
8 Die geometrische Unordnung beschreibt die Unregelmäßigkeit in der Position der Netzknoten, während
die physikalische Unordnung die Streuung der Stab- und Federparameter beschreibt.
10 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
die Steifigkeit des Systems reduziert, während die physikalische Unordnung zu einer
Versteifung des Modells führt. Aufbauend darauf untersuchen OSTOJA-STARZEWSKI,
ALZEBDEH und JASIUK [122] Stabgittermodellierungen von Kompositmaterialien so-
wie den Einfluss, den das Verfahren für die Berechnung der Federsteifigkeiten auf die
Querkontraktionszahl des Modells besitzt. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist, dass
bei der Wahl eines Gesetzes für die Steifigkeit k der Federn in Abhängigkeit von der
Federlänge l und eines Parameters p, das der Beziehung k ∼ lp folgt, die Querkontrak-
tion eine Funktion des Parameters p ist. Dieses Ergebnis ist überraschend, da es auf
den ersten Blick den Ergebnissen der Herleitungen von NAVIER [118], POISSON [135],
CAUCHY [33] und VOIGT [168] widerspricht, nach der die Querkontraktionszahl in reinen
Normalkraftsystemen konstant sein sollte. Die Ursache für dieses Verhalten wird in dieser
Veröffentlichung jedoch nicht weiter diskutiert. Eine Erklärung für diese Differenzen
ist die lokale Inhomogenität der Verformung aufgrund dessen, dass kein homogenes,
isotropes Material modelliert wird. Somit ist die Bedingung der lokalen Isotropie, die für
die Herleitung der CAUCHY-Bedingungen angenommen wurde, nicht mehr erfüllt und
die globale Querkontraktion kann einen anderen Wert annehmen.
Ein letztes großes Hindernis bei der Nutzung von Federmodellen, der komplexe Formalis-
mus zur Berechnung der Federsteifigkeiten, die für ein homogenes, isotropes, elastisches
Material benötigt werden, wurde durch die Arbeit von MONETTE und ANDERSON [113]
überwunden. Diese nutzen erstmals eine dehnungsenergiebasierte Herleitung für die Feder-
steifigkeiten und ersetzen damit die übliche Berechnung dieser über Kräftegleichgewichte
und die Kompatibilität der Verformungen an den Knoten. Die energiebasierte Methodik
hat dabei den Vorteil, dass das Vorgehen unabhängig von der Topologie der Zelle ist, für
die die Federsteifigkeiten bestimmt werden sollen. Damit ist dieses Verfahren sehr gut
automatisierbar und garantiert gleichzeitig die Invarianz der Federsteifigkeiten gegenüber
einer Rotation der Federzelle, da sie auf der skalaren Größe der Dehnungsenergie basiert.
Diese Methodik, die auch im Folgenden verwendet wird, wird in Abschnitt 3.1 detailliert
vorgestellt. Neben der Einführung dieser neuen Berechnungsweise für die Steifigkeiten
enthält diese Arbeit von MONETTE und ANDERSON eine gute Zusammenfassung der
Netzabhängigkeit der Federbelastung bei periodischen Netzen. Diese zeigt dabei unter
anderem für periodische Dreiecksnetze, dass bei einer homogenen einachsigen Belastung
des Modells die Federn, die in Belastungsrichtung ausgerichtet sind, um 50% höher
belastet sind als Federn, die gegenüber der Belastungsrichtung um 60◦ verdreht liegen.
Die energiebasierte Methodik wurde unabhängig davon bei GRIFFITHS und MUSTOE [60]
eingeführt, um die Federsteifigkeiten für ein Federsystem, bei dem die Normal- und
2.2. MODELLIERUNG DES MAKROSKOPISCHEN MATERIALVERHALTENS 11
Schubfedern in regelmäßigen Dreiecken angeordnet sind, zu bestimmen. Eine gute Zu-
sammenfassung dieses Verfahrens mit Beispielen für die Herleitung der Federsteifigkeiten
für Stabgittermodelle mit Normalfedern, Normal- und Winkelfedern, sowie für Balken-
systeme zur Modellierung mikropolarer COSSERAT-Kontinua9 findet sich bei OSTOJA-
STARZEWSKI, SHENG und ALZEBDEH [123] und OSTOJA-STARZEWSKI [127]. Zusätzlich
werden in letzterer Veröffentlichung auch Stabgitter betrachtet, bei denen Federn nicht nur
zwischen Nachbarknoten existieren, sondern auch zwischen Konten, die zwei Gitterlagen
voneinander entfernt liegen. Durch ein solches Modell kann ein nichtlokales Kontinuum
nach ERINGEN [49,50] modelliert werden10. Diese Arbeit wurde im weiteren von OSTOJA-
STARZEWSKI und WANG [126] unter der Bezeichnung Particle Model sowie von WANG
ET AL. [170] unter dem Namen Hybrid Lattice Particle Model um die Masseneigenschaften
des Materials erweitert, um die Dynamik einer Rissbildung zu simulieren. Diese Modelle
erzeugen für den Grenzfall, dass die Partikel Atome am absoluten Temperaturnullpunkt
darstellen, dieselben Ergebnisse wie eine Simulation der Molekulardynamik.
In der jüngeren Vergangenheit wurden neben linear-elastischem Material mit Sprödbruch-
gesetzen zunehmend auch komplexere Materialmodellierungen für die Stabgittermodelle
verwendet. PAZDNIAKOU und ADLER [130] beispielsweise verwenden ein dreidimensio-
nales Stabgitter zur Simulation poröser Festkörper. Sie stellen dabei fest, dass für diese
Klasse von Materialien ein Stabgitter die Wellenausbreitung nur dann adäquat abbilden
kann, wenn die Wellenlänge der Anregung um ein Vielfaches größer ist als die Zelllänge
des Stabgitters. BUXTON, CARE und CLEAVER [31] führen dagegen bei dreidimensiona-
len Stabgittermodellen eine Plastizitätsformulierung ein, indem sie an jedem Knoten
des Stabwerks eine Kontinuumsspannung berechnen und die Federsteifigkeiten über die
Annahmen der Kontinuumsplastizitätstheorie aufgrund dieser Spannungen reduzieren. Es
wird jedoch festgehalten, dass bei diesem Verfahren die Volumenerhaltung des Kontinu-
ums bei plastischer Verformung nur dadurch gewährleistet werden kann, dass künstliche,
volumenerhaltende Kräfte an den Knoten aufgebracht werden. O'BRIEN [120] verwendet
Stabwerke, bei denen als Verbindungselemente zwischen den Knoten viskoelastische MAX-
WELL-KELVIN-VOIGT- und ZENER-Elemente verwendet werden, um die Ausbreitung
seismischer Wellen im Zwei- und Dreidimenionalen zu untersuchen. Ebenfalls mit der
Ausbreitung von Wellen und Rissen, die durch diese entstehen, beschäftigt sich die Arbeit
von ZHAO [179], KAZERANI, ZHAO und ZHAO [88] sowie ZHAO, FANG und ZHAO [181].
Sie verwenden dazu dreidimensionale Stabgittermodelle unter dem Namen Distinct Lat-
9 Benannt nach der Arbeit der COSSERAT-Brüder [40].
10 Ein Federmodell mit Interaktionen von Knoten, die mehr als zwei Gitterlagen voneinander entfernt
sind, ist beispielsweise bei TARASOV [163] zu finden.
12 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
tice Spring Method, bei dem die Modellknoten mit Normalkraft- und Schubfedern mit
linear-elastischem sowie mit dehnratenabhängigem Material verbunden sind. ZHAO und
ZHAO [182] erweitern diese Modelle zu einem Mehrfeldmodell, indem sie zusätzlich zu
den Verschiebungsfreiheitsgraden des Modells Dehnungfreiheitsgrade an den Knoten
einführen. Durch dieses zusätzliche Feld kann die überhöhte Steifigkeit des Modells bei
nichtkonstanten Dehnungsfeldern reduziert werden. Um das Problem der mangelnden
Invarianz der Schubfedern gegenüber Rotation in diesem Modell zu beheben, wird dieses
zudem von ZHAO [180] um eine vierte räumliche Dimension erweitert. Durch diese ist
er in der Lage, ein Modell zu generieren, das nur aus Normalkraftfedern besteht und
dennoch eine freie Wahl der Querkontraktionszahl des Materials erlaubt.
Auch für das Schädigungsverhalten von Materialien wurden verschiedene Gesetzmä-
ßigkeiten für die Federn entwickelt. Neben Ansätzen für die Rissbildung, auf die im
Detail in Abschnitt 5.2.1 eingegangen wird, ist hier insbesondere auf zwei Arbeiten
von KRAJCINOVIC und RINALDI [98] sowie RINALDI ET AL. [145] hinzuweisen. Diese
verwenden eine kontinuierliche Schädigungsfunktion, bei der die maximalen Dehnungen,
die eine Feder erfahren hat, zu einer Abminderung der Steifigkeit dieser führt, um neben
dem Rissverhalten auch Plastizität mit Verfestigung und Entfestigung zu modellieren.
Dieses Vorgehen ist jedoch nur bei einem monotonen Verlauf der Last möglich.
Auch andere physikalische Felder können in die Stabgittermodellierung einbezogen werden.
Als Beispiel hierfür sei die Herleitung für das thermische Feld bei HAHN ET AL. [66]
und das thermomechanische Feld bei HAHN [64] genannt. BUXTON ET AL. [32] dage-
gen nutzen Stabgittermodelle für eine gekoppelte Struktur-Fluid-Simulation. Hierzu
koppeln sie das Stabgitter mit einer diskreten Fluid-Modellierung, der sogenannten
BOLTZMANN-Gitter-Methode (engl. Lattice Boltzmann Method). GALE und LEWIS [55]
wiederum nutzen Federmodelle für die Formfindung von ebenen Stoffzuschnitten mit dem
Ziel, nach dem Zusammensetzen eine vorgegebene, dreidimensionale Form zu erhalten.
Sie bilden dazu ein Membranmodell aus Normalkraft- und Winkelfedern, das zusätzlich
die Vorzugsrichtungen der Stoffe abbilden kann.
Trotz der unterschiedlichen Anwendungen und Herleitungsmethoden leiden diese Punkt-
Feder-Modelle alle unter einem gemeinsamen Defekt: Sie sind nur bei periodischen Gittern
in der Lage, ein homogenes Materialverhalten abzubilden, was zu den in Abschnitt 2.3.1
angesprochenen Problemen der netzinduzierten Anisotropie und der Modellierung der
Ränder führt. Zur Lösung dieser Probleme wurden bereits mehrere unterschiedliche
Ansätze vorgestellt: GRASSL, BAŽANT und CUSATIS [57] sowie GRASSL und BAŽANT [56]
verwenden zum Beispiel unregelmäßige Dreieckszellen, in deren Kanten Stäbe liegen.
2.2. MODELLIERUNG DES MAKROSKOPISCHEN MATERIALVERHALTENS 13
Die Stabquerschnitte werden dabei dadurch bestimmt, dass das Material im Inneren
der Zelle gleichmäßig auf die Stäbe verteilt wird. Hierdurch wird die Anisotropie des
modellierten Materials gegenüber anderen Modellen zwar leicht reduziert, jedoch nicht
vollständig entfernt. RINALDI ET AL. [146] bestimmen die Stabfläche dagegen, indem sie
die Steifigkeit eines finiten Elements betrachten, das zwischen einem Knoten und der Kante
des VORONOI-Polygons orthogonal zu der Verbindung zum Nachbarknoten liegt. GUSEV
[63] verfolgt einen ähnlichen Ansatz. Er geht davon aus, dass die Steifigkeitsmatrizen
einer Federzelle und eines finiten Elements gleich sein müssen, um sich bei gleicher Last
gleich zu verformen. Somit können die Federsteifigkeiten dadurch bestimmt werden,
das die Linearkombination ihrer Steifigkeitsmatrizen der Steifigkeitsmatrix des finiten
Elements entspricht. Das Resultat seiner Berechnung ist ein System aus Normalkraft- und
Schubfedern, die zwar das Material für konstante Dehnungsfelder exakt abbilden, aber
lediglich im linearen Fall das Momentengleichgewicht erfüllen. BEEX ET AL. [16] dagegen
bestimmen die Eigenschaften von Federn in unregelmäßigen Dreiecksgittern, indem sie
davon ausgehen, dass die Federn eine Interpolation eines ihnen zugrunde liegenden,
regelmäßigen (Atom-)Gitters darstellen. Die Arbeit von SORG und BISCHOFF [159]
verfolgt eine ähnliche Idee. Sie geht davon aus, dass mit Stabgittern nur regelmäßige
Dreiecksnetze ein homogenes Materialverhalten abbilden können. Um dennoch nicht
zur genauen Erfassung der Modellränder das gesamte Rechengebiet mit einem sehr
feinen Dreiecksnetz modellieren zu müssen, koppeln sie das Stabgitter mit der Methode
der Finiten Elemente. Mit diesen können die Ränder des Modells abgebildet und die
Netzfeinheit variiert werden. Jedoch können auch diese Methoden das Problem der
Modellierung eines homogenen Materials bei aperiodischen Netzen nicht vollständig
lösen.
2.2.2. Balkenmodelle
Wie in Abschnitt 2.2.1 angesprochen, ist ein grundlegendes Problem von Federmodellen,
dass diese nur dann bei homogenen Materialien andere Querkontraktionszahlen als ν = 13
und ν = 14 im zwei- beziehungsweise dreidimensionalen Fall modellieren können, wenn sie
neben Normalkraftfedern zusätzliche Kraftübertragungselemente enthalten. Neben der
Verwendung von Schub- und Winkelfedern, die bereits in ebendiesem Abschnitt erwähnt
wurden, ist die Verwendung von momentenübertragenden Elementen wie Stabbalken
zur Verbindung der Knotenpunkte eine weitere Möglichkeit. Diese Modelle erfreuen sich
trotz der Tatsache, dass sie nicht gegen ein klassisches Kontinuum, sondern gegen ein
mikropolares COSSERAT-Kontinuum konvergieren, hoher Beliebtheit.
14 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
Während in früheren Arbeiten, zum Beispiel bei HRENNIKOFF [70] und TURNER ET AL.
[166]11, das Ziel dieser Balkenmodelle war, Kontinuumsplatten vereinfacht zu berechnen,
werden in neuerer Zeit Balkenmodelle meist zur Modellierung des Bruchverhaltens zwei-
und dreidimensionaler Kontinua verwendet. So verwenden HERRMANN, HANSEN und
ROUX [68] zu diesem Zweck ein zweidimensionales Gitter aus Balken, die in quadratischen
Zellen angeordnet sind. Im Gegensatz zu reinen Federmodellen wurden jedoch schon früh
Zellen entwickelt, die auch bei aperiodischen Netzen ein homogenes Materialverhalten
zeigen. Hierzu stellen SCHLANGEN und GARBOCZI [152] für das gesamte Netz eines
zweidimensionalen Modells ein globales Gleichungssystem für die Balkenquerschnitte
und -flächenträgheitsmomente auf, indem sie fordern, dass das Modell einen konstanten
Dehnungszustand exakt abbildet. Die Notwendigkeit der globalen Berechnung dieser
Größen ergibt sich daraus, dass die Modifikation der Position eines einzelnen Knotens
dazu führt, dass weit entfernte Balkengeometrien modifiziert werden müssen, um den
konstanten Dehnungszustand noch zu reproduzieren. Sie verwenden sowohl periodische
als auch aperiodische Gitter in einer nachfolgenden Publikation [153], um den Einfluss
des periodischen Rechengitters auf die Rissbildung im zweidimensionalen Fall zu zeigen.
Wie schon bei Federmodellen führt die Verwendung eines periodischen Rechengitters zu
einer netzinduzierten Anisotropie des Risswachstums.
Der allgemeine Einfluss der geometrischen Irregularität des Netzes auf die elastischen
Eigenschaften des Balkengitters wird von ZHU, HOBDELL und WINDLE [183] untersucht.
Sie stellen dabei anhand von Zellen hexagonaler Form fest, dass bei diesen die geometrische
Irregularität bei konstanter Balkengeometrie zwar die Steifigkeit des Modells erhöht,
jedoch keinen Einfluss auf die Querkontraktionszahl hat. MOUSANEZHAD ET AL. [114]
sowie MITSCHKE ET AL. [110] bestätigen dieses Ergebnis durch ihre Untersuchungen
der Querkontraktionszahl zweidimensionaler Balkenmodelle, bei denen sie feststellen,
dass die Querkontraktionszahl der Balkenmodelle in erster Linie von der Topologie und
Geometrie der regelmäßigen Zellen des Balkengitters abhängt.
Dreidimensionale Balkenmodelle werden sowohl für die Simulation räumlicher Kontinua,
als auch für die Modellierung von Schalensystemen verwendet. So Nutzen LILLIU und VAN
MIER [103] sowie von KOZICKI [97] dreidimensionale Balkenmodelle zur Modellierung
des Sprödbruchverhaltens von Beton und Stahlbeton. Die Stahlverstärkungen können
dabei durch Balken höherer Steifigkeit und Festigkeit in das System eingebracht werden.
DUBUS, SEKIMOTO und FOURNIER [47], WITTEL ET AL. [174] sowie WITTEL [175]
11 In dieser Arbeit wird von Versuchen berichtet, ein finites Plattenelement mit der Methode nach
HRENNIKOFF herzuleiten. Aufgrund von Schwierigkeiten bei der Erfüllung der Randbedingungen von
Platten, die keine rechteckige Form besitzen, wurden diese Versuche jedoch aufgegeben.
2.2. MODELLIERUNG DES MAKROSKOPISCHEN MATERIALVERHALTENS 15
dagegen untersuchen das Verhalten von Schalen, die mit Gittern aus Balken modelliert
werden. Letzterer untersucht dabei die dynamische Rissausbreitung in Scheiben und
Schalen mit Balkenmodellen sowie den Einfluss der geometrischen und physikalischen
Irregularität auf das Modell. Dabei wird festgestellt, dass die geometrische Irregularität in
erster Linie die Steifigkeit des Modells verringert, während die Zunahme der physikalischen
Irregularität bei einer Bruchsimulation in erster Linie die ertragbare Last des Modells
reduziert.
Ein weiteres Einsatzgebiet der Balkenmodelle ist die Modellierung diskontinuierlicher
zellulärer Medien. Beispiele hierfür finden sich beiWITTEL, DILL-LANGER und KRÖPLIN
[176], die diese Modelle zur Modellierung des Versagensverhaltens von Holz nutzen,
sowie bei SANDS [150], der ein Balkenmodell irregulärer Geometrie verwendet, um die
Rissausbreitung in Keramiken zu bestimmen.
2.2.3. Die Diskrete-Elemente-Methode nach CUNDALL
Die Diskrete-Elemente-Methode (DEM) verfolgt einen anderen Ansatz als die bisher
vorgestellten Gittermodelle12. Die Eigenschaften des Materials werden hier nach einer
Idee von CUNDALL [41] sowie CUNDALL und STRACK [42] nicht in Knoten und kraft-
übertragenden Elementen kondensiert. Stattdessen wird das Material in Starrkörper
aufgeteilt, die bei Kontakt über Kontaktfedern Kräfte aufeinander übertragen können.
Da beim Lösen des Kontakts keinerlei Kräfte mehr übertragen werden, eignen sich solche
Modelle natürlicherweise zur Simulation von Granulaten und anderem Schüttgut. Solange
Kontakt zwischen den einzelnen Elementen vorliegt, können diese Modelle jedoch durch
eine geeignete Anpassung der Kontaktsteifigkeiten so eingestellt werden, dass die resul-
tierende Verformung der eines beliebigen Feder- oder Balkenmodells entspricht. Auch die
Modellierung elektrischer und thermischer Felder ist mit diskreten Elementen möglich,
wie die Veröffentlichung von HUBERT ET AL. [73] zeigt. Die wichtigsten Erweiterungen
dieser Methode seit der ursprünglichen Entwicklung sind die Schubkraftübertragung und
Abrollwiederstände der Partikel (IWASHITA und ODA [81]) sowie die Einordnung in den
Kontext der Theorie der zellulären Automatentheorie (PSAKHIE ET AL. [140]). Einen
guten, ausführlichen Überblick über die Methode der Diskreten Elemente ist zum Beispiel
bei LUDING [106] zu finden.
12 Der Begriff der Diskrete-Elemente-Methode wird in der Literatur manchmal auch zur Bezeichnung
von Stabgittermodellen verwendet. In dieser Arbeit werden hiermit jedoch nur Modelle bezeichnet,
in denen nach CUNDALL die Interaktion von Starrkörpern über Kontakt modelliert wird.
16 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
2.2.4. Starrkörper-Feder-Modelle
Die Grundidee der Starrkörper-Feder-Modelle (engl. Rigid-Body-Spring Models) geht im
wesentlichen aufKAWAI [87] zurück.KAWAI wählt dabei einen Ansatz, bei dem Starrkörper
über Federn miteinander verbunden werden, um sowohl ebene Scheibenprobleme als
auch Balken- und Plattenprobleme zu berechnen. Der wesentliche Unterschied dieser
Methode zur Methode der Diskreten Elemente ist, dass die Federn auch dann Kräfte
übertragen können, wenn kein Kontakt zwischen den Starrkörpern vorliegt. In einem
analogen Vorgehen erweitern ZUBELEWICZ und BAŽANT [184] die Diskrete-Elemente-
Methode um eine zulässige Zugbelastung der Federn und sind damit in der Lage, das
Bruchverhalten von Beton unter Zugbelastung zu simulieren. Auch zu Balkennetzwerken
bestehen bei dieser Methode Ähnlichkeiten. So zeigen CHANG ET AL. [35] auf, dass bei
der Verwendung von Normalkraft-, Querkraft- und Drehfedern in den Kontaktflächen
diese beiden Modellklassen gleichwertig sind.
Wie andere diskrete Modelle leidet auch das Starrkörper-Feder-Modell unter Defekten.
Es zeigt bei periodischen Gittern ebenfalls richtungsabhängige Versagenseigenschaften
(JIRÁSEK und BAŽANT [83]) und ist in der Wahl der Materialparameter eingeschränkt.
Nach BOLANDER und SAITO [21] können diese Modelle nur dann ein homogenes, isotropes
Materialverhalten abbilden, wenn sie zusätzlich zu den Normalkraftfedern an den Kon-
taktflächen der Starrkörper Schubfedern enthalten, die die gleiche Steifigkeit besitzen wie
die Normalkraftfedern. In einem solchen Modell stellt sich jedoch aufgrund der isotropen
Steifigkeit zwischen den Kontakflächen immer eine Querkontraktionszahl von ν = 0 ein.
Werden die Starrkörper bei diesen Modellen als VORONOI-Polygone einer Punktwolke
aufgefasst, so können andere Querkontraktionszahlen zum Beispiel dadurch im Modell
verwendet werden, dass nach BOLANDER ET AL. [20] zusätzlich dreieckige Finite Elemen-
te in die duale DELAUNAY-Triangulation eingefügt werden. Andere Möglichkeiten, eine
andere Querkontraktionszahl bei gleichzeitiger Homogenität des Materialverhaltens zu
erreichen, sind die Skalierung der Federsteifigkeiten über die geometrischen Eigenschaf-
ten der VORONOI-Polygone nach CHRIST [38], sowie das Einführen volumenerhaltende
Hilfskräfte oder -spannungen nach ASAHINA ET AL. [5, 6].
2.2.5. Zusammenfassung
Im Obigen wurde anhand der Literatur gezeigt, dass bislang noch kein diskretes Mo-
dell existiert, das den Anforderungen der Ingenieure genügt. So existiert zwar in den
Starrkörper-Feder-Modellen ein diskretes Modell, bei dem für isotrope Werkstoffe die
2.3. NETZGENERIERUNG BEI DISKRETEN MODELLEN 17
Querkontraktion frei eingestellt werden kann, jedoch geschieht dies auf Kosten der dis-
kreten Natur der kraftübertragenden Elemente: Es müssen hierzu finite Elemente in
das Modell integriert werden. Zwar ist auch mit Balkenmodellen die makroskopische
Modellierung eines beliebigen isotropen Materials möglich. Da jedoch gezeigt werden
kann, dass diese Modelle bei Netzverfeinerung nicht gegen ein klassisches, sondern gegen
ein COSSERAT-Kontinuum konvergieren, können auch diese Modelle bei der Modellierung
klassischer Kontinua nicht beliebig verfeinert werden. Reine Federmodelle dagegen sind
bislang nicht in der Lage, homogene Kontinua für beliebige Netze abzubilden.
Es besteht folglich ein Bedarf nach einem diskreten Modell, das keinen dieser Nachteile
besitzt: Es sollte in der Lage sein, beliebige linear-elastische, homogene Kontinua bei
beliebig unregelmäßigen Netzen zu modellieren und bei Netzverfeinerung gegen die
klassische Kontinuumslösung konvergieren.
2.3. Netzgenerierung bei diskreten Modellen
Wie in der obigen Einführung der diskreten Modelle gezeigt wurde, sind die diskreten
Modelle aus der Literatur nicht in der Lage, für allgemeine Rechengitter ein homogenes
Materialverhalten abzubilden. Somit spielt bei diesen Modellen die Erzeugung ebendieser
Netze eine wesentliche Rolle für die Ergebnisse der Simulation. Dem Modellierer stehen
dabei prinzipiell zwei unterschiedliche Möglichkeiten der Netzgenerierung zur Verfügung.
2.3.1. Periodische Netze bei diskreten Modellen
Eine Möglichkeit der Netzerzeugung ist die Generierung periodischer Gitter aus Dreiecken,
Vierecken oder Hexaedern. Für diese sind viele der vorgestellten diskreten Verfahren in
der Lage, ein homogenes Materialverhalten abzubilden. Die Nachteile dieser Methode
sind jedoch erheblich: Es können weder Ränder stetig approximiert werden, die nicht in
Richtung der Periodizität des Netzes verlaufen, noch sind die Ergebnisse von Bruchsimula-
tionen bei regelmäßigen Netzen invariant gegenüber der Netzausrichtung, wie von BEALE
und SROLOVITZ [15] und MONETTE und ANDERSON [113] gezeigt wird. Dieses Verhalten,
das auch als netzinduzierte Anisotropie bezeichnet wird, hat zur Folge, dass, wie in
Abbildung 2.1 zu sehen ist, für die Richtung des Risswachstums eine der Richtungen der
Periodizität des Netzes stark bevorzugt wird.
18 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
−0.7843
−0.4000
0.0000
0.4000
0.8000
1.3142
σ
l
σ
∞
[−
]
Abbildung 2.1.: Bildung eines Risses in einem periodischen Stabgittermodell, das in
horizontaler Richtung mit einer Spannung σ∞ belastet ist. Wie zu sehen
ist, brechen hierbei die Stäbe entlang der Netzausrichtung. Der Grund
hierfür ist, dass die Belastung der Stäbe σl direkt von ihrer Ausrichtung
bezüglich der äußeren Last σ∞ abhängt.
2.3.2. Unregelmäßige Netze aus der DELAUNAY-Triangulation und
ihren dualen VORONOI-Polygonen
Die Nachteile der regelmäßigen Gitter können durch die Verwendung unstrukturierter
Gitter behoben werden. Mittels unstrukturierter Netze kann sowohl der Rand beliebig
fein aufgelöst werden, als auch die Existenz einer global einheitlichen Ausrichtung des
Netzes, der bei einer Risssimulation das Risswachstum folgt, vermieden werden. Dies
geschieht jedoch bei den meisten Modellen auf Kosten der Möglichkeit, ein homogenes
Materialverhalten abbilden zu können. Unstrukturierte Gitter werden bei diskreten Feder-
und Balkenmodellen üblicherweise über die DELAUNAY-Triangulation einer Punktwolke
erzeugt, während für Diskrete-Elemente-Modelle und Starrkörper-Feder-Modelle in der
Regel die VORONOI-Polygone eines Satzes von Knoten als Gitter verwendet werden.
Die DELAUNAY-Triangulation eines Satzes von Knoten ist eine Menge von Dreiecken,
die so beschaffen sind, dass innerhalb der Umkreise dieser Dreiecke keiner der Knoten
liegt (siehe auch Abbildung 2.2). Sie ist somit eindeutig, solange nicht vier Knoten
existieren, die auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, in dessen Inneren kein weiterer
Knoten liegt. Ein Beispiel für eine solche Triangulation eines rechteckigen Gebiets ist
in Abbildung 2.3 zu sehen. Zu jeder DELAUNAY-Triangulation existiert ein dualer Satz
von VORONOI-Polygonen, die in derselben Abbildung gestrichelt dargestellt sind. Die
Kanten dieser Polygone verlaufen zwischen den Umkreismittelpunkten benachbarter
Dreiecke und damit orthogonal zur Kante, an der sich diese Dreiecke berühren. Die
VORONOI-Polygone umschließen damit jeweils alle Punkte, die näher an den Knoten der
DELAUNAY-Triangulation in ihrem Inneren liegen, als an anderen Knoten der Triangula-
tion, und lassen sich damit als Einflussbereiche dieser interpretieren. Aufgrund dieser
2.3. NETZGENERIERUNG BEI DISKRETEN MODELLEN 19
M1M2
1
2
3
4
(a) DELAUNAY-Triangulation der Punkte
M1
M2
1
2
3
4
(b) Triangulation mit vertauschter Diagonalen
Abbildung 2.2.: Zwei unterschiedliche Möglichkeiten, Triangulationen für einen Satz
von vier Knoten zu bestimmen, mit den Kanten der dualen VORO-
NOI-Polygone (gestrichelt) sowie den Umkreismittelpunkten M1 und M2
der beiden Dreiecke. Bei der DELAUNAY-Triangulation (a) liegen keine
Knoten innerhalb der Umkreise der Dreiecke, und die Summe der Längen
der kolinearen Kantenabschnitte der VORONOI-Polygone ist positiv.
Abbildung 2.3.: DELAUNAY-Triangulation eines rechteckigen Gebiets. Die VORO-
NOI-Polygone, die gestrichelt dargestellt sind, sind im Allgemeinen Viel-
ecke, die einen einzigen Knoten enthalten. Die Ecken dieser Polygone sind
gerade die Umkreismittelpunkte der dualen DELAUNAY-Triangulation.
20 2. DISKRETE NUMERISCHE METHODEN IN DER MECHANIK
Eigenschaft, für jeden Punkt im Raum einen Bezugsknoten zu definieren, werden die
VORONOI-Polygone bei Starrkörper-Feder-Modellen regelmäßig verwendet, um die Form
der Starrkörper zu definieren, während ihre Kanten bei Federmodellen genutzt werden,
um bei Risssimulationen den Verlauf von Rissen darzustellen [128].
Für die numerische Simulation bietet die Verwendung einer DELAUNAY-Triangulation
als Netz signifikante Vorteile, die auf der Eigenschaft der Triangulation basieren, den
minimalen Innenwinkel ϕmin. der Dreiecke zu maximieren [101]. Nach MILLER ET AL.
[108] ist dieser wiederum direkt korreliert mit dem Fehler, der bei einer numerischen
Approximation der POISSON’schen Gleichung mit Dreieckselementen auftritt. BABUŠKA
und AZIZ [11] zeigen dagegen, dass bei der Finite-Elemente-Simulation der maximale
Innenwinkel ϕmax. eines Dreieckselements ausschlaggebend für den Fehler der Simulation
ist. Dieser jedoch ist immer kleiner als ϕmax. ≤ pi − 2ϕmin., womit ein großer minimaler
Innenwinkel direkt einen kleinen maximalen Innenwinkel bedingt.
Zudem existieren für die DELAUNAY-Triangulation einer ebenen Geometrie Verfahren,
die in der Lage sind, einen minimalen Innenwinkel aller Dreiecke der Triangulation,
und somit eine obere Grenze für den Fehler der Simulation zu garantieren. Erste Tri-
angulationsverfahren dieser Art sind die Algorithmen nach RUPPERT [148] und nach
CHEW [37]13. Für letzteren Algorithmus wurde dabei nachgewiesen, dass der Algorithmus
für alle Geometrien, die keine Winkel enthalten, die kleiner als 60◦ sind, Netze generieren
kann, deren minimaler Innenwinkel größer ist als 26.56◦, während zugleich die Anzahl
der generierten Dreiecke bis auf einen konstanten Faktor, der unabhängig von der Geo-
metrie ist, minimal ist [158]. Außerdem existieren neuere Algorithmen nach ERTEN und
ÜNGÖR [51, 52], die durch eine optimale Wahl der Knotenpunkte des Netzes in der Lage
sind, sowohl größere minimale Innenwinkel als auch maximale Innenwinkel der Dreiecke
bei der Netzgenerierung zu garantieren14.
Für einen ausführlicheren Einblick in die Theorie der DELAUNAY-Triangulationen sei hier
lediglich auf AURENHAMMER und KLEIN [9] verwiesen. Die für diese Arbeit wichtigen geo-
metrischen Beziehungen zwischen DELAUNAY-Triangulationen und VORONOI-Polygonen
sind für den interessierten Leser im Anhang A.2 zusammengefasst.
13 Diese sind beispielsweise in SHEWCHUKs Netzgenerator Triangle [157], der im Rahmen dieser Arbeit
verwendet wurde, implementiert.
14 ERTEN und ÜNGÖR stellen eine Implementierung ihres Verfahrens, den Netzgenerator aCute, zur
Verfügung. Auch diese wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit verwendet.
3. Stabgittermodelle für unregelmäßige Netze
In Kapitel 2 wurden bereits die Nachteile der in der Literatur verwendeten Stabgit-
termodelle aufgezeigt: Sie sind nur für regelmäßige Netze in der Lage, ein homogenes
Materialverhalten zu modellieren. Wie jedoch bereits in Abschnitt 2.3.1 gezeigt wur-
de, führen regelmäßige Netze bei einer Versagenssimulation zu einer netzinduzierten
Anisotropie der Rissbildung und -ausbreitung.
Um dieses Phänomen bei Stabgittermodellen zu vermeiden, wurden in der Vergangenheit
unterschiedliche Ansätze angewandt. Zum einen ist es möglich, die physikalischen Ei-
genschaften des Materials, wie zum Beispiel die Bruchfestigkeit Rm oder die Fließgrenze
RP0.2, über eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu definieren. In der Regel wird hierbei die
Wahrscheinlichkeitsverteilung nach WEIBULL [171] verwendet [65]. Für jede Simulation
wird dann eine separate Realisierung des stochastischen Modells generiert. Dieser Vorgang
wird als das Einbringen einer physikalischen Unordnung bezeichnet. Als zweite Mög-
lichkeit kann eine geometrische Unordnung in das System eingebracht werden. Hierbei
werden die Netzknoten eines periodischen Gitters bei jeder Realisierung des Modells aus
ihrer regelmäßigen Position zufällig verschoben, ohne dabei jedoch die Topologie des
Netzes zu modifizieren. Die Änderung der Ausrichtung der Stäbe soll dazu führen, dass
das Versagen nicht mehr der Periodizität des Netzes folgt, sondern entsprechend der
Ergebnisse aus Bruchversuchen stattfindet. Wie in Abschnitt 3.1 deutlich wird, führt
diese geometrische Unordnung dazu, dass die Materialeigenschaften im Modell lokal nicht
mehr homogen sind und nicht mehr mit dem vorgegebenen Material übereinstimmen,
was das physikalische Verhalten eines solchen Modells schwer vorhersehbar macht.
Nachfolgend wird ein anderer Weg beschritten, um die Nachteile bestehender Modelle zu
beheben. Wie dabei gezeigt wird, ist es bei geeigneter Wahl des Referenzvolumens für
die Herleitung und bei einer geeigneten Anordnung von Federn möglich, für beliebige
Netze aus Dreiecken beziehungsweise Tetraedern im linear-elastischen, statischen Fall ein
homogenes, beliebig anisotropes Material abzubilden. Nach einer kurzen Einführung in die
Theorie der Herleitung solcher Modelle, die im wesentlichen OSTOJA-STARZEWSKI [127]
folgt, wird dieses Modell in Anlehnung an die eigene Veröffentlichung [143] für den zwei-
und den dreidimensionalen Fall hergeleitet.
22 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
3.1. Theoretische Grundlagen der Herleitung von
Stabgittermodellen
Für die Herleitung eines Stabgittermodells werden zwei Ansätze benötigt: Die Feder-
struktur in einem vorgegebenen Bereich des Materials – der Referenzzelle – sowie eine
Berechnungsvorschrift, mithilfe derer die Steifigkeiten dieser Federn bestimmt werden
können. Während die Struktur der Referenzzelle prinzipiell beliebig gewählt werden kann,
existieren für die grundlegende Berechnung der Federsteifigkeiten im Wesentlichen zwei
Ansätze. Der erste, auf HRENNIKOFF [70] basierende Ansatz, nutzt die Tatsache aus,
dass bei konstanter äußerer Spannung die Verformung des Stabgitters und des Kontinu-
ums identisch sein müssen. Mithilfe bekannter Last- und Verformungszustände können
aus diesem Ansatz die Gleichungen zur Bestimmung der Federsteifigkeiten aufgestellt
werden. Der genaue Ablauf der Berechnung hängt dabei jedoch von der Struktur der
zugrundeliegenden Zelle ab und ist daher nur schwer zu automatisieren. Dafür ist es bei
diesem Verfahren möglich, auch für Zellen, die sich intern nicht homogen verformen, die
Federsteifigkeiten zu berechnen. Dieser Ansatz wird hier jedoch nicht weiter verfolgt.
Das zweite Vorgehen stützt sich auf die Idee, dass die elastische Dehnungsenergie der
Zelle und des Kontinuums für einen beliebigen, konstanten Dehnungszustand identisch
sein müssen (MONETTE und ANDERSON [113], OSTOJA-STARZEWSKI [127]). Der Vorteil
dieser Methode, die im Folgenden verwendet wird, ist die einfache Umsetzung, da die
gesamte Dehnungsenergie der Federzelle über die Addition der skalaren Dehnungsenergien
der einzelnen Federn berechnet werden kann. Dabei muss lediglich darauf geachtet werden,
dass die Verformung der Zelle, für die diese Berechnung durchgeführt wird, tatsächlich für
jeden Lastzustand durch einen konstanten Dehnungszustand beschrieben werden kann.
3.1.1. Herleitung der allgemeinen Bestimmungsgleichung für die
Federsteifigkeiten über die Dehnungsenergie
Die Dehnungsenergie Πc, die in einem elastisch verformten Kontinuum gespeichert ist,
hat allgemein die Form
Πc =
∫
Ω
∫
εˆ
σˆT · dεˆ dΩ , (3.1)
wobei σˆ das Spannungsmaß in VOIGT’scher Notation, εˆ das energetisch konjugierte
Dehnungsmaß in VOIGT’scher Notation und Ω das Volumen des betrachteten Körpers
3.1. HERLEITUNG VON STABGITTERMODELLEN 23
bezeichnet. Mithilfe der Elastizitätsmatrix E für ein linear-elastisches Material mit
σˆ = E εˆ, das für die Herleitung der Federzellen betrachtet werden soll, vereinfacht sich
diese Dehnungsenergie (3.1) zu
Πc =
∫
Ω
1
2 εˆ
T · E · εˆ dΩ . (3.2)
Für die Berechnung der Federsteifigkeiten kj einer homogenen Zelle z wird nun angenom-
men, dass die Dehnung über das gesamte Volumen Ωz der Zelle konstant ist. Durch diese
Annahme kann das Integral der Dehnungsenergie in Gleichung (3.2) ausgewertet werden.
Πc,z =
∫
Ωz
1
2 εˆ
T · E · εˆ dΩz ≈ 12Ωz εˆ
T · E · εˆ (3.3)
Die Auswirkung dieser Annahme wird in Abschnitt 3.1.2 genauer dargelegt.
Die Dehnungsenergie der N linear-elastischen Federn der Zelle des Federmodells ist
gerade die Summe der Dehnungsenergien der einzelnen Federn.
Πz =
N∑
j=1
1
2kj q
2
j (3.4)
Hierbei bezeichnet kj die Steifigkeit der j-ten Feder, während qj die verallgemeinerte
Verformung ebendieser darstellt. Bei gleicher Verformung des Kontinuumssystems und des
Federsystems können diese Verformungen des Federsystems als Funktion oder, im linearen
Fall, als linearisierte Funktion des Dehnungszustands des Kontinuums beschrieben werden.
qj = fj(εˆ) ≈ ∂fj(εˆ)
∂εˆ
∣∣∣∣∣
εˆ=0︸ ︷︷ ︸
Tj
· εˆ = Tj · εˆ (3.5)
Wird dies nun in die Forderung eingesetzt, dass die Dehnungsenergie beider Systeme
identisch sein muss, so erhält man
N∑
j=1
1
2kj q
2
j =
1
2
N∑
j=1
kj εˆ
T ·TTj Tj · εˆ !=
1
2Ωz εˆ
T · E · εˆ . (3.6)
Da Gleichung 3.6 für jeden beliebigen konstanten Dehnungszustand erfüllt sein muss,
24 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
folgt direkt
N∑
j=1
kj TTj Tj = Ωz
N∑
j=1
E˜j (kj) != Ωz E . (3.7)
Hierbei ist
E˜j =
1
Ωz
kj TTj Tj (3.8)
gerade der Beitrag der Feder j zur Elastizitätsmatrix des Materials. Diese Matrixgleichung
(3.7) enthält aufgrund der Symmetrie der Elastizitätsmatrix im zweidimensionalen Fall
maximal 6 und im dreidimensionalen Fall maximal 21 linear unabhängige Gleichungen.
Die Federsteifigkeiten können somit eindeutig für ein beliebiges Material bestimmt
werden, sofern es gelingt, genau 6 Federn im zweidimensionalen beziehungsweise 21
Federn im dreidimensionalen Fall so zu wählen, dass diese Gleichungen linear unabhängig
voneinander sind.
3.1.2. Grenzen derartig hergeleiteter Modelle
Für die in Abschnitt 3.1.1 eingeführte Herleitung wurde angenommen, dass im Federsys-
tem nur infinitesimale Verformungen vorliegen, da nur in diesem Falle die Linearisierung
der Abbildung der Federverformungen auf Kontinuumsdehnungen nach Gleichung (3.5)
gerechtfertigt ist. Dies führt, wie in Anhang B.1 gezeigt ist, dazu, dass die nach Gleichung
(3.7) berechneten Federsteifigkeiten nur bei linearen Rechnungen exakt das geforderte
Materialverhalten zeigen. Während bei Problemstellungen mit endlichen Verdrehungen
das Material noch richtig abgebildet werden kann, wenn die Federn rotationsinvariant
formuliert werden, wäre es bei Problemen mit endlichen Verzerrungen zur Erhaltung der
Materialeigenschaften nötig, die Federsteifigkeiten während der Simulation anhand der
momentanen Verzerrung der Zelle neu zu berechnen. Dies liefe jedoch dem Vorteil dieser
Modelle, der lokalen, diskreten Definition der Materialparameter in den Federn, zuwider
und ist daher nicht zu empfehlen.
Auch nichtlineares Materialverhalten kann mit der hier vorgestellten Herleitung nicht
modelliert werden. Der Grund hierfür ist die Annahme eines linear-elastischen Material-
verhaltens in Gleichung (3.2), die erforderlich ist, um ein lineares Gleichungssystem für die
Federkonstanten zu erhalten. Soll ein nichtlinear-elastisches Material modelliert werden,
so wäre, wie bei der Simulation endlicher Verzerrungen, wieder eine Neuberechnung der
Federsteifigkeiten aufgrund der momentanen Verformung nötig.
3.2. EIN 2D-STABGITTERMODELL FÜR DREIECKE 25
X2 X3
X1
k1
k2k3
k5 k6
k4
Y
X
Abbildung 3.1.: Anordnung der Federn in einer Dreieckszelle.
3.2. Ein zweidimensionales Stabgittermodell für
beliebige Dreiecke
Wie in Abschnitt 3.1.1 angemerkt wurde, sind für den Fall eines zweidimensionalen
Kontinuums 6 linear unabhängige Federn notwendig, um ein beliebiges, linear-elastisches
Material abbilden zu können. Da zugleich ein exakt konstanter Dehnungszustand darge-
stellt werden soll und dies ohne kinematische Nebenbedingungen nur mit einem System
aus drei linear verbundenen Punkten möglich ist, wird im Folgenden eine dreieckige
Federzelle nach Abbildung 3.1 verwendet. Diese Federzelle besitzt eine Normalkraft-
feder in jeder Verbindung zweier Knoten und Winkelfedern zwischen jedem Satz aus
zwei Normalkraftfedern. Die Nutzung von Winkelfedern hat im Gegensatz zu den bei
diskreten Modellen weit verbreiteten Schubfedern den Vorteil, dass sie invariant ge-
genüber Starrkörperrotationen sind. Außerdem erfüllen letztere im linearen Fall das
Momentengleichgewicht nur in Ausnahmefällen. Dies ist im Anhang A.1.1 im Detail
ausgeführt.
Für die Bestimmung der Steifigkeiten der einzelnen Federn werden die Beiträge dieser zur
Dehnungsenergie als Funktion der Kontinuumsdehnung benötigt, aus denen wiederum die
Beträge der Federn zur Kontinuumssteifigkeit extrahiert werden können. Diese werden
im Folgenden hergeleitet.
26 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
3.2.1. Beitrag einer Längsfeder zur Elastizitätsmatrix
Die Dehnungsenergie in einer Längsfeder ist die Energie, die durch die Längenänderung,
die die Verformung dieser vollständig beschreibt, in der Feder gespeichert ist. Die Län-
genänderung kann dabei auf unterschiedliche Arten ausgedrückt werden. Die einfachste
Wahl ist es, die absolute Änderung der Länge der Feder ∆l zu betrachten. Der Nachteil
dieser Wahl ist, dass dieser Verfomungsfreiheitsgrad dimensionsbehaftet ist. Alternativ
kann die längenbezogene Änderung der Federlänge, die Dehnung ε˜l der Feder, betrachtet
werden, um die Herleitung dimensionslos zu machen. Letzterer Weg wird hier beschritten.
Die Dehnungsenergie Πn einer einzelnen Längsfeder mit Steifigkeit kn lässt sich somit
darstellen als
Πn =
1
2kn ε˜
2
l . (3.9)
Mithilfe einer Drehtransformation kann diese Dehnung, die nach Abbildung 3.2 in einem
Winkel von α gegenüber der X-Achse vorliegt, über die Dehnungen des Kontinuums, in
das diese Feder eingebettet ist, ausgedrückt werden.
ε˜l =

cos2 α
sin2 α
cosα sinα

T
·

εxx
εyy
2 εxy
 = 1l2

∆X2
∆Y 2
∆X ∆Y

T
· εˆ = Tn · εˆ (3.10)
Der Beitrag dieser Längsfeder zur Elastizitätsmatrix ergibt sich folglich nach Gleichung
(3.7) zu
E˜n,j =
kn
Ωz
TTn Tn =
kn
Ωz l4

∆X4 ∆X2∆Y 2 ∆X3∆Y
∆X2∆Y 2 ∆Y 4 ∆X ∆Y 3
∆X3∆Y ∆X ∆Y 3 ∆X2∆Y 2
 . (3.11)
X1
X2
kn, l
Y
X
∆X
∆Y
α
Abbildung 3.2.: Lage einer Normalkraftfeder im zweidimensionalen Raum.
3.2. EIN 2D-STABGITTERMODELL FÜR DREIECKE 27
X1
X2X3Y
X
∆X1
∆Y1
∆X3
∆Y3
ϕ
Abbildung 3.3.: Lage einer Winkelfeder im zweidimensionalen Raum.
Diese Form für den Beitrag der Längsfeder zur Elastizitätsmatrix liefert zugleich die
CAUCHY’schen Bedingungen. Da für die Einträge des Beitrags in jedem Fall E˜12 = E˜33
gilt, kann, sofern ein Federsystem nur aus Längsfedern besteht, das Verhältnis zwischen
Schubsteifigkeit und Querdehnsteifigkeit des Modells nicht frei eingestellt werden. Für
den isotropen Fall folgt aus dieser Bedingung zudem, dass nur eine Querkontraktionszahl
von ν = 13 im Fall ebener Spannung und ν =
1
4 in Fall ebener Dehnung modelliert werden
kann.
3.2.2. Beitrag einer Winkelfeder zur Elastizitätsmatrix
Eine Winkelfeder ist eine Feder, die nach Abbildung 3.3 zwischen den drei Punkten
X1 =
[
X1 Y1
]
, X2 =
[
X2 Y2
]
und X3 =
[
X3 Y3
]
liegt. Die Feder erzeugt dann
eine Gegenkraft, wenn sich der Winkel ϕ = ∠(X1,X2,X3) durch eine Verschiebung
ui =
[
ui vi
]
am Knoten i ändert. Bei Verwendung der Kurzschreibweise
∆X1 = X1 −X2 ∆X3 = X3 −X2
∆Y1 = Y1 − Y2 ∆Y3 = Y3 − Y2 (3.12a)
∆x1 = X1 + u1 −X2 − u2 ∆x3 = X3 + u3 −X2 − u2
∆y1 = Y1 + v1 − Y2 − v2 ∆y3 = Y3 + v3 − Y2 − v2 (3.12b)
für die Richtungskomponenten der Strecken, zwischen denen der Winkel liegt, kann die
Winkeländerung als
∆ϕ = arctan
( |∆x1∆y3 −∆y1∆x3|
∆x1∆x3 +∆y1∆y3
)
︸ ︷︷ ︸
ϕ
− arctan
( |∆X1∆Y3 −∆Y1∆X3|
∆X1∆X3 +∆Y1∆Y3
)
︸ ︷︷ ︸
ϕ0
(3.13)
28 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
dargestellt werden. Aufgrund der linearen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung kann die
Linearisierung der Winkeländerung bezüglich der Dehnungen nach Gleichung (3.5) über
eine Linearisierung der Winkeländerung bezüglich der Verschiebungen mit anschließender
Transformation dieser in den Dehnungsraum durchgeführt werden. Die Linearisierung
der Winkeländerung (3.13) bezüglich der Verschiebungen berechnet sich hierbei zu
∆ϕ ≈ ∂∆ϕ
∂u ∆u = ∆ϕ0 +

∆y1
∆x21+∆y21
−∆x1
∆x21+∆y21
−∆y3
∆x23+∆y23
∆x3
∆x23+∆y23

T 
∆u1 −∆u2
∆v1 −∆v2
∆u3 −∆u2
∆v3 −∆v2
 , (3.14)
wobei ∆ϕ0 die momentane Winkeländerung der Feder ist. Betrachtet man den Anfangszu-
stand, in dem die momentanen Verschiebungen und die Winkeländerung zu Null werden,
und setzt die Dehnungs-Verschiebungs-Abbildung
∆u = εxx∆X + 2 cxy εxy∆Y ∆v = 2 (1− cxy) εxy∆X + εy∆Y , (3.15)
bei der cxy der Anteil der Schubdehnung 2 εxy ist, die durch eine Änderung der X-
Verschiebung bei einer Y -Differenz der Knoten verursacht wird, in diese Gleichung ein,
so ergibt sich die Winkeländerung als Funktion der Kontinuumsdehnung zu
∆ϕ ≈ ∆X1∆Y3 −∆X3∆Y1(∆X21 +∆Y 21 ) (∆X23 +∆Y 23 )

∆Y1∆Y3 −∆X1∆X3
∆X1∆X3 −∆Y1∆Y3
−∆Y1∆X3 −∆X1∆Y3

T
· εˆ
= Ta · εˆ . (3.16)
Hierbei ist anzumerken, dass sich sämtliche Terme mit dem Faktor cxy gegenseitig
auslöschen. Der Beitrag einer Winkelfeder zur Elastizitätsmatrix des Materials ergibt sich
aus dieser Abbildung der Kontinuumsdehnungen auf die Winkeländerung mit Gleichung
(3.8) zu
E˜a =
ka
Ωz
TTa Ta .
3.2.3. Bestimmung der Federsteifigkeiten
Zur Bestimmung der Federsteifigkeiten des Dreiecks werden die Beiträge der Federn
zur Elastizitätsmatrix den Gleichungen (3.11) und (3.16) entsprechend addiert und
3.2. EIN 2D-STABGITTERMODELL FÜR DREIECKE 29
X2 X3
X1
ξ3,1
ξ3,2k3
Y
X
(a) Relative Koordinaten für eine Längsfeder.
X2 X3
X1
ξ5,1
ξ5,2
k5
Y
X
(b) Relative Koordinaten für eine Winkelfeder.
Abbildung 3.4.: Definition der Vektoren ξi,j =
[
ξi,j ηi,j
]
, die für die einfachere Darstel-
lung der Lösung für die Federsteifigkeiten verwendet werden, am Beispiel
der Längsfeder 3 und der Winkelfeder 5. [143]
nach Gleichung (3.7) mit der gewünschten Elastizitätsmatrix gleichgesetzt. Aufgrund
der Symmetrie der Elastizitätsmatrix ergeben sich dadurch 6 Gleichungen1 für die 6
Federsteifigkeiten, die bei einer Zelle nach Abbildung 3.1 verwendet werden. Diese 6
Gleichungen sind genau dann linear unabhängig, wenn die drei Knoten der Federzelle nicht
kollinear sind, die Dreieckszelle also nicht zu einer Linie degeneriert ist. Somit können die
Federsteifigkeiten für jedes beliebige Dreieck bestimmt werden. Bei der Verwendung von
zwei Vektoren ξj,1 =
[
ξj,1 ηj,1
]
und ξj,2 =
[
ξj,2 ηj,2
]
zur Beschreibung der Geometrie
des Dreiecks, die nach Abbildung 3.4 bezüglich der Lage der Feder mit Index j im
Dreieck definiert sind, sind die Lösungen für die Steifigkeiten der Längs- beziehungsweise
Winkelfedern jeweils identisch:
kn,j = Ωz

d
(11)
n,j
d
(12)
n,j
d
(16)
n,j
d
(22)
n,j
d
(26)
n,j
d
(66)
n,j

T 
E11
E12
E16
E22
E26
E66

ka,j = Ωz

d
(11)
a,j
d
(12)
a,j
d
(16)
a,j
d
(22)
a,j
d
(26)
a,j
d
(66)
a,j

T 
E11
E12
E16
E22
E26
E66

(3.17)
1 Es wird dabei entweder die obere oder die unter Dreiecksmatrix betrachtet.
30 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
Mit der Bezeichnung A4 = Ωzt für die Fläche der Dreieckszelle, die sich durch Division
des Zellvolumens Ωz mit der Modelldicke t ergibt, vereinfachen sich die Parameter d zu
d
(11)
n,i =
(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2
4A42
η1 η2 (3.18a)
d
(12)
n,i =
(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2
4A42
(ξ1 ξ2 + η1 η2) (3.18b)
d
(16)
n,i =
(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2
4A42
(−ξ1 η2 − ξ2 η1) (3.18c)
d
(22)
n,i =
(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2
4A42
ξ1 ξ2 (3.18d)
d
(26)
n,i =
(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2
4A42
(−ξ1 η2 − ξ2 η1) (3.18e)
d
(66)
n,i = 0 (3.18f)
d
(11)
a,i = −
‖ξ1‖22 ‖ξ2‖22
16A44
η1 η2 (η1 − η2)2 (3.18g)
d
(12)
a,i = −
‖ξ1‖22 ‖ξ2‖22
16A44
(
ξ1 ξ2
(
(ξ1 − ξ2)2 − η1 η2
)
+ η1 η2
(
(η1 − η2)2 − ξ1 ξ2
)
− . . .
. . . (ξ1 − ξ2)2 (η1 − η2)2 + ξ21 η21 + ξ22 η22
)
(3.18h)
d
(16)
a,i = −
‖ξ1‖22 ‖ξ2‖22
16A44
(η1 − η2)
(
ξ1 η
2
2 − ξ2 η21 − 3 η1 η2 (ξ1 − ξ2)
)
(3.18i)
d
(22)
a,i = −
‖ξ1‖22 ‖ξ2‖22
16A44
ξ1 ξ2 (ξ1 − ξ2)2 (3.18j)
d
(26)
a,i = −
‖ξ1‖22 ‖ξ2‖22
16A44
(ξ1 − ξ2)
(
η1 ξ
2
2 − η2 ξ21 − 3 ξ1 ξ2 (η1 − η2)
)
(3.18k)
d
(66)
a,i = −
‖ξ1‖22 ‖ξ2‖22
16A44
(
ξ1 ξ2 − ξ21 − η1 η2 + η21
) (
ξ1 ξ2 − ξ22 − η1 η2 + η22
)
. (3.18l)
Die resultierenden Federsteifigkeiten sind im Allgemeinen nicht positiv. Die Federzelle
als Ganzes verhält sich jedoch wie das Referenzmaterial unter konstanter Dehnung und
ist somit für ein elastisch stabiles Material immer stabil.
3.2.4. Vereinfachungen für isotrope Materialien
Da die Elastizitätsmatrix im Falle eines isotropen Materials ausschließlich durch den
Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl ν definiert ist, lassen sich die Glei-
3.2. EIN 2D-STABGITTERMODELL FÜR DREIECKE 31
chungen (3.18) zur Bestimmung der Federsteifigkeiten weiter vereinfachen2. Nutzt man
als geometrische Größen zur Beschreibung der Steifigkeiten der Längsfedern in diesem
Fall die Länge der Feder l und die Länge des Segments des VORONOI-Polygons lv, das
die Feder schneidet3, so ergibt sich für die Federsteifigkeit
kn =

E t
1−ν l lv Ebener Spannungszustand
E t
(1+ν)(1−2 ν) l lv Ebener Dehnungszustand,
(3.19)
wobei t die Dicke des Modells beschreibt. Da die Länge der Kanten des VORONOI-Polygons
im Falle einer DELAUNAY-Triangulation außer an den Rändern der Triangulation immer
positiv ist, kann damit garantiert werden, dass die Steifigkeiten der Längsfedern im
Inneren des Modells immer positiv sind. An den Rändern der Triangulation ist nach
Gleichung (A.15d) diese Länge gerade dann positiv, wenn der Gegenwinkel der Seite der
Dreieckszelle, die an der Modellkante liegt, spitzwinklig ist. Dies wiederum kann über
die Netzerzeugung nach Abschnitt 2.3.2 garantiert werden.
Auch für die Winkelfedern ist im Falle eines isotropen Materials eine Vereinfachung der
Lösung für die Steifigkeiten möglich. Bezeichnet man die Winkel des Dreiecks, in denen
die Feder nicht liegt, mit ϕ2 und ϕ3, so können die Federsteifigkeiten wie folgt berechnet
werden.
ka =

E Ω
1−ν
1
sin2 ϕ
(
1+3 ν
tan ϕ2 tan ϕ3 − 2 ν
)
Ebener Spannungszustand
E Ω
(1+ν)(1−2 ν)
1
sin2 ϕ
(
1+2 ν
tan ϕ2 tan ϕ3 − 2 ν
)
Ebener Dehnungszustand
(3.20)
Diese Federsteifigkeiten sind im Falle eines gleichseitigen Dreiecks äquivalent zu denen,
die bei GRIFFITHS und MUSTOE [60] sowie bei OSTOJA-STARZEWSKI [127] zu finden
sind, was die Korrektheit der hier hergeleiteten Ergebnisse bestätigt. Im Gegensatz zu
den Längsfedern hängt bei den Winkelfedern das Vorzeichen der Steifigkeiten nicht nur
von der Form des Dreiecks, sondern auch von der Querkontraktionszahl ν des Materials
ab. Eine allgemeine, rein geometrische Interpretation der Steifigkeiten ist somit für die
Winkelfedern nicht mehr möglich.
In Abbildung 3.5 sind für die Fälle des ebenen Spannungs- und Dehnungszustands
die Winkelbereiche eingezeichnet, für die alle Federsteifigkeiten positiv sind. Auch hier
zeigt sich wieder die Konsistenz mit den Ergebnissen der eben genannten Autoren:
Diese zeigen für periodische Dreiecksnetze, dass die Steifigkeiten der Schubfedern genau
2 Vereinfachungen für orthotrope und anisotrope Materialien sind im Anhang A.3 zu finden.
3 Für eine genauere Beschreibung dieser Größe siehe Anhang A.2.
32 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
0
pi
6
pi
3
pi
2
2 pi
3
5 pi
6
pi
0 pi6
pi
3
pi
2
2 pi
3
5 pi
6
pi
0
pi
6
pi
3
pi
2
2 pi
3
5 pi
6
pi
ϕ
2ϕ 3
ϕ1
ν = 13
ν = 14
ν = 18
ν = 116
ν = 132
ν = 164
ν = 1128
ν = 0
(a) Positive Steifigkeiten beim ebenen Spannungszustand.
0
pi
6
pi
3
pi
2
2 pi
3
5 pi
6
pi
0 pi6
pi
3
pi
2
2 pi
3
5 pi
6
pi
0
pi
6
pi
3
pi
2
2 pi
3
5 pi
6
pi
ϕ
2ϕ 3
ϕ1
ν = 14
ν = 18
ν = 116
ν = 132
ν = 164
ν = 1128
ν = 0
(b) Positive Steifigkeiten beim ebenen Dehnungszustand.
Abbildung 3.5.: Darstellung der Winkelbereiche, innerhalb derer alle Federsteifigkeiten po-
sitiv sind, in Abhängigkeit von der Querkontraktionszahl ν des isotropen
Materials.
3.3. EIN 3D-STABGITTERMODELL FÜR TETRAEDER 33
dann größer null sind, wenn die Querkontraktionszahl des Materials kleiner als ν = 13
im Fall eines ebenen Spannungszustands und kleiner als ν = 14 im Fall eines ebenen
Dehnungszustands ist. Zusätzlich zu diesen Ergebnissen ist zu sehen, dass der Bereich der
Innenwinkel des Dreiecks, bei dem alle Steifigkeiten kn und ka positiv sind, mit sinkender
Querkontraktionszahl zunimmt. Bei einer Querkontraktionszahl von ν = 0 sind gerade
alle Steifigkeiten positiv, solange die Dreieckszelle nicht stumpfwinklig wird.
3.3. Ein dreidimensionales Stabgittermodell für beliebige
Tetraeder
Analog zur Dreieckszelle für ein zweidimensionales Kontinuum kann auch im dreidi-
mensionalen Falle eine Federzelle einfachstmöglicher Form mit der richtigen Zahl an
linear unabhängigen Federn – 21 Stück – gefunden werden. Somit ist es wieder mög-
lich, eindeutige Federsteifigkeiten zu bestimmen und zugleich ein beliebiges, anisotropes
Material im Modell abzubilden. Eine solche Tetraederzelle, wie sie in Abbildung 3.6 zu
sehen ist, besteht aus 6 Längsfedern, die sämtliche Ecken paarweise verbinden, sowie
aus 15 Winkelfedern, die zwischen allen Paaren von Kanten eingebaut werden. Diese 15
Winkelfedern lassen sich weiter unterteilen in 12 Winkelfedern (k7 bis k18), die jeweils
benachbarte Kanten verbinden, und 3 Winkelfedern (k19 bis k21), die gegenüberliegende
Kanten verbinden. Diese beiden Gruppen von Winkelfedern unterscheiden sich im Wesent-
lichen dadurch, dass erstere nur Reaktionskräfte auf drei der Eckknoten des Tetraeders
erzeugen, während letztere eine Steifigkeit einbringen, die zwischen allen vier Ecken des
Tetraeders wirkt.
Wie im zweidimensionalen Fall werden im Folgenden die Beiträge dieser Federn zur
Materialsteifigkeit ermittelt, um im Anschluss die Steifigkeiten der Federn bestimmen zu
können.
3.3.1. Beitrag einer Längsfeder zur Elastizitätsmatrix
Analog zur zweidimensionalen Längsfeder, die in Abschnitt 3.2.1 behandelt wurde, wird
auch hier wieder die Dehnung ε˜l zur Beschreibung der Verformung der Längsfeder
betrachtet, um eine dimensionslose Herleitung zu erhalten. Diese kann analog zum
zweidimensionalen Fall aus der Kontinuumsdehnung ermittelt werden. Hierbei wird
eine Längsfeder betrachtet, die zwischen den beiden Punkten X1 =
[
X1 Y1 Z1
]
und
X2 =
[
X2 Y2 Z2
]
liegt. Die Feder hat somit den Richtungsvektor ∆X = X2 − X1.
34 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
X1
X2
X3
X4
k1
k2
k3
k4
k5
k6
k7
k8
k9
k10
k11
k12
k13
k14
k15
k16
k17 k18
X
Z
Y
k19
k20
k21
Abbildung 3.6.: Anordnung der Federn in einer Tetraederzelle. [143]
3.3. EIN 3D-STABGITTERMODELL FÜR TETRAEDER 35
Damit ergibt sich für die Dehnungstransformation die folgende Beziehung:
ε˜l =
1
∆X2 +∆Y 2 +∆Z2

∆X2
∆Y 2
∆Z2
∆Y ∆Z
∆Z∆X
∆X ∆Y

T
·

εxx
εyy
εzz
2 εyz
2 εzx
2 εxy

T
= Tn · εˆ (3.21)
Der Beitrag zur Elastizitätsmatrix ergibt sich wiederum nach Gleichung (3.8) zu
E˜n =
kn
Ωz
TTn Tn .
3.3.2. Beitrag einer Winkelfeder zur Elastizitätsmatrix
In der Einleitung des Abschnitts 3.3 wurde bereits dargelegt, dass im dreidimensionalen
Modell zwei unterschiedliche Winkelfedern existieren: Winkelfedern zwischen gegenüber-
liegenden Kanten, die eine Steifigkeit zwischen vier Punkten erzeugen, sowie Winkelfedern
zwischen benachbarten Kanten, die nur eine Steifigkeit zwischen drei Punkten erzeugen.
Mathematisch betrachtet unterscheiden sich diese jedoch nur dadurch, dass bei letzteren
Federn zwei Punkte der Vierpunkt-Winkelfeder zusammengeschoben wurden (siehe auch
Abbildung 3.7). Im Allgemeinen Falle der Winkelfeder, die im Winkel ∠
(−−−→X1X2, −−−→X3X4)
zwischen vier Punkten liegt, berechnet sich die Winkeländerung dieser Feder gerade als
∆ϕ = ϕ− ϕ0 , (3.22)
mit
tanϕ = ‖(X2 + u2 −X1 − u1)× (X4 + u4 −X3 − u3)‖2(X2 + u2 −X1 − u1) · (X4 + u4 −X3 − u3)
tanϕ0 =
‖(X2 −X1)× (X4 −X3)‖2
(X2 −X1) · (X4 −X3) , (3.23)
wobei ui gerade der Verschiebungsvektor am Punkt i ist. Mit der Kurzschreibweise
∆X1 = X1 −X2, ∆X3 = X3 −X4 ergibt sich für die Linearisierung der Winkeländerung
36 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
X1
X2
X3
X4
∆X1
∆X3
∆X3
ϕ
(a) Winkelfeder zwischen gegenüberliegenden
Kanten.
X1
X2
X3
X4
∆X1
∆X3ϕ
(b) Winkelfeder zwischen benachbarten Kan-
ten.
Abbildung 3.7.: Darstellung der Kanten, zwischen denen die Winkelfedern bei einem
Tetraeder eingebaut werden. Der drei-Punkt-Fall kann dadurch erzeugt
werden, dass der Ausgangspunkt der Kante ∆X3 in den Ausgangspunkt
der Kante ∆X1 verschoben wird.
bezüglich der Verschiebungen im unverformten Zustand in Blockschreibweise
∆ϕ ≈ ∂∆ϕ
∂ui
∣∣∣∣∣
ui=0
· ui
=
(∆X1 (∆X1 ·∆X3)−∆X3 ‖∆X1‖22) ‖∆X3‖22(
∆X3 (∆X1 ·∆X3)−∆X1 ‖∆X3‖22
)
‖∆X1‖22
T
‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22 ‖∆X1 ×∆X3‖3
u2 − u1
u4 − u3
 . (3.24)
Die Verschiebungsdifferenzen in dieser Gleichung können wie im zweidimensionalen Fall
wieder als Funktion der Dehnungen dargestellt werden.
u2 − u1 =

∆X1 0 0 0 (1− czx)∆Z1 cxy∆Y1
0 ∆Y1 0 cyz∆Z1 0 (1− cxy)∆X1
0 0 ∆Z1 (1− cyz)∆Y1 czx∆X1 0
 εˆ (3.25a)
u4 − u3 =

∆X3 0 0 0 (1− czx)∆Z3 cxy∆Y3
0 ∆Y3 0 cyz∆Z3 0 (1− cxy)∆X3
0 0 ∆Z3 (1− cyz)∆Y3 czx∆X3 0
 εˆ (3.25b)
Hierbei sind die Koeffizienten cxy, cyz und czx analog zum zweidimensionalen Fall die
Anteile der Schubdehnungen, die durch eine Änderung der Verschiebung in {x, y, z}-
Richtung bei einer Positionsdifferenz in {y, z, x}-Richtung zustande kommen und ∆Xi,
3.3. EIN 3D-STABGITTERMODELL FÜR TETRAEDER 37
∆Yi und ∆Zi die Koordinaten des Vektors ∆Xi. Einsetzen dieser Gleichungen (3.25) in
die linearisierte Winkeländerung (3.24) liefert die Winkeländerung aufgrund der Dehnung
des Kontinuums, in das die Feder eingebettet ist.
∆ϕ ≈

(
∆X21 ‖∆X3‖22 +∆X23 ‖∆X1‖22
)
∆X1 ·∆X3 − . . .
. . . 2∆X1∆X3 ‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22(
∆Y 21 ‖∆X3‖22 +∆Y 23 ‖∆X1‖22
)
∆X1 ·∆X3 − . . .
. . . 2∆Y1∆Y3 ‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22(
∆Z21 ‖∆X3‖22 +∆Z23 ‖∆X1‖22
)
∆X1 ·∆X3 − . . .
. . . 2∆Z1∆Z3 ‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22(
∆Y1∆Z1 ‖∆X3‖22 +∆Y3∆Z3 ‖∆X1‖22
)
∆X1 ·∆X3 − . . .
. . . (∆Y1∆Z3 +∆Y3∆Z1) ‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22(
∆X1∆Z1 ‖∆X3‖22 +∆X3∆Z3 ‖∆X1‖22
)
∆X1 ·∆X3 − . . .
. . . (∆X1∆Z3 +∆X3∆Z1) ‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22(
∆X1∆Y1 ‖∆X3‖22 +∆X3∆Y3 ‖∆X1‖22
)
∆X1 ·∆X3 − . . .
. . . (∆X1∆Y3 +∆X3∆Y1) ‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22

T
‖∆X1‖22 ‖∆X3‖22 ‖∆X1 ×∆X3‖3︸ ︷︷ ︸
Ta
εˆ
(3.26)
Hierbei löschen sich wieder sämtliche Terme, die die Parameter cxy, cyz und czx enthalten,
gegenseitig aus.
Der resultierende Beitrag dieser Winkelfeder zur Elastizitätsmatrix ergibt sich nach
Gleichung (3.8) zu
E˜a =
ka
Ωz
TTa Ta . (3.27)
Der Fall einer Winkelfeder zwischen benachbarten Kanten lässt sich hieraus erzeugen,
indem nach Abbildung 3.7 ∆X3 = X3 −X2 gesetzt wird.
3.3.3. Bestimmung der Federsteifigkeiten
Aufgrund der Symmetrie der Elastizitätsmatrix stehen im dreidimensionalen Fall zur
Bestimmung der 21 Federsteifigkeiten der Tetraederzelle nach Abbildung 3.6 maximal
21 unabhängige Gleichungen in der Matrixgleichung (3.7) zur Verfügung. Diese sind
linear unabhängig, sofern die vier Punkte der Federzelle nicht koplanar liegen. Die
38 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
Federsteifigkeiten sind somit für die Tetraederzelle eindeutig berechenbar. Aufgrund der
Größe des resultierenden Gleichungssystems ist es bislang nicht gelungen, die Lösung
für diese Steifigkeiten analytisch zu bestimmen. Folglich muss für die Verwendung dieser
Zellen in einer numerischen Simulation das Gleichungssystem (3.7) für jede Tetraederzelle
numerisch gelöst werden, um die Federsteifigkeiten des Modells zu erhalten. Jedoch weisen
zahlreiche numerische Versuche darauf hin, dass Steifigkeiten der Längsfedern in diesen
Zellen analog zum Fall der zweidimensionalen Dreieckszelle bei isotropen Materialien
genau dann positiv sind, wenn die VORONOI-Fläche, die diese schneidet, positiv ist.
3.4. Beziehungen zur Lösung der Finiten Elemente
Die in den Abschnitten 3.2 und 3.3 vorgestellten Dreiecks- und Tetraederzellen wurden
unter der Annahme eines konstanten Dehnungsfelds im Inneren der Zellen hergeleitet.
Diese Annahme ist dieselbe, die auch für lineare Dreiecks- und Tetraederelemente bei der
Methode der Finiten Elemente getroffen wird. Hieraus kann die Schlussfolgerung gezogen
werden, dass beide Modelle im linear-elastischen Fall zu identischen Ergebnissen führen
müssen.
Dies kann überprüft werden, indem die Steifigkeitsmatrizen beider Modelle für dasselbe
Material verglichen werden. Hierzu sind grundsätzlich zwei unterschiedliche Vorgehens-
weisen möglich. Bei der ersten Methode wird die Elastizität des Kontinuums vorgegeben
und aus diesem die Federsteifigkeiten der Federzellen bestimmt. Mit diesen wird dann die
Steifigkeitsmatrix des Federsystems berechnet und mit der FE-Steifigkeitsmatrix vergli-
chen. Während diese Methode im zweidimensionalen Fall grundsätzlich auch analytisch
möglich ist, kann sie im dreidimensionalen Fall mangels analytischer Funktionen für die
Federsteifigkeiten nur numerisch und damit fehlerbehaftet durchgeführt werden. Bei der
zweiten Methode, die in jedem Fall analytisch möglich ist, werden die Federsteifigkeiten
als bekannt angenommen. Aus diesen kann nach Gleichung (3.7) die Elastizitätsma-
trix des äquivalenten Kontinuumsmaterials berechnet werden, das wiederum für die
Berechnung der FE-Steifigkeitsmatrix verwendet wird. Diese kann nachfolgend mit der
Steifigkeitsmatrix der Federzelle verglichen werden.
Beide Möglichkeiten bestätigen dabei, dass das Federmodell und das Finite-Elemente-
Modell im linear-elastischen Fall identisch sind. Dies hat den Vorteil, dass alle Eigenschaf-
ten Finiter-Elemente-Modelle mit linearen Dreiecks- beziehungsweise Tetraederelementen
auch für die hier entwickelten Federmodelle gelten. Einige Beispiele hierfür sind:
– Die Zellen zeigen lineares Konvergenzverhalten bei Netzverfeinerung [13] und
3.5. BERECHNUNG DER DEHNUNGEN BEI STABGITTERMODELLEN 39
K

 = 43 ·K

− 13 ·K


Abbildung 3.8.: Eine Dreieckszelle mit linearem Dehnungsfeld kann im Zweidimensionalen
aus der Summe von fünf Dreieckszellen gleicher Form gebildet werden,
die nur ein konstantes Dehnungsfeld darstellen können.
verhalten sich bei nichtkonstanten Dehnungsfeldern viel zu steif [107].
– Es ist im zweidimensionalen Fall möglich, Federzellen mit linearem Dehnungsfeld aus
den Federzellen mit konstantem Dehnungsfeld zu erzeugen, indem mehrere dieser
Federzellen gleicher Form nach Abbildung 3.8 zusammengebaut werden [4, 131]. Im
dreidimensionalen Fall ist dies nicht möglich, da zusätzlich Federzellen anderer Form
benötigt würden, die die Mittelknoten auf den Kanten einer Fläche des Tetraeders
mit dem gegenüberliegenden Eckknoten verbinden [132].
– Zellen gleicher Form besitzen auch bei unterschiedlicher Größe im zweidimensionalen
Fall dieselbe Steifigkeitsmatrix [162].
3.5. Berechnung der Dehnungen bei Stabgittermodellen
Obgleich es sich bei Stabgittermodellen um diskrete Modelle handelt, kann es doch
bisweilen sinnvoll sein, Kontinuumsgrößen wie die Dehnung bei ihnen zu berechnen. Diese
sind zum Beispiel hilfreich, um die Ergebnisse solcher Modelle mit analytischen Lösungen
oder Finite-Elemente-Lösungen diverser Problemstellungen zu vergleichen. Außerdem
sind Kontinuumsdehnungen oder -spannungen erforderlich, um bei Bruchrechnungen
netzunabhängige Lösungen zu erhalten (siehe hierzu Kapitel 5) und um bei plastischem
Verhalten die Volumenerhaltung der plastischen Deformation zu gewährleisten (Kapitel
4).
Da im Stabgittermodell keine inhärente Kontinuumsdehnung vorliegt, kann diese auf
unterschiedliche Weise berechnet werden. In den folgenden Abschnitten werden die
drei wichtigsten Methoden zur Berechnung der Kontinuumsdehnungen in Stabgittern
vorgestellt, die Berechnung der Dehnung in jeder Zelle analog zu Kontinuumsmodellen,
die Berechnung der Dehnung an den Knoten, die zum Beispiel von BUXTON ET AL. [31]
und ZHAO [179] angewendet wird, sowie die Berechnung der Kontinuumsdehnungen in
einzelnen Federverbindungen.
40 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
3.5.1. Berechnung der Zelldehnungen
Für die zellenweise Berechnung der Kontinuumsdehnung wird dieselbe Annahme getrof-
fen wie schon bei der Herleitung der Steifigkeiten für die Dreieckszelle in Gleichung
(3.3), nämlich die Annahme des konstanten Dehnungsfelds. Diese Annahme impliziert
zugleich das lineare Verschiebungsfeld, so dass sämtliche Ableitungen der Verschiebungen
nach den Richtungskoordinaten, die in die Dehnung eingehen, durch die entsprechenden
Differenzenquotienten ersetzt werden können.
Die Kontinuumsdehnung kann aus dem Deformationsgradienten bestimmt werden, der
mit F bezeichnet wird. Dieser ist gerade die Ableitung der Momentankoordinaten der
Punkte eines Systems nach ihren Ursprungskoordinaten, und somit mit der Annahme
eines linearen Verschiebungsfelds
F = I+ ∂u
∂X = I+
∆u
∆X , (3.28)
wobei I die Einheitsmatrix der entsprechenden Dimension ist. Die Ableitung der Ver-
schiebungen nach den Richtungskoordinaten, der Verschiebungsgradient, kann nun über
die Differenzen der Verschiebungen und der Knotenpositionen bestimmt werden.

u2 − u1
v2 − v1
w2 − w1
u3 − u1
...
w4 − w1

=

∂u
∂X
∂u
∂Y
∂u
∂Z
0 . . . 0
∂v
∂X
∂v
∂Y
∂v
∂Z
0 . . . 0
∂w
∂X
∂w
∂Y
∂w
∂Z
0 . . . 0
0 0 0 ∂u
∂X
. . . 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 0 0 . . . ∂w
∂Z


X2 −X1
Y2 − Y1
Z2 − Z1
X3 −X1
...
Z4 − Z1

(3.29)
Gleichung (3.29) beschreibt dabei den dreidimensionalen Fall des Tetraeders, in dem
für die 9 Ableitungen ∂u
∂X dann genau 9 linear unabhängige Gleichungen existieren. Im
zweidimensionalen Fall des Dreiecks reduziert sich diese Gleichung auf vier Gleichungen
für die Koeffizienten des Verschiebungsgradienten. Aus dem Deformationsgradienten
können anschließend entsprechend den Methoden der Kontinuumsmechanik4 sämtliche
Dehnungsmaße bestimmt werden. Als Beispiel sei hier die Ingenieurdehnung genannt, da
diese auch in sämtlichen Herleitungen verwendet wurde.
ε = 12
(
F+ FT
)
− I (3.30)
4 Eine empfehlenswerte Einführung dazu kann der Leser bei ALTENBACH [2] finden.
3.5. BERECHNUNG DER DEHNUNGEN BEI STABGITTERMODELLEN 41
Der Hauptvorteil der Berechnung der Dehnungen auf Zellebene ist die Konsistenz dieser
Methode. Im Gegensatz zu anderen Methoden nutzt sie dieselben Annahmen, die auch für
die Berechnung der Steifigkeiten – und somit der Verschiebungen des Modells – getroffen
werden und ermittelt so exakt die Dehnungen, die auch während der Berechnung der
Knotenverschiebungen indirekt verwendet werden. Wie auch bei der Methode der Finiten
Elemente geben die Dehnungssprünge über die Zellgrenzen hinweg einen Hinweis darauf,
wie gut die lokale Approximationsgüte des Modells ist.
3.5.2. Berechnung der Knotendehnungen
Bei der knotenweisen Berechnung der Kontinuumsdehnungen wird angenommen, dass die
Dehnungen an jedem Netzknoten als Mittelung der Dehnungen der benachbarten Zellen
berechnet werden können. Hierzu wird an jedem Netzknoten j ein Gleichungssystem
aufgestellt, das für jeden benachbarten Netzknoten i Gleichungen für die Bestimmung
des Verschiebungsgradienten enthält, die wiederum den ersten drei Zeilen in Gleichung
(3.29) entsprechen.

uj − ui
vj − vi
wj − wi
 =

∂u
∂X
∂u
∂Y
∂u
∂Z
∂v
∂X
∂v
∂Y
∂v
∂Z
∂w
∂X
∂w
∂Y
∂w
∂Z


Xj −Xi
Yj − Yi
Zj − Zi
 (3.31)
Da jeder Knoten im zweidimensionalen Fall mindestens zwei sowie im dreidimensionalen
Fall zumindest drei Nachbarknoten besitzt, ist dieses Gleichungssystem immer eindeutig
lösbar oder überbestimmt. Für den Fall, dass das Gleichungssystem überbestimmt
ist, kann eine Lösung mithilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (engl. least-
squares-solution) bestimmt werden. Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass der Fehler
der Dehnungsergebnisse, wie in Abschnitt 3.6.2 gezeigt wird, gegenüber der zellenweisen
Berechnung stark reduziert ist. Dies geschieht jedoch auf Kosten der Interpretierbarkeit
der Ergebnisse: Zum einen stellen diese Ergebnisse nicht die Kontinuumsdehnungen dar,
die in der numerischen Simulation verwendet werden. Stattdessen handelt es sich um eine
Mittelung dieser. Zum anderen sind die Ergebnisse für die Dehnung bei der knotenweisen
Berechnung glatt, es kann also nicht mehr aus den Sprüngen der Dehnungsergebnisse
zwischen den Zellen die Approximationsgüte der Simulation bestimmt werden.
42 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
ϕ1 +∆ϕ1 ϕ2 +∆ϕ2
y˜
x˜
λ l
Abbildung 3.9.: Geometrie der Verformung eines Systems aus einer Längsfeder der Länge
l und zwei benachbarten Winkelfedern. Die Verformung wird dabei über
die Winkeländerungen ∆ϕ1, ∆ϕ2 sowie die Streckung der Längsfeder λ
vollständig beschrieben.
3.5.3. Berechnung der Dehnungen in Federverbindungen im
zweidimensionalen Fall
Zusätzlich zur Berechnung der Zell- und Knotendehnungen kann bei den in dieser
Arbeit entwickelten Federzellen die Kontinuumsdehnung auch an den kraftübertragenden
Elementen selbst, den Federn, bestimmt werden. Da gezeigt werden kann, dass die
Winkelfedern dieser Modelle rotationsinvarianten Schubfederaufbauten entsprechen (siehe
Anhang A.1.2), kann der Zusammenbau der Normalkraftfedern und der den Winkelfedern
äquivalenten Schubfedern, die wie in Abbildung 3.9 dargestellt zwischen zwei Knoten
wirken, als kraftübertragendes Element zum Zweck der Dehnungsbestimmung interpretiert
werden. In einem mitdrehenden Koordinatensystem, dessen x-Achse zu jeder Zeit in der
Längsfeder i liegt, kann der Deformationsgradient des Federsystems wie folgt bestimmt
werden.
x˜ = λ l tan (ϕ2 +∆ϕ2)tan (ϕ1 +∆ϕ1) + tan (ϕ2 +∆ϕ2)
(3.32a)
y˜ = λ l tan (ϕ1 +∆ϕ1) tan (ϕ2 +∆ϕ2)tan (ϕ1 +∆ϕ1) + tan (ϕ2 +∆ϕ2)
(3.32b)
3.6. ERGEBNISSE LINEAR-ELASTISCHER RECHNUNGEN 43
F11 = λ (3.32c)
F21 = 0 (3.32d)
F22 = λ
tan (ϕ1 +∆ϕ1) tan (ϕ2 +∆ϕ2) (tanϕ1 + tanϕ2)
tanϕ1 tanϕ2 (tan (ϕ1 +∆ϕ1) + tan (ϕ2 +∆ϕ2))
= y˜
y˜0
(3.32e)
F12 =
F22
tan (ϕ1 +∆ϕ1)
− λtanϕ1 =
x˜− λ x˜0
y˜0
(3.32f)
Hierbei bezeichnen x˜0 und y˜0 die Längen x˜ und y˜ der Zelle im unbelasteten Zustand.
Diese Berechnung des Deformationsgradienten kann für jede der Zellen, an die eine Längs-
feder angrenzt, separat durchgeführt werden. Aufgrund der Annahme einer konstanten
Dehnung innerhalb der Zelle ist dabei das Ergebnis jeweils äquivalent zur Dehnungsbe-
rechnung pro Zelle. Der einzige Unterschied liegt darin, dass bei der verbindungbezogenen
Berechnung des Deformationsgradienten ein mitdrehendes Maß bestimmt wird. Sofern
gewünscht, kann zusätzlich die gemittelte Dehnung einer Verbindung, die an zwei Zellen
angrenzt, durch einfache oder gewichtete Mittelwertbildung der einzelnen Dehnungen
bestimmt werden.
Der Vorteil dieser Berechnungsmethodik ist, dass sie die Deformation in den kraftüber-
tragenden Elementen des Modells bestimmt und zudem auch auf Zellen erweitert werden
kann, die keine geschlossenen Dreiecke mehr sind. Ein Beispiel hierfür wird im Zuge der
Bruchsimulation in Abschnitt 5.3.1 vorgestellt.
3.6. Ergebnisse linear-elastischer Rechnungen
In diesem Abschnitt werden die Lösungen der neu entwickelten Federzellen mit bereits
existierenden Modellen aus der Literatur verglichen. Hierzu wurden zwei fundamentale
Problemstellungen gewählt, für die analytische Lösungen vorliegen, mit denen die Lösun-
gen der numerischen Simulationen verglichen werden können: Das erste Problem ist ein
Quader, der mit einer konstanten Spannung belastet ist (Abschnitt 3.6.1). Dieser Test
entspricht im Wesentlichen dem aus der Methode der Finiten Elemente bekannten Patch-
Test nach IRONS [77], der im Fall kompatibler Verschiebungsfelder eine Aussage über die
Konvergenz des Modells trifft [78, 161]. Das zweite Beispielproblem in Abschnitt 3.6.2 ist
ein Hohlzylinder unter Innendruck. Anhand dieses Beispiels kann das Modellverhalten
bei einem nichtkonstanten Dehnungsfeld nachvollzogen werden und Aussagen über den
Fehler getroffen werden.
44 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
b a
c
u = v = w = 0
w = 0u = w = 0
x, u y, v
z, w
Abbildung 3.10.: Modell eines Quaders für den Test mit konstanter Spannung. Der
verwendete Quader besitzt die Dimensionen a = 1m, b = 1m und
c = 12 m und ist mit einer Schubspannung von τxy = 1
N
m2 in der
x-y-Ebene belastet. Das verwendete Netz ist an der Oberfläche des
Quaders in grau dargestellt.
3.6.1. Ergebnisse für Probleme mit konstantem Dehnungsfeld
Für den Vergleich der Ergebnisse bei einem konstanten äußeren Spannungsfeld wird nach
Abbildung 3.10 ein unter konstantem x-y-Schub belasteter, statisch bestimmt gelagerter
Quader verwendet. Nach der Kontinuumstheorie sollte sich in diesem Fall im Inneren
des Quaders ein konstantes Spannungsfeld einstellen, bei dem die x-y-Schubspannung
gerade der äußeren Spannung entspricht, während alle anderen Spannungskomponenten
zu Null werden. Neben der Lösung für das in dieser Arbeit entwickelte Federmodell ist
in Abbildung 3.11 die Lösung für das Modell nach KOT ET AL. [96] als Beispiel für ein
Modell, bei dem nur Normalkraftfedern verwendet werden, dargestellt. Bei diesem Modell
werden die Federsteifigkeiten als kj = 5E Ωj berechnet, wobei E der Elastizitätsmodul des
Materials und Ωj die Summe der Volumina der an die Feder angrenzenden Tetraederzellen
ist.
Wie in Abbildung 3.11 zu erkennen ist, ist das in dieser Arbeit entwickelte Modell
wie erwartet in der Lage, das konstante Spannungsfeld exakt abzubilden, während das
Normalkraftmodell die Schubspannung stark unterschätzt und stattdessen einen großen
Teil der Kräfte über Normalspannungen überträgt (Abbildung 3.11b). Dieses Verhalten
von Systemen, die ausschließlich aus Normalkraftfedern aufgebaut sind, ist typisch für
3.6. ERGEBNISSE LINEAR-ELASTISCHER RECHNUNGEN 45
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
a
σ
x
y
τ x
y
Neues Modell
Kot et. al. [96]
Analytische Lösung
(a) Schubspannung in den Zellen.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
x
a
σ
x
x
τ x
y
Neues Modell
Kot et. al. [96]
Analytische Lösung
(b) Normalspannung in den Zellen.
Abbildung 3.11.: Spannungsergebnisse bezogen auf die äußere Spannung für einen Quader
unter konstanter Spannung.
alle Modelle dieser Klasse.
3.6.2. Ergebnisse für einen Hohlzylinder unter Innendruck
Um das Verhalten des neu entwickelten Modells bei nichtkonstanten Spannungsfeldern zu
untersuchen, wird das Modell eines dickwandigen Hohlzylinders aus isotropem Material un-
ter Innendruck verwendet. Für die Simulation wird hierbei aufgrund der Symmetrie nur ein
zweidimensionales Viertelmodell nach Abbildung 3.12 modelliert. Dieses Problem hat den
Vorteil, dass eine analytische Lösung nach LAMÉ und CLAPEYRON [100, S. 516ff] bekannt
ist. Diese Lösung lässt sich bei Verwendung eines (r, θ, z)-Zylinderkoordinatensystems
für einen Hohlzylinder mit einem Innenradius ri, einem Außenradius von ra und einem
Innendruck von pi als
σrr =
pi r
2
i
r2a − r2i
(
1− r
2
a
r2
)
σθθ =
pi r
2
i
r2a − r2i
(
1 + r
2
a
r2
)
σrθ = 0 (3.33)
darstellen und hängt somit nur vom Radius r, nicht aber vom Umfangswinkel θ ab.
Eine weitere Eigenschaft dieser Lösung ist, dass bei ebenen Verformungsproblemen
die Spannung in Längsrichtung (z-Richtung) des Zylinders konstant ist und somit der
46 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
ri
ra
pi
E, ν, t
Abbildung 3.12.: Modell eines Hohlzylinders unter Innendruck. Für die Simulation wird
ri = 12 ra und ν =
1
4 verwendet. Alle weiteren Größen haben aufgrund der
Linearität des Problems keinen Einfluss auf die Spannungsergebnisse.
Approximationsfehler der Simulation mithilfe dieser Größe gut abgeschätzt werden kann.
σzz = ν (σrr + σθθ) = 2 ν
pi r
2
i
r2a − r2i
(3.34)
Um das hier entwickelte Modell mit bestehenden Modellen zu vergleichen, wurden aus
der Literatur zwei weitere zweidimensionale Modelle für unregelmäßige Rechennetze
ausgewählt.
Beim ersten Vergleichsmodell nach GRASSL und BAŽANT [56] werden die Federsteifig-
keiten ähnlich zum dreidimensionalen Modell nach KOT ET AL. [96] über den Elastizi-
tätsmodul E des Materials und über die Geometrie der angrenzenden Dreieckszellen
berechnet. Bezeichnet man die Fläche der an die Feder angrenzenden Dreiecke mit A4,
die Länge der Feder mit li und die Dicke der zu berechnenden Scheibe mit t, so ist die
Federsteifigkeit
ki =
E Ai
li
mit Ai = t
A4
3 li
. (3.35)
Hierbei ist Ai die Querschnittsfläche eine Stabes, der dieselbe Steifigkeit besitzt wie die
Feder. Im Gegensatz zur Veröffentlichung von GRASSL und BAŽANT wird in dieser Arbeit
ein Stabquerschnitt von Ai = t A4li verwendet, da sonst die Steifigkeit des Gesamtsys-
3.6. ERGEBNISSE LINEAR-ELASTISCHER RECHNUNGEN 47
tems verglichen mit dem Kontinuumsmodell um den Faktor 3 zu gering ist. Dies kann
zum Beispiel überprüft werden, indem die Stabflächen für ein periodisches Gitter aus
gleichseitigen Dreiecken mit der Lösung nach HRENNIKOFF [70] verglichen werden.
Als zweites Vergleichsmodell wird eine Modifikation des HRENNIKOFF’schen Modells [70]
verwendet. Bei dieser Modifikation wird die Stabfläche des Stabwerkmodells so berechnet,
als läge ein periodisches Gitter aus gleichseitigen Dreiecken vor. Jedoch wird anstelle der
Länge der Stäbe im gleichseitigen Gitter die tatsächliche Länge der Stäbe verwendet [142].
Dies ist notwendig, da das Netz bei diesem Verfahren nicht durch Verzerrung eines
periodischen Gitters erzeugt wird und somit im Gegensatz zu anderen Arbeiten [64, 65]
keine Länge des unverzerrten Gitters vorhanden ist, aus der die Stabsteifigkeit berechnet
werden kann. Somit ergibt sich die Steifigkeit der Stabfedern als
√
3
4 E t.
Die Ergebnisse der drei Modelle für die Radialspannung und die Spannung in Längsrich-
tung5 des Zylinders bei ebener Verformung sind in den Abbildungen 3.13 beziehungsweise
3.14 zu sehen. Es ist dabei klar zu erkennen, dass das in diesem Kapitel entwickelte
Federmodell die analytische Lösung für die Spannungen wesentlich genauer abbilden kann
als die Vergleichsmodelle, da die Streuung der Ergebnisse um die analytische Lösung
wesentlich geringer ist. Dies ist sowohl für die Spannungsauswertung in den Zellen als
auch an den Knoten der Fall, wobei für alle Modelle die Spannungsergebnisse an den
Knoten wesentlich weniger streuen als die Spannungsergebnisse in den Zellen. Weiterhin
ist auffällig, dass die Streuung der Ergebnisse des Modells nach GRASSL und BAŽANT,
das explizit für unregelmäßige Netze hergeleitet wurde, kaum geringer ist als die Streuung
des modifizierten Modells nach HRENNIKOFF. Dies lässt darauf schließen, dass Modelle,
die nur aus Normalfedern bestehen, prinzipiell für unregelmäßige Gitter große Streuungen
in den Ergebnissen liefern, unabhängig davon, ob sie für regelmäßige oder unregelmäßige
Gitter formuliert wurden.
Ein detaillierterer Vergleich der Berechnung der Spannungen in Zellen, an Knoten und
an Verbindungen ist in Abbildung 3.15 zu sehen. Hierbei ist zu erkennen, dass sowohl die
Berechnung der Spannungen an den Knoten als auch die Berechnung der Spannungen
in den Verbindungen weniger stark streuen als die Spannungen in den Zellen und somit
genauer sind. Der Grund hierfür ist bei beiden Methoden ähnlich: Bei der knotenweisen
Berechnung der Spannungen nach Abschnitt 3.5.2 wird die Dehnung – und somit die
Spannung – als gewichtetes Mittel der Zellspannungen berechnet, die diesen Knoten
umgeben. Wie in Abbildung 3.16c zu sehen ist, oszilliert der Fehler in angrenzenden
Dreieckszellen bei nichtkonstanten Dehnungen häufig um einen Fehler von Null. Durch
5 Die Tangentialspannungen verhalten sich ähnlich zu den Radialspannungen und sind daher nicht
dargestellt.
48 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
die Mittelwertbildung wird somit in den Knoten der Fehler reduziert (Abbildung 3.16d).
Dieser Effekt ist auch schon in den Ergebnissen der Spannungen selbst zu sehen. In
Abbildung 3.16a kann beobachtet werden, dass entlang der Tangentialrichtung immer
gerade die Zellen eine höhere Spannung aufweisen, die eine Spitze besitzen, die in
Radialrichtung nach innen zeigt. Durch die Mittelung bei der Spannungsberechnung an
den Knoten ist die Spannung bei der Berechnung an den Knoten in Tangentialrichtung
dagegen fast konstant (Abbildung 3.16b). Gleiches gilt für die Berechnung der Spannungen
und Dehnungen in den Federverbindungen nach Abschnitt 3.5.3. Diese Berechnung
entspricht im Falle von Dreieckszellen gerade der Mittelwertbildung der Spannung der
Zellen, an die die Verbindung angrenzt. Durch das entgegengesetzte Vorzeichen des
Spannungsfehlers bei benachbarten Zellen wird dadurch der Fehler in der Verbindung
wieder wesentlich kleiner ausfallen.
Wie bereits in Abschnitt 3.5.2 angesprochen, wird trotzdem empfohlen, die Spannungen
und Dehnungen innerhalb der Zellen zu berechnen, da diese die direkten, unverfälschten
Werte der numerischen Simulation widerspiegeln. Die Sprünge zwischen diesen Werten
liefern somit zusätzlich eine Aussage über die Approximationsgüte und den Fehler in der
numerischen Simulation.
3.6. ERGEBNISSE LINEAR-ELASTISCHER RECHNUNGEN 49
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.5
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Zelle
analytisch
(a) Spannung in der Zelle: Neues Modell.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.5
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Knoten
analytisch
(b) Spannung an den Knoten: Neues Modell.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−2
−1
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Zelle
analytisch
(c) Spannung in der Zelle: Modell nach GRASSL
und BAŽANT [56].
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−2
−1
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Knoten
analytisch
(d) Spannung an den Knoten: Modell nach
GRASSL und BAŽANT [56].
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−2
−1
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Zelle
analytisch
(e) Spannung in der Zelle: HRENNI-
KOFF-ähnliches Modell.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−2
−1
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Knoten
analytisch
(f) Spannung an den Knoten: HRENNI-
KOFF-ähnliches Modell.
Abbildung 3.13.: Auf den Innendruck bezogene Radialspannungen σrr
pi
in den Zellen
(a,c,e) und an den Knoten (b,d,f) für die unterschiedlichen Modelle. Die
bezogenen Spannungen sind über den gesamten Winkelbereich über
dem bezogenen Radius r
ra
aufgetragen.
50 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
0.15
0.2
r
ra
σ
z
z
p
i
Zelle
analytisch
(a) Spannung in der Zelle: Neues Modell.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.14
0.16
0.18
0.2
r
ra
σ
z
z
p
i
Knoten
analytisch
(b) Spannung an den Knoten: Neues Modell.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
r
ra
σ
z
z
p
i
Zelle
analytisch
(c) Spannung in der Zelle: Modell nach GRASSL
und BAŽANT [56].
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.2
0
0.2
0.4
r
ra
σ
z
z
p
i
Knoten
analytisch
(d) Spannung an den Knoten: Modell nach
GRASSL und BAŽANT [56].
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.5
0
0.5
r
ra
σ
z
z
p
i
Zelle
analytisch
(e) Spannung in der Zelle: HRENNI-
KOFF-ähnliches Modell.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−0.2
0
0.2
0.4
r
ra
σ
z
z
p
i
Knoten
analytisch
(f) Spannung an den Knoten: HRENNI-
KOFF-ähnliches Modell.
Abbildung 3.14.: Auf den Innendruck bezogene Spannungen in Dickenrichtung σzz
pi
in den
Zellen (a,c,e) und an den Knoten (b,d,f) für die unterschiedlichen Model-
le. Die bezogenen Spannungen sind über den gesamten Winkelbereich
über dem bezogenen Radius r
ra
aufgetragen.
3.6. ERGEBNISSE LINEAR-ELASTISCHER RECHNUNGEN 51
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.5
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Zelle
analytisch
(a) Radialspannung in der Zelle.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
0.15
0.2
r
ra
σ
z
z
p
i
Zelle
analytisch
(b) z-Normalspannung in der Zelle
.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.5
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Knoten
analytisch
(c) Radialspannung an den Knoten.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.14
0.16
0.18
0.2
r
ra
σ
z
z
p
i
Knoten
analytisch
(d) z-Normalspannung an den Knoten.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.5
0
r
ra
σ
r
r
p
i
Stab
analytisch
(e) Radialspannung in den Verbindungen.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
r
ra
σ
z
z
p
i
Stab
analytisch
(f) z-Normalspannung in den Verbindungen.
Abbildung 3.15.: Vergleich der Berechnung der bezogenen Spannungen in der Zelle (a,b),
an den Knoten (c,d) und in den Verbindungen (e,f) für das neu ent-
wickelte Modell. Die bezogenen Spannungen sind über den gesamten
Winkelbereich über dem bezogenen Radius r
ra
aufgetragen.
52 3. STABGITTERMODELLE FÜR UNREGELMÄSSIGE NETZE
−
1.036
−
0.800
−
0.600
−
0.400
−
0.200
0.011
σrr
pi
pi(a)
Z
ellenw
eise
b
erechnete
Spannungen.
−
1.001
−
0.800
−
0.600
−
0.400
−
0.200
0.002
σrr
pi
pi(b)
K
notenw
eise
b
erechnete
Spannungen.
−
0.129
−
0.060
0.000
0.060
0.120
0 .151
∆σrr
pi
pi
(c)
A
bw
eichung
der
zellenw
eise
b
erechneten
Spannungen
von
der
analytischen
L
ösung.
−
0.068
−
0.040
0 .000
0.040
0 .080
0.117
∆σrr
pi
pi
(d)
A
bw
eichu
n
g
d
er
kn
otenw
eise
b
erech
n
eten
S
p
an
nu
n
gen
von
der
analytischen
L
ösung.
A
bbildung
3.16.:
V
erlauf
von
R
adialspannung
und
-spannungsfehler
für
die
knoten-
und
zellw
eise
B
erechnung
der
Spannungen.
4. Ein elasto-plastisches Stabgittermodell
Eines der großen Probleme diskreter Federmodelle aus der Literatur ist die Modellierung
über die Elastizität hinausgehender mehrdimensionaler Vorgänge im Kontinuumsmaterial
wie das Phänomen der Plastizität. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie das Phänomen der
isotropen, assoziierten Kontinuumsplastizität in das zweidimensionale diskrete Federmo-
dell, das in Kapitel 3 entwickelt wurde, implementiert werden kann. Nach einer kurzen
Einführung in die Teile der Kontinuumsplastizität, die hierzu benötigt werden, wird
die Anwendung auf das Federmodell vorgestellt und gezeigt, dass dieses im Gegensatz
zu anderen diskreten Modellen in der Lage ist, die Volumenerhaltung bei plastischer
Verformung exakt zu erfüllen. Außerdem wird an Beispielen veranschaulicht, dass das
neu entwickelte Federmodell prinzipiell in der Lage ist, sowohl die perfekte Plastizität als
auch Verfestigung und Entfestigung des Materials abzubilden.
4.1. Grundlagen der isotropen Kontinuumsplastizität
Materialien zeigen im Allgemeinen irreversibles Verhalten, sobald gewisse Grenzwerte
der lokalen Verformung überschritten werden. Diese Irreversibilitäten können sich in
der Rissbildung oder der plastischen Verformung äußern. Die plastischen Verformungen
entstehen dabei dadurch, dass sich im Material auf atomarer Ebene Gleitebenen bilden,
entlang derer sich das Material irreversibel gegeneinander verschiebt [69]. Die Kontinu-
umsplastizität behandelt dieses Phänomen nicht in der Größenordnung der einzelnen
Gleitebenen, sondern als gemitteltes, makroskopisch beobachtbares Verhalten.
In diesem Abschnitt werden die Grundlagen der Kontinuumsplastizität, die in dieser
Arbeit benötigt werden, kurz vorgestellt. Für einen breiteren Überblick über das Thema
der Kontinuumsplastizität sei hier jedoch auf die Lehrbücher von HILL [69], KHAN und
HUANG [90] sowie DOLTSINIS [44, 45] verwiesen.
54 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
Fp
F−1p
Fe
F−1e
F
F−1
C0
Cp
C1
Abbildung 4.1.: Verformung eines Körpers aus dem Anfangszustand C0 in den Endzu-
stand C1. Diese Abbildung erfolgt in der Elastoplastizität über einen
künstlichen Zwischenzustand Cp, in dem das plastisch verformte Material
spannungsfrei ist.
4.1.1. Aufteilung der Verformung in elastischen und plastischen
Anteil
Die mathematische Beschreibung der Plastizität bei endlichen Verformungen geht davon
aus, dass die Gesamtverformung eines mechanischen Systems, die durch den Deforma-
tionsgradienten F beschrieben wird, in einen elastischen und einen plastischen Anteil
zerlegt werden kann. Diese Zerlegung kann auf unterschiedliche Art erfolgen: GREEN
und NAGHDI [58] beispielsweise nutzen in ihrer Arbeit eine additive Zerlegung des
GREEN-LAGRANGE’schen Dehnungsmaßes, während LEE [102], wie in Abbildung 4.1 zu
sehen ist, davon ausgeht, dass die Gesamtdeformation dadurch erhalten werden kann,
dass auf einen spannungsfreien, plastisch verformten Deformationszustand1 eine zusätz-
lich elastische Verformung aufgebracht wird. Wird die Gesamtdeformation über den
Deformationsgradienten F, der plastische Anteil der Deformation über den plastischen
Deformationsgradienten Fp und der elastische Anteil der Deformation über den elastischen
Deformationsgradienten Fe beschrieben, so ist die Beziehung dieser nach LEE
F = FeFp . (4.1)
1 Dieser plastische Deformationszustand ist im Allgemeinen nicht kompatibel. Erst durch die zusätzliche
elastische Deformation wird die Kompatibilität der Gesamtverformung erreicht. Diese Inkompatibilität
des plastischen Deformationszustands ist somit auch die Ursache der Residualspannungen im plastisch
verformten System.
4.1. GRUNDLAGEN DER ISOTROPEN KONTINUUMSPLASTIZITÄT 55
Aus der Abbildung (4.1) kann durch Umformen bei bekanntem plastischen Deformati-
onsgradienten der elastische Anteil der Deformation zu
Fe = FF−1p (4.2)
bestimmt werden. Für den Fall infinitesimaler elastischer Dehnungen wird oftmals die mul-
tiplikative Zerlegung der Gesamtdeformation durch eine additive Zerlegung F = Fe + Fp
ersetzt.
4.1.2. Berechnung des plastischen Anteils der Verformung
Plastische Verformung tritt in Materialien dann auf, wenn die Belastung des Materials
einen kritischen Wert überschreitet. Die Belastung des Materials wird dabei entweder
über die Spannung σ oder den elastischen Anteil der Dehnung εe beschrieben. In
dieser Arbeit wird im Gegensatz zu klassischen Plastizitätsformulierungen [69] der
dehnungsbezogene Ansatz gewählt. Dieser hat gegenüber dem spannungsbezogenen
Ansatz den Vorteil, dass die Spezialfälle der perfekten Plastizität und der Entfestigung
nach NAGHDI und TRAPP [116,117] sowie NAGHDI [115] keiner gesonderten numerischen
Behandlung bedürfen. Der Grund hierfür ist, dass das plastische Dehnungsinkrement
immer als eine eindeutige Funktion der Gesamtdehnung, nicht aber der Spannung
ausgedrückt werden kann. Aus demselben Grund können nach YODER und IWAN [178]
auch Materialgesetze mit Fließfunktionen, die nicht stetig differenzierbar sind, wesentlich
einfacher in dehnungsbasierten Plastizitätmodellen erfasst werden.
Für die mathematische Formulierung der Kontinuumsplastizität in dehnungsbezogener
Form werden wie auch bei der spannungsbezogenen Form im Wesentlichen drei Kernele-
mente benötigt [44,90]: Die Fließbedingung, die Fließregel und die Evolutionsgleichungen
der plastischen Variablen. Die Fließbedingung gibt dabei an, ob ein im Material plastisches
Fließen stattfindet. Sie ist eine Ungleichung der Form
f(εe) ≤ 0 , (4.3)
die den elastischen Anteil der Dehnung über die Fließfunktion f(εe) mit einer maximal
zulässigen Dehnung vergleicht. Wird die zulässige elastische Dehnung überschritten,
so ist die Fließbedingung (4.3) verletzt und plastisches Fließen findet solange statt,
bis der elastische Dehnungsanteil die zulässige elastische Dehnung erreicht. Um diesen
Vergleich durchführen zu können, wird der elastische Dehnungsanteil εe mittels einer
56 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
Vergleichshypothese in eine skalare Vergleichsdehnung überführt. Für unterschiedliche
Materialien existieren dabei unterschiedliche Versagenshypothesen, wie die Hypothesen
nach HUBER [71, 72] und VON MISES [169], TRESCA [165], MOHR-COULOMB [112, S.
209ff] und DRUCKER und PRAGER [46].
In dieser Arbeit wird ausschließlich die Vergleichshypothese nach VON MISES verwendet,
die insbesondere für isotrope Metalle geeignet ist. Nach der VON MISES-Hypothese wird
plastisches Fließen, wie auch im Versuch bei Metallen nach BRIDGMAN [30] gezeigt wurde,
nur durch deviatorische Verformungen verursacht. Im Widerspruch zu den Versuchen
von BRIDGMAN berücksichtigt diese Theorie jedoch nicht die Änderung der plastischen
Eigenschaften eines Materials unter hydrostatischem Druck. Somit ist das plastische
Fließen bei Betrachtung des Spannungsraums nur von der deviatorischen Spannung
σdev. = σ − 13Spσ (4.4a)
oder, aufgrund des als isotrop angenommenen Materialverhaltens, nur vom deviatorischen
Anteil der elastischen Dehnung
εe,dev. = εe − 13Sp εe =
σdev.
G
(4.4b)
abhängig. Die deviatorischen Spannungen und deviatorischen elastischen Dehnungen sind
dabei über den skalaren Schubmodul G miteinander direkt verknüpft. Die Fließfunktion
ergibt sich im Spannungsraum aus der äquivalenten Energie der Vergleichsspannung und
der deviatorischen Spannung zu
f(σ) =
√
3
2 σdev. : σdev. − σv(λ) , (4.5a)
woraus sich wiederum über die Äquivalenz der Dehnungsenergie der Vergleichsgrößen
und der deviatorischen Größen die Fließfunktion im Dehnungsraum zu
f(εe) =
√
2
3 εe,dev. : εe,dev. − εv(λ) (4.5b)
ergibt. Die Größen σv(λ) und εv(λ) sind dabei die zulässige Vergleichsspannung bezie-
hungsweise -dehnung. Diese hängen jeweils von der bisherigen Belastungsgeschichte ab,
die durch einen Satz plastischer Variablen λ modelliert wird.
Das zweite Kernelement der plastischen Theorie, die Fließregel, gibt an, in welcher
4.1. GRUNDLAGEN DER ISOTROPEN KONTINUUMSPLASTIZITÄT 57
εges.
σ = E εe
(a) (b) (c) (d) (e)
Abbildung 4.2.: Verlauf der zulässigen Spannung σ = E εe als Funktion der Gesamtdeh-
nung εges.. Dargestellt sind ein linear-elastischer Bereich (a), ein Bereich
mit Verfestigung (b), ein perfekt-plastischer Bereich (c), ein Bereich mit
Entfestigung (d) sowie der Bruch des Materials bei (e).
Richtung die plastische Verformung stattfindet. Hierbei existieren im Wesentlichen zwei
Ansätze: Die assoziierte Fließregel nimmt an, dass der plastische Fluss in Richtung des
Gradienten der Fließfunktion stattfindet. Diese Annahme, die für metallische Werkstoffe
makroskopisch näherungsweise erfüllt ist, führt für die VON MISES’sche Fließbedingung
dazu, dass der plastische Fluss in Richtung der deviatorischen Dehnung zeigt.
∂f(εe)
∂εe
= 1
f(εe)
2
3 εe,dev. (4.6)
Findet plastischer Fluss in einer anderen Richtung statt, so spricht man von einer
nichtassoziierten Fließregel. In diesem Fall muss die Richtung des plastischen Fließens
durch eine zusätzliche Gleichung angegeben werden.
Das letzte Kernelement der plastischen Theorie sind die Evolutionsgleichungen der
plastischen Variablen λ. Eine Veränderung dieser Variablen führt dabei dazu, dass der
Raum der zulässigen elastischen Verformungszustände modifiziert wird. Im einfachsten
Fall, der perfekten Plastizität, findet keine Evolution der plastischen Variablen statt. In
der Folge bleibt die Fließfunktion gleich und somit der zulässige elastische Anteil der
Verformung bei beliebiger Gesamtverformung nach Abbildung 4.2, Bereich (c), konstant.
Soll die Fließfläche – die Begrenzungsfläche der zulässigen elastischen Dehnungen im
Dehnungsraum – durch die plastische Verformung modifiziert werden, so bieten sich
die Möglichkeiten der isotropen Verfestigung und Entfestigung sowie der kinematischen
Verfestigung an. Bei der isotropen Verfestigung und Entfestigung [69] wird die zulässige
Vergleichsdehnung εv(λ) bei einer Änderung der plastischen Variablen λ modifiziert.
Dies entspricht, wie in Abbildung 4.3a zu sehen ist, einer Skalierung der Fließfläche im
58 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
3
2εv(0)
3
2εv(λ)
ε1
ε2
(a) Isotrope Verfestigung.
αε
ε1
ε2
(b) Kinematische Verfestigung.
Abbildung 4.3.: Modifikation der Fließfläche im Hauptdehnungsraum bei isotroper und
kinematischer Verfestigung für den Fall ebener Deformation. Die ur-
sprüngliche Fließfläche ist gestrichelt in grau dargestellt.
Dehnungsraum bei konstantem Mittelpunkt. Die Skalierung der Fließfläche kann dabei
sowohl als Funktion der akkumulierten plastischen Dehnung (Dehnungsverfestigung, engl.
strain hardening) als auch als Funktion der plastisch dissipierten Energie (Arbeitsver-
festigung, engl. work hardening) formuliert werden. Bei der kinematischen Verfestigung
nach PRAGER [139] wird hingegen angenommen, dass die Ausdehnung der Fließfläche
bei plastischer Verformung konstant bleibt und sich stattdessen der Mittelpunkt der
Fließfläche nach Abbildung 4.3b verschiebt. Dies geschieht dadurch, dass die Terme
der deviatorischen Dehnung in der Fließfunktion (4.5b) mithilfe eines tensorwertigen
Parameters αε modifiziert werden.
fkin.(εe) =
√
2
3 (εe,dev. −αε(λ)) : (εe,dev. −αε(λ))− εv (4.7)
Es wird somit davon ausgegangen, dass nicht mehr die deviatorische Dehnung, sondern
die Differenz der deviatorischen Dehnung zum Parameter αε für die plastische Dehnung
verantwortlich ist. Kinematische und isotrope Verfestigung können zudem gemeinsam in
einem gemischten Modell angewendet werden.
4.2. Grenzen der Modellbildung für Stabgittermodelle
Die Modellierung der Kontinuumsplastizität ist bei Federmodellen grundsätzlich ein
problematisches Unterfangen. Der Hauptgrund hierfür ist, dass bei Federmodellen sämtli-
4.2. GRENZEN DER MODELLBILDUNG FÜR STABGITTERMODELLE 59
che Eigenschaften des Materials in Federn kondensiert werden. Da diese wiederum nur
eine eindimensionale Steifigkeit und Deformationsmöglichkeit besitzen, kann weder die
mehrdimensionale Fließbedingung erfasst, noch der mehrdimensionale plastische Fluss
ohne weiteres in diese eingebracht werden. Dies zeigt sich insbesondere daran, dass
die einzelnen Federn die Volumenerhaltung des plastischen Flusses, die im Kontinuum
angenommen wird, nicht erfüllen können. Hierfür wäre sowohl die Berechnung eines
mehrdimensionalen Verformungszustands innerhalb der Federn erforderlich als auch die
Möglichkeit, mehrdimensionale plastische Deformationen auf die Federn aufzubringen.
Ein weiteres Problem entsteht bei der Plastizitätsmodellierung mit Federmodellen da-
durch, dass diese Modelle, wie im Anhang B.1 gezeigt wird, bei großen Verzerrungen
ihre elastischen Eigenschaften ändern. Diese Änderung muss dabei entweder als Fehler in
Kauf genommen werden, oder die Federsteifigkeiten des Modells müssen bei plastischer
Verformung während der Simulation modifiziert werden. Obgleich die Modifikation der
Federsteifigkeiten zur Erhaltung der elastischen Eigenschaften des Kontinuums möglich
wäre, widerspricht dieses Vorgehen der Idee der Federmodelle, wonach die Federn alleinige
Träger der mechanischen Eigenschaften des Modells sein sollen und somit nicht aufgrund
eines momentanen Kontinuumszustands modifiziert werden sollten.
Aufgrund dieser Problematiken ist die Modellierung plastischen Verhaltens außerhalb ein-
facher Traglastuntersuchungen bei regelmäßigen Normalkraftfedermodellen mit perfekter
eindimensionaler Plastizität, wie sie bei ROUX und HANSEN [147] sowie LOPEZ-SANCHO,
GUINEA und LOUIS [105] zu finden sind, bei Federmodellen bislang kaum untersucht
worden. Ausnahmen hierfür sind beispielsweise die Arbeiten von HAHN [64] und von
BUXTON, CARE und CLEAVER [31]. Ersterer verwendet für die Erfassung der Plastizität
im Stabgittermodell ein eindimensionales Plastiziätsgesetz, bei dem die momentane
plastische Verformung eine Funktion der eindimensionalen Stabspannung ist. Mit einem
solchen Modell kann jedoch, wie bei JARZABEK [82] gezeigt wird, die Volumenerhaltung
bei plastischer Verformung nicht gewährleistet werden, da das plastische Fließen immer
in Richtung der Stäbe erfolgt. Durch diese Einschränkung des plastischen Flusses wird
dieser zudem anisotrop, wobei die zulässigen Richtungen des plastischen Flusses nur
von der Gittergeometrie abhängen. Letztere Arbeit [31] versucht, diese Anisotropie zu
beheben, indem als Kriterium für den plastischen Fluss nicht die Dehnungen der Nor-
malfedern selbst, sondern die Kontinuumsdehnungen an den Knoten verwendet werden.
Hierbei werden die momentanen tangentialen Steifigkeiten der Federn des Modells über
die tangentiale Kontinuumssteifigkeit an den Knoten abgemindert. Als Materialgesetz
wird hierbei das dreiparametrische Modell nach RAMBERG und OSGOOD [141] verwendet.
Trotz der Formulierung der plastischen Verformung über die Kontinuumsspannungen
60 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
an den Knoten kann diese Methode die Volumenerhaltung der plastischen Verformung
nicht gewährleisten. Stattdessen erreicht die Querkontraktion der plastischen Verformung
eine obere Grenze von νp ≤ 14 . Die Volumenerhaltung bei plastischer Verformung könnte
bei diesem Modell somit nur durch Einführung künstlicher, volumenerhaltender Kräfte
erreicht werden.
4.3. Plastische Verformung im Federmodell
In der Kontinuumsplastizität wird angenommen, dass der lokale Spannungszustand,
der proportional zum lokalen elastischen Dehnungsanteil ist, sowie seine Änderung aus-
schlaggebend für die lokale plastische Verformung sind. Da der Vorgang der plastischen
Verformung irreversibel und somit pfadabhängig ist, wird in der numerischen Behandlung
dieses Vorgangs ein inkrementelles Vorgehen genutzt. Hierbei wird der quasistatische
Belastungsvorgang, der in der Realität stetig verläuft, in finite Belastungsschritte einge-
teilt, und die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen und der Fließbedingung wird nur
an diesen Schritten erzwungen2. Die plastische Deformation ∆F(i)p eines Lastschritts i
wird somit aus der elastischen Deformation F(i−1)e des vorherigen Lastschritts sowie der
Änderung der Gesamtdeformation ∆F(i) des momentanen Lastschritts berechnet.
Um dies auf die Federmodelle zu übertragen, wird auch bei diesen eine lokale elastische
Dehnung benötigt, die wiederum zu einer lokalen plastischen Verformung führt. Da bei
Federmodellen die Federn die Träger der mechanischen Eigenschaften sind, empfiehlt
es sich, auch die plastische Dehnung in diesen Federn zu modellieren. Es wird somit
für die Plastizitätsformulierung bei Federmodellen der mehrdimensionale Dehnungs-
zustand in den Federn selbst benötigt. Dieser kann nach Abschnitt 3.5.3, in der die
Berechnung der Kontinuumsdehnungen in einzelnen Verbindungen vorgestellt wurde,
für jede Federverbindung ermittelt werden. Somit kann für jede Federverbindung aus
dem Dehnungszustand, der sich aus der Deformation einer Normalkraftfeder und der
Deformation der angrenzenden Winkelfedern ergibt, die plastische Deformation gerade
dieser Federn berechnet werden.
In Abschnitt 3.5.3 wurde zudem darauf eingegangen, dass je Normalfeder pro angrenzender
Zelle ein separater Dehnungszustand berechnet werden kann. Während die Wahl der
letztendlichen Formulierung im elastischen Fall keinen Einfluss auf die Ergebnisse einer
Simulation hat, ist bei der Einführung plastischer Deformation die Bestimmung der
2 Eine Ausnahme ist die sogenannte Subinkrementierung für die Plastizität, bei der die Fließbedingung
auch an Zwischenzuständen innerhalb eines Belastungsschritts erzwungen wird.
4.3. PLASTISCHE VERFORMUNG IM FEDERMODELL 61
plastischen Dehnung ein entscheidender Einflussfaktor. Hierfür stehen grundsätzlich zwei
unterschiedliche Möglichkeiten für die Bestimmung des Dehnungszustands in der Feder
zur Verfügung:
a) Es wird für jede Federzelle, die an eine Normalkraftfeder angrenzt, ein separater
Dehnungszustand berechnet. Dieser entspricht im Falle einer Dreieckszelle genau
dem Dehnungszustand, der in der Zelle selbst berechnet werden kann. Aus die-
sem Dehnungszustand wird der plastische Fluss der Federn bestimmt, die zu der
Federzelle gehören.
b) Der Dehnungszustand wird über eine Mittelung aus den Dehnungszuständen nach
Punkt a) berechnet, sofern die Normalkraftfeder der Verbindung Bestandteil zweier
Federzellen ist.
Wird der Dehnungszustand nach Möglichkeit b) gemittelt bestimmt, so zeigen numeri-
sche Versuche ein instabiles Verhalten der plastischen Verformung, das jedoch bislang
nicht erklärt werden kann. Aufgrund dessen wird im Folgenden die Berechnung des
Dehnungszustands für den plastischen Fluss nach Methode a) verwendet.
4.3.1. Berechnung der plastischen Verformung
Um zu zeigen, dass plastisches Verhalten mithilfe eines Federmodells modelliert werden
kann, wird nachfolgend das einfachstmögliche Modell verwendet: Es wird angenommen,
dass bei plastischem Fließen nur isotrope Verfestigung und Entfestigung stattfinden.
Diese wird wiederum als Funktion der akkumulierten plastischen Dehnung Hp,acc. mo-
delliert. Als Eingangsgröße für die Berechnung des plastischen Deformationsinkrements
wird die momentane elastische Deformation Fe gewählt. Der Grund hierfür ist, dass
diese im Stabgittermodell ohne Weiteres dadurch bestimmt werden kann, dass bei der
Berechnung der Deformation in den Verbindungen nach Gleichung (3.32) lediglich die
elastischen Anteile der Federstreckungen λe,i und Winkeländerungen ∆ϕe,ij betrachtet
werden, während zugleich als Referenzzustand der kräftefreie, plastische Zustand der
Federn verwendet wird. Als Dehnungsmaß für die plastische Dehnung wird aufgrund
der Additivität bei gleichen Hauptrichtungen das logarithmische Dehnungsmaß nach
HENCKY [67],
H = 12 lnF
T F , (4.8)
verwendet.
Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems, das sich bei der Berechnung der plas-
62 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
tischen Verformung ergibt, wird ein iteratives Lösungsverfahren nach NEWTON und
RAPHSON verwendet. Unter den oben genannten Annahmen kann in jeder Iteration n
des Lösungsverfahrens eines Lastinkrements das plastische Dehnungsinkrement wie folgt
bestimmt werden (siehe auch Box 1). Nach der linearisierten Berechnung der Verfor-
mungen der Iteration muss zuerst überprüft werden, ob die Fließbedingung in diesem
Verformungszustand erfüllt wird. Hierzu wird die Gesamtdeformation, die während des
momentanen Lastinkrements aufgebracht wurde,
F[n]ges. = F[n]e F[n−1]p , (4.9)
im Zustand der momentanen Iteration n aus dem momentanen elastischen Prädiktor F[n]e
und der plastischen Deformation, die im momentanen Lastschritt aufgebracht wurde,
F[n−1]p , berechnet. Erfüllt diese nicht die Fließbedingung
f(H[n]ges.) =
√
2
3 H
[n]
dev. : H
[n]
dev. −Hv(λ[0]) ≤ 0 , (4.10)
wobei
Hdev. = H− 13 I SpH (4.11)
der deviatorische Anteil der HENCKY-Dehnung ist, so findet im momentanen Lastschritt
plastisches Fließen statt. Aufgrund dessen, dass eine assoziierte Fließregel verwendet
wird, ist die Richtung des plastischen Flusses mit der Richtung des deviatorischen Anteils
der elastischen Dehnung identisch. Aufgrund der Additivität der HENCKY-Dehnung bei
gleichen Hauptdehnungsrichtungen ist somit
∆H[n]p = χH
[n]
e,dev. , (4.12)
wobei χ ein noch zu bestimmender skalarer Parameter ist. Dieser kann bestimmt werden,
indem gefordert wird, dass die elastische Restdehnung nach der plastischen Verformung
genau die Fließbedingung erfüllt.
f(H[n]e,dev., χ) = (1− χ)
√
2
3 H
[n]
e,dev. : H
[n]
e,dev.︸ ︷︷ ︸
He,dev.
−Hv
(
λ[0] +∆λ[n](χ)
) != 0 (4.13)
Dieses Verfahren der orthogonalen Rückprojektion des Dehnungszustands auf die neue
Fließfläche, das auf WILKINS [173] zurückgeht, ist auch unter dem Namen der radialen
4.3. PLASTISCHE VERFORMUNG IM FEDERMODELL 63
Rückführung (radial return) bekannt. Die Lösung der nichtlinearen Gleichung (4.13) nach
χ kann dabei wieder über ein NEWTON’sches Iterationsverfahren bestimmt werden. Die
Iterationsvorschrift für die relative Intensität des plastischen Flusses χ ist dabei
χ[m] = χ[m−1] − f
[m−1]
He,dev.
(
1 + ∂Hv
∂Hp,acc.
∂Hp,acc.
∂χ
) , (4.14a)
wobei die partielle Ableitung
∂Hp,acc.
∂χ
≈ ∆Hp,acc.∆χ (4.14b)
durch einen linearen Differenzenkoeffizienten approximiert wird. Die Berechnung der
Änderung der plastischen akkumulierten Vergleichsdehnung ∆Hp,acc. folgt dabei den
Gleichungen (4.9) und (4.11), wobei die elastische Deformation durch die plastische
Deformation der momentanen Iteration ersetzt wird. Als Konvergenzkriterium des NEW-
TON-Verfahrens wird in dieser Arbeit der Fehler der Fließbedingung nach Gleichung
(4.13) verwendet.
Nach der Konvergenz des plastischen Dehnungsinkrements muss schlussendlich noch das
Inkrement des plastischen Deformationsgradienten bestimmt werden. Da nach LEE [102]
die rotatorischen Anteile der elastischen und der plastischen Deformation nicht eindeutig
bestimmt sind, muss hier eine Annahme für den rotatorischen Anteil des plastischen
Deformationsinkrements∆Fp getroffen werden. Da bei einem Federmodell die Ausrichtung
der Normalkraftfeder in der Verbindung zweier Punkte immer der Bewegung dieser Punkte
folgt, bietet sich hier die Annahme an, die Schubdeformation, die eine Verschiebung
senkrecht zur Federrichtung erzeugt, zu Null zu setzen. Bei der Wahl eines mitdrehenden
Koordinatensystems, dessen 1-Richtung der Ausrichtung der Feder entspricht, entspricht
dies der Forderung, dass die Einträge des Deformationsgradienten
∆Fp12 = 0 ∆Fp13 = 0 (4.15)
entsprechen müssen (letztere Forderung ist dabei nur im dreidimensionalen Fall zu
erfüllen). Damit kann der plastische Deformationsgradient eindeutig mittels
∆Fp = R(β) e∆Hp (4.16)
bestimmt werden, wobei die Drehmatrix R von einem beziehungsweise zwei Winkeln β
im zwei- beziehungsweise dreidimensionalen Raum abhängt.
64 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
1. Berechne die Gesamtverformung des Lastschritts nach Gl. (4.9).
F[n]ges. = F[n]e F[n−1]p
2. Überprüfe die Fließbedingung Gl. (4.10); ist diese erfüllt, setze ∆H [n]p = 0 und
gehe zu Schritt 4.
f(H[n]ges.) =
√
2
3 H
[n]
dev. : H
[n]
dev. −Hv(λ[0]) ≤ 0
3. Berechne die zusätzliche plastische Dehnung nach den Gleichungen (4.12) und
(4.14).
∆H[n]p = χH
[n]
e,dev.
Dabei wird χ mithilfe eines NEWTON-Verfahrens bestimmt.
χ[m] = χ[m−1] − f
[m−1]
He,dev.
(
1 + ∂Hv
∂Hp,acc.
∂Hp,acc.
∂χ
)
Als Konvergenzkriterium dient der Fehler der Fließbedingung (4.13).
4. Bestimme die neue plastische Deformation des Lastschritts nach Gleichung
(4.16).
∆Fp = R(β) e∆Hp
Box 1: Ablaufplan für die Berechnung des plastischen Dehnungsinkrements in jeder
Iteration n eines Lastschritts.
4.3. PLASTISCHE VERFORMUNG IM FEDERMODELL 65
lp +∆lp
∆ϕ
φ
ϕ1 −∆ϕ
ϕ2 +∆ϕlp
2
e∆
Hp,1 cosψ
lp2 e ∆
H
p
,2sin
ψ
lp
2
e∆
Hp,1 cosψ
lp2 e ∆
H
p
,2sin
ψ
∆Hp
ψ
lp2 sin
ψ
lp2 sin
ψ
lp
2
cosψ
lp
2
cosψ
lp
ϕ1
ϕ2
Abbildung 4.4.: Verformung eines Verbindungselements aufgrund des plastischen Deh-
nungsinkrements ∆Hp im zweidimensionalen Kontinuum. Die Änderung
der Federlängen und -winkel durch die plastische Verformung ergeben
sich aus rein geometrischen Überlegungen.
4.3.2. Übertragung der plastischen Dehnung auf das
zweidimensionale Federmodell
Bei der im Abschnitt 4.3.1 berechneten plastischen Verformung handelt es sich bislang
um eine Kontinuumsgröße, die bezüglich der Normalkraftfedern berechnet wurde. Diese
muss im Folgenden auf die Federn, die als Teil des Verbindungselements diese plastische
Verformung erzeugt haben, übertragen werden, um die Modellkonsistenz zu wahren.
Hierzu wird eine geometrische Überlegung nach Abbildung 4.4 verwendet. Bei Betrachtung
des plastischen Flusses ∆Hp im Hauptachsensystem, dessen Achsen gegenüber der
Normalkraftfeder um einen Winkel von ψ geneigt sind, ergeben sich die Änderung
der Federlänge mit unbelasteter Länge lp sowie die Winkeländerung der angrenzenden
Winkelfedern zu
lp +∆lp = lp
√
(e∆Hp,1 cosψ)2 + (e∆Hp,2 sinψ)2 (4.17a)
∆ϕ = ψ − φ = ψ − arctan
(
e∆Hp,2 sinψ
e∆Hp,1 cosψ
)
. (4.17b)
Wird die plastische Verformung auf diese Art auf das Federmodell übertragen, so kann
gezeigt werden, dass auch im Federmodell die plastische Deformation rein deviatorisch
ist. Ein Beweis hierfür ist im Anhang A.4 zu finden.
66 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
4.3.3. Modifikation der Federsteifigkeiten bei plastischer
Verformung
Neben der Übertragung der plastischen Deformation auf die Federn des Federmodells
können bei diesem zusätzlich die elastischen Steifigkeiten der Federn als Funktion der
plastischen Verformung modifiziert werden. Das Ergebnis einer solchen Modifikation
soll dabei den Zweck verfolgen, die elastischen Eigenschaften der Federzellen auch bei
plastischer Verformung zu erhalten. Zugleich soll diese Modifikation aber nur von der
Feder selbst sowie ihrer plastischen Deformation abhängen, um die diskrete Struktur
des Modells zu erhalten. Eine komplette Neuberechnung aller Federsteifigkeiten nach
Gleichung (3.7) wird hier somit ausgeschlossen.
Eine Methode zur Berechnung der Modifikation der Federsteifigkeiten ergibt sich aus
der Annahme, dass die Dehnungsenergie Πe einer Feder bei gleicher elastischer Dehnung
εe vor und nach plastischer Deformation (Index p) gleich sein soll. Wendet man diese
Annahme auf eine Normalkraftfeder an, deren krafterzeugende Verformung über die
Dehnung definiert ist, so führt die Forderung gleicher Dehnungsenergie auf
Πe =
1
2k ε
2
e =
1
2kp ε
2
e,p = Πe,p ⇔ kp = k . (4.18)
Als direktes Resultat dieser Forderung ergibt sich somit, dass die Steifigkeit der Normal-
kraftfeder nicht zu modifizieren ist. Ein analoges Resultat kann auch bei Betrachtung
der Normalkraftfeder als Stab gewonnen werden. Unter der Annahme, dass die plastische
Deformation des Stabs das Volumen ebendieses Stabs nicht verändert, müsste mit der
elastischen Dehnungsenergie als Πe =
∫
ΩE ε
2
e dΩ der Elastizitätsmodul des Stabs kon-
stant gehalten werden, um bei gleicher elastischer Dehnung dieselbe Dehnungsenergie zu
erhalten.
Für die Winkelfedern führt ein zu den Normalkraftfedern analoges Vorgehen auf die
Forderung, dass auch diese konstant zu halten sind. Eine anschauliche Erklärung wie im
Falle der Normalkraftfeder ist hierfür jedoch nicht bekannt.
4.3.4. Eine Anmerkung zur Konvergenz des Iterationsverfahrens
Im hier entwickelten Plastizitätsmodell werden bislang in den Gleichgewichtsiterationen
eines Lastinkrements die elastisch berechneten Federsteifigkeiten auch dann für die Be-
rechnung genutzt, wenn sich das Material bereits plastisch verformt. Es wird folglich
nicht die tatsächliche Tangentialsteifigkeit des Materials, in die die elasto-plastischen
4.4. ERGEBNISSE ELASTO-PLASTISCHER SIMULATIONEN 67
0 50 100 150 200
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
n
‖r
‖ 2
‖F
‖ 2
Abbildung 4.5.: Verlauf des auf die äußere Last F bezogenen Kraftfehlers r über den
Gleichgewichtsiterationen n.
Eigenschaften des Materials eingehen, in der Simulation verwendet, sondern die Steifigkeit
des elastischen Materials. Es liegt somit keine konsistente Linearisierung der Gleichungen
zur Bestimmung des Verschiebungsinkrements vor, was dazu führt, dass die quadratische
Konvergenzgeschwindigkeit des NEWTON-RAPHSON-Verfahrens nicht erreicht werden
kann. Dies wird auch durch eine Betrachtung des Verlaufs des normierten Kraftfehlers
über den Gleichgewichtsiterationen deutlich. Wie in Abbildung 4.5 zu sehen ist, nimmt
der Fehler über die Iterationen nur sublinear ab. Als Folge dieser niedrigen Konvergenz-
ordnung wurde jedoch lediglich eine hohe Rechendauer der Simulationen festgestellt.
Konvergenzprobleme konnten bei sämtlichen berechneten Testfällen nicht beobachtet
werden.
4.4. Ergebnisse elasto-plastischer Simulationen
Für die Untersuchung der elasto-plastischen Modellierung für das entwickelte Federmo-
dell wird dieses bei Rechnungen der einfachstmöglichen Proben mit einer rechteckigen
Geometrie eingesetzt. Es werden dabei für ein Material mit elastischen Eigenschaften
nach Tabelle 4.1 die drei unterschiedlichen Arten der lokalen Verfestigung eingesetzt. In
Abschnitt 4.4.1 wird der Fall der perfekten Plastizität behandelt, bei der keine Verfesti-
gung vorliegt und somit die Tangente der Spannungs-Dehnungs-Kurve horizontal verläuft.
Darauffolgend werden in den Abschnitten 4.4.2 und 4.4.3 die Fälle der Entfestigung und
Verfestigung betrachtet, bei denen die Tangenten der Spannungs-Dehnungs-Kurven eine
negative beziehungsweise positive Steigung besitzen. Die Probe ist nach Abbildung 4.6
am linken Ende in x-Richtung gelagert und wird durch eine vorgegebene Verschiebung
68 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
uh
l
Y
X
Abbildung 4.6.: Geometrie der rechteckigen Zugprobe, die zur Demonstration der unter-
schiedlichen Plastizitätsmodelle genutzt wird.
Modelleigenschaft Symbol Wert
Elastizitätsmodul E 70GPa
Querkontraktionszahl ν 0.25
Länge des Rechtecksmodells l 5mm
Höhe des Rechtecksmodells h 1mm
Maximale Fläche der Dreieckszellen A4 5 · 10−3mm2
Tabelle 4.1.: Modelleigenschaften für die Simulation des elasto-plastischen Modells. Die
Fließfunktion des Materials wird in den folgenden Beispielen separat defi-
niert. Die maximale Fläche der Zellen ist für das gröbste Netz angegeben.
Für das feine und sehr feine Netz ist dieser Wert um einen Faktor von 5
beziehungsweise 10 verringert.
am rechten Ende belastet. Um Starrkörperverschiebungen zu unterbinden, ist sowohl
am rechten als auch am linken Ende der Probe der jeweils unterste Knoten zusätzlich in
y-Richtung gelagert.
4.4.1. Perfekte Plastizität
Für den ersten Testfall der perfekten Plastizität wird im Simulationsmodell die Ver-
festigung bei plastischer Verformung deaktiviert. Zusätzlich zu den Modellparametern
nach Tabelle 4.1 wird definiert, dass nach Abbildung 4.7 ab einer elastischen VON
MISES-Vergleichsdehnung von H = 0.010 plastische Deformation stattfinden soll.
In Abbildung 4.8 sind die Ergebnisse des nominalen Spannungs-Dehnungsverlaufs für die
Simulation des Federmodells und die Lösung für ein homogenes Kontinuum dargestellt.
Hierbei bezeichnet die Nominalspannung σnom. die Kraft pro Anfangsquerschnitt des
Rechtecksmodells, während die Nominaldehnung Hnom. die Längenänderung des Modells
logarithmisch auf die Ausgangslänge bezieht. In diesen Ergebnissen ist zweierlei zu sehen:
Zum einen ist ab Beginn der plastischen Verformung die Nominalspannung am Federmo-
dell geringer als die des Kontinuumsmodells. Die Ursache hierfür liegt darin begründet,
4.4. ERGEBNISSE ELASTO-PLASTISCHER SIMULATIONEN 69
0 0.02 0.04
0
0.005
0.01
Hges.
H
e
Abbildung 4.7.: Verlauf der zulässigen elastischen Vergleichsdehnung He als Funktion der
Gesamtdehnung Hges. im einachsigen Zugversuch, der für das elastisch-
ideal plastische Material angenommen wurde.
0 0.02 0.04
0
500
1 000
Hnom.
σ
n
om
.
in
M
Pa
Perfekt plastisch
Perfekt plastisch (feines Netz)
Perfekt plastisch (sehr feines Netz)
Kontinuum
Abbildung 4.8.: Verlauf der Nominalspannung σnom. über der logarithmischen Nomi-
naldehnung Hnom. bei einer Rechtecksprobe mit perfekter Plastizität.
Dargestellt sind die Lösungen der Simulation mit drei unterschiedlichen
Netzfeinheiten sowie die Lösung eines homogenen Kontinuumsmodells
zum Vergleich.
Rechnung σnom.,max. Hnom.(σnom.,max.)
Kontinuum 953.854MPa 0.024600
grobes Netz 948.821MPa 0.022251
feines Netz 951.290MPa 0.023472
sehr feines Netz 955.518MPa 0.027737
Tabelle 4.2.: Zusammenfassung der Nominalspannungen σnom.,max. und -dehnungen
Hnom.(σnom.,max.), bei denen die globale Entfestigung für die perfekt plasti-
schen Modelle einsetzt.
70 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
dass aufgrund der Änderung der elastischen Eigenschaften des Federmodells durch die
Verformung die lokalen Verformungen der Federn gegenüber einem homogenen Kontinu-
umsmodell Fluktuationen zeigen. Dies führt in der Folge dazu, dass Teile des Modells
beginnen, sich plastisch zu verformen, bevor die Grenz-Nennspannung für plastisches
Fließen beim Kontinuum erreicht ist. Folglich ist bei gleicher globaler Längenänderung
die erforderliche Kraft für diese Deformation geringer.
Zum anderen ist im Bereich hoher Verformung ab etwa Hnom. > 0.022 zu sehen, dass
sowohl zwischen den Simulationsergebnissen selbst als auch zwischen den Simulati-
onsergebnissen und der Kontinuumslösung deutliche Abweichungen existieren, die mit
zunehmender Nominaldehnung wachsen. Dies kann anhand der unterschiedlichen Lo-
kalisierung der plastischen Deformation bei unterschiedlichen Netzen erklärt werden,
die wiederum Unterschiede im globalen Entfestigungsverhalten erzeugt. Zwar setzt die
Lokalisierung, wie in Tabelle 4.2 zu sehen ist, für alle Modelle bei einer ähnlichen Nomi-
nalspannung ein. Die Nominaldehnung, bei der dieses Verhalten auftritt, unterscheidet
sich jedoch signifikant. Dies kann mit der Bildung der Scherbänder in den Modellen
erklärt werden, die sich im Zuge der Lokalisierung der plastischen Dehnung bilden. Diese
verlaufen zwar allesamt, wie in Abbildung 4.9 zu sehen ist, wie erwartet in Richtung
der Hauptschubspannung von 45◦, unterscheiden sich jedoch zwischen den einzelnen
numerischen Simulationen stark in ihrer Anzahl und ihren Schnittmustern. Während
beim groben Netz (a) die Ausbildung zweier sich innerhalb der Zugprobe kreuzender
Scherbänder zu beobachten ist, bildet sich beim feinen Netz (b) nur ein einziges Scherband.
Beim sehr feinen Netz (d) hingegen schneiden sich die beiden Scherbänder am Rand der
Probe. Dies hat zur Folge, dass die Einschnürung bei gleicher äußerer Verformung für
diese drei numerischen Simulationen unterschiedlich stark ausgeprägt ist und somit für
die resultierende Nominalspannung bei gleicher Nominaldehnung unterschiedliche Werte
bestimmt werden können.
Zusätzlich ist anzumerken, dass bei letzterem Netz die Lokalisierung der plastischen
Dehnung erst bei größerer äußerer Verformung auftritt. Dies ist im Vergleich der Abbil-
dungen 4.9a und 4.9b mit der Abbildung 4.9c zu erkennen, die alle bei derselben äußeren
Gesamtverschiebung aufgezeichnet wurden. Die Ursache hierfür ist bisher noch nicht
bekannt. Es wird jedoch angenommen, dass die Ursache in einem zu schwachen Kon-
vergenzkriterium für den relativen Kraftfehler der numerischen Simulation von 10−5 zu
finden ist. Dieses wiederum kann aufgrund der Begrenzung der zur Verfügung stehenden
Rechenleistung nicht strenger gewählt werden.
4.4. ERGEBNISSE ELASTO-PLASTISCHER SIMULATIONEN 71
0.2679
0.0059
H
p
,a
cc
.
(a) Lokalisierung der Plastizität bei grobem Netz, dargestellt bei Hges. = ln 1.0285.
0.5973
0.0078
H
p
,a
cc
.
(b) Lokalisierung der Plastizität bei feinem Netz, dargestellt bei Hges. = ln 1.0285.
0.1427
0.0110
H
p
,a
cc
.
(c) Plastische Verformung des sehr feinen Netzes bei Hges. = ln 1.0285. Es tritt noch keine
scharfe Lokalisierung der plastischen Verformung auf.
0.6606
0.0110
H
p
,a
cc
.
(d) Lokalisierung der Plastizität bei sehr feinem Netz, dargestellt bei Hges. = ln 1.037.
Abbildung 4.9.: Lokalisierung der Plastizität bei einer Berechnung mit perfekter Plasti-
zität und unterschiedlicher Netzfeinheit bei gleicher Verschiebung des
rechten Rands. Die akkumulierte plastische Dehnung Hp,acc. ist im ver-
formten Netz farblich dargestellt.
72 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.005
0.01
Hges.
H
e
Abbildung 4.10.: Verlauf der zulässigen elastischen VergleichsdehnungHe als Funktion der
Gesamtdehnung Hges. im einachsigen Zugversuch, der für das Material
mit Entfestigung angenommen wurde.
4.4.2. Elastoplastizität mit lokaler Entfestigung
Im zweiten Testfall wird ein Material mit lokaler Entfestigung verwendet. Bei diesem
Material, dessen elasto-plastisches Deformationsverhalten in Abbildung 4.10 dargestellt
ist, findet jenseits der Elastizitätsgrenze bei einer Dehnung von H = 0.010 nach ei-
nem kurzen Deformationsbereich mit Verfestigung eine Entfestigung des Materials statt.
Hierbei nimmt die zulässige elastische Dehnung bei zunehmender plastischer Dehnung
stark ab. Dies führt in der Praxis dazu, dass die plastische Verformung einer Zugprobe
dieses Materials in schmalen Scherbändern lokalisiert und die Probe lokal einschnürt.
Während bei Kontinuumsmodellen bei Vernachlässigung der numerischen Ungenauigkeit3
der Berechnung für diese Lokalisierung Lokalisationskeime – zum Beispiel geometrische
Imperfektionen – in das Modell eingebracht werden müssen, entstehen diese beim Feder-
modell durch die Änderung der elastischen Eigenschaften der Zellen durch die Verformung
von selbst. Sie sind somit durch die Imperfektion des mathematischen Modells bei finiten
Deformationen immer in der Simulation enthalten.
Wie in Abbildung 4.12 zu sehen ist, bilden sich bei der Simulation mit einem entfestigenden
Material räumlich stark begrenzte Scherbänder unter dem Winkel der Hauptschubdehnun-
gen von 45◦ im Modell aus. Die Position dieser Scherbänder hängt dabei vom gewählten
Netz ab. Nach Abbildung 4.11 findet die Lokalisierung der plastischen Verformung je-
doch im Gegensatz zur Simulation mit einem perfekt plastischen Material bei derselben
3 Durch numerische Fehler entstehen auch bei Kontinuumsmodellen Unregelmäßigkeiten im Deformati-
onsfeld, die als Lokalisationskeime dienen. Diese können, wie in [45, Abb. 10.3] gezeigt wird, zum
Beispiel durch lokale Netzverfeinerung angeregt werden.
4.4. ERGEBNISSE ELASTO-PLASTISCHER SIMULATIONEN 73
0 0.01 0.02 0.03 0.04
0
500
1 000
Hnom.
σ
n
om
.
in
M
Pa
Entfestigung
Entfestigung (feines Netz)
Entfestigung (sehr feines Netz)
Kontinuum
Abbildung 4.11.: Verlauf der Nominalspannung σnom. über der logarithmischen Nomi-
maldehnungHnom. bei einer Rechtecksprobe mit einem Plastizitätsgesetz
mit Entfestigung. Dargestellt sind die Lösungen der Simulation mit
drei unterschiedlichen Netzfeinheiten sowie die Lösung eines homogenen
Kontinuumsmodells zum Vergleich.
äußeren Verformung des Gesamtmodells statt. Dies lässt darauf schließen, dass bei einem
Material mit lokaler Entfestigung die Last, die zur Initiierung der globalen Entfestigung
nötig ist, beim hier entwickelten Plastizitätsmodell unabhängig vom gewählten Netz ist.
Bei Betrachtung des Modellverhaltens nach der Lokalisierung der Plastizität ist jedoch
festzustellen, dass die Last-Verschiebungskurven Unterschiede aufweisen. Diese können
jedoch, wie im ideal-plastischen Fall, mit der unterschiedlichen Ausbildung der Scherbän-
der erklärt werden, die wiederum, wie in Abbildung 4.12 zu sehen ist, zu unterschiedlich
starken Einschnürungen der Proben führen.
4.4.3. Elastoplastizität mit Verfestigung
Der letzte Testfall zeigt das Verhalten des Federmodells bei Verwendung eines Plas-
tizitätsgesetzes, bei dem über den gesamten Bereich der plastischen Verformung eine
Verfestigung des Materials stattfindet. Wie in Abbildung 4.13 zu sehen ist, wird hierzu
ein Material verwendet, bei dem die zulässige elastische Dehnung eine stückweise lineare
Funktion der Gesamtdehnung ist. Hierbei wird erwartet, dass keine Lokalisierung der
plastischen Dehnung in Scherbändern stattfindet, sondern dass die plastische Verformung
über die gesamte Zugprobe näherungsweise homogen ist. Vollständige Homogenität der
plastischen Verformung kann hierbei mit dem verwendeten Federmodell nicht erreicht
werden, da nach Abschnitt B.1 selbst die elastischen Eigenschaften des Modells unter
Verformung nicht homogen sind.
74 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
0.3470
0.0018
H
p
,a
cc
.
(a) Lokalisierung der Plastizität bei grobem Netz, dargestellt bei Hges. = ln 1.0225.
0.6052
0.0019
H
p
,a
cc
.
(b) Lokalisierung der Plastizität bei feinem Netz, dargestellt bei Hges. = ln 1.0225.
0.4294
0.0020
H
p
,a
cc
.
(c) Lokalisierung der Plastizität bei sehr feinem Netz, dargestellt bei Hges. = ln 1.0225.
Abbildung 4.12.: Lokalisierung der Plastizität bei einer Berechnung mit Entfestigung
und unterschiedlicher Netzfeinheit bei gleicher Verschiebung des rechten
Rands. Die akkumulierte plastische Dehnung Hp,acc. ist im verformten
Netz farblich dargestellt.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.005
0.01
0.015
Hges.
H
e
Abbildung 4.13.: Verlauf der zulässigen elastischen VergleichsdehnungHe als Funktion der
Gesamtdehnung Hges. im einachsigen Zugversuch, der für das Material
mit Verfestigung angenommen wurde.
4.4. ERGEBNISSE ELASTO-PLASTISCHER SIMULATIONEN 75
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0
500
1 000
Hnom.
σ
n
om
.
in
M
Pa
Verfestigung
Verfestigung (feines Netz)
Kontinuum
Abbildung 4.14.: Vergleich der Last-Verschiebungskurve der rechteckigen Zugprobe mit
einem Plastizitätsgesetz mit Verfestigung. Dargestellt sind die nume-
rischen Lösungen mit zwei unterschiedlichen Netzen sowie die Lösung
eines homogenen Kontinuumsmodells. Die Lösungen der unterschiedli-
chen Modelle fallen in diesem Fall zusammen.
0.0700
0.0388
H
p
,a
cc
.
(a) Ausbildung der Plastizität bei einem groben Netz bei einer Gesamtdehnung Hges. = ln 1.038.
0.0754
0.0395
H
p
,a
cc
.
(b) Ausbildung der Plastizität bei einem feinen Netz bei einer Gesamtdehnung Hges. = ln 1.038.
Abbildung 4.15.: Ausbildung der plastischen Dehnung bei einem Material mit Verfesti-
gung. Die akkumulierte plastische Dehnung Hp,acc. ist im verformten
Netz farblich dargestellt.
76 4. EIN ELASTO-PLASTISCHES STABGITTERMODELL
Bei Betrachtung der Nennspannungs-Nenndehnungs-Kurven nach Abbildung 4.14 kann
festgestellt werden, dass die Ergebnisse des Federmodells über den gesamten Dehnungs-
verlauf sehr gut mit denen der Kontinuumslösung übereinstimmen. Hierbei ist die Ergeb-
nisqualität unabhängig von der Netzgeometrie. Der Grund hierfür ist, dass die analytische
Lösung dieses Problems über den gesamten Lastverlauf ein homogenes elastisch-plastisches
Dehnungsfeld ist. Es muss jedoch angemerkt werden, dass selbst bei kleineren plastischen
Dehnungen die Änderung der lokalen elastischen Eigenschaften der Federzellen durch
die Verformung bereits starke Inhomogenitäten der plastischen Verformung im Modell
erzeugt. Dies ist in Abbildung 4.15 zu erkennen, in der die plastischen Dehnungen zweier
unterschiedlicher Netze bei einer Nominaldehnung von Hges. = ln 1.038 dargestellt sind:
Hierbei treten für beide Netze Regionen im Modell auf, für die die plastische Vergleichs-
dehnung näherungsweise doppelt so groß ist wie in der direkten Nachbarschaft dieser
Regionen.
4.4.4. Zusammenfassung der Ergebnisse
Anhand der Ergebnisse dieses Abschnitts konnte gezeigt werden, dass das entwickelte
Modell für die Modellierung plastischen Verhaltens bei Federmodellen in der Lage ist, die
Kontinuumsplastizität anzunähern. Hierbei sind insbesondere zwei Punkte hervorzuheben:
1. Aufgrund dessen, dass sich die elastischen Eigenschaften des Federmodells unter Ver-
formung ändern, sind die Ergebnisse bei Simulationen mit endlichen Verformungen
selbst dann inhomogen, wenn nach der analytischen Lösung ein homogener Verfor-
mungszustand vorliegen sollte. In der Folge sind diese Modelle nur näherungsweise
in der Lage, homogenes elasto-plastisches Verhalten zu reproduzieren.
2. Das Fehlen der Homogenität der elastischen Eigenschaften der Federmodelle unter
Verformung bietet für die Simulation von Lokalisationsphänomenen in der Plas-
tizität sowohl Vor- als auch Nachteile. Vorteilhaft ist hierbei, dass durch diese
Eigenschaft im Modell automatisch Lokalisationskeime entstehen. Dies ist jedoch
zugleich der Nachteil: Der Ort der Lokalisierung ist bei gegebener Belastung direkt
von der Netzgeometrie abhängig. Dies kann jedoch auch zur Repräsentation der
tatsächlichen Mikrostruktur metallischer Materialien eingesetzt werden, in der die
Lokalisierung der Plastizität direkt von der Ausrichtung und Vorbelastung der
Körner des Materials abhängt. Hierzu sind jedoch genauere Untersuchungen des
Modellverhaltens sowie der etwaigen Ähnlichkeiten zum Verhalten metallischer
Werkstoffe unter elastischer Verformung erforderlich.
5. Rissbildung und -fortschritt beim
Stabgittermodell
Wie bereits in der Einführung in Abschnitt 1.1 angesprochen, ist eines der Hauptziele
der diskreten Modelle die einfachere Modellierung von Rissphänomenen. Dieses Kapitel
widmet sich nach einer kurzen Einführung in die Bruchmechanik der Risssimulation mit
dem entwickelten zweidimensionalen Modell aus Normalkraft- und Winkelfedern.
5.1. Bruchmechanik
Die Ingenieurdisziplin der Bruchmechanik widmet sich der Untersuchung des Bruchver-
haltens, also der Auftrennung von Festkörpern entlang von Rissen [61]. Aufgrund der
Bedeutung des Versagensvorgangs für die Festigkeitsabschätzung erfährt dieses Gebiet
schon seit langem große Aufmerksamkeit1. Erste Berechnungen der Spannungen in Konti-
nua in der direkten Umgebung eines Risses sind bei KOLOSOV [94] und INGLIS [76] zu
finden. Letzterer bestimmt in seiner Veröffentlichung die Spannungsverläufe, die sich an
elliptischen Rissen und Rissen mit näherungsweise elliptischer Spitze bilden, wenn diese
in einem unendlichen Kontinuum eingebettet sind. Er stellt dabei fest, dass sich für die
maximale Normalspannung quer zum Riss
σmax. = σ∞
(
1 + 2
√
a
ρ
)
(5.1)
ergibt, wobei σ∞ die äußere Spannung im Unendlichen, a die halbe Risslänge und ρ den
Krümmungsradius der Rissoberfläche in der Rissspitze bezeichnet.
Die heute verwendete Kontinuumstheorie des Versagens von Festkörpern geht auf GRIF-
FITH [59] zurück. Dieser stellt aufgrund der Widersprüche zwischen den Bruchspannungen,
1 In den Worten von MOHR [112, S. 192], welche bis heute noch aktuell sind: ”Zu den wichtigsten
Grundlagen der Festigkeitslehre gehört daher die Kenntnis der Umstände, von welchen die Elastizi-
tätsgrenzen und die Bruchgrenzen der Baustoffe abhängig sind. Unzählige Versuche wurden angestellt,
um diese Grenzen kennen zu lernen, aber zu einwandfreien Ergebnissen ist man bis heute nicht
gelangt.“
78 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
die aus den elastisch berechneten Spannungen nach INGLIS [76] hervorgehen, und den
Bruchspannungen in Experimenten mit Versuchsproben unterschiedlicher Oberflächen-
rauhigkeit fest, dass die elastisch berechnete Spannung in einer Kerbe kein geeignetes
Kriterium für den Bruch darstellt. Als Grund hierfür bestimmt er in Versuchen die
plastischen Verformungen in der Kerbe. Anstelle der Verwendung von Spannungskriterien
geht er in seiner Arbeit davon aus, dass die Theorie, dass das mechanische Gleichgewicht
gerade der Punkt ist, an dem das Gesamtpotential im betrachteten System minimal ist,
auch für den Rissvorgang gelten muss. Hierzu muss lediglich die Oberflächenenergie der
neu entstandenen Rissoberflächen mitberücksichtigt werden. Risswachstum findet nach
GRIFFITH also genau dann statt, wenn die Erweiterung des Risses zu einer Abnahme
der gesamten, potentiellen Energie des betrachteten Systems führt. Dies ist bei einer
Belastung des Kontinuums senkrecht zum Riss der Länge 2 a genau dann der Fall, wenn
die äußere Spannung einen kritischen Wert
σkrit. =
√
2E T
pi a
(5.2)
überschreitet. Hierbei bezeichnet E den Elastizitätsmodul und T die Oberflächenspannung
des Materials.
OROWAN [121] liefert eine weitere theoretische Begründung des Energiekriteriums für
den Rissfortschritt. In seiner Arbeit zeigt er, dass dieses Kriterium äquivalent zur maxi-
malen Kohäsion der Atome an der Rissspitze ist. Zugleich stellt er jedoch fest, dass das
GRIFFITH’sche Kriterium nur für den elastischen Fall (oder den Fall einer vernachläs-
sigbar kleinen plastischen Zone an der Rissspitze) gerechtfertigt ist. Für den Fall eines
duktilen Bruchs schlägt er stattdessen vor, die Oberflächenenergie der GRIFFITH’schen
Betrachtung durch die plastische Oberflächenarbeit zu ersetzen.
IRWIN [79,80] dagegen ergänzt in seiner Arbeit das GRIFFITH’sche Konzept der Abnahme
der gesamten potentiellen Energie bei einem Rissfortschritt, indem er einen Zusammen-
hang zwischen der äußeren Belastung des Kontinuums und der Energieabnahme des
Gesamtsystems bei einer Vergrößerung eines scharfen Risses im elastischen Material
beschreibt. Hierbei stellt er fest, dass die sogenannte Energiefreisetzungsrate G, die die
Abnahme der potentiellen Energie bei einem infinitesimalen Risswachstum beschreibt,
im linear-elastischen Fall direkt mit der äußeren Belastung des Kontinuums verknüpft
ist. Er unterscheidet dabei zwischen drei unterschiedlichen Rissmodi, die in Abbildung
5.1 zu sehen sind. Der Rissmodus I (Abbildung 5.1a) beschreibt einen scharfen Riss der
Länge 2 a, der in ein unendliches Kontinuum eingebettet ist, das wiederum orthogonal
5.1. BRUCHMECHANIK 79
r
θ
σyy,∞
σyy,∞
2 a
(a) Rissmodus I: Zugbelastung quer zum
Riss.
r
θ
σxy,∞
σxy,∞
2 a
(b) Rissmodus II: Schubbelastung in der
Ebene senkrecht zur Rissspitze.
r
θ
σyz,∞
σyz,∞
2 a
(c) Rissmodus III: Schub in der Ebene, die
von der Rissspitze und der Normalen
der Rissebene aufgespannt wird.
Abbildung 5.1.: Darstellung der unterschiedlichen Rissmodi. Die Rissöffnung ist dabei
der Anschaulichkeit halber stark vergrößert dargestellt. Die Rissspitze
verläuft dabei entlang des Vektors, der aus der Zeichenebene heraus
zeigt.
80 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
zum Riss mit einer Zugspannung σyy,∞ belastet ist. Für die Energiefreisetzung bei einer
infinitesimalen Risserweiterung ergibt sich dabei
GI =
σ2yy,∞ pi a
E˜
, (5.3)
wobei im ebenen Spannungszustand E˜ = E und im ebenen Dehnungszustand E˜ = E1−ν2
ist. Verwendet man für die Beschreibung der äußeren Last anstelle der Spannung im
Unendlichen die sogenannte Spannungsintensität
KI =
√
GI E˜ = σyy,∞
√
pi a , (5.4)
so lässt sich die Spannungsverteilung in der direkten Umgebung des Risses als

σxx
σyy
σxz
 = KI√2pi r cos θ2

1− sin θ2 sin 3 θ2 +O(r)
1 + sin θ2 sin
3 θ
2 +O(r)
sin θ2 sin
3 θ
2 +O(r)
 (5.5)
beschreiben2. Da für den scharfen Riss unter Last in jedem Fall die Energiefreisetzungsrate
positiv und die Spannungen in der Rissspitze unendlich sind, wird für das Kriterium der
Energiefreisetzungsrate G angenommen, dass diese für ein Wachstum des Risses nicht nur
positiv sein muss, sondern eine kritische Rissfreisetzungsrate Gkrit. überschreiten muss.
Diese kritische Größe, die als Ähnlichkeitsgröße den notwendigen Belastungszustand für
das Risswachtum beschreibt, muss wiederum anhand eines Versuchs ermittelt werden,
da sie anhand analytischer Methoden bislang nicht bestimmt werden kann3. Für den
Fall einer reinen Belastung des Risses nach dem Rissmodus I ist das Überschreiten
einer kritischen Energiefreisetzungsrate Gkrit. gerade äquivalent zur Überschreitung einer
kritischen Spannungsintensität KI,krit..
Für die Rissmodi II und III – Schubbelastung in der Ebene orthogonal zur Rissspitze
nach Abbildung 5.1b und Schubbelastung in der Ebene, die durch die Rissspitze und die
Normale der Rissoberfläche aufgespannt wird (siehe Abbildung 5.1c), können gleicher-
maßen die Spannungskomponenten, die ungleich Null sind, in unmittelbarer Nähe zur
2 Eine Herleitung dieser Beziehungen ist beispielsweise bei PEREZ [134] zu finden.
3 Siehe hierzu auch Herleitungen der Bruchspannungen von Kristallgittern nach BORN und FÜRTH [24],
die bereits in Abschnitt 2.1 angesprochen wurden.
5.1. BRUCHMECHANIK 81
Rissspitze als Funktion der Spannungsintensitäten formuliert werden.

σxx
σyy
σxz
 = KII√2 pi r

sin θ2
(
2 + cos θ2 cos
3 θ
2
)
+O(r)
sin θ2 cos
θ
2 cos
3 θ
2 +O(r)
cos θ2
(
1− sin θ2 cos 3 θ2
)
+O(r)
 (5.6)
σxz
σyz
 = KIII√
2 pi r
− sin θ2 +O(r)
cos θ2 +O(r)
 (5.7)
Auch hier kann die Beziehung zwischen den Spannungsintensitäten und der Energiefrei-
setzungsrate für den Fall einer reinen Belastung im Rissmodus II beziehungsweise III
aufgestellt werden.
GII = K
2
II
E˜
GIII = K
2
III
2G (5.8)
Für den Fall einer gemischten Belastung in den unterschiedlichen Rissmodi kann die
Energiefreisetzungsrate als Summe der Energiefreisetzungsraten der unterschiedlichen
Rissmodi berechnet werden.
RICE [144] stellt mit dem sogenannten J-Integral eine alternative Methodik vor, um die
Energiefreisetzungsrate bei einem Risswachstum zu bestimmen. Nach dieser Methode ist
die Abnahme des Gesamtpotentials bei einem geraden Risswachstum um da in Richtung
na gerade
G da = dana ·
∫
∂Ω
w I− ( ∂u
∂X
)T
· σ
 · n d∂Ω
︸ ︷︷ ︸
J
, (5.9)
wobei w die volumenspezifische Dehnungsenergie, ∂u
∂X = F− I der Verschiebungsgradient
und n der Normalenvektor auf der Oberfläche ∂Ω ist. Das J-Integral ist dabei unabhängig
vom Volumen, über dessen Oberfläche integriert wird. Somit kann es auch bei nichtlinearen
Materialien berechnet werden, deren Verhalten in der Nähe der Rissspitze unbekannt ist,
indem das betrachtete Volumen so weit ausgedehnt wird, dass seine Oberflächen in einem
Teil des Materials liegen, dessen Eigenschaften bekannt sind. Aufgrund dessen, dass die
Berechnung unabhängig von den Rissmodi ist, kann dieses Verfahren zur Berechnung der
Energiefreisetzungsraten bei gemischter Belastung verwendet werden.
82 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
5.2. Rissmodellierung bei makroskopischen diskreten
Modellen
5.2.1. Punkt-Feder-Modelle
Federgittermodelle besitzen bei der Modellierung von Rissen gegenüber Kontinuumsmo-
dellen eine Vielzahl von Vorteilen. So ist die Einbeziehung von Rissen in diese Klasse
von Modellen gegenüber Kontinuumsmodellen stark vereinfacht. Während bei letzteren
zusätzliche Komplexität in das Verformungsverhalten der Modelle eingefügt werden muss
– zum Beispiel zusätzliche Rissansatzfunktionen bei den erweiterten finiten Elementen
(XFEM) – wird ein Riss in ein diskretes Federmodell durch das Entfernen einer Feder-
verbindung eingefügt. Dies hat zur Folge, dass die unterschiedlichen Phasen des Bruchs,
die Rissinitiation und das Risswachtum, mit ein und derselben Formulierung behandelt
werden können. Weiterhin haben SHARAFISAFA und NAZEM [156] gezeigt, dass dies dazu
führt, dass Rissverzweigung und sekundäre Scherrisse bei Federmodellen keiner separaten
Behandlung bedürfen, während diese Risse bei den erweiterten finiten Elementen ohne
separate Behandlung nicht auftreten.
Auch die Kriterien, die für das Reißen der Federn angenommen werden, zeichnen sich
meist durch eine elegante Schlichtheit aus. So wird bei Federmodellen, die nur aus
Normalkraftfedern aufgebaut sind, regelmäßig nur die Streckung einer einzelnen Feder als
Kriterium verwendet. Da diese Modelle, wie in Kapitel 4 angesprochen wurde, plastisches
Verhalten nicht darstellen können, wird dabei ein Materialmodell angenommen, das
sich bis zu einer Grenzdehnung εkrit., bei der abruptes Versagen auftritt, linear-elastisch
verhält. Beispiele hierfür sind bei ASHURST und HOOVER [7], JIRÁSEK und BAŽANT [83],
OSTOJA-STARZEWSKI und C. WANG [126] sowie bei WANG ET AL. [170] zu finden.
Alternativ können bei Normalfedermodellen auch Schädigungsmodelle implementiert
werden, die der Overlay-Methode nach BESSELING [18] ähneln. Bei diesen Modellen wird
bei Erreichen der Grenzdehnung εkrit. im Stab kein abruptes Versagen, sondern graduelles
Versagen angenommen. KRAJCINOVIC und RINALDI [98] sowie RINALDI ET AL. [145]
schwächen beispielsweise die Federsteifigkeiten mithilfe eines Schädigungsparameters
ab, der von der bisher maximal erreichten Dehnung der Feder abhängt. Der Verlauf
des Schädigungsparameters wird dabei häufig über die geforderte Sekantensteifigkeit
des Spannungs-Dehnungs-Verlaufs der Feder gewonnen. Für die zulässige Dehnung wird
in diesen Modellen meist die Bruchdehnung des Materials aus dem Versuch genutzt.
KOSTESKI ET AL. [95] hingegen berechnen die kritische Dehnung mit Hilfe der Konzepte
5.2. RISSMODELLIERUNG BEI DISKRETEN MAKROMODELLEN 83
der linear-elastischen Bruchmechanik und der GRIFFITHS’schen spezifischen Bruchenergie
und wählen einen linearen Schädigungsverlauf so, dass bei Erreichen der Maximaldehnung
des Stabs εmax. die durch den Bruch dissipierte Energie der theoretischen Bruchenergie
entspricht.
Auch bei nichtlokalen Federmodellen, die den Vorteil bieten, die Querkontraktionszahl des
Modells frei einstellen zu können, kann dieses eindimensionale Bruchkriterium angewandt
werden. CHEN und LIU [36] beispielsweise nutzen ein dreidimensionales Federmodell, bei
dem die einzelnen Knoten nicht nur mit ihren direkten Nachbarn verbunden sind, sondern
zusätzlich Federverbindungen zu den Knoten vorliegen, die zwei Gitterlagen entfernt
liegen. In diesen Modellen müssen entsprechend für die Federn, die mit Nachbarknoten
verbunden sind, andere Bruchkriterien gewählt werden als für Federn, die zu weiter
entfernten Knoten führen.
Diese eindimensionalen Bruchkriterien für die Federn des Modells führen jedoch zu
einem signifikanten Nachteil bei der Rissrechnung: Die Rissausbreitung hängt bei diesen
Modellen stark von der Netzgeometrie ab.MONETTE und ANDERSON [113] demonstrieren
dies für Federmodelle mit periodischen Dreiecks- und Viereckszellen. Dabei stellen sie
fest, dass für reine Normalfedermodelle bei homogener, eindimensionaler Verformung
Normalkraftfedern, die um 60◦ gegenüber der Belastungsrichtung verdreht sind, verglichen
mit Federn, die in Belastungsrichtung liegen, erst bei einer um 50% höheren Verformung
brechen. Sie zeigen jedoch zugleich, dass diese Anisotropie durch das Einführen von
Winkelfedern zwischen den Stäben und die Nutzung eines deformationsenergiebasierten
Bruchkriteriums reduziert werden kann.
In der Folge existieren eine Vielzahl von Bruchkriterien, die diese Mehrdimensionali-
tät des Verformungszustands einbinden. Diese Modelle nutzen entweder ein separates
Bruchkriterium für Normal- und Schubbelastung, wie zum Beispiel das Distinct Lattice
Spring Model bei ZHAO [179] sowie ZHAO, FANG und ZHAO [181], oder berechnen aus der
Gesamtbelastung analog zu den Vergleichsspannungshypothesen einen vergleichbaren, ein-
dimensionalen Belastungszustand. Ein Beispiel für letzteres ist in der Arbeit von BRAUN
und FERNÁNDEZ-SÁEZ [29] zu finden, die aus dem mehrdimensionalen Dehnungszustand
analog zum RANKINE-Kriterium die größte Hauptdehnung als orientierungsunabhängiges
Bruchkriterium für die Feder nutzen. Da innerhalb einer Feder selbst jedoch kein voll-
ständiger Dehnungszustand vorliegt, müssen sie hierzu die Dehnungen der Knoten, mit
denen die Feder verbunden ist, bestimmen, und diese auf die Feder übertragen.
84 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
5.2.2. Balkenmodelle
Auch bei Balkenmodellen können mit einfachen Bruchkriterien gute Ergebnisse für die
Bruchlasten und Rissverläufe erzielt werden. So nutzen SCHLANGEN und GARBOCZI
[152] sowie SARKAR ET AL. [151] für ihr Balkenmodell ein Bruchkriterium, in das,
wie bei Normalfedermodellen, nur die Streckung der Balken eingeht. Die Begründung
hierfür liefert SCHLANGEN [155], der in seiner Arbeit zeigt, dass das Einbeziehen der
Balkenkrümmungen keinen Einfluss auf die Richtungsabhängigkeit des Bruchs hat. Somit
hängt die Rissbildung sowohl bei der Nutzung als auch bei der Vernachlässigung der
Krümmung der Balken im Bruchkriterium nach Aussage dieser Arbeiten in erster Linie
vom gewählten Netz und nicht von der tatsächlichen Belastung des Materials ab. Durch
diese Tatsache liefert eine Berücksichtigung der Krümmung keinen wesentlichen Vorteil
bei gleichzeitig zunehmender Modellkomplexität. Diese Richtungsabhängigkeit des Bruchs
wird von SCHLANGEN und GARBOCZI in einer späteren Arbeit [153] analog zu anderen
Federmodellen dadurch behoben, dass Kontinuumsdeformationen an den Knoten des
Modells berechnet und diese als Bruchkriterium für die Balken herangezogen werden.
KOZICKI [97] hingegen verringert die Richtungsabhängigkeit der Rissbildung von der
Netzgeometrie dadurch, dass separate eindimensionale Bruchkriterien der maximalen
Normal- und Schubdehnung sowie der maximalen Krümmung der Balken eingeführt
werden. Mithilfe all dieser Kriterien ist es ihm damit möglich, die Bruchergebnisse
sowohl von Drei- und Vierpunktbiegeversuchen bei Beton als auch von kombinierten
Zug-Schub-Proben zu reproduzieren.
LILLIU und VANMIER [103] hingegen beschreiten einen anderenWeg für die Bruchkriterien
bei Balkenmodellen, indem sie die Krümmung des Balkens bei der Berechnung der
Normalspannungen, die als Bruchkriterium genutzt werden, miteinbeziehen. Jedoch wird
dabei nicht die maximale Biegespannung σb,max., sondern eine gewichtete Biegespannung
ασb,max. nach SCHLANGEN und VAN MIER [154] genutzt. Wird der Koeffizient α dabei
zu Null gesetzt, so ergibt sich ein Kriterium, das wieder nur die Streckung des Balkens
berücksichtigt. Da in diesem Fall aber bei zweidimensionalen Modellen sogenanntes
peeling4 nach TZSCHICHHOLZ [167] auftritt, empfehlen LILLIU und VAN MIER, α = 0.005
zu wählen. Für den dreidimensionalen Fall wird jedoch festgestellt, dass analog zur
Erkenntnis von SCHLANGEN [155] der Beitrag der Biegespannung zum Bruch im Modell
zu vernachlässigen ist (α = 0). Der Fall der Berücksichtigung der maximalen Intensität
der Biegespannung (α = 1) wird von CHRISTODOULOU und TAN [39] an Balkenmodellen
4 Als peeling wird der Effekt bezeichnet, dass einzelne Lagen von Balken, die orthogonal zur Belas-
tungsrichtung verlaufen, vom Modell abgezogen werden. Dies führt dazu, dass sich, wenn einzelne
Elemente in Belastungsrichtung erhalten bleiben, mehrere parallele Risse direkt untereinander bilden.
5.2. RISSMODELLIERUNG BEI DISKRETEN MAKROMODELLEN 85
untersucht, bei denen die Balken auf den Kanten von VORONOI-Polygonen liegen. Hierbei
stellen sie fest, dass der Beitrag der Biegespannung zur extremalen Normalspannung der
Balken regelmäßig unter 10% liegt, was wiederum ihre Vernachlässigung rechtfertigt.
5.2.3. Starrkörper-Feder-Modelle
Bei Starrkörper-Feder-Modellen findet in den Verbindungsebenen der einzelnen Zellen ein
mehrdimensionaler Kraftfluss statt, der üblicherweise in einen Kraftfluss in Normalenrich-
tung und einen Kraftfluss in Tangentialrichtung aufgeteilt wird. In den Bruchkriterien
werden dabei entweder die Teilkraftflüsse in Normal- und Tangentialrichtung, oder
aber der gesamte Kraftfluss betrachtet. Ersteres ist beispielsweise bei ZUBELEWICZ und
BAŽANT [184] zu finden. Sie nutzen als Bruchkriterium eine maximal zulässige Normal-
und Schubkraft. Wird diese überschritten, so wird in diesem Modell nur die Normalstei-
figkeit zwischen den Zellen entfernt. Dies soll der Tatsache Ausdruck verleihen, dass bei
kleinen Verformungen auch im Riss noch tangentiale Kraftübertragung aufgrund von
Reibung vorliegt. Regelmäßig werden bei dieser Modellklasse jedoch mehrdimensionale
Schädigungsmodelle verwendet. So nutzen BOLANDER und SAITO [21] sowie YIP ET
AL. [177] für die Modellierung der Rissbildung bei Beton eine Modifikation des Versagens-
kriteriums nach MOHR-COULOMB, die zusätzlich eine maximal zulässige Zugspannung
enthält. Hierbei werden als Normal- und Tangentialspannung jedoch nicht die Konti-
nuumsspannungen verwendet, sondern die Spannungsvektoren auf der Oberfläche der
Zellen. Die dadurch auftretende Anisotropie der Rissbildung kann wieder, wie bei Feder-
und Balkenmodellen, durch die Verwendung der Kontinuumsspannungen in der Zelle
selbst eliminiert werden [6, 19]. Die Risspfade bei der Verwendung eines solchen Modells
sind jedoch selbst ohne die Verwendung der Kontinuumsspannungen in der Lage, die im
Versuch ermittelten Risspfade gut abzubilden. Lediglich die Bruchlasten streuen bei einer
Modifikation des Netzes stark, wobei diese Streuung bei feineren Auflösungen zunimmt.
Der Grund hierfür ist nach ELIÀŠ und VOŘECHOVSKÝ [48] darin zu finden, dass bei
diesen Modellen die dissipierte Bruchenergie stark von der Netzgeometrie und -feinheit
abhängt.
Um dies zu beheben, nutzen BOLANDER ET AL. [20] sowie BOLANDER und SUKUMAR [22]
das sogenannte Crack-Band-Konzept nach BAŽANT und OH [14]. Bei diesem Konzept
wird davon ausgegangen, dass die Rissbildung nicht in der Verbindungsebene zwischen
zwei Zellen, sondern orthogonal zur Richtung der Kraftübertragung zwischen diesen Zellen
stattfindet. Diese Erweiterung führt zu einer Invarianz der durch den Riss dissipierten
Energie von der Netzfeinheit und -geometrie.
86 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
Auch Schädigungsmodelle mit kontinuierlicher Schädigung werden für Starrkörper-Feder-
Modelle genutzt. CUSATIS, PELESSONE und MENCARELLI [43] beispielsweise nutzen ein
Kriterium, bei dem die zulässige effektive Spannung σeff.,zul. in einer Federverbindung
durch die bisher erreichte effektive Dehnung εeff.,max. in dieser bestimmt wird.
σeff.,zul. = σ0,zul. e−f(εeff.,max.) (5.10)
Die effektiven Spannungen und Dehnungen werden dabei als gewichtetes quadratisches
Mittel der Normal- und Schubkomponenten des Spannungsvektors in der Verbindung
definiert. HWANG, BOLANDER und LIM [74] hingegen erweitern das Schädigungsmodell
nach BOLANDER und SAITO [21] um ein viskoplastisches Schädigungsmodell. Hierzu
ersetzen sie die Normal- und Querkraftfedern des Starrkörper-Feder-Modells durch visko-
elastoplastische Elemente mit einer Schädigungskomponente. Durch diese Modifikation
ist es möglich, bei Simulationen der Wellenausbreitung in Kontinua die Rissbildung
durch elastische Wellen zu berechnen. In einer nachfolgenden Arbeit von HWANG und
LIM [75] wurde zudem verifiziert, dass ein solches Modell auch bei stoßartigen Belastungen
zuverlässige Ergebnisse für die Risspfade in Beton liefert.
5.2.4. Zusammenfassung
Bei Betrachtung der oben vorgestellten Modelle für die Rissrechnung, die bei diskreten
Modellen angewendet werden, sind einige Gemeinsamkeiten in den Eigenschaften dieser
zu erkennen. So basieren sie nicht auf den Konzepten der GRIFFITH’schen Bruchmechanik,
sondern nutzen eine kritische Verformung oder Belastung der lastübertragenden Elemente
zur Bestimmung des Risswachstums. Solche Kriterien sind jedoch nach OROWAN [121]
äquivalent zum Kriterium der Energiefreisetzung bei einem Rissfortschritt, was die guten
Übereinstimmungen der Simulationsergebnisse dieser Modelle mit Versuchsergebnissen
erklärt. Eine weitere Gemeinsamkeit der Risssimulation mit diskreten Modellen ist,
dass die Verwendung eines eindimensionalen Modells für das Versagensverhalten der
Verbindungselemente in allen Fällen zu starken Streuungen in den Lasten führt, die für
die Rissbildung aufgebracht werden müssen. Der Grund hierfür ist, dass die Belastung, die
zum Bruch des Elements erforderlich ist, von der geometrischen Ausrichtung ebendieses
Elements abhängt. Dennoch werden bei diesen Modellen die Risspfade, die im Versuch
beobachtet werden können, gut abgebildet, sofern das Rechengitter nicht periodisch
ist. Durch die Verwendung eines mehrdimensionalen Ansatzes für das Versagen der
Verbindungselemente, der im Allgemeinen entweder über die Verformungen an den
5.3. SPRÖDBRUCHMODELLIERUNG IM NEUEN FEDERMODELL 87
Knoten oder einen mehrdimensionalen Verformungszustand der Verbindungselemente
formuliert wird, kann die Abhängigkeit der Rissbildung von der Netzausrichtung jedoch
bei allen Modellen verringert werden.
5.3. Sprödbruchmodellierung im neu entwickelten
Federmodell
Bei der Rissbildung und dem Risswachstum handelt es sich um Phänomene, die von der
lokalen Belastung und den lokalen Eigenschaften des Materials abhängen. Dementspre-
chend muss auch im Federmodell gewährleistet werden, dass das Versagensverhalten der
Verbindungselemente rein von der lokalen Verformung dieser Elemente abhängt. Hier-
bei wird analog zur Dehnungsberechnung nach Abschnitt 3.5.3 angenommen, dass sich
eine kraftübertragende Verbindung aus einer Normalkraftfeder zwischen zwei Punkten
sowie den Winkelfedern, die mit dieser verbunden sind, besteht. Im Gegensatz zu den
Arbeiten anderer Autoren, die im vorigen Abschnitt vorgestellt wurden, ist dies bei
einem diskreten Modell, das aus Normalkraft- und Winkelfedern besteht, ausreichend,
um die Unabhängigkeit der Rissbildung von der Netzausrichtung zu ermöglichen. Der
Grund hierfür ist, dass mit einem solchen Modell durch die Winkelfedern lokal bereits
ein mehrdimensionaler Verformungszustand vorliegt, der für die Rissrechnung verwendet
werden kann.
Für die numerische Rissberechnung werden im Wesentlichen drei Komponenten benötigt,
die im Folgenden für das hier entwickelte Modell vorgestellt werden sollen. Diese Kompo-
nenten sind eine Annahme für die Berechnung der lokalen Deformation des Modells als
Maß für die Belastung, eine Annahme für die lokale Beanspruchbarkeit des Modells, sowie
ein Verfahren, um das lokale Versagen als Riss in das numerische Modell einzufügen.
5.3.1. Berechnung der Verformung der Verbindungen
Für die lokale Verformung der Verbindungen in einem diskreten Modell können, wie
in Abschnitt 5.2 anhand der veröffentlichten Literatur gezeigt wurde, eine Vielzahl
unterschiedlicher Modelle genutzt werden. Am weitesten verbreitet sind hierbei jedoch
kraft- und dehnungsbasierte Beanspruchungsmodelle, wobei diese wiederum sowohl an
Knoten als auch in den Verbindungen des Modells angewandt werden.
Für diese Arbeit findet im Folgenden eine Beschränkung auf verbindungsbezogene,
dehnungsbasierte Beanspruchungsmodelle statt. Die Beanspruchung wird somit innerhalb
88 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
1
2
3
4
Abbildung 5.2.: Geometrie zweier benachbarter Zellen, deren gemeinsame Verbindung
gebrochen ist. Die angenommene Rissfläche ist durch die gezackte Linie
dargestellt.
einer jeden Verbindung über einen Dehnungszustand der Verbindung beschrieben. Hierbei
muss zwischen zwei unterschiedlichen Fällen unterschieden werden. Der erste Fall ist der
einer Verbindung, die in eine ungeschädigte Dreieckszelle eingebettet ist. Da innerhalb
dieser Zelle ein konstantes Dehnungsfeld vorliegt, kann die Dehnung der Verbindung
nach Abschnitt 3.5.3 bestimmt werden.
Im zweiten Fall, dem Fall einer Verbindung, die Teil einer Zelle ist, die einen Riss enthält,
kann diese Annahme nicht mehr getroffen werden. Dies soll anhand eines Beispiels, das
in Abbildung 5.2 dargestellt ist, demonstriert werden. Wird in diesem Beispiel durch
Überbelastung die Verbindung, die zwischen den Knoten 1 und 2 liegt, entfernt, so liegt
als resultierendes System eine Viereckszelle (im allgemeinen Falle eine Polygonzelle)
vor. Innerhalb dieser Zelle ist jedoch die Annahme eines konstanten Dehnungszustands
aus zwei Gründen nicht mehr gerechtfertigt. Erstens lässt sich die Bewegung von vier
Punkten im Allgemeinen nicht mehr über einen konstanten Dehnungszustand beschreiben.
Da die Knotenverschiebungen jedoch unabhängig voneinander sind, bedeutet dies im
Umkehrschluss, dass im Gebiet zwischen diesen Knoten im Allgemeinen kein konstantes
Dehnungsfeld vorliegen kann. Zweitens muss an der Rissfläche, die zwischen den Knoten
1 und 2 und damit innerhalb der Zelle liegt, das Kräftegleichgewicht erfüllt sein. Folglich
muss, bei Vernachlässigung von Kontakt zwischen den Rissflächen, der Kraftfluss über
diese Fläche zu Null werden. Die Normalspannung senkrecht zu dieser Fläche sowie die
Schubspannungen in dieser Fläche müssen demnach verschwinden. Da diese Bedingungen
entlang aller anderen Verbindungen im Allgemeinen nicht erfüllt sind, muss somit in
5.3. SPRÖDBRUCHMODELLIERUNG IM NEUEN FEDERMODELL 89
ϕ1
ϕ2
Y
X
l 1
l
l 2
ϕ1 +∆ϕ1 ϕ2 +∆ϕ2
−γ1
−θ1
γ2
θ2
Abbildung 5.3.: Verformung eines Verbindungselements, das Teil einer Zelle mit mehr
als drei Knoten ist.
der Zelle ein variabler Dehnungszustand herrschen. Um das veränderliche Dehnungsfeld
einer Verbindung, die an einen Riss angrenzt, zu berücksichtigen, muss folglich eine neue
Berechnungsmethodik für diese eingeführt werden. Diese sollte, um die Modellkonsis-
tenz zu wahren, nur von Verformungsgrößen in den Elementen abhängen, die Teil der
Verbindung sind.
Betrachtet man dazu eine einzelne Normalkraftfeder sowie die Winkelfedern, die mit dieser
verbunden sind, so können nach Abbildung 5.3 aus den drei Deformationsmöglichkeiten
des Systems drei Verformungsmoden angenommen werden:
1. Die Verbindung unterliegt bei einer Streckung λx,n der Normalkraftfeder einer
konstanten Normaldeformation
Fxx,n = λx,n − 1 (5.11)
2. Eine der Winkelfedern wird gestaucht, während die andere gestreckt wird. Dies
entspricht einer Schubdeformation der Verbindung. Unter Annahme einer kon-
stanten Schubverformung in der Verbindung folgt bei ausschließlicher Betrachtung
des Verformungsanteils der Winkelfedern nach Anhang A.1.2 aus geometrischen
Überlegungen
Fxy = tan
∆ϕ2
2 − tan
∆ϕ1
2 . (5.12)
3. Die Winkelfedern werden beide gestreckt oder beide gestaucht. Diese Verformung
entspricht einer Biegeverformung. Aus geometrischen Überlegungen folgt die Krüm-
90 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
mung der Verbindung als
κ =
(
tan ∆ϕ12 + tan
∆ϕ2
2
)
1
l
, (5.13)
wobei l die entlastete Länge der Normalkraftfeder bezeichnet. Wird zusätzlich an-
genommen, dass die VORONOI-Polygone die Einflussbereiche der Knoten darstellen
und somit die Höhe der gebogenen Verbindung der Länge des Kantenabschnitts des
VORONOI-Polygons orthogonal zur Verbindung innerhalb der Zelle entspricht, so
kann die maximale Biegedeformation in der Verbindung wie folgt bestimmt werden.
Fxx,κ = 1 + κ lv = 1 +
(
tan ∆ϕ12 + tan
∆ϕ2
2
)
lv
l
(5.14)
Die maximale Gesamtdeformation der Verbindung ergibt sich durch Überlagerung der
einzelnen Deformationsmoden zu
F =
λx,n Fxx,κ εxy
0 λy
 . (5.15)
Hierbei ist zu beachten, dass die Streckung quer zur Verbindung aus den Verformungen
der Federn nicht berechnet werden kann5. Folglich muss auch für diese eine Annahme
getroffen werden. Es bietet sich hierbei entweder die Berechnung der Querdehnung über
die Querkontraktion aus der Gesamtstreckung in Längsrichtung als F22 = 1− ν (F11 − 1)
oder die Annahme eines querdehnungsfreien Zustands mit F22 = 1 an6.
Es bleibt anzumerken, dass die hier vorgestellte Berechnung der Dehnungen am Riss
nicht in der Lage ist, die analytischen Spannungs- und Dehnungsfelder, die aus der
linear-elastischen Bruchmechanik bekannt sind (siehe auch Gleichungen (5.5ff.)), zu
reproduzieren. Dies ist jedoch bei numerischen Rechnungen unabhängig von der Wahl
des Berechnungsverfahrens der Fall, sofern diese Singularitäten nicht, wie bei finiten
Rissspitzenelementen [12], explizit im Modell enthalten sind. Die vorgestellte Methodik
stellt somit lediglich eine Näherung des Dehnungsfelds nahe des Risses im Rahmen der
begrenzten Auflösung des numerischen Verfahrens dar.
5 Es können aus den drei Federdeformationen maximal drei linear unabhängige Dehnungsfelder
bestimmt und überlagert werden.
6 Im folgenden Abschnitt 5.3.3 wird gezeigt, dass im Falle des Versagens einer Verbindung die Annahme
ν = 0 gewählt werden muss, womit beide vorgestellten Annahmen zusammenfallen.
5.3. SPRÖDBRUCHMODELLIERUNG IM NEUEN FEDERMODELL 91
5.3.2. Modelle für das Versagen der Verbindungen
Dadurch, dass im neu entwickelten Modell die Berechnung mehrdimensionaler Dehnungs-
maße möglich ist, können zur Bestimmung der Beanspruchbarkeit der Federn sämtliche
Vergleichshypothesen verwendet werden, die aus anderen diskreten Modellen und aus Kon-
tinuumsmodellen bekannt sind. Um zu zeigen, wie die Wahl des Beanspruchungsmaßes die
Rissbildung im Federmodell beeinflusst, findet im Folgenden jedoch eine Beschränkung
auf fünf unterschiedliche Versagensmodelle statt:
a) Versagen aufgrund einer maximalen Normaldehnung, wobei nur die Normaldehnung
in Richtung der Längsfedern berücksichtigt wird (Abbildung 5.4a). In diesem
Modell sind somit nur die Verformungen der Längsfedern ausschlaggebend für das
Versagen einer Verbindung. Zudem wird Versagen nur bei Zug-, nicht jedoch bei
Druckbelastung zugelassen.
b) Versagen aufgrund einer maximalen Schubverformung. Hierbei werden nur der
Schub in einem Koordinatensystem, bei dem die Längsfeder in einer der Achsen
liegt, sowie der Schub aufgrund einer Normaldehnung in diesem Koordinatensystem
berücksichtigt (Abbildung 5.4b). Für die Berechnung wird dabei je Längsfeder eine
einzige Verformung berechnet.
c) Versagen wie bei Modell b). Es wird dabei jedoch in jeder Längsfeder für jede
an diese Feder angrenzende Zelle eine separate Verformung bestimmt (Abbildung
5.4c). Es wird angenommen, dass die gesamte Verbindung versagt, sobald eine der
Verformungen die zulässige Grenzverformung überschreitet.
d) Versagen nach dem Modell b), wobei aus der mehrdimensionalen Verformung die
maximale Schubdehnung als Bruchkriterium dient (Abbildung 5.4d).
e) Versagen nach Modell c). Auch hier wird anstelle der Schubdehnung in einer
Richtung die maximale Schubdehnung verwendet (Abbildung 5.4e).
5.3.3. Notwendige Modellmodifikationen beim Versagen einer
Verbindung
Beim Versagen einer Verbindung müssen sämtliche Elemente, die Teil dieser Verbindung
sind, aus dem Modell entfernt werden. Diese sind, wie in Abbildung 5.5 zu sehen ist, neben
der Normalkraftfeder der Verbindung die Anteile der Winkelfeder, die entlang jener ver-
laufen. Wird jedoch angenommen, dass der Riss entlang des VORONOI-Polygonsegments
verläuft, das diese Verbindung schneidet, so ist anzunehmen, dass die Winkelsteifigkeiten
an den Knoten 1 und 2 nach Abbildung 5.5 erhalten bleiben. Um aber zugleich eine
92 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
εyy
εyy
εxy
εxy
εxx
εxx
(a)
εyy
εyy
εxx
εxx
εxy
εxy
(b)
εyy
εyy
εxx
εxx
εxy
εxy
(c)
ε1
ε1
ε2
ε2
γmax.
(d)
ε1
ε1
ε2
ε2
γmax.
(e)
Abbildung 5.4.: Kriterien, die für das Versagen der Verbindungen angewandt werden.
Die Dehnungen, die im Bruchkriterium berücksichtigt werden, sind in
blau dargestellt.
direkte Kraftübertragung zwischen den Knoten 1 und 2 des Beispiels zu vermeiden,
müssen die Winkelfedern an den Knoten 1 und 2 so kombiniert werden, dass sie in
den Winkeln ∠(X4,X1,X3) beziehungsweise ∠(X3,X2,X4) wirken. Dies entspricht den
Winkeln ψi, die in derselben Abbildung gestrichelt dargestellt sind.
Methoden zur Kombination von Winkelfedern
Für die Berechnung der neuen Steifigkeiten der Winkelfedern ist prinzipiell ein beliebiges
Vorgehen möglich. Im Folgenden werden mehrere Annahmen für diese Berechnung
diskutiert. Die geometrischen Größen, die in diesen Annahmen verwendet werden, sind
Abbildung 5.6 zu entnehmen.
a) Die Annahme der Erhaltung der Dehnungsenergie der Winkelfedern beim Bruch
der Normalfeder,
kϕ∆ϕ2 + kθ∆θ2 = kψ (∆ϕ+∆θ)2 , (5.16)
liefert eine obere Grenze für die neue Federsteifigkeit, da bei der Wahl einer größeren
Federsteifigkeit eine Zunahme der gespeicherten Dehnungsenergie bei einem Riss
5.3. SPRÖDBRUCHMODELLIERUNG IM NEUEN FEDERMODELL 93
ϕ2
ϕ3
ϕ1
θ2
θ1
θ4
ψ2
ψ1
X1
X2
X3
X4
l1
l2
l3
Abbildung 5.5.: Geometrie zweier Dreieckszellen, bei denen der sie verbindenden Stab
versagt. Zusätzlich dargestellt sind die VORONOI-Polygone (gestrichelt)
sowie die Winkel ϕi, θi sowie ψi der beiden Dreieckszellen beziehungsweise
der Kombination dieser Zellen.
1
2
3
4
lϕ,1
lθ,2
lϕ
,2 =
lθ
,1
ψ, kψ
ϕ, kϕθ, kθ
Abbildung 5.6.: Zusammenfassung der geometrischen Größen, die für den Zusammenbau
zweier Winkelfedern verwendet werden.
94 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
nicht ausgeschlossen werden kann.
kψ,Π =
kϕ∆ϕ2 + kθ∆θ2
(∆ϕ+∆θ)2
(5.17)
Diese Annahme ist jedoch vom Standpunkt der Invarianz des Modells von der
Reihenfolge der Rissbildung fragwürdig, da die neue Federsteifigkeit nach dieser
Annahme eine Funktion der Verformung beim Bruch ist. Somit ist es nach dieser
Methode denkbar, für dasselbe Rissbild unterschiedliche elastische Steifigkeitser-
gebnisse zu erhalten, die davon abhängen, in welcher Reihenfolge und bei welcher
Last die einzelnen Verbindungen gerissen sind.
b) Die Annahme der Reihenschaltung der beiden Winkelfedern geht davon aus, dass die
Verdrehung des gebrochenen Stabs beliebig sein kann. Dies führt zu dem Ergebnis,
dass die Last, die von beiden Winkelfedern getragen wird, gleich sein muss, und
somit zu einer Reihenschaltung der Steifigkeiten.
kψ,M =
kϕ kθ
kϕ + kθ
(5.18)
Die Annahme der Reihenschaltung der Winkelfedern erfüllt die Energiebedingung
genau für kϕ + kθ > 0 (siehe auch Anhang A.5).
c) Die Annahme einer gleichmäßigen Verformung der neuen Winkelfeder geht davon
aus, dass sich die alten Winkelfedern innerhalb der neuen Winkelfeder gleichmäßig
verformen. Die Winkeländerung pro Anfangswinkel soll dann mit ∆ϕ
ϕ
= ∆θ
θ
für beide
Federn gleich sein. Diese Annahme führt auf eine Steifigkeit der neuen Winkelfeder
von
kψ,V =
kϕ ϕ
2 + kθ θ2
(ϕ+ θ)2
. (5.19)
Für diese Annahme kann allgemein nicht mehr ausgesagt werden, ob die Deh-
nungsenergie der Winkelfedern durch den Bruch der Verbindung bei konstanter
Verformung des Modells zu- oder abnimmt7. Sie ist somit für die Verwendung in
einem Modell für die Rissbildung ungeeignet.
d) Die letzte Annahme nutzt die Tatsache aus, dass eine Winkelfeder nach Anhang
A.1.2 äquivalent zu einem rotationsinvarianten Satz von Schubfedern ist. Somit ist
7 Man betrachte dazu den Fall kϕ > 0,∆ϕ = 0, kθ = 0,∆θ 6= 0, für den die Dehnungenergie der beiden
Winkelfedern vor dem Bruch zu Null wird, nach dem Bruch jedoch in der resultierenden Winkelfeder
eine Dehnungenergie größer Null vorliegt.
5.3. SPRÖDBRUCHMODELLIERUNG IM NEUEN FEDERMODELL 95
es möglich, die Schubfedern, die in der versagenden Verbindung liegen, zu entfernen,
und aus den beiden Schubfedern, die für jeden Knoten der Verbindung erhalten
bleiben, eine neue Winkelfeder aufzubauen.
kψ,γ =
l2ϕ,1 l
2
θ,2
l2ϕ,1 + l2θ,2
(
cϕ kϕ
l2ϕ,1 + l2ϕ,2
l2ϕ,1 l
2
ϕ,2
+ cθ kθ
l2θ,1 + l2θ,2
l2θ,1 l
2
θ,2
)
(5.20)
Die Parameter cϕ und cθ sind dabei Parameter, die den Einfluss der Schubfedern
auf die neue Winkelfeder beschreiben. Zur Bestimmung dieser wird analog zur
Herleitung der Äquivalenz zwischen Winkel- und Schubfedern gefordert, dass die
starrkörperdrehungsfreie Verformung das Momentengleichgewicht erfüllen muss.
Mithilfe dieser Forderung kann das Verhältnis der Gewichtung beider Federn zu
cϕ
cθ
=
kθ l
2
ϕ,1
(
l2θ,1 + l2θ,2
)
kϕ l2θ,2
(
l2ϕ,1 + l2ϕ,2
) (5.21)
bestimmt werden. Gleichung (5.21) zeigt, dass diese Form der Wichtung offensicht-
lich nur dann sinnvoll ist, wenn die Steifigkeiten der ursprünglichen Winkelfedern
dasselbe Vorzeichen besitzen, da ansonsten eine der Federn mit negativem Gewicht
in die Kombination beider Federn einginge. Die resultierende Federsteifigkeit der
kombinierten Winkelfeder ergibt sich damit zu
kψ,γ = 2 cϕ kϕ
l2θ,2
l2ϕ,2
l2ϕ,1 + l2ϕ,2
l2ϕ,1 + l2θ,2
, (5.22)
wobei die Intensität über den Faktor cϕ noch unbestimmt ist. Auch hier kann
jedoch, wie bei der Annahme der gleichmäßigen Verformung, die Abnahme der
Dehnungsenergie durch den Bruch nicht garantiert werden, sofern ein konstanter
Parameter cϕ gewählt wird.
Im Folgenden wird daher beim Bruch einer Verbindung eine Reihenschaltung nach Punkt
b) der mit dieser Verbindung gekoppelten Winkelfedern durchgeführt, da diese Annahme
die einzige ist, die sowohl unabhängig von der momentanen Belastung der Winkelfedern
ist als auch die Möglichkeit bietet, die Abnahme der Dehnungsenergie des Systems durch
den Bruch zu garantieren. Für letzteres muss nur gewährleistet sein, dass die Summe
der Steifigkeiten beider Federn größer als Null wird. Dies kann jedoch, wie Abbildung
3.5 entnommen werden kann, nur dann garantiert werden, wenn die Dreieckszellen nicht
stumpfwinklig sind und zugleich die Querkontraktion des Modells in den Dreieckszellen,
die eine gebrochene Feder enthalten, beim Bruch zu Null gesetzt werden. Während ersteres
96 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
über die Netzgenerierung erreicht werden kann (siehe Abschnitt 2.3.2), ist letzteres eine
Annahme, die zwar mit Sicherheit physikalisch falsch ist, aber dennoch im numerischen
Modell getroffen werden muss, um die Abnahme der Dehnungsenergie bei einem Bruch
bei gleichzeitiger Invarianz des Modells gegenüber der Reihenfolge des Versagensvorgangs
zu garantieren8.
Über die Stabilität des Modells nach dem Versagen einer Verbindung
Nicht nur die Bedingung der Abnahme der Dehnungsenergie des Gesamtsystems bei
konstanter Verformung während eines Bruchs stellt die Modellierung bei den gewählten
Dreieckszellen vor Probleme. Zusätzlich besteht die Möglichkeit, dass die elastische Sta-
bilität des Federsystems durch den Bruch einer Verbindung verloren geht. Grund hierfür
sind negative Federsteifigkeiten, die sich bei der Berechnung dieser nach den Gleichungen
(3.17) und (3.18) ergeben können. Zwar garantiert die vorgestellte Berechnungsmethodik
für ein elastisch stabiles Material, dass die resultierende Federzelle stabil ist, da die
Dehnungsenergie für ein beliebiges, konstantes Dehnungsfeld gleich sein muss. Es besteht
jedoch die Möglichkeit, dass die elastische Stabilität der Zelle durch das Entfernen einer
Feder mit positiver Federsteifigkeit verloren geht. Auch dies kann, wie die Bedingung
der Abnahme der Dehnungsenergie beim Bruch, dadurch vermieden werden, dass in
gebrochenen Zellen nur positive Federsteifigkeiten zugelassen werden. Entsprechend muss
auch hierfür die Spitzwinkligkeit der Dreieckszellen garantiert und die Querkontraktion
der geschädigten Zelle zu Null gesetzt werden.
Obwohl dieses Vorgehen zu einer Modifikation des Materials im Modell führt, stellt es,
verglichen mit dem Risiko der instabilen Zellen, die bessere Alternative dar, da auch bei
diesen alleine durch das Entfernen einzelner Federn das Material im Riss auf unphysi-
kalische Weise modifiziert wird. Somit stellt die Modifikation der Querkontraktionszahl
im Riss nichts anderes dar, als eine andere, unphysikalische Modifikation der Material-
parameter im Riss, die jedoch zugleich die numerische Stabilität des Rechenverfahrens
verbessert und unphysikalische, elastisch instabile Verformungen im Riss vermeidet.
8 Es muss hierbei jedoch beachtet werden, dass die Materialsteifigkeit eines isotropen Materials, das
durch den Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl ν gegeben ist, bei einer Modifikation
letzterer in manchen Richtungen eine Versteifung erfährt. Um dies zu vermeiden, wird im vorliegenden
Modell zugleich der Elastizitätsmodul abgesenkt.
5.4. ERGEBNISSE VON SPRÖDBRUCHRECHNUNGEN 97
β
r
l l
2 a0
F
F h
(a) In Experimenten verwendete Probe.
β
l l
h
2 a0
u
(b) Für die numerische Rechnung modifizierte
Probe.
Abbildung 5.7.: Bruchprobe nach AYATOLLAHI und ALIHA [10]. In Abbildung (a) ist die
Probe dargestellt, wie sie im Versuch verwendet wird. In Abbildung (b)
ist die Modifikation der Probe für numerische Simulationen dargestellt,
die hier verwendet wird.
5.4. Ergebnisse von Sprödbruchrechnungen
Für die Untersuchung des Rissverhaltens mit dem hier entwickelten Modell wird dieses
auf numerische Bruchversuche mit einer diagonal belasteten Scheibe mit Anriss nach
Abbildung 5.7 angewandt. Dieser Probenkörper, der von AYATOLLAHI und ALIHA [10]
eingeführt wurde, bietet den Vorteil, dass je nach Winkel des Anrisses der Riss sowohl
rein in den Rissmodi I und II, aber auch in einem gemischten Modus I/II belastet
wird. Um die Vergleichbarkeit mit den Versuchen von AYATOLLAHI und ALIHA zu
gewährleisten, werden die Simulationen mit denselben Materialdaten für PMMA und
denselben Ausmaßen der Probe nach Tabelle 5.1 durchgeführt.
Von numerischer Seite wird bei dieser Simulation wie bei den elasto-plastischen Simula-
tionen ein inkrementelles Vorgehen verwendet. Dabei wird in jedem Lastinkrement die
Belastung genau so weit erhöht oder verringert, bis genau eine einzelne Verbindung ihre
zulässige Belastung erreicht hat, und diese Verbindung aus dem Modell entfernt. Dieses
Vorgehen wird so lange wiederholt, bis das Modell auseinandergebrochen ist.
98 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
Modelleigenschaft Symbol Wert
Elastizitätsmodul E 2.94GPa
Querkontraktionszahl ν 0.38
Kantenlänge der Scheibe l 150mm
Länge des Anrisses 2 a0 45mm
Winkel des Anrisses β 30◦
Tabelle 5.1.: Modelleigenschaften für die Simulation des Sprödbruchs bei der diagonal
belasteten Scheibe mit Anriss nach [10].
5.4.1. Bruch unter einer Belastung nach Rissmodus I
Für einen Mode I-Bruch wird bei der diagonal belasteten Scheibe der Anfangsriss nach
Abbildung 5.7 unter einem Winkel von 0◦ in die Probe geschnitten. Der Riss sollte
dann entsprechend der Versuche unter einem Winkel von ebenfalls 0◦ symmetrisch vom
Anfangsriss nach außen wachsen.
Ein Vergleich der Ergebnisse der numerischen Simulation mit den Versuchsergebnissen, der
in Abbildung 5.8 zu sehen ist, zeigt, dass dies nur bei drei der vorgestellten Bruchmodelle
für die Verbindungen, dem richtungsabhängigen Normaldehnungskriterium sowie den
richtungsunabhängigen Schubdehnungskriterien, der Fall ist. Bei den richtungsabhängigen
Schubdehnungskriterien dagegen findet das Risswachstum unter einem Winkel von etwa
±16◦ statt. Diese Modelle müssen folglich als ungeeignet für die Risssimulation mit dem
entwickelten Modell betrachtet werden.
Das Normaldehnungskriterium sowie das richtungsunabhängige Schubdehnungskriterium
sind ohne weiteres in der Lage, den Rissverlauf des Versuchs zu reproduzieren. Der
signifikante Unterschied zwischen beiden Modellen ist, dass die Abweichungen zum Ver-
such beim Normaldehnungskriterium stärker schwanken. Der Grund hierfür ist, dass bei
diesem Kriterium je Verbindungselement nur eine Dehnungskomponente in einer Richtung
betrachtet wird, während die richtungsunabhängigen Schubdehungskriterien sämtliche
Richtungen betrachten. Dadurch liefern bei letzterem auch Schub- und Querdehnungs-
verformungen einen Betrag zur bruchrelevanten Belastung, die somit bei benachbarten
Verbindungselementen weniger stark streut.
5.4.2. Bruch unter einer gemischten Belastung nach Rissmodus I/II
Ein ähnliches Bild zeigt sich für die gemischte Belastung in den Rissmodi I und II bei
einem Anrisswinkel von 30◦: Wie in Abbildung 5.9 zu sehen ist, sind auch hier das
Normaldehnungskriterium sowie die richtungsunabhängigen Schubdehnungskriterien in
5.4. ERGEBNISSE VON SPRÖDBRUCHRECHNUNGEN 99
(a) Bruch nach dem Normaldehnungskriterium.
16◦
16◦
(b) Bruch nach dem richtungsabhängigen
Schubkriterium mit einer Dehnung je Ver-
bindung.
16◦
16◦
(c) Bruch nach dem richtungsabhängigen
Schubkriterium mit einer Dehnung je be-
nachbarter Zelle einer Verbindung.
(d) Bruch nach dem Schubkriterium mit einer
Dehnung je Verbindung.
(e) Bruch nach dem Schubkriterium mit ei-
ner Dehnung je benachbarter Zelle einer
Verbindung.
Abbildung 5.8.: Ergebnisse für die Rissverläufe im hier entwickelten Modell bei unter-
schiedlichen Bruchkriterien für den reinen Rissmodus I. Die Simulationen
sind in blau dargestellt, während die Ergebnisse nach AYATOLLAHI und
ALIHA [10] und orange zu sehen sind.
100 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
der Lage, den Risspfad, der im Versuch ermittelt wurde, nachzubilden. Die richtungs-
abhängigen Schubdehnungskriterien liefern jedoch, wie schon beim reinen Rissmodus I,
ein Risswachstum unter einem Winkel von ±16◦. Dies lässt darauf schließen, dass das
Risswachstum bei diesen Kriterien nur von der äußeren Last, nicht jedoch vom Anriss,
der bereits im Modell vorhanden ist, abhängt.
Auch die anderen Versagensmodelle zeigen bei diesem Versuch ihre Schwächen: Beim
Normaldehnungskriterium 5.9a ist zu sehen, dass in der Nähe der unteren Lagerung
Rissbildung stattfindet, und der rechte Riss einen Knick aufweist. Eine genauere Unter-
suchung des Risswachstums liefert den Grund hierfür. Wie in Abbildung 5.10a zu sehen
ist, findet zu Beginn der Simulation ein unsymmetrisches Risswachstum statt, das im
vollständigen Bruch der linken Seite der Probe im Lastschritt 244 mündet. Aufgrund
der dadurch resultierenden einseitigen Lastübertragung durch die Probe werden die
Lagerungen unsymmetrisch auf Biegung belastet, was wiederum zur Rissbildung am
Lager selbst führt (Abbildung 5.10b)9. Dieser Riss am Lager wächst so lange, bis im
Lastschritt 354 ein Gleichgewicht der ertragbaren Last an beiden Rissspitzen erreicht
ist. Ab diesem Zeitpunkt findet ein Wachstum beider Risse statt, bis die Probe nach
Abbildung 5.9a vollständig versagt.
Dieses Bruchverhalten ist durch zwei Defekte des numerischen Modells bedingt. Der
erste Defekt ist, dass das Modell nicht in der Lage ist, einen unendlich spitzen Riss
darzustellen, da durch die endliche Länge der Verbindungselemente immer eine Glättung
der Rissspitze vorliegt. Dies hat zur Folge, dass die maximale Belastung im numeri-
schen Modell nicht immer in der Rissspitze vorliegt. Eine Bestätigung hierfür liefert die
Last-Verschiebungskurve der Simulation, die in Abbildung 5.11 zu sehen ist. Dieser ist
ebenfalls zu entnehmen, dass nach dem Bruch der ersten Verbindungen bei etwa 1% der
Bruchverschiebung und 15% der Bruchkraft bereits Versagen der ersten Verbindungen
auftritt. Im Gegensatz zu den Versuchen von AYATOLLAHI und ALIHA findet zu diesem
Zeitpunkt jedoch kein instabiles Risswachstum statt. Die Zunahme der Gesamtbelastung,
die für aufeinanderfolgende Brüche von Verbindungen benötigt wird, steht ebenfalls
im Widerspruch mit der Bruchmechanik, nach der die notwendige äußere Last mit der
Risslänge abnehmen sollte. Dies bestätigt, dass die Belastung an der Rissspitze im Modell
nicht genau genug abgebildet werden kann. Der zweite Defekt liegt in der mangelnden
Nachgiebigkeit der Lagerung beim verwendeten Rechengitter. Hierdurch treten an den
Rändern der Lagerung bei Belastung Spannungsüberhöhungen auf. Diese werden durch
die Biegebelastung der Lagerung aufgrund des einseitigen Bruchs so verstärkt, dass die
9 Dies ist der mangelnden Nachgiebigkeit der Lagerung geschuldet.
5.4. ERGEBNISSE VON SPRÖDBRUCHRECHNUNGEN 101
(a) Bruch nach dem Normaldehnungskriterium.
16◦
16◦
(b) Bruch nach dem richtungsabhängigen
Schubkriterium mit einer Dehnung je Ver-
bindung.
16◦
16◦
(c) Bruch nach dem richtungsabhängigen
Schubkriterium mit einer Dehnung je be-
nachbarter Zelle einer Verbindung.
(d) Bruch nach dem Schubkriterium mit einer
Dehnung je Verbindung.
(e) Bruch nach dem Schubkriterium mit ei-
ner Dehnung je benachbarter Zelle einer
Verbindung.
Abbildung 5.9.: Ergebnisse für die Rissverläufe im hier entwickelten Modell bei unter-
schiedlichen Bruchkriterien für den gemischten Rissmodus I/II. Die
Simulationen sind in blau dargestellt, während die Ergebnisse nach
AYATOLLAHI und ALIHA [10] und orange zu sehen sind.
102 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
(a) Rissverlauf bei Lastschritt 244. (b) Rissverlauf bei Lastschritt 354.
Abbildung 5.10.: Verlauf des Risswachstums für das Normaldehnungskriterium bei einem
Anrisswinkel von 30◦. Aufgrund des unsymmetrischen Risswachstums
bei Lastschritt 244 ist die untere Lagerung einseitig belastet, was zur
Rissbildung an dieser führt.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0
0.5
1
u
ub
F F
b
Abbildung 5.11.: Relativer Kraft-Verschiebungs-Verlauf der Simulation der diagonalen,
unter einem 30◦-Winkel angerissenen Platte für das richtungsabhängige
Normaldehnungsbruchkriterium. Eine relative Kraft beziehungsweise
Verschiebung von 1 ist genau die maximale Kraft beziehungsweise
Verschiebung, die während der Simulation vor dem Bruch des Gesamt-
systems auftritt. Die Punkte im Diagramm repräsentieren Zustände,
an denen der Bruch einer Verbindung stattfindet.
5.5. SIMULATION EINES DUKTILEN BRUCHS 103
Verbindungselemente am Rand des Lagers die am stärksten belasteten Elemente des
Modells sind und somit versagen.
Bei den richtungsunabhängigen Schubdehnungskriterien ist dagegen in den vergrößerten
Ausschnitten der Abbildungen 5.9d und 5.9e zu erkennen, dass sich zusätzlich zum primä-
ren Riss, der dem des Versuches von AYATOLLAHI und ALIHA folgt, vom Anriss ausgehend
ein weiterer, sekundärer Riss bildet. Auch hier liefert eine genauere Betrachtung die Ursa-
chen dieses Risses: An den äußeren Enden des Anrisses bildet sich durch das Wachstum
des primären Risses eine Innenkante im Material, die aufgrund der äußeren Belastung
einer Drucklast unterliegt. Da diese Kante spitz ist, geht die Kontinuumsdruckspannung,
die durch das Modell approximiert wird, an dieser Stelle gegen unendlich. Es bildet sich
somit an dieser Stelle ein sekundärer Riss aufgrund der Druckbelastung. Das Wachstum
dieses Risses ist im vorliegenden Modell nur deshalb möglich, weil eine Durchdringung
der Rissoberflächen aufgrund der mangelnden Kontaktmodellierung zugelassen wird.
5.5. Simulation eines duktilen Bruchs
Im Gegensatz zu Federmodellen aus der Literatur ist das hier entwickelte Federmodell
grundsätzlich in der Lage, sowohl den Sprödbruch als auch die plastische Deformation
eines homogenen, isotropen Materials zu modellieren. Dies wirft die Frage auf, ob dieses
Modell auch in der Lage ist, die Kombination beider Verhaltensweisen, den duktilen
Bruch, zu reproduzieren.
Zum Zwecke der Demonstration soll hier lediglich ein stark vereinfachtes Modell für das
elasto-plastische Versagen verwendet werden. In diesem Modell wird angenommen, dass
eine Verbindung versagt, sobald entweder ihre akkumulierte plastische Vergleichsdehnung
einen kritischen Wert Hacc.,max. überschreitet oder im Material die maximale Hauptdeh-
nung in Zugrichtung einen Grenzwert εmax. übersteigt. Für die elastischen Eigenschaften
des Materials werden dabei dieselben Größen wie bei den elasto-plastischen Simulationen
verwendet. Diese sind in Tabelle 4.1 zu finden. Für die plastischen Eigenschaften wird
angenommen, dass sich das Material perfekt plastisch nach Abbildung 4.7 verhält. Für
die zulässige plastische Vergleichsdehnung wird ein Wert von εacc.,max. = 0.5 angenom-
men, während für die zulässige Zughauptdehnung ein Wert von εmax. = 0.02 verwendet
wird. Analog zu den elasto-plastischen Simulationen in Abschnitt 4.4 wird auch in die-
ser Simulation eine Rechtecksprobe nach Abbildung 4.6 unter Annahme eines ebenen
Deformationszustands verwendet, die durch eine vorgegebene Verschiebung belastet wird.
Die Ergebnisse der duktilen Bruchsimulation sind in Abbildung 5.12 dargestellt. Dabei
104 5. RISSBILDUNG UND -FORTSCHRITT BEIM STABGITTERMODELL
0.0135
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5232
H
p
,a
cc
.
[−
]
(a) Zustand des Systems bei einer nominalen Streckung von λnom. = 1.06438. Zu sehen ist die
Rissinitiierung im Inneren des Modells.
0.0135
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.4917
H
p
,a
cc
.
[−
]
(b) Zustand des Systems bei einer nominalen Streckung von λnom. = 1.06688. Die Probe ist
vollständig durchgerissen.
Abbildung 5.12.: Simulation eines duktilen Bruchs. Der angenäherte Rissverlauf ist ge-
strichelt dargestellt.
zeigt Abbildung 5.12a die Initiierung des Bruchs in der Mitte der plastischen Zone, wäh-
rend Abbildung 5.12b den Zustand des Federsystems nach dem vollständigen Bruch zeigt.
Hierbei ist zu sehen, dass selbst das einfache Modell, das in dieser Simulation verwendet
wurde, die Versagensbilder von Versuchen, wie sie zum Beispiel bei MOHR [112] zu finden
sind, näherungsweise reproduzieren kann. So findet, wie bei Versuchen mit Zugproben
rechteckiger Querschnittsflächen, in deren Mittelfläche ein näherungsweise konstanter
Deformationszustand vorliegt, die Rissinitiierung im Inneren der Probe aufgrund der
elastischen Überbeanspruchung statt. Der Riss breitet sich nach der Initiierung fern des
Probenrands entsprechend des Rissmodus I orthogonal zur Belastungsrichtung aus. In
der Nähe des unteren Rands findet infolge dessen, dass im Inneren der Probe durch
den Riss keine Stetigkeit der Verschiebungen gefordert wird, ein Abgleiten mit Bruch
aufgrund hoher plastischer Verformung unter 45◦ statt. Ein signifikanter Unterschied
zwischen Simulation und Versuch ist lediglich am oberen Rand der virtuellen Probe
zu beobachten. Hier findet in unmittelbarer Nähe des Probenrandes ein Wechsel der
Bruchrichtung von +45◦ auf −45◦ statt. Dieses Verhalten kann jedoch damit erklärt
werden, dass diese beiden Richtungen im zweidimensionalen Modell im Gegensatz zu
dreidimensionalen Versuchen äquivalent sind.
6. Zusammenfassung und Ausblick
6.1. Zusammenfassung
Nach Abschnitt 1.2 war das Ziel dieser Arbeit, ein Federmodell zu entwickeln, das sowohl
in der Lage ist, ein homogenes Kontinuum für beliebige Rechengitter abzubilden als
auch Risspfade, die im Versuch ermittelt wurden, zu reproduzieren. Eine Betrachtung
der obigen Kapitel zeigt, dass diese Ziele erreicht und die Einschränkungen des Modells
herausgearbeitet worden sind.
In Kapitel 3 wurde ein neues Federmodell entwickelt, das für den linear-elastischen Fall
in der Lage ist, für ein beliebiges homogenes Kontinuum die analytische Spannungs- und
Verschiebungslösung zu approximieren. Hierzu wurde im zweidimensionalen Fall eine neue,
dreieckige Federzelle aus drei Normalkraftfedern und drei Winkelfedern entwickelt, die
dieses Kontinuum unabhängig von ihrer Form für lineare Dehnungsfelder exakt abbilden
kann. Als natürliche Erweiterung für den dreidimensionalen Raum wurde für diesen
eine ebenfalls neue Tetraederzelle eingeführt. Diese besteht analog zur Dreieckszelle aus
Normalkraftfedern zwischen jedem Paar an Eckknoten dieser Zelle und Winkelfedern
zwischen jedem Paar an Kanten der Zellen. Auch diese Zelle ist in der Lage, bei beliebiger
Geometrie ein konstantes Dehnungsfeld bei einem beliebigen, homogenen Kontinuum
exakt abzubilden. Zudem konnte gezeigt werden, dass diese Zellen im linear-elastischen
Fall genau dieselbe Steifigkeit besitzen wie lineare Dreiecks- und Tetraederelemente der
Methode der Finiten Elemente.
In Kapitel 4 wurde das neu entwickelte zweidimensionale Federmodell um eine Modellie-
rung der Elastoplastizität erweitert. Hierbei konnte gezeigt werden, dass dieses Modell
auch das Kontinuumsphänomen der Plastizität – und erstmals für Federmodelle auch die
Volumenerhaltung bei plastischer Verformung – für den Fall konstanter Dehnungsfelder
in einer Zelle reproduzieren kann. Aufgrund der dehnungsbezogenen Formulierung ist
das hierfür verwendete Plastizitätsmodell in der Lage, den plastischen Fluss sowohl für
Verfestigung als auch für die perfekte Plastizität und Entfestigung eindeutig zu bestim-
men. Im Federmodell bilden sich zudem Keime für die Lokalisierung der plastischen
Verformung von selbst dadurch, dass durch die Imperfektion des mathematischen Modells
106 6. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
bei finiten Deformationen die elastischen Eigenschaften des Federgitters eine Funkti-
on der momentanen Verformung sind. Hierdurch unterscheiden sich diese Modelle von
reinen Kontinuumsmodellen, bei denen die Lokalisierungskeime das Resultat künstlich
eingebrachter Imperfektionen oder numerischer Fehler sind. Eine Folge hiervon ist, dass
die Ergebnisse elasto-plastischer Simulationen nach Abschnitt 4.4 zwar im Bereich der
stabilen Verformung sehr gute Übereinstimmungen mit der homogenen Kontinuumslösung
zeigen, nach Ausbildung der Lokalisierung jedoch starke Abweichungen von dieser Lösung
(und auch zwischen unterschiedlichen Simulationen selbst) festgestellt werden können.
Kapitel 5 widmet sich schließlich der Bruchsimulation mit dem entwickelten zweidimen-
sionalen Federmodell. Hierzu werden Verbindungen definiert, die sich aus einer Normal-
kraftfeder sowie allen Winkelfedern, die zu dieser benachbart liegen, zusammensetzen.
Durch diese Wahl kann alleine aus den Federn einer Verbindung für diese ein mehrdimen-
sionaler Dehnungszustand berechnet werden, der wiederum in das Versagenskriterium
der Verbindung eingeht. Aufgrund dessen, dass ein mehrdimensionaler Dehnungszustand
vorliegt, können sämtliche aus der Literatur bekannten Versagenskriterien angewandt
werden. In der Folge wird das Verhalten des Modells bei einem Sprödbruch und einem
duktilen Bruch demonstriert. Für den Sprödbruch wird dabei anhand eines Vergleichs
mit Versuchsergebnissen aus der Literatur gezeigt, dass das entwickelte Modell bei einer
geeigneten Wahl des Bruchkriteriums – zum Beispiel einem Normaldehnungskriterium –
in der Lage ist, die im Versuch beobachteten Risspfade zu reproduzieren. Lediglich die
Last, die für das sukzessive Versagen der Verbindungen erforderlich ist, stimmt nicht mit
den Versuchen und der Theorie der Bruchmechanik überein. Auch bei der Simulation des
duktilen Bruchs ergeben sich mit dem neu entwickelten Modell Rissbilder, die Rissbilder
aus Versuchen approximieren.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass alle Ziele dieser Arbeit erfüllt wurden. Das
entwickelte Modell ist in der Lage, homogene Kontinua in unregelmäßigen Rechengit-
tern zu approximieren und besitzt daher in der Risssimulation nicht mehr den Nachteil
regelmäßiger Gitter, entweder netzinduzierte Anisotropie der Rissbildung oder der Mate-
rialeigenschaften zu erzeugen. Die Möglichkeit, elasto-plastisches Materialverhalten zu
simulieren, zeigt zudem, dass mit diesem Modell weitergehende Kontinuumsphänomene
des Materials abgebildet werden können. Es handelt sich somit um ein kontinuumskom-
patibles Federmodell.
6.2. AUSBLICK 107
6.2. Ausblick
In der vorliegenden Arbeit wurden für das entwickelte Federmodell lediglich grundlegende
Eigenschaften gezeigt, die jedoch noch viele Fragen offenlassen. Einige dieser, die in
nachfolgenden Arbeiten untersucht werden sollten, werden im Folgenden kurz vorgestellt.
I. In Abschnitt 3.4 wurde angesprochen, dass analog zum Vorgehen bei linearen
Dreieckselementen der Methode der Finiten Elemente auch bei zweidimensionalen
Federmodellen die Möglichkeit besteht, durch Kombination mehrerer ähnlicher
Dreieckszellen eine Dreieckszelle zu erzeugen, die ein lineares Dehnungsfeld exakt
darstellen kann. Da dies das Problem der zu großen Modellsteifigkeit der Feder-
modelle bei der Approximation variabler Dehnungsfelder verringern würde, sollte
untersucht werden, ob auch mit diesen Modellen die Risssimulation und die Model-
lierung plastischen Verhaltens analog zum hier entwickelten Federmodell möglich
ist.
II. Die in dieser Arbeit eingeführten Federzellen ändern unter Verformung ihre elasti-
schen Eigenschaften. Dieses Verhalten führt, wie in Abschnitt 4.4.4 angesprochen
wurde, zur automatischen Bildung von Lokalisationskeimen für die plastische
Verformung, und beeinflusst somit die Simulationsergebnisse für den Fall finiter
Deformationen signifikant. Da auch in Versuchen die Lokalisierung plastischen
Fließens vom mikromechanischen Aufbau des Materials abhängt, könnte die Un-
tersuchung der Zusammenhänge und Unterschiede zwischen der Änderung der
elastischen Eigenschaften der Federzellen und des tatsächlichen Materials unter
elastischer Deformation Hinweise darauf liefern, ob und wie das Federmodell für
die Nutzung bei großen Deformationen zu modifizieren ist.
III. Für die numerische Simulation des elasto-plastischen Verhaltens der Dreieckszellen
ist bislang keine konsistente Linearisierung der nichtlinearen Verformungs-Kraft-
Beziehung der Federn vorhanden. Dies hat nach Abschnitt 4.3.4 zur Folge, dass für
solche Simulationen bei den Iterationen eines Lastschritts nur sublineare Konvergenz
vorliegt1. Die konsistente Linearisierung der Gleichungen hingegen würde zu einem
quadratischen Konvergenzverhalten und somit zu einer wesentlichen Reduktion der
Gleichgewichtsiterationen und damit der Rechendauer führen.
IV. Das Plastizitäts- und Bruchmodell wurde nur für ebene Probleme mit zweidimen-
sionalen Modellen hergeleitet. Für die Berechnung räumlicher Probleme sollten
diese Modelle für die dreidimensionale Tetraederzelle erweitert werden. Hierfür
1 Dies führt dazu, dass bei Simulationen mit perfekter Plastizität und Entfestigung mehrere tausend
Gleichgewichtsiterationen pro Lastschritt erforderlich sind.
108 6. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
sollte es aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecks- und der Tetraederzelle – beide
sind Simplices des zugrunde liegenden n-dimensionalen Raumes – ausreichend sein,
die vorgestellten zweidimensionalen Modellierungen um eine dritte Dimension zu
erweitern.
V. Bislang kann im hier entwickelten Federmodell die lineare Stabilität des Gesamt-
modells nach dem Bruch einer Verbindung nur dann garantiert werden, wenn die
Dreieckzellen spitzwinklig sind und die Querkontraktionszahl aller Dreieckszellen
mit gebrochenen Federn zu Null gesetzt wird. Während ersteres durch ein geeignetes
Verfahren der Netzerzeugung garantiert werden kann, ist zweiteres, die Modifikation
des Modells, physikalisch nicht zu rechtfertigen. Hier sollte folglich ein anderer
Ansatz gefunden werden, der ohne eine solche Modifikation des Materials in der
Lage ist, die Stabilität des Modells zu garantieren. Damit einher geht eine Modifi-
kation des Verfahrens zur Kombination der Winkelfedern, die mit den gebrochenen
Normalkraftfedern verbunden sind. Diese werden im hier entwickelten Federmodell
mittels einer Reihenschaltung zusammengeführt. Es sollte jedoch möglich sein, diese
auf eine andere Art so zusammenzufügen, dass die Dehnungsenergie der Winkelfe-
dern beim Bruch nicht zunimmt, während zugleich die neue Feder unabhängig von
der Verformung des Gesamtsystems beim Bruch ist und die lineare Stabilität des
intakten Rests der Zelle garantiert.
VI. Bei der Simulation des spröden Bruchs wird bislang die Belastung in der Rissspitze
nicht ausreichend genau abgebildet. Dies führt dazu, dass Risse dazu tendieren, sich
zu verzweigen, und dass im Gegensatz zur Theorie der Bruchmechanik die erfor-
derliche Last für ein weiteres Risswachtum im Modell selbst dann zunimmt, wenn
nach der Theorie ein instabiler Riss vorliegt. Hierbei ist aufgrund des r−
1
2 -Verlaufs
der Spannungen in der Nähe der Rissspitze nach der Bruchmechanik insbesondere
zu untersuchen, inwiefern die Last, die für das Risswachstum erforderlich ist, von
der Länge der Verbindungen in der Rissspitze abhängt.
Anhang A. Herleitungen
A.1. Zur Verwendung von Schub- und Winkelfedern in
diskreten Modellen
Wie in Abschnitt 2.2 angesprochen, verwenden zahlreiche Autoren bei diskreten Modellen
Schub- und Normalkraftfedern zur Kraftübertragung, während im hier entwickelten
Modell Winkelfedern anstelle der Schubfedern verwendet werden. Im Rahmen dieses
Abschnitts wird die Begründung hierfür dargelegt und auf die Ähnlichkeiten und Unter-
schiede beider Modellierungsweisen eingegangen.
A.1.1. Über die Verletzung des Momentengleichgewichts bei der
Verwendung von Schubfedern
Diskrete Modelle ohne rotatorische Freiheitsgrade, die Schubfedern verwenden, um
Punkte zu verknüpfen, verletzen das Momentengleichgewicht. Dies wird anhand von
Abbildung A.1 ersichtlich. Verformt sich das in dieser Abbildung dargestellte Federsystem
durch eine Verschiebung v im Punkt 2, so wird an diesem Knoten eine Querkraft
Fy = −ks v eingeleitet. Betrachtet man nun das Momentengleichgewicht um Punkt 1, so
ist festzustellen, dass
0 = −l ks v +Mz (A.1)
1 2kn
ks
u, Fx
v, Fy
Mz
l
Abbildung A.1.: Schematische Darstellung der Verbindung zweier Punkte mit Abstand l
mittels einer Normalkraftfeder und einer Schubfeder.
110 A. HERLEITUNGEN
1
2
(a) Aufteilung entlang des ursprünglichen
Richtungsvektors.
1
2
(b) Aufteilung entlang des momentanen
Richtungsvektors.
Abbildung A.2.: Zwei Möglichkeiten zur Aufteilung der Deformation einer Normalfeder-
Schubfeder-Verbindung in einen Normal- und einen Schubanteil.
ist, und somit außer bei einer Federlänge von l = 0 zusätzlich ein Moment an einem der
beiden Knoten eingebracht werden muss, um dieses Gleichgewicht zu erfüllen. Aufgrund
der Tatsache, dass die Knoten keine rotatorischen Freiheitsgrade besitzen, ist dies jedoch
nicht möglich.
Einige Quellen [31, 181] geben zwar an, dass dies behoben werden kann, indem die
Verdrehung der Knoten über eine Mittelung der Verschiebungen der Nachbarknoten
bestimmt werden kann. Jedoch ist zu beachten, dass dies erst nach der Bestimmung
der Verformung möglich ist, und somit selbst bei linear-elastischen Rechnungen ein
Iterationsverfahren verwendet werden muss, um die Lösung zu finden, die neben dem
Kräftegleichgewicht auch das Momentengleichgewicht erfüllt.
Ein weiteres Problem, das mit dem Problem der Erfüllung des Momentengleichgewichts
eng verwandt ist, ist das der Aufteilung der Gesamtverformung zwischen zwei Punkten
in einen Schub- und einen Normalanteil bei nichtlinearen Problemen. In diesem Fall muss
der Momentanzustand der verdrehten Federn betrachtet werden, um das Gleichgewicht
zu bilden. Da aber für jede Lage von zwei Punkten unendlich viele Möglichkeiten
bestehen, die Verformung zwischen beiden in einen Normal- und einen Queranteil zu
zerlegen, ist diese Zerlegung und damit die Kraftwirkung des Federsystems nicht eindeutig.
Ein Beispiel für zwei unterschiedliche Möglichkeiten, die Verformung in Normal- und
Schubanteil aufzuteilen, ist in Abbildung A.2 zu finden. Auch dies kann wieder über eine
Bestimmung der Verdrehung der Knoten und eine Zerlegung der Verformung bezüglich
dieses verdrehten Knotenzustands behoben werden.
Modelle mit Winkelfedern leiden nicht unter diesen Defekten, da bei diesen die Winkelän-
derung zwischen drei Punkten betrachtet wird. Diese wiederum kann immer eindeutig
bestimmt werden. Da zudem die Winkelfedern rotationsinvariant aufgebaut werden kön-
nen, erfüllen sie für jede beliebige Verformung das Kräfte- und Momentengleichgewicht.
A.1. SCHUB- UND WINKELFEDERN IN DISKRETEN MODELLEN 111
Y , v
X, u
us,1, Fs,1
us,2, Fs,2
γ1
γ2
X0 = 0
X1
X2
l1,
k s,1l2 , k
s,2
Abbildung A.3.: Definition eines Systems aus zwei Schubfedern sowie Knotenkräfte Fs
bei Knotenverschiebungen us aufgrund eines Schubwinkels von γ.
A.1.2. Zur Äquivalenz von Schub- und Winkelfedern bei Erfüllung
des Momentengleichgewichts
Schubfeder- und Winkelfedermodelle unterscheiden sich zwar in dem Punkt der Rotati-
onsinvarianz des Systems und der Erfüllung des Momentengleichgewichts bei beliebigen
Verformungen. Dennoch kann gezeigt werden, dass für den Fall einer linearen oder li-
nearisierten Verformung ohne Starrkörperverdrehungen, bei der ein System aus zwei
Schubfedern das Momentengleichgewicht erfüllt, dieses System zu einer Winkelfeder
äquivalent ist. Hierzu wird nach Abbildung A.3 ein System aus zwei Schubfedern und
drei Knoten betrachtet. In diesem System wird der Einfachheit halber angenommen, dass
der Mittelknoten 0 im Ursprung liegt und fest eingespannt ist. Aufgrund dessen, dass
sowohl Schub- als auch Winkelfedern invariant gegenüber einer Starrkörperverschiebung
sind, sind die Ergebnisse der Betrachtung dennoch allgemein gültig.
Bestimmung der Beziehungen zwischen Schubfedersteifigkeiten für rotationsfreie
Systeme im Momentengleichgewicht
Die linear unabhängigen Verschiebungsmöglichkeiten, die in diesem System eine Reakti-
onskraft erzeugen, sind mit X1 =
[
X1 Y1
]T
und X2 =
[
X2 Y2
]T
u1 =
us,1
0
 = γ1

−Y1
X1
0
0
 u2 =
 0
us,2
 = γ2

0
0
−Y2
X2
 . (A.2)
112 A. HERLEITUNGEN
Entsprechend ergeben sich die Kraftreaktionen dieser Verformungen an den Knoten und
die Momente, die diese bezüglich des Knotens 0 erzeugen, zu
F1 = −ks,1 u1 = −ks,1 γ1

−Y1
X1
0
0
 F2 = −ks,2 u2 = −ks,2 γ2

0
0
−Y2
X2
 (A.3)
M1 = −ks,1 γ1 l21 M2 = −ks,2 γ2 l22 . (A.4)
Es soll nun gefordert werden, dass das Momentengleichgewicht des Schubfedersystems
bei einer starrkörperrotationsfreien Bewegung das Momentengleichgewicht erfüllt. Hierzu
ist zuerst diese Bewegung zu bestimmen.
Offensichtlich liegt eine Starrkörperrotation des Systems um den Knoten 0 genau dann
vor, wenn γ1 = γ2 = γ ist, also bei einer Verschiebung von
urot. = γ

−Y1
X1
−Y2
X2
 . (A.5)
Die rotationsfreie Deformation ist gerade orthogonal zu dieser.
0 = urot. · udef. = γ

−Y1
X1
−Y2
X2
 ·
γdef.,1

−Y1
X1
0
0
+ γdef.,2

0
0
−Y2
X2


= γ
(
γdef.,1 l
2
1 + γdef.,2 l22
)
γdef.,1 l
2
1 = −γdef.,2 l22 (A.6)
Einsetzen dieser Beziehung (A.6) in das Momentengleichgewicht – die Summe der Terme
in Gleichung A.4 – liefert die Beziehung zwischen den Steifigkeiten der Schubfedern, die
erforderlich sind, um bei der starrkörperdrehungsfreien Deformation das Momentengleich-
gewicht zu erfüllen.
0 =M1 +M2 = −
(
ks,1 γ1 l
2
1 + ks,2 γ2 l22
)
= −γ1 l21 (ks,1 − ks,2)
ks,1 = ks,2 = ks (A.7)
A.1. SCHUB- UND WINKELFEDERN IN DISKRETEN MODELLEN 113
Die Bedingung der Erfüllung des Momentengleichgewichts eines Systems aus zwei Schub-
federn bei starrkörperrotationsfreier Bewegung ist somit äquivalent zur Bedingung, dass
die Steifigkeiten der beiden Schubfedern gleich sein müssen.
Äquivalenz des rotationsfreien Verformungseigenmodes der Schub- und der
Winkelfedersysteme
Um zu zeigen, dass das Schubfedersystem nach Abbildung A.3 für starrkörperdrehungsfreie
Verformungen äquivalent zu einem System ist, bei dem die Schubfedern durch eine
Winkelfeder ersetzt wurden, ist es ausreichend zu zeigen, dass dieses System bei geeigneter
Wahl der Federsteifigkeiten denselben Eigenmode besitzen.
Die Steifigkeitsmatrix einer einzelnen Schubfeder, die zwei Punkte verbindet, zwischen
denen ein Abstand X =
[
X Y
]T
liegt, ist gerade
Ks = ksTTs Ts mit Ts =
1
‖X‖2
[
−Y X Y −X
]T
. (A.8)
Die Eigenmoden für das Schubfedersystem, die ungleich Null sind, ergeben sich aus der
assemblierten Steifigkeitsmatrix des Gesamtsystems zu
vs,1 =
[
−Y1 X1 0 0
]T
λs,1 = ks (A.9a)
vs,2 =
[
0 0 −Y2 X2
]T
λs,2 = ks (A.9b)
Aufgrund dessen, dass diese Eigenmoden denselben Eigenwert besitzen, ist auch jede
Linearkombination der Eigenvektoren wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert. Wird
bei diesem System statt der Schubfedern eine Winkelfeder verwendet, so entspricht die Ge-
samtsteifigkeitsmatrix des Systems gerade der Elementsteifigkeit (ohne die Freiheitsgrade
des eingespannten Knotens 0), die nach Gleichung (C.12) gerade
Ka = kaTTa Ta mit Ta =
1
‖X1‖22‖X2‖22

−Y1 ‖X2‖22
X1 ‖X2‖22
−Y2 ‖X1‖22
X2 ‖X1‖22
 . (A.10)
Der einzige Eigenmode dieser Steifigkeitsmatrix, dessen Eigenwert ungleich Null ist, ist
va = Ta λa = ka‖Ta‖22 = ka
‖X1‖22 + ‖X2‖22
‖X1‖22 ‖X2‖22
. (A.11)
114 A. HERLEITUNGEN
Offenbar ist mit va = ‖X2‖−22 vs,1 + ‖X1‖−22 vs,2 der Eigenvektor des Winkelfedersystems
gerade eine Linearkombination der Eigenvektoren des Schubfedersystems. Damit sind
beide Systeme für einen gleichen Eigenwert der Verformungsbewegung der Winkelfeder
– die starrkörperdrehungsfreie Deformation – identisch, sofern der Eigenwert gleich ist.
Diese Forderung führt auf die Beziehung
ks = ka‖Ta‖22 = ka
‖X1‖22 + ‖X2‖22
‖X1‖22 ‖X2‖22
(A.12)
für das Verhältnis der Schub- und Winkelfedersteifigkeiten.
A.1.3. Schlussfolgerungen für die Verwendung von
Schubfedersystemen
Trotz der Äquivalenz der beiden Systeme wird empfohlen, immer Winkelfedersysteme zu
verwenden. Der Grund hierfür ist, dass bei der Wahl eines Schubfedersystems in einer
linearisierten Rechnung die Invarianz des Schubfedersystems gegenüber Rotation nicht
gewährleistet werden kann, da hierfür die Rotation des Kontinuums benötigt wird. Diese
kann jedoch erst nach der Berechnung der Verformung des Systems bestimmt werden.
Somit erfüllt das Schubfedersystem in linearen Rechnungen (und in jedem Iterationsschritt
nichtlinearer Rechnungen) das Momentengleichgewicht weder lokal noch global. Diese
Meinung wird jedoch nicht von allen Autoren vertreten (siehe zum Beispiel BUXTON [31],
ZHAO [179], ZHAO, FANG und ZHAO [181]).
A.2. DELAUNAY-Triangulation und VORONOI-Polygone
In Abschnitt 2.3.2 wurden die DELAUNAY-Triangulation und VORONOI-Polygone ein-
geführt. Im Folgenden werden einige der geometrischen Beziehungen zwischen diesen
hergeleitet, die im Laufe dieser Arbeit verwendet werden, und ihre physikalische In-
terpretation erläutert. Hierfür wird nach Abbildung A.4 ein Netz aus zwei Dreiecken
betrachtet, die eine DELAUNAY-Triangulation der vier Punkte dieser Abbildung darstellen.
Der Umkreismittelpunkt M1 des Dreiecks mit den Koordinaten x1, x2 und x3 lässt sich
aus seiner Eigenschaft, auf dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu liegen, berechnen.
Verwendet man hierzu die Kurzschreibweise x31 = x1 − x3, x32 = x2 − x3, so ergibt sich
A.2. DELAUNAY-TRIANGULATION UND VORONOI-POLYGONE 115
M1
lv,c,1
ϕ3
M2
lv,c,2
θ3
x1
x2
x3
x4 lc,1
lc,2
Abbildung A.4.: Dargestellt sind die DELAUNAY-Triangulation sowie die VORO-
NOI-Polygone eines Satzes von vier Punkten mit Koordinaten x1 bis x4
für die Herleitung der geometrischen Beziehungen zwischen diesen.
für die Position des Umkreismittelpunkts
M1 − x3 = x312 + c31
(
x32 − x31 x31 · x32‖x31‖22
)
= x322 + c32
(
x31 − x32 x31 · x32‖x32‖22
)
, (A.13)
und, nach einigen Umformungen zur Bestimmung der Parameter c31 und c32 unter
Ausnutzung der Tatsache, dass x31 und x32 bei einem Dreieck nicht parallel sind,
M1 = x3 +
x31
(
1− x31·x32‖x31‖22
)
+ x32
(
1− x31·x32‖x32‖22
)
2
(
1− (x31·x32)2‖x31‖22‖x32‖22
) . (A.14)
116 A. HERLEITUNGEN
Damit kann die Länge des Anteils der Kante des VORONOI-Polygons, das innerhalb
dieses Dreiecks orthogonal zum Vektor x12 verläuft, bestimmt werden.
lv,c,1 =
∥∥∥∥M1 − 12 (x1 + x2)
∥∥∥∥
2
(A.15a)
= 12
∥∥∥∥∥∥∥∥
x31
(
1− x31·x32‖x31‖22
)
+ x32
(
1− x31·x32‖x32‖22
)
1− (x31·x32)2‖x31‖22‖x32‖22
− (x31 − x32)
∥∥∥∥∥∥∥∥
2
(A.15b)
Mit x31 · x32 = ‖x31‖2 ‖x32‖2 cosϕ3 ergibt sich somit
=
√(
‖x31‖22 + ‖x32‖22 − 2 ‖x31‖2 ‖x32‖2 cosϕ3
)
cosϕ
2 sinϕ3
(A.15c)
= lc,12 tanϕ3
. (A.15d)
Gleichung (A.15d) liefert damit die Aussage, dass der Umkreismittelpunkt innerhalb
des Dreiecks liegt und dass alle VORONOI-Kantenlängen innerhalb des Dreiecks positiv
sind, solange dieses spitzwinklig ist. Interpretiert man diese Kantenlängen als den Ein-
flussbereich der Verbindung zweier Punkte, so bedeutet dies, dass in diesem Fall eine
positive Fläche vorliegt, über die der physikalische Fluss übertragen werden kann. Dies
wird auch für den Kraftfluss der Mechanik für das isotrope Material in Gleichung (3.19)
bestätigt. Da zudem für eine DELAUNAY-Triangulation die Gesamtlänge lv,c = lv,c,1+ lv,c,2
der Kanten der VORONOI-Polygone immer positiv ist, ist für diese Form der Netzge-
nerierung die Steifigkeit zwischen zwei Punkten immer positiv. Die Interpretation der
VORONOI-Flächen als kraftflussübertragende Flächen ist somit konsistent mit den Ergeb-
nissen für das Stabgittermodell, für das DELAUNAY-Triangulationen als Netze verwendet
werden.
A.3. Vereinfachungen für die Berechnung der
Federsteifigkeiten für nicht-isotrope Materialien
Auch für nicht-isotrope Materialien können die Berechnungsvorschriften für die Feder-
steifigkeiten weiter vereinfacht werden. Hierzu ist es jedoch sinnvoll, die Elastizität des
Materials so zu drehen, dass die x˜-Richtung des Materials mit der Richtung der Normal-
kraftfeder beziehungsweise der Verbindung der Enden der Winkelfeder übereinstimmt. In
A.3. VEREINFACHUNGEN DER FEDERSTEIFIGKEITSBERECHNUNG 117
diesem Falle vereinfachen sich die Relativkoordinaten nach Abbildung 3.4 zu
ξ1 − ξ2 = l ξ1 = −c l ξ2 = (1− c) l (A.16a)
η1 − η2 = 0 η1 = h η2 = h . (A.16b)
Hierbei ist c l die x˜-Koordinate des dritten Knotens des Dreiecks.
Anisotropes Material
Einsetzen dieser Bedingungen und Vereinfachung in Gleichung (3.18) mit der Dreiecksflä-
che A4 = 12 l h und der Länge des VORONOI-Polygonsegments, das die Normalkraftfeder
schneidet, lv = l4 A4 (h
2 + c (1− c) l2), führt auf die anisotropen Federsteifigkeiten
kn,j = Ω

1
l lv
A4
l2
2A4 (1− 2 c)
l lv
A4
− 1
l2
2A4 (1− 2 c)
0

T 
E˜11
E˜12
E˜16
E˜22
E˜26
E˜66

ka,j = −Ω sin2 ϕ

0
l lv
A4
0
l lv
A4
− 1
− l22A4 (1− 2 c)
1− l lv
A4

T 
E˜11
E˜12
E˜16
E˜22
E˜26
E˜66

. (A.17)
Orthotropes Material
Für orthotrope Materialien vereinfachen sich die Federsteifigkeiten aufgrund von E˜16 =
E˜26 = 0 weiter zu
kn,j = Ω
(
E˜11 − E˜22 + l lv
A4
(
E˜12 + E˜22
))
(A.18a)
ka,j = −Ω sin2 ϕ
(
l lv
A4
E˜12 +
(
l lv
A4
− 1
)(
E˜22 − E˜66
))
, (A.18b)
woraus sich für das isotrope Material die weiteren Vereinfachungen nach den Gleichungen
(3.19) und (3.20) ergeben.
118 A. HERLEITUNGEN
∆Hp
ψ
l1,p
l 2,
p
ϕ12
Abbildung A.5.: Geometrie zweier benachbarter Normalkraftfedern in einer Zelle, auf die
derselbe plastische Fluss ∆Hp aufgebracht wird.
A.4. Beweis der Volumenerhaltung bei konstantem
plastischem Fluss in einer Dreieckszelle
Um zu zeigen, dass das Volumen einer Dreieckszelle bei konstantem plastischem Fluss
konstant ist, ist es ausreichend, die Änderung durch zwei Normalkraftfedern zu betrachten,
da durch diese die Zellgeometrie vollständig beschrieben wird. Zugleich impliziert die
Homogenität des plastischen Flusses, dass auch die plastische Verformung in der dritten
Normalkraftfeder konsistent zur plastischen Verformung der anderen Federn ist, so dass
alle Federn der plastisch verformten Federzelle nach Entlastung dieser kraftfrei sind. Bei
zwei Normalkraftfedern der Längen l1 und l2, zwischen denen nach Abbildung A.5 ein
Winkel von ϕ12 liegt, ist das Volumen der Zelle vor plastischer Verformung gerade
Ω0 =
1
2 t0 l1 l2 sinϕ12 , (A.19)
wobei t0 die Dicke der Dreieckszelle ist. Durch die plastische Verformung ändern sich alle
der in Gleichung (A.19) verwendeten Größen nach Gleichung (4.17).
t = t0 e∆Hp,3 = t0 e−∆Hp,1−∆Hp,2 (A.20a)
l1,p = l1
√
(e∆Hp,1 cosψ)2 + (e∆Hp,2 sinψ)2 (A.20b)
l2,p = l2
√
(e∆Hp,1 cos (ψ − ϕ12))2 + (e∆Hp,2 sin (ψ − ϕ12))2 (A.20c)
ϕ12,p = ϕ12 −
(
ψ − arctan
(
e∆Hp,2 sinψ
e∆Hp,1 cosψ
))
+
(
(ψ − ϕ12)− arctan
(
e∆Hp,2 sin (ψ − ϕ12)
e∆Hp,1 cos (ψ − ϕ12)
))
(A.20d)
A.5. ENERGIEABNAHME BEIM BRUCH EINER VERBINDUNG 119
Damit ergibt sich für das Zellvolumen nach der plastischen Deformation
Ω = 12 tp l1,p l2,p sinϕ12,p = Ω0 , (A.21)
da
sinϕ12,p =
e∆Hp,1+∆Hp,2 sinϕ12√
(e∆Hp,1 cosψ)2 + (e∆Hp,2 sinψ)2
· 1√
(e∆Hp,1 cos (ψ − ϕ12))2 + (e∆Hp,2 sin (ψ − ϕ12))2
= l1 l2 e
∆Hp,1+∆Hp,2 sinϕ12
l1,p l2,p
(A.22)
ist1. Somit ist bewiesen, dass für jeden deviatorischen plastischen Fluss im zweidimensio-
nalen Federmodell das Zellvolumen im unbelasteten Zustand erhalten bleibt. Der Fall
einer ebenen plastischen Deformation führt mit der Bedingung ∆Hp,1 = −∆Hp,2, die
sich aus der isochoren Natur der plastischen Verformung ergibt, auf eine Erhaltung der
Fläche der Dreickszelle. Da bei ebener plastischer Deformation t = t0 ist, bleibt auch in
diesem Fall das Zellvolumen konstant.
A.5. Erfüllung der Energieabnahme der Winkelfedern
beim Bruch einer Verbindung bei Reihenschaltung
Soll die in der Winkelfeder gespeicherte Dehnungsenergie abnehmen, so muss
kϕ kθ
kϕ + kθ
≤ kϕ∆ϕ
2 + kθ∆θ2
(∆ϕ+∆θ)2
(A.23)
für beliebige Verformungen ∆ϕ, ∆θ der zu verbindenden Winkelfedern gelten. Eine
Umformung dieses Terms mit
c =
1 für kϕ + kθ > 0−1 für kϕ + kθ < 0 (A.24)
1 Zur Überprüfung dieser Äquivalenz ist ein Computeralgebrasystem zu empfehlen.
120 A. HERLEITUNGEN
führt auf
kϕ kθ (∆ϕ+∆θ)2 ≤ c (kϕ + kθ)
(
kϕ∆ϕ2 + kθ∆θ2
)
(A.25)
2 kϕ kθ∆ϕ∆θ ≤ c
(
k2ϕ∆ϕ2 + k2θ ∆θ2
)
(A.26)
0 ≤ c (kϕ∆ϕ− c kθ∆θ)2 . (A.27)
Somit wird für die Reihenschaltung zweier Federn die Bedingung, dass die Dehnungs-
energie bei der Reihenschaltung abnimmt, genau dann erfüllt, wenn die Summe der
Federsteifigkeiten größer als Null ist.
Anhang B. Hinweise zu den
Modelleigenschaften
B.1. Verhalten unter endlichen Verzerrungen
In Abschnitt 3.1.2 wurde darauf hingewiesen, dass eine Grenze des hier entwickelten
Modells ist, dass das Verhalten einer Zelle bei endlichen Verformungen nicht mehr dem
Kontinuumsverhalten entspricht. Der Grund hierfür ist, dass sich bei einer Verzerrung der
Zelle die Abbildungsmatrizen T nach Gleichung (3.5) ändern, und somit bei konstanten
Federsteifigkeiten die Änderung der Dehnungsenergie bei zusätzlicher Verformung nicht
mehr der des Kontinuums entspricht. Dies hat außerdem zur Folge, dass ein Umklappen
der Zellen – das Durchdringen eines Knotens der Geraden durch die gegenüberliegende
Kante – durch diese Vorgehensweise nicht verhindert wird.
Im Folgenden wird am Beispiel eines gleichseitigen Dreiecks die Änderung der Kontinu-
umssteifigkeit bei einer Zellverzerrung diskutiert. Hierzu wird nach Abbildung B.1 der
Knoten 3 der Zelle in horizontaler sowie vertikaler Richtung verschoben. Anschließend
wird die Kontinuumssteifigkeit nach Gleichung (3.7) berechnet, wobei als Federsteifig-
keiten k die Steifigkeiten des unverformten Systems genutzt werden. Dieses Vorgehen
X1
X2
X3X3,0
Y
X
1
Y
3
X3
Abbildung B.1.: Verzerrung einer Dreieckszelle zur Bestimmung der Änderung der Kon-
tinuumssteifigkeiten.
122 B. HINWEISE ZU DEN MODELLEIGENSCHAFTEN
führt auf Verläufe für die Komponenten der Kontinuumssteifigkeiten in Abhängigkeit von
der Verzerrung der Zelle, die in Abbildung B.2 zu sehen sind. Hierbei sind insbesondere
drei Effekte sichtbar. Der erste Effekt ist, dass das Material bei einer Verzerrung der
Zelle anisotropes Verhalten zeigt, was insbesondere daran zu erkennen ist, dass die
Steifigkeiten, die Normaldehnungen und Schubdehnungen koppeln nach den Abbildungen
B.2e und B.2d Werte ungleich Null annehmen. Der zweite Effekt ist die Abnahme der
Steifigkeit bei einer Vergrößerung der Zelle. Diese ist in allen Abbildungen bei einer
Änderung der Y -Position des dritten Knotens zu beobachten und spiegelt wieder, dass
in den Gleichungen (3.11) und (3.11f) die Transformationsmatrizen der Dehnungen auf
die Verformungen der Federn dimensionslos sind, und für die Umrechnung auf Beiträge
zur Materialsteifigkeit durch das Zellvolumen zu teilen ist. Der dritte Effekt ist eine
Versteifung in der Richtung, in der die Normalkraftfedern im verzerrten Zustand liegen.
Dieser Effekt ist in den vorliegenden Abbildungen nur schwer zu erkennen, da er vom
stärkeren Einfluss der Änderung der Zellgröße überlagert wird. Am deutlichsten ist er
anhand der Steifigkeit in Y -Richtung, E22, in Abbildung B.2b zu erkennen: Da bei einer
Verschiebung des dritten Knotens in X-Richtung das Zellvolumen konstant bleibt, und
zugleich eine Neuausrichtung eines Stabs in Richtung der Y Achse stattfindet, nimmt
diese Steifigkeitskomponente bei einer solchen Verzerrung der Dreieckszelle zu.
B.1. VERHALTEN UNTER ENDLICHEN VERZERRUNGEN 123
−0.5 0 0.5 1 1.50.5
1
1.5
2
X3
Y
3
1.0
2.0
E11
E
(a) E11-Komponente der Elastizität.
−0.5 0 0.5 1 1.50.5
1
1.5
2
X3
Y
3
0.5
1.0
E22
E
(b) E22-Komponente der Elastizität.
−0.5 0 0.5 1 1.50.5
1
1.5
2
X3
Y
3
0.1
0.2
0.3
0.4
E12
E
(c) E12-Komponente der Elastizität.
−0.5 0 0.5 1 1.50.5
1
1.5
2
X3
Y
3
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
E26
E
(d) E26-Komponente der Elastizität.
−0.5 0 0.5 1 1.50.5
1
1.5
2
X3
Y
3
−0.5
0.0
0.5
E16
E
(e) E16-Komponente der Elastizität.
−0.5 0 0.5 1 1.50.5
1
1.5
2
X3
Y
3
0.2
0.4
0.6
E66
E
(f) E66-Komponente der Elastizität.
Abbildung B.2.: Änderung der Materialparameter, wenn ein gleichseitiges Dreieck nach
Abbildung B.1 verzerrt wird. Es wurde hierbei ein System mit ebener
Verzerrung und einer Querkontraktionszahl von ν = 0.15 verwendet.

Anhang C. Steifigkeitsmatrizen und Kräfte der
Federelemente
C.1. Herleitung aus der inneren Energie
Nach dem zweiten Satz von CASTIGLIANO ist die Ungleichgewichtskraft an einem Punkt
X gerade die Ableitung der Dehnungsenergie nach der Verschiebung in Richtung der
Kraft [62, S. 423]. Dies kann zur einfachen Herleitung der Steifigkeitsmatrizen von
Federsystemen verwendet werden.
Die Dehnungsenergie Πi einer linear-elastischen Feder kann als
Πi =
1
2 k q
2 (C.1)
dargestellt werden, wobei q die Verformung der Feder beschreibt. Werden nun die Kräfte
F gesucht, die aufgrund der Verformung der Feder auf die Freiheitsgrade des diskreten
Modells wirken, so können diese nach dem zweiten CASTIGLIANO’schen Satz bestimmt
werden.
F = ∂Π
∂u = k q
∂q
∂u (C.2)
Die Steifigkeitsmatrix wiederum beschreibt gerade die Änderung der Federkräfte bei einer
Verschiebung der Knoten.
K = ∂F
∂u = k
∂q
∂u
∂q
∂u
T
︸ ︷︷ ︸
KM
+ k q ∂
2q
∂u2︸ ︷︷ ︸
KG
(C.3)
Hierbei wird KM auch als Materialsteifigkeit und KG als geometrische Steifigkeit be-
zeichnet. Die Steifigkeitsmatrizen und Reaktionskräfte der Federn unterscheiden sich
folglich nur durch die Beziehung zwischen ihren Verformungen und den Verschiebungen
der Knoten.
126 C. STEIFIGKEITSMATRIZEN UND KRÄFTE DER FEDERELEMENTE
C.2. Die Normalkraftfeder
In der vorliegenden Arbeit wird sowohl die Verformung als auch die innere Energie der
Normalkraftfeder über ihre logarithmische Längsdehnung H beschrieben. Liegt die Feder
zwischen zwei Knoten X1 =
[
X1 Y1 Z1
]
und X2 =
[
X2 Y2 Z2
]
, die im verformten
Zustand um u1 =
[
u1 v1 w1
]
und u2 =
[
u2 v2 w2
]
verschoben sind, so ergeben sich
für die Dehnung und ihre Differentiale folgende Funktionen.
H = ln l
l0
= ln
√
(X2 + u2 −X1 − u1)2 + (Y2 + v2 − Y1 − v1)2 + (Z2 + w2 − Z1 − w1)2√
(X2 −X1)2 + (Y2 − Y1)2 + (Z2 − Z1)2
(C.4a)
∂H
∂u =
1
l2

− (X2 + u2 −X1 − u1)
− (Y2 + v2 − Y1 − v1)
− (Z2 + w2 − Z1 − w1)
(X2 + u2 −X1 − u1)
(Y2 + v2 − Y1 − v1)
(Z2 + w2 − Z1 − w1)

= 1
l2
T (C.4b)
∂2H
∂u2 =
1
l2
 I −I
−I I
− 2
l4
TTT (C.4c)
Hierbei ist I die 3× 3 Einheitsmatrix. Damit ergeben sich die Reaktionskraft und die
Steifigkeitsmatrix der Normalkraftfeder zu
F = knH
l2
T (C.5a)
K = kn
l4
TTT + knH
 1
l2
 I −I
−I I
− 2
l4
TTT
 (C.5b)
Für den zweidimensionalen Fall entfallen die Z-Komponenten in diesen Gleichungen.
Dies entspricht der Streichung der dritten und sechsten Zeilen und Spalten.
C.3. Die Winkelfeder
Zum Zweck der Herleitung wird hier der allgemeinste Fall einer Winkelfeder zwischen 4
Punkten, ∠
(−−−→X1X2, −−−→X3X4), im dreidimensionalen Raum betrachtet. Dieser Fall kann
C.3. DIE WINKELFEDER 127
darauffolgend auf die Dreipunktfeder im Drei- und Zweidimensionalen vereinfacht werden.
Bei einer Bestimmung der Winkeländerung nach Gleichung (3.22f) kann der Gradient
dieser bezüglich der Verschiebungen mithilfe der Kurzschreibweisen xi = Xi + ui, xij =
xj − xi, d = x12 · x34, c = ‖x12 × x34‖2 und lij = ‖xij‖2 wie folgt als Blockvektor
dargestellt werden.
∂∆ϕ
∂u =
1
l212 l
2
34 c

− (x12 d− x34 l212) l234
(x12 d− x34 l212) l234
− (x34 d− x12 l234) l212
(x34 d− x12 l234) l212
 (C.6)
Für die geometrische Steifigkeit wird zusätzlich die zweite Ableitung der Winkeländerung
nach den Verschiebungen benötigt. Diese setzt sich aus drei Teilen zusammen.
∂2∆ϕ
∂u2 = Qϕ,1 +Qϕ,2 +Qϕ,3 (C.7)
Hierbei sind die Submatrizen Qϕ,1, Qϕ,2 und Qϕ,3 wie folgt definiert.
Qϕ,1 =

−Qϕ,1,11 Qϕ,1,11 −QTϕ,1,21 QTϕ,1,21
Qϕ,1,11 −Qϕ,1,11 QTϕ,1,21 −QTϕ,1,21
−Qϕ,1,21 Qϕ,1,21 −Qϕ,1,22 Qϕ,1,22
Qϕ,1,21 −Qϕ,1,21 Qϕ,1,22 −Qϕ,1,22
 (C.8a)
mit
Qϕ,1,11 =
1
c3
(
dx34 xT34 − l234
(
x12 xT34 + x34 xT12
))
(C.8b)
Qϕ,1,21 =
1
c3
(
d
(
x12 xT34 + x34 xT12
)
− l212 x34 xT34 − l234 x12 xT12
)
(C.8c)
Qϕ,1,22 =
1
c3
(
dx12 xT12 − l212
(
x34 xT12 + x12 xT34
))
(C.8d)
Qϕ,2 =

−Qϕ,2,11 Qϕ,2,11 0 0
Qϕ,2,11 −Qϕ,2,11 0 0
0 0 −Qϕ,2,22 Qϕ,2,22
0 0 Qϕ,2,22 −Qϕ,2,22
 (C.9a)
128 C. STEIFIGKEITSMATRIZEN UND KRÄFTE DER FEDERELEMENTE
mit
Qϕ,2,11 =
d3 + 3 d c2
c3 l412
x12 xT12 (C.9b)
Qϕ,2,22 =
d3 + 3 d c2
c3 l434
x34 xT34 (C.9c)
Qϕ,2 =

d
c l212
I − d
c l212
I −1
c
I 1
c
I
− d
c l212
I d
c l212
I 1
c
I −1
c
I
−1
c
I 1
c
I d
c l234
I − d
c l234
I
1
c
I −1
c
I − d
c l234
I d
c l234
I
 (C.10)
Die Kraftreaktion und Steifigkeit der Feder ergibt sich durch Einsetzen dieser Terme in
die Gleichungen (C.2) und (C.3).
C.3.1. Vereinfachung für eine Winkelfeder zwischen drei Knoten
Der Fall einer Winkelfeder zwischen drei Knoten unterscheidet sich vom Fall der Vierpunkt-
Winkelfeder lediglich dadurch, dass die Knoten 1 und 3 zusammenfallen und dieselbe
Verschiebung besitzen. Die Kraftreaktion und die Steifigkeit dieser Feder kann somit
dadurch berechnet werden, dass in den Blockmatrizen der Vierpunkt-Winkelfeder die
dritten Blockzeilen und -spalten zur ersten Blockzeile beziehungsweise -spalte addiert
und nachfolgend aus dem Kraftvektor beziehungsweise der Steifigkeitsmatrix entfernt
werden.
C.3.2. Vereinfachung für den zweidimensionalen Fall
Im zweidimensionalen Fall der Dreipunktfeder ergeben sich zwei weitere Vereinfachungen.
Zum einen verschwinden sämtliche Einträge in z-Richtung. Dies hat auch zur Folge,
dass die dritten Zeilen und Spalten der Blöcke, aus denen die Steifigkeitsmatrix und
die Kraftreaktion aufgebaut sind, aus dem System gestrichen werden. Zum anderen ist
der Betrag des Kreuzprodukts der beiden Richtungsvektoren, die den Winkel der Feder
aufspannen, gerade die doppelte Dreiecksfläche.
c = ‖x12 × x34‖2 = 2A4 (C.11)
C.3. DIE WINKELFEDER 129
Damit ergibt sich für die erste Ableitung der Winkeländerung nach den Verschiebungen
∂∆ϕ2D
∂u2D
= 12 l212 l234A4

− (x12 d− x34 l212) l234 − (x34 d− x12 l234) l212
(x12 d− x34 l212) l234
(x34 d− x12 l234) l212
 , (C.12)
was wiederum nach einer Linearisierung um eine Verschiebung von Null mit dem Ergebnis
von Gleichung (3.14) übereinstimmt.

Literaturverzeichnis
[1] Airy, G. B.: On the Strains in the Interior of Beams. In: Philosophical Transactions
of the Royal Society of London 153 (1863), S. 49–79. DOI 10.1098/rstl.1863.0004. –
ISSN 0261–0523
[2] Altenbach, Holm: Kontinuumsmechanik. Springer Vieweg, 2012. DOI
10.1007/978–3–642–24119–2
[3] Aranson, I. S.; Kalatsky, V. A.; Vinokur, V. M.: Continuum Field Description
of Crack Propagation. In: Physical Review Letters 85 (2000), Nr. 1, S. 118–121.
DOI 10.1103/physrevlett.85.118
[4] Argyris, J. H.; Scharpf, D. W.; Spooner, J. B.: Die elastoplastische Berechnung
von allgemeinen Tragwerken und Kontinua. In: Ingenieur-Archiv 37 (1969), Nr. 5,
S. 326–352. DOI 10.1007/bf00532580
[5] Asahina, D.; Ito, K.; Houseworth, J.E.; Birkholzer, J.T.; Bolander, J.E.:
Simulating the Poisson Effect in Lattice Models of Elastic Continua. In: Computers
and Geotechnics 70 (2015), S. 60–67. DOI 10.1016/j.compgeo.2015.07.013
[6] Asahina, Daisuke; Aoyagi, Kazuhei; Kim, Kunhwi; Birkholzer, Jens T.; Bo-
lander, John E.: Elastically-Homogeneous Lattice Models of Damage in Geoma-
terials. In: Computers and Geotechnics 81 (2017), S. 195–206. DOI 10.1016/j.comp-
geo.2016.08.015
[7] Ashurst, William T.; Hoover, William G.: Microscopic Fracture Studies in the
Two-dimensional Triangular Lattice. In: Physical Review B 14 (1976), Nr. 4, S.
1465–1473. DOI 10.1103/physrevb.14.1465. – ISSN 0556–2805
[8] Attar, M.; Karrech, A.; Regenauer-Lieb, K.: A Lattice Spring Model for
Dynamic Analysis of Damaged Beam-Type Structures under Moving Loads. In:
European Journal of Mechanics - A/Solids 60 (2016), S. 196–207. DOI 10.1016/j.eu-
romechsol.2016.07.004. – ISSN 0997–7538
[9] Aurenhammer, F.; Klein, R.: Voronoi Diagramms. In: Sack, J. (Hrsg.);
Urrutia, G. (Hrsg.): Handbook of Computational Geometry, Elsevier Science
Publishing, 2000, S. 201–290
132 LITERATURVERZEICHNIS
[10] Ayatollahi, M. R.; Aliha, M. R. M.: Analysis of a New Specimen for Mixed
Mode Fracture Tests on Brittle Materials. In: Engineering Fracture Mechanics
76 (2009), Nr. 11, S. 1563–1573. DOI 10.1016/j.engfracmech.2009.02.016. – ISSN
0013–7944
[11] Babuška, I.; Aziz, A. K.: On the Angle Condition in the Finite Element Method.
In: SIAM Journal on Numerical Analysis 13 (1976), Nr. 2, S. 214–226. DOI
10.1137/0713021
[12] Barsoum, Roshdy S.: On the Use of Isoparametric Finite Elements in Linear
Fracture Mechanics. In: International Journal for Numerical Methods in Engineering
10 (1976), Nr. 1, S. 25–37. DOI 10.1002/nme.1620100103. – ISSN 1097–0207
[13] Bathe, Klaus-Jürgen: Finite-Elemente-Methoden. 2. Auflage. Berlin; Heidelberg
[u.a.] : Springer, 2002. – 1253 S.. – ISBN 3–540–66806–3
[14] Bažant, Zdeněk P.; Oh, B. H.: Crack Band Theory for Fracture of Concrete. In:
Matériaux et Constructions 16 (1983), Nr. 3, S. 155–177. DOI 10.1007/bf02486267
[15] Beale, Paul D.; Srolovitz, David J.: Elastic Fracture in Random Materials. In:
Physical Review B 37 (1988), Nr. 10, S. 5500–5507. DOI 10.1103/physrevb.37.5500
[16] Beex, L. A. A.; Peerlings, R. H. J.; Geers, M. G. D.: A Multiscale Qua-
sicontinuum Method for Dissipative Lattice Models and Discrete Networks. In:
Journal of the Mechanics and Physics of Solids 64 (2014), S. 154–169. DOI
10.1016/j.jmps.2013.11.010
[17] Belytschko, T.; Black, T.: Elastic Crack Growth in Finite Elements
with Minimal Remeshing. In: International Journal for Numerical Me-
thods in Engineering 45 (1999), Nr. 5, S. 601–620. DOI 10.1002/(si-
ci)1097–0207(19990620)45:5<601::aid–nme598>3.0.co;2–s
[18] Besseling, J.R.: A Theory of Elastic, Plastic and Creep Deformations of an Initially
Isotropic Material Showing Anisotropic Strain-Hardening, Creep Recovery, and
Secondary Creep / Stanford University. 1959 (SUDAER-78). – Forschungsbericht
[19] Bolander, J. E.: Stress Analysis Using Random Geometry Spring Networks. In:
Luco, J. E. (Hrsg.); Murakami, H. (Hrsg.): Engineering Mechanics: A Force for
the 21st Century, 12th Engineering Mechanics Division Conference. Reston, VA :
ASCE, 1998, S. 630–633
[20] Bolander, J. E.; Moriizumi, K; Kunieda, M; Yip, M: Rigid-Body-Spring
Network Modeling of Cement-Based Composites. In: Fracture Mechanics of Concrete
Structures (2001), S. 773–780
LITERATURVERZEICHNIS 133
[21] Bolander, J. E.; Saito, S.: Fracture Analyses Using Spring Networks with
Random Geometry. In: Engineering Fracture Mechanics 61 (1998), Nr. 5-6, S.
569–591. DOI 10.1016/s0013–7944(98)00069–1. – ISSN 0013–7944
[22] Bolander, J. E.; Sukumar, N.: Irregular Lattice Model for Quasistatic Crack
Propagation. In: Physical Review B 71 (2005), S. 94–106. DOI 10.1103/Phys-
RevB.71.094106
[23] Born, M.: On the Stability of Crystal Lattices IX. Covariant Theory of Lattice
Deformations and the Stability of Some Hexagonal Lattices. In: Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 38 (1942), Nr. 01, S. 82–99.
DOI 10.1017/s0305004100022246
[24] Born, M.; Fürth, R.: The Stability of Crystal Lattices. III. In: Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (1940), Nr. 04, S. 454–465.
DOI 10.1017/s0305004100017503
[25] Born, Max: On the Stability of Crystal Lattices. I. In: Mathematical Procee-
dings of the Cambridge Philosophical Society 36 (1940), Nr. 02, S. 160–172. DOI
10.1017/s0305004100017138
[26] Born, Max: The Thermodynamics of Crystal Lattices. In: Mathematical Procee-
dings of the Cambridge Philosophical Society 39 (1943), Nr. 02, S. 100–103. DOI
10.1017/s0305004100017746
[27] Born, Max; Huang, Kun: Dynamical Theory of Crystal Lattices. 1. Edition.
Oxford [u.a.] : Clarendon Pr., 1954
[28] Born, Max; Misra, Rama D.: On the Stability of Crystal Lattices. IV. In:
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (1940), Nr. 04,
S. 466–478. DOI 10.1017/s0305004100017515
[29] Braun, M.; Fernández-Sáez, J.: A New 2D Discrete Model Applied to Dynamic
Crack Propagation in Brittle Materials. In: International Journal of Solids and
Structures 51 (2014), S. 3787–3797. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2014.07.014
[30] Bridgman, Percy W.: The Physics of High Pressure. Reprint. London : Bell, 1958
[31] Buxton, Gavin A.; Care, Christopher M.; Cleaver, Douglas J.: A Lattice
Spring Model of Heterogeneous Materials with Plasticity. In: Modelling and
Simulation in Materials Science and Engineering 9 (2001), S. 485–497. DOI
10.1088/0965–0393/9/6/302
[32] Buxton, Gavin A.; Verberg, Rolf; Jasnow, David; Balazs, Anna C.: Newto-
nian Fluid Meets an Elastic Solid: Coupling Lattice Boltzmann and Lattice-Spring
134 LITERATURVERZEICHNIS
Models. In: Physical Review E 71 (2005), Nr. 5. DOI 10.1103/physreve.71.056707
[33] Cauchy, Augustin-Louis: Sur l’Équilibre et le Mouvement d’un Système de Points
Matériels Sollicités par des Forces d’Attraction ou de Répulsion Mutuelle. In:
Exercices de mathématiques 3 (1828), S. 188–212
[34] Cauchy, Augustin-Louis: Sur les Équations Différentielles d’Équilibre ou de Mou-
vement pour un Système de Points Matériels Sollicités par des Forces d’Attraction
ou de Répulsion Mutuelle. In: Exercices de mathématiques 4 (1829), S. 150–159
[35] Chang, C. S.; Wang, T. K.; Sluys, L. J.; Mier, J. G. M.: Fracture Mo-
deling Using a Micro-Structural Mechanics Approach–I. Theory and Formulati-
on. In: Engineering Fracture Mechanics 69 (2002), Nr. 17, S. 1941–1958. DOI
10.1016/s0013–7944(02)00070–x
[36] Chen, Hailong; Liu, Yongming: A Non-Local 3D Lattice Particle Framework for
Elastic Solids. In: International Journal of Solids and Structures 81 (2016), S.
411–420. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2015.12.026. – ISSN 0020–7683
[37] Chew, L. P.: Guaranteed-Quality Mesh Generation for Curved Surfaces. In:
Proceedings of the ninth annual symposium on Computational geometry - SCG
1993, Association for Computing Machinery (ACM), 1993, S. 274–280
[38] Christ, N. H.; Friedberg, R.; Lee, T. D.: Weights of Links and Plaquettes
in a Random Lattice. In: Nuclear Physics B 210 (1982), Nr. 3, S. 337–346. DOI
10.1016/0550–3213(82)90124–9. – ISSN 0550–3213
[39] Christodoulou, I.; Tan, P. J.: Crack Initiation and Fracture Toughness of
Random Voronoi Honeycombs. In: Engineering Fracture Mechanics 104 (2013), S.
140–161. DOI 10.1016/j.engfracmech.2013.03.017. – ISSN 0013–7944
[40] Cosserat, E.; Cosserat, F.: Sur la Théorie de l’Élasticité. In: Ann. Toulouse 10
(1896), S. 1–116
[41] Cundall, P. A.: A Computer Model for Simulating Progressive, Large Scale
Movements in Blocky Rock Systems. In: Proceedings of the Symposium of the
International Society for Rock Mechanics Bd. 1, 1971. – Paper No. II-8
[42] Cundall, P. A.; Strack, O. D. L.: A Discrete Numerical Model for Granular As-
semblies. In: Géotechnique 29 (1979), Nr. 1, S. 47–65. DOI 10.1680/geot.1979.29.1.47
[43] Cusatis, Gianluca; Pelessone, Daniele; Mencarelli, Andrea: Lattice Discrete
Particle Model (LDPM) for Failure Behavior of Concrete. I: Theory. In: Cement
and Concrete Composites 33 (2011), Nr. 9, S. 881–890. DOI 10.1016/j.cemcon-
comp.2011.02.011. – ISSN 0958–9465
LITERATURVERZEICHNIS 135
[44] Doltsinis, I.: Elements of Plasticity: Theory and Computation. WIT Press, 2000.
– ISBN 1–85312–702–7
[45] Doltsinis, I.: Large Deformation Processes of Solids - from Fundamentals to
Numerical Simulation and Engineering Applications. Southampton, Boston : WIT
Press, 2003
[46] Drucker, D. C.; Prager, W.: Soil Mechanics and Plastic Analysis or Limit
Design. In: Quarterly of Applied Mathematics 10 (1952), Nr. 2, S. 157–165
[47] Dubus, Cyril; Sekimoto, Ken; Fournier, Jean-Baptiste: General up to Next-
nearest-neighbour Elasticity of Triangular Lattices in Three Dimensions. In: Procee-
dings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 462
(2006), Nr. 2073, S. 2695–2713. DOI 10.1098/rspa.2006.1694. – ISSN 1471–2946
[48] Eliáš, Jan;Vořechovský, Miroslav: The Effect of Mesh Density in Lattice Models
for Concrete with Incorporated Mesostructure. In: Key Engineering Materials 488-
489 (2012), S. 29–32. DOI 10.4028/www.scientific.net/KEM.488–489.29
[49] Eringen, A. C.: Nonlocal Polar Elastic Continua. In: International Journal of
Engineering Science 10 (1972), Nr. 1, S. 1–16. DOI 10.1016/0020–7225(72)90070–5
[50] Eringen, A. C.: On Differential Equations of Nonlocal Elasticity and Solutions of
Screw Dislocation and Surface Waves. In: Journal of Applied Physics 54 (1983), S.
4703–4710. DOI 10.1063/1.332803
[51] Erten, Hale; Üngör, Alper: Computing Triangulations without Small and Large
Angles. In: 2009 Sixth International Symposium on Voronoi Diagrams, Institute of
Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2009, S. 192–201
[52] Erten, Hale; Üngör, Alper: Quality Triangulations with Locally Optimal Steiner
Points. In: SIAM Journal on Scientific Computing 31 (2009), Nr. 3, S. 2103–2130.
DOI 10.1137/080716748
[53] Fürth, R.; Born, M.: On the Stability of Crystal Lattices: VI. the Properties of
Matter under High Pressure and the Lattice Theory of Crystals. In: Math. Proc.
Camb. Phil. Soc. 37 (1941), Nr. 02, S. 177–185. DOI 10.1017/s0305004100021666
[54] Fürth, R.; Born, M.: The Stability of Crystal Lattices: V. Experimental Evidence
on Recent Theories of the Equation of State and the Melting of Solids. In:
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 37 (1941), Nr. 01,
S. 34–54. DOI 10.1017/s0305004100021514
[55] Gale, Stuart; Lewis, Wanda J.: Patterning of Tensile Fabric Structures with a
Discrete Element Model Using Dynamic Relaxation. In: Computers & Structures
136 LITERATURVERZEICHNIS
169 (2016), S. 112–121. DOI 10.1016/j.compstruc.2016.03.005
[56] Grassl, Peter; Bažant, Zdeněk P.: Random Lattice-Particle Simulation of
Statistical Size Effect in Quasi-brittle Structures Failing at Crack Initiation. In:
Journal of Engineering Mechanics 135 (2009), Nr. 2, S. 85–92. DOI 10.1061/(AS-
CE)0733–9399(2009)135:2(85)
[57] Grassl, Peter; Bažant, Zdeněk P.; Cusatis, Gianluca: Lattice-Cell Approach to
Quasibrittle Fracture Modeling. In: Computational Modelling of Concrete Structures
(2006), S. 263–268
[58] Green, A. E.; Naghdi, P. M.: A General Theory of an Elastic-plastic Continuum.
In: Archive for Rational Mechanics and Analysis 18 (1965), Nr. 4, S. 251–281. DOI
10.1007/bf00251666
[59] Griffith, A. A.: The Phenomena of Rupture and Flow in Solids. In: Philosophical
Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a
Mathematical or Physical Character 221 (1920), S. 163–198
[60] Griffiths, D. V.; Mustoe, G. G. W.: Modelling of Elastic Continua Using a
Grillage of Structural Elements Based on Discrete Element Concepts. In: Inter-
national Journal for Numerical Methods in Engineering 50 (2001), S. 1759–1775.
DOI 10.1002/nme.99
[61] Gross, Dietmar; Seelig, Thomas: Bruchmechanik: Mit einer Einführung in die
Mikromechanik. Springer-Verlag, 2016. DOI 10.1007/978–3–662–46737–4
[62] Gummert, Peter; Reckling, Karl-August: Mechanik. Braunschweig/Wiesbaden :
Vieweg, 1986. – ISBN 3–528–08904–0
[63] Gusev, Andrei A.: Finite Element Mapping for Spring Network Representations
of the Mechanics of Solids. In: Physical Review Letters 93 (2004), Nr. 3. DOI
10.1103/physrevlett.93.034302
[64] Hahn, M.: Lebensdauerabschätzung von metallischen Strukturen mittels der
Diskrete-Elemente-Methode im gekoppelten thermo-mechanischen Feld, Institut
für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, Universität
Stuttgart, Diss., 2012. DOI 10.18419/opus–3898
[65] Hahn, Manfred; Bouriga, Mohamed; Kröplin, Bernd-H.; Wallmersperger,
Thomas: Life Time Prediction of Metallic Materials with the Discrete-Element-
Method. In: Computational Materials Science 71 (2013), S. 146–156. DOI
10.1016/j.commatsci.2013.01.020. – ISSN 0927–0256
[66] Hahn, Manfred; Schwarz, Mathias; Kröplin, Bernd-H.; Wallmersperger,
LITERATURVERZEICHNIS 137
Thomas: Discrete Element Method for the Thermal Field: Proof of Concept and
Determination of the Material Parameters. In: Computational Materials Science
50 (2011), Nr. 10, S. 2771–2784. DOI 10.1016/j.commatsci.2011.04.028. – ISSN
0927–0256
[67] Hencky, H.: Über die Form des Elastizitätsgesetztes bei ideal elastischen Stoffen.
In: Zeitschrift für technische Physik (1928), Nr. 6, S. 215–220
[68] Herrmann, Hans J.; Hansen, Alex; Roux, Stephane: Fracture of Disordered,
Elastic Lattices in Two Dimensions. In: Physical Review B 39 (1989), Nr. 1, S.
637–648. DOI 10.1103/PhysRevB.39.637
[69] Hill, Rodney: The Mathematical Theory of Plasticity. Bd. 11. Oxford university
press, 1998
[70] Hrennikoff, A.: Solution of Problems of Elasticity by the Framework Method.
In: Journal of applied mechanics 8 (1941), S. 169–175
[71] Huber, M. T.: Właściwa Praca Odkształcenia Jako Miara Wytężenia Materjału.
In: Czasopismo techniczne, Lemberg, Austria 22 (1904), S. 181
[72] Huber, M. T.: Specific Work of Strain As a Measure of Material Effort. In: Arch.
Mech. 56 (2004), S. 173–190. – Translation of the polish paper [71]
[73] Hubert, C.; André, D.; Dubar, L.; Iordanoff, I.; Charles, J. L.: Simulation
of Continuum Electrical Conduction and Joule Heating Using DEM Domains.
In: International Journal for Numerical Methods in Engineering (2016). DOI
10.1002/nme.5435
[74] Hwang, Young K.; Bolander, John E.; Lim, Yun M.: Simulation of Concrete Ten-
sile Failure under High Loading Rates Using Three-Dimensional Irregular Lattice
Models. In: Mechanics of Materials 101 (2016), S. 136–146. DOI 10.1016/j.mech-
mat.2016.08.002. – ISSN 0167–6636
[75] Hwang, Young K.; Lim, Yun M.: Validation of Three-Dimensional Irregular Lattice
Model for Concrete Failure Mode Simulations under Impact Loads. In: Engineering
Fracture Mechanics 169 (2017), S. 109–127. DOI 10.1016/j.engfracmech.2016.11.007
[76] Inglis, C. E.: Streses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Corners.
In: Transactions of the Institution of Naval Architects 44 (1913), S. 219–241
[77] Irons, B. M.: Engineering Applications of Numerical Integration in Stiffness
Methods. In: AIAA Journal 4 (1966), Nr. 11, S. 2035–2037. DOI 10.2514/3.3836. –
ISSN 1533–385X
[78] Irons, Bruce; Loikkanen, Matti: An Engineers’ Defence of the Patch Test. In:
138 LITERATURVERZEICHNIS
International Journal for Numerical Methods in Engineering 19 (1983), Nr. 9, S.
1391–1401. DOI 10.1002/nme.1620190908. – ISSN 1097–0207
[79] Irwin, G. R.; Flügge, S. (Hrsg.): Fracture. In: Handbuch der Physik VI (1958),
S. 551–590
[80] Irwin, G.R.: Analysis of Stresse and Strains near the End of a Crack Traversing a
Plate. In: Journal of Applied Mechanics 24 (1957), S. 361–364
[81] Iwashita, Kazuyoshi; Oda, Masanobu: Micro-Deformation Mechanism of She-
ar Banding Process Based on Modified Distinct Element Method. In: Powder
Technology 109 (2000), S. 192–205. DOI 10.1016/S0032–5910(99)00236–3
[82] Jarzabek, Rafael D.: Pers. Mitteilung. 2017
[83] Jirásek, Milan; Bažant, Zdeněk P.: Particle Model for Quasibrittle Fracture and
Application to Sea Ice. In: Journal of Engineering Mechanics 121 (1995), Nr. 9, S.
1016–1025. DOI 10.1061/(asce)0733–9399(1995)121:9(1016)
[84] Jones, J. E.: On the Determination of Molecular Fields. — I. From the Variation
of the Viscosity of a Gas with Temperature. In: Proceedings of the Royal Society A:
Mathematical, Physical and Engineering Sciences 106 (1924), Nr. 738, S. 441–462.
DOI 10.1098/rspa.1924.0081
[85] Jones, J. E.: On the Determination of Molecular Fields. — II. From the Equation
of State of a Gas. In: Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and
Engineering Sciences 106 (1924), Nr. 738, S. 463–477. DOI 10.1098/rspa.1924.0082
[86] Karma, Alain; Kessler, David A.; Levine, Herbert: Phase-Field Model of
Mode III Dynamic Fracture. In: Physical Review Letters 87 (2001), Nr. 4. DOI
10.1103/physrevlett.87.045501
[87] Kawai, Tadahiko: New Discrete Models and Their Application to Seismic Response
Analysis of Structures. In: Nuclear Engineering and Design 48 (1978), S. 207–229.
DOI 10.1016/0029–5493(78)90217–0
[88] Kazerani, T.; Zhao, G. F.; Zhao, J.: Dynamic Fracturing Simulation of Brittle
Material Using the Distinct Lattice Spring Method with a Full Rate-Dependent
Cohesive Law. In: Rock Mechanics and Rock Engineering 43 (2010), S. 717–726.
DOI 10.1007/s00603–010–0099–0
[89] Keating, P. N.: Effect of Invariance Requirements on the Elastic Strain Energy
of Crystals with Application to the Diamond Structure. In: Physical Review 145
(1966), Nr. 2, S. 637–645. DOI 10.1103/physrev.145.637. – ISSN 0031–899X
[90] Khan, Akhtar S.; Huang, Sujian: Continuum Theory of Plasticity. Wiley, 1995. –
LITERATURVERZEICHNIS 139
ISBN 0–471–31043–3
[91] Kirkwood, John G.: The Skeletal Modes of Vibration of Long Chain Molecules.
In: The Journal of Chemical Physics 7 (1939), S. 506–509. DOI 10.1063/1.1750479
[92] Kirsch, G. E.: Die Fundamentalgleichungen der Theorie der Elasticität fester
Körper, hergeleitet aus der Betrachtung eines Systems von Punkten, welche durch
elastische Streben verbunden sind. In: Zeitschrift des Vereines deutsche Ingenieure
Band XII (1868), Nr. Heft 8, S. 481–488; 553–570; 631–638
[93] Klein, F.;Wieghardt, K.: Über Spannungsflächen und reziproke Diagramme, mit
besonderer Berücksichtigung der Maxwellschen Arbeiten. In: Archiv der Mathematik
und Physik 3 (1904), Nr. 8, S. 1–10; 95–119
[94] Kolosov, G. V.: Über die Anwendung der komplexen Funktionstheorie auf das ebene
Problem der mathematischen Elastizitätstheorie, Original in Russisch, Universität
Yuriew (Dorpat), Dissertation, 1909
[95] Kosteski, Luis; D’Ambra, Ricardo B.; Iturrioz, Ignacio: Crack Propagation in
Elastic Solids Using the Truss-Like Discrete Element Method. In: International
Journal of Fracture 174 (2012), S. 139–161. DOI 10.1007/s10704–012–9684–4
[96] Kot, Maciej; Nagahashi, Hiroshi; Szymczak, Piotr: Elastic Moduli of Simple
Mass Spring Models. In: The Visual Computer 31 (2015), Nr. 10, S. 1339–1350.
DOI 10.1007/s00371–014–1015–5. – ISSN 1432–2315
[97] Kozicki, Jan: Application of Discrete Models to Describe the Fracture Process in
Brittle Materials, Gdánsk University of Technology, Diss., 2007
[98] Krajcinovic, D.; Rinaldi, A.: Statistical Damage Mechanics — Part I: Theory.
In: Journal of Applied Mechanics 72 (2005), S. 76–85. DOI 10.1115/1.1825434
[99] Lakes, R.: Deformation Mechanisms in Negative Poisson’s Ratio Materials:
Structural Aspects. In: Journal of Materials Science 26 (1991), S. 2287–2292. DOI
10.1007/BF01130170
[100] Lamé, G.; Clapeyron, E.: Mémoire sur l’Équilibre Intérieur des Corps Solides
Homogènes. In: Mémoires présentés par divers savans à l’Académie royale des
sciences de l’Institut de France, et imprimés par son ordre : sciences mathématiques
et physiques. Tome 4 (1833), S. 463–562
[101] Lawson, C. L.: Software for C1 Surface Interpolation / Jet Propulsion Laboratory.
1977 (JPL Pub. 77-30). – Forschungsbericht
[102] Lee, E. H.: Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains. In: J. Appl. Mech. 36
(1969), Nr. 1, S. 1–6. DOI 10.1115/1.3564580. – ISSN 0021–8936
140 LITERATURVERZEICHNIS
[103] Lilliu, G.; van Mier, J. G. M.: 3D Lattice Type Fracture Model for
Concrete. In: Engineering Fracture Mechanics 70 (2003), S. 927–941. DOI
10.1016/S0013–7944(02)00158–3
[104] Lloyd, Bryn; Szekely, Gabor; Harders, Matthias: Identification of Spring Para-
meters for Deformable Object Simulation. In: IEEE Transactions on Visualization
and Computer Graphics 13 (2007), Nr. 5, S. 1081–1094. DOI 10.1109/tvcg.2007.1055.
– ISSN 1077–2626
[105] Lopez-Sancho, M. P.; Guinea, F.; Louis, E.: Crack Growth in a Plastic
Medium. In: Journal of Physics A: Mathematical and General 21 (1988), Nr. 22, S.
L1079–L1083. DOI 10.1088/0305–4470/21/22/007
[106] Luding, Stefan: Introduction to Discrete Element Methods: Basic of Contact Force
Models and How to Perform the Micro-Macro Transition to Continuum Theory. In:
European Journal of Environmental and Civil Engineering 12 (2008), S. 785–836.
DOI 10.1080/19648189.2008.9693050
[107] MacNeal, Richard H.: Finite Elements: Their Design and Performance. 1. Marcel
Dekker, Inc., 1993
[108] Miller, Gary L.; Talmor, Dafna; Teng, Shang-Hua; Walkington, Noel: A
Delaunay Based Numerical Method for Three Dimensions. In: Proceedings of the
twenty-seventh annual ACM symposium on Theory of computing - STOC 1995,
Association for Computing Machinery (ACM), 1995, S. 683–692
[109] Misra, Rama D.; Born, M.: On the Stability of Crystal Lattices. II. In:Math. Proc.
Camb. Phil. Soc. 36 (1940), Nr. 02, S. 173–182. DOI 10.1017/s030500410001714x
[110] Mitschke, Holger; Schury, Fabian; Mecke, Klaus; Wein, Fabian; Stingl,
Michael; Schröder-Turk, Gerd E.: Geometry: The Leading Parameter for the
Poisson’s Ratio of Bending-Dominated Cellular Solids. In: International Journal
of Solids and Structures 100 (2016), S. 1–10. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2016.06.027
[111] Moës, Nicolas; Dolbow, John; Belytschko, Ted: A Finite Element Method
for Crack Growth without Remeshing. In: International Journal for Nume-
rical Methods in Engineering 46 (1999), Nr. 1, S. 131–150. DOI 10.1002/(si-
ci)1097–0207(19990910)46:1<131::aid–nme726>3.0.co;2–j
[112] Mohr, Otto ; Beyer, K. (Hrsg.); Spangenberg, H. (Hrsg.): Abhandlungen Aus
Dem Gebiete Der Technischen Mechanik: Zur Jahrhundertfeier Der Th Dresden.
3., erweiterte Auflage. Berlin : Wilhelm Ernst & Sohn, 1928
[113] Monette, L.; Anderson, M. P.: Elastic and Fracture Properties of the Two-
LITERATURVERZEICHNIS 141
Dimensional Triangular and Square Lattices. In: Modelling and Simulation in
Materials Science and Engineering 2 (1994), Nr. 1, S. 53
[114] Mousanezhad, D.; Ebrahimi, H.; Haghpanah, B.; Ghosh, R.; Ajdari, A.;
Hamouda, A. M. S.; Vaziri, A.: Spiderweb Honeycombs. In: International Journal
of Solids and Structures 66 (2015), S. 218–227. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2015.03.036.
– ISSN 0020–7683
[115] Naghdi, P. M.: Some Constitutive Restrictions in Plasticity / California Univ
Berkeley Dept Of Mechanical Engineering. 1976 (AM-76-5). – Forschungsbericht. –
Technical rept.
[116] Naghdi, P. M.; Trapp, J. A.: On the Nature of Normality of Plastic Strain Rate
and Convexity of Yield Surfaces in Plasticity. In: J. Appl. Mech. 42 (1975), Nr. 1,
S. 61–66. DOI 10.1115/1.3423555. – ISSN 0021–8936
[117] Naghdi, P. M.; Trapp, J.A.: The Significance of Formulating Plasticity
Theory with Reference to Loading Surfaces in Strain Space. In: Internatio-
nal Journal of Engineering Science 13 (1975), Nr. 9-10, S. 785–797. DOI
10.1016/0020–7225(75)90080–4. – ISSN 0020–7225
[118] Navier, M.: Mémoire sur les Lois de l’Équilibre et du Mouvement des Corps
Solides Élastiques. In: Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de l’Institut de
France Tome 7 (1824), S. 375–393
[119] Noor, Ahmed K.: Continuum Modeling for Repetitive Lattice Structures. In:
Applied Mechanics Reviews 41 (1988), Nr. 7, S. 285–296. DOI 10.1115/1.3151907. –
ISSN 0003–6900
[120] O’Brien, G. S.: Discrete Visco-Elastic Lattice Methods for Seismic Wave Propaga-
tion. In: Geophysical Research Letters 35 (2008), Nr. 2. DOI 10.1029/2007gl032214.
– ISSN 0094–8276
[121] Orowan, E.: Energy Criteria of Fracture / Massachusetts Institute of Techno-
logy, Deptartment of Mechanical Engineering. Cambridge, Massachusetts, 1954
(Technical Report No. 3). – Forschungsbericht
[122] Ostoja-Starzewski, M.; Alzebdeh, K.; Jasiuk, I.: Linear Elasticity of Planar
Delaunay Networks. Iii: Self-consistent Approximations. In: Acta Mechanica 110
(1995), S. 57–72. DOI 10.1007/BF01215416
[123] Ostoja-Starzewski, M.; Sheng, P. Y.; Alzebdeh, K.: Spring Network Models
in Elasticity and Fracture of Composites and Polycrystals. In: Computational
Materials Science 7 (1996), Nr. 1-2, S. 82–93. DOI 10.1016/s0927–0256(96)00064–x
142 LITERATURVERZEICHNIS
[124] Ostoja-Starzewski, M.; Wang, C.: Linear Elasticity of Planar Delaunay
Networks: Random Field Characterization of Effective Moduli. In: Acta Mechanica
80 (1989), S. 61–80. DOI 10.1007/BF01178180
[125] Ostoja-Starzewski, M.; Wang, C.: Linear Elasticity of Planar Delaunay
Networks. Part II: Voigt and Reuss Bounds, and Modification for Centroids. In:
Acta Mechanica 84 (1990), S. 47–61. DOI 10.1007/BF01176087
[126] Ostoja-Starzewski, M.; Wang, G.: Particle Modeling of Random Crack
Patterns in Epoxy Plates. In: Probabilistic Engineering Mechanics 21 (2006), S.
267–275. DOI 10.1016/j.probengmech.2005.10.007
[127] Ostoja-Starzewski, Martin: Lattice Models in Micromechanics. In: Applied
Mechanics Reviews 55 (2002), Nr. 1, S. 35–60. DOI 10.1115/1.1432990
[128] Pacevič, Ruslan; Kačeniauskas, Arnas; Markauskas, Darius: Visualization
of Cracks by Using the Local Voronoi Decompositions and Distributed Software.
In: Advances in Engineering Software 84 (2015), S. 85–94. DOI 10.1016/j.adveng-
soft.2015.02.004. – ISSN 0965–9978
[129] Pal, Raj K.; Ruzzene, Massimo; Rimoli, Julian J.: A Continuum Model for
Nonlinear Lattices under Large Deformations. In: International Journal of Solids
and Structures 96 (2016), S. 300–319. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2016.05.020. – ISSN
0020–7683
[130] Pazdniakou, A.; Adler, P. M.: Lattice Spring Models. In: Transport in Porous
Media 93 (2012), Nr. 2, S. 243–262. DOI 10.1007/s11242–012–9955–6. – ISSN
1573–1634
[131] Pedersen, Pauli: Some Properties of Linear Strain Triangles and Optimal Finite
Element Models. In: International Journal for Numerical Methods in Engineering
7 (1973), Nr. 4, S. 415–429. DOI 10.1002/nme.1620070402. – ISSN 1097–0207
[132] Pedersen, Pauli: On Computer-Aided Analytic Element Analysis and the Simila-
rities of Tetrahedron Elements. In: International Journal for Numerical Methods in
Engineering 11 (1977), Nr. 4, S. 611–622. DOI 10.1002/nme.1620110402. – ISSN
1097–0207
[133] Peng, H. W.; Power, S. C.: On the Stability of Crystal Lattices VIII. Stability
of Rhombohedral Bravais Lattices. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge
Philosophical Society 38 (1942), Nr. 01, S. 67–81. DOI 10.1017/s0305004100022234
[134] Perez, Nestor: Fracture Mechanics. 2. Edition. Springer Nature, 2017. DOI
10.1007/978–3–319–24999–5
LITERATURVERZEICHNIS 143
[135] Poisson, M.: Mémoire sur l’Équilibre et le Mouvement des Corps Élastiques. In:
Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de l’Institut de France 8 (1828), S.
357–580
[136] Polanyi, M.: Über die Natur des Zerreißvorganges. In: Zeitschrift für Physik 7
(1921), Nr. 1, S. 323–327. DOI 10.1007/bf01332803
[137] Potyondy, D.O.; Cundall, P.A.: A Bonded-Particle Model for Rock. In:
International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences 41 (2004), Nr. 8, S.
1329–1364. DOI 10.1016/j.ijrmms.2004.09.011
[138] Power, S. C.: On the Stability of Crystal Lattices VII. Long-Wave and Short-
Wave Stability for the Face-Centred Cubic Lattice. In: Mathematical Procee-
dings of the Cambridge Philosophical Society 38 (1942), Nr. 01, S. 61–66. DOI
10.1017/s0305004100022222
[139] Prager, William: The Theory of Plasticity: A Survey of Recent Achievements.
In: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers 169 (1955), Nr. 1955, S.
41–57. DOI 10.1243/pime_proc_1955_169_015_02
[140] Psakhie, S. G.; Horie, Y.; Ostermeyer, G. P.; Korostelev, S. Y.; Smolin,
A. Y.; Shilko, E. V.; Dmitriev, A. I.; Blatnik, S.; Špegel, M.; Zavšek, S.:
Movable Cellular Automata Method for Simulating Materials with Mesostructure.
In: Theoretical and Applied Fracture Mechanics 37 (2001), S. 311–334. DOI
10.1016/S0167–8442(01)00079–9
[141] Ramberg, Walter; Osgood, William R.: Description of Stress-Strain Curves by
Three Parameters / National Advisory Committee for Aeronautics. Washington,
DC, United States, 1943 (NACA-TN-902). – Forschungsbericht
[142] Reck: Erweiterung der Diskrete-Elemente-Methode zur numerischen Lebensdauer-
berechnung für Strukturen unter Schwelllast, Institut für Statik und Dynamik der
Lutf- und Raumfahrtkonstruktionen, Universität Stuttgart, Diplomarbeit, 2013
[143] Reck, M.: Lattice Spring Methods for Arbitrary Meshes in Two and Three
Dimensions. In: International Journal for Numerical Methods in Engineering
(2016). DOI 10.1002/nme.5358
[144] Rice, J. R.: A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain
Concentration by Notches and Cracks. In: Journal of Applied Mechanics (1968), S.
379–386
[145] Rinaldi, Antonio; Krajcinovic, Dusan; Mastilovic, Sreten: Statistical Da-
mage Mechanics - Constitutive Relations. In: Journal of Theoretical and Applied
144 LITERATURVERZEICHNIS
Mechanics 44 (2006), S. 585–602
[146] Rinaldi, Antonio; Krajcinovic, Dusan; Peralta, Pedro; Lai, Ying-Cheng:
Lattice Models of Polycrystalline Microstructures: A Quantitative Approach. In:
Mechanics of Materials 40 (2008), S. 17–36. DOI 10.1016/j.mechmat.2007.02.005
[147] Roux, Stéphane; Hansen, Alex: Perfect Plasticity in a Random Medium. In:
Journal de Physique II 2 (1992), Nr. 5, S. 1007–1021. DOI 10.1051/jp2:1992183
[148] Ruppert, J.: A Delaunay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimensional
Mesh Generation. In: Journal of Algorithms 18 (1995), Nr. 3, S. 548–585. DOI
10.1006/jagm.1995.1021
[149] Sanders, W. T.: On the Possibility of a Supersonic Crack in a Crystal Lat-
tice. In: Engineering Fracture Mechanics 4 (1972), Nr. 1, S. 145–153. DOI
10.1016/0013–7944(72)90084–7
[150] Sands, Christine M.: An Irregular Lattice Model to Simulate Crack Paths in
Bonded Granular Assemblies. In: Computers & Structures 162 (2016), S. 91–101.
DOI 10.1016/j.compstruc.2015.09.006. – ISSN 0045–7949
[151] Sarkar, Saikat; Nowruzpour, Mohsen; Reddy, J. N.; Srinivasa, A. R.:
A Discrete Lagrangian Based Direct Approach to Macroscopic Modelling. In:
Journal of the Mechanics and Physics of Solids 98 (2017), S. 172–180. DOI
10.1016/j.jmps.2016.09.007
[152] Schlangen, E.; Garboczi, E. J.: New Method for Simulating Fractu-
re Using an Elastically Uniform Random Geometry Lattice. In: Internatio-
nal Journal of Engineering Science 34 (1996), Nr. 10, S. 1131–1144. DOI
10.1016/0020–7225(96)00019–5
[153] Schlangen, E.; Garboczi, E. J.: Fracture Simulations of Concrete Using Lattice
Models: Computational Aspects. In: Engineering Fracture Mechanics 57 (1997),
Nr. 2-3, S. 319–332. DOI 10.1016/s0013–7944(97)00010–6. – ISSN 0013–7944
[154] Schlangen, E.; van Mier, J. G. M.: Simple Lattice Model for Numerical
Simulation of Fracture of Concrete Materials and Structures. In: Materials and
Structures 25 (1992), Nr. 9, S. 534–542. DOI 10.1007/bf02472449
[155] Schlangen, Erik: Experimental and Numerical Analysis of Fracture Processes in
Concrete, Delft University of Technology, Diss., 1993
[156] Sharafisafa, M.; Nazem, M.: Application of the Distinct Element Method and
the Extended Finite Element Method in Modelling Cracks and Coalescence in
Brittle Materials. In: Computational Materials Science 91 (2014), S. 102–121. DOI
LITERATURVERZEICHNIS 145
10.1016/j.commatsci.2014.04.006
[157] Shewchuk, Jonathan R.: Triangle: Engineering a 2D Quality Mesh Generator
and Delaunay Triangulator. In: Lin, Ming C. (Hrsg.); Manocha, Dinesh (Hrsg.):
Applied Computational Geometry: Towards Geometric Engineering. Springer-Verlag,
1996 (Lecture Notes in Computer Science), S. 203–222. – From the First ACM
Workshop on Applied Computational Geometry
[158] Shewchuk, Jonathan R.: Delaunay Refinement Algorithms for Triangular Mesh
Generation. In: Computational Geometry: Theory and Applications 22 (2002), Nr.
1-3, S. 21–74. DOI 10.1016/S0925–7721(01)00047–5
[159] Sorg, Annika; Bischoff, Manfred: Adaptive Discrete-Continuous Modeling
of Evolving Discontinuities. In: Engineering Computations 31 (2014), Nr. 7, S.
1305–1320. DOI 10.1108/ec–03–2013–0072
[160] Spierig, Siegfried: Beitrag zur Lösung von Scheiben-, Platten und Schalenproble-
men mit Hilfe von Gitterrostmodellen. In: Abhandlungen der Braunschweigischen
Wissenschaftlichen Gesellschaft 15 (1963), S. 133–165
[161] Stummel, F.: The Limitations of the Patch Test. In: International Jour-
nal for Numerical Methods in Engineering 15 (1980), Nr. 2, S. 177–188. DOI
10.1002/nme.1620150203. – ISSN 1097–0207
[162] Subramanian, G.; Krishnan, A.: On an Efficient Use of CST Elements. In:
International Journal for Numerical Methods in Engineering 14 (1979), Nr. 7, S.
1063–1072. DOI 10.1002/nme.1620140709. – ISSN 1097–0207
[163] Tarasov, Vasily E.: Lattice with Long-Range Interaction of Power-Law Type for
Fractional Non-Local Elasticity. In: International Journal of Solids and Structures
51 (2014), Nr. 15-16, S. 2900–2907. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2014.04.014. – ISSN
0020–7683
[164] Thomson, Robb; Hsieh, C.; Rana, V.: Lattice Trapping of Fracture Cracks. In:
Journal of Applied Physics 42 (1971), Nr. 8, S. 3154. DOI 10.1063/1.1660699. –
ISSN 0021–8979
[165] Tresca, H.: Mémoire sur l’Écoulement des Corps Solides. In: Mémoires présentés
par divers savans à l’Académie Royale des Sciences de l’Institut Impérial de France
et imprimés par son ordre: Sciences Mathématiques es Physiques 18 (1868), S.
733–799
[166] Turner, M. J.; Clough, R. W.; Martin, H. C.; Topp, L. J.: Stiffness and
Deflection Analysis of Complex Structures. In: Journal of the Aeronautical Sciences
146 LITERATURVERZEICHNIS
23 (1956), Nr. 9, S. 805–823. DOI 10.2514/8.3664
[167] Tzschichholz, Frank: Peeling Instability in Cosserat-Like Media. In: Physical
Review B 45 (1992), Nr. 22, S. 12691–12698. DOI 10.1103/physrevb.45.12691
[168] Voigt, W.: Theoretische Studien über die Elasticitätsverhältnisse der Krystalle.
In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen
34 (1887), S. 3–52
[169] von Mises, Richard: Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zu-
stand. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,
Mathematisch-Physikalische Klasse 1913 (1913), S. 582–592
[170] Wang, G.; Al-Ostaz, A.; Cheng, A. H.-D.; Mantena, P. R.: Hybrid Lattice
Particle Modeling: Theoretical Considerations for a 2D Elastic Spring Network for
Dynamic Fracture Simulations. In: Computational Materials Science 44 (2009), S.
1126–1134. DOI 10.1016/j.commatsci.2008.07.032
[171] Weibull, Wallodi: A Statistical Distribution Function of Wide Applicability. In:
ASME Journal of Applied Mechanics (1951), S. 293–297
[172] Weiner, J. H.; Pear, M.: Crack and Dislocation Propagation in an Idealized
Crystal Model. In: Journal of Applied Physics 46 (1975), Nr. 6, S. 2398. DOI
10.1063/1.322223. – ISSN 0021–8979
[173] Wilkins, Mark L.: Calculation of Elastic-Plastic Flow / DTIC Document. 1963
(UCRL-7322). – Forschungsbericht
[174] Wittel, F.; Kun, F.; Herrmann, H.; Kröplin, B.: Fragmentation of Shells. In:
Physical Review Letters 93 (2004), Nr. 3. DOI 10.1103/physrevlett.93.035504
[175] Wittel, Falk K.: Diskrete Elemente – Modelle zur Bestimmung der Festigkeitsevo-
lution in Verbundwerkstoffen, Institut für Statik und Dynamik der Luft- und
Raumfahrtkonstruktionen, Universität Stuttgart, Dissertation, 2006
[176] Wittel, Falk K.; Dill-Langer, Gerhard; Kröplin, Bernd-H.: Modeling of
Damage Evolution in Soft-wood Perpendicular to Grain by Means of a Discrete
Element Approach. In: Computational Materials Science 32 (2005), Nr. 3-4, S.
594–603. DOI 10.1016/j.commatsci.2004.09.004
[177] Yip, Mien; Li, Zhen; Liao, Ben-Shan; Bolander, J. E.: Irregular Lattice Models
of Fracture of Multiphase Particulate Materials. In: International journal of fracture
140 (2006), Nr. 1-4, S. 113–124. DOI 10.1007/s10704–006–7636–6
[178] Yoder, P. J.; Iwan, W. D.: On the Formulation of Strain-Space Plasticity With
Multiple Loading Surfaces. In: Journal of Applied Mechanics 48 (1981), Nr. 4, S.
LITERATURVERZEICHNIS 147
773–778. DOI 10.1115/1.3157732
[179] Zhao, Gao-Feng: Development of Micro-Macro Continuum-Discontinuum Coupled
Numerical Method, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Dissertation, 2010
[180] Zhao, Gao-Feng: Developing a Four-Dimensional Lattice Spring Model for Me-
chanical Responses of Solids. In: Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 315 (2016), S. 811–895. DOI 10.1016/j.cma.2016.11.034
[181] Zhao, Gao-Feng; Fang, Jiannong; Zhao, Jian: A 3D Distinct Lattice Spring
Model for Elasticity and Dynamic Failure. In: International Journal for Numerical
and Analytical Methods in Geomechanics 35 (2011), Nr. 8, S. 859–885. DOI
10.1002/nag.930
[182] Zhao, Shuan-Feng; Zhao, Gao-Feng: Implementation of a High Order Lattice
Spring Model for Elasticity. In: International Journal of Solids and Structures 49
(2012), S. 2568–2581. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2012.05.015
[183] Zhu, H. X.; Hobdell, J. R.; Windle, A. H.: Effects of Cell Irregularity on the
Elastic Properties of 2D Voronoi Honeycombs. In: Journal of the Mechanics and
Physics of Solids 49 (2001), S. 857–870. DOI 10.1016/S0022–5096(00)00046–6
[184] Zubelewicz, Aleksander; Bažant, Zdeněk P.: Interface Element Modeling of
Fracture in Aggregate Composites. In: Journal of Engineering Mechanics 113
(1987), Nr. 11, S. 1619–1630. DOI 10.1061/(asce)0733–9399(1987)113:11(1619)