Faszination Mathematik Ein Einblick in die Sammlung mathematischer Modelle am Fachbereich Mathematik Fotografiert von Frank Wiatrowski Erklärungen von Anna Wackerow und Paul Schwahn 3 Über die Begreifbarmachung der Mathematik „L‘algèbre n‘est qu‘une géométrie écrite; la géométrie n‘est qu‘une algèbre figurée.“ Sophie Germain, frz. Mathematikerin, 1776-1831 Seit jeher benutzen Wissenschaftler und Ingenieure Modelle, um abstrakte und the- oretische Ideen begreifbar zu machen. Die Verben „begreifen“ und „erfassen“ re- flektieren die ursprüngliche Wichtigkeit einer haptischen Erfahrung für Erkenntnis und Verständnis. Genau hierin lag der Zweck der historischen, bis ins 19. Jahrhun- dert zurückreichenden mathematischen Modellsammlung der Universität Stuttgart: Die abstrakte Natur der Zahlen durch geometrische Figuren wortwörtlich begreif- bar zu machen. Die nachfolgende moderne Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert legte ihren Fokus freilich auf einen axiomatischen und formalen Aufbau, der diese Art der Mathematikvermittlung lange Zeit obsolet erschienen ließ. Es war ironischerweise die rasante Entwicklung computergestützter Methoden in der Mathematik, die die damit einhergehenden Möglichkeiten der Visualisierung wieder aufgriff. Der 3D- Druck ermöglichte es wiederum, den virtuellen Darstellungen ihre ursprüngliche konkrete und begreifbare Realität zurückzugeben. Die Tradition der historischen Modelle fortführend, werden am Fachbereich Ma- thematik der Universität Stuttgart solche 3D-Modelle aktiv in der Lehre verwen- det. Unsere Modellsammlung ist also keinesfalls nur historischer Natur, sondern entwickelt sich dynamisch mit den Möglichkeiten unserer Zeit weiter. Die diesen Modellen ureigene immanente Ästhetik - eindrucksvoll von den Fotografien dieser Broschüre inszeniert - wird dabei hoffentlich auch einem breiteren Publikum die Schönheit der Mathematik erfahrbar machen. Prof. Dr. Frederik Witt Vorgestellt werden folgende Modelle: • ein Globusmodell • eine Spindelzyklide • eine Regelfläche 3. Ordnung • die Erzeugung eines einschaligen Rotationshyperboloides durch Rotation einer zur Achse windschiefen Gerade • ein abgestumpftes Ikosaeder • ein bewegliches Ellipsoid • ein Plücker-Konoid und hyperbolisches Paraboloid Globusmodell durchsichtig, auf Standfuß, mit zwei beweglichen Innenhalbkreisen und Grad- einteilung, zur Behandlung von geographischer Länge und Breite 24 x 29 cm, Kunststoff Leybold-Heraeus 1979 Inventarnummer K_15 4 Globusmodell Das Modell eines Globus eignet sich zur Erklärung sphärischer Koordinaten. Diese werden in der Regel mit ‚ und bezeichnet. Der Höhenwinkel gibt die geographische Breite an und läuft hier von 90o Süd am Südpol über 0o am Äquator bis 90o Nord am Nordpol. In Polarkoordinaten ent- spricht das dem Intervall . Die sogenannten Breitenkreise sind Linien kon- stanter geographischer Breite. Diese sind in Abständen von 15o auf dem Globus eingezeichnet. Zudem sind die Polarkreise (jeweils bei 66,57o) und Wendekreise (jeweils bei 23,43o) markiert. Die geographische Länge wird durch den Azimutwinkel angegeben. Dieser läuft hier von 180o West über den Nullmeridian bis 180o Ost, was in Polarkoordinaten dem Intervall entspricht. Am Äquator findet man zugehörige Markierungen in Abständen von 15o. Auf der südlichen Halbkugel sind zudem Linien konstanter geographischer Länge, die sogenannten Meridiane, eingezeichnet. Die Koordinate gibt den Abstand vom Ursprung an. Auf der Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, ist konstant und gleich dem Radius der Kugel. Die drehbaren Halbscheiben im Inneren des Modells sind Flächen, auf denen die Koordinate konstant ist. Auf ihnen befinden sich auch die zu den Breitenkreisen gehörigen Gradangaben. Spindelzyklide Eine Kanalfläche ist die Einhüllende einer Kugelschar, deren Mittelpunkte auf ei- ner vorgegebenen Kurve, der sogenannten Leitkurve, liegen. So entsteht z.B. ein Torus (anschaulich ein „Fahrradschlauch“ oder „Beigel“) als Einhüllende einer Ku- gelschar, deren Kugeln einen konstanten Radius d haben und deren Mittelpunkte sich entlang eines Kreises des Radius a bewegen. Andere bekannte Beispiele von Kanalflächen sind Zylinder oder Kegel; Kanalflächen sind in diesem Sinne einfache Bausteine komplizierterer geometrischer Objekte. Eine Verallgemeinerung des Torus sind die sogenannten elliptischen Dupinschen Zyklide, benannt nach dem französischem Mathematiker Charles Dupin (1784- 1873). Die Leitkurve dieser Kanalflächen ist eine Ellipse mit Halbachsen der Länge a>b. Die Kugeln haben einen Radius, der kontinuierlich in Abhängigkeit vom Ort des Kugelmittelpunkts auf der Ellipse zwischen den Werten d-c und d+c variiert, wobei c2=a2-b2 gilt. Im speziellen Fall eines Kreises, also a=b und damit c=0, erhal- ten wir gerade einen Torus, dessen Radius a und „Schlauchdicke“ d beträgt. Eine wichtige Anwendung der Dupinschen Zyklide findet sich im Bereich des com- putergestützten Konstruierens (CAD), da sie sich zur Modellierung glatter Über- gänge zwischen Kanalflächen eignen. Lange bevor man sich solche Anwendungen erträumen konnte, wurden zur Veranschaulichung verschiedenster geometrischer Objekte Gipsmodelle in Serie angefertigt. Unsere Modelle der Dupinschen Zykli- den stammen von Peter Vogel aus dem Jahre 1880 und wurden vom Verlag Ludwig Brill veröffentlicht. In dem unten abgebildeten Modell der Stuttgarter Sammlung handelt es sich um eine sogenannte Spindelzyklide, eine elliptische Dupinsche Zyklide mit d>a. Im Spezialfall a=b wäre dies ein Torus, dessen „Schlauchdicke“ so groß ist, dass das Loch in der Mitte komplett verschwindet und in eine „Spindel“ übergeht, die die- sen Zykliden ihren Namen gibt. Das Modell ist ein aus Gips gegossener Körper, auch wenn die Spindelzyklide selbst nur der Oberfläche des Modells entspricht. Zusätzlich muss beachtet werden, dass nur ein Teil der Oberfläche zu sehen ist, da die Spindelzyklide aufgeschnitten wurde, um die Spindel und die aufspannende Kugelschar im Innern des Modells sichtbar zu machen. Man erkennt dadurch so- wohl die Ellipse der Leitkurve, als auch die Kugeln, die entlang dieser Leitkurve variieren; ihr Radius wird nach rechts hinten immer größer. Spindelzyklide 1. Art Brill Serie 5 Vier Formen der Dupin‘schen Zyklide von Peter Vogel 1880 11 x 11 x 11 cm, Gips Inventarnummer Gm_25 6 Regelflächen 3. Ordnung 3. Fall 21 x 21 x 20 cm, Metall, Faden Inventarnummer Fm_26 8 Regelfläche 3. Ordnung Eine Regelfläche ist eine Fläche im Raum, die aus Geraden besteht. Das heißt, durch jeden auf der Regelfläche liegenden Punkt verläuft eine Gerade, die selbst ganz in der Fläche enthalten ist. Bekanntermaßen erhält man einen Kegelschnitt, indem man einen Doppelkegel mit einer Ebene schneidet. Dieser hat beispielsweise die Form eines Kreises, einer Ellipse oder einer Hyperbel. Eine Regelfläche 3. Ordnung konstruiert man nun folgendermaßen: Man betrachte zwei feste Geraden g1 und g2 (die Leitgeraden) im Raum, sowie einen Kegelschnitt C (den Leitkegelschnitt). Die Gesamtheit aller Geraden, die sowohl g1, g2 als auch C treffen, bilden nun einer Regelfläche 3. Ordnung. Dabei betrachtet man auch die Spezialfälle, in denen eine der beiden Geraden g1, g2 oder der Kegelschnitt C ins Unendliche verschoben sind. Im abgebildeten Modell liegt letzterer Spezialfall vor: Der Leitkegelschnitt, der im Unendlichen liegt, wird durch den definierenden Kegel angedeutet. Dieser wird durch eine Schar roter Geraden erzeugt. Die Leitgeraden g1, g2 werden durch Mes- singstäbe dargestellt. Dabei schneidet die zweite Leitgerade die unendlich ferne Ebene des Kegelschnitts in einem außerhalb dessen gelegenen Punkt. Die Regel- fläche selbst wird von den schwarzen Geraden erzeugt, welche die beiden Leitgera- den sowie den Leitkegelschnitt treffen. Erzeugung eines einschaligen Rotationshyperboloides durch Rotation einer zur Achse windschiefen Gerade Welche Form erhält man, wenn man eine Stange um eine Achse dreht? Eine Gera- de wird um eine Drehachse gedreht, zu der sie windschief ist (das bedeutet, sie ist weder parallel zur Drehachse, noch schneidet sie sie). Welche Form muss ein Loch in einer Glaswand haben, damit die Stange durch diese Glaswand hindurchgleiten kann? Die Funktionsgleichung zu der Kurve, die das Loch im Glas beschreibt, erhält man mithilfe des Satzes des Pythagoras. In einem Koordinatensystem mit Ursprung im Befestigungspunkt der Stange und x-Richtung nach rechts und y-Richtung nach oben erhält man damit Es handelt sich also um eine Hyperbel. Die Zahl a ist dabei der Abstand der bei- den Geraden, m beschreibt die Steigung der Stange im Verhältnis zum Boden. Die Spur der Stange, also die Menge aller Punkte, die sie in einer ganzen Drehung überstreicht, ist ein Hyperboloid. Umgekehrt findet man deshalb auf der Oberflä- che eines Hyperboloids genau diese Geraden, die windschief zur Mittelachse des Hyperboloids sind.   Erzeugung eines einschaligen Rotationshyperbolo- ides durch Rotation einer zur Achse windschiefen Gerade 30 x 21 x 21 cm, Holz, Messing, Plexiglas Mathematische Modelle Darmstadt, 1956 Inventarnummer Dre_5 10 Abgestumpftes Ikosaeder - Fußball Das Ikosaeder gehört zu den platonischen Körpern. Dies sind Körper, die nur von gleichen regelmäßigen Vielecken begrenzt werden. Es gibt insgesamt fünf ver- schiedene platonische Körper, darunter auch den Würfel, der von sechs Quadraten begrenzt wird. Ein Ikosaeder wird von 20 Dreiecken begrenzt. An jeder der zwölf Ecken des Ikosa- eders treffen sich dabei fünf Dreiecke. Unser Modell zeigt ein abgestumpftes Iko- saeder. Um vom Ikosaeder zu diesem abgestumpften Ikosaeder zu gelangen, wer- den die zwölf Ecken abgesägt. Die Dreiecke werden dabei zu Sechsecken und die Schnittflächen sind die Fünfecke. Die Ecken werden genau so abgeschnitten, dass die Sechsecke lauter gleichlange Seiten haben, also regelmäßig sind. Der Körper aus 20 Sechsecken und zwölf Fünfecken findet in verschiedenen Bereichen Anwen- dung: Der klassische Fußball mit den schwarzen Flecken auf weißem Grund hat ge- nau die Struktur des abgestumpften Ikosaeders. Auch ein sehr großes Kohlenstoff- Molekül, das Fulleren, hat genau diese Struktur. Man kann sich auch vorstellen, dass ein Ikosaeder und ein Dodekaeder (bestehend aus zwölf Fünfecken) übereinandergelegt werden. Der Schnitt ist das abgestumpfte Ikosaeder. Dadurch werden aus den Seitenflächen sozusagen die neuen Seitenflä- chen ausgeschnitten. Die Dreiecke werden wie bei der obigen Herangehenswei- se zu Sechsecken und die Fünfecke des Dodekaeders sind zwar wieder Fünfecke, jedoch in umgekehrter Ausrichtung. Die ursprünglichen Fünfecke im Dodekaeder teilen jeweils eine Kante mit ihren benachbarten Fünfecken. Die neuen Fünfecke zeigen mit einer Ecke in Richtung der nächstgelegenen Fünfecke. Da das abgestumpfte Ikosaeder aus regelmäßigen Vielecken (Fünfecken und Sechs- ecken) besteht, die sich an jeder Ecke auf die gleiche Art treffen, gehört es zu den sogenannten archimedischen Körpern. Es gibt 13 archimedische Körper. Einige da- von entstehen wie das abgestumpfte Ikosaeder durch das Abstumpfen eines pla- tonischen Körpers. Abgestumpftes Ikosaeder gelb: Dodekaeder blau: Ikosaeder 28 cm, Papier Inventarnummer Pa_M 19 12 Bewegliches Ellipsoid Eine Ellipse kann man sich vorstellen wie einen gestauchten Kreis. Anstatt eines Radius r gibt es dann die große Halbachse a und die kleine Halbachse b. Diese geben sozusagen den „Radius“ an der dicksten und dünnsten Stelle der Ellipse an. Das gleiche funktioniert auch in drei Dimensionen: Auch eine Kugel kann entlang der drei Raumrichtungen gestreckt oder gestaucht werden. Ein Ellipsoid hat nicht nur zwei, sondern drei Halbachsen. Die kleinste Halbachse ist der Abstand vom Mittelpunkt zu dem Punkt auf dem Ellipsoid, der ihm am nächsten liegt. Die größte Halbachse ist analog dazu der Abstand zwischen Mittelpunkt und dem entferntesten Punkt. Alle drei Halbachsen sind zueinander rechtwinklig – mit dieser Bedingung findet man auch die dritte Halbachse. Schneidet man das Ellipsoid mit einer Ebene, so erhält man immer eine Ellipse. In manchen Fällen erhält man sogar einen Kreis. Jedes Ellipsoid besitzt solche Kreisschnitte. Es gilt, die entsprechenden Ebenen und damit die Kreise zu finden. Hat man einen Kreis gefunden, dann ergibt jede dazu parallele Ebene geschnitten mit dem Ellipsoid wieder einen Kreis (solange die Ebene überhaupt das Ellipso- id schneidet). Diese Eigenschaft wurde bei diesem Modell eines beweglichen El- lipsoids genutzt. Die Metallstangen, aus denen das Modell besteht, sind genau diese Kreise auf der Oberfläche des Ellipsoids. Es gibt zwei Scharen von Kreisen, die jeweils untereinander parallel sind. Bewegt man das Ellipsoid, so bleiben die Kreise einer Schar immer parallel, jedoch ändert sich der Winkel zwischen den bei- den Kreisscharen. Die mittlere Halbachse verläuft in unserem Modell von der Mitte nach oben. Die kleinste und größte Halbachse liegen auf den Winkelhalbierenden der Schnittwinkel der Ebenen der größten Kreise. Bewegliches Ellipsoid (vier reelle Nabelpunkte) 45 cm, Metall Karl Kolb Frankfurt Mathematische Modelle, 1978 Inventarnummer Pm_10 14 Plücker-Konoid und hyperbolisches Paraboloid 8 x 15 cm, Metall und Faden Inventarnummer Fm_32 Plücker-Konoid und hyperbolisches Paraboloid In diesem Modell sind zwei verschiedene Flächen miteinander überlagert darge- stellt. Es handelt sich um das Plücker-Konoid und das hyperbolische Paraboloid. Konoide sind eine bestimmte Sorte von Regelflächen. Das bedeutet, sie werden von einer Geradenschar aufgespannt. Von anderen Regelflächen unterscheiden sich Konoide durch zwei zusätzliche Eigenschaften: Alle Geraden sind parallel zu ei- ner gemeinsamen Ebene und verlaufen durch eine gemeinsame Gerade, die Achse genannt wird. Das in unserem Modell dargestellte Konoid nennt man Plücker-Konoid. Alle Gera- den, dargestellt durch die dünnen Drähte, sind parallel zu der Ebene, auf der das Modell liegt. Die Achse, also die Gerade, die alle erzeugenden Geraden des Kono- ids schneidet, befindet sich in der Mitte des Modells senkrecht nach oben. Da sie also senkrecht zur Ebene liegt, sagt man, dass das Plücker-Konoid gerade ist. Das hyperbolische Paraboloid ist sozusagen eine Erweiterung der Parabel in drei Dimensionen. Dabei entsteht eine Sattelfläche, die aus Geraden besteht. Wählt man die höchste und die niedrigste Gerade des Plücker-Konoids, so sind die Punkte des hyperbolischen Paraboloids genau diejenigen Punkte, die zu den bei- den Geraden denselben Abstand haben. Dies gilt nicht nur, wenn man die höchste und niedrigste Gerade wählt. Zu jeder Gerade des Plücker-Konoids findet man eine passende Gerade, sodass diese Bedingung erfüllt ist. Alle diese Geradenpaare bil- den das Plücker-Konoid. 16 Mathematische Modelle in der Anwendung: Lehrsammlung 3D-Drucke des Lehrexportzentrums Mathematik an der Universität Stuttgart Die Modelle wurden von Apl. Prof. Dr. Markus Stroppel, Michael Kutter und Alexan- der Kerschl entwickelt. Sie dienen der Unterstützung der mathematischen Grund- ausbildung für Studierende in ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen in Bezug auf Raumanschauung und der Beziehung der Raumanschauung zur mathe- matischen Modellierung. Die 3D-Modelle werden in Übungsgruppen und Sprech- stunden eingesetzt. Der unmittelbare Bezug zu den dort behandelten Themen wird dadurch gesichert, dass sich Übungsaufgaben zum Lehrstoff auf die Modelle bezie- hen. Neben der haptischen Erfahrung mit dem Modell stehen zur Vor- oder Nachar- beit auch Online-Versionen zur Verfügung. Die Modelle wurden (mit finanzieller Unterstützung aus Qualitätssicherungsmitteln der Universität Stuttgart) am LExMath - Lehrexportzentrum Mathematik - geplant und entworfen. Eine Übersicht ist auf der Homepage des Fachbereichs Mathema- tik/Sammlung zu finden. 19 Impressum Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 57 70569 Stuttgart Idee und Gestaltung: Katja Stefanie Engstler Fotografie: Frank Wiatrowski Texte: Anna Wackerow (S. 10, 12, 14, 16) Paul Schwahn (S. 4, 8) Prof. Frederik Witt (S. 6)