D. Dettmering Die Nutzung des GPS zur dreidimensionalen Ionosphärenmodellierung Report Nr. 2003.1 Universität Stuttgart Technical Reports Department of Geodesy and Geoinformatics Schriftenreihe der Institute des Studiengangs Geodäsie und Geoinformatik ISSN 0933-2839 ifp G I Stuttgart Eine digitale Farbversion dieser Dissertation ist auf der Homepage der Universitäts- bibliothek der Universität Stuttgart verfügbar. http://elib.uni-stuttgart.de/opus/volltexte/2003/1411/ http://www.ifp.uni-stuttgart.de/publications/schriftenreihe/schriftenreihe.htm DIE NUTZUNG DES GPS ZUR DREIDIMENSIONALEN IONOSPHÄRENMODELLIERUNG Von der Fakultät Luft- und Raumfahrttechnik und Geodäsie der Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung Vorgelegt von D E N I S E D E T T M E R I N G aus Hannover Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. A. Kleusberg, Stuttgart Mitberichter: Prof. Dr. sc. tech. W. Keller, Stuttgart Prof. Dr.-Ing. G. Seeber, Hannover Tag der mündlichen Prüfung: 17. April 2003 Institut für Navigation der Universität Stuttgart 2003 2 3 GLIEDERUNG ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS .........................................................................................................................7 ABSTRACT............................................................................................................................................................8 1 EINLEITUNG..............................................................................................................................................13 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN..........................................................................................................16 2.1 DIE IONOSPHÄRE ....................................................................................................................................16 2.1.1 Zeitliche und räumliche Variationen .............................................................................................18 2.2 AUSBREITUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN IN DER IONOSPHÄRE .................................................20 2.3 MODELLE DER ERDIONOSPHÄRE.............................................................................................................22 2.3.1 Chapman-Layer .............................................................................................................................22 2.3.2 IRI-95.............................................................................................................................................24 2.3.3 Klobuchar-Modell..........................................................................................................................25 2.3.4 Globale Modelle aus GPS-Messungen (2D) ..................................................................................26 3 BEOBACHTUNGSDATEN........................................................................................................................28 3.1 BEOBACHTUNGSGLEICHUNG ..................................................................................................................28 3.2 DATENQUELLEN UND BEOBACHTUNGSVERTEILUNG ..............................................................................30 3.2.1 Bodenstationen...............................................................................................................................31 3.2.2 LEO-Satelliten................................................................................................................................33 3.2.3 Koordinaten ...................................................................................................................................35 3.3 GENAUIGKEITSANALYSE ........................................................................................................................37 3.3.1 IGS-Stationen.................................................................................................................................37 3.3.2 LEO-Satelliten................................................................................................................................40 3.3.3 Vorprozessierung der Beobachtungsdaten.....................................................................................42 3.3.3.1 Tiefpaßfilter ............................................................................................................................................... 42 3.3.3.2 Levelling.................................................................................................................................................... 43 3.3.3.3 Vergleich der beiden Verfahren................................................................................................................. 43 4 DREIDIMENSIONALER MODELLANSATZ ........................................................................................46 4.1 SONNENFIXIERTES SYSTEM ....................................................................................................................46 4.2 PARAMETRISIERUNG DER ELEKTRONENDICHTE......................................................................................47 4.2.1 Höhenfunktion................................................................................................................................49 4.2.1.1 Stundenwinkelabhängigkeit der Höhenfunktion ........................................................................................ 50 4.2.1.2 Breitenabhängigkeit der Höhenfunktion .................................................................................................... 51 4.3 INTEGRATION..........................................................................................................................................53 4.3.1 Gauß-Legendre Quadratur ............................................................................................................55 4.4 AUSGLEICHUNGSANSATZ........................................................................................................................56 4.4.1 Funktionales Modell ......................................................................................................................56 4.4.2 Stochastisches Modell ....................................................................................................................58 4.5 KALMAN-FILTER-ANSATZ ......................................................................................................................59 4.5.1 Prädiktion ......................................................................................................................................60 4.5.2 Systemrauschen..............................................................................................................................60 4 4.5.3 Innovationen ..................................................................................................................................61 4.5.3.1 Verträglichkeitstest .................................................................................................................................... 62 4.5.3.2 Test auf grobe Beobachtungsfehler............................................................................................................ 62 4.5.4 Aufdatieren.....................................................................................................................................62 4.5.4.1 Detektion von Modelländerungen.............................................................................................................. 63 5 SIMULATIONEN........................................................................................................................................65 5.1 SENSITIVITÄTSANALYSE .........................................................................................................................66 5.1.1 Höhenparameter ............................................................................................................................67 5.1.2 Lagekoeffizienten ...........................................................................................................................69 5.2 LAGEFUNKTIONSANSATZ........................................................................................................................70 5.3 HÖHENFUNKTIONSANSATZ .....................................................................................................................73 5.3.1 Konvergenzverhalten der Chapmanparameter ..............................................................................73 5.3.2 Auswirkung des Grads der Höhenfunktion ....................................................................................76 5.4 AUSWIRKUNGEN UNTERSCHIEDLICHER GEOMETRIESITUATIONEN..........................................................79 5.5 AUSWIRKUNG ABSOLUTER IONOSPHÄREN-PARAMETER .........................................................................80 5.6 AUSWIRKUNG VON BEOBACHTUNGSRAUSCHEN .....................................................................................84 5.6.1 Lagefunktionskoeffizienten.............................................................................................................86 5.6.2 Höhenfunktionskoeffizienten ..........................................................................................................86 5.6.3 Hardwarebias ................................................................................................................................87 5.7 ANZAHL UND BAHNEN DER LEO-SATELLITEN .......................................................................................88 5.7.1 Unterschiedliche Orbittypen ..........................................................................................................89 5.7.2 Verwendung mehrerer LEOs .........................................................................................................92 5.8 SINNVOLLE DATENRATE.........................................................................................................................95 5.8.1 LEO-Datenintervall .......................................................................................................................96 5.8.2 Bodenstationsintervall ...................................................................................................................98 5.9 KALMAN-FILTER ....................................................................................................................................99 5.9.1 Beobachtungs- und Systemrauschen ..............................................................................................99 5.9.2 Anzahl der eingehenden Beobachtungen .....................................................................................101 5.9.3 Auswirkung mangelnder Modellauflösung...................................................................................102 6 ERGEBNISSE DER IONOSPHÄRENMODELLIERUNG ..................................................................104 6.1 AUSGLEICHUNGSANSATZ......................................................................................................................104 6.1.1 Wahl der Eingangsdaten..............................................................................................................104 6.1.2 Optimierung der Programmparameter ........................................................................................106 6.1.3 Validation der Ergebnisse............................................................................................................108 6.1.4 Zeitliche Variationen der Parameter im sonnenfixierten System.................................................112 6.2 KALMAN-FILTER-ANSATZ ....................................................................................................................113 6.2.1 Zeitliche Variation der Modellkoeffizienten.................................................................................114 6.2.2 Vergleich mit Ausgleichungsansatz..............................................................................................117 6.2.3 Validation der Ergebnisse............................................................................................................118 6.3 ANWENDUNGSBEISPIELE ......................................................................................................................121 6.3.1 Einfrequenzkorrektur von GPS-Messungen auf Bodenstationen .................................................122 6.3.2 LEO Ionosphärenkorrektur..........................................................................................................124 6.3.3 Kalibrierung von Einfrequenz-Altimeter-Messungen ..................................................................124 6.3.4 Atmosphärische Grundlagenforschung........................................................................................124 5 7 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK............................................................................................125 LITERATURVERZEICHNIS..........................................................................................................................128 ABBILDUNGSVERZEICHNIS .......................................................................................................................132 TABELLENVERZEICHNIS............................................................................................................................134 ANHANG............................................................................................................................................................135 A.1 FORMELN..............................................................................................................................................135 A.2 VERWENDETE IGS-KOORDINATEN (ITRF97), KARTESISCH .................................................................138 A.3 PROGRAMMABLAUFSCHEMA ................................................................................................................139 6 Abkürzungsverzeichnis 7 ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS AS Anti Spoofing BPSK Binary Phase Shift Keyed CHAMP CHAllenging Minisatellite Payload CODE Center for Orbit Determination in Europe (Bern, Schweiz) COSMIC Constellations Observing System for Meteorology, Ionosphere and Climate COSPAR Committee on Space Research DCB Differential Code Bias DMI Danmarks Meteorologiske Institut (Kopenhagen, Dänemark) DOP Dilusion of Precision DOY Day of Year DVW Deutscher Verein für Vermessungswesen EISCAT European Incoherent SCATter ESOC European Space Operations Center (Darmstadt, Deutschland) GFZ GeoForschungsZentrum (Potsdam, Deutschland) GLONASS Global’naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema GNSS Global Navigation Satellite System GPS Global Positioning System ICD Interface Control Document IGS International GPS Service for Geodynamics IONEX Ionosphere Map Exchange Format IRI International Reference Ionosphere ITRF International Terrestrial Reference Frame JPL Jet Propulsion Laboratory (Pasadena, USA) LEO Low Earth Orbiter NGDC National Geophysical Data Center NRCan National Resources Canada (Ottawa, Kanada) PRN Pseudo Random Noise SA Selective Availability TEC Total Electron Content TECU Total Electron Content Unit TID Travelling Ionospheric Disturbance UCAR University Corporation for Atmospheric Research UPC Polytechnical University of Catalonia (Barcelona, Spanien) URSI International Union of Radio Science VTEC Vertical Total Electron Content Abstract 8 ABSTRACT This thesis deals with “The Utilisation of the GPS for modelling the ionosphere in three dimensions“. It describes a new algorithm to model the distribution of free electrons with latitude, longitude and height based on GPS measurements on two frequencies. Motivation The ionosphere is one part of the earth atmosphere situated between about 60 and 1000 km above the earth surface. In this region exist enough free electrons to affect electromagnetic signals passing through the upper part of the atmosphere. These small charged particles - primarily produced by solar radiation - are able to influence our daily lives. For example, they evoke polar lights and could cause problems with satellites and electricity supply. For Geodesy and other technical disciplines the most important effect is the one the electrons provoke on radio signals. They change their propagation properties, so that signals with frequencies up to 30 MHz can travel over distances of more than 20000 kilometres under optimal circumstances. Without the ionosphere this is only possible with the aid of satellite transmission. People use this effect in communication and navigation. The radio navigation systems LORAN-C and OMEGA (service suspended) are based on this principle. For Satellite based navigation systems (such as the Global Positioning System GPS), working with frequencies above 30 MHz, the ionospheric influence is normally seen as error source for precise positioning. Though the signals penetrate the region nearly without attenuation, they are refracted and the measured distance is incorrect. In addition to this absolute change, which could be well controlled by the use of measurements on two frequencies, problems due to small and rapid variations of the electron content can occur and lead to signal fading or loss and to ambiguity solution errors. For a long time using the ionospheric effect on the GPS measurements to extract information on the distribution of free electrons and to improve our knowledge about the structure and the processes in the earth’s atmosphere has been disregarded. In the past only small attention is paid to this application by theory and practice of the GPS world. Recently a number of investigations have taken place which deal with the question: if and to what extent the GPS measurements could be used for probing the earth’s atmosphere. In addition to methods that to determine the parameters of the neutral atmosphere (temperature, density, vapour content,...), some institutes concentrate on the investigation of the electron content of the ionosphere. The station network of the IGS (International GPS Service for Geodynamic) offers best conditions for global modelling, but the only use of ground based measurements demands a limitation to two dimensional models. Without further signals to improve the geometry the determination of vertical profiles of the electron content is not possible. For this reason a so-called single-layer model is used. It works with the assumption that all free electrons are contained in one thin layer at a constant height. Such 2D models have been computed since the beginning of 1998 by a few institutions and provided by the IGS. For the first time, the launch of the GPS/MET satellite in 1995 offers an enhanced geometry and permits the modelling of the third dimension and to get 3D models. The data collected on board of this Low Earth Orbiter (LEO) crosses the ionosphere on nearly horizontal paths and could be used to compute vertical distribution profiles. Different modelling methods are used: some investigations deal with the possibilities given by the so- called radio occultation. This technique analyses the phase shift of signals, which were collected on board of LEOs after passing the ionosphere. The longer the way through the free electrons the stronger their influence. While the GPS satellite vanish slowly behind the earth, the ray traverses deeper and deeper layers and provides data which allow conclusions about their composition. With Abstract 9 appropriate LEO orbits, up to 500 global distributed profiles could be measured within one day and merged in a model. Another possibility for 3D modelling is the combination of the occultations with global distributed ground based measurements in a tomographic approach. For this purpose the ionosphere is divided into cells of constant size and constant electron content, which could be estimated. This method works without a theoretical model and for a good spatial resolution many unknowns have to be determined. This could lead to a potential restriction of the approach. Model approach This document presents and investigates a further approach to describe the electron distribution of the earth’s ionosphere in three dimensions. The model is build by a combination of ground based and space based measurements. In contrast to the tomographic models, theoretical assumptions about the vertical structure of the ionosphere are included. Due to this additional information the number of unknowns, the necessary computing time and memory could be reduced. The approach models the horizontal electron distribution by a spherical harmonic function, which is combined with a Chapman function for the height variation. To get optimal results the estimation of the unknown coefficients is done by a least square adjustment. In addition to the distribution of the free electrons, so-called hardware biases (interfrequency biases) must be considered. These are differences produced by different travel times of the L1 and L2 signals (depending on their frequency) within the satellites and the receivers. They show a nearly time independent behaviour, so that an estimation together with the ionospheric parameters is possible. The obtained global models seem to be qualified for providing relevant knowledge about the distribution of free electrons in the earth’s atmosphere. Together with external information (e.g. about the activity of the sun or the geomagnetism) this could be used to draw conclusions about the physical processes in this region. Another important application of the 3D models are the correction of GPS measurements on one frequency. Today this is done mostly with the Broadcast Klobuchar model coefficients, but in many cases they do not fulfil the demands. The 3D models are a good alternative for post processing applications. If the ionospheric parameters could be predicted, real time applications would be possible as well. Structure of the thesis The thesis is structured as follows: At the beginning some theoretical basics are presented, which are needed for comprehension [chapter 2]. The ionosphere, its formation and its influence to electro- magnetic waves are described with a restriction to signals with frequencies above 30 MHz (e.g. the GPS signals). Furthermore some common models for the description of distribution of the free electrons in the ionosphere are presented (horizontal and vertical). The chapter 3 deals with the data which are available for the three dimensional modelling. The section shows how the measurements on the two frequencies have to be combined to get a signal free from disturbing influences like clock errors or tropospheric effects. Moreover the equation of observation needed for the least square adjustment is developed. The existing GPS observations were analysed regarding their accuracy, their spatial distribution and their qualification for three dimensional ionospheric modelling. A detailed description of the GPS is not given. Instead of this, reference is made to the common literature. Chapter 4 describes the main part of the work: the model approach. In addition to the parameterisation itself the underlying co-ordinate system and the chosen integration method is presented. First an algorithm based on standard least square adjustment is introduced and in a second part an extension is made to model the remaining time variations. This is done by a sequential adjustment in form of a static Kalman filter approach. The qualification of the presented theoretical approach in interaction with the available observations is tested by numerical simulations [chapter 5]. With the aid of these calculations the fixing of necessary Abstract 10 model parameter is done. After this [chapter 6] some real models are processed and validated by a comparison with other sources of information. The thesis ends with a summary of the results and gives an outlook on open questions, unsolved problems and further things to accomplish in order to improve our knowledge about the earth’s ionosphere. Summary of the results The model presented in this thesis is based on phase smoothed GPS code measurements (called levelling data) on two frequencies. The GPS signals have the best properties for modelling the global distribution of free electrons of the earth’s atmosphere. These are: • global data coverage • continuous data acquisition • high temporal resolution • near real time availability Most of the other measurement techniques do not show these properties and consequently cannot compete with the utilisation of GPS (as a stand-alone system). Numerical simulations – presented in chapter 5 of this thesis – show the theoretical qualification of the observations and of the algorithm to model the electron density in three dimensions. The accuracy of the model depends on the following factors: • quality (accuracy) of the observations used (measurement type, noise) • quantity of the observations used (measurement rate) • geometrical distribution of the observations (number and distribution of the receivers, orbit parameter of the LEOs) • resolution of the models (spatial and temporal) The needed computing time depends on the iteration steps which are necessary. These change with • absolute electron content • distribution of the free electrons • start values for the coefficients of the height-function Under ideal conditions (enough observations, globally distributed) and without model resolution errors and time variations of the model parameters (in the sun-fixed system) accuracies of one centimetre (excluding measurement errors) in the modelled signal delays dion could be reached. That leads to accuracies of about 0.5 km for the Chapman parameters, errors smaller than 0.2 TECU in VTEC (2%) and Hardwarebias better than 0.05 ns. For that purpose the use of carrier phase or levelling data (smoothed code) is necessary. In unfavourable cases (particularly in the absence of enough well distributed LEO measurements) the spatial resolution has to be reduced. In this case remaining systematic errors (a few meters in dion) are possible, which could be higher than the calculated standard deviation. To avoid such effects, at least two LEO satellites and 50 globally distributed ground stations should be available. Furthermore a good co-ordination between the processed data and the degree of develop- ment of the model is necessary. If an insufficient number of observation is used, a lower spatial and/or temporal resolution has to be accepted. The global approach only allows the modelling of long periodic effects. Short periodic effects like scintillations or travelling ionospheric disturbances (TIDs) cannot be considered. The influence of such effects either on the observation signals or on the model accuracy is not investigated. Abstract 11 Models processed with real data cannot fully confirm the simulation results, because only one single LEO is available. With this insufficient geometry an accurate and certain vertical model calculation is not possible. Due to that, at the moment the model accuracy is restricted to 0.2 m for the ground station observations (dion) which is principally caused by the poor resolution of the models. In some cases errors up to a few meters could occur. The estimation of height function coefficients is restricted to constant Chapman parameters over the whole sphere and could not improve theoretical models and basics of the atmospheric research. Outlook Because of the lack of sufficient space based measurements and the dependent model resolution errors at the moment the extension of the 2D models to the third dimension has almost no advantage. For geodetic applications (correction of GPS measurements on one frequency) small improvements in accuracy could be reached only in equatorial areas with high electron content. But if new LEOs with occultation receivers are launched in the near future, the 3D approach can lead to a significant gain in information. Then further enhancements of the approach can be imagined. First of all, vertical modelling offers numerous possibilities. The following complements could be useful: • increase of the resolution of the horizontal variation possibilities of the Chapman parameters • superposition of several Chapman layers • involvement of the plasmaspheric electron content • deterministic modelling of the temporal variations of the coefficients in the Kalman filter approach • utilisation of further satellite navigation signals (e.g. GLONASS or Galileo) A combination of the GPS measurements with other (independent) data sources is also possible. For example, one can additionally use two frequency altimeter measurements (TOPEX/POSEIDON), data from ionosondes or incoherent scatter radar (e.g. EISCAT). In the coming years (probably in 2005), the COSMIC system – consisting of six LEO satellites – will be developed and put in orbit. When the data of this system is available, the tasks mentioned above could be tackled. Then we will be able to improve our knowledge of the distribution of the free electrons in the earth’s atmosphere. 12 1 Einleitung 13 1 EINLEITUNG Nach der klassischen Definition von F.R. Helmert (1880) ist die Geodäsie die “Wissenschaft von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche“ [TORGE, W. (1975)]. Heutzutage macht eine Be- grenzung auf die Vermessung der Oberfläche unseres Planeten allerdings keinen Sinn mehr. Der Mensch tastet sich mehr und mehr in die Gebiete der Atmosphäre und des Weltraums vor und zur “Vermessung“ dieser Bereiche können Geodäten (in Zusammenarbeit mit anderen Wissenschaften) ebenfalls ihren Beitrag leisten. Die vorliegende Arbeit möchte ihren Teil dazu tun und beschäftigt sich mit der Ionosphäre, einer Schicht der Erdatmosphäre. Dieser Bereich, dessen Name 1926 von Watson-Watt geprägt wurde und von dessen Existenz man seit 1901 Kenntnis hat [HARGREAVES, J.K. (1992)], ist genähert kugelschalenförmig aufgebaut, liegt etwa zwischen 60 und 1000 Kilometer Höhe und zeichnet sich durch die dort vorherrschende Existenz freier Elektronen und Ionen aus, welche vor allem durch die intensive Sonneneinstrahlung produziert werden. Die genauen, diesem Vorgang zugrundeliegenden physikalischen und chemischen Zusammenhänge sowie die räumliche und zeit- liche Verteilung der Elektronen und die stattfindenden Transportprozesse sind aufgrund ihrer hohen Komplexität bis heute nicht vollständig verstanden. Eine Verbesserung und Erweiterung unseres Wis- sens über diesen Teil unseres Planeten ist allerdings unbedingt erstrebenswert, denn er beeinflusst unser Leben in nicht unerheblicher Weise. Einen für die Geodäsie und andere technische Disziplinen besonders wichtigen Einfluss üben die freien Elektronen der Ionosphäre auf Radiosignale aus. Beispielsweise verändern sie deren Aus- breitungseigenschaften derart, dass sich unter optimalen Bedingungen direkte Funkverbindungen über Distanzen von bis zu 20000 Kilometer erreichen lassen [MANSFELD, W. (1998)], was ohne die Ionosphäre lediglich unter Zuhilfenahme von Satellitenübertragung möglich wäre. Diese besonderen Ausbreitungsbedingungen für Signale mit Frequenzen kleiner als 30 MHz macht man sich für diverse Anwendungen in Kommunikation und Navigation zunutze. Als Beispiele seien hier die Radionaviga- tionssysteme LORAN-C und (das nicht mehr aktive) OMEGA genannt. Für die Nutzung satellitengestützter Navigationssysteme (wie beispielsweise das Global Positioning System GPS), welche mit Frequenzen größer als 30 MHz arbeiten, wird der Einfluss der Ionosphäre auf die Radiosignale gemeinhin als Fehlerquelle für die genaue Positionierung auf der Erde be- trachtet. Die Wellen durchdringen die Ionosphäre zwar nahezu ungedämpft, allerdings kommt es zu Refraktionseffekten, die zu Verfälschungen der Streckenmessung führen. Neben diesen absoluten Streckenänderungen, die mit Hilfe von Messungen auf zwei Frequenzen recht gut beherrschbar sind, kann es zu Problemen bei der Mehrdeutigkeitsbestimmung sowie zu Signalverfälschungen und ~abrissen durch kleinräumige hochfrequente Änderungen im Elektronendichtegehalt kommen. Heutzutage noch immer relativ unbekannt ist, dass man den ionosphärischen Refraktionseffekt auch als nützliche Informationsquelle ansehen kann, um unser Wissen über den Aufbau und damit die Zu- sammenhänge in der Atmosphäre zu verbessern. Diese Anwendung fand bis vor wenigen Jahren lediglich unzureichende Berücksichtigung in Theorie und Praxis der GPS-Welt. Erst in neuerer Zeit erfolgten (und erfolgen) umfassende Untersuchungen, inwieweit die Messungen des GPS für die Atmosphärensondierung nutzbar sind. Neben Verfahren zur Bestimmung der Para- meter der unteren Atmosphärenschichten (Temperatur, Dichte, Wasserdampfgehalt,...) konzentrieren sich einige Forschergruppen auch auf die Untersuchung der Elektronendichte der Ionosphäre. Das Stationsnetz des IGS (International GPS Service for Geodynamic) bietet beste Voraussetzungen für eine globale Modellierung. Allerdings erfordert die ausschließlichen Verwendung von Bodenstationen eine Beschränkung auf zweidimensionale Modellierungen. Ohne zusätzliche Signale zur Verbesser- ung der Geometrie ist eine Auflösung der vertikalen Elektronendichteverteilung nicht möglich. Aus diesem Grund wird bisher in der Regel mit der Annahme gearbeitet, dass alle freien Elektronen in 1 Einleitung 14 einer einzigen dünnen Schicht in konstanter Höhen komprimiert sind. Solche 2D-Modelle werden seit Anfang 1998 von mehreren Institutionen auf operationeller Basis berechnet und über den IGS bereit gestellt. Der Start des GPS/MET Satelliten 1995 eröffnet erstmals die Chance durch eine erweiterte Geometrie auch die dritte Dimension einzubeziehen und so zu 3D-Modellen zu gelangen. Mit Hilfe der auf den niedrig fliegenden Satelliten (Low Earth Orbiter, LEO) registrierten GPS-Messungen, welche die Erd- ionosphäre zum Teil nahezu horizontal durchlaufen, ist die Bestimmung vertikaler Elektronendichte- profile möglich. Mittlerweile existieren noch andere für diese Art der Anwendung geeignete LEOs und zahlreiche weitere befinden sich in Planung. Sind diese Projekte realisiert, bieten sie die optimalen Voraussetzungen auch für eine dreidimensionale Modellierung der Elektronendichteverteilung. Dabei sind verschiedene Vorgehensweisen denkbar. Untersuchungen beschäftigen sich unter anderem mit Perspektiven, welche die sogenannte Radiookkultation eröffnet. Dies Verfahren arbeitet mit Signalen, die auf einem niedrig fliegenden Satelliten nach Durchlaufen der Erdionosphäre empfan- gen und auf ihre Phasenverschiebung hin ausgewertet werden. Je länger der Weg durch die Schicht mit den freien Elektronen ist, desto mehr wird das Signal durch diese beeinflusst. Während der GPS- Satellit also langsam hinter der Erde versinkt, durchdringt das Signal immer tieferer Schichten der Erdatmosphäre und liefert dabei Daten, die Rückschlüsse über deren Zusammensetzung er- möglichen. Wird die Bahn des GPS-Empfängers entsprechend gewählt, ergeben sich im Laufe eines Tages etwa 500 global über die Erde verteilte Profilmessungen der Elektronendichte, die in einem Modell zusammengeführt werden können. Eine weitere Möglichkeit der dreidimensionalen Modellierung liegt in der Kombination der Okkulta- tionsmessungen mit global verteilten bodengebundenen GPS-Beobachtungen mit Hilfe tomogra- phischer Methoden. Dazu wird die Ionosphäre in einzelne Zellen mit konstantem Elektronengehalt zerlegt (“Pixel-Methode“, [LEITINGER, R. (1999)]) welcher sich dann aus den Messungen schätzen lässt. Da dieser Ansatz ohne ein theoretisches Modell auskommt, sind für eine gute räumliche Auf- lösung sehr viele Unbekannte zu bestimmen, was den Einsatz der Methode unter Umständen ein- schränken kann. In dieser Arbeit soll ein weiterer, bisher nicht verfolgter Ansatz vorgestellt und untersucht werden, mit dem sich die Elektronendichteverteilung in der Erdionosphäre dreidimensional beschreiben lässt. Auch hier kombiniert man IGS-Beobachtungen mit LEO-Beobachtungen, um eine Modellierung in drei Dimensionen vornehmen zu können. Im Gegensatz zu den Tomographieansätzen werden allerdings zusätzlich noch theoretische Modelle über die vertikale und horizontale Elektronendichteverteilung eingesetzt. Durch diese Zusatzinformationen reduziert sich die Anzahl der Unbekannten und damit sowohl die Rechenzeit als auch der Speicherplatzbedarf. Der vorliegende Ansatz modelliert die horizontale Elektronenverteilung durch eine Kugelfunktions- entwicklung, die mit einer Chapman-Funktion für die Vertikalprofile verknüpft wird. Um zu optimalen Ergebnissen zu gelangen, erfolgt die Schätzung der unbekannten Funktionskoeffizienten im Rahmen einer Ausgleichung nach kleinsten Quadraten. Zusätzlich zu den Koeffizienten dieser beiden "Ionosphärenfunktionen" bedarf es der Berücksichtigung der sogenannten Hardwarebiasdifferenzen. Darunter versteht man die Laufzeitunterschiede der Trägersignale unterschiedlicher Wellenlängen in den Hardwareteilen der Satelliten und Empfänger. Da sie ein nahezu zeitkonstantes Verhalten auf- weisen, steht einer Mitschätzung im Rahmen der Ionosphärenmodellierung nichts entgegen. Die entstehenden globalen Ionosphärenmodelle erscheinen geeignet, wichtige Beiträge über die Verteilung der freien Elektronen in unserer Atmosphäre zu liefern. Im Zusammenhang mit externen Informationen (beispielsweise über die Aktivität der Sonne oder des Geomagnetfeldes) können daraus eventuell Rückschlüsse über die physikalischen Vorgänge in dieser Region, deren Abläufe und Ursachen gewonnen werden. Eine weitere wichtige Anwendung der Modelle liegt in der Korrektur von Einfrequenz-GPS-Messungen. Dazu wird bisher zumeist das über die GPS-Message zu beziehende Klobucharmodell verwendet, dessen Genauigkeit allerdings für viele Anforderungen nicht ausreicht. 1 Einleitung 15 Für Postprocessing-Anwendungen bieten die hier berechneten Modelle eine gute Alternative. Durch eine Prädiktion der Ionosphärenparameter ermöglichen sich sogar Echtzeitanwendungen. Im Einzelnen gliedert sich die vorliegende Arbeit folgendermaßen: Zunächst werden die für das Verständnis notwendigen theoretischen Grundlage vorgestellt [Kapitel 2]. Dabei erfolgt eine Kon- zentration auf die physikalischen Gegebenheiten in der Ionosphäre und die daraus resultierenden Einflüsse auf die elektromagnetische Wellen mit Frequenzen oberhalb von etwa 30 MHz, also beispielsweise auf Signale des GPS. Der Abschnitt präsentiert eine Zusammenstellung der gängigen Modellansätze zur Beschreibung der Ionosphäre (sowohl horizontal als auch vertikal), welche die Grundlage für die hier angewendete dreidimensionale Modellierung darstellen oder zu ihrer Validie- rung notwendig sind. Das Kapitel 3 beschäftigt sich mit den Daten, die zur Bestimmung der Elektronendichteverteilung zur Verfügung stehen. Es wird erläutert, wie die beiden einzelnen Messungen der GPS-Trägersignale zu kombinieren sind, um ungewollte Einflüsse wie Uhrfehler oder Troposphäreneffekte zu eliminieren, und es erfolgt die Aufstellung der für eine Ausgleichung notwendigen Beobachtungsgleichungen. Die vorhandenen GPS-Beobachtungsdaten werden auf Genauigkeit und räumliche Verteilung analysiert und ihre Eignung bzw. Voraussetzung bezüglich der dreidimensionalen Ionosphärenmodellierung wird überprüft. Eine ausführliche Beschreibung des GPS erfolgt an dieser Stelle nicht. Dazu sei auf grund- legenden Literaturwerke verwiesen. Der Abschnitt 4 befasst sich mit dem Kernstück der Arbeit, dem Modellansatz. Neben der Para- metrisierung selbst erläutert der Abschnitt auch das zugrundeliegende Koordinatensystem und die gewählte Integrationsmethode. Zusätzlich zu einem Standard-Ausgleichungsalgorithmus erfolgt die Vorstellung einer sequentiellen Ausgleichung in Form eines statischen Kalman-Filters zur Berück- sichtigung der zeitlichen Restvariationen. Die Eignung dieses theoretische Modellansatzes in Zu- sammenhang mit den zur Verfügung stehenden Beobachtungen lässt sich im folgenden Kapitel durch Simulationsberechnungen überprüfen [Kapitel 5]. An dieser Stellen erfolgen zudem Untersuchungen über die Auswirkungen verschiedener Datenmengen und unterschiedlicher LEO Orbits. Aber auch eventuelle Effekte der Ionosphärenaktivität selbst werden analysiert. Der Schwerpunkt dieses Kapitels liegt in der erreichbaren Genauigkeit der Ionosphärenmodelle in Abhängigkeit von der Unsicherheit der einfließenden Beobachtungen und der Modellauflösung. Im Anschluss daran lassen sich im Kapitel 6 einige reale Modelle berechnen und durch den Vergleich mit anderen Informationsquellen validieren. Die Arbeit schließt mit einer Zusammenfassung der erzielten Ergebnisse und gibt einen Ausblick über offene Fragen, ungelöste Probleme und weitere sinnvolle und notwendige Schritte zur Verbesserung unserer Kenntnis über die terrestrische Ionosphäre. 2 Theoretische Grundlagen 16 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2.1 Die Ionosphäre Unsere Erdatmosphäre ist kein homogenes Gebilde sondern umgibt unseren Planeten in unter- schiedlichen Schichten, die nahezu kugelschalenförmig aufgebaut sind und sich durch Zusammen- setzung und Eigenschaften zum Teil stark voneinander unterscheiden. Neben der Temperatur und der Gaszusammensetzung stellt der Ionisationsgrad eine Möglichkeit der Unterteilung dar. Durch ihn lässt sich auch die Ionosphäre definieren. So wird derjenige Teil der Erdatmosphäre genannt, in dem genug freie Elektronen existieren, um die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen nachhaltig zu beein- flussen [LANGLEY, R.B. (1998)]. Die Höhengrenzen dieser Region sind somit nicht fest definiert, sondern allenfalls grobe Näherungen, die zeitlichen und räumlichen Änderungen unterworfen sind. Im Allgemeinen geht man von einer Erstreckung von ca. 60 Kilometern bis in eine Höhe von mehr als 1000 Kilometern aus. Unterhalb der Ionosphäre schließt sich die neutrale Atmosphäre an, auch oft als Troposphäre bezeichnet1. Nach oben hin geht die Ionosphäre in die Plasmasphäre (auch Protono- sphäre oder Protosphäre genannt) über. Hier kommen ebenfalls noch freie Elektronen vor, deren Zahl allerdings mit steigender Höhe schnell gegen Null fällt. Über den Polarregionen existiert diese Schicht gar nicht [WANNINGER, L. (1994)]. Höhe Temperatur Ionisation Gaszusammen- setzung über 60000 km Interplanetarischer Raum über 1000 km etwa 80 km etwa 50 km etwa 10 km Thermopause Thermosphäre Mesopause Mesosphäre Stratopause Statosphäre Troposphäre Protosphäre (Exosphäre) Ionosphäre Neutrosphäre Heterosphäre Homosphäre 0 km Erdboden Abb. 2.1: Aufbau der Erdatmosphäre [nach BAUER, M. (1994)] Hauptverursacher der Ionisierung der Atmosphäre ist die Sonne. Deren intensive Strahlung wird auf ihrem Weg durch die Ionosphäre teilweise von den dort vorhandenen neutralen Atomen und Molekülen absorbiert. Dabei entstehen freie Elektronen und Ionen. Mit wachsender Annäherung an den Erdboden steigt die Dichte der vorhandenen Moleküle und damit die Wahrscheinlichkeit der Absorption. Gleichzeitig vergrößert sich der bereits absorbierte Anteil der Strahlung und ihre Intensität nimmt stetig ab. Als Folge bildet sich im Höhenverlauf der Elektronenproduktion ein deutliches Maximum aus. 1 ungenaue Bezeichnung, weil in eine andere Unterteilungscharakteristik übergegangen wird; unterschiedliche Obergrenze: Neutrosphäre bis in ca. 60 km Höhe, Troposphäre bis etwa 10 km 2 Theoretische Grundlagen 17 Neben der Sonneneinstrahlung gibt es noch weitere Auslöser für die Entstehung freier Elektronen. Geladene Partikel dringen in die Atmosphäre ein und bewirken dort die Ionisierung des Gases. Ursache dieser Partikelstrahlung sind vor allem Kosmische Strahlung und Sonnenereignisse in Verbindung mit geomagnetischen Stürmen. Verglichen mit der Photonenstrahlung ist ihr Einfluss aber klein [HÅKEGÅRD, O.P. (1995)]. Die produzierten Elektronen müssen verständlicherweise auch wieder gebunden werden, sonst wäre die Atmosphäre bald vollständig ionisiert. Es herrscht ein Gleichgewicht zwischen dem Elektronen- abbau und der Elektronenproduktion. Im unteren Teil der Ionosphäre vollzieht sich der Abbau durch Rekombination: die freien Elektronen vereinigen sich wieder mit den positiven Ionen. Die Ionisation steigt mit zunehmender Höhe, weil sich die Strahlungsintensität erhöht. In höheren Regionen wird der Elektronenabbau von Transportprozessen (Diffusion) dominiert [PRÖLSS, G.W. (2001)] und deshalb nimmt dort die Elektronenzahl mit steigender Höhe ab. Die Höhe der maximalen Elektronendichte ergibt sich dabei bei etwa 300 km. Wohlgemerkt findet dort nicht die maximale Produktion statt, vielmehr ist es die Höhe, in der sich die Art des dominierenden Elektronenabbaus ändert [HÅKEGÅRD, O.P. (1995)]. Abb. 2.2: typische Elektronendichteprofile für mittlere Breiten [nach HÅKEGÅRD, O.P. (1995)] Es ist üblich die Ionosphäre in unterschiedliche Höhenschichten zu unterteilen. Benannt werden diese Schichten mit Buchstaben und gegebenenfalls zusätzlich noch mit Zahlen. Tab. 2.1: Charakteristika der ionosphärischen Schichten, nach Seeber, G. (1989) Schicht D E F1 F2 Höhenbereich [km] 60...90 85...140 140...200 200...1000 Elektronendichte [el/m³] tags 10²...104 105 5·105 106 nachts - 2·103 103 3·105 2 Theoretische Grundlagen 18 Sie unterscheiden sich durch die jeweilig vorherrschenden physikalischen Eigenschaften, ihre mittlere Elektronendichte und durch ihr zeitliches Verhalten. So verschwindet beispielsweise die D-Region über Nacht nahezu vollständig. Die F2-Schicht kann aufgrund ihrer Dominanz als die Hauptschicht der Ionosphäre angesehen werden. Hier findet man zu jeder Zeit die meisten freien Elektronen. Näheres zur Schichtunterteilung und -definition ist zum Beispiel DAVIES, K. (1990) zu entnehmen. 2.1.1 Zeitliche und räumliche Variationen Da sich weder die Sonneneinstrahlung (die Hauptursache für die Ionisierung der Atmosphäre) noch die Gasdichte zeitlich konstant verhält, variiert auch die Elektronendichte mit der Zeit. Dabei sind vor allem tägliche, jährliche und elfjährliche Perioden zu erkennen. Wie bereits aus der Abb. 2.2 hervorgeht, gibt es einen deutlichen Unterschied zwischen Tag- und Nachtionosphäre: Nachts, wenn keine Sonneneinstrahlung vorhanden ist, sinkt die Elektronen- produktion erheblich und bestimmte Ionosphärenschichten verschwinden völlig - bis mit dem Sonnenaufgang die Elektronendichte wieder langsam ansteigt. Das tageszeitliche Maximum der Ionisierung tritt in mittleren Breiten ca. um 14 Uhr Ortszeit auf und liegt durchschnittlich vier- bis fünf- fach höher als die Nachtwerte. Dieser Vorgang wiederholt sich mit einer Periode von 24 Stunden. Allerdings sind die Variationen zwischen den einzelnen Tagesmaxima sehr hoch. WANNINGER, L. (1994) gibt für die Abweichungen vom Monatsmittel eine Standardabweichung von etwa 20% an. Durch Transportprozesse innerhalb der Ionosphäre kann es neben dem Hauptmaximum am Mittag noch ein abendliches Nebenmaximum geben. Dieser Effekt tritt ausschließlich im Bereich in geo- magnetischen Breiten von etwa ± 20° auf (äquatoriale Anomalien). Die tageszeitlichen Variationen werden überlagert von einem Jahresgang, der aus der Bewegung der Erde um die Sonne resultiert. In diesem Zusammenhang treten einige Anomalien auf, die durch theoretische Überlegungen nur schwer zu erklären sind. Beispielsweise erreicht die Elektronendichte in mittleren Breiten tagsüber im Winter höhere Werte als im Sommer. Dieser Sachverhalt wird saisonale Anomalie genannt. Nachts bleibt der sommerliche Elektronengehalt dagegen in der Regel über dem winterlichen. Außerdem liegen die Elektronendichtewerte (weltweites Mittel) im Dezember etwa 20% höher als im Juni, obwohl durch die sich ändernde Distanz Erde-Sonne lediglich 6% zu erwarten wären (jährliche Anomalie). Zusätzlich sind an den Äquinoktien unnormal hohe Elektronen- dichten zu verzeichnen (halbjährliche Anomalie) [nach HARGREAVES, J.K. (1992)]. Abb. 2.3: Sonnenaktivitätszyklus [Datengrundlage: NGDC] 2 Theoretische Grundlagen 19 Eine starke Korrelation ist auch zur Sonnenaktivität gegeben. Diese löst langperiodische Variationen von ca. 11 Jahren in der Elektronendichte aus. Messbar wird die Aktivität durch die Anzahl der Sonnenflecken, wie sie in der Abb. 2.3 dargestellt ist. Man erkennt deutlich das aktuelle (teilweise noch prädizierte) Maximum sowie die vorherigen vier. Ebenfalls deutlich erkennbar ist die unter- schiedliche Ausprägung der Aktivität. In Zeiten eines Sonnenfleckenmaximums erhöht sich auch der Elektronengehalt der Atmosphäre. Laut [WANNINGER, L. (1994)] kann er etwa den vierfachen Wert gegenüber einem Jahr mit niedriger Sonnenaktivität erreichen. Aufgrund der tageszeitlichen Änderungen des Elektronengehaltes ergibt sich eine Variation mit der geographischen Länge. Zu einem festen Zeitpunkt repräsentiert jeder Längengrad einen anderen Sonneneinstrahlwinkel und damit eine andere lokale Zeit, was sich direkt auf die Elektronendichte auswirkt. Daneben ist auch eine eindeutige Breitenabhängigkeit des Elektronengehaltes zu entdecken. Er ergibt sich durch die Neigung der Äquatorebene in Bezug auf die Ekliptik (Ebene der scheinbaren Sonnenbahn) und die dadurch unterschiedliche Sonnendeklination und -einstrahlung. Für die räumliche Verteilung der ionisierten Teilchen spielen außer den photochemischen Prozessen der Produktion durch die Sonneneinstrahlung außerdem Transportprozesse eine wichtige Rolle. Die freien Elektronen breiten sich entlang der Feldlinien des Erdmagnetfeldes aus und bewirken so eine horizontale Verteilung in Abhängigkeit vom Geomagnetfeld. Aufgrund dieser Abhängigkeit lässt sich die Ionosphäre in drei Hauptregionen einteilen, die in der Abb. 2.4 dargestellt sind. Ausdehnung (geomagn. Breite) Polarregionen: ±(65° - 90°) mittlere Breiten: ±(30° - 65°) Äquatorregion: ±(0° - 30°) Abb. 2.4: Hauptregionen der Ionosphäre [aus WANNINGER, L. (1994)] Diese Unterteilung hat neben dem absoluten Elektronengehalt auch die Häufigkeit ionosphärischer Störungen zur Grundlage. Dabei handelt es sich um kurz- und mittelperiodische Änderungen in der Elektronendichte. Sie treten hauptsächlich in den Äquatorialen Anomalien1 und in den Aurora Ovalen2 auf. Da sie zu hochfrequent sind, um von dem in dieser Arbeit entwickelten Modell erfasst zu werden, erfolgt keine Berücksichtigung solcher Effekte. 1 ±(10-20°) geomagnetischer Breite 2 ±(65-70°) geomagnetischer Breite 2 Theoretische Grundlagen 20 2.2 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in der Ionosphäre In diesem Kapitel soll ein Überblick über die Auswirkungen gegeben werden, welche die Ionosphäre auf elektromagnetische Signale ausübt. Der Einfluss ist hauptsächlich frequenzabhängig. Signale mit Frequenzen von unter 30 MHz werden von der Ionosphäre reflektiert (Skywave) oder bewegen sich entlang eines Bogens entlang der Erdoberfläche (Groundwave), höhere Frequenzen passieren als transionosphärisches Signal zwar die freien Elektronen, erfahren während der Ausbreitung aber Ver- änderungen. Zu dieser Gruppe gehören auch die Signale des Global Positioning System (GPS) [vgl. Kapitel 3]. Die Ausbreitung der transionosphärischen Signale wird durch die Interaktion der Mikrowellen mit den freien Elektronen1 in mehrfacher Weise beeinflusst: einerseits erfolgt eine Änderung der Ausbreitungs- geschwindigkeit und zum anderen der Richtung der Ausbreitung. Zusätzlich kommt es zur Absorption eines (bei GPS Frequenzen extrem geringen) Teils des Signals. Anderen physikalische Eigenschaften der Ionosphäre, z.B. ihre Temperatur oder die Dichteverteilung der Moleküle, spielen keine Rolle für die Ausbreitung in dieser Ionosphärenschicht [WANNINGER, L. (1994)]. Die Ausbreitung elektromagnetischer Signale erfolgt nach dem Fermatschen Prinzip, welches besagt, dass das Integral über den Refraktionsindex n (Verhältnis von Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum und im betrachteten Medium) zum Minimum wird.  = sat rec MINdsn ( 2-1 ) Um die Auswirkungen der Ionosphäre auf die Signale zu klären, muss also der Refraktionsindex näher untersucht werden. Eine quantitative Aussage erlaubt die Appleton-Hartree-Formel [z.B.LANGLEY, R.B. (1998)], welche die Berechnung des (komplexen) Refraktionsindex des Trägers in einem ionisierten Medium ermöglicht. Für eine Winkelfrequenz ω gilt demnach: ( ) ( ) 2 1 2 2 42 2 1412 1 1         + −−⋅ ± −−⋅ −− −= L TT Y iZX Y iZX YiZ X n ( 2-2 ) mit: 2 0 2 ωε e e m eN X = , ωe L L m eB Y = , ωe T T m eB Y = , ω ν =Z Dabei stellen X, YT, YL und Z Konstanten dar, die von der Trägerfrequenz des elektromagnetischen Signals f =ω /2pi, von Elektronendichte Ne, -ladung e, -masse me, vom Magnetfeld der Erde B (BL: Längskomponente, BT: Querkomponente), von der elektrischen Feldkonstante ε0 und von der Kollisions- frequenz der Elektronen ν abhängen. Der Realteil des Index gibt dabei die Auswirkung auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit an und der Imaginärteil berücksichtigt die Absorption. Für GPS-Signalfrequenzen (f > 1 GHz) [vgl. Kapitel 3] und Annahme von Standardbedingungen für das Erdmagnetfeld kann diese Gleichung extrem vereinfacht werden. Es bietet sich eine Reihenent- wicklung an, von der bei Vernachlässigung von allen Gliedern höherer Ordnung folgende Näherung für den ionosphärischen Refraktionskoeffizienten bleibt [LANGLEY, R.B. (1998)]: 1 Eine Interaktion mit den Ionen, die eine wesentlich höhere Masse aufweisen, findet lediglich unterhalb von einigen 100Hz statt [HARTL, PH. (1988)]. 2 Theoretische Grundlagen 21 2 3.40 1 2 1 f NX n e ⋅ −=−≈ ( 2-3 ) wobei Ne: Elektronendichte [1/m³] f: Signalfrequenz [Hz] 40.3: Konstante [Hz²m³] Die Vernachlässigungsfehler dieser Formel sind für den betrachteten Wellenlängenbereich in der Regel unerheblich. KLOBUCHAR, J.A. (1996) gibt für GPS-Frequenzen eine Genauigkeit von besser als 0.1% an. Bei der Ionosphäre handelt es sich nach ( 2-3 ) um ein für Mikrowellen dispersives Medium: Die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen ist dort abhängig von ihrer Frequenz. Hervorgerufen wird diese Abhängigkeit durch Resonanzen, die sich bei annähernder Übereinstimmung zwischen atomarer Frequenz des Mediums und der Wellenfrequenz ergeben [SEEBER, G. (1989)]. In dispersiven Medien unterscheidet sich die Ausbreitung von einzelnen Wellen (unmoduliert) und die von Wellengruppen. Man trennt zwischen der Phasengeschwindigkeit c und der Gruppengeschwindig- keit cg, mit der sich ein aus mehreren Frequenzen bestehendes Signal ausbreitet. Dementsprechend gibt es neben dem Phasenrefraktionsindex n noch einen Gruppenrefraktionsindex ng. Es gilt [z.B. LANGLEY, R.B. (1998)]: 2 3.401 f N df dnfnn eg ⋅ +≈⋅+= ( 2-4 ) Ein Vergleich mit ( 2-3 ) macht deutlich, dass sich die ionosphärische Refraktion von Trägerphase und Wellengruppe bei annähernd gleichem Betrag lediglich im Vorzeichen unterscheidet. Der von eins abweichende Refraktionskoeffizient bewirkt eine Laufzeitänderung der elektromag- netischen Signale, welcher eine scheinbare Streckenänderung hervorruft. Dieser Einfluss lässt sich für Trägersignale folgendermaßen darstellen. Die Richtungsänderung des Signals (eckige Klammer) kann dabei nach [LANGLEY, R.B. (1998)] vernachlässigt werden.   −+−=−=−=  DDDDD ion dsndsndsndsdsnssd 00 000 1  ⋅−=−⋅−=−≈ D e D e D dsNfsdsf N sdsn 22 3.403.401 ( 2-5 ) wobei s0: gemessene Strecke [m] s: geometrische Entfernung [m] dion: Streckenänderung durch Ionosphäreneinfluss Ne: Elektronendichte [el/m³] f: Signalfrequenz [Hz] D0: Signalweg (gekrümmt) D: geometrischer Signalweg (gradlinige Verbindung zwischen den Endpunkten) Für Messungen mit kodierten Signalen (z.B. phasenmodulierte GPS-Signale, vgl. Kapitel 3), welche aus einer Gruppe von Frequenzen besteht, ändert sich das Vorzeichen der Streckenänderung. 2 Theoretische Grundlagen 22 Ansonsten gelten identische Formeln. Das Integral über die Elektronendichte entlang des Signal- weges wird als TEC (Total Electron Content) definiert und zumeist in TECU1 angegeben. = D edsNTEC ( 2-6 ) Daraus folgt: TECfd ion ⋅±= 2 3.40 (Vorzeichen abhängig von der Art des Signals) ( 2-7 ) Da es sich hier um eine Näherungsformel handelt, verbleiben Restfehler, die nicht erfasst werden. Diese sind abhängig vom Zeitpunkt der Messung, vom Zustand der Ionosphäre, der Signalelevation und von der Signalfrequenz. Ihr Betrag bleibt etwa drei Größenordnungen kleiner als der erfasste Einfluss und erreicht für GPS-Signale typischerweise etwa 0.2 cm im Zenit [BASSIRI, S.; HAJJ, G.A. (1993)]. Für die meisten Anwendungen können diese Fehler vernachlässigt werden. 2.3 Modelle der Erdionosphäre Es existieren bereits einige Modellierungsansätze über den Elektronengehalt in der Erdatmosphäre. Diese beruhen zum Teil auf rein theoretischen Überlegungen und zum Teil basieren sie auf realen Messungen. Das folgende Kapitel soll einen kurzen Einblick in einige existierende Modelle, ihre Berechnungsgrundlagen und Genauigkeiten geben. Es werden allerdings nur die wichtigsten Ansätze vorgestellt, die in einem direkten Bezug zu dieser Arbeit stehen. 2.3.1 Chapman-Layer Dieser Modellansatz beschreibt die vertikale Verteilung der freien Elektronen. Der Name geht auf S. Chapman zurück, der 1931 dieses einfache Modell erstmals vorstellte. Es beruht auf einigen vereinfachenden Annahmen über die physikalischen und geometrischen Zusammenhänge in der Atmosphäre. Ausgangsgröße ist eine horizontal geschichtete Ionosphäre, die lediglich aus einem isothermalen Gas besteht. Die Strahlung, welche die Ionisation bewirkt, wird als parallel einfallend (unter einem festen Zenitwinkel) und monochromatisch angenommen. Die Produktionsrate kann dann laut DAVIES, K. (1990) folgendermaßen beschrieben werden: 0sec01 0 z ez ePP − −− ⋅= χ wobei: χsec0 ⋅= mPP H hh z 00 − = ( )χsecln0 ⋅−= Hhh m ( 2-8 ) mit: P Elektronenproduktion (höhenabhängig) P0 max. Elektronenproduktion bei zenitaler Strahlung h0 Höhe max. Elektronenproduktion bei zenitaler Strahlung z0 reduzierte Höhe Pm max. Elektronenproduktion (beliebiger Einstrahlwinkel) hm Höhe max. Elektronenproduktion (beliebiger Einstrahlwinkel) H Skalenhöhe χ Zenitwinkel, unter dem die Strahlung am Erdboden eintrifft 1 1 TECU = 1016 Elektronen pro m2 2 Theoretische Grundlagen 23 Abb. 2.5: Chapman-Produktions-Layer (h0 = 350 km, H = 90 km) Es ergibt sich ein ausgeprägtes Maximum in der Produktionsrate, welches mit untergehender Sonne (steigender Zenitwinkel) an Höhe gewinnt. Diesen Zusammenhang stellt die Abb. 2.5 beispielhaft dar. Gleichzeitig sinkt die Produktion immer weiter ab, ein Effekt den die abnehmende Strahlungsintensität hervorruft. Bei sehr flach eintreffender Strahlung verliert das Modell an Genauigkeit bis es bei horizon- talen Strahlen keine Gültigkeit mehr besitzt. Die vertikale Verteilung der Elektronen wird nicht allein von der Produktion sondern zusätzlich vom Abbau der Ionisation bestimmt. Je nach Höhe herrscht dabei ein anderer Prozess vor [vgl. Kapitel 2.1]. Nach DAVIES, K. (1990) hängt der Elektronenabbau in den unteren Schichten quadratisch von der Elektronendichte Ne ab. In höheren Schichten, in denen die Photoionisation von Sauerstoff dominiert, ist diese Abhängigkeit linear. Aus diesen physikalischen Zusammenhängen lassen sich zwei verschie- dene Schichttypen ableiten:      − −−⋅ ⋅= 0sec015.00 z ez e e P N χ α α-Layer (untere Ionosphäre) ( 2-9 ) ( ) 0sec1 0 0 ze e e zN PN − − ⋅ ⋅ = χ β β-Layer (obere Ionosphäre) ( 2-10 ) mit: Ne Elektronendichte α Rekombinationskoeffizient β Anlagerungskoeffizient N(z0) Dichte der Sauerstoffatome in der Höhe z0 Die genaue Herleitung der angegebenen Formeln ist DAVIES, K. (1990) und BRUNINI, C. (1998) zu entnehmen. Die freien Parameter der Formeln müssen durch konkrete Messergebnisse oder durch Erfahrungswerte ersetzt werden. Eine Höhengrenze zwischen beiden Schichttypen lässt sich nicht fest definieren. Kombiniert man beide Ansätze erhält man eine Verteilung wie sie in Abb. 2.6 darge- stellt ist. 2 Theoretische Grundlagen 24 Abb. 2.6: Chapman-Layer (hm=350km, H=90km, χ=0°) Dieses rein theoretische Modell kann die tatsächlichen Zusammenhänge natürlich nur genähert wiedergeben, praktische Messungen (beispielsweise mit Ionosonden) zeigen aber eine gute Überein- stimmung mit dem Ansatz. Er ist allerdings nicht für die obersten Regionen der Ionosphäre verwend- bar, weil dort die zugrunde gelegten Annahmen nicht mehr zulässig sind. 2.3.2 IRI-95 Die Internationale Referenz Ionosphäre (IRI) beschreibt diverse Eigenschaften der Ionosphäre, so zum Beispiel die Elektronentemperatur und –dichte sowie die Verteilung der vorkommenden unter- schiedlichen Ionen. Für die Ausbreitung der GPS-Signale interessiert lediglich die Verteilung der freien Elektronen. Abb. 2.7: Elektronendichteprofil der IRI [aus DAVIES, K. (1990)] 2 Theoretische Grundlagen 25 Die Berechnung der Größen erfolgt im Rahmen eines internationalen Projektes, welches COSPAR1 und URSI2 gemeinsam fördern. Das Modell basiert auf einer Kombination aus allen geeigneten existierenden Messdaten (Ionosonden, Incoherent Scatter Radar,...) und unterliegt einer jährlichen Aktualisierung. Die in dieser Arbeit verwendete Version ist von 1995. Die Daten sind nicht geeignet für die Beschreibung der Verhältnisse in den Aurora Ovalen und gelten nur in geomagnetisch ruhigen Zeiten. Die modellierte Ionosphäre umfasst einen Höhenbereich von 50 bis 2000 km. Teilweise stammen die eingehenden Größen aus anderen Modellen. So werden beispielsweise die horizontalen Variationen der maximalen Elektronendichte der F2-Schicht (NmF2) und deren Höhe (hmF2) aus einer Entwicklung des CCIR3 abgeleitet [MEZA, A.M. (1999)]. Den vertikalen Modellansatz zeigt die Abb. 2.7. Man erkennt unterhalb von hmF2 fünf Höhenschich- ten, die gemeinsam die "Unterseite" der Ionosphäre darstellen. Neben der klassischen Unterteilung in D, E und F-Region [vgl. Kapitel 2.1] existieren noch zusätzliche Schichten (Zwischenschichten), die den Übergang zwischen den einzelnen Bereichen herstellen sollen. Zusammen mit der Ionosphären- oberseite lassen sich demnach sechs verschiedene Höhenzonen unterschieden. Die Ableitung bestimmter gesuchter Elektronendichtewerte erfolgt mit Hilfe von mathematischen Funktionen unter Zuhilfenahme der Koeffizienten der CCIR-Entwicklung. Der Nutzer hat sowohl freien Zugang zum Programmcode als auch zu den Koeffizientendateien. Zusätzlich können die Elektronen- dichtewerte für beliebige Orte auch direkt über das Internet abgerufen werden [IRI-95]. Die Genauigkeit des Modells und damit der daraus abgeleiteten Elektronendichtewerte ist allerdings eingeschränkt. Es handelt sich um Mittelwerte, mit denen kurzzeitige Schwankungen nicht erfasst werden können. Die Genauigkeit bleibt damit auf ±25% beschränkt [HARGREAVES, J.K. (1992)]. 2.3.3 Klobuchar-Modell Hierbei handelt es sich um das offizielle GPS-Broadcast-Ionosphärenmodell, dessen Parameter dem Nutzer mit dem Datencode des GPS Signals zugänglich gemacht werden. Das (recht einfache) Modell besteht aus lediglich acht Koeffizienten, mit denen – je nach Ionosphärenaktivität – eine Genauigkeit von ca. 50% bis 80% erreichbar ist. Die Parameter stammen aus dem Bent-Modell [vgl. BENT (1972) und KLOBUCHAR, J.A. (1996)] und werden in unregelmäßigen Abständen von mehreren Tagen aufdatiert. Verwendung findet das Modell hauptsächlich bei Einfrequenz-GPS-Messungen zur Korrektur der Pseudostreckenmessung um die ionosphärische Laufzeitverzögerung. Das Modell beschreibt die ionosphärische Laufzeitänderung in Zenitrichtung. Die Berech- nung erfolgt in Abhängigkeit der lokalen Zeit und der geomagnetischen Breite. Nachts wird eine konstante Verzögerung angesetzt (ca. 1.5 m), die dann tagsüber in eine halbe Ko- sinuskurve mit Maximum um 14 Uhr lokaler Zeit übergeht. Amplitude und Periode dieser Funktion lassen sich mit jeweils vier Para- metern als Polynom dritten Gerades in Ab- hängigkeit der geomagnetischen Breite dar- stellen. Abb. 2.8: Zenitrefraktion im Klobucharmodell Den Zusammenhang zwischen der Laufzeitänderung, bzw. der daraus resultierenden Pseudo- streckenänderung, liefert die Gleichung ( 2-7 ). 1 Committee on Space Research 2 International Union of Radio Science 3 International Radio Consultative Committee 2 Theoretische Grundlagen 26 Die Umrechnung vom Effekt im Zenit auf beliebige Elevationen und Azimute erfolgt unter der Annahme, dass die gesamten Elektronen innerhalb einer dünnen Schicht komprimiert sind ("Single- Layer"-Ansatz, vgl. Abb. 2.9), die sich in einer konstanten Höhe h = 350 km [ICD-GPS-200C (1995)] befindet. Es handelt sich demnach lediglich um ein zweidimensionales Modell. Aussagen über die vertikale Verteilung der freien Elektronen können nicht gemacht werden. Zum Übergang vom vertikalen Elektronendichtegehalt VTEC auf eine beliebige Elevation ist die Berechnung des Schnittpunktes zwischen Signalweg und Ionosphärenschicht (ionosphärischer Punkt) notwendig. Dessen Projektion auf die Erdkugel bezeichnet man als Subionosphärenpunkt. Für die Berechnung seiner Koordinaten existieren geschlossene Formeln, die in vielen gängigen Literatur- stellen zu finden sind [z.B. ICD-GPS-200C (1995)]. ärenpunktSubionosphc VTECzMzTEC ⋅= )()(Re ( 2-11 ) Der vertikale Elektronengehalt im Ionosphärenpunkt wird mit Hilfe der sogenannten Mappingfunktion M(z) in den Elektronengehalt entlang des tatsächlichen Signalwegs umgerechnet. Auch diese Formeln sind der ICD-GPS-200C (1995) zu entnehmen. 2.3.4 Globale Modelle aus GPS-Messungen (2D) Schon seit einige Jahre ist bekannt, wie geeignet GPS Messungen sind, um daraus Ionosphären- parameter abzuleiten. Man macht sich dabei die dispersiven Ausbreitungseigenschaften der elektro- magnetischen Signale zu nutze, wie sie in Kapitel 2.2 vorgestellt werden. Genaueres zur Extraktion der Ionosphäreninformationen aus den GPS-Beobachtungen ist dem Abschnitt 3.1 zu entnehmen. Es gibt mittlerweile einige Institutionen, die globale, regionale oder lokale Modelle berechnen und diese der Allgemeinheit zugänglich machen. Seit Anfang 1998 werden weltweite GPS-Ionosphären- modelle auch als offizielles Produkt des “International GPS Service for Geodynamics“ (IGS) bereitge- stellt [vgl. Kapitel 3.2.1]. Dabei handelt es sich um zweidimensionale Gittermodelle, die den vertikalen Elektronengehalt VTEC wiedergeben. Sie gelten jeweils für einen Zeitraum von zwei Stunden und sind in täglichen Dateien zusammengestellt. Sie liegen im standardisierten Format IONEX [IONEX (1997)] vor und werden derzeit von fünf Institutionen1 bereitgestellt. subionosphärischer Punkt ionosphärischer Punkt SINGLE LAYER GPS Satellit z' z R h Rec ERDE Abb. 2.9: Single-Layer-Modell 1 CODE, ESOC, JPL, NRCan, UPC 2 Theoretische Grundlagen 27 Zur Zeit existiert noch kein kombiniertes Produkt (vergleichbar beispielsweise mit den IGS Final Orbits) sondern lediglich pro Tag fünf einzelne Modelle, die sich in ihrem Ansatz, der zugrundeliegen- den Datenmenge und den verwendeten Datentypen zum Teil deutlich unterscheiden. Obwohl bei der Berechnung der Modelle teilweise dreidimensionale Modellansätze zum Einsatz kom- men, z.B. ein 3D-Tomographieansatz an der Polytechnical University of Catalonia (UPC), stellen alle Institutionen Single-Layer-Daten [vgl. Abb. 2.9 und Kapitel 2.3.3 ] zur Verfügung. Den Übergang zwischen dem Einfluss entlang des Signalwegs TEC und dem vertikalen Ionosphäreneinfluß VTEC nimmt eine Mappingfunktion vor. 'cos 1)( zVTEC TEC zM == mit: z hR R z sin'sin ⋅ + = , h = 450 km ( 2-12 ) Auch die horizontale Modellierung unterscheidet sich bei den einzelnen Ansätzen. Neben Kugel- funktionen werden beispielsweise auch Gaußsche Exponentialfunktionen [FELTENS, J. ET AL (1996)] und Interpolationen innerhalb sphärischer Gitter [MANNUCCI, A.J. ET AL. (1998)] verwendet. Unterschiedlich sind ebenfalls die den Modellen zugrundeliegenden GPS-Datentypen. Meist wird mit einer Kombination aus Code- und Phasendaten gearbeitet, es treten aber auch reine Phasenpro- zessierungen auf. Näheres über die einzelnen Berechnungsalgorithmen kann der Literatur entnom- men werden. Eine Zusammenstellung der wichtigsten Literaturquellen sowie einen Vergleich zwischen den einzelnen IGS-Lösungen bietet FELTENS, J. (1999). Neben den genannten Institutionen existieren noch einige andere Stellen, die sich ebenfalls mit GPS Ionosphärenmodellen beschäftigen. BRUNINI, C. (1998) stellt ein globales Modell vor, welches auf einer Kugelfunktionsentwicklung basiert. Auch diese Arbeit beschreibt die Ionosphäre lediglich in ihren horizontalen (und zeitlichen) Variationen. In Kapitel 4 der vorliegenden Arbeit wird eine Erweiterung dieses Ansatzes in die vertikale Dimension vorgenommen und ein Modell entwickelt, das es er- möglicht, die Ionosphäre dreidimensional zu beschreiben. Ähnliche Untersuchungen (unter Zuhilfe- nahme externer Informationen über den Höhenverlauf der Elektronendichte) laufen auch an der Universität La Plata in Argentinien [MEZA, A.M. (1999)]. 3 Beobachtungsdaten 28 3 BEOBACHTUNGSDATEN Ziel dieser Arbeit ist die dreidimensionale Modellierung der Erdatmosphäre. Als Datengrundlage der Berechnung dienen Beobachtungen des amerikanischen GPS1. Innerhalb des vorliegenden Kapitels werden diese Daten näher beleuchtet und auf Eignung, zeitliche und räumliche Verteilung und Genauigkeit hin untersucht. Beim GPS handelt es sich um ein weltweites Satellitennavigationssystem, welches aus 24 Satelliten (zuzüglich Reservesatelliten) besteht, die mit einer Bahnhöhe von etwa 20000 km die Erde auf sechs Bahnebenen umkreisen. Die Satelliten senden Signale auf zwei Frequenzen (f1 = 1575.42 MHz, f2 = 1227.60 MHz) aus, welche zusätzlich mit sogenannten PRN-Codes (CA-Code auf L1, P-Code auf L1 und L2) moduliert (Binary Phase Shift Keyed, BPSK) sind, um eine schnelle und eindeutige Positionsbestimmung zu gewährleisten. Die Daten von mindestens vier Satelliten stehen global auf der gesamten Erde jedem Nutzer frei zur Verfügung. Die erreichbare Genauigkeit richtet sich nach dem verwendeten Datentyp und dem Aufwand, der für die Messung und die Auswertung betrieben wird. Dabei ist zu beachten, dass bestimmte Daten lediglich autorisierten Anwendern zur Verfügung stehen. Um dies zu gewährleisten, verschlüsseln die Systembetreiber den P−Code zusätzlich, so dass er von zivilen Nutzern lediglich mit Einschränkungen und Genauigkeitsverlusten verwendet werden kann (Anti-Spoofing, AS). Zusätzlich weisen ältere Daten (vor Mai 2000) eine künstliche Verschlechte- rung auf (Selective Availability, SA). Über das GPS, seine Fehlerquellen und Anwendungen existiert eine Menge Literatur. An dieser Stelle werden die Grundlagen des Systems als bekannt vorausgesetzt. Der interessierte Leser sei auf die folgenden Lehrbücher verwiesen: HOFMANN-WELLENHOF, B.; LICHTENEGGER, H.; COLLINS, J. (1994), BAUER, M. (1994), SEEBER, G. (1989). 3.1 Beobachtungsgleichung Ausgangspunkt der Modellierung sind Zwei-Frequenz-GPS-Messungen. Sie werden auf ihrem Weg durch die Ionosphäre von den dort existierenden freien Elektronen beeinflusst [vgl. Kapitel 2.2]. Dieser Effekt ist frequenzabhängig und die Laufzeitdifferenz der beiden Signale lässt sich nutzen, um Rückschlüsse auf das Ingegral der Elektronendichte entlang des Signalweges zu ziehen. Messgröße ist die sogenannte Pseudostrecke zwischen dem GPS-Satelliten und dem Empfänger zu einem konkreten Zeitpunkt. Dabei handelt es sich um die mit diversen Fehlern behaftete geometrische Strecke zwischen dem Sender und dem Nutzer, die auf Grundlage der Signallaufzeit ermittelt wird. Sie lässt sich auf Grundlage beider Trägersignale berechnen: ( ) ( ) 111,11 ερ ++⋅+++∆−∆⋅+= satrectropionsatrec bbcddttcP ( 3-1 a ) ( ) ( ) 222,22 ερ ++⋅+++∆−∆⋅+= satrectropionsatrec bbcddttcP ( 3-1 b ) wobei ρ: geometrische Entfernung zwischen Empfänger und Satellit [m] c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum [m/s] satt∆ : Satellitenuhrfehler [s] rect∆ : Empfängeruhrfehler [s] 1 Ebenfalls denkbar ist die Verwendung anderer GNSS-Daten, wie beispielsweise GLONASS-Beobachtungen 3 Beobachtungsdaten 29 iiond : ionosphärische Wegänderung (Frequenz i) [m] tropd : Wegänderung in der neutralen Atmosphäre [m] sat ib : Laufzeitverzögerung im Satelliten (Frequenz i) [s] irecb , : Laufzeitverzögerung im Empfänger (Frequenz i) [s] εi: Rauschen (Messrauschen, Mehrwegeeffekte, Restfehler) [m] In der Regel vernachlässigt man die Laufzeitverzögerungen im Satelliten und im Empfänger für eine Positionsbestimmung, weil sie von den erheblich größeren Uhrfehleranteilen nicht zu trennen sind und von diesen aufgenommen werden. Streng genommen sind sie zeitlich auch nicht konstant. Allerdings kann man sie als relativ zeitstabil ansehen und über einen Zeitraum von mehreren Stunden oder Tage die Änderungen vernachlässigen [WILSON, B.D.; MANNUCCI, A.J. (1993)]. Aus einer Linearkombination der Pseudostrecken beider Frequenzen lässt sich das sogenannte Ionosphärensignal PI gewinnen. Bei der Differenzbildung entfallen alle Einflüsse, die auf beiden Frequenzen identisch auftreten, also sowohl der Geometrieanteil der Messung als auch diverse Fehlerquellen (neutrale Atmosphäre, Uhrfehler,...). Der frequenzabhängige Ionosphäreneinfluss bleibt erhalten. Die Laufzeitänderungen in den beteiligten Bauteilen (Empfänger, Satellit) dürfen jetzt keines- falls mehr vernachlässigt werden. Die Differenzen dieser Werte zwischen beiden Frequenzen können bis zu 15 ns [ICD-GPS-200C (1995)] erreichen und stellen damit einen wichtigen Einfluss dar. ( ) ( )1211,22,1212 εε −+−−+⋅+−=− satrecsatrecionion bbbbcddPP ( 3-2 ) Durch Einsetzen der Formel ( 2-7 ) und Termumformung ergibt sich die endgültige Gleichung: ( ) ( ) ε+∆+∆⋅⋅⋅+⋅=−⋅= − satrecI bbckTECfPPkP 92112 10 3.40 ( 3-3 ) mit: 2 2 2 1 2 2 ff fk − = Skalierungsfaktor [ - ] ( 3-4 ) ( )1,2,910 recrecrec bbb −⋅=∆ ( )satsatsat bbb 12910 −⋅=∆ Hardwarebiasdifferenzen [ns] Das Rauschen ε dieses Ionosphärensignals ist eine Kombination aus dem Messrauschen der Pseudo- streckenmessungen auf den beiden Grundfrequenzen. Zusätzlich sind jetzt noch Restfehler enthalten, die durch die unzureichenden Elimination des Gesamteinflusses durch die Differenzbildung entstehen, z.B. Mehrwegedifferenzen, Antennenphasenzentrumsdifferenzen. Die Formel ( 3-3 ) bildet die Grundgleichung des Modells, die sogenannte Beobachtungsgleichung. Solch ein Zusammenhang kann zu jedem Messzeitpunkt zwischen allen existierenden Satelliten und Empfängern aufgestellt werden. Außer den gemessenen Pseudostrecken auf beiden Frequenzen und einigen Konstanten enthält die Formel das unbekannte Integral der Elektronendichte entlang des Signalwegs und die i.d.R. nur unsicher bekannten Hardwarebiasdifferenzen. Als Beobachtungen können prinzipiell auch die Phasendaten selbst herangezogen werden. Die Beob- achtungsgleichungen sehen den hier erläuterten recht ähnlich. Zu beachten ist allerdings das ge- 3 Beobachtungsdaten 30 änderte Vorzeichen der ionosphärischen Laufzeitänderung [vgl. ( 2-7 )] sowie die Phasenmehrdeutig- keiten, die als zusätzliche Unbekannte in der Formel enthalten sind und die ebenfalls berücksichtigt werden müssen. Dies bedeutet einen erheblichen Mehraufwand, der in einer Vorprozessierung der Daten zu leisten ist. Durch die rauschärmeren Daten lässt sich dann aber auch die Genauigkeit der Modellparameter um einiges steigern. Mittels einer Aufwand-Gewinn-Abschätzung kommt man zu dem Ergebnis, dass auch Code-Daten zufriedenstellende Ergebnisse liefern, wenn sie entsprechend vorbearbeitet werden. Denkbar sind beispielsweise gefilterte Daten [BRUNINI, C. (1998)] oder phasen- geglättete Pseudostecken-Beobachtungen [SCHAER, S. (1999)]. Vergleiche hierzu auch Kapitel 3.3.3. 3.2 Datenquellen und Beobachtungsverteilung GPS-Beobachtungen von global verteilten Bodenstationen eignen sich hervorragend zur Berechnung von zweidimensionalen VTEC-Karten. Diese Tatsache ist sowohl durch theoretische Untersuchungen als auch durch praktische Modellberechnungen hinreichend abgesichert [siehe z.B. BRUNINI, C. (1998)]. Sollen zusätzlich Aussagen über die vertikale Elektronendichteverteilung gemacht werden, treten bei der alleinigen Verwendung von Oberflächendaten allerdings ernsthafte Probleme auf. Grund dafür ist die unzureichende Geometrie. Die auf den Bodenstationen empfangenen GPS-Signale schneiden die Ionosphärenschichten alle unter ähnlichen Zenitwinkeln zIGS [vgl. Abb. 3.1 und Tab. 3.1]. Dies führt zu Problemen bei der Lösung der Modellgleichungen (annähernd linearen Zusammen- hängen zwischen den einzelnen Zeilen in der Designmatrix, nur sehr schwache Konvergenz der Höhenfunktionsparameter, [vgl. Kapitel 4]). Dieser Effekt lässt sich auch durch die Einbeziehung von anderen oder zusätzlichen Bodenstationen und durch besser angepasste Höhenmodelle nicht umgehen. KLEUSBERG, A. (1998A) verdeutlicht diesen Zusammenhang ausführlich am Beispiel einer einfachen zweischichtigen Ionosphäre. ERDE IONOSPHÄRE IGS zIGS(h) GPS Sat LEO Rec zLEO(h) h Abb. 3.1: Beobachtungsgeometrie (IGS und LEO) Abhilfe schafft die zusätzliche Einbeziehung von Daten, die GPS-Empfänger auf Satelliten aufzeich- nen. Die Schnittgeometrie dieser Signale unterscheidet sich grundlegend von derjenigen der Boden- stationen. Einzelne Ionosphärenschichten werden nahezu horizontal durchlaufen, während mit ande- ren gar kein Kontakt stattfindet. Der Zenitwinkel zLEO variiert im Laufe des Signalweges erheblich. Damit ermöglicht sich eine vertikale Auflösung des Elektronendichtegehalts. Am besten eignen sich für diese Anwendung niedrig fliegende Satelliten, sogenannten Low Earth Orbiters (LEOs). Durch die niedrige Flugbahn ändert sich die Geometrie besonders schnell, so dass in nur etwa 2 Minuten alle Ionosphärenschichten (von oben nach unten) nacheinander horizontal durchlaufen werden können. 3 Beobachtungsdaten 31 Zur Berechnung dreidimensionaler Elektronendichtemodelle sind also sowohl Bodenstations- beobachtungen als auch LEO-Beobachtungen notwendig. Zur Erzielung einer einheitlichen Modell- genauigkeit sollten beide möglichst global verteilt sein. Im Folgenden werden die vorliegenden Daten- quellen und die sich daraus ergebende Beobachtungsverteilung vorgestellt. Tab. 3.1: Zenitwinkelvariationen z(h) [°] IGS-Station LEO-Satellit z(0)=10° z(0)=45° z(0)=80° z(750)=10° z(750)=90° z(750)=115.4° h = 750 km (LEO) 10.0 90.0 115.4 h = 60 km 9.9 44.5 77.3 - - 90 h = 1000 km 8.6 37.7 58.3 9.6 75.0 60.7 Differenz 1.3 6.8 19.0 0.4 15.0 54.7 3.2.1 Bodenstationen Terrestrische GPS-Messungen stehen in einer großen Anzahl frei zur Verfügung. Wichtigste Quelle ist hier der International GPS Service for Geodynamics (IGS), der momentan aus ca. 250 Stationen besteht (Februar 2001). Diese sind global über die Erde verteilt und alle mit Zweifrequenzempfängern verschiedenen Typs ausgestattet. Der Dienst ist seit Januar 1994 operationell und vergrößert sich laufend. Mehrere weltweit verteilte Analysezentren werten die Messungen aus und betreiben Datensicherung und -analyse. Die Beobachtungsdateien aller Stationen werden mit ca. eintägiger Verzögerung (teilweise auch schon nach drei Stunden) von mehreren Datenzentren über das Internet bereitgestellt. Sie liegen für jeweils 24 Stunden mit einer Datenrate von 30 Sekunden im standardisier- ten RINEX-Format [GURTNER, W. (2000)] vor und lassen sich von den Nutzern frei herunterladen und verwenden. Abb. 3.2: verwendete IGS-Stationen 3 Beobachtungsdaten 32 Die IGS Stationen sind aufgrund von geographischen und wirtschaftlichen Gegebenheiten nicht gleichmäßig über die gesamte Erdkugel verteilt. Gerade auf der Südhalbkugel gibt es einige deutlich unterrepräsentierte Gebiete. In den letzten Jahren hat man viel für eine Ausweitung und Homogenisie- rung des Netzes getan, so dass sich die Situation zunehmend verbessert. Da die Verwendung aller zur Verfügung stehender Daten aus Gründen der Rechnerkapazität nicht zu realisieren ist, werden von den IGS-Stationen 50 ausgewählt, die genähert gleichmäßig über die gesamte Erde verteilt liegen [Abb. 3.2]. Eine globale Modellierung der Ionosphäre erfordert weltweit verteilte Daten, die eine möglichst gleich- mäßige Verteilung aufweisen. Auch sind große horizontale Datenlücken zu vermeiden, da diese die Auflösungsmöglichkeiten des Modells negativ beeinflussen. Aufgrund der begrenzten zur Verfügung stehenden Empfängeranzahl können Daten einer einzigen Beobachtungsepoche demnach nicht zum Erfolg führen. Die zeitlichen Variationen der Elektronendichte erlauben keine gemeinsame Ver- wendung von Messungen unterschiedlicher Zeitpunkte, wodurch sich die globale Abdeckung gering- fügig verbessern ließe [vgl. Abb. 3.3a]. Abhilfe schafft der Übergang von geographischen Koordinaten auf eine andere Parametrisierungsart. Werden statt geographischer Breite und Länge geomagnetische Breite und Stundenwinkel der Sonne als horizontale Parameter gewählt, so lässt sich (für kurze Zeiträume) die zeitliche Änderung der Elek- tronendichte vernachlässigen und die Verwendung von Daten mehrere Beobachtungsepochen ist möglich. In diesem sogenannten sonnenfixierten System [vgl. Kapitel 4.1] erreicht man eine deutlich verbesserte horizontale Datenabdeckung, wie die folgende Graphik zeigt. Dargestellt ist jeweils die Lage des Schnittpunktes zwischen Signal und einer Kugelschale mit einer Höhe von 350 km, also etwa in der Höhe der maximalen Elektronendichte. a) geographisches System b) sonnenfixiertes System Abb. 3.3: Verteilung der IGS-Beobachtungen (03.02.1997, T=12h, ∆t=5min) Auch im sonnenfixierten System ist die gleichmäßige globale Verteilung der Beobachtungen nicht unbedingt von vorne herein gegeben. Hier zeigen sich ebenfalls räumlich Datenlücken, die allerdings weitaus geringer sind als im geographischen System und deren Größe sich zudem durch die Veränderung des Beobachtungszeitraums T steuern lässt. Diesen Zusammenhang verdeutlicht die Abb. 3.4. 3 Beobachtungsdaten 33 a) 6 Stunden-Intervall b) 24 Stunden-Intervall Abb. 3.4: Verteilung der IGS-Beobachtungen für unterschiedliche Zeitintervalle Man erkennt, dass bei einer Datenansammlung über 24 Stunden bis auf zwei schmale Breitenbänder bei ca. -30° und -62° geomagnetischer Breite die gesamte Sphäre sehr dicht abgedeckt wird. Die Lücken lassen sich durch die Wahl zusätzlicher Stationen mit den betroffenen Breiten beseitigen. Für den gegebenen Zeitraum (Anfang Februar 1997) liegen jedoch keine zusätzlichen Stationen auf der Südhalbkugel vor. Bei genähert homogen vorliegenden Beobachtungsstationen, wie sie der IGS bereitstellt, kann also durch die Verwendung lange Beobachtungszeiträume die Verteilung der Beobachtungen so ver- bessert werden, dass kaum noch Datenlücken auftreten. Allerdings leidet die Aktualität der Modelle beträchtlich darunter. Als Alternative bietet sich nur die Verringerung der räumlichen Modellauflösung. Wird der Entwicklungsgrad der Kugelfunktionen niedrig genug gewählt, so reicht auch ein kürzerer Beobachtungszeitraum zur genauen Herleitung der Koeffizienten aus [vgl. Kapitel 5.2] - allerdings auf Kosten kleinräumiger Effekte, die nicht mehr zu erfassen sind. Als Kompromiss zwischen optimaler räumlicher Auflösung und möglichst geringem Beobachtungs- zeitraum erweist sich ein Intervall von 12 Stunden, mit dem im folgenden gearbeitet wird. 3.2.2 LEO-Satelliten Seit einigen Jahren existieren zahlreiche niedrig fliegende Satelliten, die – hauptsächlich zur eigenen Orbitbestimmung – einen GPS-Empfänger tragen. Leider können diese Daten nicht (oder nur sehr beschränkt) zur Ionosphärenmodellierung verwendet werden, weil die Antennen ihrer Aufgaben- stellung entsprechend zum Zenit ausgerichtet sind und somit lediglich Signale empfangen, welche die Ionosphäre gar nicht oder nur ganz am Rand durchlaufen haben. Zur Atmosphärensondierung benötigt man Antennen, die nach hinten blicken und damit auch die Signale von GPS-Satelliten empfangen können, die ganz nahe über dem Erdhorizont stehen und langsam untergehen. Die Taktrate der Empfänger sollte ebenfalls auf diesen speziellen Anwendungs- fall abgestimmt sein. Man spricht in diesem Zusammenhang von sogenannten Okkultationsempfän- gern. Zur Zeit existieren einige Satelliten, deren Daten für diese Art der Anwendung geeignet erscheinen. So zum Beispiel der dänische Ørsted [DMI (2000)] und der deutsche CHAMP [REIGBER, CH. ET AL. (1996), REIGBER, CH. (2001)]. Diese Projekte befinden sich allerdings in Validationsphasen und GPS- Beobachtungen stehen noch nicht zur Verfügung (Februar 2001). Es kann jedoch auf die Daten des 3 Beobachtungsdaten 34 ersten Satelliten, der für diese Art von Anwendung geeignet war, zurückgegriffen werden. Dabei handelt es sich um den amerikanische MicroLab-1, auf dem im Rahmen des sogenannten GPS/MET Programms von April 1995 bis Anfang 1998 ein modifizierter TurboRogue-Empfänger geflogen ist [UCAR (1995)]. Daten dieses Projektes stehen für wissenschaftliche Zwecke zur Verfügung und finden auch bei den hier durchgeführten Untersuchungen Verwendung. Genutzt werden Rinex-Daten mit zehnsekündlichen Beobachtungen, die jeweils in 24Stunden-Dateien zusammengestellt sind. a) geographisches Koordinatensystem b) sonnenfixiertes Koordinatensystem Abb. 3.5: Bodenspur des GPS/MET-Satelliten über 24 Stunden Durch die Wahl der Orbitparameter [vgl. Tab. 5.2] im Zusammenspiel mit der Erdrotation sind die Bodenpunkte des GPS/MET-Satelliten – wie die der meisten anderen LEOs ebenfalls – im geo- graphischen Koordinatensystem regelmäßig über die gesamte Erde verteilt, wie die Abb. 3.5a) zeigt. In dem hier verwendeten sonnefixierten System allerdings liegen aufeinanderfolgende Bodenspuren nahezu deckungsgleich übereinander. Geringe Variationen ergeben sich lediglich über längere Zeit- räume durch die Knotenbewegung der Bahn und durch die Verwendung der geomagnetische Breite [vgl. Abb. 3.5b)]. a) GPS/MET b) Simulation: 3 LEOs Abb. 3.6: Datenverteilung über 24h im sonnenfixierten System (∆t=1min, Schnitthöhe=350km) Durch den relativ großen Öffnungswinkel der Antenne verbreitert sich der Bereich, in dem Beobachtungen gesammelt werden können, und die Datenverteilung verbessert sich ein wenig. Eine 3 Beobachtungsdaten 35 homogene Verteilung ist aber keinesfalls gegeben. Hier liegt ein deutlicher Nachteil für die Iono- sphärenmodellierung. Abhilfe schafft lediglich die Verwendung mehrerer LEO-Satelliten gemeinsam. Da solche Daten momentan nicht zur Verfügung stehen, muss auf Simulationen zurückgegriffen werden. Nur so lässt sich überprüfen, welcher Nutzen sich durch zusätzliche Bahnen ergibt und welche Orbits sich für diese Art der Anwendung besonders anbieten [vgl. Kapitel 5.7]. Die Abb. 3.6 zeigt zum einen die Datenverteilung des GPS/MET (03.02.1997) zum anderen zusätzlich zu diesen die Beobachtungsdichte simulierter Signale zweier weiterer Empfänger auf LEO Satelliten, die sich zeitversetzt auf identischen Bahnen bewegen. Dargestellt sind jeweils die Schnittpunkte der Signalwege mit einer Kugelschale in 350km Höhe. Man erkennt, dass für eine einigermaßen homo- gene Datenverteilung mindestens zwei solcher LEO-Satelliten notwendig sind. Wichtig ist weiterhin auch eine hohe Taktrate, um der schnellen Geometrieänderung dieses Signaltyps Rechnung zu tragen. Im Gegensatz zu den Bodenstationsdaten wandert der "Ionosphärendurchstoßpunkt" der LEO- Signale erheblich schneller als derjenige der IGS-Signale. Somit liegt hier ein weiterer Punkt zur Ver- besserung der Datenüberdeckung, der nicht ungenutzt bleiben sollte. 3.2.3 Koordinaten Für die Modellierung benötigt man außer den Beobachtungen selbst auch die Positionen von GPS- Satelliten und –Empfängern zum Zeitpunkt der Messung. Sie definieren die Signalwege und kommen als Integrationsendpunkte zum Einsatz, um den Übergang vom gemessenen TEC zur gesuchten Elektronendichteverteilung zu liefern [vgl. ( 2-6 ) und ( 4-10 )]. Die Koordinaten der IGS-Stationen sind im Normalfall in den RINEX-Beobachtungsdateien enthalten und werden zusätzlich über den IGS bereitgestellt. Es handelt sich um ausgeglichenen Netz- koordinaten in einem globalen erdfesten Bezugsystem (ITRF), die eine Genauigkeit von wenigen Millimetern aufweisen. Im Anhang [vgl. Seite 138] finden sich die geozentrischen Koordinaten der verwendeten IGS-Stationen im ITRF97. Die Positionen der Satelliten (GPS und LEO) sind zeitabhängig und werden in Ephemeridenfiles bereitgestellt. Bei der Wahl der Koordinaten für die niedrig fliegenden Satelliten ist man vollständig angewiesen auf die Betreiber des jeweiligen Systems. Für den GPS/MET liegen die Positionen als nachprozessierte Ephemeridenfiles im standardisierten SP3-Format [SPOFFORD, P.R., REMONDI, B.W. (2002)] vor. Für die GPS-Bahnen bietet der IGS mehrere unterschiedliche Ephemeridentypen an, die sich in ihrer Genauigkeit und in der Bereitstellungszeit zum Teil deutlich unterscheiden [vgl. Tab. 3.2]. Zusätzlich bleibt die Möglichkeit der Verwendung von Broadcast-Ephemeriden unbenommen. Da die IGS-Ephemeridenfiles i.d.R. nur jeweils alle 15 Minuten eine Position enthalten, wird zusätzlich eine Interpolation notwendig, welche die Genauigkeit der Koordinaten ebenfalls erheblich beeinflussen kann. Um über den zu verwendenden Interpolationsalgorithmus sowie die Art der Ephemeriden zu entscheiden, muss man sich Gedanken um die notwendige Genauigkeit der Positionskoordinaten machen. Die Koordinaten von Sendern und Empfängern werden lediglich als Integrationsendpunkte benötigt. Bei Bodenstationsbeobachtungen spielt die absolute Signalstrecke aufgrund der Integrationswegver- kürzung [vgl. Kapitel 4.3] keine Rolle, sondern lediglich die Richtung der Wellenausbreitung. Aus diesem Grund lassen sich radiale Fehler in den GPS-Koordinaten für die IGS-Stationsverbindungen fast vollständig vernachlässigen. Maximale Einflüsse entstehen durch Unsicherheiten quer und längs der Satellitenbahn. Durch die extreme Bahnhöhe der GPS-Satelliten (ca. 20000 km) fallen diese Fehler in den Ionosphärenschichten allerdings kaum noch ins Gewicht. Der Weg der Signale erfährt in diesem Höhenbereich lediglich minimale Abweichungen. Es gilt: 3 Beobachtungsdaten 36 db h hdi iono ⋅≈ ( 3-5 ) wobei di: Lagefehler in der Höhe hiono (Ionosphärenschicht) h: Strecke zwischen Bodenstation und GPS Satellit [km] hiono: Strecke zwischen Bodenstation und Ionosphärenschicht [km] db: Bahnfehler des Satelliten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Signals In Tab. 3.2 sind die sich ergebenen Lagefehler der Ionosphärendurchstoßpunkte für eine Schichthöhe von 350 km für die unterschiedlichen GPS-Ephemeridenprodukte dargestellt. Die Qualität der IGS- Ephemeriden ist so hoch, dass ohne signifikante Genauigkeitseinbußen jeder der Orbits verwendet werden kann. Nutzt man für die zeitliche Interpolation der Positionen eine Lagrange-Polynom- Interpolation [vgl. Anhang, Seite 135] vom Grad n=17, ist mit keinerlei Genauigkeitseinbußen gegen- über den tabellierten Koordinaten zu rechnen [SCHÜLER, T. (1998)]. Tab. 3.2: Vergleich verschiedener GPS-Ephemeridenprodukte Bahntyp Bereitstellungszeit Bahnfehler Lagefehler in 350 km Höhe (Bodenstationverbindung) Broadcast-Ephemeriden Echtzeit ± 5m1 ± 8.5 cm IGS predicted orbits Echtzeit ± 50 cm ± 8.5 mm IGS rapid orbits ca. 2 Tage ± 10 cm ± 1.7 mm IGS final orbits ca. 2 Wochen ± 5 cm ± 0.9 mm Da die IGS-Stationen im Gegensatz zu den GPS-Satelliten sehr nahe an der Ionosphärenschicht liegen, wirken sich Lagefehler in den Empfängerkoordinaten sehr viel stärker aus. Als Faktor zwischen db und di wirkt hier das Verhältnis von h-hiono zu h, welches nicht wesentlich von eins abweicht. Ein Ko- ordinatenfehler von 1 cm bewirkt z.B. eine Verschiebung des Ionosphärenpunktes in 350 km Höhe um etwa 0.98 cm. Damit reicht die Genauigkeit der IGS-Stationen für diese Art der Anwendung voll- kommen aus. Da sich die LEOs i.d.R. direkt innerhalb der Ionosphäre bewegen, wirken sich deren Orbitfehler in ihrem vollen Betrag aus. Neben den Fehlern quer zur Ausbreitungsrichtung der Signale machen sich hier auch die radialen Differenzen direkt bemerkbar, und zwar umso stärker, je näher sich der Satellit an der Schicht maximaler Elektronendichte befindet. Die Bahnen sollten deshalb besonders sorgfältig berechnet werden. Die angegebene Genauigkeit der GPS/MET-Koordinaten von < 20 cm [DICK, G. (1997)] sind aber aufgrund der begrenzten Auflösung globaler Modelle selbst bei hohen Ionosphären- aktivitäten ausreichend. Neben der Genauigkeit spielt die Bereitstellungsgeschwindigkeit der einzelnen Ephemeriden eine Rollen. An eine Echtzeitanwendung ist aufgrund der Bereitstellungszeit der RINEX-Files keineswegs zu denken. Zwar gibt es mittlerweile einige Stationen, die ihre Daten stündlich zur Verfügung stellen, aber dies sind noch recht wenige. Auch müssen für den beschriebenen Modellansatz die Daten über mehrere Stunden gesammelt werden bevor mit der Auswertung begonnen werden kann. Die Verwendung von prädizierten Ephemeriden oder von Broadcastdaten bringt damit keinen Vorteil für 1 ohne SA, mit SA theoretisch um ein Vielfaches höher [HOFMANN-WELLENHOF, B.; LICHTENEGGER, H.; COLLINS, J. (1994)] 3 Beobachtungsdaten 37 das Modell. Statt dessen kann ebenso gut mit den genaueren Orbittypen gearbeitet werden. Für die Berechnungen in dieser Arbeit wurden die endgültigen präzisen IGS-Ephemeriden verwendet. Statt dessen können ohne relevante Genauigkeitseinbußen aber mit einer erheblichen Steigerung der Aktualität ebenso gut die schnellen IGS-Orbits verwendet werden. 3.3 Genauigkeitsanalyse Neben der Verteilung der Daten spielt natürlich ihre Genauigkeit eine äußerst wichtige Rolle für die Qualität der Ionosphärenmodellierung. Die Beobachtungen weisen ohne Zweifel ein Rauschen auf und enthalten aller Wahrscheinlichkeit nach zusätzlich noch systematische Fehler. Beide Anteile sollten möglichst gering bleiben und/oder sind durch geeignete Maßnahmen zu eliminieren oder entsprechend zu beachten. Im Gegensatz zu den zufälligen Fehlern, die sich im stochastischen Modell der Ausgleichung [vgl. Kapitel 4.4.2] korrekt berücksichtigen lassen, werden systematische Einflüsse (beispielsweise durch Mehrwegesignale) im Ausgleichungsansatz nicht repräsentiert und können die Modellparameter unter Umständen erheblich verfälschen, ohne das dies bei der Ergebnis- interpretation auffällt. Auf eine Analyse der Beobachtungsgenauigkeit lässt sich demnach nicht verzichten. Sie ist zwingend notwendig, um eine exakte Bereitstellung der Parameter des stochastischen Modells zu gewährleisten (v.a. durch einen entsprechenden Gewichtungsansatz) und gegebenenfalls auftretende systematische Fehler in der Genauigkeitsabschätzung berücksichtigen zu können. Aufgrund der unterschiedlichen Signalwege bietet sich auch an dieser Stelle eine Unterscheidung zwischen Bodenstationsdaten und LEO-Signalen an. 3.3.1 IGS-Stationen Von terrestrischen GPS-Daten liegen bereits umfangreiche Genauigkeitsanalysen vor [z.B. BRUNINI, C. (1998)]. An dieser Stelle sollen deshalb lediglich die auftretenden Effekte und Analysemethoden dargestellt sowie ältere Ergebnisse wiedergegeben werden. a) SV01, 01.01.1997 (AS on) b) SV01, 03.02.1997 (AS off) Abb. 3.7: Beobachtungsdaten für ausgewählte Satellitendurchgänge der Station ALBH Die Abb. 3.7 zeigt die Beobachtungsdaten (P2-CA bzw. P2-P1 [m], “Code“) über jeweils einen ge- samten Satellitendurchgang an zwei unterschiedlichen Tagen. Es handelt sich um Daten der Station ALBH (bei Victoria im Südwesten Kanadas), welche mit einen Rogue SNR-8100 Empfänger aus- gestattet ist. Zusätzlich ist ebenfalls noch die Trägerphasendifferenz L1-L2 [m] (“Phase“) dargestellt. 3 Beobachtungsdaten 38 Man erkennt deutlich den Unterschied im Rauschen der unterschiedlichen Datentypen. Auch ist ein Versatz zwischen beiden Datenreihen auszumachen, der sich einerseits aus den unbekannten Trägerphasenmehrdeutigkeiten und andererseits aus den Hardwarebiasdifferenzen ergibt. Im Gegen- satz zum linken Bild (01.01.1997, mit AS) konnte in der rechten Graphik wegen abgeschaltetem Anti- Spoofing der P-Code zur Berechnung verwendet werden. Subtrahiert man jeweils beide dargestellte Datentypen voneinander, bleibt neben einem konstanten Versatz, der durch Mittelwertreduzierung eliminiert werden kann, lediglich das Rauschen der beiden Beobachtungsreihen zurück. Weil das der Phase gegenüber dem des Codes zu vernachlässigen ist, spiegeln die verbleibenden Daten das Rauschen des Code-Beobachtungstyps wieder. Die Durchführung dieser Berechnungen für alle Satellitendurchgänge ergibt einen Überblick über das elevationsabhängige Rauschen der Station, welches in Abb. 3.8 dargestellt ist. a) 01.01.1997 (AS on) b) 03.02.1997 (AS off) Abb. 3.8: Beobachtungsrauschen auf der Station ALBH Selbstverständlich ist das Rauschverhalten stark vom jeweiligen Standpunkt und vor allem vom Empfängertyp abhängig. Die Analyse einer einzigen Station macht somit wenig Sinn. BRUNINI, C. (1998) analysierte 40 global verteilte IGS-Stationen mit unterschiedlichen GPS-Empfängertypen. Die Ergebnisse der Stationen wurden in 15 Minuten Intervalle gruppiert, von denen sich jeweils die empirische Standardabweichung in Abhängigkeit von der Elevation berechnen ließ. Mit Hilfe einer Regression ergab sich daraus ein funktionaler Zusammenhang zwischen Elevation und Beobach- tungsrauschen. Die Gleichung ( 3-6 ) beschreibt das Ergebnis der Untersuchungen. ( ) )4.17(75.305.0 EeE −⋅+=σ ( 3-6 ) mit σ: Beobachtungsrauschen für P2-CA1 [m] E: Satellitenelevation [°] Zusätzlich wurde ein Konfidenzintervall für die Unsicherheiten berechnet. Mit 90%iger Wahrscheinlich- keit liegt das Rauschen der IGS-Stationen unterhalb von ( ) )7.17(%90 63.304.1 EeE −⋅+=σ ( 3-7 ) Diese Angaben beziehen sich auf Daten, die zivile Empfänger (ohne bekannten Y-Code) bei aktivier- tem AS aufzeichnen. Unverschlüsselte Code-Beobachtungen weisen besonders unter niedrigen Elevationen eine erheblich bessere Genauigkeit auf, wie bereits die Abb. 3.8 zeigt. Eine deutliche 3 Beobachtungsdaten 39 Genauigkeitssteigerung ist auch durch die ausschließliche oder teilweise Verwendung von Trägerphasendaten zu erreichen [vgl. Abb. 3.7]. Darauf geht das Kapitel 3.3.3 näher ein. Das Ergebnis der vorliegenden Analyse eignet sich hervorragend zur Beschreibung der Genauig- keiten innerhalb eines Ausgleichungsansatzes und eine Beobachtungsgewichtung ist damit mühelos zu realisieren. Obwohl bisher immer von zufälligen Beobachtungsfehlern die Rede war, erfassen die dargestellten Untersuchungen natürlich auch eventuell vorhandene systematischen Fehler. Dies können – neben groben Messfehlern – beispielsweise Auswirkungen von Koordinatenfehlern [vgl. Kapitel 3.2.3] oder (bei Verwendung von Phasendaten) unentdeckte Cycle-Slips1 sein. Den größten Anteil stellen Fehler durch Mehrwegeeffekte2 dar, die besonders die Code-Messungen erheblich verfälschen können und sich auch nicht durch Linearkombinationsbildung beseitigen lassen. In der Regel kann man allerdings davon ausgehen, dass die Stationen des IGS-Netzes sehr sorgfältig gegen solche Mehrwegeeffekt geschützt werden: zum einen durch die Standortwahl selbst (möglichst wenig Reflektoren), zum anderen durch Unterdrückungsmechanismen an der Antenne (Groundplane, Chokering) und im Empfänger (Software). a) Ionosphärensignal SV19 b) Fehler des Code-Ionosphärensignals SV193 Abb. 3.9: Mehrwegeeffekte auf der Station CHAT (03.02.1997, AS off) Lassen sich trotz dieser Maßnahmen reflektierte Signale nicht von den direkten trennen, so lässt sich das anhand der Differenzen aus Code- und Phasen-Ionosphärensignal leicht erkennen, wie das Bei- spiel in der Abb. 3.9 zeigt. Die auf der Station CHAT (Waitangi, östlich von Neuseeland) auftretenden periodischen Schwingungen kennzeichnen den Einfluss von Mehrwegesignalen. Eine Möglichkeit der Unterdrückung solcher Einflüsse auf die Ionosphärenmodellierung liegt in der Auswahl der IGS- Stationen. Es sollten möglichst nur Daten von mehrwegefreien Stationen für die Ionosphärenmodel- lierung verwendet werden. Weiterhin kann man sich die starke Elevationsabhängigkeit der Fehler zu nutze machen. Das Einführen einen Elevationsmaske trägt erheblich dazu bei, diese systematischen Fehler zu reduzieren. Gleichzeitig verkleinert sich durch diese Maßnahme natürlich auch das auf- tretende Rauschen, welches ebenfalls mit sinkender Elevation zunimmt. In dieser Arbeit werden nur Beobachtungen verwendet, die eine Elevation von mindestens 20° aufweisen. Völlig zu vermeiden sind systematische Fehler dadurch allerdings nicht. Eine erhebliche Genauigkeitssteigerung ist durch die Verwendung von reinen Trägerphasensignalen oder einer Kombination von Code- und Phasendaten zu erwarten, da die Träger aufgrund ihrer viel geringeren Wellenlänge kaum von Mehrwegeeffekten beeinflusst werden. 1 Sprung in den Phasendaten durch Verlust der Mehrdeutigkeiten während der Messung 2 Verfälschungen durch reflektierte Signale, die sich den direkten Signalen überlagern 3 dargestellt ist die mittelwertreduzierte Differenz zwischen Code- und Phasen-Ionosphärensignal 3 Beobachtungsdaten 40 3.3.2 LEO-Satelliten Die LEO-Beobachtungen sind selbstverständlich denselben Fehlerquellen ausgesetzt wie die Boden- stationsdaten. Aufgrund der geänderten Bedingungen und Signalwege kann man allerdings nicht zwingend von einem identischen Fehlerverhalten ausgehen. Dies ist der Grund, warum an dieser Stelle auch für diesen Beobachtungstyp eine Genauigkeitsanalyse durchgeführt wird. Dazu stehen lediglich die Daten des GPS/MET-Empfängers zur Verfügung und die Ergebnisse sind nicht auf andere LEO-Missionen übertragbar. Die Abb. 3.10 zeigt zwei typische Signaldurchgänge des GPS/MET-Empfängers. Deutlich zu er- kennen ist der zunehmende ionosphärische Refraktionseinfluss beim Untergehen des GPS-Satelliten hinter der Atmosphäre der Erde. Da das Signal weit längere Strecken innerhalb der ionisierten Schicht zurücklegt als dies bei Bodenstationsverbindungen der Fall ist, werden viel größere Verzögerungen erreicht. a) SV01, 01.01.1997 (AS on) b) SV01, 03.02.1997 (AS off) Abb. 3.10: Ionosphäreninformation typischer Okkultationssignale Ebenfalls klar sichtbar ist das unterschiedliche Rauschniveau in Abhängigkeit vom Verschlüsselungs- status. Im Vergleich zur CA-Code Lösung bei aktivem Anti-Spoofing verläuft die reine P-Code- Differenz sehr glatt und weist lediglich ein geringes Rauschen auf. Allerdings werden so länger- periodische Effekte sichtbar, die wahrscheinlich von Mehrwegesignalen herrühren und bei aktivem AS vollständig im Rauchen untergehen. Dieses Verhalten ist in Abb. 3.11 a) deutlich zu erkennen. In dieser Graphik wird wiederum die Differenz von Code- und Phaseninformation dargestellt, welche zusätzlich um ihren jeweiligen Mittelwert reduziert sind, um Effekte durch Laufzeitdifferenzen in den Hardwareteilen und durch Mehrdeutigkeiten der Trägerphase zu eliminieren. Betrachtet man alle Satellitendurchgänge, die über einen Zeitraum von 24 Stunden auftreten, können folgende Sachverhalte erkannt werden: Am 01.01.1997 tritt ein extremes Rauschen in den Pseudostreckenbeobachtungen auf. Neben den zufälligen Fehlern ist auch eine stark erhöhte Ausfall- tätigkeit zu erkennen. Es kommt vermehrt zu Phasensprüngen und zu grob falschen Code-Messun- gen auf der L2-Frequenz. Die in Abb. 3.11b) dargestellten Fehler setzten sich aus beiden Anteilen zu- sammen und erreichen Beträge von bis zu 100 m. Dieses Verhalten lässt sich primär durch das aktivierte Anti-Spoofing erklären. Kleinräumige ionosphärische Effekte, die ebenfalls als Erklärungs- grund denkbar wären, sind am betroffenen Tag nicht nachzuweisen. Die Probleme decken sich mit Erfahrungen, die bei der Auswertung von Ørsted-Okkultationsmessungen gesammelt wurden [DMI (2000)]. Ohne vorherige Qualitätskontrolle und Vorprozessierung können diese Rohdaten nicht zu zu- verlässigen und zufriedenstellenden Ergebnissen führen. 3 Beobachtungsdaten 41 Im Gegensatz zu den Daten vom Januar sehen die Februar-Daten sehr viel besser aus. Das hier zu beobachtende "Rauschen" ist sehr viel geringer, was überwiegend an der Verwendung des unver- schlüsselten P-Codes liegen dürfte. Allerdings sind in diesen Signalen deutlich periodische Effekte zu beobachten, die unter eingeschaltetem AS vom Rauschen überlagert wurden. Wahrscheinlich sind es diese systematischen Anteile, die das Auftreten einer Elevationsabhängigkeit verhindern. Die Ursache der Effekte ist nicht zweifelsfrei nachzuweisen. Auslöser könnten eventuell Mehrwegesignale sein, die sich wegen der unregelmäßigen Geometriewiederholung nicht reproduzieren lassen und somit nicht nachweisbar sind. Ebenfalls als Ursache kommen Schwankungen im der Hardwarelaufzeitdifferenz des GPS/MET-Empfängers in betracht. a) einzelner Satellitendurchgang, SV01 b) gesamte Datenmenge über 24h Abb. 3.11: Code-Rauschen des GPS/MET Empfängers Die Vorgehensweise zur Zusammenfassung der graphischen Ergebnisse in mathematische Formeln ähnelt derjenigen der IGS-Datenanalyse: die ermittelten Code-Restfehler [Abb. 3.11b)] werden in Klassen unterschiedlicher Elevation zusammengefasst. Aus den Daten der jeweils 1° breiten Klassen lässt sich jeweils die empirische Standardabweichung berechnen und über der mittleren Elevation ab- tragen [vgl. Abb. 3.12]. a) 01.01.1997 (AS on) b) 03.02.1997 (AS off) Abb. 3.12: Standardabweichung der GPS/MET Daten Aus diesen Ergebnissen wird mittels einer Regression ein mathematischer Zusammenhang abgeleitet: 3 Beobachtungsdaten 42 ( ) )8.14(66.053.2 EonAS eE −⋅+=σ ( 3-8 a ) ( ) 36.0=EoffASσ ( 3-8 b ) Wie bereits die graphischen Interpretation des Code-Rauschens vermuten lässt, existiert in den Daten vom 03.02. im Gegensatz zu denen vom 01.01.1997 keine signifikante Elevationsabhängigkeit. Soll statt des GPS/MET-Satelliten ein anderer LEO verwendet werden, ist die Analyse mit den entsprechenden Daten zu wiederholen. Eine Übertragbarkeit verbietet sich schon wegen eventueller Unterschiede in den Bahnhöhen (und damit in den Elevationen). Es bleibt zu prüfen, ob die Genauigkeit der Beobachtungsdaten für eine Ionosphärenmodellierung ausreicht oder ob die Daten einer Vorprozessierung bedürfen. Da der militärische P-Code in der Regel nicht zur Verfügung steht, ist zu vermuten, dass besonders die Unsicherheit der rohen LEO-Daten den für diese Anwendung geforderten Genauigkeiten nicht gerecht werden. Abhilfe kann durch eine Tiefpaßfilterung der Daten oder durch eine Kombination von Code und Trägerphasenbeobachtungen entstehen. Mit beiden Verfahren lässt sich das Rauschen um mehrere Größenordnungen reduzieren. 3.3.3 Vorprozessierung der Beobachtungsdaten Es steht fest, dass die reinen Code-Beobachtungen von der Genauigkeit her nicht dieselben Möglichkeiten aufweisen wie Trägerphasenmessungen. Allerdings haben sie den Vorteil, ohne beson- deren Prozessierungsaufwand eindeutige Ergebnisse zu liefern. Für die Verarbeitung der reinen Phasendaten ist eine vollständige Mehrdeutigkeitslösung notwendig, die den Rechenaufwand so weit erhöht, dass Aufwand und Nutzen in keinem günstigen Verhältnis mehr stehen. Eine Genauigkeits- steigerung der Beobachtungsdaten ist aber unter Umständen trotzdem wünschenswert. Dazu bietet sich beispielsweise eine Rauschreduzierung der Code-Daten durch eine Tiefpaßfilterung an. Ebenfalls denkbar ist die Kombination beider Beobachtungstypen zur Erzeugung rauscharmer und trotzdem ein- deutiger Daten. Beide Verfahren sollen im Folgenden kurz vorgestellt werden. Ein weiteres gängiges Verfahren stellt die Bildung von Normalpunkten dar. Für eine genaue Beschreibung dieses Verfahrens sei auf die einschlägige Literatur verwiesen [z.B. FLECHTNER, F. (1999)]. 3.3.3.1 Tiefpaßfilter Um eine Zeitreihe vom Rauschen zu befreien, steht eine Vielzahl an unterschiedlichen Algorithmen zur Verfügung. Hier wird mit der einfachen aber trotzdem sehr wirkungsvollen Methode der gleitenden Mittelwertbildung (je nach Wahl mit konstanten Gewichten oder mit glockenförmiger Gewichtung) ge- arbeitet. Ebenso denkbar sind beispielsweise Polynomregressionen mit unterschiedlichen Filterlängen oder Normalpunktberechnungen. Im Rahmen der Vorprozessierung bietet es sich an, zeitgleich eventuell auftretende Ausreißer im Datenmaterial aufzudecken und zu eliminieren und die Daten ge- gebenenfalls auszudünnen. Gefiltert werden die abgeleiteten Ionosphärensignale und nicht die Pseudostreckenbeobachtungen selbst. Vor der eigentlichen Filterung müssen die Daten in einzelne Satellitendurchgänge getrennt werden, und Datenlücken sind zu erkennen und zu berücksichtigen. Für die einzelnen Zeitreihen kommen dann folgende Formeln zur Anwendung [TAUBENHEIM, J. (1969)]: Konstante Gewichte:  −= +⋅+ = k ki ijj xk z 12 1 für: j = k+1 ... n-1 mit: 2 1− = mk ( 3-9 ) oder 3 Beobachtungsdaten 43 Binomiale Glättung (Näherung für glockenförmige Gewichtung):  = + +  ⋅      ⋅= m i ijmmj x i m z 02 2 1 für: j = 1 ... n-m ( 3-10 ) wobei m: Filterlänge, Anzahl der Werte über die der Mittelwert berechnet wird, ungerade Zahl k: halbe Filterlänge n: Anzahl der Punkte in der Zeitreihe xi: Wert i der Ausgangszeitreihe zi: Wert i der gefilterten Zeitreihe Die entstehender Werte sind geglättet und weisen ein deutlich geringeres Rauschen auf als die Ausgangwerte. Durch die Wahl der Filterlänge kann man dieses Verhalten je nach Bedarf oder Notwendigkeit steuern. Sie ist so zu optimieren, dass keine aussagekräftigen Informationen eliminiert werden und trotzdem möglichst wenig Rauschen zurückbleibt. Bei dem vorgestellten Verfahren handelt es sich um rein mathematische Methoden, die keinerlei Realitätsbezug aufweisen. Daraus ergibt sich einerseits eine Unabhängigkeit von allen weiteren Datentypen, andererseits die Gefahr, signifikante Effekte ungewollt zu eliminieren. Aus diesem Grund bietet es sich an, die vorhandenen Trägerphasendaten nicht ungenutzt zu lassen, sondern zur Ge- nauigkeitssteigerung heranzuziehen. 3.3.3.2 Levelling Dieses Kapitel stellt ein Verfahren zur Kombination von Code- und Trägermessung vor, welches die Vorteile beider Beobachtungstypen in einem neuen Typ zusammenfasst. Die neuen Daten nennen sich "Levelling-Daten", weil die rauscharmen Trägerphasendaten auf das Niveau der absolut ge- lagerten Codedaten abgeglichen werden. Ähnliche Ergebnisse lassen sich auch mit dem sogenannten Carrier-Smoothing erzielen. Für jeden ununterbrochenen Satellitendurchgang wird der konstanter Versatz zwischen Code- und Phasenbeobachtungen berechnet. Sobald eine zeitliche Lücke und/oder ein Cycle Slip auftritt, ist ein neues Bogenstück zu definieren. Nach WILSON, B.D.; MANNUCCI, A.J. (1994) gilt: CL ii +Φ= mit: ( ) = Φ−= N i iiPN C 1 1 ( 3-11 ) wobei N: Anzahl der Werte im Bogen Pi: Code-Beobachtung P2-P1 [m] Φi: Trägerphasenbeobachtung L1-L2 [m] C: Konstante Li: Levelling-Beobachtung [m] 3.3.3.3 Vergleich der beiden Verfahren Beide Verfahren führen zu einem Genauigkeitsgewinn in den Ionosphäreninformationen. Dieser fällt bei der Zuziehung von Trägerphasendaten stärker aus als bei der Tiefpaßfilterung. Das Rauschen lässt sich stärker reduzieren, und systematische Mehrwegefehler werden nahezu ausgeschlossen. In Abb. 3.13 erkennt man diese Zusammenhänge ganz deutlich. Dargestellt ist das reine Code-Signal, die Levelling Daten und geglättet Code-Daten, die mit Hilfe einer gewichteten gleitenden Mittelwertbildung erzeugt worden sind [vgl. ( 3-10 ), mIGS=21, mLEO=15]. Während beim Tiefpaßfilter 3 Beobachtungsdaten 44 noch einige signifikante längere Perioden bleiben, die auf systematische Effekte hinweisen, enthält das phasengeglättete Signal keine periodischen Schwingungen mehr. IGS LEO 01 . 01 . 19 97 (A S o n ) 03 . 02 . 19 97 (A S o ff) Abb. 3.13: ionosphärische Beobachtungstypen beispielhafter Signalwege Allerdings können sich bei den Levelling-Daten leicht andere Systematiken bemerkbar machen. Beispielsweise verfälschen eventuell unentdeckt gebliebene Cycle-Slips die Ionosphärenmodellierung oder die Niveaufestlegung ist aufgrund von unregelmäßigem Verhalten des Code-Signals fehler- behaftet. Das Fehlen von Phasendaten oder die Häufung von Signalabrissen bewirken zeitliche Lücken in den Levelling-Daten und rufen eine deutliche Reduktion der verwendbaren Datenmenge hervor. Unter schlechten Bedingungen kann das zu einem Verlust von bis zu 25% der Daten führen [vgl. Tab. 3.3]. Tab. 3.3: Beobachtungsanzahl nach Vorprozessierung (beispielhaft) ALBH 001/97 ALBH 034/97 LEO 001/97 LEO 034/97 Rohdaten1 20315 20923 51917 59453 Levelling 20175 (99.3%)2 20915 (99.96%) 40437 (77.9%) 58976 (99.2%) Tiefpass (gew. Mittel) 19286 (94.9%) 20776 (99.3%) 51877( 99.9%) 59419 (99.9%) 1 grobe Ausreißer sind bereits eliminiert 2 Die prozentualen Angaben beziehen sich auf die Anzahl der Rohdaten 3 Beobachtungsdaten 45 Auch ein Tiefpaßfilter reduziert die verwendbare Datenmenge. Allerdings bleibt der Ausschuss hier in der Regel unterhalb weniger Prozent. Dieses Verhalten ist sowohl auf den Bodenstationen als auch beim GPS/MET-Satelliten zu beobachten. Ob der Genauigkeitsgewinn durch die Kombination mit den Phasendaten das Sinken der Beob- achtungsanzahl rechtfertigt, hängt von der Datenverteilung im jeweiligen Einzelfall ab und kann ledig- lich durch Versuchsprozessierungen gezeigt werden. Welches der vorgestellten Verfahren anzuwenden ist, richtet sich nach den vorliegenden Daten. Falls die Trägerdaten nicht zu viele Cycle Slips aufweisen, ist ihre Verwendung der einfachen Tiefpaß- filterung sicherlich vorzuziehen. Sind die Phasendaten allerdings wenig zuverlässig, sollte auf ihre Verarbeitung ganz verzichtet werden. In jedem Fall bringt die Vorprozessierung eine enorme Genauig- keitssteigerung gegenüber den reinen Code-Daten. Besonders bei aktiviertem AS scheint sie unum- gänglich. 4 Dreidimensionaler Modellansatz 46 4 DREIDIMENSIONALER MODELLANSATZ In diesem Kapitel soll der gewählte Modellansatz vorgestellt und diskutiert werden. Es handelt sich im Grundsatz um die Erweiterung des von BRUNINI, C. (1998) vorgestellten Modells. Ausgangspunkt der Modellierung ist eine Linearkombination der Pseudosteckenmessungen auf den beiden GPS-Frequen- zen [vgl. Kapitel 3.1, Gleichung ( 3-3 )]. Beobachtungsdaten von global verteilten IGS-Stationen lassen sich mit LEO-Beobachtungen in einem Ausgleichungsansatz kombinieren und stellen so die Grundlage der dreidimensionalen Elektronendichtemodellierung dar. 4.1 Sonnenfixiertes System Ziel der Modellierung ist eine Wiedergabe der Elektronendichte in drei Dimensionen. Vor der Wahl einer sinnvollen Parametrisierung ist zu klären, welches Koordinatensystem sich zur Berechnung anbietet. Wie in Kapitel 2.1 vorgestellt, wirken vier Einflussgrößen auf die Verteilung der freien Elektronen ein. Das sind neben der Höhe, die geographische Position, die geomagnetische Breite und die Zeit. Ebenfalls angesprochen wurde bereits der enger Zusammenhang zwischen der Zeit und der Länge eines Punktes auf der Erdoberfläche. Auch eine Umrechnung von geographischen in geomagnetische Positionen gestaltet sich unproblematisch. Damit bleiben nur noch drei unabhängige Einflussgrößen. Auf dem ersten Blick bietet sich eine horizontale Modellierung in Abhängigkeit von geographischer Breite und Länge an. Bedingt durch die schnelle zeitliche Änderung des Elektronengehalts müsste dann für jeden neuen Zeitpunkt ein neues Modell berechnet werden und neue Beobachtungen wären notwendig. Um eine ausreichende Menge an GPS-Daten zu erhalten, müsste man sehr viele Stationen verarbeiten, was einen enormen Messaufwand bewirkt. Verwendet man dagegen ein Koordinatensystem, in dem die zeitliche Änderung der Elektronendichte zumindest für kurze Zeitinter- valle zu vernachlässigen ist, können GPS-Beobachtungen über mehrere Epochen herangezogen werden. Damit lässt sich die notwendige Stationsanzahl erheblich begrenzen und die Leistungsfähig- keit des Ansatzes steigern [vgl. Kapitel 3.2.1]. Z X Y geomagnetischer Nordpol Sonnenmeridian h ϕm P Abb. 4.1: sonnenfixiertes System Die zeitliche Variation des Elektronengehalts hängt in erster Linie vom Stand der Sonne ab [vgl. Kapitel 2]. Wenn also in einem System gearbeitet wird, dessen X-Achse nicht fest mit der Erde verbunden ist, sondern die statt dessen mit der Sonne, bzw. mit dem Meridian wandert, in dem die 4 Dreidimensionaler Modellansatz 47 Sonne steht, treten lediglich noch geringe zeitliche Variationen auf, die für kurze Zeitintervalle in der Regel vernachlässigbar klein sind. Als zweiter Parameter bietet sich die geomagnetische Breite an, weil diese eine hohe Korrelation zur Elektronendichte aufweist [vgl. Kapitel 2.1.1]. Durch die Verkippung der Z-Achse vom geographischen Pol in den geomagnetischen Pol handelt es sich beim vorgestellten System nicht mehr um ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem. An der Eindeutigkeit der Punktbeschreibung ändert das allerdings nichts. Jeder Punkt in diesem System wird durch seine geomagnetische Breite ϕm und den Stundenwinkel der Sonne h (Winkel zwischen Ortsmeridian und Sonnenmeridian in der Äquatorebene) koordiniert. Den mathematische Zusammen- hang zu den üblichen geographischen Koordinaten ϕ und λ beschreiben die folgenden Gleichungen (sphärische Näherung): ( )( )000 coscoscossinsinarcsin λλϕϕϕϕϕ −⋅⋅+⋅=m [deg] ( 4-1 ) 12−+= UTCTh λ [h] ( 4-2 ) wobei N°= 5.780ϕ geographische Breite des geomagnetischen Nordpols W°= 690λ geographische Länge des geomagnetischen Nordpols UTCT Zeitpunkt der Beobachtung (Universal Time) Bei den für diese Anwendungen benötigten Genauigkeiten kann ohne weiteres statt der Weltzeit UT auch die GPS-Zeit verwendet werden, die sich nur um wenige Sekunden unterscheidet [WANNINGER, L. (1994)]. 4.2 Parametrisierung der Elektronendichte Die Beschreibung der dreidimensionalen Verteilung der freien Elektronen erfolgt durch eine Lage- funktion G in Kombination mit einer Höhenfunktion F. Die Lagevariationen sind dabei abhängig von geomagnetischer Breite und Stundenwinkel der Sonne und die Höhenänderung lässt sich als Funktion des Abstands zum Erdmittelpunkt r darstellen. ( ) ( ) ( )hGrFrhN mme ,,, ϕϕ ⋅= ( 4-3 ) Als Lagefunktion wird eine Kugelfunktionsentwicklung gewählt. Dabei handelt es sich um einen rein mathematischen Ansatz. Die Koeffizienten dieser Funktion haben mit einer Ausnahme (a00) keine physikalische Bedeutung sind aber gut geeignet, die Verteilung über einer Kugel zu beschreiben. ( ) ( ) = =       ⋅       ⋅+      ⋅= L l l m mlmlmlmm PmhbmhahG 0 0 sin 24 2 sin 24 2 cos, ϕpipiϕ ( 4-4 ) wobei L: Grad der Kugelfunktionsentwicklung alm, blm: Koeffizienten der Kugelfunktionsentwicklung1 Plm(sinϕm) vollständig normalisierte Legendre-Polynome2 1 Bei der Umsetzung der Formeln ist darauf zu achten, dass die Koeffizienten blm für m=0 unbestimmt werden. Aus diesem Grund dürfen die bl0 nicht mitgeschätzt werden. Die Anzahl der Koeffizienten der Lagefunktionsentwicklung reduziert sich somit auf (L+1)². 2 Die Berechnungsformeln für diese Größen befinden sich im Anhang, Seite 135 4 Dreidimensionaler Modellansatz 48 Als Höhenfunktion bietet sich die Verwendung einer Chapman-Layer-Funktion an [vgl. Kapitel 2.3.1]. Da sich diese im Allgemeinen in ihren freien Parametern nicht linear verhält, ist zusätzlich eine Lineari- sierung mittels Taylor-Entwicklung durchzuführen. Nur so lassen sich die freien Parameter der Funk- tion in einer Ausgleichung mitbestimmen. Auch die Höhenfunktion stellt sich dann als Summe dar. ( ) ( ) = ⋅= K k kk rfcrF 0 ( 4-5 ) wobei K: Grad der Höhenfunktionsentwicklung ck: Koeffizienten der Höhenfunktion Der Chapman-Ansatz ist selbstverständlich nicht die einzige sinnvolle Beschreibung der Höhen- abhängigkeit. Er repräsentiert die vertikale Elektronendichteverteilung aber hinreichend gut und ist mathematisch leicht handhabbar. Im Prinzip lässt sich auch jede andere physikalisch sinnvolle Funktion als Höhenfunktion benutzen. Bevor die Höhenfunktionsformel in Kapitel 4.2.1 konkretisiert wird, erfolgt an dieser Stelle zunächst die Weiterverfolgung der Verknüpfung der beiden Einzelfunktionen. ( ){ } ( ) = ==       ⋅       ⋅+      ⋅⋅⋅= L l l m mlmlmlm K k kke PmhbmharfcN 0 00 sin 24 2 sin 24 2 cos ϕpipi ( 4-6 ) Eine strenge Problemlösung erfordert die Ausmultiplikation der Summenterme, die jeden Höhen- funktionssummand mit den einzelnen Kugelfunktionssummanden verknüpft. Für jede Lagekoordinate gelten dann andere Chapmanparameter. Diese Vorgehensweise führt allerdings zu einem sprung- haften Anstieg der Anzahl der zu bestimmenden Koeffizienten, so dass sich bereits für relativ geringe Auflösungen (L=6 und K=10) extrem viele Unbekannte (490) ergeben. Um dies zu umgehen, wird mit einer Näherungslösung gearbeitet: Man bezieht lediglich den ersten Summanden der Höhenfunktion (genähertes Höhenprofil) auf die gesamte Kugelfunktionsentwicklung und multipliziert alle folgenden Terme lediglich mit a00. Die besondere Stellung dieses Kugelfunktionskoeffizienten lässt sich durch seine physikalische Bedeutung begründen. Er repräsentiert die mittlere Oberflächendichte der freien Elektronen [BRUNINI, C. (1998)] und sein Zahlenwert liegt deutlich über denen der anderen Kugel- funktionskoeffizienten. Die Vernachlässigung der Höhenfunktionsterme für k>0 ist nur zulässig, wenn diese vergleichsweise geringe Beträge annehmen, wenn also gute Näherungswerte für die Chapman- parameter vorliegen. Die Einhaltung dieser Bedingung wurde nicht theoretisch überprüft, Simulations- rechungen zeigen aber die Gültigkeit der Annahme. Damit folgt: =eN ( ) ( ) = =       ⋅       ⋅+      ⋅⋅⋅ L l l m mlmlmlm Pmhbmharfc 0 0 00 sin24 2 sin 24 2 cos ϕpipi + ( ) = ⋅⋅ K k kk rfca 1 00 ( 4-7 ) Die Koeffizienten alm, blm und ck fasst man zusammen und nennt sie almk und blmk. Es ergeben sich dann insgesamt (L+1)²+K Koeffizienten1. 1 a000, a100, a110, a200, a210, a220,...aLL0, b110, b210, b220,..., bLL0, a001, a002,..., a00K 4 Dreidimensionaler Modellansatz 49 Die endgültige Formel zur Berechnung der Elektronendichte lautet: ( ) ( ) ( )  = = = +       ⋅       ⋅+      ⋅⋅= L l l m K k kkmlmlmlme rfaPmhbmharfN 0 0 1 00000 sin24 2 sin 24 2 cos ϕpipi ( 4-8 ) Jetzt ist der Übergang von der Elektronendichte an einem beliebigen Ort im dreidimensionalen System auf den Elektronengehalt entlang eines speziellen GPS Signalweges notwendig. Diesen Zusammenhang liefert die Gleichung ( 2-6 ). Es gilt dann: ( ) ( ) ( )   = = = +       ⋅       ⋅+      ⋅⋅= D L l l m K k kkmlmlmlm dsrfaPmhbmharfTEC 0 0 1 00000 sin24 2 sin 24 2 cos ϕpipi ( 4-9 ) Die Integration darf einzeln über die jeweiligen Summanden durchgeführt werden, wobei es sich an- bietet, die Koeffizienten als Konstanten vor die Integrale zu ziehen. [ ] [ ]  = == ⋅+⋅+⋅= L l K k h kk l m b lmlm a lmlm IaIbIaTEC 0 1 0000 0 0000 ( 4-10 ) mit: ( ) ( ) ⋅      ⋅= D mlm a lm dsPmhrfI ϕpi sin24 2 cos00 ( ) ( ) ⋅      ⋅= D mlm b lm dsPmhrfI ϕpi sin24 2 sin00 ( )= D k h k dsrfI 00 Diese Formel zur Berechnung des TEC kann man in die Formel ( 3-3 ) einsetzen. Die Beobachtungsgleichungen sind damit linear bezüglich der Unbekannten alm0, blm0 und a00k und lassen sich gut in einem Ausgleichungsalgorithmus verarbeiten. Näheres über die Integration findet sich im Abschnitt 4.3. 4.2.1 Höhenfunktion An dieser Stelle erfolgt eine tiefergehende Auseinandersetzung mit dem gewählten Höhenmodell und die Konkretisierung der Formeln aus Kapitel 4.2. Als Höhenfunktion bietet sich die Wahl eines α- Chapman-Layer unter zenitaler Sonneneinstrahlung [vgl. 2.3.1] an (im folgenden kurz Chapman-Layer genannt).      − −−⋅ ⋅= zez m eqrq 15.0)( ; H rr z m − = ( 4-11 ) wobei q(r): Elektronendichte in der Höhe r rm: Höhe maximaler Elektronendichte (ab Erdmittelpunkt) qm: Elektronendichte in der Höhe rm H: Skalenhöhe z: reduzierte Höhe 4 Dreidimensionaler Modellansatz 50 Die Funktion besitzt drei freie Parameter: die Höhe der maximalen Elektronendichte hm=rm-Erdradius, die üblicherweise zwischen 200 und 400 km liegt, die Skalenhöhe H, welche das Höhenintervall angibt, in dem die Funktion sich um den Faktor e = 2.71828... ändert und die maximale Elektronen- dichte qm. Da in diesem Anwendungsfall die absolute Elektronendichte bereits durch die Lagefunktion modelliert wird, interessiert an dieser Stelle lediglich die Form der Funktion und es erfolgt eine Normierung der Gleichung. ( ) ( )  −−−⋅== zez m e q rq rF 15.0 ( 4-12 ) Noch ist diese Gleichung nicht linear bezüglich der unbekannten Parameter, wie es die Formel ( 4-5 ) fordert. Dies lässt sich durch eine Taylor-Entwicklung aber schnell erreichen. Problematischer ist die geringe Unbekanntenanzahl (K=2). Die Parameter des Chapman-Layer gelten momentan über der gesamten Fläche der Ionosphäre. Solche konstanten Verhältnisse sind allerdings unrealistisch. Um eine Variation der Höhenfunktionsparameter zuzulassen und damit dem Problem zusätzliche Frei- heitsgrade zu geben (K>2), ist eine Modellerweiterung notwendig. Im folgenden wird davon ausgegangen, dass sowohl die Höhe der maximalen Elektronendichte als auch die Skalenhöhe mit der Tageszeit und mit der geomagnetischen Breite variieren. Es bietet sich an, zunächst beide Abhängigkeiten unabhängig voneinander zu untersuchen. Wichtig ist, dass die Variationen kontinuierlich ablaufen und keine Unstetigkeitsstellen auftreten. Weiterhin sollten die verwendeten Formeln einerseits theoretisch begründbar andererseits aber auch mathematisch nicht zu kompliziert ausfallen. Deshalb wird die Änderung als Sinusschwingung modelliert, deren Amplitude und Phasenlage frei schätzbar sind. Die Periode dieser Schwingung wird als feste Größe in die Gleichung eingeführt und bestmöglich an die physikalische Realität angepasst. Damit ergibt sich der folgende Ansatz: 4.2.1.1 Stundenwinkelabhängigkeit der Höhenfunktion Der Elektronendichtegehalt ändert sich mit dem Sonnenstand und damit mit der Tageszeit. Es ist davon auszugehen, dass auch die Höhenfunktionsparameter in Abhängigkeit vom Stundenwinkel der Sonne variieren [vgl. Kapitel 2.3.1]. Die Periode dieser Änderung lässt sich durch die Erdrotation auf einen Tag festlegen. Auf dieser Grundlage wird die Schwingung mit T = 2pi = 24h (ω = 1rad/sec) eingeführt. Damit ergeben sich die folgenden Gleichung für die Höhenfunktionsparameter: ( ) ( ) ( )hhhhrhr scmm sincos0 ⋅+⋅+= ( 4-13 a ) ( ) ( ) ( )hHhHHhH sc sincos0 ⋅+⋅+= ( 4-13 b ) Das bedeutet für rm einen Phasenwinkel von ( )sc hharctan0 =ϕ und eine Amplitude von ( )0cos ϕchA = . Für H gilt entsprechendes. Die gewählte Periode lässt sich durch andere Modelle bestätigen. Die IRI-95 [vgl. 2.3.2] stellt den Parameter hmf2 zur Verfügung, welcher die Höhe der maximalen Elektronenproduktion der F2- Schicht angibt. Die folgende Graphik zeigt die Variation dieses Parameters für die Station Stuttgart (48.8°N, 9.2°W) am 01.01.1997. Man erkennt, dass sich diese Änderung hinreichend gut durch eine Sinusschwingung mit einer Periode von T=24h repräsentieren lässt (durchgezogene Linie). Die 4 Dreidimensionaler Modellansatz 51 Koeffizienten der Funktion können mittels einer Regression berechnet werden und ergeben sich zu rm0= 261.3 km, hc= 55.2 km und hs= 3.2 km. Abb. 4.2: IRI95, Stuttgart, 01.01.1997 4.2.1.2 Breitenabhängigkeit der Höhenfunktion Die Vorgehensweise zu Untersuchung der Abhängigkeit der Höhenfunktionsparameter von der geo- magnetischen Breite entspricht derjenigen zur Analyse der Stundenwinkelabhängigkeit. Lediglich die Fixierung der Periode ist zu überdenken. Da hier die Theorie keine eindeutige Festlegung zulässt, wird die Schwingungsdauer diesmal direkt aus dem Vergleich mit dem IRI-Modell ermittelt. Die beste Übereinstimmung ergibt sich bei ω = 3 rad/sec bzw. T=120°. Abb. 4.3: IRI95, λmag=0°, 18Uhr UT, 01.01.1997 Die Gleichungen für die Breitenvariation lauten damit: ( ) ( ) ( )msmcmmm bbrr ϕϕϕ 3sin3cos0 ⋅+⋅+= ( 4-14 a ) ( ) ( ) ( )msmcm BBHH ϕϕϕ 3sin3cos0 ⋅+⋅+= ( 4-14 b ) Dieser Variationsansatz ist, wie ein Blick auf die Abb. 4.3 zeigt, sicher nicht optimal. Die generelle Tendenz des Funktionsverlaufes wird allerdings wiedergegeben. Anhand von Probedurchläufen mit realen Daten bleibt zu testen, ob an dieser Stelle sinnvollere Funktionen zur Anwendung kommen 4 Dreidimensionaler Modellansatz 52 können oder müssen. Hier ist unter Umständen ein Ansatzpunkt für weitere Verbesserungen des Modells zu sehen. Insgesamt lassen sich die eingeführten Variationen der Höhenfunktionsparameter in folgenden Gleichungen zusammenfassen: ( ) ( ) ( ) ( )msmcscmm bbhhhhrr ϕϕ 3sin3cossincos0 ⋅+⋅+⋅+⋅+= ( 4-15 ) ( ) ( ) ( ) ( )msmcsc BBhHhHHH ϕϕ 3sin3cossincos0 ⋅+⋅+⋅+⋅+= ( 4-16 ) Statt der ursprünglichen zwei freien Parameter ergeben sich jetzt zusätzlich je zwei Parameter für die Stundenwinkelvariation und je zwei für die Breitenvariation, so dass maximal 10 Parameter (K=10) geschätzt werden können. Tab. 4.1: Summationsglieder der Höhenfunktion ck fk(r) k=0 1     − −−⋅ ⋅ 0015.0 0 zez m eq k=1 rm-rm0 )1(5.0 0 0015.0 0 0 z zez m ee H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅ k=2 H-H0 )1(5.0 0 0015.0 0 0 0 z zez m eez H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅⋅ k=3 hc-hc0 )1(5.0)cos( 0 0015.0 0 0 z zez m eeh H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅⋅ k=4 hs-hs0 )1(5.0)sin( 0 0015.0 0 0 z zez m eeh H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅⋅ k=5 Hc-Hc0 )1(5.0)cos( 0 0015.0 0 0 0 z zez m eehz H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅⋅⋅ k=6 Hs-Hs0 )1(5.0)sin( 0 0015.0 0 0 0 z zez m eehz H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅⋅⋅ k=7 bc-bc0 )1(5.0)3cos( 0 0015.0 0 0 z zez m m ee H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅ϕ⋅ k=8 bs-bs0 )1(5.0)3sin( 0 0015.0 0 0 z zez m m ee H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅ϕ⋅ k=9 Bc-Bc0 )1(5.0)3cos( 0 0015.0 0 0 0 z zez m m eez H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅ϕ⋅⋅ k=10 Bs-Bs0 )1(5.0)3sin( 0 0015.0 0 0 0 z zez m m eez H q −      − −−⋅ −⋅⋅⋅ϕ⋅⋅ 4 Dreidimensionaler Modellansatz 53 Nun ist noch eine Linearisierung der Funktion notwendig, damit sich eine Gleichung der Form ( 4-5 ) ergibt. Diese wird mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung unter Beschränkung auf die ersten Ableitungen durchgeführt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...0000000 0 +−⋅ ∂ ∂ +−⋅ ∂ ∂ +−⋅ ∂ ∂ += ⋅= = cc c mm m K k kk hh h rF HH H rF rr r rF rF rfcrF ( 4-17 ) Die einzelnen Summanden lassen sich durch die partiellen Ableitungen der Funktion nach den freien Parametern berechnen. Tab. 4.1 fasst die dabei entstehenden Ergebnisse zusammen. Erweiterungen der vorgestellten Höhenfunktion sind durchaus möglich, aber momentan nicht reali- siert. Denkbar wäre z.B. eine Überlagerung mehrerer Sinusschwingungen unterschiedlicher Periode und/oder die Einführung zusätzlicher Chapman-Layer. 4.3 Integration Hier gilt es mehrere Probleme zu lösen: Neben der Festlegung der Integrationsgrenzen muss die Integrationsstrecke geeignet parametrisiert werden. Außerdem ist ein akzeptabler Integrations- algorithmus zu wählen, der zum einen die geforderte Genauigkeit bietet, zum anderen aber nicht zu rechenzeit- und speicherplatzintensiv arbeitet. Die in Kapitel 4.2 gegebenen Integrale sind durchweg Integrale über den Weg der GPS-Signale. Es handelt sich demnach um Kurvenintegrale, die laut MERZINGER, G., WIRTH,T. (1991) folgendermaßen in gewöhnliche Integrale über den Parameterbereich umzuwandeln sind: ( )( ) ( )  ⋅= K b a dppxpxfdsf  wobei: p x x ∂ ∂ =   ( 4-18 ) Die Krümmung der Satellitensignale soll an dieser Stelle vernachlässigt werden [vgl. 2.2]. Wir haben es demnach mit einer geraden Verbindungslinie vom Empfänger zum Satelliten zu tun. Diese Gerade lässt sich folgendermaßen darstellen: ( ) ( )RSR xxpxpx  −⋅+= mit: 10 ≤≤ p ( 4-19 ) xR und xS sind die Vektoren zu Empfänger und Satellit. Deren Positionen müssen für jeden Beobachtungszeitpunkt mit ausreichender Genauigkeit [vgl. Kapitel 3.2.3] vorliegen. Mit p wird ein Laufparameter definiert, der sich zwischen 0 und 1 bewegt. Jeder Punkt der Gerade lässt sich somit durch seine Koordinaten im kartesischen System beschreiben: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RSR RSR RSR zzpzpz yypypy xxpxpx −⋅+= −⋅+= −⋅+= mit: 10 ≤≤ p ( 4-20 ) 4 Dreidimensionaler Modellansatz 54 Für das Bogenelement gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) dpzzyyxxdppxds RSRSRS 222 −+−+−==  ( 4-21 ) Jetzt ist noch der Übergang in das sonnenfixierte Koordinatensystem vorzunehmen. Dazu geht man schrittweise vor: Zuerst erfolgt die Umrechnung in geographische Koordinaten ϕ,λ (sphärische Approximation) und den Radius r ( ) ( )( )( ) ( )( )         −⋅++−⋅+ −⋅+ = 22 arctan RSRRSR RSR yypyxxpx zzpz pϕ ( ) ( )( )      −⋅+ −⋅+ = RSR RSR xxpx yypy p arctanλ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )222 RSRRSRRSR zzpzyypyxxpxpr −⋅++−⋅++−⋅+= ( 4-22 ) und im Anschluss daran die Umrechnung in ϕm(p) und h(p) nach den Formeln ( 4-1 ) und ( 4-2 ). Zur Rechenzeitersparnis bietet sich eine Verkürzung des Integrationsweges an. Es wird davon ausgegangen, dass sich die freien Elektronen lediglich in einem bestimmten Höhenbereich zwischen Erdoberfläche und Satellit befinden. Man arbeitet mit der Annahme, dass oberhalb von 1000 km und unterhalb von 60 km keine relevante Beeinflussung der Satellitensignale mehr stattfindet. Diese zulässige Vernachlässigung rechtfertigt eine Beschränkung der Integration auf einen Bereich zwischen den beiden kugelförmigen Höhenschalen. Statt der Integrationsendpunkte PR und PS kann mit den Schnittpunkten P1 und P2 gearbeitet werden. Die Formeln zur Berechnung der Schnittpunkte zwischen Satellitensignalweg und Kugelschale finden sich im Anhang [vgl. Seite 136]. Im Fall des GPS/MET-Satelliten [vgl. Kapitel 3.2.2] verläuft die Bahn innerhalb der Ionosphären- schicht. In diesem Spezialfall verbietet sich selbstverständlich die Veränderung der Koordinaten für den Endpunkt der Integration. PS PR ERDE IONOSPHÄRE PR LEO-BAHN PR=P1 P2 P1 P2 P2 =P1 Abb. 4.4: Integrationsgrenzen Die benötigte Satellitenkoordinaten (GPS und LEO) sind frei zugänglich. In dieser Arbeit wird mit Präzisen Ephemeriden im NGS-SP3-Format [SPOFFORD, P.R., REMONDI, B.W. (2002)] gearbeitet, wie 4 Dreidimensionaler Modellansatz 55 sie beispielsweise der IGS bereitstellt. Die Interpolation zwischen den gegebenen Zeitpunkten erfolgt mittels Lagrange-Interpolation [HOFMANN-WELLENHOF, B.; LICHTENEGGER, H.; COLLINS, J. (1994)] Jetzt liegen alle notwendigen Informationen zur vollständigen Berechnung der Integrale aus ( 4-10 ) vor. Es bietet sich eine numerische Lösung an, die in Bezug auf Genauigkeit und Geschwindigkeit zu optimieren ist. Im folgenden wird der gewählte Ansatz vorgestellt. Die getroffene Auswahl begründet sich vor allem durch die Existenz feiner Abstufungsmöglichkeiten, die zu einer bestmöglichen Abstimmung zwischen Rechenzeit und Genauigkeit führen. Sicherlich sind aber auch zahlreiche andere Algorithmen in der Lage, das vorliegende Problem zufriedenstellend zu lösen. 4.3.1 Gauß-Legendre Quadratur Grundgedanke der numerischen Quadratur ist es, das zu lösende Integral als gewichtete Summe möglichst weniger Einzelfunktionen darzustellen und dabei die bestmögliche Approximation zu erreichen.   = ≈ b a n i ii xfwdxxfxw 0 )()()( ( 4-23 ) Die xi bezeichnet man als Stützstellen und die wi heißen Gewichte. Eine einfache numerische Quadratur stellt zum Beispiel die Trapez-Regel dar, die mit gleicher Gewichtung wi ≡ 1 und äquidistanten Stützstellen arbeitet. Eine wichtige Klasse an numerischen Quadraturmethoden bilden die sogenannten Gaußschen Integrationsformeln. Mit ihnen lässt sich ein maximaler algebraischer Genauigkeitsgrad erreichen [ISAACSON, E.; KELLER, H.B. (1973)]. Die Stützstellen dieser Formeln sind durch die Nullstellen von bestimmten Polynomen (Orthogonalpolynome) gegeben. Das hier verwendete Gauß-Legendre- Verfahren arbeitet mit Legendre-Polynomen Pn(x), aus denen auch die zugehörigen Gewichte berechnet werden. Die genauen Formeln sind ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I.A. [EDS.] (1965) zu entnehmen. Dort findet man auch vertafelte Werte für die xi und wi. Da die Zahlen nur für ein Integra- tionsintervall von [-1,+1] gelten, muss zusätzlich ein Übergang auf beliebige Grenzen a, b erfolgen:  = ⋅ − ≈ n i ii b a yfwabdyyf 1 )( 2 )( mit:       + +⋅      − = 22 ab x aby ii ( 4-24 ) Die notwendige Stützpunktanzahl ist je nach geforderter Genauigkeit und Rechenzeit zu wählen. Für die vorliegende Art der Anwendung bietet sich eine Abstufung in Abhängigkeit von der Elevation der Beobachtungen an. Für flach einfallende Satellitensignale, die einen langen Weg durch die Iono- sphäre zurückgelegt haben, sind zum Erreichen der notwendigen Genauigkeit mehr Stützstellen nötig, als für steile Signale. Die genaue Anzahl ergibt sich aus Simulationsberechnungen. Um für alle Elevationen Genauigkeiten unter einem Zentimeter in den simulierten Beobachtungen P2-P1 zu gewährleisten, arbeitet der Algorithmus mit folgenden Unterteilungen: n = 6 für ele ≥ 0° n = 20 für ele < 0° ( 4-25 ) Zusätzlich ist eine Streckenunterteilung implementiert, die eine Einbeziehung der Schicht maximaler Elektronendichte erzwingt. 4 Dreidimensionaler Modellansatz 56 4.4 Ausgleichungsansatz Aus den abgeleiteten GPS-Beobachtungen sollen nun mit Hilfe des Ansatzes der kleinsten Quadrate die unbekannten Modellparameter geschätzt werden. Eine Ausgleichung nach vermittelnden Beob- achtungen bietet die Möglichkeit, Daten eines längeren Zeitintervalls im gewählten Koordinatensystem (sonnenfixiert) optimal in ein Modell zu integrieren. Der allgemeine Formelapparat und weitergehende Hinweise sind z.B. PELZER, H. (1985) zu ent- nehmen. 4.4.1 Funktionales Modell Im Kapitel 3.1 wurde der Zusammenhang zwischen den skalierten Differenzen der beiden gemessenen Pseudostecken (Beobachtungen) und dem unbekannte TEC entlang des Signalweges hergeleitet. Die Formel ( 4-10 ) liefert dann die notwendige Parametrisierung des TEC, um die Beobachtungen L als Funktion der Unbekannten X auszudrücken. Damit lässt sich ein funktionales Modell der Form ( ) 1,1,1, ˆˆ unn XL ϕ= ( 4-26 ) mit Lˆ : ausgeglichene Beobachtungen Xˆ : ausgeglichene Unbekannte bereitstellen. ϕ stellt eine vektorwertige Funktion dar und enthält die in Kapitel 3.1 vorgestellten n Be- obachtungsgleichungen. Die Unbekannten lassen sich in mehrere Gruppen einteilen. Neben den Kugelfunktionskoeffizienten alm0 und blm0 und den Höhenkoeffizienten ck = a00k / a000 existiert eine dritte Unbekanntenklasse, zu der die Laufzeitdifferenzen in den Satelliten und in den Empfängern gehören. Insgesamt müssen u Größen bestimmt werden [vgl. Formel ( 4-29 )]. Nach den Formeln der Ausgleichungsrechnung nach vermittelnden Beobachtungen ergibt sich der Vektor der ausgeglichenen Unbekannten wie folgt: ( ) ( )lPAAPAXX ⋅⋅⋅⋅⋅+= − T1T0ˆ ( 4-27 ) Dabei besteht der Vektor l aus den sogenannten gekürzten Beobachtungen, also aus den Differenzen zwischen den real gemessenen und den mit den genäherten Unbekannten berechneten (genäherten) Pseudostreckendifferenzen. Die Gewichtsmatrix P beschreibt die Genauigkeiten im Modell und wird in Kapitel 4.4.2 näher beleuchtet, und der Vektor X0 repräsentiert Näherungswerte für die Unbekannten. Die Designmatrix A enthält die partiellen Ableitungen der Beobachtungsgleichungen nach den Unbe- kannten und beschreibt damit die Geometrie des Problems. ( ) 01 1 1 1 0        ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =      ∂ ∂ = u nn u XX XX X X ϕϕ ϕϕ ϕ    A ( 4-28 ) 4 Dreidimensionaler Modellansatz 57 Bei der Lösung der Gleichung ( 4-27 ) ist zu beachten, dass das System im Normalfall unterbestimmt ist. Weil nicht alle Hardware-Bias unabhängig voneinander geschätzt werden können, weist die Designmatrix einen Rangdefekt auf. In diesem Fall ergibt sich eine singuläre Normalgleichungsmatrix N=AT·P·A, die nicht invertierbar ist. Abhilfe kann durch eine willkürliche Niveaufestlegung geschaffen werden. Dazu setzt man einen Bias-Wert als konstant null und berechnet alle anderen Werte relativ zu diesem willkürlichen Ausgangswert. Damit reduziert sich die Anzahl der Unbekannten um eins und es gilt: ( ) satanzstatanzKLu +−+++= 11 2 ( 4-29 ) mit (L+1)² : Anzahl der Kugelfunktionskoeffizienten, L=Entwicklungsgrad der Lagefunktion K: Anzahl der Höhenfunktionskoeffizienten, Entwicklungsgrad der Höhenfunktion statanz: Anzahl der Empfänger satanz: Anzahl der GPS-Satelliten u: Anzahl der Unbekannten Da im vorliegenden Fall mehreren Unbekanntenklassen vorliegen, bietet sich auch eine Unterteilung der Designmatrix an: [ ]SRTEC , AAAA = un ( 4-30 ) ATEC enthält die Integrale aus ( 4-10 ):      ⋅= hn K hnbn LL bnan LL anan h K hb LL ba LL aa h K hb LL ba LL aa IIIIIII IIIIIII IIIIIII f 0000101000100000 2 00 2 001 2 0 2 100 2 0 2 100 2 000 1 00 1 001 1 0 1 100 1 0 1 100 1 000 2 1 TEC 3.40     A ( 4-31 a ) In der Matrix AR finden sich die Ableitungen der Beobachtungsgleichung nach den unbekannten Empfänger-Laufzeitdifferenzen. Zum Großteil besteht diese Matrix aus Nullen, weil für jede Beob- achtung nur ein Empfänger Verwendung findet und für alle anderen Unbekannten die Ableitung zu null wird. Entsprechendes gilt für die Matrix AS, welche die Ableitungen nach den Satelliten-Laufzeitfehlern enthält.      ⋅⋅⋅= − T n T 2 T 1 9 R 10 e e e A  ck [ ]010Ti =e ( )    ≠ = = i i recnrjfalls recnrjfalls 0 1jie ( 4-31 b )      ⋅⋅⋅= − T n T 2 T 1 9 S 10 f f f A  ck [ ]010Ti =f ( )    ≠ = = i i satnrjfalls satnrjfalls 0 1jif ( 4-31 c ) 4 Dreidimensionaler Modellansatz 58 Die Näherungswerte für die Unbekannten sind lediglich notwendig, falls die Gleichungen zur Problem- lösung linearisiert werden müssen. Im Falle der Lagefunktionskoeffizienten und der Hardwarebias- terme ist dies nicht erforderlich, weil die Gleichungen bereits linear vorliegen [vgl. ( 3-3 ) und ( 4-10 )]. Die Höhenfunktionskoeffizienten dagegen müssen näherungsweise bekannt sein, um zu ausgeglich- enen Größen zu gelangen [vgl. ( 4-17 )]. Existieren lediglich ungenaue Näherungen, ist eine Iteration des Ausgleichungsprozesses nötig. Als Abbruchkriterium für die Iteration vergleicht man die Änderungen der Höhenparameter zwischen den einzelnen Iterationen mit den Genauigkeiten der Höhenfunktionsunbekannten: Ist eine Konvergenz bis auf die Standardabweichung des Wertes erfolgt, gilt dies als erfolgreiche Bestimmung der Parameter1. 4.4.2 Stochastisches Modell Neben den funktionalen Zusammenhängen müssen auch die stochastischen Verhältnisse im Modell Berücksichtigung finden. Dies erfolgt im stochastischen Modell. Dabei wird vorausgesetzt, dass die verwendeten Beobachtungen lediglich mit zufälligen Fehler behaftet sind und keine systematischen Fehler aufweisen. Ist dies nicht der Fall, so fallen die berechneten Genauigkeiten der ausgeglichenen Größen stets zu positiv aus. Es sollte deshalb immer darauf geachtet werden, die systematischen Fehler (z.B. durch Mehrwegeeinflüsse [vgl. Abschnitt 3.3]) möglichst gering zu halten. Aus den Beobachtungsunsicherheiten wird die Gewichtsmatrix P berechnet, die für die Lösung der Gleichung ( 4-27 ) notwendig ist. Sie ergibt sich als Inverse der Kofaktormatrix der Beobachtungen: 1 LL − = QP mit: LLLL Q ⋅= 2 0 1 σ ( 4-32 ) Die Variable σ0 stellt dabei die a-priori Standardabweichung der Gewichtseinheit dar. Diese Größe lässt sich weitgehend frei wählen, sollte aber einen guten Anhaltswert für die Genauigkeit der Beobachtungen darstellen. Als einfachste Lösung von ( 4-32 ) bietet sich die Annahme gleichgenauer Beobachtungen an. Dann wird P zur Einheitsmatrix und es findet keine Gewichtung der Linearkombination der Pseudostrecken statt. Da das Beobachtungsrauschen stark von der Elevation abhängt, unter der die Messung statt- findet, bietet eine elevationsabhängige Gewichtung aber durchaus Vorteile. Die Gewichtsfunktion kann aus einer Analyse der Beobachtungen [vgl. Kapitel 3.3] abgeleitet werden, falls nicht die Möglichkeit besteht, auf Erfahrungswerte zurückzugreifen. Wichtig ist eine Abstimmung der Ansätze für die IGS und die LEO-Beobachtungen auch untereinander, damit beide Beobachtungstypen richtig gegeneinander gewichtet werden. Eine Vernachlässigung der unterschiedlichen Genauigkeiten der eingehenden Daten wirkt sich negativ auf die geschätzten Genauigkeiten der Unbekannten aus. Unter Umständen fallen die tatsäch- lichen Fehler sehr viel größer aus, als dies die inneren Standardabweichungen vermuten lassen. Vorsicht ist allerdings geboten, wenn die Beobachtungen unter niedrigen Elevationswinkeln stark fehlerbehaftet sind und mit geringen Gewichten behaftet werden müssen. Gerade diese Messungen sind zur Bestimmung der vertikalen Elektronendichteverteilung unvermeidbar. Stehen davon zu wenige oder nur sehr ungenaue Beobachtungen zur Verfügung kann unter Umständen keine sinnvolle Problemlösung mehr erfolgen. Mit Hilfe des gewählten Gewichtsansatzes lassen (zusätzlich zu den Unbekannten selbst; vgl. Formel ( 4-27 )) sich nun auch die Genauigkeiten der ausgeglichenen Unbekannten berechnen. Es gilt: 1 Bei der Verwendung von fehlerfrei simulierten Daten wird mit einer Konvergenzschranke von 0.1 km gearbeitet. 4 Dreidimensionaler Modellansatz 59 ( ) 120 −⋅= PAA TXX s Kovarianzmatrix der ausgeglichenen Unbekannten ( 4-33 ) mit: ( )vPvT ⋅⋅⋅= fs 120 Varianz der Gewichtseinheit ( 4-33 a ) ( ) ( ) llPAAPAAv TT −  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −1 Verbesserungen der ausgeglichenen Beobachtungen ( 4-33 b ) Bei der Ausgleichung spielt die Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 eine wichtige Rolle. Sie gibt an, wie gut Modell und Beobachtungen zueinander passen. In dieser Zahl sind damit sowohl die Ungenauigkeiten der Beobachtungen als auch eventuelle Modellfehler enthalten. Um zu einer aus- sagekräftigen Qualitätsabschätzung zu gelangen, ist zusätzlich zu untersuchen, wie sich die Beob- achtungsunsicherheiten auf die Unbekannten übertragen und fortpflanzen. Dazu bieten sich die so- genannten DOP-Faktoren1 an [BRUNINI, C. (1998)], die in Analogie zu den allgemein bekannten DOP- Werten der absoluten GPS-Positionierung [z.B. BAUER, M. (1994)] berechnet werden und ebenfalls die Geometriesituation des Problems wiederspiegeln. Sie lassen sich für alle Unbekannten zusammen [vgl. ( 4-34 )] oder für einzelne Unbekanntenklassen (z.B. für die Höhenkoeffizienten [vgl. ( 4-35 )]) be- rechnen: ( ) = ⋅= u i ii u DOP 1 1 XXQ Gesamt-DOP ( 4-34 ) ( ) ++ ++= ⋅= KL Li iiK HDOP 2 2 )1( 1)1( 1 XXQ Höhenkoeffizienten-DOP ( 4-35 ) mit: ( ) ( ) 1−= PAAQ TXX MatrixderiiElementii und u, K, L aus Gleichung ( 4-29 ) Für alle anderen Unbekanntenklassen lassen sich auf identische Weise ebenfalls DOP-Faktoren ab- leiten, auf deren Aufzählung hier allerdings verzichtet wird. Die in diesem Kapitel aufgeführten Formeln ermöglichen eine vollständige Problemlösung. Allerdings ist der Ansatz nicht optimal, weil man für eine stabile Lösung Daten eines langen Zeitbereichs benötigt. Die Wahl des Koordinatensystems [vgl. Kapitel 4.1] bewirkt zwar, dass die zeitlichen Änderungen der Modellparameter möglichst gering bleiben, aber ganz ausschließen kann man diese nicht. Sie stellen eine Fehlerquelle für das Modell dar. Außerdem ist es wünschenswert, die Modelle möglichst oft zu aktualisieren. Wenn man die notwendigen Beobachtungen allerdings jeweils erst über einen halben Tag ansammeln muss, leidet die Aktualität der Modelle erheblich. Ein weiterer Nachteil dieses Ansatzes ist, dass keinerlei Informationen aus früheren Modellen verwendet werden. 4.5 Kalman-Filter-Ansatz Das vorhergehende Kapitel schließt mit einer Erläuterung der Nachteile des Ausgleichungsansatzes nach vermittelnden Beobachtungen. Nun soll versucht werden, diese zu umgehen und eine besser geeignete Problemlösung zu finden. Dazu bietet sich ein Kalman-Filter-Ansatz2 an. Der beruht ebenfalls auf der Methode der kleinsten Quadrate, bietet aber einige Möglichkeiten mehr als die 1 DOP = Delution of Precision 2 Der Formelapparat und die Notation orientieren sich an PELZER, H. (1995). 4 Dreidimensionaler Modellansatz 60 vermittelnden Beobachtungen. Grundgedanke ist es, die zeitlichen Änderungen der Ionosphäre jetzt zusätzlich durch ein theoretisches Modell zu beschreiben und dieses möglichst gut mit den Beobachtungen zu verknüpfen. Das bringt den Vorteil, dass weniger Beobachtungen notwendig sind, weil zusätzlich die Informationen aus dem vorherigen Modell genutzt werden (sequentielle Ausgleichung). Ausgangswerte für diesen Ansatz ist ein Ionosphärenmodell zu einem bestimmten Zeitpunkt k=0, der sogenannten Nullepoche. Für diesen Zeitpunkt müssen die Unbekannten des Modells (Zustands- vektor) mit ihren Genauigkeiten vorliegen. Die Messgrößen werden auch hier wieder im Beob- achtungsvektor L zusammengefasst, ihre Genauigkeiten in der Kovarianzmatrix ΣLL. 4.5.1 Prädiktion Für die vorliegenden Anwendung bietet sich die Verwendung eines stationären Ansatzes an. Man geht davon aus, dass keine deterministischen zeitlichen Änderungen vorliegen (Transitionsmatrix T = Einheitsmatrix). Nicht auszuschließen sind allerdings Änderungen, die durch sogenannte Störbe- schleunigungen a hervorgerufen werden, also durch zusätzliche Einflüsse von außen, die nicht zu modellieren sind. Da eine explizite Aussage über die Größe dieser Werte nicht vorliegt, betrachtet man sie als rein zufällig. Mit anderen Worten: der Erwartungswert der Systemänderung beträgt null. Der Unbekanntenvektor lässt sich demnach wie folgt prädizieren: 11 ˆˆ −− =⋅+⋅= kkk XaSXTX ( 4-36 ) mit: 1ˆ −kX : ausgeglichene Unbekannte des Vorgängermodells kX : prädizierte Unbekannte IT = : Transitionsmatrix IS = : Störmatrix 0a = : Vektor der Störgrößen Bei der Genauigkeitsberechnung müssen die zufälligen Systemänderungen, bzw. deren Standardab- weichungen, aber durchaus berücksichtigt werden. Die prädizierten Koordinaten können deshalb nie sicherer sein, als die der Ausgangsepoche. aaXX T aa T XXXX SSTT +=⋅⋅+⋅⋅= −− 1ˆˆ1ˆˆ kkk ( 4-37 ) Die zusätzliche Kovarianzmatrix Σaa bezeichnet man als Systemrauschen. Die Aufstellung dieser Ma- trix erfordert gute Systemkenntnis und beeinflusst den gesamten Programmablauf erheblich, weil sie die Gewichtung zwischen Beobachtungen und Modell steuert und alle weiteren Berechnungsschritte darauf aufbauen. 4.5.2 Systemrauschen In Ermangelung anderer Informationen werden keinerlei Korrelationen zwischen dem Rauschen der einzelnen Komponenten angenommen: man arbeitet mit einer Diagonalmatrix. Die Unbekannten einer Klasse (Kugelfunktionskoeffizienten, Höhenkoeffizienten, Stationsbias, Satellitenbias) bekommen je einen einheitlichen Wert zugewiesen. Eine feinere Einteilung macht wenig Sinn, weil die dazu notwendigen Informationen nicht vorliegen. Die Werte selbst lassen sich aus der Analyse realer Daten gewinnen, zum Beispiel aus der Auswertung mehrerer 12h-Ausgleichungsergebnisse in zeitlicher Abfolge, wie in Kapitel 6.1.4 vorgestellt. 4 Dreidimensionaler Modellansatz 61              = 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 00 00 00 00 00 00 00 00 00 SatbiasR StatbiasR HöheR HöheR LageR LageR s s s s s s    00 00 00 aa ( 4-38 ) Erst durch einen Testdurchlauf mit realen Daten lässt sich die Wahl des Rauschens überprüfen. Dann sind eventuelle Nachbesserungen vorzunehmen. Durch die Wahl unrealistischer Werte können leicht ungewollten Effekte auftreten: Durch zu hoch angesetztes Systemrauschen können mögliche Modell- änderungen nicht detektiert werden, so dass sowohl die ausgegebenen Genauigkeiten als auch die geschätzten Ergebnisse unter Umständen grob falsch sind. Eine zu gering angesetzte System- ungenauigkeit dagegen führt zu Fehlwarnungen und zum Verwerfen von durchaus korrekten Vor- gängermodellen. Die Genauigkeiten leiden und im Ernstfall ist mit den verbleibenden aktuellen Beobachtungen keine sinnvolle Problemlösung möglich [vgl. Kapitel 5.9]. Auch im Laufe der Berechnungen selbst kann es zu Situationen kommen, in denen sich eine Ver- änderung des Systemrauschens anbietet. Sind beispielsweise (entgegen der Annahme und trotz des gewählten Koordinatensystems) zeitliche Modelländerungen nachzuweisen, sollten die Beobachtun- gen stärker und das Vorgängermodell allenfalls geringfügig gewichtet werden [vgl. Abschnitt 4.5.4.1]. 4.5.3 Innovationen Mit Hilfe der prädizierten Unbekannten und der Beobachtungsgleichungen ( 3-3 ) lassen sich prädizierte Beobachtungen ( )XL ϕ= ( 4-39 ) rechnen, aus denen sich dann die sogenannten Innovationen d ergeben. In Analogie zu den Formeln der vermittelnden Ausgleichung erfolgt die Verknüpfung zwischen Unbekannten und Beobachtungen über die Designmatrix A [vgl. Kapitel 4.4.1]. LLd −= TAA XXLLdd ⋅⋅+= ( 4-40 ) Da hier davon ausgegangen wird, dass die Ionosphäre bis auf zufällige Änderungen ein zeitlich konstantes Verhalten aufweist (im sonnenfixierten System), sollten die Innovationen den Erwartungs- wert Null haben. Anderenfalls stimmt entweder diese Annahme nicht oder mindestens eine der Beobachtungen weist einen groben Fehler auf. Ebenfalls denkbar ist die unkorrekte Festsetzung des Systemrauschens. Bevor die endgültige Aufdatierung beginnen kann, müssen diverse Test durch- geführt werden, um diesen Sachverhalt zu klären. 4 Dreidimensionaler Modellansatz 62 4.5.3.1 Verträglichkeitstest Hierbei handelt es sich um einen Globaltest. Geprüft wird, ob Beobachtungen und prädizierte Unbekannte insgesamt stimmig sind oder nicht. Dazu wird der Innovationsvektor auf Signifikanz getestet. Nullhypothese H0: { } 0d =E Aternativhypothese HA: { } 0d ≠E Testgröße: dd dd T ⋅⋅= −1 Test:  ≤ 21, αχ −n => Innovationen nicht signifikant  > 2 1, αχ −n => Modellstörung ( 4-41 ) mit 21, αχ −n : Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung n: Anzahl der Beobachtungen α: Irrtumswahrscheinlichkeit ( 5% ) Wenn die Innovationen sich vollständig durch Mess- und Systemrauschen erklären lassen, existieren keine Hinderungsgründe für ein endgültiges Aufdatieren, welches sofort starten kann. Lässt sich die Nullhypothese dagegen nicht bestätigen, sind weitere Tests notwendig. Es kommen zwei Ursachen für die Unstimmigkeit in Betracht: Entweder treten signifikante Änderungen in den Ionosphären- parametern auf, oder es liegen grobe Fehler in den Beobachtungsdaten vor. Welcher Grund zutrifft, lässt sich durch die folgenden Individualtests untersuchen. 4.5.3.2 Test auf grobe Beobachtungsfehler Jetzt wird jede Innovation einzeln auf Signifikanz getestet: Nullhypothese H0: { } 0=jyE Aternativhypothese HA: { } 0≠jyE Testgröße: j T j j jd j j dd y e  e dd ⋅⋅ == σ Test: 21 α−≤ yy j => kein grober Messfehler erkennbar 21 α−> yy j => grober Fehler in Beobachtung j ( 4-42 ) mit 21 α−y : Quantil der Normalverteilung j: Beobachtungsnummer ( j = 1...n ) α: Irrtumswahrscheinlichkeit ( 5% ) Werden grobe Fehler aufgedeckt, ist die Standardabweichung der betroffenen Beobachtung so weit zu erhöhen, dass sie für die weiteren Berechnungen kein Gewicht mehr bekommt und damit praktisch unberücksichtigt bleibt. 4.5.4 Aufdatieren Sind grobe Beobachtungsfehler ausgeschlossen, so kann das Aufdatieren beginnen. Solange der Globaltest allerdings signifikante Innovationen nachweist, handelt es sich dabei lediglich um ein vorläufiges Aufdatieren. Dazu ist als erstes die sogenannte Verstärkungsmatrix k nötig: 4 Dreidimensionaler Modellansatz 63 1− ⋅⋅= ddXX Ak T ( 4-43 ) Da die Inversion der Kovarianzmatrix der Innovationen aufgrund ihrer Größe bei vielen Beobachtun- gen sehr rechenintensiv ist, steht gegebenenfalls eine alternative Berechnungsmöglichkeit zur Verfü- gung. Wie man mit Hilfe elementarer Matrix-Rechenregeln zeigen kann [siehe Anhang, Seite 137] gilt: ( ) 1111111 −−−−−−− ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−= LLXXLLLLLLdd AAAA TT ( 4-44 ) Falls mit unkorrelierten Beobachtungen gearbeitet werden kann oder muss (Regelfall), stellt die Inversion der diagonalen Beobachtungskovarianzmatrix kein Problem dar, und statt der Inversion einer n,n-Matrix ist nur noch eine u,u-Matrix zu invertieren. Die Änderungen der prädizierten Unbekannten xˆ und deren Genauigkeiten ergeben sich wie folgt: dkx ⋅=ˆ Tkk ddxx ⋅⋅=ˆˆ ( 4-45 ) Dieser Vektor ist nun auf Signifikanz zu testen, um mögliche systematische Modelländerungen nach- zuweisen. 4.5.4.1 Detektion von Modelländerungen Dieser Signifikanztest erfolgt komponentenweise, um eine Detektion der eventuell vorhandenen Modellstörungen vornehmen zu können. Es ist üblich die Unterteilung entweder nach Unbekannten- klassen oder nach den einzelnen Unbekannten vorzunehmen. Dann beschreibt D die jeweilige Dimension des Testvektors i. Nullhypothese H0: { } 0x =iE ˆ Aternativhypothese HA: { } 0x ≠iE ˆ Testgröße: ii T ii x x xx ˆˆ 1 ˆˆ ⋅⋅= −χ Test: 2 1, αχχ −≤ Di => Änderung nicht signifikant 2 1, αχχ −> Di => signifikante zeitliche Änderung ( 4-46 ) mit 2 1, αχ −D : Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung D: Dimension des Testvektors, unterschiedliche für alle i α: Irrtumswahrscheinlichkeit ( 5% ) Im vorliegenden Anwendungsfall werden die Ionosphärenparameter jeweils in Klassen zusammenge- fasst und gemeinsam getestet (Lagekoeffizienten bzw. Höhenkoeffizienten). Bei den Hardwarebias erfolgt der Test für jede Station bzw. jeden Satelliten einzeln. Ist die Änderung in einer Komponente nachgewiesen, sind die Tests zu wiederholen. Vorher allerdings sollte eine Berücksichtigung der detektierten Änderung im Modell erfolgen. Da keine theoretischen Grundlagen für eine zeitliche Modellierung bestehen, führt dies zu Problemen. Statt also die Veränderung zu beschreiben, wird statt dessen das Systemrauschen für diese Komponente so weit erhöht, dass der systematische Effekte im Rauschen untergeht und der Test nicht mehr anschlägt. 4 Dreidimensionaler Modellansatz 64 Dadurch werden die Beobachtungen für diese Komponente viel stärker gewichtet als das (in diesem Fall unzureichende) Modell. Bei der Anwendung dieser Maßnahme ist allerdings Vorsicht geboten, weil durch die Unterdrückung der Vorgängerinformationen nur noch die wenigen aktuellen Daten Verwendung finden und diese unter Umständen nicht mehr ausreichen, um die unbekannten Parameter alle sicher zu bestimmen. Die Tests müssen bis zur endgültigen Bereinigung aller Unstimmigkeiten wiederholt werden. Wenn keine Änderung mehr signifikant nachzuweisen sind, kann die Berechnung der endgültigen Unbe- kannten starten. dkXX ⋅+=ˆ Tkk ddXXXX ⋅⋅−=ˆˆ ( 4-47 ) Die Formeln entsprechen denen des vorläufigen Aufdatierens. Die Verstärkungsmatrix muss nach der Formel ( 4-43 ) neu berechnet werden. Auch dieser Ansatz erfordert eine Iteration der gesamten Ausgleichung, falls die Höhenparameter starken zeitlichen Änderungen unterworfen sind und die Startparameter des Problems dadurch nicht ausreichend Genauigkeit für eine sofortige Lösung aufweisen. Dann ist die gesamte Routine (ein- schließlich Aufstellung der Designmatrix A) solange zu wiederholen bis die Änderungen der Höhen- parameter kleiner als ihre jeweilige Standardabweichung ausfallen. Die endgültigen Werte beschreiben das Ionosphärenmodell für den gewählten Zeitraum vollständig und dienen bei einem weiteren Durchlauf mit neuen Beobachtungen eines nachfolgenden Zeitinter- valls als Ausgangswerte für die Prädiktion. So kann in relativ kurzen Zeitabständen eine Aktualisie- rung des Modells erfolgen. Außerdem ermöglicht der Ansatz für den jeweils folgenden Zeitraum eine Vorhersage über die Elektronendichteverteilung. 5 Simulationen 65 5 SIMULATIONEN Nachdem in den letzten Kapiteln sowohl der Modellansatz als auch die zur Verfügung stehenden Beobachtungen vorgestellt wurden, erfolgt nun die Überprüfung, inwieweit Modell und Daten für eine Beschreibung der terrestrischen Ionosphäre geeignet erscheinen und welche Genauigkeiten für die einzelnen Parameter zu erwarten sind. Um zu sinnvollen und verwendbaren Modellkoeffizienten zu gelangen, ist es wichtig, ein ausge- wogenes und abgestimmtes Verhältnis zwischen der Anzahl der Unbekannten (Modellauflösung) und der Menge und Art der Beobachtungen (Taktrate, Zeitraum, Bodenstationen oder LEO-Satelliten) ein- zuhalten. Anhaltswerte für solche Ausgangsparameter sollen mit Hilfe von numerischen Simulationen hergeleitet werden. Diese Berechnungen liefern sowohl die Möglichkeit einer prinzipiellen Eignungs- überprüfung des Ansatzes als auch einer gleichzeitigen Qualitätsanalyse, weil die Sollergebnisse bekannt sind und man sie mit den ermittelten Werten vergleichen kann. Die Grundidee besteht darin, einen festen Satz von Modellkoeffizienten (Kugelfunktionsparameter, Höhenfunktionswerte und Hardwarebias) vorzugeben und mit ihnen auf Grundlage des im vorherigen Kapitel beschriebenen mathematischen Ansatzes Beobachtungen zu simulieren [vgl. Formel ( 3-3 )]. Optional besteht die Möglichkeit, diese Daten noch mit einem gleichmäßigen oder elevationsabhängi- gem Rauschanteil [vgl. Anhang, Seite 136] zu belegen. Für die Simulation der Beobachtungen benötigt man die Koordinaten der GPS-Satelliten und der Empfänger. Je nach Aufgabenstellung können reale oder frei festgesetzte Stationen und LEO-Bahnen verwendet werden. Vor der Integration der LEO-Signale muss noch eine "Sichtbarkeitsanalyse" durch- geführt werden, welche die Empfängerausrichtung auf dem LEO berücksichtigt. Nicht jede theore- tische Signalverbindung zwischen LEO- und GPS-Satellit ist nämlich eine sinnvolle, weil einerseits die Erde als Ausbreitungshindernis wirkt und andererseits der LEO-GPS-Empfänger nicht in Zenitrichtung ausgerichtet ist sondern in einem konstanten Winkel zu dieser1, so dass sich seine Achse mit der Flugbahn des Trägersatelliten ändert und zu jedem Zeitpunkt nur einige ausgewählte GPS-Signale empfangen werden können. α Erde Zenit LEO-Flugbahn GPS R h ele maske ele ~ -26.5° ele = 90°-maske N LEO-Flugbahn GPS maske maske A A0 "Blickrichtung" LEO-Empfänger Abb. 5.1: Elevations- und Azimutmaske LEO Es wird davon ausgegangen, dass der GPS-Empfänger (in Anlehnung an das GPS/MET-Experiment) hinten am Satelliten angebracht ist und entgegen der Flugrichtung "blickt". Beobachtungen ergeben 1 Andernfalls ergibt sich keine Okkultationsgeometrie. (Seitenansicht) (Aufsicht) EMPFANGSBEREICH EMPFANGSBEREICH 5 Simulationen 66 sich dann nur innerhalb eines bestimmten Elevations- und eines bestimmten Azimutintervalls. Anhand der Abb. 5.1 erkennt man den folgenden Zusammenhang: maskeele h R −°<<      −°− 90)arcsin90( ( 5-1 a ) )90()90( 00 maskeAAmaskeA −°+<<−°− ( 5-1 b ) Dabei bezeichnet maske die im Empfänger einstellbare Grenze der Aufzeichnung1, die während des gesamten Flugs einen festen Wert behält. Demnach verhält sich das Elevationsintervall mehr oder weniger konstant und hängt im wesentlichen von der (bekannten) Flughöhe h ab. Dagegen ändert sich das Azimut in Abhängigkeit von der Flugbahn ständig. A0 kann aus der Richtung zur Vorgänger- position hergeleitet werden. Dabei handelt es sich lediglich um eine Näherung, weil statt der Tangente an die Bahn mit einer Sekante gearbeitet wird. Der entstehende Winkelfehler beträgt für den GPS/MET-Satelliten bei einem zeitlichen Abstand der Empfängerpositionen von ∆t = 1 min etwa 1.8°. Ein direkter Vergleich zwischen zur Simulation genutzten Signalverbindungen und tatsächlich empfangenen GPS-Signalen zeigt eine gute Übereinstimmung, so dass davon auszugehen ist, dass die Simulation die LEO-Beobachtungsgeometrie realistisch wiedergibt. Die Orientierung der Antenne ist derjenigen des GPS/MET-Experiments nachempfunden. Wird mit einer anderen Ausrichtung gearbeitet (z.B. mit einer schräg nach unten ausgerichteten Antenne wie auf dem CHAMP), sind eventuell andere Masken zu verwenden. 5.1 Sensitivitätsanalyse Zu Beginn der Untersuchungen soll verifiziert werden, wie sensitiv die gewählten Beobachtungstypen wirklich gegenüber den zu schätzenden Unbekannten sind und ob sie sich für die dreidimensionale Ionosphärenmodellierung tatsächlich eignen. Ausgangsgröße der Simulation ist ein konkretes Iono- sphärenmodell, dessen Parameter jeweils einzeln geändert werden. Die Auswirkungen dieser Änderungen auf die simulierten Beobachtungen lassen sich analysieren. Sie ermöglichen eine Aussage darüber, wie wichtig der jeweilige Parameter für die Ableitung der ionosphärischen Refraktion ist. Aus der Umkehrung lässt sich schließen, wie genau die Unbekannten mit Hilfe des jeweiligen Beobachtungstyps bestimmbar sind. Andererseits bietet die Analyse auch eine Antwort auf die Frage, mit welcher Genauigkeit die Unbekannten vorliegen müssen, um beispielsweise eine bestimmte Qualität für Einfrequenz-GPS-Korrekturen zu ermöglichen. Nicht klären lässt sich dagegen, wie gut die Einflüsse der einzelnen Höhenparameter voneinander trennbar sind. Untersuchungen darüber erfolgen in den nachfolgenden Abschnitten anhand konkreter Modellberechnungen mit den simulierten Daten. Für 50 IGS-Bodenstationen und den GPS/MET-Satellitenorbit werden über ein Intervall von zwölf bzw. zwei Stunden fehlerfreie (ohne Rausch-Simulation) Beobachtungen P2-P1 mit einer Taktrate von 15 Minuten bzw. 10 Sekunden simuliert. Die Werte lassen sich durch den Faktor k=1.564 in ionosphä- rische Streckenverzögerungen überführen [vgl. Formel ( 3-3 ), Seite 29]. Die Daten decken sowohl den gesamten Breitenbereich als auch den gesamten Stundenwinkelbereich ab, so dass sich damit der vollständige Modellbereich untersuchen lässt. Die festgesetzten Sollwerte für die Höhenfunktion betragen hm = 350 km und H = 90 km. Eine Lagevariation dieser Parameter findet im gewählten Aus- gangsmodell nicht statt2. 1 Für die vorliegenden Simulationen wird stets mit maske=10° gearbeitet. 2 hc=hs=Hc=Hs=bc=bs=Bc=Bs=0.0 5 Simulationen 67 5.1.1 Höhenparameter Es ist eine annähernd lineare Abhängigkeit zwischen der Größe des eingeführten Parameterfehlers und den daraus entstehenden maximalen Änderungen in den simulierten Beobachtungen festzu- stellen. Dies gilt für alle vorhandenen zehn Höhenparameter. Unterscheidungen ergeben sich lediglich in der Steigung der entstehenden Geraden (vgl. Abb. 5.2). Je sensitiver eine Beobachtungsgruppe gegenüber dem jeweiligen Parameter reagiert, desto schneller steigt der Einfluss an. Es ist zu er- kennen, dass die Änderung der Skalenhöhenterme (sowohl der aufgetragene konstante Term als auch die nicht dargestellten Schwingungsterme) durchweg größere Beobachtungsänderungen hervor- ruft als die hm-Terme. Die Untersuchungen zeigen weiterhin, dass die LEO-Beobachtungen sensitiver reagieren als die Beobachtungen der Bodenstationen. Für die IGS-Station liegen die Beobachtungsänderungen zum Großteil in Größenordnungen, die vollständig im Rauschen der realen Beobachtungen untergehen. Eine Schätzung einzelner Höhenparameter ist deshalb kaum denkbar und die Trennung der Effekte unterschiedlicher Parameter schon gar nicht. Das unterstützt die theoretische Aussage, die in Kapitel 3.2 vorgestellt wird: Die IGS-Beobachtungen können die Änderungen in der Skalenhöhe kaum und die in der Höhe der maximalen Elektronendichte gar nicht wahrnehmen und sind somit ungeeignet zur Bestimmung der vertikalen Elektronendichteverteilung. Dieser Nachteil für die Ionosphärenmodellie- rung stellt aber für gewisse Anwendungen einen Vorteil dar. Zum Beispiel dann, wenn die berechne- ten Modelle zur Korrektur von Einfrequenz-GPS-Messungen auf Bodenstationen verwendet werden sollen. Um hierbei eine Genauigkeit von ca. 3 cm in der Pseudostrecke zu garantieren (etwa 2 cm in P2-P1), bedarf es dann lediglich einer Bestimmung der Chapman-Parameter auf ∆hm  1.5 km und ∆H  0.2 km1. a) IGS-Beobachtungen b) LEO-Beobachtungen Abb. 5.2: maximaler Einfluss auf die simulierten Beobachtungen P2-P1 Bisher wurden lediglich die maximal auftretenden Fehler in den simulierten Beobachtungen betrachtet. Ebenfalls interessant dürfte ein Blick auf die Abweichungen selbst und ihre Verteilung sein. Die Abb. 5.3 zeigt die Änderung in den simulierten Beobachtungen, die sich durch einen Fehler von zehn Kilometern in der Skalenhöhe ergeben. Dargestellt ist links der Einfluss auf die Bodenstationsdaten und rechts die Änderung der Messungen auf dem GPS/MET-Satelliten. Man erkennt deutlich die Elevationsabhängigkeit des Einflusses bei beiden Beobachtungstypen. Dieser Effekt tritt bei beiden Chapmanparametern hm und H auf und ist auch in den Parameter, die deren horizontale Variationen beschreiben (hc,hs,Hc,Hs,bc,bs,Bc,Bs), zu beobachten. Besonders die Beobachtungen unter niedrigen Elevationswinkeln tragen somit zur Bestimmung aller zehn Höhenparameter bei. In der Praxis werden allerdings gerade diese Beobachtungen von einer Prozessierung ausgeschlossen, weil sie häufig fehlerbehaftet2 und verrauscht sind. Aus diesem Grund stellt die Wahl der optimalen Elevationsmaske 1 Durch die Verwendung einer Elevationsmaske sinkt die geforderte Genauigkeit der Chapman-Parameter erheblich. 2 hauptsächlich durch Mehrwege-Effekte [vgl. Kapitel 3.3.1] 5 Simulationen 68 und/oder eines passenden Gewichtungsansatz einen wichtigen aber auch problematischen Arbeits- schritt dar. a) IGS b) LEO Abb. 5.3: Elevationsabhängigkeit der Beobachtungsänderungen (∆H=10km) Deutlich sichtbar ist neben der Elevationsbeeinflussung die Existenz weiterer Abhängigkeiten. Trotz gleicher vertikaler Beobachtungsgeometrie (gleiche Elevation) ergeben sich je nach Tageszeit und Breite des Beobachtungsorts unterschiedliche Einflüsse auf die Signale. Diese werden hauptsächlich durch die Größe des ionosphärischen Effektes selbst hervorgerufen, wie die folgenden Abbildungen zeigen [Abb. 5.4 und Abb. 5.5]. Man erkennt für beide Beobachtungstypen eine deutliche Korrelation zwischen der Größe des Ionosphäreneinflusses und deren Änderung hervorgerufen durch ∆H=10km. Während sich bei den Bodenstationsbeobachtungen kaum zusätzliche Abhängigkeiten feststellen lassen und die relativen Beobachtungsänderungen (besonders in den Skalenhöhentermen) dadurch nahezu konstant bleiben, zeigen die relativen Änderungen der LEO-Beobachtungen weiterhin eine deutliche Elevationsabhängigkeit. a) IGS b) LEO Abb. 5.4: Beobachtungsänderungen in Abhängigkeit vom absoluten Signal (∆H=10km) Diese Abhängigkeiten spielen eine wichtige Rolle für die Ionosphärenmodellierung. Sie ermöglichen die Trennung der Effekte einzelner Parameter. Ohne das unterschiedliche “geometrische Verhalten“ wäre eine gemeinsame Schätzung mehrer Koeffizienten undenkbar. Bodenstationsdaten sind demnach theoretisch zwar in der Lage, bestimmte Chapman-Koeffizienten einzeln zu bestimmen; eine Trennung voneinander und von den Koeffizienten der Lagefunktion ist jedoch nicht möglich. Die LEO-Beobachtungen dagegen weisen ab einer Elevation von ca. 15° (H) 5 Simulationen 69 bzw. –15° (hm) deutliche Variationen in den relativen Beobachtungsänderungen auf, wie die nach- stehende Graphik verdeutlicht. Demnach tragen lediglich die Beobachtungen unter sehr niedrigen Elevationswinkeln zur Bestimmung von hm bei, wohingegen die Signale auf Änderungen der Skalen- höhe bereits recht früh sensitiv reagieren. Die Höhe der Parameteränderung beeinflusst dabei ledig- lich die Größe der relativen Änderungen und nicht die Form der Kurve, die spezifisch für den jeweiligen Koeffizienten ist. a) IGS b) LEO Abb. 5.5: relative Beobachtungsänderungen in Abhängigkeit von der Elevation Abhängigkeiten vom Ort der Messung sind hier nicht festzustellen. Dies hat seine Ursache in der Einführung von global konstanten Chapman-Parameter. Sobald Variationen in hm und H auftreten, werden auch die relativen Änderungen der simulierten Beobachtungen eine Lageabhängigkeit auf- weisen. 5.1.2 Lagekoeffizienten Die Fähigkeit der Bodenstationsbeobachtungen zur Bestimmung der Kugelfunktionskoeffizienten ist unumstritten. Diese Daten werden bereits zur zweidimensionalen Ionosphärenmodellierung eingesetzt [vgl. Kapitel 2.3.4]. Es bleibt zu analysieren, welchen Beitrag die LEO-Beobachtungen zur Berechnung der Koeffizienten leisten. Das Ergebnis der Untersuchung ist in Abb. 5.6a) beispielhaft für den Koeffizienten a000 dargestellt. Die zugrundeliegende Änderung beträgt ∆a000 = 0.1, was bei den hier angesetzten Chapman-Parametern einem mittleren ∆VTEC = -1.8TECU entspricht. Stärkere Ver- änderungen bewirken entsprechend größere Auswirkungen auf die Beobachtungen [vgl. Abb. 5.6b)]. a) Elevationsabhängigkeit, beträgt ∆a000 = 0.1 b) max. Beobachtungsänderung Abb. 5.6: Auswirkung der Änderung des Koeffizienten a000 5 Simulationen 70 Die Sensitivität der IGS-Beobachtungen gegenüber diesem Kugelfunktionskoeffizienten liegt um zwei Größenordnungen über der Höhenparameterempfindlichkeit. Auch Beobachtungen unter geringen Zenitwinkeln leisten einen verwendbaren Beitrag. Die Auswirkung der Änderungen auf die LEO- Beobachtungen hängt stark von deren Elevation ab. Daten von Okkultationssignalen können die Bestimmung der Kugelfunktionskoeffizienten erheblich beeinflussen, wohingegen Beobachtungen unter hohen Elevationswinkeln kaum zur Bestimmung beitragen, weil diese Signale zum Großteil außerhalb der ionisierten Schichten verlaufen. In der Abb. 5.6b) erkennt man, dass für eine Bestimmung der mittleren globalen Elektronendichte (a000) auf 0.3 TECU (etwa 5 cm auf L1) bei den IGS-Beobachtungen ein Rauschen σP2-P1 von unter 0.1 m (σP < 0.07 m) eingehalten werden muss, welches mit CA-Code-Messungen an der Grenze der Realisierbarkeit liegt [vgl. MANSFELD, W. (1998), Seite 179]. Die LEO-Beobachtungen dürfen um den Faktor drei ungenauer sein. Zusätzlich wirken sich in der Realität selbstverständlich auch (hier nicht eingeführte) Fehler in den Chapman-Parametern aus. Die relativen Änderungen der simulierten Beobachtungen weisen hier ebenfalls sowohl Elevations- abhängigkeiten als auch Lageabhängigkeiten auf. Diese liegen für die Bodenstationsdaten und die LEO-Daten in derselben Größenordnung. Beide Datentypen eignen sich demnach gleichermaßen für die Bestimmung der Modellparameter der horizontalen Elektronendichteverteilung. Aufgrund ihrer unterschiedlichen Verteilung bringt eine gemeinschaftliche Verwendung dennoch Vorteile für die Koeffizientenschätzung des Modells. Bei den dargestellten Werten handelt es sich selbstverständlich lediglich um Ausgangswerte zur Be- urteilung der erreichbaren Genauigkeiten. Eine Änderung der absoluten Ionosphärenbedingungen bringt weitgehende Konsequenzen mit sich [vgl. Kapitel 5.5]. Für eine endgültige Qualitätsaussage spielen außerdem Faktoren wie die Datenmenge und -verteilung sowie die Modellauflösung eine nicht unwesentliche Rolle. Untersuchungen zur Auswirkung dieser Größen folgen in den nächsten Kapiteln. An dieser Stelle bleibt festzuhalten, dass die gewählten Datentypen prinzipiell in der Lage scheinen, die Parameter des beschriebenen Ionosphärenmodells zu bestimmen. 5.2 Lagefunktionsansatz In diesem Kapitel soll geklärt werden, welche horizontalen Modellgenauigkeiten mit dem gewählten Lagefunktionsansatz zu erreichen sind, inwieweit die horizontale Auflösung des Modells dabei eine Rolle spielt und welche Faktoren bei der Festlegung dieser Auflösung zu berücksichtigen sind. Außer- dem wird gezeigt, welchen Beitrag die LEO-Beobachtungen für die horizontale Modellierung der Atmosphäre leisten können. Zur Beschreibung der Lagevariationen der Elektronendichte dient eine Kugelfunktionsentwicklung. Auf diese lässt sich lediglich durch den Entwicklungsgrad L Einfluss nehmen. Er bestimmt die Anzahl der Koeffizienten der Lagefunktion und damit auch die horizontale Auflösung des Modells. Je mehr Koeffizienten geschätzt werden, desto feiner lässt sich das Modell räumlich auflösen. Es gilt: Lm ° =∆ 360ϕ Breitenauflösung in [°] ( 5-2 a ) L hh 24=∆ zeitliche Auflösung in [h] ( 5-2 b ) Diese Werte sind allerdings nicht beliebig zu steigern, sondern L muss stets auf die Daten, die der Berechnung zugrunde liegen, abgestimmt sein. Falls dies nicht geschieht, können die Beobachtungen das Modell nicht füllen, und es kommt zu Verfälschungen über den gesamten Lagebereich. 5 Simulationen 71 Andererseits ergibt sich bei zu gering angesetzter Koeffizientenzahl eine unzureichende Repräsenta- tion der Elektronenverteilung und kleinräumige Effekte werden vernachlässigt. Dieser Sachverhalt sowie die möglichen Folgen eines unsachgemäß gewählten Entwicklungsgrads soll durch eine Simulation verdeutlicht werden. Als Ausgangsionosphäre dient ein Modell vom Grad L=6. Es wird ohne die Schätzung von Höhenfunktionsparametern (Höhenfunktionsentwicklungsgrad K=0) gearbeitet und statt dessen ein festes (in Simulation und Ausgleichung identisches) Chapman- Profil für den gesamten Ionosphärenbereich angenommen. Die simulierten Beobachtungen (50 IGS- Stationen, ∆t = 15 min; 2 LEO, ∆t = 1 min; T = 12 h) sind mit einem weißen Rauschen (µ = 0.0 m, σz = 0.1 m) beaufschlagt, welches mit abnehmender Elevation anwächst [vgl. Kapitel 3.3]. Abb. 5.7: Genauigkeitsvergleich verschiedener Modellansätze (T=12h) Als Indikator für die Güte der Ionosphärenmodellierung, kommen mehrere Größen in Betracht: Die Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 [vgl. Kapitel 4.4.2] gibt Aufschluss darüber, wie gut Modell und Beobachtungen L=k·(P2-P1) zusammenpassen. Ein erhöhtes s0 kann sowohl auf einen schlechten oder fehlerhaften Modellansatz als auch auf stark verrauschte Daten hinweisen. Da man bei der Simulation das Beobachtungsrauschen kennt, kann dieser Anteil bei der Interpretation berücksichtigt werden. In der Abb. 5.7 ist auf der rechten Skala das s0 für verschiedene Kugel- funktionsentwicklungsgrade aufgetragen. Es erfolgt eine Skalierung mit k = 1.546, um einen direkten Vergleich zum simulierten Beobachtungsrauschen (P2-P1) zu gewährleisten [vgl. Gleichung ( 3-3 ) und ( 3-4 )]. Man erkennt deutlich die erhöhten Werte bei zu gering gewähltem Kugelfunktionskoeffizient (L<6). Sie liegen deutlich oberhalb von 0.1 m und sind somit nicht durch das Beobachtungsrauschen zu erklären, sondern ergeben sich zum Großteil aus den unzureichend modellierten Lagevariationen. Durch eine Steigerung des Entwicklungsgrads über die "tatsächliche" Auflösung heraus ergibt sich dagegen kein Genauigkeitsgewinn mehr. Aussagekräftiger als die innere Modellgenauigkeit ist die äußere Genauigkeit, die sich an dieser Stelle durch einen Vergleich mit den zur Simulation gewählten Modellwerten abschätzen lässt. Da hier aufgrund der festen Chapman-Parameter lediglich die horizontale Verteilung der freien Elektronen betrachtet zu werden braucht, bietet sich für den Vergleich die vertikale Elektronendichte VTEC an. Deren maximal auftretende Abweichungen zu den "wahren" Werten der Simulation sind ebenfalls in 5 Simulationen 72 der Abb. 5.7 dargestellt. Man erkennt auch hier die deutlich erhöhten Fehler bei zu gering gewähltem Kugelfunktionsgrad: das theoretische Modell kann die Variationen der Beobachtungen nicht abfangen. Zusätzlich ist ein leichter Anstieg der Fehler für L>6 festzustellen, welcher in den Standardab- weichungen s0 nicht nachzuweisen ist. Hervorgerufen wird der Effekt durch eine zunehmende Ver- schlechterung des Verhältnisses zwischen Beobachtungsverteilung und auszufüllender räumlicher Auflösung. Noch extremer entwickeln sich diese Fehler bei kürzeren Beobachtungsintervallen, weil dann die räumliche Verteilung der IGS-Daten immer ungleichmäßiger wird [vgl. Abb. 3.4]. Diesen Zusammenhang verdeutlicht Abb. 5.8a). Die maximal auftretenden Fehler in der vertikalen Elektronen- dichte nehmen mit sinkender Intervallgröße stark zu. Diese Steigerung vergrößert sich mit wachsen- dem Entwicklungsgrad der Lagefunktion. Bei L=6 sind bei geringen Genauigkeitsanforderungen noch Zeitintervalle von sechs Stunden akzeptabel, soll aber eine höhere räumliche Auflösung erreicht werden, z.B. L=12, sind für die gleiche Genauigkeit bereits Beobachtungen über einen Zeitraum von zwölf oder mehr Stunden ins Modell zu integrieren1. a) max. Fehler in der vertikalen Elektronendichte b) Standardabweichung der Gewichtseinheit Abb. 5.8: Modellgenauigkeiten in Abhängigkeit vom verwendeten Zeitintervall Die Einbeziehung von LEO-Daten (hier zwei LEOs) bringt dabei eine deutliche Genauigkeitsstei- gerungen mit sich, weil diese Beobachtungen in ihrer räumlichen Verteilung ein grundsätzlich anderes Verhalten aufweisen als die Bodenstationsbeobachtungen und so besonders bei kurzen Zeitinter- vallen einige der räumlichen Datenlücken füllen können, welche die IGS-Beobachtungen aufweisen [vgl. Kapitel 3.2]. So kann beispielsweise für L=6 und mit einem Intervall von 12h der maximal auftretende VTEC-Fehler von 0.34 TECU auf 0.19 TECU gesenkt werden. Für kürzere Zeitintervalle ergeben sich noch weit drastischere Verbesserungen. Im rechten Teil der Abb. 5.8 ist die Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 dargestellt. Diese deutet auf eine Verbesserung der Modellstimmigkeiten mit sinkendem Kugelfunktionsentwicklungs- grad hin. Allerdings darf man sich von dem geringen s0 für die kurzen Zeitintervalle nicht täuschen lassen: Die kleinen Werte (die noch unterhalb des Beobachtungsrauschens liegen) begründen sich durch den Umstand, dass die Beobachtungen einfach nicht geeignet sind, die unbekannten Modellparameter zu schätzen. Eventuell vorhandene Modellfehler können gar nicht bemerkt werden und die Standardabweichung täuscht scheinbar optimale Verhältnisse vor. In einem solchen Fall besitzt s0 so gut wie keine Aussagekraft und der Übergang auf andere Qualitätsmerkmale wäre wünschenswert. 1 Diese theoretischen Werte müssen mit tatsächlichen Daten überprüft werden, da in der Realität sicherlich eine sehr viel höhere räumliche Auflösung als L=6 vorliegen wird und zusätzlich mit dem Auftreten von Höhenmodellierungsfehlern zu rechnen ist. 5 Simulationen 73 Der Grad der Kugelfunktionsentwicklung, das Beobachtungsintervall und die Datentypen müssen demnach stets gründlich aufeinander abgestimmt werden. Weitere Einflussgrößen stellen die Takt- frequenz der Daten und deren Unsicherheit dar. Zu beachten sind zusätzlich eventuell auftretende Einschränkungen, die sich durch die Rechnerleistung oder die Anforderungen an die Schnelligkeit, mit der die Lösung bereitstehen soll, ergeben1. Bei den im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Untersuchungen wird in der Regel mit 12h- Intervallen und Kugelfunktionsentwicklungsgraden von L=6 gearbeitet. 5.3 Höhenfunktionsansatz Nachdem im Kapitel 5.1 bereits die prinzipielle Eignung des vorgestellten vertikalen Modellierungs- ansatzes nachgewiesen wird, sollen an dieser Stelle konkrete Testdurchläufe zeigen, welche Genauigkeiten sich für die Chapman-Koeffizienten erreichen lassen und welche Voraussetzungen dafür einzuhalten sind. Die Analysen werden anhand simulierter Daten unter realen geometrischen Verhältnissen durchgeführt. Um zu einer Aussage über die Leistungsgrenzen des Ansatzes zu gelangen, erhalten die Beobachtungen keinen Rauschanteil und sind somit fehlerfrei. 5.3.1 Konvergenzverhalten der Chapmanparameter Ein erstes Qualitätskriterium für die Höhenfunktionsmodellierung stellt das Konvergenzverhalten der Chapmanparameter dar. Ungenaue Koeffizienten machen eine Iteration der Ausgleichung mitsamt der erneuten Berechnung der Designmatrix notwendig [vgl. Kapitel 4.4.1]. Um eine schnelle und korrekte Problemlösung zu gewährleisten, ist eine ausreichende Konvergenz dieser Iteration wichtig. Anhand eines simulierten Beispieldatensatzes (50 IGS Stationen, 2 LEO, rauschfrei) soll das Iterations- verhalten für K=10 im folgenden näher analysiert werden. Die gewählten Startparameter stimmen bis auf einen Kilometer mit den Sollwerten überein, so dass bereits nach vier Iterationsschritten die geforderte Änderung von 0.1 km (Konvergenzschranke rauschfreie Daten, vgl. Kapitel 4.4.1) unterschritten wird. Ein Abbruch der Berechnungen erfolgt in diesem Fall allerdings erst bei einer Konvergenz auf 0.01 km, die nach acht Iterationen erreicht wird. Schlechtere Startparameter verlängern den Iterationsprozess entsprechend, führen aber zu vergleich- baren Ergebnissen [vgl. Seite 75f]. a) Änderungen der Chapman-Parameter b) Koeffizienten der exponentiellen Abnahme Abb. 5.9: Konvergenzverhalten der Chapman-Parameter 1 Die Anzahl der zu schätzenden Kugelfunktionskoeffizienten wächst quadratisch mit (L+1) [vergl. ( 4-29 )]. 5 Simulationen 74 Die Abb. 5.9 stellt das Konvergenzverhalten des gewählten Datensatzes dar. Man erkennt bei allen zehn Parametern ein deutliches (alternierendes) Einschwingen auf einen bestimmten Wert. Auffällig ist dabei das gegenläufige Vorzeichen der Parametergruppen. Immer wenn die Skalenhöhen- koeffizienten zu niedrig in Bezug auf den zu erreichenden Grenzwert geschätzt werden, erfolgt eine zu hohe Festlegung der restlichen Parameter und umgekehrt. In diesem Verhalten deuten sich Schwierigkeiten des Modells an, die beiden Chapman-Parameter bzw. deren Einflüsse auf die Beobachtungsdaten sauber voneinander zu trennen. Ungeachtet dieses Effektes ist eine klare Konvergenz aller Koeffizienten gegeben. Betrachtet man lediglich die Beträge der Änderungen und nähert deren Verlauf durch eine Exponentialfunktion der Form xceyy ⋅⋅= 0 mit y0: Anfangsgröße c: Wachstumskonstante ( 5-3 ) an, so ist in allen Fällen mit Bestimmtheitsmaßen größer als 0.94 eine exponentielle Abnahme nachzuweisen, deren Koeffizienten der rechte Teil der Abb. 5.9 zeigt. Während die Anfangsgröße y0 im wesentlichen von den gewählten Startparametern abhängt, stellt die Wachstumskonstante c ein direktes Maß für die Konvergenz des jeweiligen Parameters dar. Man erkennt ein einheitliches Verhalten für alle Höhenkoeffizienten mit c  -0.4. Dabei zeigen die Skalen- höhenterme ein geringfügig schlechteres Verhalten als die Terme der Höhe der maximalen Elektronendichte hm. Ebenso wie die Unbekannten konvergieren auch die Modellgenauigkeiten im Laufe der Iteration auf die letztendlich geschätzten Werte. Hier bewegen sich die auftretenden Änderungen allerdings in viel kleineren Bereichen (maximal ∆s = 1 m). Der Hauptanteil ergibt sich durch die Veränderung von s0, die Variationen in den Kofaktormatrizen sind zu vernachlässigen. Da es sich bei der durchgeführten Modellierung um eine Simulation handelt, stehen die wahren Werte für einen Vergleich mit den ermittelten Ergebnissen bereit. Diese werden von Iteration zu Iteration besser wiedergegeben, wie die Abb. 5.10 a) zeigt. Deutlich zu erkennen bleibt eine negative Korrelation zwischen den Anteilen der beiden Chapman-Parametern hm und H. Diese tritt sowohl bei den konstanten Termen (hm0, H0) als auch bei den Schwingungstermen (hc,hs,Hc,Hs,bc,bs,Bc,Bs) auf und weist auf die Grenzen des Modells hin, die in der gleichzeitig schnellen als auch sauberen Trennung dieser beiden Koeffizientenanteile liegt. Es ist zu vermuten, dass sich diese Effekte noch vergrößern werden, wenn mit verrauschten ungleichmäßig verteilten Daten gearbeitet wird. Unter- suchungen hierüber erfolgen in den folgenden Kapiteln. a) Konvergenzverhalten b) Fehler nach Konvergenz auf 0.01km (Iteration 8) Abb. 5.10: Fehler der Höhenparameteriteration 5 Simulationen 75 Im rechten Teil der Abb. 5.10 sind die verbleibenden Restfehler der Höhenparameter für das gewählte Simulationsbeispiel dargestellt. Sie bleiben nach der achten Iteration durchgängig unterhalb von fünf Metern. Wird die Berechnung bereits nach dem vierten Schritt abgebrochen, so lässt sich nur eine Genauigkeit von ca. 40 Metern garantieren. Bei der Verarbeitung realer Daten stehen die “wahren Werte“ für eine Qualitätsabschätzung der Modellierung nicht zur Verfügung. Dann bietet der Ausgleichungsansatz die Möglichkeit, zusätzlich zu den unbekannten Modellkoeffizienten auch deren Genauigkeiten mitzuschätzen. Geht man von einer Normalverteilung aus, sollten diese Standardabweichungen 68% der tatsächlichen (zufälligen) Fehler auffangen können. Demnach müssen nahezu alle Abweichungen (99%) unterhalb von 3σ bleiben. Betrachtet man die in der obigen Graphik ebenfalls dargestellten inneren Standardabweichungen fällt auf, dass diese fast durchweg zu optimistisch ausfallen. Für vier der zehn Parameter liegen sie dreimal niedriger als die tatsächlich auftretenden Fehler, die sich aus dem Vergleich mit den Sollwerten ergeben. Die Standardabweichungen stellen im vorliegenden Beispiel demnach keine realistische Qualitätsangabe dar. Allerdings begründet sich dies nur durch die Wahl der Iterations- abbruchschranke. Diese liegt für fehlerfreie Daten bei 10 m, also bereits über den absoluten Fehlern. Weitere Iterationsdurchläufe (oder die Arbeit mit verrauschten Daten, bei denen sich die Abbruch- bedingung nach der Standardabweichung selbst richtet) sollten zu Standardabweichungen führen, welche die tatsächlichen Fehler korrekt auffangen können. Geklärt werden sollte an dieser Stelle noch, welche Auswirkung die Wahl der Startparameter auf die Bestimmung der Modellparameter aufweist. Ein Test mit unterschiedlichen Näherungswerten für die Chapmanparameter zeigt eine deutliche Änderung der notwendige Iterationsschritte: Wenn korrekte Werte vorliegen, ist - mit fehlerfreien Daten - bereits ein einziger Programmdurchlauf erfolgreich. Mit wachsenden Fehler in den Startwerten werden die nötigen Iterationen und damit auch die Rechenzeit allerdings erheblich ansteigen. Im vorliegenden Beispiel wird bei gleicher Datengrundlage zum einen mit Näherungswerten, die im einstelligen Kilometerbereich von den Sollwerten abweichen (hell), und zum anderen mit nahezu korrekten Startwerten (Fehler unterhalb von einem Kilometer, dunkel) gearbeitet. Die notwendigen Iterationsschritte bis zum Erreichen der Konvergenzschranke von 0.01 km (0.1 km) betragen im ersten Fall 8 (4) und im zweiten Fall 16 (10). Nähert man die Kurve der Fehler in Abhängigkeit von der Iterationsstufe durch eine Exponentialfunktion an [vgl. ( 5-3 )], so ändert sich durch die Start- parameterwahl lediglich die Anfangsgröße y0, die Wachstumskonstante c – und damit das Konver- genzverhalten – bleibt identisch, wie die Abb. 5.11a) zeigt. Trotz der unterschiedlichen Startparameter sind in den geschätzten Höhenparametern nur leichte Unterschiede zu bemerken, die durchgehend unterhalb der gewählten Abbruchschranke bleiben [vgl. Abb. 5.11b)]. a) Konvergenzverhalten b) Differenzen nach Konvergenz auf 0.01 km Abb. 5.11: Auswirkung unterschiedlicher Startparameter 5 Simulationen 76 Dieses Ergebnis lässt sich grundsätzlich auf andere Modelle übertragen. Wird mit verrauschten Beobachtungen gearbeitet, vergrößern sich die auftretenden Differenzen. Allerdings bleiben diese stets im Bereich der jeweils geschätzten Standardabweichungen, so dass man von einer Unabhängig- keit der Parameterschätzung von den jeweiligen Startparametern sprechen kann. Zum Erreichen akzeptabler Rechenzeiten sollte aber unbedingt auf gute Startparameter Wert gelegt werden. In der Praxis ergeben sich damit keine Probleme, da bei kontinuierlicher Modellberechnung stets ausreichend genaue Werte aus dem Vorgängermodell vorliegen. Änderungen in der Satellitengeometrie, der Unsicherheit der verwendeten Daten sowie andere Taktraten und Beobachtungsstationen der GPS-Messungen beeinflussen das Konvergenzverhalten zusätzlich, wie die folgenden Kapitel zeigen werden. Allerdings belegt die hier vorgestellte Unter- suchung die prinzipielle Eignung des Iterationsansatzes unter der Voraussetzung genügend guter und zahlreicher Beobachtungsdaten. 5.3.2 Auswirkung des Grads der Höhenfunktion Ein Großteil der Genauigkeit der Ionosphärenmodellierung wird durch die Auflösung des gewählten Modellansatzes vorgegeben. Vor allem der Grad der Höhenfunktionsentwicklung kann hierbei einen nicht unerheblichen Einfluss auf die Genauigkeit der Chapmanparameter nehmen. Inwieweit seine Wahl die Modellberechnung beeinflusst, soll anhand einiger Simulationen verdeutlicht werden. Als Ausgangsionosphäre der Untersuchungen dient ein Modell vom Grad L=6 und K=10. Es wird mit 50 IGS-Stationen (∆t=15min), zwei LEO-Satelliten (∆t=1min) und einem Zeitintervall von zwölf Stunden gearbeitet. Die berechneten Modelle sind alle vom Kugelfunktionsgrad L=6 und variieren in der Anzahl der geschätzten Höhenfunktionsparameter. Die wichtigsten Unterscheidungsstufen fasst die Tab. 5.1 noch einmal zusammen. Mit den fehlenden Zwischenwerten für K kann selbstverständlich ebenfalls gearbeitet werden. Tab. 5.1: Stufen der Höhenfunktionsentwicklung K 0 keine Höhenparameterschätzung 1 Höhe der max. Elektronendichte (hm) wird geschätzt (konstant) 2 konstante Chapman-Parameter (hm und H) über die gesamte Sphäre 4 Variation von hm mit dem Sonnenstand zugelassen 6 Variation von hm und H mit dem Sonnenstand zugelassen 8 Variation von hm mit Sonnenstand und Breite und von H nur mit Sonnenstand 10 Variation von hm und H mit Sonnenstand und Breite zugelassen Auffälligstes Unterscheidungsmerkmal der Ergebnisse mit unterschiedlichen Höhenfunktionsent- wicklungsgraden ist die verschiedene Rechenzeit bedingt durch die notwendigen Iterationsschritte. Während für K=2 bei den gewählten Startparametern lediglich vier Iterationen nötig sind, braucht man bei K=10 bis zum Erreichen der gleichen Genauigkeit zwanzig Schritte und damit auch erheblich mehr Rechenzeit. Die Konvergenz vermindert sich mit steigender Modellauflösung, weil mehr Koeffizienten- einflüsse voneinander zu trennen sind. Die Rechenzeit sollte allerdings nur ein sekundäres Kriterium für eine bestimmte Modellauflösung sein, welches den Entscheidungsprozeß allenfalls am Rande mitbestimmen sollte. Weitaus größeres Gewicht muss auf die Modellgenauigkeit der einzelnen An- 5 Simulationen 77 sätze gelegt werden. Es gilt: je höher der Entwicklungsgrad, desto besser ist die Auflösung des Modells. Dabei muss jedoch auf eine ausreichend gut verteilte Datengrundlage zurückgegriffen werden, da sonst Probleme bei der Koeffizientenschätzung zu erwarten sind. In einer ersten Untersuchung erfolgt die Modellierung der simulierten Ionosphäre (K=10) durch weniger Höhenkoeffizienten (K ≤ 10) als notwendig. Diese unzureichende Modellauflösung führt zu einer deutlich erhöhten Standardabweichung der Gewichtseinheit s0, welche sich – zusammen mit den ebenfalls kontinuierlich sinkenden HDOP-Werten [vgl. Formel ( 4-35 )] – in die Unsicherheiten der Modellparameter fortpflanzt. Diese steigen erheblich an, sobald nicht alle Parameter der Höhen- funktion mitgeschätzt werden [vgl. Abb. 5.12 (s0 K10)]. Die Beobachtungsdaten stimmen dann nicht mit dem Modellansatz überein, so dass sich die Unsicherheiten nicht mehr allein aus dem Beobachtungsrauschen ergeben. Im selben Maße wie die Modellfehler verschwinden und die Auflösung des Modells sich der (simulierten) Realität anpasst, sinkt die Standardabweichung der Gewichtseinheit ab und mit ihr die inneren Genauigkeiten aller Modellparameter. Ebenfalls zu untersuchen ist die Auswirkung, welche die Bestimmung nicht vorhandener Variationen der Chapman-Parameter haben würde. Dazu werden mit einem Modell vom Grad K=2 Beobachtun- gen simuliert, mit denen man später ein volles Modell (K=10) schätzt. Die Ergebnisse sind ebenfalls in der Abb. 5.12 dargestellt (s0 K2). Man erkennt durch die unnötige Parameterschätzung (K>2) keine eindeutige Genauigkeitssteigerungerungen. Demnach sollte stets eine möglichst hohe Höhen- funktionsauflösung angestrebt werden. Allerdings ist auch hier zu befürchten, dass durch eine zu geringe oder ungleichmäßige Datenabdeckung kleinräumige horizontale Variationen nicht in jedem Fall modellierbar sind, obwohl sich dies nicht in den Werten der Standardabweichungen zeigen würde [vgl. Kapitel 5.2]. Anhand der vorliegenden Daten (zwei LEO, ∆t=1min) und der momentanen Entwicklungsgradobergrenze K=10 sind solche Effekte nicht feststellbar. Probleme ergeben sich allerdings bei der Verwendung eines einzelnen LEO-Satelliten [vgl. Kapitel 5.7.2]. Da sich die Variationen der Höhenparameter in der Realität in der Regel sehr viel komplexer als in der vorliegenden Simulationsgrundlage verhalten, sollte immer der volle Höhenfunktionsgrad (K=10) aus- genutzt werden. Für eine bessere Repräsentation der vertikalen Elektronendichteverteilung bietet sich sogar eine weitere Ausdehnung der Variationsmöglichkeiten der Chapman-Parameter an. Abb. 5.12: Genauigkeitsparameter bei unterschiedlichem Höhenfunktionsentwicklungsgrad 5 Simulationen 78 Neben der erhöhten inneren Parameterunsicherheit ruft eine unzureichende Höhenfunktionsauflösung selbstverständlich auch tatsächliche Fehler in den Modellkoeffizienten hervor. Diese ergeben sich je nach Größe der vernachlässigten Variationen und den Startparametern des Modells und werden in der Regel von den inneren Standardabweichungen (trotz deren sprunghaften Anstiegs) nicht abgefan- gen. Es handelt sich um systematische Fehler, die unabhängig abzuschätzen sind. Interessant er- scheint die Tatsache, dass sich die Auflösungsfehler auch auf die anderen Modellkoeffizienten auswirken. So weisen im vorliegenden Beispiel ca. 30% der Kugelfunktionskoeffizienten im Rahmen ihrer jeweiligen Standardabweichungen signifikante Fehler auf, wogegen allerdings die Hardwarebias bis auf eine einzige Ausnahme mit den Sollwerten übereinstimmen (95% Signifikanzniveau). Im gewählten Beispiel ergeben sich durch die fehlende Auflösung (K=2 statt K=10) Höhenparameter- fehler, die im Mittel Beträge von etwa 7 m erreichen. Im VTEC sind Abweichungen von bis zu 1 TECU nachzuweisen. Diese Abweichungen verkleinern sich schrittweise durch Erhöhung des Höhen- funktionsentwicklungsgrades, wie die Abb. 5.13 zeigt. Werden alle zehn Parameter mitgeschätzt bleiben die Fehler der Chapman-Parameter überall unterhalb von ∆hm = 12 m und ∆H = 6 m. Bei der Verwendung realer fehlerbehafteter Daten ist mit noch größeren Abweichungen zu rechnen [vgl. Kapitel 5.6]. Abb. 5.13: Mittelwert der Fehler in den Höhenfunktionsparametern (Beträge) in Abhängigkeit von K Als Ergebnis bleibt demnach festzuhalten, dass der Entwicklungsgrad der Höhenfunktion einen großen Einfluss auf die Genauigkeit der Modellkoeffizienten ausübt. Deshalb sollten stets die gesamten Variationsmöglichkeiten der Chapmanparameter (K=10) ausgenutzt werden, um zu möglichst genauen Werten zu gelangen. Die Vernachlässigung kleinräumiger Effekte wirkt sich auf die Genauigkeit aller geschätzten Parameter aus und führt zu systematischen Fehler in den Koeffizienten der Elektronendichteverteilungsfunktionen. Im Falle geringer und schlecht verteilter LEO-Daten müssen diese Fehler allerdings in Kauf genommen werden, um die Konvergenz der Ausgleichung und damit überhaupt eine Lösung des Problems zu gewährleisten [vgl. Kapitel 5.7.2]. Neben dem angesetzten Entwicklungsgrad der Höhenfunktion üben noch weitere Größen Einfluss auf die Modellgenauigkeit aus, wie zum Beispiel die unterschiedliche geometrische Verteilung der Beob- achtungsdaten und deren Elevationsverhalten. Auf diesen Punkt wird im folgenden Kapitel eingegan- gen. 5 Simulationen 79 5.4 Auswirkungen unterschiedlicher Geometriesituationen Die Genauigkeit der geschätzten Ionosphärenmodelle hängt zweifelsohne von der Verteilung der jeweiligen Beobachtungsdaten ab. Da die GPS-Konstellation im Laufe eines Tages Schwankungen unterliegt, bleibt zu untersuchen, wie sich diese unterschiedlichen Geometriesituationen auf die Sensitivität der Daten und damit auf die Genauigkeit der Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung auswirkt. Um den Sachverhalt für realistische Verhältnisse zu beleuchten, werden über einen Zeit- raum von einem Tag für sieben mögliche 12h-Intervalle Ionosphärenmodelle berechnet und ver- glichen. Da der Simulation immer die gleichen Modellparameter zugrunde liegen, sind die entstehen- den (scheinbaren) Variationen allein auf geänderte geometrische Bedingungen zurückzuführen, die sich im wesentlichen durch das Zusammenspiel von GPS-Satellitenkonstellation und LEO-Bahnen er- geben, weil die IGS-Stationen sich in keiner Weise bewegen. Es werden wiederum für 50 IGS-Stationen (∆t=15min) und zwei LEO Satelliten (∆t=1min) rauschfreie Beobachtungen simuliert. Die Berechnung der Modelle (L=6 und K=10) erfolgt durchgängig mit denselben Startparametern. a) Abweichungen zum Soll b) zeitliche Variationen Abb. 5.14: Geometrieabhängigkeit der Höhenfunktionsparameter Die Abb. 5.14 zeigt einige Ergebnisse der Analyse. Im linken Teil werden die Abweichungen der Höhenfunktionskoeffizienten von den vorgegebenen Sollparametern dargestellt. Die rechte Graphik zeigt die zeitlichen Änderung der Koeffizienten. Da mit einem zeitinvarianten Modell in die Simulation eingegangen wird, handelt es sich dabei lediglich um scheinbare Zeitvariationen, die aus geometrisch bedingten Änderungen im Fehlerverhalten des Modells resultieren. Die Variationen erreichen maximale Werte von ca. 0.6 m/h, während die Abweichungen selbst alle unter 2 m bleiben. Die geometriebedingten Fehleranteile sind demnach minimal und liegen im Rahmen der geschätzten Genauigkeiten (festgelegt durch die Iterationsabbruchschranke bzw. bei ver- rauschten Daten durch die Standardabweichungen). Eine signifikante Systematik in den Kurven ist nicht festzustellen, vielmehr schwanken die Änderungen zufällig um null. Gleiches Verhalten ist auch für die anderen Modellkoeffizienten festzustellen. Für die Hardwarebias- differenzen sind sowohl die absoluten Fehler als auch die zeitlichen Variationen zu vernachlässigen. Die Abweichungen erreichen maximal 0.0003 ns, was zu Pseudostreckenfehlern auf L1 von unter einem Millimeter führt. Systematiken sind auch hier nicht zu erkennen. Die durch die tageszeitlichen Konstellationsänderung hervorgerufenen Parameterfehler sind demnach erheblich kleiner als die Beobachtungsunsicherheiten selbst und spielen (besonders bei verrauschten Daten) für die Modellgenauigkeit lediglich eine untergeordnete Rolle. Allerdings bewirken die Konstellationsänderungen innerhalb eines Tages zum Teil deutlich unter- schiedliche Konvergenzbedingungen. Im untersuchten Beispiel nehmen die notwendigen Iterations- 5 Simulationen 80 anzahlen kontinuierlich ab, so dass zwar nicht die Genauigkeit der Modelle beeinflusst wird, wohl aber die Zeit, die zu ihrer Erstellung benötigt wird. a) maximale Fehler pro Iterationsschritt (2LEO) b) Parameter der exponentiellen Abnahme Abb. 5.15: Geometrieabhängigkeit des Konvergenzverhaltens (Höhenkoeffizienten) Dieses Verhalten stellt die Abb. 5.15 dar. Die Konvergenz verbessert sich im Laufe des Tages deutlich, was eine erhebliche Steigerung der Rechengeschwindigkeit mit sich bringt. Da sowohl die einfließenden Beobachtungen als auch die Startparameter und der Modellansatz für alle Intervalle identisch sind, ergibt sich diese Abhängigkeit allein aus der Konstellationsänderung während der betrachteten 24 Stunden. Besonders deutlich wird dies im rechten Teil der Graphik, in der die Wachstumskonstante c der entstehenden Exponentialfunktionen aufgetragen ist. Im Laufe des Tages verbessern sich die Konvergenzbedingungen zunehmend. Zusätzlich stellt die Abbildung das Kon- vergenzverhalten der Modellierung bei der Verwendung lediglich eines LEO-Satelliten dar. In Inter- vallen mit schlechten Bedingungen (v.a. während der ersten Tageshälfte) konvergieren die Höhen- parameter nicht mehr (c  0), d.h. die Trennung der Parameter voneinander und von den Kugel- funktionskoeffizienten schlägt fehl. Damit hat dieses Kapitel gezeigt, dass die Genauigkeit der Ionosphärenmodellierung (12h-Intervall) kaum von der tageszeitlichen Geometrieänderung der verwendeten Messungen abhängt, sich durch die Beeinflussung des Konvergenzverhaltens aber durchaus Nachteile bei der operationellen Aus- wertung ergeben können, gerade wenn nur mit wenig LEO-Satelliten gearbeitet wird und dadurch die gleichmäßige Überdeckung der Sphäre nicht gewährleistet werden kann. Die hier vorgestellten Aus- sagen basieren auf der Verwendung von zwei (bzw. einem) LEO-Empfängern auf GPS/MET- ähnlichen Bahnen. Auswirkungen die sich durch die Verwendung anderer Orbittypen und ~zahlen ergeben, werden in Kapitel 5.7 behandelt. Inwieweit die absoluten Ionosphärenbedingungen selbst die Genauigkeit der Modellierung beeinflussen, zeigt der nächste Abschnitt. 5.5 Auswirkung absoluter Ionosphären-Parameter Hier soll untersucht werden, ob und in welcher Weise die Ionosphärenverhältnisse selbst die Genauig- keit der Elektronendichtemodellierung beeinflussen. Es ist einerseits eine Abhängigkeit vom absoluten Elektronengehalt, insbesondere vom mittleren VTEC (repräsentiert durch den Koeffizient a000 [vgl. Kapitel 4.2]), andererseits eine Korrelation zur vertikalen Verteilung der freien Elektronen zu erwarten. Die Analyse erfolgt anhand von rauschfrei simulierten Daten eines 12h-Intervalls (12-24Uhr). Die geschätzten Modelle sind vom Grad L=6, K=10 und basieren auf jeweils nahezu korrekten Start- parametern (besser als 1 km). 5 Simulationen 81 In einer ersten Untersuchung wird schrittweise der zur Simulation verwendete Kugelfunktionskoeffi- zient a000 verändert. Alle anderen Parameter des Modells bleiben konstant. Als Höhenfunktion führt man eine konstante Chapman-Funktion mit den Parametern hm = 258.7 km und H = 67.2 km ein. Die entstehenden Ergebnisse ermöglichen eine Analyse der Auswirkungen, welche der weltweite Mittelwert des vertikalen TEC (mVTEC) auf die Modellgenauigkeiten ausübt. Der untersuchte Bereich umfasst mit 5...50 TECU alle in der Realität zu erwartenden Ionosphärenaktivitäten [vgl. SCHAER, S. (1999)]. a) Anzahl der benötigten Iterationsschritte b) Parameterfehler pro Iterationsschritt Abb. 5.16: Auswirkung der absoluten Elektronendichte auf das Konvergenzverhalten Deutliche Auswirkungen hat der unterschiedliche mittlere Elektronengehalt vor allem auf die Anzahl der benötigten Iterationen. Während bei einem mVTEC von 5 TECU noch 13 Iterationen erforderlich sind und bei noch geringerer Ionosphärenaktivität die Parameter gar nicht mehr konvergieren, reichen bei einem Gehalt von über 30 TECU bereits drei Iterationen aus, um eine Höhenkoeffizientengenauig- keit von 0.01 km zu garantieren [vgl. Abb. 5.16]. Da keine Geometrieänderung erfolgt, bleiben die DOP-Werte konstant, allerdings steigt die Standard- abweichung der Gewichtseinheit s0 mit wachsendem mVTEC minimal an. Als Konsequenz daraus verschlechtern sich die inneren Genauigkeiten aller Modellparameter leicht. Dieses Verhalten ist für die Höhenparameter in der Abb. 5.17a) dargestellt. a) mittlere Standardabweichungen b) mittlere Parameterfehler Abb. 5.17: Auswirkung der absoluten Elektronendichte auf die Höhenfunktionskoeffizienten Während die Standardabweichungen der Höhenparameter minimal ansteigen, kann dieser Trend bei den tatsächlichen Parameterfehlern nicht nachvollzogen werden. Die Abweichungen der zehn 5 Simulationen 82 Koeffizienten bleiben – bildet man eine Regressionsgerade – nahezu auf konstantem Niveau, wobei allerdings die Differenzen der einzelnen Werte zu dieser Geraden mit steigendem mVTEC sinken. Obwohl das Gesamtmittel aller Parameterfehler zufällig um Null streut, gelingt die Trennung der beiden Chapman-Parameter immer besser. Dies ist vor allem auf die Existenz ausgeprägtere Höhen- profile mit größeren Differenzen zwischen maximaler und minimaler Elektronendichte zurückzuführen. Die Messwerte ändern sich schneller mit der Elevation bzw. der Zeit und ermöglichen so eine Steigerung der Höhenauflösung. Durch die verbesserte Trennung von Informationen unterschiedlicher Höhenschichten kann vor allem die Rechenzeit der Modellierung deutlich reduziert werden. Die Ergebnisse der unterschiedlichen Berechnungen weisen im Rahmen der gewählten Iterations- abbruchschranke von 0.01 km keine signifikanten Unterschiede auf. Sie bleiben stets unterhalb von 0.005 km und sind somit zu vernachlässigen. Die anderen Modellparameter sind von dieser positiven Entwicklung nicht betroffen. Hier steigen bei erhöhtem Elektronengehalt mit den inneren Unsicherheiten auch die tatsächlichen Fehler kontinuier- lich an. Allerdings handelt es sich dabei lediglich um minimale Änderungen und auch bei einer mittleren Elektronendichte von 50 TECU bleiben die Fehler der Hardwarebias unterhalb von 0.001 ns und die Lagekoeffizientenfehler übersteigen 0.0001 (ca. 4%) nicht. Die absolute Ionosphärenaktivität (repräsentiert durch einen mittleren VTEC-Wert über die gesamte Sphäre) wirkt sich also kaum auf die Genauigkeit der geschätzten Modellkoeffizienten aus, wohl aber auf die Schnelligkeit der Prozessierung. Ein ähnlicher Einfluss ist auch durch die vertikale Verteilung der freien Elektronen zu erwarten. Um dies zu untersuchen, erfolgt eine schrittweise Veränderung jeweils eines Chapman-Parameters1. Da besonders die Manipulation der Skalenhöhe eine Änderung des vertikalen TEC zur Folge hat, wird zusätzlich der Kugelfunktionskoeffizient a000 so modifiziert, dass sich insgesamt kein Unterschied im mittleren weltweiten VTEC-Wert (ca. 6.3 TECU) ergibt2. Durch diese Anpassung können die ent- stehenden Genauigkeitsunterschiede eindeutig auf die geänderte vertikale Elektronendichteverteilung zurückgeführt werden. Beide Chapmanparameter wirken sich auf die Schnittgeometrie in der Ionosphäre aus, was sich durch eine Änderung im HDOP-Wert des Modells ausdrückt. Dieser steigt durch eine Vergrößerung der Skalenhöhe H und fällt durch die Erhöhung der Schicht maximaler Elektronendichte hm. Die Standardabweichung der Gewichtseinheit zeigt jeweils ein gegenläufiges Verhalten, so dass in der Konsequenz die Unsicherheiten der Modellkoeffizienten in beiden Fällen minimal ansteigen. Diese Änderungen umfassen jedoch nur Bruchteile der absoluten Werte und somit nahezu zu vernach- lässigen. Konsequenzen hat die Geometrieveränderung allerdings auf die Konvergenz des Modells und damit auf die Schnelligkeit seiner Bereitstellung. Bei einer geringen Skalenhöhe ändert sich die Elektronen- dichte relativ schnell mit zunehmender Höhe. Das hat zur Folge, dass die GPS-Beobachtungen mit der Zeit (bedingt durch die sich ändernde Elevation) ebenfalls einer ausgeprägten Änderung unter- liegen. Dieser Effekt betrifft in erster Linie die LEO-Signale, die maßgeblich an der Bestimmung der Chapman-Parameter beteiligt sind. Die Trennung der Höhenkoeffizienten gelingt somit genauer als bei großen Skalenhöhen, bei denen die vertikale Elektronendichteverteilung sich nur sehr langsam mit der Höhe ändert. Als Konsequenz daraus konvergiert das Problem besser. Ein Sinken der Höhe der maximalen Elektronendichte hm bewirkt eine Verschiebung der freien Elektronen entlang der Vertikalen. Da diese Änderung gegenüber den Satellitenbahnen kaum ins Ge- wicht fällt, ergeben sich daraus keine Vorteile für die Trennung der beiden Chapman-Parameter. Dementsprechend bleibt auch die Auswirkung auf das Konvergenzverhalten des Modells zu vernachlässigen. 1 Zur Vereinfachung wird mit konstanten Chapman-Parametern über der gesamten Sphäre gearbeitet. Die geschätzten Modelle sind jedoch vom Grad K=10. 2 In der Verteilung der VTEC-Werte über die Sphäre kommt es allerdings zu teilweise deutlichen Unterschieden. 5 Simulationen 83 Die Abb. 5.18 zeigt die Auswirkungen der Skalenhöhe auf des Konvergenzverhalten der Modellierung. Links sind die pro Iterationsschritt auftretenden maximalen Abweichungen dargestellt. Sie lassen sich mit Bestimmtheitsmaßen von größer als 0.95 durch Exponentialfunktionen annähern und durch ihre jeweilige Ausgangsgröße und Wachstumskonstante beschreiben [vgl. Kapitel 5.3.1]. Die Ausgangs- größen hängen dabei lediglich von der Güte der Startparameter ab und sind wenig aussagekräftig. Die Wachstumskonstanten sind im rechten Teil der Graphik in Abhängigkeit von der Skalenhöhe aufgetra- gen. Wegen der Abnahme der Abweichungen im Laufe der Berechnung sind diese durchgängig negativ. Je höher die Beträge, desto besser ist das Konvergenzverhalten und je weniger Iterations- schritte sind bei gleichguten Startwerten zum Erreichen derselben Genauigkeiten notwendig. a) max. Parameterfehler b) Wachstumskonstante der exp. Abnahme Abb. 5.18: Auswirkung der Skalenhöhe H auf das Konvergenzverhalten Die Untersuchungen legen die Vermutung nahen, dass in Zeiten hoher Ionosphärenaktivität (hohe räumliche Variabilität der Elektronendichte) die Modellierung schneller konvergiert als während eines Sonnenfleckenminimums. Diese Aussage ist allerdings nicht uneingeschränkt gültig, weil zusätzliche (hier nicht dargestellte) Effekte den gezeigten Vorteilen entgegenwirken: Zum einen wird bei der dargestellten Simulation die mittlere Elektronendichte abgekoppelt von den vertikalen Verteilung der Elektronen betrachtet. In der Realität existieren jedoch enge Verknüpfungen zwischen den Größen. So ist zu vermuten, dass eine Steigerung der Gesamtanzahl mit einer Vergrößerung der Skalenhöhe einhergehen wird. Beide dargestellten Effekte heben sich somit (zumindest teilweise) wieder auf. Außerdem existieren noch weitere Auswirkungen geänderter Ionosphärenaktivität, die bisher nicht angesprochen wurden: In den durchgeführten Untersuchungen ist keine Aussage über hoch- und mittelfrequente zeitlichen Änderungen in der Elektronendichte enthalten. Diese treten verstärkt in Zeiten hoher Absolutdichtewerte auf und können unter Umständen erhebliche Einflüsse auf die GPS- Datenqualität nehmen. Neben erhöhten Beobachtungsunsicherheiten muss auch mit Datenverlusten gerechnet werden. Zusätzlich kann es leicht zu zeitlichen Änderungen während eines (zeitlich konstant angenommenen) Datenintervalls kommen. Diese Effekte wirken ebenfalls dem dargestellten positiven Aspekt entgegen. Hier ist außerdem wieder folgendes zu bedenken: Die dargestellten Ergebnisse sind lediglich unter optimalen Bedingungen erreichbar, wie sie in der Realität nicht zu finden sind. Die tatsächlichen Beobachtungsdaten weisen stets einen Rauschanteil auf, der sich negativ auf die erzielten Modell- genauigkeiten auswirkt. Es ist zu erwarten, dass die Fehler in den Höhenfunktionsparametern dann deutlich ansteigen. Dieser Zusammenhang wird im folgenden Abschnitt näher betrachtet. 5 Simulationen 84 5.6 Auswirkung von Beobachtungsrauschen Die in das Modell eingehenden Beobachtungen werden stets mit Fehlern behaftet sein, welche sich in die Koeffizienten fortpflanzen und zu ungenauen Modellen führen. In diesem Kapitel ist zu unter- suchen, wie die Beobachtungsunsicherheiten die verschiedenen Parameter des Modells beeinflussen. Besonders interessant erscheint die Frage, ob sich die Fehler gleichmäßig verteilen oder ob be- stimmte Unbekannte stärker betroffen sind als andere. Je nach Anwendungsfall und Genauigkeitsfor- derung ist zu prüfen, welches Beobachtungsrauschen noch akzeptabel erscheint, welcher Datentyp verwendet werden sollte und ob eine Vorprozessierung der Beobachtungen notwendig ist [vgl. 3.3]. In der Simulation wird ein gaußverteiltes weißes Rauschen für die Beobachtungen eingeführt und stufenweise erhöht. Dabei haben diese zufälligen Fehler den Mittelwert null und ihre Standardab- weichung wächst mit sinkender Elevation. Bei den angegebenen Zahlenwerten handelt es sich stets um das Rauschen von Beobachtungen (P2-P1) im Zenit. Die eingeführten elevationsabhängigen Unsicherheiten berücksichtigt der Ausgleichungsansatz durch eine entsprechende Beobachtungsge- wichtung. Die Einflüsse systematischer Fehler werden nicht untersucht. Die zur Simulation ver- wendete Modellionosphäre hat den Grad L=6, K=2; bei der Simulation sind aber auch Lagevariationen der Höhenfunktionsparameter zugelassen (K=10). Es wird mit 50 Bodenstationen (∆t=15min), zwei LEO-Satelliten (∆t=1min) und einem Intervall von zwölf Stunden (12-24 Uhr) gearbeitet, um eine globale Datenüberdeckung zu gewährleisten. Es ist zu vermuten, dass sich die Beobachtungsunsicherheiten von IGS- und LEO-Empfängern in der Realität – bedingt durch die unterschiedlichen geometrischen Verhältnisse beider Signaltypen – ver- schieden in die Modellparameter fortpflanzen. Dies soll durch eine getrennte Betrachtung von Boden- stationen und LEOs untersucht werden. Während das Rauschen des einen Datentyps steigt, bleiben für den anderen Typ die Simulationen fehlerfrei. Diese unterschiedliche Beobachtungsgenauigkeit berücksichtigt die Ausgleichung durch unterschiedliche Gewichtung der Daten. Als Kriterium für die Qualität der geschätzten Unbekannten stehen neben den inneren Genauigkeiten der Ausgleichung auch die absoluten Fehler der Parameter zur Verfügung. Beide können für die Analyse verwendet werden. Keine Aussagekraft haben an dieser Stelle die DOP-Werte. Sie beschrei- ben lediglich die räumliche Geometrie des Problems und sind vollständig rauschinvariant. a) s0 skaliert mit k=1.546 b) ohne Beobachtungsunsicherheit Abb. 5.19: Standardabweichung der Gewichtseinheit Die Abb. 5.19 stellt die Standardabweichungen der Gewichtseinheit für unterschiedlich stark fehlerbehaftet Beobachtungen dar. Dabei sind einmal nur die Bodenstationdaten verrauscht, im zweiten Fall nur die LEO-Beobachtungen und schließlich noch beide Datentypen gleichzeitig. Man erkennt eindeutig einen linearen Zusammenhang zwischen s0 und dem eingeführten Rauschen im Zenit. Da in die Simulation keinerlei Modellfehler eingeführt wurden, sollte die Standardabweichung der Gewichtseinheit direkt die jeweils angesetzte zenitale Beobachtungsunsicherheit wiederspiegeln. 5 Simulationen 85 Berücksichtigt man den Skalierungsfaktor k  1.546 [vgl. Gleichung ( 3-4 )], der zwischen den simulierten Daten P2-P1 und den zur Ausgleichung benutzten Beobachtungen existiert [vgl. ( 3-3 )], ist diese Forderung für die identisch verrauschten Daten erfüllt. Wenn einer der Datentypen fehlerfrei eingeführt wird, ergibt sich dadurch logischerweise eine Reduktion von s0. Durch die unterschiedliche Anzahl der verrauschten Beobachtungen1 und deren jeweilige Elevationen, wirkt sich das Rauschen der IGS-Beobachtungen stärker auf das Gesamtmodell aus als Unsicherheiten in den Daten der LEOs. Die Standardabweichung der Gewichtseinheit, so wie sie in Teil a) der Abb. 5.19 dargestellt ist, beinhaltet sowohl die Beobachtungsunsicherheiten als auch eventuell vorhandene Modellfehler bzw. Unstimmigkeiten zwischen Eingangsdaten und Modellansatz. In Abb. 5.19b) sind – nach der Elimina- tion des aus dem Simulationsansatz bekannten Beobachtungsrauschens – lediglich noch die Anteile der Modellfehler zu sehen. Diese liegen im unteren Millimeterbereich und wachsen tendenziell mit der Beobachtungsunsicherheit. Mit steigendem Rauschen der Daten sinkt demnach die Fähigkeit des Modells zur korrekten Parameterbestimmung minimal ab. Die Auswirkungen auf die geschätzten Refraktionseffekte sind in Abb. 5.20b) dargestellt. Sie liegen im cm-Bereich. Wird mit realen Daten gearbeitet, treten in der Regel zusätzliche – und weit größere – Effekte in s0 auf, die sich durch Unzulänglichkeiten im funktionalen oder stochastischen Modellansatz ergeben. An dieser Stelle soll die Auswirkung des Rauschens auf die Modellierung anhand der Beobachtungs- signale selbst verdeutlicht werden. Dazu berechnet man aus den geschätzten Koeffizientensätzen die ionosphärischen Verzögerungen PI [vgl. Formel ( 3-3 )] für die betrachteten Signalwege und vergleicht diese mit den zur Modellierung verwendeten simulierten Beobachtungen. Die Ergebnisse dieser Untersuchung sind in der folgenden Graphik dargestellt. a) ∆PI (Rauschen=0.1m) b) Standardabw. ∆PI (ohne Rauschanteile) Abb. 5.20: Fehler in den simulierten Signalen in Abhängigkeit von der Beobachtungsunsicherheit In der Abb. 5.20a) sind die aus der Modellierung resultierenden Fehler in den PI gegenüber den Un- sicherheiten der zu deren Berechnung eingesetzten simulierten Beobachtungen aufgetragen. Man erkennt, dass sich das Beobachtungsrauschen der eingehenden Daten direkt in die simulierten Signale überträgt. Zusätzliche Fehler zeigen sich vor allem in den Signalen mit niedriger Elevation. Sie schwanken etwa um Null, streuen aber mit wachsendem Beobachtungsrauschen immer stärker. Diese Streuungen sind im rechten Teil der Abb. 5.20 dargestellt [vgl. Abb. 5.19b)]. Sie werden durch die fehlerhaft geschätzten Modellkoeffizienten verursacht und die Abweichungen können in Einzelfällen bis zu einem Meter betragen. Im Folgenden soll nun das Fortpflanzungsverhalten der Beobachtungsunsicherheiten in die einzelnen Parameter der Ausgleichung untersucht werden. Ein direkter Vergleich der Unbekanntenklassen 1 Es werden trotz der unterschiedlichen Taktraten mehr als doppelt so viele Bodenstationsignale ausgewertet wie LEO-Signale. 5 Simulationen 86 untereinander gestaltet sich aufgrund der unterschiedlichen Einheiten schwierig. Deshalb wird jede Klasse für sich analysiert. 5.6.1 Lagefunktionskoeffizienten Ein Teil der zufälligen Beobachtungsfehler pflanzt sich in die Koeffizienten der Kugelfunktionsent- wicklung fort und führt dort zu erhöhten Standardabweichungen. Diese sind in der Abb. 5.21 darge- stellt. Im linken Teil der Graphik sieht man die inneren Genauigkeiten der Ausgleichung, rechts sind die maximalen absoluten Fehler (Beträge) aufgetragen. Man erkennt auch hier deutlich linear anwachsende Standardabweichungen der einzelnen Parameter. Dabei können nahezu identische Auswirkungen von Bodenstations- und LEO-Beobachtungsunsicher- heiten festgestellt werden, wobei das Rauschen der IGS-Daten geringfügig kleinere Koeffizienten- fehler verursacht als das der LEO-Daten, obwohl das Gesamtmodell (repräsentiert durch s0) stärker von den Unsicherheiten der Bodenstationsbeobachtungen beeinflusst ist [vgl. Abb. 5.19a)]. Hier zeigt sich die starke Abhängigkeit der Kugelfunktionskoeffizienten von den LEO-Daten. a) Standardabweichungen (Mittelwerte) b) max. Abweichungen (IGS/LEO verrauscht) Abb. 5.21: Genauigkeit der Kugelfunktionskoeffizienten Werden beide Datentypen mit Unsicherheiten beaufschlagt, so addieren sich die Standardab- weichungen der teilverrauschten Durchläufe nahezu exakt auf. In diesem Fall treten maximale Fehler in den Kugelfunktionskoeffizienten auf, wie sie in Abb. 5.21b) dargestellt sind. Hier ist eine deutliche Korrelation zu den Standardabweichungen der Gewichtseinheit (skaliert und ohne den Anteil der Beobachtungsunsicherheiten) zu erkennen [vgl. Abb. 5.19b)]. Durch eine Anhäufung mehrerer Simulationsdurchläufe sollten sich diese Werte der ebenfalls gezeigten ausgleichenden Geraden annähern. Um die Fehler kleiner als 0.005 zu halten, muss das Beobachtungsrauschen im Zenit kleiner als 0.2 m gehalten werden, in diesem Fall erreichen mehr als 80% der Koeffizienten eine relative Genauigkeit von besser als 0.2. 5.6.2 Höhenfunktionskoeffizienten In diesem Abschnitt erfolgt die Untersuchung der Auswirkungen des Beobachtungsrauschens auf die vertikale Ionosphärenmodellierung. Dazu werden sowohl die Standardabweichungen der einzelnen Höhenparameter als auch deren Abweichungen zu den Ausgangswerten der Simulation herangezo- gen. Auch hier erkennt man, dass sich die Unsicherheiten der LEO-Beobachtungen stärker auf die inneren Genauigkeiten der Parameter auswirken als das Rauschen der IGS-Daten [vgl. Abb. 5.22a)]. Die Unterschiede sind noch weit deutlicher als bei den Kugelfunktionskoeffizienten und ergeben sich durch die unterschiedliche Wichtigkeit beider Datentypen für die Höhenparameterschätzung. Die IGS- 5 Simulationen 87 Beobachtungen liefern nur einen geringen Beitrag zur Berechnung der Chapman-Koeffizienten und demnach wirkt sich auch deren Unsicherheit – im Gegensatz zum Rauschen der LEO-Daten - nur wenig aus. Sind beide Datentypen mit Beobachtungsfehlern belastet, so liegen die Standardabweichungen der Höhenfunktionsparameter noch einmal höher und erreichen bei σz = 0.5 m im Mittel etwa 1.4 km. Dies führt zu maximalen Fehlern, wie sie im rechten Teil der folgenden Graphik dargestellt sind. Auch hier können wieder Abweichungen von einer Regressionsgerade erkannt werden, die sich durch die Modellfehler in Abhängigkeit der konkreten Simulationswerte ergeben [vgl. Abb. 5.19b) und Abb. 5.21b)]. Mit einer Beobachtungsunsicherheit von besser als 0.2 m lassen sich demnach Genauig- keiten von besser als 1 km in allen Höhenparametern garantieren. Dabei ist festzustellen, dass die Skalenhöhe H in der Regel genauer zu bestimmen ist als die Höhe der maximalen Elektronendichte hm. a) Standardabweichungen (Mittelwerte) b) max. Abweichungen (IGS/LEO verrauscht) Abb. 5.22: Genauigkeit der Höhenfunktionsparameter Interessant erscheint an dieser Stelle ein Vergleich zwischen den berechneten Standardab- weichungen und den tatsächlich auftretenden Fehlern. Letztere liegen im Fall von fehlerfreien LEO- Daten weit unterhalb der inneren Genauigkeiten und im Fall fehlerfreier IGS-Daten durchgängig darüber (aber noch deutlich unter der 3σ-Grenze). Sind beide Datentypen verrauscht, schwanken die mittleren Abweichungen um die Standardabweichungen. Auch dies bestätigt die unterschiedliche Eignung der verschiedenen Datentypen zur Höhenmodellierung der Elektronendichte. Um zu genauen Ergebnissen und zu zuverlässigen Standardabweichungen zu gelangen, muss demnach besonders auf rauscharme LEO-Beobachtungen zurückgegriffen werden. Unter den angenommenen Voraussetzungen sind für die Bestimmung der Chapmanparameter auf etwa einen halben Kilometer, Beobachtungen mit einer Unsicherheit von 0.1 m (LEO) bzw. 0.5 m (IGS) ausreichend. Demnach ist in diesem Fall eine Vorprozessierung der IGS-Daten [vgl. Kapitel 3.3.3] ohne AS nicht zwingend erforderlich. Dagegen ist die Rauschreduzierung der rohen LEO- Beobachtungen bei aktiviertem AS unbedingt notwendig. 5.6.3 Hardwarebias Die Analyse der Fehler in den Hardwarebias zeigt, dass die Satellitenbiaswerte in der Regel genauer bestimmt werden können als diejenigen der Stationen. Dieser leichte Genauigkeitsvorteil lässt sich durch die Geometrie des Problems erklären. Während auf einer Station zu einem konkreten Zeitpunkt maximal lediglich etwa neun Satelliten zu empfangen sind, können bei guter Stationsverteilung die Signale eines GPS-Satelliten von mehr als doppelt so viel Stationen empfangen werden. Aus diesem Grund lässt sich die Hardwarebiasdifferenzbestimmung der Satelliten mit mehr Redundanz und damit auch genauer durchführen. 5 Simulationen 88 Im Vergleich zu den Ionosphärenparameter verhalten sich die Hardwarebiasfehler viel homogener. Die Standardabweichungen der einzelnen Werte differieren nur minimal und auch die absoluten Abweichungen sind ähnlich. Diese einheitlichen Genauigkeiten sind hauptsächlich mit einer gleich- mäßigen Datenverteilung zu begründen. Keine Station und kein GPS-Satellit hebt sich gegenüber den anderen durch theoretische Unterschiede ab und auch die Datenmenge differiert lediglich minimal. a) Standardabweichungen (Mittelwerte) b) max. Abweichungen (IGS/LEO verrauscht) Abb. 5.23: Genauigkeit der Hardwarebias Die Abb. 5.23a) stellt die mittleren Unsicherheiten aller reduzierten Hardwarebias (Empfänger & Satelliten) dar. Im Gegensatz zu den beiden anderen Unbekanntenklassen wirken sich hier besonders die Unsicherheiten der Bodenstationbeobachtungen auf die Parameterbestimmung aus (durchgehend auf alle Bias-Werte). Im rechten Teil der Graphik sind wiederum die maximalen tatsächlich auftretenden Fehler bei identischen Rauschen für beide Datentypen dargestellt. Demnach sind für Biaswerte mit Genauig- keiten besser als 0.1 ns Unsicherheiten in den Daten von 0.1 m einzuhalten. Dabei sollte vor allem auf genaue Bodenstationsdaten Wert gelegt werden. Interessant erscheint an dieser Stelle noch die Tatsache, dass die mittleren Abweichungen der Empfänger- und der Satellitenbias zu den Sollwerten der Simulation bei annähernd gleichen Beträgen stets ein gegenläufiges Vorzeichen aufweisen. Durch eine Reduktion der Werte um ihren jeweiligen Mittelwert lassen sich die Differenzen dann deutlich verkleinern. Aufgrund des willkürlich festgesetzten Niveaus der Hardwarebias ergeben sich durch diesen Schritt keine weiteren Fehler. Dieser Sach- verhalt zeigt, dass das Modell sehr gut in der Lage ist, die Effekte der Laufzeitunterschiede von denen der ionosphärischen Verzögerungen zu trennen. Teilweise ergeben sich allerdings Probleme, die Empfänger- und Satellitenhardwarebias voneinander zu trennen. 5.7 Anzahl und Bahnen der LEO-Satelliten An dieser Stelle soll geprüft werden, inwieweit sich durch die Verwendung von unterschiedlichen LEO- Satellitenbahnen, die erreichbare Genauigkeit der Modellparameter sowie die Schnelligkeit und Zuver- lässigkeit der Lösung steigern lässt. Ziel der Entwicklung ist es, optimale Bahnen zu entwerfen, die allerdings gegebenen Rahmenbe- dingungen nicht widersprechen dürfen. Nachdem zunächst verschiedene Orbittypen untersucht werden, erfolgt im zweiten Teil dieses Kapitels eine Beschränkung auf GPS/MET-Bahnen. Zur Geometriesteigerung steht dann hauptsächlich noch die Anzahl der verwendeten niedrig fliegenden Satelliten zur Verfügung. Auf Grundlage von simulierten LEO-Beobachtungen soll deren Auswirkung auf die Modellgenauigkeit in folgenden beleuchtet werden. 5 Simulationen 89 5.7.1 Unterschiedliche Orbittypen Vor der eigentlichen Simulation müssen die einzuhaltenden Bedingungen der Orbits betrachtet werden: Die minimale Bahnhöhe der Satelliten ist durch den Zwang zur Entstehung von Okkultations- signalen gegeben. Je weiter sich der Empfänger vom Erdboden entfernt befindet, desto nachhaltiger wird die Beobachtungsgeometrie gegenüber dem reinen Bodenstationsnetz verbessert. Allerdings vermindert sich gleichzeitig die Bahngeschwindigkeit des Satelliten und die Umlaufzeit wächst, wodurch sich die Zeiträume der einzelnen Okkultationsereignisse vergrößern. Damit repräsentieren die Daten einer Okkultation – auch genähert – kein vertikales Profil mehr und die Eignung für viele Anwendungen der Atmosphärenforschung leidet. Hohe Bahnen wirken sich zudem negativ auf die globale Überdeckung der Erdoberfläche aus, welche erst nach längerer Zeit gegeben ist. Aus den genannten Gründen kommen für diese Art der Anwendung lediglich niedrig fliegende Satelliten (LEOs, Höhe ca. 400 bis 2000 km) zum Einsatz. Zur Beschreibung der Satellitenbahnen gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Die gängigste Art der Darstellung bieten die sogenannten Kepler-Parameter. Hier wird der Orbit durch sechs unabhängige Größen vollständig beschrieben: a: e: Ellipsenform große Halbachse numerische Exzentrizität i: Ω: ω: Lage der Ellipse im Raum Inklination Rektazension des aufst. Knotens Argument des Perigäums a i T0 ω Ω Perigäum Satellit Knotenpunkt X Y Z ϒ T0: Satellitenposition in der Bahn Zeit seit dem Perigäumsdurchgang Abb. 5.24: Satellitenbahnbeschreibung durch Keplerparameter Für die vorliegende Anwendung bieten sich nahezu kreisförmige Bahnen an (e ≈ 0). Damit ist gewähr- leistet, dass die Daten der gesamten Flugphase für die Auswertung verwendet werden können und alle etwa die gleichen Eigenschaften aufweisen. Auf die Festlegung von ω kann man dann vollständig verzichten. Für die Bahndefinition selbst ist auch T0 uninteressant, weil nicht bestimmte Gebiete der Erde zu bestimmten Zeiten überflogen werden sollen. Ähnliches gilt für Ω. Die Rektazension ist erst dann zu beachten, wenn mehrere LEOs zur Anwendung kommen und optimal miteinander zu verknüpfen sind. Als wirkungsvolle Eingriffsmöglichkeiten bleiben demnach lediglich noch der Halbmesser a und die Inklination i. Bei Kreisbahnen kann statt des Bahnradius a auch die Bahnhöhe h verwendet werden. Für diese Größe bieten sich Werte zwischen ca. 400 km und 2000 km an. Je tiefer der Satellit fliegt, desto schneller bewegt er sich und desto häufiger wiederholt sich die Bahn. Dadurch ergibt sich zum einen zwar eine steigende Überdeckung, zum anderen erfordert die Auswertung dann eine extrem hohe Taktrate, um das jeweilige Okkultationsereignis – dessen Dauer sich mit abnehmender Bahnhöhe deutlich verkürzt – ausreichend dicht zu erfassen. Zusätzlich beschränkt der in tieferen Schichten vorherrschende hohe Atmosphärenwiderstand die Lebensdauer des Satelliten erheblich. Die Inklination der Bahn bestimmt die Sphärenabdeckung der Beobachtungen: Bei niedrigen In- klinationswinkeln lassen sich höhere Breitenbereiche nicht ausreichend erfassen; stattdessen verbreitert sich die Bodenspur im sonnenfixierten System. Außerdem verbessert sich durch die steigende Knotenpunktbewegung die Längenabdeckung der Beobachtungen, falls Daten eines größeren Zeitraums verwendet werden. Auch hier sind also Kompromisse erforderlich. 5 Simulationen 90 Meist beeinflussen notwendige Abstimmungen mit anderen Anwendungen die freie Wahl von Bahn- höhe und Inklination zusätzlich. Für die Untersuchungen stehen sowohl die GPS/MET-Orbits als auch Bahnen des Champ-Satelliten und des Ørsted-Projektes zur Verfügung [vgl. Kapitel 3.2.2]. Für die jeweiligen Satellitenpositionen werden Beobachtungsdaten simuliert und mit einem Rauschanteil (σz = 0.1 m) beaufschlagt. Durch einen Vergleich der sich ergebenen Ionosphärenmodelle mit dem Ausgangsmodell ermöglicht sich eine unabhängige Qualitätsaussage der jeweiligen Bahn. Um die Vergleichbarkeit der Orbits zu wahren, wird ohne Elevationsgewichtung der LEO-Beob- achtungen (Simulation & Ausgleichung) gearbeitet. Nur so können lassen sich die Beobachtungen, die auf ganz unterschiedlichen Bahnhöhen und somit unter verschiedenen Elevationsbedingungen beruhen, tatsächlich wirkungsvoll miteinander vergleichen. Dabei geht man davon aus, dass alle Daten – unabhängig von ihrer Bahnhöhe und der jeweiligen Elevation – gleichmäßig verrauscht sind. Diese Annahme ist in der Realität nicht in jedem Fall gegeben. Weitere Vereinfachungen erfolgen bei der Definition der GPS-Antenne in Bezug auf die Flugbahn des LEO-Satelliten: es wird in allen drei Fällen von identischen Ausrichtungen (nach hinten, entgegen der Flugrichtung des Satelliten) ausgegangen. Tab. 5.2: Bahn-Parameter ausgewählter Satellitenorbits GPS/MET (UCAR) Ørsted (DMI) CHAMP (GFZ) Start April 1995 Februar 1999 Juli 2000 Bahnhöhe [km] 750 650...850 450 Exzentrizität 0.0013 0.016 0.004 Inklination [°] 70 96 87 Umläufe/Tag 14.46 14.43 15.39 (genäherte Größen) Besonderes Augenmerk sollte bei den unterschiedlichen Orbits, deren Parameter in der Tab. 5.2 zu- sammengefasst sind, der deutlich niedrigeren Bahn des CHAMP, aus der sich eine höhere Ge- schwindigkeit und damit in gleicher Zeit mehr Umläufe ergeben, sowie der schwankenden Bahnhöhe des Ørsted, welche ihre Ursache in der leicht elliptischen Bahn dieses Satelliten hat, gewidmet werden. Ein weiterer deutlicher Unterschied liegt in der niedrigen Inklination des GPS/MET, der die Polargebiete nur unzureichend abdeckt. Die Abb. 5.25 zeigt die Lage der drei Bahnen im sonnenfixierten System. Man erkennt, dass bei allen drei Satelliten trotz des großen Zeitintervalls von 12 Stunden keinen globale horizontale Datenab- deckung gegeben ist. Der "Öffnungswinkel" der GPS-Antenne sorgt zwar für einen relativ breiten Streifen an Beobachtungen zu beiden Seiten der Grundspur, aber vor allem bei niedrigen Bahnen lässt diese unregelmäßige Beobachtungsverteilung Probleme bei der Schätzung der horizontalen Variation der Chapman-Parameter vermuten. Außerdem ruft sie eine Abhängigkeit der geschätzten Parameter von der Rektazension des aufsteigenden Knotens der Bahn hervor, welche durch die Tatsache begründet wird, dass unterschiedliche Orbits (mit unterschiedlichem Ω) Gebiete mit ver- schiedenen absoluten Elektronendichtewerten durchlaufen. Beim Vergleich der Lösungen (K=10) jeweils eines Orbittyps1 mit verschiedenen Ω treten Differenzen auf, die nicht mit ihrer jeweils ge- schätzten Standardabweichung zu erklären sind. Diese systematischen Fehler deuten auf die fehlende Fähigkeit der Daten nur eines LEO-Satelliten hin, die Höhenparametervariationen zuver- lässig zu schätzen. Ein Vergleich von Modellergebnissen mit jeweils nur einem LEO-Satelliten kann 1 GPS/MET oder CHAMP oder Ørsted 5 Simulationen 91 demnach lediglich beispielhaften Charakter haben und lässt keine Aussage über die prinzipielle Eignung des Orbittyps zu. Abb. 5.25: Satellitenkoordinaten im sonnenfixierten System (12h) Um diese Geometrieabhängigkeit zu vermeiden, wird der Orbitvergleich auf Grundlage von jeweils zwei LEO-Satelliten eines Typs durchgeführt. Auch bei diesen Daten lässt sich der Einfluss der unzu- reichenden geometrischen Abdeckung des gesamten Modellbereiches nicht vollkommen aus- schließen. Die Ergebnisse sind jedoch um einiges repräsentativer als der Vergleich lediglich einzelner LEOs. Unabhängig vom Entwicklungsgrad der Höhenfunktion erreicht die CHAMP-Lösung den besten HDOP-Wert und im Mittel über alle Chapman-Parameter die geringsten Unsicherheiten. Hervorge- rufen wird diese bessere vertikal-geometrische Verteilung der Beobachtungen durch die niedrigere Flugbahn des Satelliten und die dadurch bedinge gesteigerte Anzahl an Signalen, die bis in die tiefsten Schichten der Ionosphäre dringen. Die CHAMP-Lösung weist mit fast 200 Okkultations- signalen etwa das 1.5fache des Ørsted auf, obwohl die Gesamtanzahl an LEO-Beobachtungen lediglich etwa 5 % voneinander abweichen. Für eine gründliche Qualitätsanalyse ist zusätzlich eine Betrachtung der Unsicherheiten der einzelnen Höhenparameter sinnvoll. Die Analyse führt zu folgenden Ergebnissen: • Die Skalenhöhe H ist von allen Satellitentypen genauer zu bestimmen als die Höhe der maximalen Elektronendichte hm. • Die besten Schätzungen für die konstanten Parameter hm0 und H0 liefern die beiden GPS/MET- Satelliten (vor CHAMP und Ørsted). • Die Lagevariation der Parameter werden am genausten von der CHAMP-Lösung getroffen (vor GPS/MET und Ørsted) Diese Zusammenhänge stellt auch die Abb. 5.26 dar. Der rechte Teil der Graphik zeigt die Vorteile einer großen Flughöhe für die Bestimmung der konstanten Anteile der Chapman-Parameter (GPS/MET) sowie die Nachteile einer geringen Inklination für die Lagevariationsbestimmung der Parameter (GPS/MET). Insgesamt sind die Genauigkeitsunterschiede aber nur gering. Sie betragen für alle Höhenparameter durchgängig weniger als 0.1 km und bleiben für die konstanten Parameter sogar eine Größenordung 5 Simulationen 92 kleiner. Auch weisen die Koeffizienten der Modelle im Rahmen ihrer jeweiligen Standardab- weichungen keine signifikanten Unterschiede auf und sind alle drei für die dreidimensionale Modellierung der Elektronendichte geeignet. a) nach Chapman-Parameter b) nach horizontalem Verhalten Abb. 5.26: Standardabweichungen der Höhenkoeffizienten Auch im Konvergenzverhalten der drei Lösungen sind keine auffälligen Unterschiede festzustellen. Das CHAMP- und das GPS/MET-Modell weisen nahezu identisches Verhalten der Parameterfehler pro Iteration auf. Der Ørsted-Orbit ruft einen geringfügig schlechteren Iterationsverlauf hervor: die Parameter alternieren zum Großteil weniger stark, zeigen zumeist aber höhere Abweichungen. Insge- samt liegen die Wachstumskoeffizienten der exponentiellen Abnahme [vgl. ( 5-3 )] aber alle in einer Größenordnung (c ≈ -0.45 ... –0.5). Eine Analyse der Lagekoeffizientenergebnisse ergibt ebenfalls nur geringe Unterschiede zwischen den einzelnen Orbit-Lösungen. Hier schneidet die GPS/MET-Bahn aufgrund der großen Höhe und der relativ schnellen Knotenpunktbewegung am besten ab. Zur Bestimmung der Hardwarebias eignet sich der CHAMP-Orbittyp am optimalsten. Die Unterschied der Orbits sind allerdings nur minimal: die Abweichungen der Unsicherheiten der einzelnen Bias- Werte betragen maximal 0.03 ns (ca. eine Größenordung kleiner als die Standardabweichungen selbst) und sind zu vernachlässigen. Als Möglichkeit für eine effiziente Genauigkeitssteigerung steht nun noch die Erhöhung der Anzahl der zur Verwendung kommenden LEOs zur Verfügung. 5.7.2 Verwendung mehrerer LEOs Wie sich die Verwendung zusätzlicher LEO-Satelliten auf die Ionosphärenmodellierung auswirkt, soll am Beispiel der GPS/MET-Bahn analysiert werden. Grundlage der Simulation bildet auch hier wieder ein konstantes Ionosphärenmodell vom Grad L=6 und K=2. Es werden Daten von fünfzig IGS- Stationen (∆t=15min) und unterschiedlichen LEO-Anzahlen (alles GPS/MET-Bahnen, aber zeitlich ver- setzt; ∆t=1min) zur Berechnung jeweils eines zwölfstündigen Modells (L=6, K=10) genutzt. Das ange- setzte Rauschen beträgt für alle Beobachtungen 0.1 m im Zenit und ist (auch für die LEO-Daten) elevationsabhängig. Um die Berechnungszeiten möglichst klein zu halten, werden nahezu korrekte Startwerte für die Höhenfunktionskoeffizienten verwendet. Dadurch umgeht man die Auswirkungen schwacher Konvergenzeigenschaften, die vor allem bei der Verwendung von lediglich einem LEO- Satellit in bestimmten Zeiträumen auftreten können und damit die notwendige Anzahl an Iterations- schritten unter Umständen erheblich ansteigen lassen. 5 Simulationen 93 Durch die Erhöhung der LEO-Anzahl sinkt der HDOP-Wert des jeweiligen Modells deutlich ab und bringt damit die verbesserten Konfigurationsbedingungen zum Ausdruck. Gleichzeitig steigt die Standardabweichung der Gewichtseinheit minimal an. Als Konsequenz ergibt sich eine Verringerung der inneren Unsicherheiten aller Koeffizienten mit wachsender LEO-Datenanzahl. Die Abb. 5.27 zeigt das Fehlerverhalten der Höhenfunktionsparameter in Abhängigkeit von der unter- schiedlichen LEO-Anzahl. Zu erkennen ist deutlich das Absinken der Standardabweichungen mit zu- nehmender Datenmenge. Davon sind beide Parametergruppen (hm und H) – sowohl deren konstante als auch deren variable Terme – betroffen. Die Verbesserung durch die Hinzunahme von Daten nimmt dabei mit zunehmender LEO-Anzahl kontinuierlich ab. a) nach Chapman-Parameter b) nach horizontalem Verhalten Abb. 5.27: Genauigkeit der Höhenfunktionsparameter (Mittelwerte) Im Vergleich mit dem vorangehenden Kapitel fallen die insgesamt höheren Unsicherheiten bei diesen Simulationen auf. Sie ergeben sich aus der Elevationsgewichtung der LEO-Unsicherheiten, die im Abschnitt 5.7.1 unterblieb, um die Vergleichbarkeit unterschiedlicher Orbithöhen nicht zu gefährden. Die nun notwendige Herabgewichtung der Okkultationsbeobachtungen bewirkt im vorliegenden Fall eine Erhöhung der Unsicherheit der Höhenfunktionskoeffizienten auf ca. das Doppelte. Die hier dargestellten vermeintlich guten Ergebnisse unter Verwendung von nur einem LEO sollten nicht über die geringe Fähigkeit dieser Daten zur Bestimmung der Lagevariationen der Höhenfunktion hinwegtäuschen. Durch geringfügig andere GPS-Satellitenkonstellationen beispielsweise bedingt durch andere Zeitfenster können unter Umständen größere Unsicherheiten entstehen oder es kann in Einzelfällen zu unzureichenden Konvergenzeigenschaften des Problems kommen [vgl. Kapitel 5.4, Abb. 5.15b)]. Zusätzlich besteht die Gefahr von systematischen Modellfehlern, die durch die inneren Standardabweichungen nicht wiedergegeben werden. Für K=10 lassen sich solche Effekte bereits durch die Verwendung von zwei LEO-Satelliten vermeiden. Zu bemerken ist weiterhin die wachsende Ausgeglichenheit der DOP-Werte über den gesamten Tag (sieben 12h-Modelle; jeweils zwei Stunden versetzt): Während bei Verwendung nur eines LEOs noch Variationen von 10% des mittleren HDOP-Faktors auftreten, fallen die Unterschiede bei zwei LEOs um eine ganze Größenordnung geringer aus. Die Geometrieverhältnisse werden einheitlicher, so das unter Verwendung mehrer LEOs zu jeder Tageszeit in etwa gleiche Modellgenauigkeiten zu erwarten sind. Die vorgestellte Verbesserung der Höhenparameterschätzung mit wachsender LEO-Anzahl begründet sich durch mehrere Tatsachen: zum einen steigt die zugrundeliegende Datenmenge und Unsicher- heiten, wodurch grobe Fehler in den Beobachtungen weniger ins Gewicht fallen bzw. leichter aufge- deckt werden können. Zum anderen verbessert sich die horizontale Verteilung der Okkultations- signale, so dass die Variationen der Chapmanparameter sicherer zu bestimmt sind. Die optimierte Datengrundlage bewirkt eine verbesserte Trennung der Modellkoeffizienten und dadurch insgesamt 5 Simulationen 94 homogenere Ergebnisse. Dies soll durch eine Hauptkomponentenanalyse bestätigt werden. Dabei erfolgt eine Unterteilung der Kovarianzmatrix der Ionosphärenkoeffizienten, wie sie sich aus der Aus- gleichung ergibt, mittels einer Spektralzerlegung [vgl. Formeln im Anhang, Seite 137]. Es entstehen die Eigenwerte mit den zugehörigen Eigenvektoren der Matrix. Der sogenannte wesentlich Eigen- vektor (der Eigenvektor, der zum größten Eigenwert gehört) gibt nun die Richtung der schwächsten Komponente des Problems an [WELSCH, W.; HEUNECKE, O.; KUHLMANN, H. (2000)]. Die Abb. 5.28 zeigt die Ergebnisse einer solchen Spektralzerlegung der Kovarianzmatrizen der Iono- sphärenunbekannten. Dargestellt sind die Komponenten des wesentlichen Eigenvektors. Man erkennt deutlich die sinkende Dominanz der Höhenfunktionsparameteranteile mit zunehmender LEO-Zahl. Während bei nur einem LEO die Chapmanparameter eindeutig am schlechtesten bestimmbar sind, existiert bei Verwendung von drei GPS/MET-ähnlichen niedrigfliegenden Satelliten keine überhöhte Unempfindlichkeit des Systems gegenüber den Höhenparametern mehr. Außerdem sinkt durch die Hinzunahme zusätzlicher LEOs sowohl der Betrag des größten Eigenwertes als auch die Kondition der Normalgleichungsmatrix und damit die Rechenunsicherheit der Inversion erheblich. 1 LEO 2 LEO 3 LEO Abb. 5.28: Komponenten der wesentlichen Eigenvektoren unterschiedlicher Lösungen Im Vergleich zu einer Berechnung ohne LEO allerdings sind die dargestellten Ergebnisse alle relativ brauchbar. Allein aus Bodenstationsdaten ergibt sich ein um ca. fünf Größenordnungen höherer Eigenwert und dominante Eigenvektorkomponenten in den konstanten Termen von hm und H. Eben- falls zu bemerken ist eine deutlich gesteigerte Konditionszahl und Höhenparameterkoeffizienten, die von den Sollwerten nach einem Iterationsschritt auch bei korrekten Startparametern um mehrere Zehnermeter abweichen und nicht konvergieren. Daran zeigt sich einmal mehr, dass ohne LEO- Beobachtungen eine Chapmanparameterschätzung nicht sinnvoll erfolgen kann. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass jede Erhöhung der Anzahl an Okkultationsbeobachtun- gen und jede Verbesserung deren globaler Verteilung zu einer Steigerung der Genauigkeit und der Zuverlässigkeit der Ionosphärenmodellierung führt. Bereits bei Verwendung von nur zwei LEOs liegen die auftretenden Chapmanparameterfehler im Mittel unterhalb von 0.4 km (hm) bzw. 0.2 km (H). Be- rücksichtigt man die mit 0.1 m im Zenit recht hoch angesetzte Beobachtungsunsicherheit, so handelt es sich dabei um ein zufriedenstellendes Ergebnis, welches Einfrequenz-GPS-Korrekturen auf Bodenstationen mit einer Unsicherheit von besser als zwei Zentimetern [vgl. Kapitel 5.1.1] garantiert1. 1 unter den angenommenen Voraussetzungen 5 Simulationen 95 5.8 Sinnvolle Datenrate In diesem Kapitel soll geklärt werden, mit welcher Taktrate die GPS-Daten in die Berechnung ein- geführt werden müssen, damit sich ein optimales Verhältnis zwischen Modellgenauigkeit auf der einen sowie Rechenzeit und -aufwand auf der anderen Seite ergibt. Durch eine Steigerung der Datenrate sind zweierlei Einflüsse auf die Ionosphärenmodellierung zu erwarten: Zum einen wächst durch die erhöhte Beobachtungsanzahl die Redundanz des Systems, und es können zuverlässigere Ergebnisse mit höheren Genauigkeiten erzielt werden. Zum anderen bewirkt eine Taktratenerhöhung vor allem für die LEO-Beobachtungen zusätzliche Signale unter anderen Schnittwinkeln. Dadurch ergibt sich eine Verbesserung der vertikalen Geometrieverhältnisse. Diese ist jedoch nicht unbegrenzt steigerbar, da mit zunehmender zeitlicher Nähe der Daten auch die Korrelation zwischen den Beobachtungen steigt und somit keine neuen Informationen in die Be- rechnung eingebracht werden. Zusätzlich bewirkt die gesteigerte Datenmenge auch einen Anstieg des notwendigen Verarbeitungsaufwandes. Es ist auch hier wieder ein Kompromiss zwischen Wirtschaft- lichkeit und Genauigkeit anzustreben. Die sinnvolle Taktrate hängt dabei stark von der geforderten Genauigkeit des Modells und vom Rauschen der Ausgangsbeobachtungen ab. Die maximale Datenrate wird durch die vorliegenden Beobachtungen festgelegt. So handelt es sich bei den IGS-RINEX-Files zumeist um Daten, die im 30 Sekundentakt aufgezeichnet werden. Die LEO- Beobachtungen dagegen liegen in der Regel mit einer Frequenz von 0.1 Hz vor (10 Sekunden). Diese unterschiedlichen Taktraten sind auch für den hier vorliegenden Anwendungsfall sinnvoll. Sie spiegeln die Tatsache wieder, dass sich die Satellitengeometrie auf den Bodenstationen weit langsamer ändert als auf den LEOs. Dieser Zusammenhang lässt sich anhand einer Analyse der Korrelationen zwischen den einzelnen Zeilen der Designmatrix visualisieren [vgl. Abb. 5.29]. Als Datengrundlage dient eine beliebige IGS-Bodenstation (ALBH) und der GPS/MET-Satellit (∆tIGS=15min / 267 Beobachtungen, ∆tLEO=1min / 204 Beobachtungen / SV01, feste Chapmanparameter K=2, L=6). Die Berechnung der Korrelationen erfolgt dabei allein mit den Ableitungen nach den Modellkoeffizienten, die Hardware- bias-Terme bleiben unberücksichtigt. Das Ergebnis dieser Berechnungen ist in der Abb. 5.29 zu- sammengefasst. Man erkennt deutlich die schnellere Geometrieänderung der LEO-Konfiguration, welche sich in einer raschen Abnahme der Beobachtungskorrelation zeigt. Die Unterschiede in den Korrelationen eines Datentyps ergeben sich durch die verschiedenen Signalwege (Elevation & Azi- mut) der Daten. Geht man davon aus, dass hochkorrelierte Beobachtungen (Korrelationskoeffizient größer 0.9) kaum neue Informationen für die Ionosphärenmodellierung bringen, kommt man zu Daten- raten von 30 Minuten für die IGS-Daten und 1...2 Minuten für die LEO-Beobachtungen. Abb. 5.29: Korrelationen zwischen den Zeilen der Konfigurationsmatrix (Beobachtungskorrelationen) 5 Simulationen 96 Ein weiterer Aspekt der Taktratenerhöhung liegt in der Redundanzsteigerung des Problems. Auch wenn die Beobachtungen keine neuen Informationen enthalten und somit nicht zur Sensitivitäts- steigerung beitragen, so können sie doch einen Beitrag zur Ionosphärenmodellierung leisten, indem sie helfen, grobe Fehler aufzudecken und die (innere) Genauigkeit des Problems zu verbessern. Im Folgenden erfolgt anhand von Simulationen eine Verifikation der vorgestellten theoretischen Untersuchungen. Die Ergebnisse ergeben sich alle aus denselben Beobachtungen (50 IGS und ein bzw. zwei LEO Satelliten), die mit einer elevationsabhängigen Unsicherheit von σ = 0.1 m im Zenit simuliert und gewichtet in die Ausgleichung eingeführt werden. 5.8.1 LEO-Datenintervall In einer ersten Untersuchung bleibt das Beobachtungsintervall der Bodenstationen konstant bei 15 Minuten, während die Anzahl der einfließenden LEO-Beobachtungen ständig wächst. Die Iono- sphärenmodelle werden für alle Taktraten jeweils mit einem und mit zwei LEOs berechnet, um die unterschiedliche Auswirkung der räumlichen Verteilung der gleichen Anzahl an LEO-Beobachtungen abschätzen zu können. Da sich die LEO-Taktrate nur unwesentlich auf die Hardwarebiasbestimmung auswirkt, erfolgt lediglich eine Analyse der Koeffizienten des Ionosphärenmodells. Eine Möglichkeit zur Beurteilung der Konfigurationsänderung stellen die DOP-Werte dar. Diese steigen mit sinkender Beobachtungsanzahl deutlich an, wobei der größte Teil durch den HDOP-Anteil hervorgerufen wird [vgl. Abb. 5.30a)]. Trotz der Korrelationen zwischen den Beobachtungen führt die Hinzunahme von Daten demnach zu einer (v.a. vertikalen) Geometriesteigerung. Allerdings ist auch zu erkennen, dass sich der Zusammenhang zwischen HDOP und LEO-Datenanzahl potentiell verhält und die Kurven mit steigender Datenmenge immer mehr abflachen. Eine Betrachtung der Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 dagegen zeigt keine signifikante Abhängigkeit von der LEO-Taktrate [vgl. Abb. 5.30b)]. Obwohl mehr Daten in die Ausgleichung eingehen, kann die sich daraus ergebene Steigerung der Freiheitsgerade keinen signifikanten globalen Genauigkeitsgewinn hervorrufen. Durch die Simulationsumgebung wird sichergestellt, dass sowohl das Rauschen der Beobachtungen als auch das zugrundeliegende Modell identisch bleibt. Das konstante Niveau von s0 bedeutet somit, dass die zusätzlichen Beobachtungen nicht in der Lage sind, die Sensitivität der Daten insgesamt zu verbessern. a) Konfiguration - HDOP b) Sensitivität - s0 Abb. 5.30: Abhängigkeit der Genauigkeitsindikatoren von der LEO-Beobachtungsanzahl Aus der verbesserten Konfiguration und der etwa gleichen Standardabweichung der Gewichtseinheit ergeben sich mit erhöhter Datenmenge geringere Standardabweichungen der geschätzten Iono- sphärenparameter [vgl. Abb. 5.31]. Dabei ist festzustellen, dass die Genauigkeit der konstanten 5 Simulationen 97 Terme hm0 und H0 allein von der Beobachtungsanzahl abhängt, während die Unsicherheit der Schwingungsterme zusätzlich durch die Verteilung der Daten beeinflusst wird. Bei nahezu gleicher Beobachtungsanzahl weist die Lösung mit der Verwendung der beiden LEO-Satelliten stets höhere Genauigkeiten auf, weil sich hier die Verteilung der Beobachtungen nachhaltig verbessert. Dieses lässt sich bei den Lagekoeffizienten ebenfalls feststellen. a) konstante Höhenfunktionskoeffizienten b) variable Höhenfunktionskoeffizienten Abb. 5.31: Abhängigkeit der inneren Genauigkeiten (Mittelwerte) von der Beobachtungsanzahl Das eindeutige Verhalten der inneren Genauigkeiten lässt sich in den Abweichungen zu den Sollwerten nicht erkennen. Es treten starke Schwankungen in allen Parameterfehlern auf, die ihren Ursprung im Rauschen der Ausgangsdaten haben. Erst durch eine Anhäufung mehrerer Simulations- durchgänge ist ein glätterer Kurvenverlauf zu erreichen. In der Regel werden die resultierenden Fehler vollständig von den geschätzten inneren Standardabweichungen wiedergegeben. Nur bei geringer und schlecht verteilter Datengrundlage (1 LEO, ∆t > ca. 2 Minuten) kommt es zu teilweise signifikan- ten systematischen Abweichungen in den Ionosphärenkoeffizienten (Lage und Höhe), wie die fol- gende Graphik am Beispiel der Lagekoeffizienten zeigt. a) ein LEO-Satellit b) zwei LEO-Satelliten Abb. 5.32: Auftreten systematischen Fehler in den Kugelfunktionskoeffizienten In der Realität, wenn keine Sollwerte zur Qualitätsbeurteilung zur Verfügung stehen, erfolgt eine Genauigkeitsabschätzung in der Regel auf Grundlage der geschätzten Standardabweichungen. Diese inneren Genauigkeiten beschreiben das System allerdings nicht immer korrekt. Vorsicht ist geboten, 5 Simulationen 98 falls die horizontale Verteilung der LEO-Daten keine zuverlässige Schätzung aller Koeffizienten erlaubt. Dies zeigt sich nicht in der inneren Modellgenauigkeit und ist somit ohne tiefergehende Betrachtung nicht ersichtlich. Besonders wenn mit wenigen LEOs, geringen LEO-Datenfrequenzen und großen Höhenfunktionsentwicklungsgeraden gearbeitet wird, kann es leicht zu einer Überbe- wertung der Parametergenauigkeiten kommen. 5.8.2 Bodenstationsintervall Eine geänderte IGS-Datentaktrate wirkt sich auf die Koeffizienten der Elektronendichteverteilungs- funktion deutlich geringer aus als eine geänderte LEO-Datentaktrate, was sich einerseits mit der lang- sameren Geometrieänderung, zum anderen durch die unterschiedliche Sensitivität beider Datentypen begründen lässt. Während in den Höhenfunktionsparametern kaum eine Genauigkeitssteigerung durch eine ver- größerte Beobachtungsgrundlage festzustellen ist, fällt diese bei den Kugelfunktionskoeffizienten zu- mindest deutlich geringer als durch eine Änderung der Taktrate der LEO-Beobachtungen aus, wie die Abb. 5.33 zeigt. a) Höhenfunktionsparameter b) Kugelfunktionskoeffizienten c) Hardwarebias Abb. 5.33: Auswirkung geänderten Datentaktraten auf die Genauigkeit der Modellierung (2 LEOs) Dagegen wirkt sich allerdings eine Erhöhung der Taktrate der Bodenstationen positiv auf die Bestim- mung der Hardwarebiasdifferenzen aus und übt einen größeren Einfluss als eine Steigerung des LEO- Datenintervalls aus [Abb. 5.33 c)]. Bodenstationsbeobachtungen können – bedingt durch ihre geringe Sensitivität gegenüber der Höhen- verteilung der Elektronen – fehlende LEO-Daten nicht ersetzen. Bei einer zu gering gewählten IGS- 5 Simulationen 99 Beobachtungsfrequenz kann es in Zusammenhang mit einer geringen Anzahl an LEO-Daten zu systematischen Fehler im Modell kommen, welche die geschätzten Standardabweichungen nicht wiedergeben. Die jeweilige Taktrate ist selbstverständlich auch auf das Intervall der Modellierung abzustimmen. Im gewählten Beispiel über 12h Beobachtungszeitraum sollte (bei Verwendung von zwei LEO-Satelliten) nicht mit Taktintervallen kleiner 45 min (IGS) und 2 min (LEO) gearbeitet werden. 5.9 Kalman-Filter Durch die Einführung des Kalman-Filters ändert sich am prinzipiellen Ansatz der Ionosphären- modellierung nichts. Lediglich das Zeitintervall, aus dem Daten zur Verwendung kommen, wird verkleinert. Die grundsätzlichen Erkenntnisse (beispielsweise über die Sensitivität der Beobachtun- gen) lassen sich damit übernehmen. Lediglich die Abstimmung zwischen Taktrate, Beobachtungs- intervall und Modellauflösung ist neu zu überdenken. Zusätzlich werden Untersuchungen über die statistischen Größen des Ansatzes notwendig. Hier liegt die anspruchsvollste Aufgabe bei der Kalman-Filter-Prozessierung. Ein ausgewogenes und aufeinander abgestimmtes Verhältnis von Systemrauschen, Testschranken, Beobachtungsanzahl und Aufdatierungsintervall ist unumgänglich. In der Regel lassen sich diese Werte erst durch einige Testdurchläufe mit realen Daten festlegen. Anhand der folgenden Simulationen kann aber bereits ein Gefühl für die Auswirkungen fehlerhafter Parameter und die grundsätzlichen Fähigkeiten des Ansatzes vermittelt werden. 5.9.1 Beobachtungs- und Systemrauschen Die Festlegung der Rauschkonstanten stellt eine besonders anspruchsvolle und wichtige Aufgabe im Rahmen des Kalman-Filters dar. Es gibt keine festen Regeln für die Aufstellung, so dass der Operator allein auf Erfahrungswerte zurückgreifen kann. Je besser die Parameter mit der Realität überein- stimmen, desto genauer gelingt die Ionosphärenmodellierung. Die Rauschparameter regeln (zusam- men mit Aufdatierungsintervall und Datentaktrate) die Gewichtung zwischen aktuellen Beobachtungen und dem als Vorinformation eingeführten Vorgängermodell. Fehlerhaft angesetzte Werte können deshalb unter Umständen zu vollständig unbrauchbaren Ergebnissen führen [vgl. Kapitel 4.5.2]. Die Unsicherheiten der eingeführten Beobachtungen sind in der Regel bekannt oder lassen sich aus einer Analyse der Messdaten empirisch ermitteln. Im Fall der hier durchgeführten Simulation liegen diese Daten selbstverständlich vor, so dass stets mit korrekten Werten gearbeitet werden kann. Je verrauschter die verwendeten Beobachtungen sind, desto weniger Gewicht wird ihnen zuge- sprochen. Dies führt zu erhöhten – aber den Tatsachen entsprechenden – Modellunsicherheiten. Liegen zeitliche Änderungen der Modellkoeffizienten vor, kommt es zusätzlich zu einer Verzögerung deren Detektion. Im Simulationsbeispiel wird ein Modell vom Grad L=6 und K=2 für ein 2h-Intervall auf Grundlage unterschiedliche stark verrauschter Daten (∆tIGS=5min, ∆tLEO=30sec) betrachtet. Die Detektionsschranke einer Skalenhöhenänderung steigt durch die Beobachtungsfehler von ca. 0.9 km bei sL=0.1 m auf 3.4 km bei sL=0.5 km [vgl. Abb. 5.34], weil die unsicheren und deshalb stark herabgewichteten Beobachtungen nicht in der Lage sind, die zeitlichen Änderungen zu modellieren. Diese wirken sich auf die Parameterunsicherheiten aus, und es kann zu Fehlern bis zu 3.5 km (bzw. 0.7 km) in H kommen, die durch die inneren Genauigkeiten nicht repräsentiert werden. Ein ent- sprechendes Verhalten ist für alle Modellkoeffizientenänderungen nachzuweisen. Gleiche Effekte sind zu erwarten, wenn das Beobachtungsrauschen tatsächlich zwar klein ist, aber fehlerhaft in die Berechnungen eingeführt wird. Es erfolgt dann eine künstliche Herabgewichtung der “guten“ Daten, die ihren Informationsgehalt nicht ins Modell einbringen können. Zu gering eingeführte Beobachtungsunsicherheiten sind ebenso gefährlich. Sie rufen zu optimistische Genauigkeiten hervor und bewerten das Vorgängermodell zu schwach. Dadurch werden nicht existierende Modell- 5 Simulationen 100 änderungen aufgedeckt und unter Umständen können sich trotz extrem optimistischer Standard- abweichungen Fehler in der Modellierung ergeben, weil die Beobachtungsdaten des kurzen Auf- datierungszeitraums, auf die sich die gesamte Berechnung nun stützt, nicht in der Lage sind, den globalen Modellansatz alleine zu füllen und zuverlässige Koeffizienten zu ermitteln. a) Detektionsgrenzen b) Skalenhöhenfehler Abb. 5.34: Auswirkung unterschiedlicher Beobachtungsunsicherheiten Deutlich fehleranfälliger als die Beobachtungsunsicherheitsangaben sind im Allgemeinen die Ab- schätzungen des Systemrauschens, weil hierüber meist weniger Informationen vorliegen als über die Messdaten. Der Wert soll systematisch Fehler der eingeführten Ausgangs-Ionosphärenmodelle berücksichtigen, welche nicht durch deren Standardabweichungen wiedergegeben werden. Neben Abweichungen durch unzureichende Modellauflösung sind dabei besonders zeitliche Reständerungen der Elektronendichteverteilung im gewählten Koordinatensystem einzubeziehen (zumindest bei Annahme zeitlicher Konsistenz). Alle weitergehenden, nicht im Systemrauschen berücksichtigten Un- stimmigkeiten zwischen Vorgängermodell und aktuellen Beobachtungen werden als Modellfehler detektiert, was zu einer automatischen Änderung des Systemrauschens und damit zu einer Höherge- wichtung der Messungen führt. Zu hoch angesetztes Systemrauschen ruft eine Unterbewertung des eingeführten Vorgängermodells hervor. Zeitliche Parameteränderungen werden länger im Rauschen abgefangen, und die Detektion der Änderung erfolgt später. Da der volle Informationsgehalt der aktuellen Beobachtung zur Verfügung steht, lassen sich die Koeffizienten trotzdem nahezu korrekt schätzen: Arbeitet man im Simulations- beispiel mit sR=0.1 statt mit sR=0.01, erhöht sich die Detektionsgrenze für dH von ca. 0.9 km auf etwa 1.2 km; die Fehler in der Skalenhöhenbestimmung liegen (nach der Detektion) jedoch in beiden Fällen in der gleichen Größenordnung (bei ca. 300 m). Bei schlechterer Datengrundlage (höheres Rauschen oder weniger Beobachtungen) kann eine Unterbewertung des Startmodells aber durchaus auch schwerwiegendere Folgen haben. Zu niedrig angesetztes Rauschen gewichtet das Vorgängermodell zu stark und vermindert damit ebenfalls die Fähigkeit des Ansatzes zeitliche Änderungen zu detektieren. Allerdings ergeben sich bei moderaten zeitlichen Koeffizientenänderungen zumeinst nur geringe Auswirkungen auf die Modell- genauigkeiten. In beiden Fällen (zu hohes oder zu niedriges Systemrauschen) leidet die realistische Abschätzung der Standardabweichungen der Modellkoeffizienten. Eine konkrete Festlegung dieser Werte kann im Rahmen der Simulation nicht erfolgen. Sie richtet sich vor allem nach den zeitlichen Änderungen der tatsächlichen Modellkoeffizienten. Anhand realer Daten ist zu klären, in welcher Größenordnung sich die zeitlichen Variationen innerhalb des sonnenfixierten Systems bewegen. Aus dieser Analyse lassen sich die Rauschparameter dann ableiten. Sie sollten aber innerhalb einiger Test-Programmdurchläufe noch verifiziert werden [vgl. Kapitel 6.2]. 5 Simulationen 101 5.9.2 Anzahl der eingehenden Beobachtungen Da im Unterschied zu dem reinen Ausgleichungsansatz hier neben den Beobachtungsdaten noch das Vorgänger-Ionosphärenmodell als Zusatzinformation eingeführt wird, sind zur Bestimmung der unbe- kannten Koeffizienten weniger Messdaten notwendig als vorher. Es ist zu vermuten, dass bereits Zeitintervalle von 1-3 Stunden für eine zuverlässigen Schätzung der Elektronendichteverteilung ausreichen. Diese Aussage gilt allerdings nur solange das Systemrauschen des Filters realistisch abgeschätzt wird. Bei auftretenden Modellstörungen oder zu geringer Gewichtung des Vorgänger- modells kann es zu Problemen kommen, wenn weniger Daten in die Berechnung eingehen. Um die Auswirkungen unterschiedlicher Datenraten auf die Simulationsergebnisse zu untersuchen, arbeitet man mit einem konstanten Aufdatierungsintervall von zwei Stunden. Es erfolgt keine Änderung der Datengrundlage, lediglich die Datenmenge wird durch Variation der Beobachtungstakt- rate gesteuert. Dabei lassen sich IGS- und LEO-Takt unabhängig voneinander verändern. Die Abb. 5.35 zeigt das Ergebnis dieser Simulation. Datengrundlage stellen die simulierten Beobachtungen von 50 Bodenstationen und zwei LEO-Satelliten dar, die mit einem Rauschen von 0.1 m (zenital) belegt sind. Zeitliche Änderungen der Modellparameter werden nicht simuliert. Man erkennt deutlich die Genauigkeitssteigerung, die sich durch die vergrößerte Datenmenge sowohl in den Kugelfunktionskoeffizienten als auch in den Höhenparametern ergibt. Ebenfalls deutlich wird der enorme Unterschied, den die beiden Datentypen dabei ausüben. Während die Vermehrung der IGS-Daten besonders zur Höhenfunktionsschätzung kaum einen Genauigkeitsgewinn beiträgt, schlägt sich die LEO-Taktratenerhöhung sehr schnell nieder. Dieser Unterschied ergibt sich aufgrund der unterschiedlichen Geometrieverhältnisse der beiden Datentypen. Überraschend ist allerdings die Steilheit der Kurven. Sie legt die Vermutung nahe, dass sich durch eine weitere Steigerung der Taktrate zumindest die innere Modellgenauigkeit noch um einiges steigern lässt. Allerdings kommt es dann zu Problemen mit der Kapazität des eingesetzten Rechners. a) Lagekoeffizienten (Mittelwerte) b) Höhenkoeffizienten (Mittelwerte) Abb. 5.35: Auswirkung unterschiedlicher Datenmengen auf die Koeffizientenschätzung Einen erheblichen Effekt auf die Genauigkeit der Modelle übt der Aufdatierungszeitraum dT aus. Hier zeigt sich eine Verbesserung der inneren Genauigkeiten mit zunehmender Datenmenge vor allem für die Kugelfunktionskoeffizienten, wo sie noch deutlicher ausfällt als durch die Steigerung der Taktrate. Dem entgegen wirkten allerdings die Restfehler durch nicht berücksichtigte zeitliche Effekte und die Aktualität der Ionosphärenmodelle. Beides verschlechtert sich, während die innere Unsicherheit der Modelle sinkt. Kompromisse sind hier unumgänglich. Eine weitere Möglichkeit, die Datenanzahl zu steigern, liegt in der Verwendung von zusätzlichen LEO- Empfängern und/oder mehr Bodenstationen. Wie bereits im Kapitel 5.7.2 dargestellt, erhöht sich durch 5 Simulationen 102 die Einführung zusätzlicher LEO-Signale nicht nur die Anzahl der Beobachtungen sondern zusätzlich erfolgt eine Verbesserung der Datenverteilung. Bei den kurzen Aufdatierungszeiträumen des Kalman- Filter-Ansatzes und den hier einfließenden Vorabinformationen, übt die Datenüberdeckung im ge- wählten Beispiel (ohne zeitliche Modelländerungen) einen weit geringeren Einfluss auf die Modell- genauigkeit aus als bei den 12h-Intervallen. Bei zeitliche konstanten Parametern ist kein signifikanter Unterschied zwischen der Auswirkung geänderter Taktrate und LEO-Anzahl zu erkennen. Sobald allerdings zeitlichen Änderungen detektiert werden müssen, ergeben sich durch die erhöhte LEO- Beobachtungsanzahl deutliche Vorteile. Auf die Genauigkeit der Hardwarebiasschätzung übt die Datenmenge lediglich einen geringen Einfluss aus. Bei einer Erhöhung der Datenmenge von 7000 auf 10000 Beobachtungen (Steigerung um 43%) sinkt die mittlere Standardabweichung der Bias-Werte nur etwa um 0.002 ns, was relativen Änderungen von ca. 5% für die Stationsbiasunsicherheiten und ca. 6% für die Satellitenbias entspricht. Dabei ergeben sich kaum Unterschiede durch die Art der Datenmengensteigerung (Intervallvergrößerung, LEO-Taktrate, IGS-Taktrate). 5.9.3 Auswirkung mangelnder Modellauflösung Da sich die terrestrischen Ionosphäre sehr komplex verhält, ist davon auszugehen, dass das gewählte funktionale Modell (Lage- und Höhenansatz) die tatsächlichen Verhältnisse lediglich unzureichend modellieren kann. Die verbleibenden Unstimmigkeiten zwischen den Beobachtungen und dem Ansatz zeigen sich in den statistischen Tests des Algorithmus und in der Genauigkeit der berechneten Modelle. Um die Auswirkungen zu geringer Modellauflösung zu untersuchen, werden simulierte Beobachtun- gen eines Modells mit 49 Lagekoeffizienten (L=6) lediglich durch 25 Koeffizienten (L=4) modelliert. Dadurch erhöht sich das s0 der Aufdatierung deutlich und der Globaltest schlägt an. Es werden grobe Beobachtungsfehler und Modelländerungen in den Station-Hardwarebias detektiert, die nachweislich nicht existieren. a) erhöhtes Systemrauschen (Stationsbias) b) ohne statistische Tests Abb. 5.36: Höhenparameterfehler in Abhängigkeit von der zeitlichen Skalenhöhenänderung Um trotz der detektierten zeitlichen Änderungen zu Ergebnissen für die Modellierung zu gelangen, existieren zwei Möglichkeiten: zum einen kann das Systemrauschen der Stationsbias entgegen den tatsächlichen Werten extrem erhöht werden, zum anderen ist eine Ignoranz der statistischen Test- ergebnisse denkbar. Bei zeitkonstanten Ionosphärenmodellen führen beide Möglichkeiten zu ähn- lichen Ergebnissen, sobald allerdings zeitliche Änderungen in den Koeffizienten auftreten ergeben sich zum Teil deutliche Unterschiede. Durch die Einführung zusätzlichen Systemrauschens lässt sich 5 Simulationen 103 die Konvergenz verbessern und damit die Iterationsanzahl und die notwendige Rechenzeit erheblich verkürzen. Auch bleiben die Fehler in den Höhenkoeffizienten kleiner als wenn ohne statistische Tests gearbeitet wird [vgl. Abb. 5.36]. Die Standardabweichungen nehmen zwar größere Werte an, geben aber die tatsächlichen Genauigkeitsverhältnisse wieder. Die größten Unterschiede treten logischerweise in den Stationsbias-Werte auf, in deren Gewichtung eingegriffen wird. In beiden Fällen lassen sich die stochastischen Verhältnisse allerdings nicht optimal wiedergeben, und es treten in über 50% Fehler auf, die größer als die dreifache Standardabweichung sind. Die Effekte der unzureichenden Modellauflösung fließen hier ein. Da in der Realität fast durchgängig mit unzureichenden funktionalen Modellen und mit (geringen) zeitlichen Änderungen der Modellkoeffizienten gerechnet werden muss, ist die Durchführung der statistischen Tests und – wenn notwendig – die Erhöhung des Systemrauschens für die Stationsbias unbedingt zu empfehlen. Man sollte sich allerdings klar darüber sein, dass die berechneten Bias- Werte besonders bei kurzen Beobachtungsintervallen dann leicht systematische Fehler enthalten können, die sich durch die mitgeschätzten Standardabweichungen nicht beschreiben lassen. Im Folgenden werden die Auswirkung aufgezeigt, welche die mangelnde Modellauflösung auf die mittels Modell berechneten ionosphärische Verzögerung PI selbst ausübt [zur Vorgehensweise vgl. Kapitel 5.6]. Den Berechnungen liegt die Annahme zeitlicher Konsistenz der Modellparameter zu- grunde. a) IGS Signalwege b) LEO Signalwege Abb. 5.37: Auswirkung mangelnder Modellauflösung auf die berechneten Ionosphärenverzögerungen In Abb. 5.37 erkennt man deutlich die vergrößerten Fehler im Falle mangelnder Modellauflösung. Diese treten vor allem unter niedrigen Elevationswinkeln und verstärkt bei den LEO-Signalen auf. Dort ergeben sich zusätzlich zu den direkt weitergegebenen Beobachtungsunsicherheiten vereinzelt Fehler von 1.5 m. Falls das Datenmaterial es zulässt, sollte also stets eine möglichst hohe Modellauflösung gewählt werden, weil die resultierenden Fehler sonst leicht 50-100% der Verzögerungswerte erreichen können. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 104 6 ERGEBNISSE DER IONOSPHÄRENMODELLIERUNG Nachdem das vorgehende Kapitel die prinzipielle Eignung des Ansatzes zur dreidimensionalen Iono- sphärenmodellierung sichergestellt und wichtige Erkenntnisse für die Stellgrößenwahl des Programms gewonnen hat, sollen nun einige Berechnungen mit den vorhandenen realen Daten durchgeführt wer- den. Leider muss infolge fehlender Beobachtungen ein einziger LEO-Satelliten ausreichen, da ledig- lich die Daten des GPS/MET-Satelliten zur Verfügung stehen. Aus diesem Grund erfolgt die Höhen- funktionsentwicklung zumeist nur bis zum Grad K=2. Zuverlässige Variationsbestimmungen der Chapman-Parameter sind mit dem vorliegenden Datenmaterial in der Regel leider nicht möglich [vgl. Kapitel 5.7.2]. Die erstellten Modelle werden soweit möglich mit unabhängigen Ionosphäreninformatio- nen verglichen, um zu einer objektiven Genauigkeitsaussage zu gelangen. 6.1 Ausgleichungsansatz Trotz der Nachteile, die lange Modellierungsintervalle mit sich bringen [vgl. Kapitel 4.4], sollen an dieser Stelle die Ergebnisse der vermittelnden Ausgleichung vorgestellt werden. Dies ist sinnvoll, weil man die hier erzielten Aussagen zum Teil im Kalman-Filter weiterverarbeiten kann und muss. 6.1.1 Wahl der Eingangsdaten Für die Modellierung stehen neben den CODE-Daten (RAW) auch trägergeglättete Beobachtungen (LEVEL) zur Verfügung. Diese weisen geringere Unsicherheiten auf und sollten den Rohdaten vorzuziehen sein [vgl. Abschnitt 3.3.3]. Beide Datengruppen werden jetzt auf ihre Eignung getestet und miteinander verglichen. Das Ergebnis soll zu einer endgültigen Entscheidung führen, ob eine aufwändige Beobachtungsvorprozessierung notwendig ist oder nicht. Die folgenden Berechnungen ergeben sich aus Daten vom 03.02.1997, 12-24Uhr. Es werden Beobachtungen von 50 IGS Stationen (∆t = 15 min) und vom GPS/MET-Satelliten (∆t = 1 min) prozes- siert. In der Ausgleichung erfolgt eine Gewichtung der Bodenstationsbeobachtungen nach ihrer jeweiligen Elevation. Die vorgestellten Modelle beruhen durchgängig auf einer Kugelfunktionsent- wicklung bis zum Grad 6 und einer Höhenentwicklung bis K=2. Beim Vergleich der beiden Modellergebnisse fällt als erstes die unterschiedliche Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 ins Auge, die sich durch die Vorprozessierung von 0.89 m auf 0.72 m ver- bessert. Da die eigentliche Datengrundlage und -verteilung in beiden Berechnungen nahezu identisch ist, spiegelt sich hier allein die unterschiedliche Beobachtungsunsicherheit wieder. Als Konsequenz daraus ergeben sich bei Verwendung der geglätteten Beobachtungen durchgängig geringere innere Unsicherheiten in allen geschätzten Parametern. Obwohl durch die Vorprozessierung die Daten- menge schrumpft und die DOP-Werte der LEVEL-Lösung geringfügig wachsen, verbessert sich also die Modellierung. Im Folgenden sollen die unterschiedlichen Ergebnisse direkt miteinander verglichen werden: Die Hardwarebias aus beiden Modellen zeigen lediglich geringe Differenzen. Im Mittel ergeben sich für die Stationsbias Unterschiede von 0.3 ns (maximal 0.7 ns) und für die Satellitenbias von 0.1 ns (maximal 0.3 ns). Diese Differenzen lassen sich im Rahmen der inneren Unsicherheiten nicht signifikant nachweisen. Die Ergebnisse sind demnach - mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% - als identisch an- zusehen. Die inneren Unsicherheiten der Hardwarebias fallen dabei für die Rohdaten im Schnitt um 0.4 ns schlechter als für die geglätteten Beobachtungen aus. Je nach Genauigkeitsforderung können also beide Datentypen für die Hardwarebiasbestimmung verwendet werden. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 105 Problematischer sieht das Ergebnis für die Koeffizienten des Ionosphärenmodells selbst aus. Bei der vertikalen Modellierung kommt es teilweise zu erheblichen Diskrepanzen zwischen den Chapman- Parametern. Während die Skalenhöhe beider Modelle noch als identisch (im Rahmen der jeweiligen Standardabweichungen) anzusehen ist, kommt es in der Höhe der maximalen Elektronendichte zu Differenzen über sieben Kilometer, die sich durch die zufälligen Modellfehler nicht erklären lassen [vgl. Abb. 6.1]. Auch die Kugelfunktionskoeffizienten weisen Unterschiede auf, die nicht in zufälligen Fehlern begründet liegen können. Die unterschiedlichen Eingangsdaten führen damit zu signifikant unterschiedlichen Ionosphärenmodellen, die für den vertikalen Elektronendichtegehalt zu maximalen Differenzen von ca. 3 TECU (entspricht ca. 0.5 m Streckenfehler auf L1) führen und im Mittel über die Sphäre 0.3 TECU (ca. 5 cm) erreichen. a) Parameter b) Form des Vertikalprofils Abb. 6.1: Unterschiede in den Chapmanparametern (K=2) Als Ursache dieser Unterschiede kommen zwei Möglichkeiten in Betracht: Entweder ist einer der Datensätze nicht für eine zuverlässige Ionosphärenmodellierung geeignet, oder die Beobachtungen selbst weisen bereits signifikante Differenzen auf. Letzteres lässt sich durch Datenanalysen nahezu ausschliessen: Die Differenzen zwischen den Rohdaten und den Levelling-Daten verhalten sich augenscheinlich zufällig. Unterschiedliches Rauschen der Beobachtungsdaten sollte im Normalfall keine signifikanten Unterschiede in den Modellkoeffizienten hervorrufen [vgl. Kapitel 5.6]. Sobald allerdings die Modellauflösung der Höhenfunktion die tatsächlichen Verhältnisse nur unzureichend wiedergibt, und zudem die Verteilung der LEO-Daten sehr ungleichmäßig ausfällt, kann es selbst bei der Schätzung von konstanten Chapman-Parametern (K=2) zu kleinen, aber signifikanten Abweichun- gen kommen, wie die Simulationen in Kapitel 5.7.2 zeigen. Hier liegt im vorliegenden Fall die Be- gründung für die Differenzen in hm. Dieser Parameter ist in mindestens einem der beiden Modellen mit systematischen Fehlern belastet, die sich in der geschätzten inneren Standardabweichung nicht wiederfinden. Die Größe des Restfehlers hängt von der horizontalen Variabilität von hm ab. Er kann nicht umgangen werden, weil nur ein einziger LEO-Satellit zur Verfügung steht. Aufgrund der Tatsache, dass die Levelling-Daten um ca. 25-30% geringere Beobachtungsunsicher- heiten als die Rohdaten aufweisen, erfolgt im weiteren Verlauf der Arbeit eine Beschränkung auf diesen Datentyp. Im folgenden ist nun zu klären, mit welcher Dichte die Beobachtungen vorliegen müssen, um zu zuverlässigen und möglichst genauen Ergebnissen zu gelangen. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 106 Die Wahl der Datentaktraten erfolgt nach den Simulationsergebnissen in Kapitel 5.8. Es wird standardmäßig mit Intervallen von 15 min für die Bodenstationen und 60 sec für die LEO-Beobachtun- gen gearbeitet. Eine Änderung dieser Werte führt in der Regel nicht zu signifikant anderen Ergebnissen. Einzige Ausnahme stellt die Modellierung mit K=10 dar. Hier können aufgrund der schlechten Verteilung der LEO-Beobachtungen keine zuverlässigen Modelle erzeugt werden, was sich u.a. in der Inkonsistenz der Ergebnisse unterschiedlicher Taktraten zeigt. Durch eine Reduzierung der verwendeten IGS-Bodenstationen von 50 auf 25 steigen die Standard- abweichungen aller geschätzten Parameter an. Während die DOP-Faktoren (und damit die geo- metrische Verteilung der Beobachtungen) nur minimal wachsen, erhöht sich die Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 von 0.8 m auf 0.9 m. Die Änderungen der geschätzten Höhenparameter und der Hardwarebias bleiben im Rahmen ihrer jeweiligen Standardabweichungen. In den Kugelfunktionskoeffizienten kommt es allerdings teilweise zu signifikanten Differenzen, die im VTEC zu maximalen Unterschieden von ca. 2 TECU führen. Diese Werte zeigen, dass die Stationsanzahl nicht nur die innere Genauigkeit der Modellierung maßgeblich beeinflusst, sondern (in Abhängigkeit der gewählten Modellauflösung, [vgl. Kapitel 5.2]) auch deren Zuverlässigkeit. Das Modellierungsintervall wird mit 12h angesetzt, um auch bei hoher horizontaler Auflösung noch zuverlässige Daten erzeugen zu können. Kürzer Zeiträume führen zu insgesamt höheren Standardab- weichungen und zu signifikanten Änderungen in den Kugelfunktionskoeffizienten. Durch eine Reduzierung der Beobachtungszeit von 12 auf 6h ergeben sich beispielsweise VTEC-Differenzen von bis zu fast 5 TECU. Nähere Erläuterungen zu den Auswirkungen dieses langen Modellierungsinter- valls folgen in Kapitel 6.1.4. 6.1.2 Optimierung der Programmparameter In diesem Kapitel soll untersucht werden, inwieweit die Wahl der Rahmenbedingungen für die Model- lierung die Ergebnisse und deren Unsicherheiten beeinflussen. Vergleichsmodell ist dabei jeweils ein auf Levelling-Daten basierendes 12h-Modell mit den Entwicklungsgraden L=6 und K=2. Zunächst erfolgt eine Untersuchung über die optimale räumliche Auflösung des Modells: Die Er- höhung des Kugelfunktionsentwicklungsgrads von 6 auf 10 führt zu keinen signifikanten Unter- schieden in den berechneten Hardwarebias und den Höhenfunktionsparametern (K=2). Im VTEC ergeben sich Differenzen von bis zu ± 6.5 TECU. Dass es sich dabei um eine Modellverbesserung handelt, wird in der Standardabweichung der Gewichtseinheit deutlich, die von 0.72 auf 0.69 m absinkt. Da das Rauschen der Levelling-Beobachtungen weit unter diesen Werten liegt, deuten dieses s0 auf systematische Modellfehler hin. Vor allem dürfte die Unstimmigkeit zwischen Daten und Modell durch die unzureichende zeitliche Auflösung von 12h und die mangelnde räumliche Auflösung der Höhenmodellierung hervorgerufen werden. Der Entwicklungsgrad der Höhenfunktion entspricht mit K=2 bei weitem nicht der Realität. Da jedoch nur ein einziger LEO zur Verfügung steht, lassen sich für K>2 in der Regel keine zuverlässigen Modelle prozessieren. Aufgrund dieser Rahmenbedingung erscheinen zusätzliche Untersuchungen über den Höhenfunktionsansatz hier wenig sinnvoll. Tests mit modifizierten oder mehreren überlagerten Chapman-Funktionen, sowie neuen Funktionsansätzen müssen auf einen späteren Zeitpunkt verschoben werden. Die Reduzierung des Modellierungs- intervalls dagegen ist im Rahmen eines Kalman-Filters durchaus durchführbar [vgl. Kapitel 6.2]. Interessant erscheint hier weiterhin, ob die Annahme, alle freien Elektronen befinden sich unterhalb einer Höhe von 1000 km, als korrekt gelten kann. Dies wird anhand eines konkreten Beispiels unter- sucht: Eine Erhöhung der oberen Modellgrenze der ionisierten Schicht von 1000 auf 2000 km bringt keine signifikanten Unterschiede in den geschätzten Modellparametern (L6K2) mit sich. Weder die 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 107 Koeffizienten der Elektronendichteverteilungsfunktion noch die Hardwarebias zeigen Änderungen oberhalb ihrer Standardabweichungen. Durch den längeren Integrationsweg ergeben sich allerdings durchweg höhere VTEC-Werte. In den meisten Gebieten bleiben diese Auswirkungen jedoch unter- halb von 0.02 TECU. Lediglich in den Äquatorregionen sind maximale Differenzen von 0.07 TECU (ca. 10 cm) festzustellen. Dies sind Werte, die weit unter den aktuell erreichbaren Genauigkeiten des Modells liegen. Somit ist die zugrundegelegte Modellannahme durchaus zutreffend. Eine weitere Einflussgröße auf das Modell liegt in der Beobachtungsgewichtung der eingehenden Messungen. Diese sollte selbstverständlich auf die jeweiligen Daten abgestimmt sein. Da allerdings keine abschließende Qualitätsaussage über die verwendeten Beobachtungen vorliegt und auch systematische Beobachtungsfehler nicht auszuschliessen sind, soll an dieser Stelle anhand eines beispielhaften Vergleichs eine Aussage über die zu wählende Gewichtung getroffen werden. Als Datengrundlage dienen auch hier wieder Beobachtungen vom 03.02.1997 (12-24Uhr) von 50 IGS Stationen und dem GPS/MET. Es werden Levelling-Daten [vgl. Kapitel 3.3.3.2] verwendet, die ent- weder eine konstante Gewichtung (OHNE), eine elevationsabhängige Gewichtung für alle Beob- achtungen (MIT) oder eine Gewichtung nur der IGS Beobachtungen (TEIL) erhalten. Bereits in den Genauigkeitsindikatoren der Ausgleichung sind Unterschiede der Modelle erkennbar. Vor allem die DOP-Werte (und hier hauptsächlich der HDOP) weisen eine starke Abhängigkeit vom gewählten Gewichtungsansatz auf: durch die IGS-Gewichtung steigt der Wert aufgrund der enthalten- den geringeren geometrischen Information leicht an. Werden auch die LEO-Beobachtungen gewichtet eingeführt, so liegen die HDOP-Werte deutlich über denen ohne Gewichtung und gleichzeitig sinkt s0 ab: die Menge und Sensitivität der einfließenden Daten fällt. Auf die Bestimmung der Hardwarebias hat dies kaum eine Auswirkung. Weder die Satellitenbias noch die Stationsbias weisen signifikante Unterschiede in Abhängigkeit vom Gewichtungsansatz auf, und auch die geschätzten inneren Genauigkeiten differieren im Mittel um lediglich etwa 0.05 ns. Deutliche Unterschiede ergeben sich allerdings in den Koeffizienten des Ionosphärenmodells selbst. Während die Ergebnisse ohne Gewichtung und mit Gewichtung der IGS-Beobachtungen im Rahmen der geschätzten Standardabweichungen als identisch angesehen werden können, kommt es durch die Gewichtung der LEO-Beobachtungen zu signifikanten Unterschieden sowohl in den Höhen- als auch in den Lageparametern. Die Abweichungen (Beträge) betragen für K=2 ca. 3 km für hm, 4 km für H und im Mittel 0.4 TECU im VTEC. Die inneren Genauigkeiten der VTEC-Werte sind dabei in etwa identisch (Mittel: 0.3 TECU/ Max: 0.6 TECU), können aber die Abweichungen nur in etwa 75% des Modellierungsgebietes abfangen. Ohne einen unabhängige Aussage über die Elektronendichteverteilung im bearbeiteten Zeitraum ist eine Bewertung der Ergebnisse schwierig. Die Differenzen können zum einen durch signifikante systematische Beobachtungsfehler in Daten mit niedriger Elevation hervorgerufen werden, was eine Gewichtung der Daten wünschenswert machen würden, zum anderen durch die sinkenden Fähigkeit des Datensatzes, das Modell zu füllen und die Parameter zuverlässig zu bestimmen. Ohne Eleva- tionsgewichtung liegen mehr sensitive Daten vor, die geeignet erscheinen, die Elektronendichtever- teilung zu repräsentieren. Welche Ursache vorliegt, muss bei jedem Modell neu geklärt werden. An dieser Stelle kann deshalb nur eine Empfehlung zum Gewichtungsansatz gegeben werden: In der Regel sollte ohne Gewichtung der vorliegenden Okkultationsbeobachtungen gearbeitet werden. Gerade wenn insgesamt nur wenig Daten vorliegen (wie hier: nur ein LEO), leiden sonst schnell Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Modellparameter. Nur wenn begründete Annahmen für systematische Beobachtungsfehler vorliegen, ist es sinnvoll die Daten abzugewichten oder vollständig von der Prozessierung auszuschließen (Elevationsmaske). Die Elevationsabhängigkeit der IGS-Beobachtungen ist mehrfach nachgewiesen und allgemein bekannt. Da diese Daten nur einen schwachen Beitrag zur Modellierung leisten, ist eine Gewichtung hier zu empfehlen. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 108 6.1.3 Validation der Ergebnisse Um den vorgestellten Modellansatz qualitativ zu beurteilen, ist ein Vergleich mit unabhängig bestimmten Größen zwingend erforderlich. Dazu stehen neben anderen Modellen auch Elektronen- dichtemessungen selbst zur Verfügung. Theoretisch kann dazu jeder Messtyp herangezogen werden, der Aufschluss über die integrierte Elektronendichte entlang seines Signalwegs liefert (z.B. die Zwei- frequenzmessungen des TOPEX/POSEIDON-Altimeters oder Daten von Ionosonden). Am ein- fachsten ist es, Messungen des IGS Netzes selbst zu verwenden. Neben den Daten, die auch in die Modellberechnung einfließen, sind allerdings auch Beobachtungen auf zusätzlichen Stationen not- wendig, damit die Vergleichswerte wirklich als unabhängig vom Modell anzusehen sind. Im Folgenden wird ein Vergleich des Modells L=6, K=2 basierend auf Levelling-Daten mit den vorprozessierten Levelling-Beobachtungen der 50 verwendeten IGS Stationen sowie mit Daten von fünf weiteren, nicht verwendeten Stationen verglichen. Dabei ist bis auf die Tatsache, dass für die neuen Stationen keine Hardwarebiasdifferenz vorliegt und der Vergleich somit stets um diesen Bias verfälscht wird, kein signifikant anderes Verhalten [vgl. Abb. 6.2b)] festzustellen. Die Verwendung der Rohdaten (CODE, ohne Trägerglättung) führt (bedingt durch das höhere Messrauschen) zu höheren Streuungen der Differenzen. a) Mittelwerte b) Standardabweichungen Abb. 6.2: Differenzen zwischen Modell und Levelling-Beobachtungen P2-P1 (pro Station) Ausgewertet werden die Differenzen zwischen den mit dem Modell berechneten ionosphärischen Beobachtungen und den tatsächlich gemessenen (Levelling-Daten). Die Auswertung erfolgt getrennt nach den einzelnen IGS-Stationen. Das Ergebnis fasst die Abb. 6.2 zusammen. Die Mittelwerte der Differenzen bleiben stets unterhalb von 0.1 m und zeigen keine Systematik bezüglich der Lage der Stationen. Allerdings streuen die Unterschiede stark und es kommt zu maximalen Differenzen von bis zu 3.8 m1. Dabei sind folgende Abhängigkeiten festzustellen: a) Elevationsabhängigkeit b) Abhängigkeit von der Breite des Standpunktes c) Abhängigkeit von der Zeit der Messung (UTC) [vgl. Abb. 6.3] Die größten Abweichungen zwischen Modell und Messdaten treten bei niedrigen Elevationen in Äquatorgebieten auf, also genau dort, wo die ionosphärische Wegveränderung am extremsten ausfällt. Keine Korrelation ist zu den jeweils verwendeten GPS-Satelliten zu erkennen. Die dar- gestellten Einflüsse können sowohl durch Modellierungsfehler (Modell passt nicht zu den Beobachtun- gen), aber auch durch systematische Ungenauigkeiten in den Beobachtungsdaten selbst hervor- 1 Die Differenzen auf den LEO-Signalwegen liegen zum Teil deutlich höher [vgl. Tab. 6.5]. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 109 gerufen werden. Das Messrauschen der Levelling-Daten kann als Hauptfehlerquelle ausgeschlossen werden, da dies erheblich kleiner als die auftretenden Fehler ist. Eindeutig auf unzureichende Modellierung sind die auftretenden systematischen Änderungen der Mittelwerte mit der UTC-Zeit zurückzuführen, da die GPS-Genauigkeiten unter normalen Bedingungen nicht von der UTC-Zeit der Messung abhängen. In der Abb. 6.3 erkennt man die Systematik in den Unterschieden. Sie spiegelt die zeitlichen Variationen der Elektronendichte wieder, die durch das Modell (auch im sonnenfixierten System) nicht abgefangen werden kann. Abb. 6.3: Zeitabhängigkeit (UTC) der Differenzen Das untersuchte Modell (L6K2, 034/97 12-24Uhr) ist demnach nicht in der Lage, die ionosphärische Laufzeitverzögerung zuverlässig mit Genauigkeiten im Submeterbereich wiederzugeben. Dazu benötigt man höher aufgelöste Modelle (und dementsprechend mehr LEO-Satelliten). Besonders wichtig erscheint eine erheblich Verkürzung des Modellierungszeitraums [vgl. Kapitel 6.2]. Die geringen Mittelwerte der Fehler auf den einzelnen Stationen lassen vermuten, dass alle Hard- warebiasdifferenzen mit einer Genauigkeit von besser als 0.1 m (0.3 ns) bestimmt werden können. Die hohe Unsicherheit des Modells zur Bestimmung der Elektronendichte belegt auch ein Vergleich mit den zweidimensionalen Ionosphärenmodellen des IGS [vgl. Kapitel 2.3.4]. Hierzu werden aus dem vorliegenden 3D-Modell für einen speziellen Zeitpunkt (17Uhr UTC) VTEC-Karten erzeugt und diese mit den CODE-Gittermodellen verglichen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Graphik dargestellt. Im Mittel ergeben sich Unterschiede von ca. 1.5 TECU mit maximalen Werten bis zu 12 TECU (entsprechend 1.8 m Verzögerung auf L1) zwischen CODE-Modell und dem vorgestellten 3D-Modell L6K2 [vgl. Abb. 6.4a) und b)]. Die Übereinstimmung wird durch eine Erhöhung der Entwicklungs- gerade des Modells verbessert [vgl. Abb. 6.4c)]. Allerdings treten auch mit gleichem Modellierungs- ansatz (Single-Layer) vereinzelt noch Differenzen von maximal 7.5 TECU im VTEC auf [vgl. Abb. 6.4d)], die sich zum Großteil durch die unterschiedlichen Entwicklungsgerade erklären lassen (CODE: Grad 12, Ordnung 8; 2D: Grad und Ordnung L=10). Eine weitere Fehlerquelle stellt das lange Modellierungsintervall von 12h dar [vgl. Kapitel 6.1.4]. Auffällig ist der im vorgestellten Modell zum Teil auftretender negative Elektronendichtegehalt. Dieser kann sich ergeben, weil keinerlei Zwänge für positive Elektronendichten verwendet werden. Hier liegt ein Verbesserungspunkt der Modellierung, dessen Umsetzung noch aussteht. Man erkennt aber auch, dass die negativen Bereiche mit steigender Modellfeinheit abnehmen. An dieser Stelle ist anzumerken, dass auch die IGS-Modelle nicht fehlerfrei vorliegen und somit nicht alle Differenzen auf Fehler des vorgestellten 3D-Modells zurückzuführen sind. Zwar wird die Genauig- keit der CODE-VTEC-Werte mit besser als 0.4 TECU angegeben, doch handelt es sich dabei um innere Genauigkeiten, die durch einen Vergleich mit unabhängigen Messungen so nicht bestätigen 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 110 lassen. Bereits 2D-VTEC-Karten verschiedener Analysezentren des IGS weisen untereinander erhebliche Unterschiede auf. Ein Beispiel zeigt FELTENS, J. (1999): hier erreichen die Differenzen bis zu 10 TECU und liegen damit in der gleichen Größenordnung wie die Unterschiede zwischen dem 3D- Modell und dem CODE-Modell. a) 3D-Modell (L6K2) b) 2D-Modell (IGS, CODE) c) 3D-Modell (L10K10) [TECU] d) Single-Layer L=10 Abb. 6.4: VTEC-Karten unterschiedlicher Modelle (03.02.97/17Uhr) Das CODE stellt neben den zweidimensionalen Ionosphärenkarten auch Hardwarebiasdifferenzen bereit. Für den Vergleichszeitraum stehen 25 Satelliten-Bias (DCB) zur Verfügung, die aufgrund von Definitionsunterschieden ein umgekehrtes Vorzeichen als hier verwendet aufweisen [vgl. SCHAER, S. (1999), Formel (2.24b)]. Für die einzelnen IGS-Stationen werden diese Informationen leider erst seit Oktober 1997 abgeleitet und archiviert, so dass hier keine unabhängigen Werte für die Stationsbias vorliegen. Der Vergleich der Satellitenbias basiert auf relativen Werten: Die Lagerung der Bias erfolgt dabei so, dass ihr jeweiliger Mittelwert null ergibt, und die Stationsbias passt man an dieses Niveau an1. Dann bleiben alle Stationsbias kleiner als 15 ns und alle Satellitenbias unterhalb eines Betrages von 3 ns, wie die Abb. 6.5 zeigt. Interessant erscheint, dass im dreidimensionalen Modell die Beträge der DCBs fast durchgängig höher als im zweidimensionalen Modell ausfallen. Das lässt vermuten, dass hier fehlerhafte Schätzungen anderer Parameter absorbiert werden und zu dieser Verfälschung führen. Die inneren Unsicherheiten der Satellitenbias der unterschiedlichen Modell fallen sehr unterschiedlich aus: Während im CODE-Modell die RMS-Werte durchgängig mit ca. 0.013 ns angegeben werden, er- reichen sie beim 3D-Modell eine Größenordung mehr (ca. 0.16 ns). 1 Dies ist möglich, weil die geschätzten Bias-Werte nur relative Angaben sind, und der Ansatz keine absolute Festlegung zulässt [vgl. Kapitel 4.4.1]. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 111 Abb. 6.5: Satelliten-Hardwarebias (DCB) In der folgende Graphik sind die Differenzen der beiden Lösungen noch einmal gesondert dargestellt. Zusätzlich ist die zugehörige Standardabweichung eingezeichnet. Die Summe aller Beträge beläuft sich auf 5.3 ns. Durch feinere Auflösung des Modells lässt sich dieser Wert auf 3.9 ns reduzieren (L10K10). Beim Ansatz eines Single-Layer (L=10) beträgt er lediglich 2.3 ns. Die meisten der DCBs sind allerdings im Rahmen ihrer Unsicherheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% als gleich anzusehen. Lediglich für fünf Satelliten ergeben sich signifikant andere Bias-Werte (SV05, 09, 21, 23, 30). Abb. 6.6: Unterschiede in DCBs (L6K2- CODE) 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 112 Berücksichtigt man, dass bereits die DCBs der unterschiedlichen zweidimensionalen IGS-Modelle untereinander teilweise um 1 ns differieren [vgl. FELTENS, J. (1999)], so handelt es sich hier um ein durchaus zufriedenstellendes Ergebnis. Zu den DCBs des JPL ergeben sich ähnliche Differenzen wie zu denen des CODE. Ein Vergleich mit den entsprechenden Werten der Broadcast Satelliten-Message Tgd [vgl. SPILKER, J.J. (1996)] erscheint sinnlos, weil diese Werte zum Zeitpunkt der Untersuchungen zum einen fehlerhaft skaliert sind, zum anderen aus Laborkalibrierungen vor dem Satellitenstart stammen und zum dritten eine sehr schlechte Auflösung von fast 0.5 ns aufweisen [vgl. WILSON, B.D.; YINGER, C.H.; FEESS, W.A.; SHANK, C. (1999) und YINGER, C.H. ET AL (1999)]. Weitere Validationsmöglichkeiten für das 3D-Modell sind mit dem Klobucharmodelle und der IRI-95 gegeben. Allerdings wird die Genauigkeit des Klobucharmodells [vgl. Kapitel 2.3.3] lediglich mit 50- 80% angegeben und weist somit größere Fehler auf als das dreidimensionale Modell selbst. Aus diesem Grund erfolgt hier kein Vergleich mit dem Klobucharmodell. Bei der IRI handelt es sich um ein unabhängiges Modell, welches – im Gegensatz zu den IGS-Modellen – auf einer völlig anderen Datengrundlage basiert [vgl. Kapitel 2.3.2]. Dementsprechend größer fallen auch die Unterschiede zum hier vorgestellten Modell aus, zumal dessen Ergebnisse aufgrund der zu geringen Anzahl an verwendeten LEOs nicht das volle Genauigkeitspotential des Ansatzes zeigen. 6.1.4 Zeitliche Variationen der Parameter im sonnenfixierten System Bereits im vorgehenden Kapitel wird die deutlich, dass eine Hauptfehlerquelle des Modells in der zeitlichen Variation der Elektronendichte besteht. Obwohl im sonnenfixierten System gearbeitet wird, lässt sich über einen Zeitraum von 12 Stunden die Änderungen in den einzelnen Parametern nicht ohne Genauigkeitseinbußen vernachlässigen [vgl. Abb. 6.3]. An dieser Stelle erfolgt eine genauere Betrachtung der Auswirkungen der zeitlichen Variabilität. Dazu verschiebt man das 12h-Intervall der Modellierung (L6K2, Levelling-Daten, ohne Gewichtung) schrittweise um jeweils eine Stunde und erhält so für einen Tag (hier der 03.02.1997) dreizehn einzelnen Modelle, die laut Modellannahme der zeitlichen Konsistenz aller Parameter theoretisch identisch ausfallen müssten1. a) zeitliche Variation b) Mittelwerte Abb. 6.7: Chapman-Parameter am 03.02.1997 (L6K2) In der Praxis allerdings zeigen sich deutlich systematische Veränderungen [vgl. Abb. 6.7a)]. So erge- ben sich bei der Bestimmung der Chapman-Parameter Unterschiede von über 10 km im Laufe des Tages. Die Änderungen erreichen dabei Maximalwerte von 2 km/h (H) und ca. 5 km/h (hm). Im Mittel 1 Der Einfluss der unterschiedlichen geometrischen Verteilung der Beobachtung kann laut Kapitel 5.4 vernachlässigt werden. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 113 betragen die Zeitvariationen ca. 0.3 km/h für beide Chapman-Parameter. Damit übersteigen die zeitlichen Variationen die angegebenen inneren Standardabweichungen von durchschnittlich 0.8 (hm) bzw. 0.6 km (H) deutlich. Auch die horizontale Verteilung der Elektronendichte zeigt zeitliche Variationen. Da die Kugelfunk- tionskoeffizienten selbst für eine Betrachtung zu unanschaulich sind, erfolgt die Bewertung anhand von VTEC-Karten, in deren Berechnung jedoch auch die Höhenfunktionskoeffizienten eingehen. Auch hier erkennt man deutliche Unterschiede in den einzelnen Modellen. Teilweise weichen die Werte bis zu 4 TECU vom mittleren Modell ab und es kommt zu Änderungen, die 2 TECU/h erreichen können. Im Gegensatz zur Elektronendichteverteilung verhalten sich die Hardwarebias nahezu zeitkonstant. Im untersuchten Zeitraum sind lediglich geringe Systematiken zu entdecken [vgl. Abb. 6.8]. Die Stationsbias erreichen Änderungen von maximal 0.95 ns/h, die Variationen der Satellitenbias bleiben unterhalb von 0.33 ns/h. In ihrer Gesamtheit sind die Änderungen beider Größen im betrachte- ten Zeitraum nahezu mittelwertfrei. Während bei den Satellitenbias keinerlei Systematiken zu er- kennen sind, verhalten sich die Stationsbias nicht gänzlich zufällig. Allerdings ist diese Verhalten wohl eher auf Modellierungsungenauigkeiten als auf tatsächliche Variationen zurückzuführen. Fehler im funktionalen Modell (v.a. fehlende Auflösung) werden vorwiegend in diesen Koeffizienten aufgefangen [vgl. Kapitel 5.9.3]. a) IGS-Stationen b) GPS-Satelliten Abb. 6.8: Zeitliche Variation der geschätzten (reduzierten) Hardwarebiasdifferenzen Zur Verbesserung der Modellgenauigkeit erscheint demnach der Übergang auf kürzere Modellierungs- zeiträume zwingend erforderlich. Zeitliche Variationen der Ionosphärenkoeffizienten in der oben be- schriebenen Größenordnung können nicht vernachlässigt werden. Durch die Verwendung kleinerer Zeitintervalle ist auch eine Reduzierung der großen Differenzen zu den unabhängigen Modellen zu erwarten [vgl. Kapitel 6.1.3]. Um auch für hohe zeitliche Auflösungen weiterhin zu räumlich hochaufgelösten und trotzdem zuverlässigen Ergebnissen zu gelangen, empfielt sich der Übergang vom einfachen Ausgleichungsansatz auf ein Kalman-Filter. 6.2 Kalman-Filter-Ansatz In diesem Kapitel sollen beispielhaft Ergebnisse der Kalman-Filter-Modellierung der Ionosphäre für den 03. Februar 1997 (034/97) und die Folgetage vorgestellt werden. Dabei steht auch hier wieder nur eingeschränktes Datenmaterial zur Verfügung: Als LEO-Daten lassen sich allein die Beobachtungen des GPS/MET-Satelliten heranziehen. Zusätzlich finden die Messungen von 50 IGS Stationen Ver- wendung. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 114 Als Aufdatierungszeitraum wird ein Intervall von zwei Stunden gewählt, um bei möglichst kurzer Zeit- spanne eine optimale Lageabdeckung der Beobachtungen (im sonnenfixierten System) zu gewähr- leisten. Die Modellentwicklungsgerade beschränken sich auf L=6 für die Lagevariationen und K=2 für die Höhenvariationen (konstante Parameter), um ungewollte Effekte durch unzureichende Daten- überdeckung zu vermeiden. Die Schätzung von Lagevariationen der Chapman-Parameter führt bei Verwendung von lediglich einem LEO-Satelliten in vielen Zeitintervallen zu unzureichender Konver- genz der Höhenkoeffizienten. 6.2.1 Zeitliche Variation der Modellkoeffizienten Ausgehend vom Ausgleichungsmodell für das 12h-Intervall von 12-24 Uhr [vgl. Kapitel 6.1] werden für den gleichen Zeitraum kontinuierlich 2h-Modelle mit Hilfe des Kalman-Filter-Ansatzes [vgl. Abschnitt 4.5] berechnet. Dabei finden die Modelleinstellungen der Tab. 6.1 Anwendung, die sich auf Grundlage der in Abschnitt 6.1.4 gewonnen Werte und einer Feinabstimmung aufgrund des geänderten Mess- und Modellierungsintervalls ergeben. Tab. 6.1: Modellparameter des Kalman-Filter-Ansatzes L6K2 Parameter Startwert Beobachtungsunsicherheit sL (IGS) sL (LEO) 0.020 m im Zenit (elevationsgewichtet) 0.050 m (ohne Gewichtung) Systemrauschen sR (Lage) sR (Höhe) sR (Statbias) sR (Satbias) 0.100 1.0 km 1.2 ns 0.5 ns Aufdatierungsintervall ∆T 2 h Taktrate ∆tIGS ∆tLEO 5 min 30 sec Das hohe Systemrauschen für die Stationshardwarebias ist notwendig, um die unzureichende Auf- lösung des funktionalen Modells aufzufangen [vgl. Kapitel 5.9.3]. Aus dem gleichen Grund sollte man die geschätzten Stationsbiaswerte mit Vorsicht behandeln. Sie können mit systematischen Fehlern behaftet sein, die sich durch die angegebenen Standardabweichungen nicht abdecken lassen. Weiterhin sollte damit gerechnet werden, dass die einzelnen Modelle (trotz geringem Höhenfunktions- entwicklungsgrad) unterschiedlich stark mit systematischen Restfehlern durch unzureichende Ver- teilung der LEO-Beobachtungen belastet sind [vgl. Kapitel 5.7.2 und 6.1.1]. So bestimmen neben den tatsächlich vorhandenen Variationen auch ungewollte Schwankungen den zeitlichen Verlauf der Modellkoeffizienten. Die Größe dieser Schwankungen ist abhängig vom Aufdatierungsintervall des Filters. Je kürzer der Aufdatierungszeitraum, desto unterschiedlicher sind die auftretenden Geo- metrieverhältnisse: die DOP-Werte zeigen einen unruhigen Verlauf und die inneren Unsicherheiten der Koeffizienten schwanken stark und steigen insgesamt an. Auch die Standardabweichung der Gewichtseinheit s0 wächst mit zunehmender Datenmenge, weil die Unstimmigkeiten zwischen Modell und Realität, besonders die unzureichende Auflösung des Ansatzes, immer deutlicher auffallen. Je länger das Intervall gewählt wird, desto zuverlässiger gelingt die Modellierung. Die Änderungen zwischen den Modellen sinken mit Verlängerung des genutzten Zeitraums, weil sich erstens die geo- metriebedingten Schwankungen verkleinern und sich zweitens die tatsächlichen zeitlichen Änderun- gen stärker herausmitteln. Als Kompromiss zwischen Modellaktualität und zeitlicher Auflösung auf der 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 115 einen Seite sowie Zuverlässigkeit der Schätzung auf der anderen Seite bietet sich bei der gegebenen Beobachtungsgeometrie (nur ein LEO-Satellit) ein Aufdatierungszeitraum von zwei Stunden an. Zum Vergleich stehen zusätzlich Intervalle von drei bzw. einer Stunde zur Verfügung. Untersuchungen haben gezeigt, das die Wahl der Startparameter und der Taktrate der einfließenden GPS-Beobachtungen die Ergebnisse der Koeffizientenschätzung lediglich im Rahmen der berechne- ten inneren Genauigkeiten (mit Ausnahme der Stationsbias) beeinflussen. Allerdings führen schlechte Ausgangswerte zu deutlich gesteigerten Rechenzeiten. Zu beachten bleibt jedoch, dass sich die mangelhafte Modellauflösung, die durch die fehlende Auswahl an LEO-Satelliten zur Zeit nicht zu umgehen ist, durch die inneren Standardabweichungen der Koeffizienten nicht abfangen lässt. a) DOY 34, 03.02.1997 b) DOY 34 bis DOY 37 Abb. 6.9: zeitliches Verhalten der Chapmanparameter Vergleicht man die Chapman-Parameter der berechneten Intervalle (6x2h, zweimal, gegeneinander versetzt), tritt eine deutliche Systematik zutage. Innerhalb des untersuchten Zeitraums von 12 Stunden zeigen sich deutliche lineare Trends, die zusätzlich von periodischen Schwankungen über- lagert werden [vgl. Abb. 6.9a)]. Die mittlere Höhe der maximalen Elektronendichte sinkt mit ca. 4 km/h während die Skalenhöhe mit etwa 0.4 km/h leicht ansteigt. Ergebnisse aus 1h- bzw. 3h-Modellierun- gen bestätigen diesen Verlauf. Die inneren Genauigkeiten der einzelnen Schätzungen liegen dabei in einer Größenordnung von ungefähr einem Kilometer und sind nicht in der Lage die Änderungen zu erklären. Setzt man diese Analyse über einen längeren Zeitraum fort, lassen sich auch längerfristige Systematiken erkennen. Beide Parameter steigen im untersuchten Zeitraum von 3.5 Tagen mit ca. 2 km pro 24 h an und werden von tageszeitlichen Effekten überlagert [vgl. Abb. 6.9b)]. Die kurz- periodischen Schwankungen betragen zusätzlich für beide Parameter noch bis etwa 15%. Neben 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 116 tatsächlichen Änderungen und zufälligen Fehlern sind hier auch Effekte durch unzureichende Modellierung enthalten, die durch die Standardabweichungen nicht abgefangen werden können. Die Analyse der einzelnen Kalman-Filter-Lösungen zeigt, dass auch die Hardwarebiaswerte sich mit der Zeit verändern. In den meisten Fällen findet eine (unterschiedlich stark ausgeprägte) regelmäßige Schwingung statt [vgl. Abb. 6.10]. Die maximale Abweichung vom Mittelwert liegt bei 1.4 ns für die Einstundenintervalle und bleibt für die Zweistundenintervalle kleiner als 1 ns. Die inneren Standardab- weichungen erklären die Abweichungen nicht vollständig. Diese sind demnach deterministisch be- gründet und können ihre Ursache beispielsweise in Temperaturschwankungen haben [vgl. MANNUCCI, A.J.; ET AL. (1999)]. a) Hardwarebias SV01 b) Hardwarebias SV14 Abb. 6.10: zeitliches Verhalten ausgewählter Satellitenhardwarebias (reduziert) Das Verhalten der Stationsbias zeigt sich dagegen weniger regelmäßig. Hier fließen Modellierungs- fehler (vor allem durch die unzureichende Modellauflösung, vgl. Kapitel 5.9.3) ein, welche die tatsächlichen Werte überlagern und verfälschen. Dadurch kommt es vereinzelt zu Abweichungen vom Mittelwert bis über 4 ns (Einstundenintervall). Der Großteil der Stationsbias (80%) bewegt sich nicht mehr als 2 ns vom 12h-Mittelwert weg. Im vertikalen Elektronendichtegehalt zeigen sich ebenfalls starke zeitliche Variationen. Beträge und Verteilung ändern sich - auch im sonnenfixierten System - in zwei Stunden mit einer Größenordnung von mehreren TECU (in einzelnen Gebieten bis zu 10 TECU). Und auch der weltweite mittlere VTEC ist keineswegs konstant. Hier lässt sich neben Rauscheffekten ein systematischer Trend sowie periodische Schwingungseffekte ausmachen [vgl. Abb. 6.11]. a) mittlerer VTEC mit Regressionsfunktion b) Residuen zur Regressionsfunktion Abb. 6.11: zeitlicher Verlauf des weltweiten mittleren VTEC (DOY 34 ... DOY 37/97) 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 117 Man erkennt deutlich den Aufwärtstrend, der – weniger klar – von tagesperiodischen Effekten über- lagert wird. Bereits die Änderungen des mittleren VTEC betragen bis über 1 TECU/h, und die lokalen Variationen sind teilweise noch weit größer. Diese Zahlen beweisen, welchen wichtigen Faktor ein kurzes Modellierungszeitintervall für die Genauigkeit der Modelle darstellt. Die dargestellten zeitlichen Änderungen der Modellparameter beeinflussen die Prädiktionsgenauigkeit des Kalman-Filters. Wenn man (wie hier) mit einem stationären Ansatz arbeitet, stellen die vernach- lässigten Änderungen in Abhängigkeit vom Aufdatierungszeitraum ein direktes Maß für die Unsicher- heiten der prädizierten Werte dar. Im gezeigten Beispiel gelingt die Vorhersage der Parameter dem- nach nicht besser als ca. 4 km/h für hm, 0.4 km/h für H und 1 TECU/h für die mittlere vertikale Elektronendichte. 6.2.2 Vergleich mit Ausgleichungsansatz Für den 03. Februar 1997 stehen zum einen das 12h-Modell und zum anderen sechs einzelnen 2h- Kalman-Modelle zur Verfügung. Die Ergebnisse des Ausgleichungsansatzes und des Kalman-Filters sollten mit Ausnahme der zeitlichen Variationen untereinander Konsistenz aufweisen. Sie basieren auf derselben Datengrundlage, allerdings bei unterschiedlichen Taktraten. a) Differenz des zeitlichen Mittelwerts b) maximale Differenz der Einzelmodelle Abb. 6.12: Unterschied der Chapman-Parameter zum 12h-Modell Im folgenden werden die auftretenden Differenzen analysiert. Neben den einzelnen 2h-Modellen kommt dabei vor allem der Mittelwert dieser Modelle zur Untersuchung. Die Differenz zwischen dem Modell über 12 Stunden und dem Mittelwert der sechs entsprechenden Kalman-Modelle beträgt ca. 1 km für die Skalenhöhe und 2.5 km für hm [vgl. Abb. 6.12a)]. Die Unterschiede liegen demnach innerhalb des Bereichs der zeitlichen Variationen der Kalman-Filter-Ergebnisse. Eine Korrelation zu der Länge der Aufdatierungsintervalle ist nicht festzustellen. Die Abweichungen zwischen 12h-Lösung und den einzelnen Kalman-Modellen dagegen hängt ein- deutig mit den gewählten Aufdatierungszeiträumen zusammen: je kürzer das Intervall, desto stärker treten die Zeitvariationen der Parameter hervor und desto größere Differenzen ergeben sich. Für die Höhe der maximalen Elektronendichte können sie bis zu 45 km betragen [vgl. Abb. 6.12b)]. Die Unstimmigkeiten zwischen den beiden Ansätzen, wie sie sich im linken Teil der obigen Graphik zeigen, hat die folgende Ursache: die Datenabdeckung (vor allem die der LEO-Daten) ist trotz des geringen Höhenfunktionsentwicklungsgrades von K=2 unzureichend für eine zuverlässige Model- lierung der Chapman-Parameter. Aus diesem Grund treten zusätzliche Fehler auf, die sich in den inneren Standardabweichungen nicht zeigen [vgl. Kapitel 5.7.2 und 6.1.1]. Auch in den anderen 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 118 Modellkoeffizienten ergeben sich zwischen dem 12h-Ausgleichungsmodell und dem Mittelwert der 2h- Kalman-Modelle geringe Differenzen, die allerdings um ca. eine Größenordnung niedriger ausfallen als die zeitlichen Variationen der Parameter. Mit dieser Art von Restfehler sind wahrscheinlich beide Modell-Ansätze belastet. Die Simulationen des Kapitel 5.9 bestätigen die Eignung des Kalman-Filter-Ansatzes und legen bei zeitlichen Veränderungen der Modellparameter dessen Verwendung nahe. Ob die sequentielle Ausgleichung aber tatsächlich eine Verbesserung darstellt, sollte erst nach einer unabhängigen Validation der Ergebnisse entschieden werden [vgl. Kapitel 6.2.3]. 6.2.3 Validation der Ergebnisse Eine Qualitätsaussage der berechneten Koeffizienten lässt sich nur mit Hilfe unabhängiger Messungen oder Modelle der Elektronendichte vornehmen. Es stehen mehrere Vergleichsmöglich- keiten zur Verfügung, die allerdings bereits untereinander nicht vollständig konsistent sind. Dement- sprechend unsicher muss eine absolute Qualitätsaussage der hier berechneten 3D-Modelle ausfallen. Außerdem sind nicht unerhebliche Verfälschungen der Elektronendichte zu erwarten, die aus der mangelhaften Modellauflösung (L=6, K=2) aufgrund fehlender LEO-Satelliten resultieren, und die durch die inneren Standardabweichungen der Modelle nicht abgefangen werden können. Für die Überprüfung der Höhe der maximalen Elektronendichte steht lediglich die IRI-95 [vgl. Kapitel 2.3.2] zur Verfügung. Aufgrund der unzureichenden Lagevariationsmöglichkeiten der Chap- manparameter (K=2) kann dieser Vergleich jedoch nur richtungsweisenden Charakter haben. Vergleicht man den IRI-Mittelwert von hm am 03.02.1997, 17Uhr UTC mit dem geschätzten Chapman- parameter aus dem entsprechenden Kalman-Intervall ergibt sich eine Differenz von über 20 km, wie die nachfolgende Tabelle belegt. Tab. 6.2: Höhe der maximalen Elektronendichte, 03.02.1997, 17Uhr UT hm [km] shm [km] IRI-95 277.8 (221.3 ... 378.9) 0.4 (berechnet aus Streuung) 3D Modell L6K2, 16-18 Uhr 253.661 1.114 3D Modell L6K2, 12-24 Uhr 251.514 0.721 Während zwischen den hm-Lösungen der 3D Modelle statistisch gesehen kein Unterschied nachzu- weisen ist (95% Wahrscheinlichkeit), weicht der IRI-Mittelwert deutlich von beiden ab. Als zusätzliche Fehlerquelle geht hier die Mittelwertbildung über die Sphäre ein. Es wird lediglich ein ungewichtetes Mittel berechnet, welches den sphärischen Verhältnissen sicher nicht entspricht. Weiterhin ist davon auszugehen, dass durch die ungleichmäßige LEO-Datenverteilung Verfälschun- gen in der Höhenparameterschätzung auftreten. Nur in Gebieten mit Okkultationsdaten lässt sich hm zuverlässig schätzen; die Zustände der restlichen Lagebereiche bleiben unterrepräsentiert. Eine weitere Vergleichsmöglichkeit stellen die 2D-Elektronendichtekarten des IGS dar (VTEC). Auch bietet sich die Verwendung der Lösung des CODE an. Durch die Beschränkung auf horizontale Effekte, treten hier die Probleme bei der Höhenvariationsmodellierung in den Hintergrund. Wieder erfolgt der Vergleich anhand des Zeitpunktes 17Uhr. Neben dem Ergebnis des 2h Kalman-Intervalls werden die Differenzen des 12h Modell sowie Lösungen höherer Auflösung vorgestellt. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 119 Die Differenzen zum CODE-Modell sind in der Tabelle Tab. 6.3 zusammengefasst. Bei allen Lösungen treten vereinzelt Abweichungen von über 10 TECU zum CODE-Modell auf, das entspricht ca. 1.6 m (vertikalem) Streckenfehler auf L1 und führt teilweise zu relativen Unsicherheiten von über 100%. Im Mittel bleiben die Differenzen bei etwa 20 cm. Durch die Verkürzung der Zeitintervalle verbessert sich die Stimmigkeit zur CODE-Lösung damit nicht. Es stellt sich die Frage, ob die Genauigkeit des zum Vergleich herangezogenen IGS-Modells für eine Validierung des vorliegenden 3D-Modells ausreicht [vgl. Tab. 6.4]. Die Erhöhung der horizontalen Auflösung zeigt vor allem für das 2h-Intervall deutliche Verschlech- terungen. Diese sind auf Überschwingeffekte durch unzureichende Datenabdeckung zurückzuführen (Mittelwert verbessert sich) und lassen sich durch die Verwendung zusätzlicher LEO-Satelliten und IGS-Stationen beheben. Tab. 6.3: Differenzen zu CODE-VTEC, 03.02.1997, 17Uhr UT Mittelwert [TECU] Standard- abweichung [TECU] Maximum [TECU] Bereiche besser 5 TECU L=6, K=2, 16-18 Uhr 1.6 2.7 10.8 92.5 % L=6, K=2, 12-24 Uhr 1.4 2.3 11.9 95.5 % L=10, K=2, 16-18 Uhr 1.2 4.2 23.6 90.1 % L=10, K=2, 12-24 Uhr 1.5 2.7 14.7 94.2 % Um die Genauigkeit der Modellierung zu analysieren, bietet sich die Verwendung derer Ausgangs- daten selbst an. Diese sind zwar nicht unabhängig, allerdings lässt sich aus den mit ihnen auf- tretenden Differenzen die Auswirkung der Approximationsfehler direkt ableiten. Zur Verwendung kom- men die Levelling Daten [vgl. Kapitel 3.3.3.2] der 50 genutzten sowie fünf weiterer IGS Stationen. Die auftretenden Differenzen weisen keine Systematiken auf und folgen augenscheinlich der Normalver- teilung. Bis auf unbekannte Empfänger-Hardwarebias ist kein unterschiedliches Verhalten für ver- wendete und nicht verwendete Stationen zu erkennen. Die Tab. 6.4 fasst die Ergebnisse der statistischen Analyse für die 50 Bodenstationen zusammen. Anhand dieser Daten tritt die Verbesserung durch die Intervallverkleinerung deutlich zutage. Die Differenzen zwischen den Eingangsdaten und den Modelldaten sinken um ca. 50%. Besonders anschaulich wird dieser Effekt, wenn man sich die Mittelwerte der Differenzen für die 2h Intervalle ansieht und mit denen der Abb. 6.3 vergleicht. Sie sinken von etwa 10 cm auf unter einem Zentimeter und weisen nun keine Zeitabhängigkeit mehr auf. Sowohl die Elevationsabhängigkeit als auch die Abhängigkeit von der Breite des Standpunktes bleiben dagegen bestehen, schwächen sich aber deutlich ab [vgl. Abb. 6.13a)]. Tab. 6.4: Differenzen zu Levelling-Beobachtungen, Bodenstationen, 03.02.1997, 12-24Uhr UT Mittelwert [m] Standardabweichung [m] Maximum [m] 2h Intervalle 0.004 0.20 2.2 12h Intervall 0.010 0.38 3.8 CODE Modelle1 -0.214 0.4 3.4 1 Hardwarebias aus 3D-Modellen 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 120 Eine weitere Verbesserung ist durch eine zeitliche Interpolation zwischen den einzelnen Modellen denkbar. Da diese momentan nicht durchgeführt wird, kommt es zu Unstetigkeitsstellen an den zeitlichen Übergängen der 2h-Intervalle. Tab. 6.5: Differenzen zu Levelling-Beobachtungen, LEO-Satellit, 03.02.1997, 12-24Uhr UT Mittelwert [m] Standardabweichung [m] Maximum [m] 2h Intervalle -0.008 0.63 12.6 12h Intervall -0.006 0.82 17.0 Deutlich schlechter fällt ein Vergleich der LEO-Signaldaten aus. Auch hier bewegen sich die mittleren Abweichungen im Millimeterbereich, vereinzelt treten jedoch extreme Differenzen von mehr als 15 m auf. Diese Fehler verkleinern sich zwar leicht durch die Intervallverkürzung, allerdings bleiben noch immer Modellierungsungenauigkeiten von über 10 m [vgl. Tab. 6.5], die sich nur bei besonders sensitiven Signalen (geringe Elevationswinkel, direktes/horizontales Durchlaufen der Ionosphären- schicht) zeigen. Für die meisten Anwendungen lassen sich solche Fehler nicht akzeptieren. Hier ist unbedingt eine verbesserte räumliche Modellauflösung nötig, um diese Effekte zu verringern. a) 3D-Modell 16-18Uhr [vgl. Abb. 6.2b] b) CODE-Modell, 16-18Uhr Abb. 6.13: Differenzen zwischen Modell und Levelling-Beobachtungen (pro Station) Die Abweichungen auf den Bodenstationen sind dagegen durchaus vertretbar. Zumal ein Vergleich der IGS Modelle (hier CODE) mit den Levelling-Daten nicht besser ausfällt. Zwar entsprechen Rauschen und Maximalwerte in etwa denen der 3D-Modelle [vgl. Tab. 6.4], aber bei dem IGS Modell ist ein zusätzlicher Versatz zu verzeichnen, der auf einzelnen (äquatornahen) Stationen bis über 1 m beträgt. Hardwarebiasunterschiede kommen als Begründung nicht in betracht, da mit den Werten der entsprechenden Kalman-Modelle gearbeitet wird. Die Ursache hierfür liegt wahrscheinlich im zwei- dimensionalen Single-Layer-Ansatz, der die tatsächlichen Verhältnisse nur unzureichend wiedergeben kann [vgl. Kapitel 6.3.1]. Noch größere Differenzen treten beim Vergleich zwischen dem Klobuchar-Modell mit den Levelling- Daten auf. Im Zeitraum von 16-18Uhr streuen die Abweichungen mit einer Standardabweichung von 0.6 m um eine mittlere Differenz von -0.9 m (Maximum 3.1 m). Dieser Sachverhalt deutet auf einen Genauigkeitsgewinn durch die dreidimensionale Modellierung hin. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 121 Neben der eigentlichen Ionosphäreninformation enthalten die 3D Modelle auch Hardwarebiaswerte für Satelliten und GPS-Empfänger. Diese können mit Werte anderer Modelle verglichen werden. Ver- wendung finden hier wieder die DCBs des CODE. Aufgrund eines Definitionsunterschiedes weisen sie ein inverses Vorzeichen auf, sind aber ansonsten vergleichbar [vgl. Seite 110]. Wie die Abb. 6.14 zeigt, sinken die mittleren Differenzen zwischen 3D Modell und CODE-Modell durch die Verwendung geringerer Zeitintervalle deutlich ab. Allerdings weisen die DCBs ein periodisches Schwingungsverhalten auf [vgl. Abb. 6.10], so dass die Abweichungen der einzelnen 2h-Werte vom Vergleichswert des CODE bis zu 1 ns erreichen. Die DCBs aus den 3D-Modellen (Kalman) sind dem- nach weit genauer als die CODE-Werte, die lediglich mittlere Tageswerte wiedergeben. Abb. 6.14: Differenzen zu CODE DCBs, 03.02.1997, 12-24Uhr Es lässt sich somit feststellen, dass die 2h-Modelle die tatsächlichen Ionosphärenverhältnisse weit besser beschreiben können als der 12h Ansatz. Ebenfalls Berücksichtigung finden sollte aber, dass beim Kalman-Filter trotz höherer Taktrate die Grenzen für die maximale Auflösung der Modelle schneller erreicht werden, weil die Verteilung der Beobachtungsdaten schlechter ausfällt. Dieses Defizit lässt sich nur durch die Verwendung mehrer LEO-Satelliten umgehen. Bereits die vorgestellten (geringaufgelösten) Modelle sind jedoch in der Lage, die ionosphärischen Laufzeitkorrekturen für Bodenstationen genauer zu erfassen, als die gängigen 2D-Modelle von IGS und Klobuchar. 6.3 Anwendungsbeispiele In diesem Kapitel erfolgt eine Analyse über mögliche Anwendungsbereiche der entwickelten Modelle. Im geodätischen Bereich fällt dabei vor allem die Korrektur von Einfrequenz-GPS-Messungen ins Auge, daneben bieten die Modelle aber auch die Chance, das Wissen über die Erdionosphäre zu erweitern, um daraus Rückschlüsse auf Prozesse und Zusammenhänge der verschiedenen Atmo- sphärenphänomene zu ziehen. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 122 6.3.1 Einfrequenzkorrektur von GPS-Messungen auf Bodenstationen Es ist unbestritten, welch eine wichtige Rolle die Korrektur ionosphärischer Laufzeiteffekte zur Positionierung mit GPS darstellt. Besonders in Zeiten hoher Sonnenaktivität sind diese Effekte keinesfalls zu vernachlässigen. Sie stellen momentan (bei deaktiviertem SA) die Hauptfehlerquelle bei der absoluten Ortung dar. In diesem Kapitel soll überprüft werden, inwieweit die dreidimensionalen Modelle für diesen An- wendungsfall mit den bisher zur Verfügung stehenden 2D-Modelle konkurrieren können. Dabei ist zum einen auf die Verbesserung durch den neuen Ansatz, zum anderen auf die Genauigkeitsforderungen der Anwendungen zu achten. Geht man davon aus, dass zum Zeitpunkt der Anwendung genügend niedrig fliegende LEOs mit Okkultationsantennen vorhanden sind, stehen sich die Modelle in Ver- fügbarkeit und Zuverlässigkeit in nichts nach. Um den Genauigkeitsgewinn der dreidimensionalen Modellierung zu zeigen, werden zum einen auf Grundlage dieses Modells Beobachtungen für 50 reale und global verteilte IGS-Stationen simuliert (rauschfrei), zum anderen werden aus den 3D-Modelle VTEC-Werte für die Subionosphärenpunkte dieser Beobachtungen berechnet und mit Hilfe einer Mapping-Funktion (Mz=1/cos(z‘) mit einer Schichthöhe von 450 km, vgl. Formel ( 2-12 )) ebenfalls Beobachtungen simuliert, wie sie aus einem 2D-Modell entstehen würden. Die jeweilige Differenz beider Streckenverzögerungen liefert dann direkt den Vergleich zwischen tatsächlichem Effekt und durch ein zweidimensionales Modell berücksich- tigtem Effekt. Dabei wird davon ausgegangen, dass die 3D-Modellierung der Realität entspricht. Die Einführung von Hardwarebiasdifferenzen unterbleibt in beiden Ansätzen. Der Vergleich basiert auf dem berechneten 12h-Modell vom 03.02.1997 12-24Uhr. Für 50 IGS- Stationen werden mit einer Taktrate von 15 Minuten Beobachtungen simuliert (Elevationsmaske 20°). Damit erreicht die Datenmenge einen Umfang von fast 14000 Verzögerungen. a) relativ zur Gesamtverzögerung b) nach Stationsbreite Abb. 6.15: Differenzen zwischen 2D und 3D-Modell (03.02.1997, 12-24Uhr) Die Analyse zeigt, dass die Werte des 2D-Modells systematisch kleiner ausfallen als die des dreidimensionalen Ansatzes. Es ergibt sich ein mittlerer Offset zwischen den Beobachtungen dion der beiden Modelle von -0.3 m und die maximalen Differenzen erreichen 1.9 m. Die Unterschiede weisen dabei neben zufälligen Anteilen auch Abhängigkeiten von der Elevation des Signals und von der Breite und Tageszeit der Station auf. Die Abb. 6.15 stellt die Differenzen graphisch dar. Deutlich zu er- kennen ist die starke Abhängigkeit von der Gesamtverzögerung, die ca. 20% beträgt. Je mehr freie Elektronen entlang des Signalweges existieren, desto größer fällt der Genauigkeitsgewinn durch die dreidimensionale Modellierung aus. Sinnvoll ist der Einsatz demnach nur dann, wenn eine Genauigkeit der Modelle von besser als 20% garantiert werden kann. Das im Kapitel 6.2 vorgestellte Beispiel (Kalman-Filter-Ansatz, 03.02.1997) weist eine Genauigkeit von sdion = 0.2 m auf [vgl. Tab. 6.4] 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 123 und nur geringe Systematik mit der Größe der Gesamtverzögerung selbst auf. Die auftretenden Fehler bleiben also fast durchgängig unterhalb von 0.6 m. Diese Unsicherheit führt zu einem Genauigkeitsgewinn durch die Einbeziehung der dritten Dimension ab einer Verzögerung von dion ≈ 2.8 m (L1), welche bei einem TEC von ca. 17.5 TECU gegeben ist. Der Einsatz des 3D-Ansatzes lohnt sich demnach besonders zu Zeiten hoher Ionosphärenaktivität und in niedrigen Breitenbereichen. Dass es sich beim Übergang vom zweidimensionalen auf den dreidimensionalen Ansatz bereits bei den derzeitigen Auflösungsbeschränkungen um eine Verbesserung handelt, zeigt ein Vergleich mit den Levelling-Daten der verwendeten Stationen (unabhängige Stationen führen zu vergleichbaren Ergebnissen). Um die entstehenden Genauigkeiten in die bisher existierenden Modelle einordnen zu können, erfolgt dabei auch ein Vergleich mit dem CODE-Modell. Die folgende Graphik zeigt das Ergebnis der Untersuchungen. Man erkennt deutlich das Absinken der Differenzen beim Übergang vom zweidimensionalen auf den dreidimensionalen Ansatz. Die Daten des CODE-Modells sind aufgrund dessen besserer Auflösung genauer als die des hier berechneten 2D-Modells (vor allem bei hoher Ionosphärenaktivität). Das dreidimensionale Modell liefert aber auch bei der hier vorliegenden geringen räumlichen Auflösung bereits die genausten Daten für die Boden- stationen. Abb. 6.16: Vergleich verschiedener Modelle mit den Levelling Daten (16-18Uhr, identische Bias-Werte) Der systematische Charakter der Fehler des Single-Layer-Ansatzes führt dazu, dass die Positions- berechnung ebenfalls systematisch verfälscht wird. Die Strecken zwischen Satellit und Empfänger ergeben sich durchgängig zu lang, mit der Konsequenz, dass v.a. die Bestimmung der Höhe des Standpunktes zu tief ausfällt. Je nach Lage der Station und Tageszeit treten Höhenfehler von bis zu 2 m auf. Für die meisten Standalone-GPS-Anwendungen sind solche Genauigkeiten zu tolerieren. Zweidimensionale Modelle reichen demnach für diese Art der Anwendung durchaus aus. Zudem lassen sie sich weitaus schneller und mit weniger Rechenaufwand produzieren. Aber auch wenn die Erweiterung der Ionosphärenmodelle auf die dritte Dimension für die absolute GPS-Positionierung auf der Erde nur von untergeordneter Bedeutung ist, bringt sie in anderen Bereichen durchaus Vorteile mit sich: So kann der Genauigkeitsunterschied zum Beispiel bei der Mehrdeutigkeitslösung von Träger- phasenmessungen oder auch bei der Auswertung differentieller Messungen über längere Basislinien entscheidenden Einfluss ausüben. An die Genauigkeit einer Ionosphärenkorrektur durch Zweifrequenzmessung kommt man aber (auch bei Verwendung vieler Okkultationsdaten) mit den vorgestellten dreidimensionalen Modellen nicht heran. Die Auflösung der globalen Modelle bleibt stets begrenzt, auch wenn sehr viele Bodenstationen und LEO-Satelliten zur Auswertung herangezogen werden. Für die Beschreibung kleinräumiger Effekt sollte man deshalb auf lokale Modelle zurückgreifen. 6 Ergebnisse der Ionosphärenmodellierung 124 6.3.2 LEO Ionosphärenkorrektur Weitaus stärker als bei den Bodenstationsbeobachtungen macht sich der Unterschied zwischen der Verwendung eines zwei- und eines dreidimensionalen Modells bei der Korrektur von LEO- Beobachtungen bemerkbar. Signale, welche die Schicht maximaler Elektronendichte nicht schneiden, werden sogar erst durch das dreidimensionale Modell korrigierbar. Damit bietet ein 3D-Modell die Möglichkeit, schnell und einfach die Okkultationssignale der LEOs vom Ionosphäreneinfluss zu be- freien, wenn keine zweite Beobachtungsfrequenz vorliegt. 6.3.3 Kalibrierung von Einfrequenz-Altimeter-Messungen Die Werte aus den Modellen können selbstverständlich auch für Korrekturen anderer Messungen mit elektromagnetischen Wellen herangezogen werden. Hier kommen vor allem Messverfahren in Frage, die lediglich eine einzelne Frequenz zur Verfügung stellen, und somit nicht selbst in der Lage sind, ionosphärische Korrekturen bereitzustellen oder die ionosphärischen Effekte anderweitig zu eliminie- ren, beispielsweise Altimetermessungen. Da die Modelle die Elektronendichte Ne beschreiben, sind sie für jede beliebige Signalfrequenz zu verwenden. Oft reichen in diesem Anwendungsgebiet Genauigkeiten von ein bis zwei Metern in der Höhe nicht für eine zuverlässige Problemlösung aus. Hier können die dreidimensionalen Modelle demnach eine erhebliche Verbesserung bringen, auch wenn durch die nahezu lotrechten Signalwege der Einfluss der dritten Dimension kleiner bleibt als bei niedrig einfallenden Wellen. 6.3.4 Atmosphärische Grundlagenforschung Einen großen Beitrag können die dreidimensionalen Modelle für die Grundlagenforschung leisten. Zwar sind die wesentlichen Vorgänge in der ionisierten Schicht im Grundsatz verstanden und geklärt, noch immer existieren allerdings offene Frage, die sich nur mit Hilfe von neuen Messungen und Daten klären lassen. Als Beispiel sei hier die Untersuchung über Weltraumstürme angeführt. Diese können einen erheblichen Einfluss auch auf unser tägliches Leben ausüben (indem sie beispielsweise ganze Landesteile von der Stromversorgung abschneiden), eine sichere Vorhersage ist aber bis heute schwer. Bisher charakterisiert man sie hauptsächlich durch geomagnetische Indizes, wobei ihre ionosphärische Komponente vernachlässigt wird [vgl. MANNUCCI, A.J.; ET AL. (1999)]. Durch das Vorhandensein kontinuierlicher, weltweiter Aussagen über die Elektronendichte in der Atmosphäre lassen sich in Zusammenhang mit anderen Messungen eventuell zusätzliche Rückschlüsse über die Abläufe dieser Schicht ableiten und Modelle zur Vorhersage von Weltraumstürmen entwickeln. Zwei- dimensionale Modelle leisten zur Lieferung der benötigten Daten dabei nur einen geringen Beitrag, und die bestehenden Messeinrichtungen zur Bestimmung des vertikalen Elektronendichtegehalts sind nicht ausreichend dicht und gleichmäßig verteilt. 7 Zusammenfassung und Ausblick 125 7 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK In der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Algorithmus zur dreidimensionalen globalen Modellierung der freien Elektronen in der Ionosphäre vorgestellt, analysiert und bewertet. Er basiert auf Zwei- frequenz-GPS-Messungen global verteilter Bodenstationen sowie von GPS-Empfängern auf erdnahen Satelliten. Die Signale des GPS bieten beste Voraussetzungen für die Bestimmung des Elektronen- gehalts der Ionosphäre: • Globale Datenabdeckung • Kontinuierliche Datenaufzeichnung • Hohe zeitliche Auflösung • Verfügbarkeit der Daten nahezu in Echtzeit Die meisten anderen Messverfahren weisen diese Eigenschaften nicht auf und können (alleine) somit nicht mit der Verwendung des GPS zur globalen Ionosphärenmodellierung konkurrieren. Die bisher existierenden GPS-Modellansätze basieren lediglich auf Daten von GPS-Bodenstationen. Für eine vertikale Modellierung der Elektronendichte reichen Messungen auf der Erdoberfläche allerdings nicht aus, da die Signalverbindungen eine unzureichende Geometrie aufweisen. Die derzeit berechneten Modelle können deshalb lediglich die horizontalen Variationen modellieren und vernachlässigen die vertikale Variabilität des Elektronendichtegehalts, indem sie von einem soge- nannten Single-Layer ausgehen (2D-Modelle). Andere Ansätze stützen sich ausschließlich auf direkte Messungen von Vertikalprofilen (beispielsweise durch Ionosonden oder GPS-Okkultations- messungen). Diese sind in der Regel aber recht lückenhaft verteilt und erlauben nur schwer eine globale Modellierung. In der vorliegenden Arbeit wird dagegen ein globales dreidimensionales Modell entwickelt, das Daten von GPS-Bodenstationen mit denen von Empfängern auf niedrig fliegenden Satelliten (LEOs) kom- biniert und die Elektronendichteverteilung damit dreidimensional beschreibt, ohne das zusätzliche externe Informationen benötigt werden. Zur Verwendung kommt eine Kugelfunktionsentwicklung zur Modellierung der Lagevariationen der Elektronendichte. Diese lässt sich dann mit Chapman-Layer- Funktionen für die vertikale Modellierung verknüpfen, wobei die horizontale Variabilität der Chapman- parameter hm und H durch einfache Sinusschwingungen umgesetzt wird. Damit steht erstmals ein globales Modell für die Verteilung der freien Elektronen in der Erdatmosphäre zur Verfügung, das ausschließlich auf GPS-Beobachtungen basiert und – bei entsprechender räumlicher Auflösung – nahezu ohne einschränkende Modellannahmen auskommt. Die Erkenntnisse der Modellierung stehen einerseits für die Korrektur von transionosphärischen Radiosignalen auf einer Frequenz zur Verfügung und können andererseits den Atmosphärenforschern neue Grundlagen zur Lösung ungeklärter Ionosphärenphänomene bieten. Die vorliegende Arbeit gliedert sich in fünf Bereiche: Nach der Darlegung der theoretischen Grund- lagen [Kapitel 2] sowie der Analyse der verwendeten Beobachtungen [Kapitel 3] liegt der Schwerpunkt der Arbeit auf der Präsentation des entwickelten Algorithmus [Kapitel 4]. Bevor einige damit erzeugte dreidimensionale Ionosphärenmodelle basierend auf realen GPS-Messungen vorgestellt werden [Kapitel 6], erfolgt die Durchführung numerischer Simulationen zur Überprüfung des Ansatzes [Kapitel 5]. Diese zeigen die prinzipielle Eignung des vorgestellten Modellierungsverfahrens für die Bestim- mung der Elektronendichteverteilung der Erdionosphäre. Die Genauigkeit der Modellierung hängt dabei von folgenden Faktoren ab: 7 Zusammenfassung und Ausblick 126 • Genauigkeit der eingehenden Beobachtungen (Beobachtungstyp, Rauschen) • Menge der eingehenden Beobachtungen (Taktrate) • Geometrische Verteilung der eingehenden Beobachtungssignale (Anzahl und Verteilung der Empfänger, Bahnparameter der LEOs) • Angesetzte Auflösung der Modelle (räumlich und zeitlich) Die benötigte Rechenzeit ergibt sich dabei hauptsächlich aus der Anzahl der notwendigen Iterations- schritte, welche wiederum abhängig ist von den Punkten: • absoluter globaler Elektronendichtegehalt • Verteilung der freien Elektronen • Startwerte für die Höhenfunktionskoeffizienten Bei optimaler Modellauflösung und ohne das Vorhandensein zeitlicher Variationen der Ionosphären- parameter können bei Verwendung von ausreichend vielen und gut verteilten Beobachtungen Genauigkeiten in den modellierten Verzögerungen dion erreicht werden, die bis auf Zentimeterniveau den Beobachtungsunsicherheiten der eingesetzten Daten entsprechen. Das bedeutet für die Chapman-Parameter Genauigkeiten von ca. einem halben Kilometer, maximal 0.2 TECU Fehler im VTEC (entsprechend bis zu 2% für einen Großteil der Sphäre) und Unsicherheiten kleiner als 0.05 ns für die Hardwarebias. Dazu ist die (Mit-)Verwendung der Trägerphasen-Beobachtungen notwendig (Levelling) sowie die Verarbeitung von GPS-Messungen von mindestens 50 global verteilten Boden- stationen und zwei LEO-Satelliten aus einem Zeitraum von zwölf Stunden. Durch die Verkleinerung dieses Intervalls auf zwei Stunden und den Übergang auf einen Kalman- Filter-Ansatz kann die Aktualität der Modelle deutlich verbessert werden. Zusätzlich lassen sich zeitliche Änderungen der Parameter (im sonnenfixierten Koordinatensystem) besser berücksichtigen, und es besteht die Möglichkeit, die Modellkoeffizienten für einen späteren Zeitpunkt zu prädizieren und die Modelle auch in Echtzeit zu nutzen. Mangelnde Modellauflösung und zeitliche Variationen der Parameter wirken sich direkt auf die Genauigkeit der Modellierung aus. Je nach Grad der Vernachlässigung erreichen die Fehler in dion dann schnell Dezimeterniveau oder sogar Meterniveau (zuzüglich der Beobachtungsunsicherheiten der eingesetzten Daten). Gerade wenn mit wenig und/oder schlecht verteilten Daten gearbeitet werden muss, kann allerdings eine herabgesetzte Auflösung nicht umgangen werden, um weiterhin zuverlässige Modelle zu erhalten. Dann steigt die Unsicherheit der Koeffizienten durch die nun mangelhafte räumliche Auflösung ganz erheblich und es treten zusätzlich systematische Fehler auf, deren Größe von den vernachlässigten Variationen abhängt. Unterbleibt jedoch die notwendige Ab- stimmung zwischen Beobachtungsanzahl und Entwicklungsgrad der Modellierung, ergeben sich trotz minimaler geschätzter Standardabweichungen erhebliche Parameterfehler. Um solchen Effekten vorzubeugen, sollte stets mit mindestens zwei LEO-Satelliten und ausreichend vielen global verteilten Bodenstationen gearbeitet werden. Der globale Modellansatz erlaubt lediglich die Modellierung langperiodischer Effekte, kurzperiodische Phänomene, wie beispielsweise Szintillationen oder kleinräumige Störungen der Ionosphäre (Travelling Ionospheric Disturbances, TIDs) bleiben unberücksichtigt. Auch der Einfluss solcher Effekte auf die Beobachtungssignale und damit auf die Modellierungsgenauigkeit wird nicht unter- sucht. Mit realen Daten [vgl. Kapitel 6] können die Simulationsergebnisse leider nicht vollständig bestätigt werden, weil lediglich ein einziger nutzbarer LEO-Satellit zur Verfügung steht, mit dem allein die vertikale Modellierung nicht zuverlässig zu gewährleisten ist. Als Konsequenz muss die räumliche Auflösung der Modelle drastisch herabgesetzt werden, was sich deutlich auf die Genauigkeit der Modellierung auswirkt. Zur Zeit ist diese für die Bodenstationen dadurch auf sdion ≈ 0.2 m begrenzt. In Einzelfällen kann es aber durchaus zu Fehlern im Meterbereich kommen. Die Chapman-Parameter 7 Zusammenfassung und Ausblick 127 lassen sich momentan nur als globales Mittel über die gesamte Sphäre berechnen und sind damit noch wenig repräsentativ für die atmosphärische Grundlagenforschung. Für die Geodäsie und die Einfrequenzkorrektur von GPS-Messungen bringt der Übergang von der zweidimensionalen auf die dreidimensionale Modellierung in der momentanen Situation nur Vorteile bei hoher Ionosphärenaktivität und in Äquatornähe. Nur dann überwiegt der Genauigkeitsgewinn die Modellfehler. Erst in naher Zukunft ist damit zu rechnen, dass durch den Start neuer LEOs mit Okkultationsempfängern ein deutlicher Informationsgewinn durch den neuen Ansatz erreicht werden kann. Wenn dies gegeben ist, sind auch Modellerweiterungen denkbar. Vor allem die vertikale Modellierung hält hier noch viele Möglichkeiten offen. Folgende Ergänzungen bieten sich an: • Steigerung der Auflösung der horizontalen Variationsmöglichkeiten der Chapmanparameter • Überlagerung mehrer Chapman-Schichten • Einbeziehung des plasmasphärischen Elektronengehalts • Verwendung zusätzlicher Navigationssignale (wie GLONASS oder Galileo) • Deterministische Modellierung der zeitlichen Variabilität der Modellkoeffizienten im Kalman-Filter- Ansatz Ebenfalls denkbar ist eine Kombination der GPS-Beobachtungen mit unabhängigen Quellen, wie beispielsweise Zweifrequenz-Altimetermessungen (TOPEX/POSEIDON), Daten von Ionosonden oder Incoherent scatter (z.B. EISCAT). Für die nächsten Jahre ist der Aufbau eines Systems mit dem Namen COSMIC (Constellations Observing System for Meteorology, Ionosphere and Climate) geplant [ROCKEN, CH. ET AL. (2000)]. Es soll aus sechs LEO-Satelliten bestehen, zu deren Ausstattung auch GPS-Okkultationsempfänger gehören. Wenn dieses System (voraussichtlich) Ende 2005 ausgebaut und operationsfähig sein wird, können die oben aufgeführten Aufgaben in Angriff genommen werden. Spätestens dann sind wir in der Lage, unser Wissen über die Verteilung der freien Elektronen in der Erdatmosphäre weiter auszu- bauen. Literaturverzeichnis 128 LITERATURVERZEICHNIS ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I.A. [EDS.] (1965): Handbook of Mathematical Functions with Formulars, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York, 1965 BASSIRI, S.; HAJJ, G.A. (1993): Higher-order ionospheric effects on the global positioning system observables and means of modeling them, manuscripta geodaetica, 18, 280-289, 1993 BAUER, M. (1994): Vermessung und Ortung mit Satelliten, 3. Auflage, Wichmann, Heidelberg, 1994 BENT (1972): Bent Ionospheric Model 1972, http://nssdc.gsfc.nasa.gov/space/model/ionos/bent.html (24.04.2002) BRUNINI, C. 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(1994)] ..................................................................16 ABB. 2.2: TYPISCHE ELEKTRONENDICHTEPROFILE FÜR MITTLERE BREITEN [NACH HÅKEGÅRD, O.P. (1995)].......17 ABB. 2.3: SONNENAKTIVITÄTSZYKLUS [DATENGRUNDLAGE: NGDC] ..................................................................18 ABB. 2.4: HAUPTREGIONEN DER IONOSPHÄRE [AUS WANNINGER, L. (1994)] .......................................................19 ABB. 2.5: CHAPMAN-PRODUKTIONS-LAYER (H0 = 350 KM, H = 90 KM)................................................................23 ABB. 2.6: CHAPMAN-LAYER (HM=350KM, H=90KM, χ=0°) ...................................................................................24 ABB. 2.7:ELEKTRONENDICHTEPROFIL DER IRI [AUS DAVIES, K. (1990)] ..............................................................24 ABB. 2.8: ZENITREFRAKTION IM KLOBUCHARMODELL ..........................................................................................25 ABB. 2.9: SINGLE-LAYER-MODELL........................................................................................................................26 ABB. 3.1: BEOBACHTUNGSGEOMETRIE (IGS UND LEO) ........................................................................................30 ABB. 3.2: VERWENDETE IGS-STATIONEN...............................................................................................................31 ABB. 3.3: VERTEILUNG DER IGS-BEOBACHTUNGEN (03.02.1997, T=12H, ∆T=5MIN) ...........................................32 ABB. 3.4: VERTEILUNG DER IGS-BEOBACHTUNGEN FÜR UNTERSCHIEDLICHE ZEITINTERVALLE ...........................33 ABB. 3.5: BODENSPUR DES GPS/MET-SATELLITEN ÜBER 24 STUNDEN ................................................................34 ABB. 3.6: DATENVERTEILUNG ÜBER 24H IM SONNENFIXIERTEN SYSTEM (∆T=1MIN, SCHNITTHÖHE=350KM).......34 ABB. 3.7: BEOBACHTUNGSDATEN FÜR AUSGEWÄHLTE SATELLITENDURCHGÄNGE DER STATION ALBH ..............37 ABB. 3.8: BEOBACHTUNGSRAUSCHEN AUF DER STATION ALBH...........................................................................38 ABB. 3.9: MEHRWEGEEFFEKTE AUF DER STATION CHAT (03.02.1997, AS OFF) ..................................................39 ABB. 3.10: IONOSPHÄRENINFORMATION TYPISCHER OKKULTATIONSSIGNALE ......................................................40 ABB. 3.11: CODE-RAUSCHEN DES GPS/MET EMPFÄNGERS ..................................................................................41 ABB. 3.12: STANDARDABWEICHUNG DER GPS/MET DATEN.................................................................................41 ABB. 3.13: IONOSPHÄRISCHE BEOBACHTUNGSTYPEN BEISPIELHAFTER SIGNALWEGE............................................44 ABB. 4.1: SONNENFIXIERTES SYSTEM ....................................................................................................................46 ABB. 4.2: IRI95, STUTTGART, 01.01.1997.............................................................................................................51 ABB. 4.3: IRI95, λMAG=0°, 18UHR UT, 01.01.1997 ................................................................................................51 ABB. 4.4: INTEGRATIONSGRENZEN.........................................................................................................................54 ABB. 5.1: ELEVATIONS- UND AZIMUTMASKE LEO ................................................................................................65 ABB. 5.2: MAXIMALER EINFLUSS AUF DIE SIMULIERTEN BEOBACHTUNGEN P2-P1 .................................................67 ABB. 5.3: ELEVATIONSABHÄNGIGKEIT DER BEOBACHTUNGSÄNDERUNGEN (∆H=10KM) ......................................68 ABB. 5.4: BEOBACHTUNGSÄNDERUNGEN IN ABHÄNGIGKEIT VOM ABSOLUTEN SIGNAL (∆H=10KM) ....................68 ABB. 5.5: RELATIVE BEOBACHTUNGSÄNDERUNGEN IN ABHÄNGIGKEIT VON DER ELEVATION...............................69 ABB. 5.6: AUSWIRKUNG DER ÄNDERUNG DES KOEFFIZIENTEN A000 .......................................................................69 ABB. 5.7: GENAUIGKEITSVERGLEICH VERSCHIEDENER MODELLANSÄTZE (T=12H)...............................................71 ABB. 5.8: MODELLGENAUIGKEITEN IN ABHÄNGIGKEIT VOM VERWENDETEN ZEITINTERVALL...............................72 ABB. 5.9: KONVERGENZVERHALTEN DER CHAPMAN-PARAMETER ........................................................................73 ABB. 5.10: FEHLER DER HÖHENPARAMETERITERATION .........................................................................................74 ABB. 5.11: AUSWIRKUNG UNTERSCHIEDLICHER STARTPARAMETER ......................................................................75 ABB. 5.12: GENAUIGKEITSPARAMETER BEI UNTERSCHIEDLICHEM HÖHENFUNKTIONSENTWICKLUNGSGRAD ........77 ABB. 5.13: MITTELWERT DER FEHLER IN DEN HÖHENFUNKTIONSPARAMETERN (BETRÄGE) IN ABHÄNGIGKEIT VON K ......................................................................................................................78 ABB. 5.14: GEOMETRIEABHÄNGIGKEIT DER HÖHENFUNKTIONSPARAMETER .........................................................79 ABB. 5.15: GEOMETRIEABHÄNGIGKEIT DES KONVERGENZVERHALTENS (HÖHENKOEFFIZIENTEN)........................80 ABB. 5.16: AUSWIRKUNG DER ABSOLUTEN ELEKTRONENDICHTE AUF DAS KONVERGENZVERHALTEN..................81 Abbildungsverzeichnis 133 ABB. 5.17: AUSWIRKUNG DER ABSOLUTEN ELEKTRONENDICHTE AUF DIE HÖHENFUNKTIONSKOEFFIZIENTEN ......81 ABB. 5.18: AUSWIRKUNG DER SKALENHÖHE H AUF DAS KONVERGENZVERHALTEN.............................................83 ABB. 5.19: STANDARDABWEICHUNG DER GEWICHTSEINHEIT ................................................................................84 ABB. 5.20: FEHLER IN DEN SIMULIERTEN SIGNALEN IN ABHÄNGIGKEIT VON DER BEOBACHTUNGSUNSICHERHEIT85 ABB. 5.21: GENAUIGKEIT DER KUGELFUNKTIONSKOEFFIZIENTEN .........................................................................86 ABB. 5.22: GENAUIGKEIT DER HÖHENFUNKTIONSPARAMETER ..............................................................................87 ABB. 5.23: GENAUIGKEIT DER HARDWAREBIAS.....................................................................................................88 ABB. 5.24: SATELLITENBAHNBESCHREIBUNG DURCH KEPLERPARAMETER............................................................89 ABB. 5.25: SATELLITENKOORDINATEN IM SONNENFIXIERTEN SYSTEM (12H) ........................................................91 ABB. 5.26: STANDARDABWEICHUNGEN DER HÖHENKOEFFIZIENTEN .....................................................................92 ABB. 5.27: GENAUIGKEIT DER HÖHENFUNKTIONSPARAMETER (MITTELWERTE) ...................................................93 ABB. 5.28: KOMPONENTEN DER WESENTLICHEN EIGENVEKTOREN UNTERSCHIEDLICHER LÖSUNGEN ...................94 ABB. 5.29: KORRELATIONEN ZWISCHEN DEN ZEILEN DER KONFIGURATIONSMATRIX (BEOBACHTUNGSKORRELATIONEN) ......................................................................................................95 ABB. 5.30: ABHÄNGIGKEIT DER GENAUIGKEITSINDIKATOREN VON DER LEO-BEOBACHTUNGSANZAHL ..............96 ABB. 5.31: ABHÄNGIGKEIT DER INNEREN GENAUIGKEITEN (MITTELWERTE) VON DER BEOBACHTUNGSANZAHL .97 ABB. 5.32: AUFTRETEN SYSTEMATISCHEN FEHLER IN DEN KUGELFUNKTIONSKOEFFIZIENTEN..............................97 ABB. 5.33: AUSWIRKUNG GEÄNDERTEN DATENTAKTRATEN AUF DIE GENAUIGKEIT DER MODELLIERUNG (2 LEOS) ...............................................................................................................................................98 ABB. 5.34: AUSWIRKUNG UNTERSCHIEDLICHER BEOBACHTUNGSUNSICHERHEITEN ............................................100 ABB. 5.35: AUSWIRKUNG UNTERSCHIEDLICHER DATENMENGEN AUF DIE KOEFFIZIENTENSCHÄTZUNG ..............101 ABB. 5.36: HÖHENPARAMETERFEHLER IN ABHÄNGIGKEIT VON DER ZEITLICHEN SKALENHÖHENÄNDERUNG......102 ABB. 5.37: AUSWIRKUNG MANGELNDER MODELLAUFLÖSUNG AUF DIE BERECHNETEN IONOSPHÄRENVERZÖGERUNGEN..........................................................................................................103 ABB. 6.1: UNTERSCHIEDE IN DEN CHAPMANPARAMETERN (K=2)........................................................................105 ABB. 6.2: DIFFERENZEN ZWISCHEN MODELL UND LEVELLING-BEOBACHTUNGEN P2-P1 (PRO STATION) .............108 ABB. 6.3: ZEITABHÄNGIGKEIT (UTC) DER DIFFERENZEN ....................................................................................109 ABB. 6.4: VTEC-KARTEN UNTERSCHIEDLICHER MODELLE (03.02.97/17UHR) ...................................................110 ABB. 6.5: SATELLITEN-HARDWAREBIAS (DCB) ..................................................................................................111 ABB. 6.6: UNTERSCHIEDE IN DCBS (L6K2- CODE)............................................................................................111 ABB. 6.7: CHAPMAN-PARAMETER AM 03.02.1997 (L6K2) ..................................................................................112 ABB. 6.8: ZEITLICHE VARIATION DER GESCHÄTZTEN (REDUZIERTEN) HARDWAREBIASDIFFERENZEN.................113 ABB. 6.9: ZEITLICHES VERHALTEN DER CHAPMANPARAMETER ...........................................................................115 ABB. 6.10: ZEITLICHES VERHALTEN AUSGEWÄHLTER SATELLITENHARDWAREBIAS (REDUZIERT).......................116 ABB. 6.11: ZEITLICHER VERLAUF DES WELTWEITEN MITTLEREN VTEC (DOY 34 ... DOY 37/97) .....................116 ABB. 6.12: UNTERSCHIED DER CHAPMAN-PARAMETER ZUM 12H-MODELL .........................................................117 ABB. 6.13: DIFFERENZEN ZWISCHEN MODELL UND LEVELLING-BEOBACHTUNGEN (PRO STATION) ....................120 ABB. 6.14: DIFFERENZEN ZU CODE DCBS, 03.02.1997, 12-24UHR ...................................................................121 ABB. 6.15: DIFFERENZEN ZWISCHEN 2D UND 3D-MODELL (03.02.1997, 12-24UHR)..........................................122 ABB. 6.16: VERGLEICH VERSCHIEDENER MODELLE MIT DEN LEVELLING DATEN (16-18UHR, IDENTISCHE BIAS-WERTE)...............................................................................................123 Tabellenverzeichnis 134 TABELLENVERZEICHNIS TAB. 2.1: CHARAKTERISTIKA DER IONOSPHÄRISCHEN SCHICHTEN, NACH SEEBER, G. (1989)...............................17 TAB. 3.1: ZENITWINKELVARIATIONEN Z(H) [°] ......................................................................................................31 TAB. 3.2: VERGLEICH VERSCHIEDENER GPS-EPHEMERIDENPRODUKTE.................................................................36 TAB. 3.3: BEOBACHTUNGSANZAHL NACH VORPROZESSIERUNG (BEISPIELHAFT) ...................................................44 TAB. 4.1: SUMMATIONSGLIEDER DER HÖHENFUNKTION ........................................................................................52 TAB. 5.1: STUFEN DER HÖHENFUNKTIONSENTWICKLUNG......................................................................................76 TAB. 5.2: BAHN-PARAMETER AUSGEWÄHLTER SATELLITENORBITS ......................................................................90 TAB. 6.1: MODELLPARAMETER DES KALMAN-FILTER-ANSATZES L6K2 .............................................................114 TAB. 6.2: HÖHE DER MAXIMALEN ELEKTRONENDICHTE, 03.02.1997, 17UHR UT ...............................................118 TAB. 6.3: DIFFERENZEN ZU CODE-VTEC, 03.02.1997, 17UHR UT....................................................................119 TAB. 6.4: DIFFERENZEN ZU LEVELLING-BEOBACHTUNGEN, BODENSTATIONEN, 03.02.1997, 12-24UHR UT......119 TAB. 6.5: DIFFERENZEN ZU LEVELLING-BEOBACHTUNGEN, LEO-SATELLIT, 03.02.1997, 12-24UHR UT...........120 Anhang 135 ANHANG A.1 Formeln Legendre-Polynome (nach HEISKANEN, W.A.; MORITZ, H. (1993), S.24, Formel (1-62)) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = −−− ⋅ −−⋅−⋅ − ⋅−⋅−⋅= r k kmnkmn nm tkmnknk kn ttP 0 222 !2!! !22112 mit: ( ) 2/mntIntegerwergrößterr −≤= Vollständig normalisierte Legendre-Polynome (nach TORGE, W. (1989), S.31, Formel (2.31a)): ( ) ( ) ( )( ) ( )tPmn mnnk tP nmnm ⋅ + −⋅+⋅ = ! !12 mit:    ≠ = = 02 01 mfür mfür k Lagrange-Interpolation (SP3-Ephemeriden) (nach HOFMANN-WELLENHOF, B.; LICHTENEGGER, H.; COLLINS, J. (1994), S.74): gegeben konkrete Zeitpunkte ti zugehörige Funktionswerte f(ti) gesuchter Zeitpunkt t daraus berechenbar: n Basisfunktionen lj(t) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )njjjjjjj njj j tttttttttt tttttttttt tl −−−−− −−−−− = +− +−   1110 1110 und Funktionswert zum gesuchten Zeitpunkt ( ) ( ) ( ) = ⋅= n j jj tltftf 0 Anhang 136 Schnittpunkt zwischen Gerade und Kugelschale zu lösendes Gleichungssystem: ( )RSR xxpxx −⋅+= ( )RSR yypyy −⋅+= ( )RSR zzpzz −⋅+= 2222 Rzyx =++ Lösung: Quadratische Gleichung mit 2 theoretischen Lösungen 1 31 2 22 2,1 2 4 c cccc p −±− = mit: ( ) ( ) ( )2221 RSRSRS zzyyxxc −+−+−= ( ) ( ) ( )( )RRSRRSRRS zzzyyyxxxc ⋅−+⋅−+⋅−⋅= 22 2222 3 Rzyxc RRR −++= Ergebnisinterpretation: 1010 21 <<∧<< pp => zwei Schnittpunkte definiertnichtpppp 2221 1010 ∨>∨<∧<< => genau ein Schnittpunkt definiertnichtppp 2,12,12,1 10 ∨>∨< => kein Schnittpunkt Kugelschalenradien zwischen 60 und 1000km: - Bodenstationsdaten weisen stets genau einen Schnittpunkt auf - GPS/MET-Verbindungen haben immer mindestens einen Schnittpunkt (geometriebedingt) Rauschsimulationen (nach PRESS, W.H. ET AL.(1992), S.289, Formel (7.2.10)) Rechner erzeugt gleichverteilte Zufallsgröße, Übergang auf Normalverteilung mit Hilfe der folgenden Formel: ( ) ( ) ( )21 2cosln2, rndrndN ⋅⋅⋅−⋅+= piσµσµ wobei µ: Mittelwert der Normalverteilung σ: Standardabweichung der Normalverteilung rndi: zwei unterschiedliche gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 0 und 1 Gewichtung (optional) durch Faktor 901 ssp ele −+= mit: 7.17/63.304.1 eleele es − ⋅+= (Bodenstationen) 0.10/2.00.1 eleele es − ⋅+= (LEO-Signale) Anhang 137 Hilfssatz zur Matrizen-Inversion ( ) ( ) CADCABABABDCA 1111 ⋅+⋅−=+ −−−− Herleitung mit Hilfe von FRITSCH, D. (1995), Kapitel 2.2: ( ) 11 BDCA −− + ( )[ ] ABDCAAA 1−−+−= 1 Satz (iv) [ ] ABDCAAA 1111 −−−−+−= Assoziativgesetz und Satz (v) (2x) [ ] ABDCCABBCAA 111111 −−−−−− +−= Definition der Inversen ( )[ ] ABDCABCAA 111 1−−−− +−= Distributivgesetz (2x) ( ) ACDCABBAA 1  +−= − − 1 Assoziativgesetz und Satz (v) (2x) ( ) CADCABABA 1 1−−+−= Assoziativgesetz Hauptkomponentenanalyse (nachWELSCH, W.; HEUNECKE, O.; KUHLMANN, H. (2000), S.220, Formel (5.2-2)) Spektralzerlegung der Kofaktormatrix der Unbekannten: [ ]      ⋅     ⋅=⋅⋅= T u T T u u T XX s s s sssSDSQ   2 1 2 1 21 0 0 λ λ λ mit S: Modalmatrix (enthält u unabhängige und orthonormierte Eigenvektoren si) D: Spektralmatrix (Diagonalmatrix, enthält Eigenwerte λi) Anhang 138 A.2 Verwendete IGS-Koordinaten (ITRF97), kartesisch (Quelle: ITRF (1997)) STAT x [m] y [m] z [m] Ort -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ALBH -2341332.882584 -3539049.512687 4745791.360286 G Victoria, Kanada ANKR 4121948.593938 2652187.951697 4069023.660136 G Ankara, Türkei AREQ 1942826.735170 -5804070.254178 -1796893.989374 G Arequipa, Peru ASC1 6118526.095793 -1572344.694803 -876451.186522 G Ascension Island, Atlantik AUCK -5105681.004609 461564.055673 -3782181.775608 G Whangaparoa Peninsula, Neuseeland BAHR 3633909.058321 4425275.475583 2799861.254263 G Manama, Bahrain BRMU 2304703.591874 -4874817.178373 3395186.880431 G Bermuda , Großbritannien BRUS 4027893.864656 307045.694972 4919475.025459 Brüssel, Belgien CAS1 -901776.154973 2409383.432414 -5816748.449470 G Casey, Antarktis CHUR -236438.702188 -3307616.789688 5430049.163015 Churchill, Kanada CRO1 2607771.171910 -5488076.789014 1932767.671730 G Christiansted, US Virgin Islands DAV1 486854.556290 2285099.315133 -5914955.712002 G Davis, Antarktis DGAR 1916269.765637 6029977.334810 -801720.183547 G Diego Garcia Island, Indisch. Ozean EISL -1884951.756220 -5357595.876335 -2892890.526301 G Osterinseln, Chile FAIR -2281621.432289 -1453595.791847 5756961.910519 G Fairbanks, USA FORT 4985386.640355 -3954998.584074 -428426.502173 G Foraleza, Brasilien GUAM -5071312.801847 3568363.501771 1488904.301199 G Dededo, Guam, Pazifik HART 5084625.460288 2670366.608910 -2768493.948458 G Pretoria, Südafrika HERS 4033470.232678 23672.756481 4924301.218562 Hailsham, Großbritannien IISC 1337936.821522 6070317.124388 1427876.502225 Bangalore, Indien IRKT -968332.184985 3794425.419253 5018167.745731 G Irkutsk, Russland KELY 1575559.288870 -1941827.929208 5848076.492169 G Kangerlussuaq, Grönland KERG 1406337.344604 3918161.110150 -4816167.376020 Kerguelen Islands, Indischer Ozean KIRU 2251420.932786 862817.140630 5885476.604775 Kiruna, Schweden KOKB -5543838.116183 -2054587.254609 2387809.689489 G Kokee Park, Waimea, Hawai KOUR 3839591.433235 -5059567.551356 579956.916436 G Kourou, Französisch Guyana KWJ1 -6160881.013746 1339882.966298 960810.442677 G Kwajalein Atoll,Marshall I.,Pazifik LHAS -106937.664383 5549269.603395 3139215.749092 Lhasa, China MAC1 -3464038.498852 1334172.772396 -5169224.347888 G Macquarie Insel, südl. Ozean MALI 4865366.500709 4110737.457622 -331121.728233 G Malindi, Kenya MAS1 5439192.265136 -1522055.628852 2953454.705898 Maspalomas, Kanaren, Spanien MATE 4641949.720080 1393045.278698 4133287.331069 G Matera, Italien MCM1 -1311703.246595 310815.113727 -6213255.155177 G Ross Island, Antarktis MDO1 -1329998.672880 -5328393.387439 3236504.185285 G Fort Davis, USA MDVO 2844672.279828 2161070.091780 5266363.802596 G Mendeleevo, Moskau, Russland NLIB -130934.475622 -4762291.736183 4226854.655015 G North Liberty, USA NYAL 1202430.649889 252626.651792 6237767.512561 G Ny Alesund, Norwegen OHIG 1525872.486930 -2432481.299534 -5676146.107871 G O’higgins, Antarktis PAMA -5245195.338333 -3080472.192206 -1912825.405207 Pamatai, Tahiti PERT -2368686.963311 4881316.527856 -3341796.181515 G Perth, Australien REYK 2587384.500112 -1043033.500210 5716563.968923 G Reykjavik, Island RCM5 961334.758662 -5674074.173934 2740535.138904 Richmond, USA SANT 1769693.345597 -5044574.146309 -3468321.071417 G Santiago, Chile STJO 2612631.239276 -3426807.025430 4686757.792238 G St. John’s, Kanada TAIW -3024781.984224 4928936.829400 2681234.444755 Taipei, Taiwan THU1 538981.429551 -1388714.791709 6181005.135150 G Thule, Grönland TIDB -4460996.127969 2682557.086670 -3674443.717676 G Canberra, Australien TSKB -3957199.239795 3310199.676231 3737711.695109 G Tsukuba, Japan XIAN -1735212.505471 4976840.130139 3580538.365047 Lintong, China YELL -1224452.495856 -2689216.105736 5633638.268847 G Yellowknife, Kanada G: Global Station Anhang 139 A.3 Programmablaufschema Ionosphärenmodellierung “iono.exe“ le o . da t IG S- D at en (R IN EX ) LE O - D at en (R IN EX ) G PS - Ep he m er id en LE O - Ep he m er id en pa ra m et er . lst le v el . ba t io n o . ex e te c. ex e * . le v pa ra m et er . da t ko ef f.d at io n o . lst VT EC (φ, λ) N e (φ, λ, h) IG S- K o o rd . (st at . x yz ) V O R PR O ZE SS IE R U N G M O D EL LI ER U N G A BL EI TU N G D ER G ES U C H TE N G R ÖS SE N . . . pr o fil (φ, λ) M o de llp a ra m et er R o hd a te n K o o rd in a te n (E m pf än ge r u n d G PS - Sa te lli te n ) A u sg a be - Li st in g Er ge bn is se a bg el ei te te Be o ba ch tu n ge n Anhang 140 Simulation “sim.exe“ le o . da t G PS - Ep he m er id en LE O - Ep he m er id en sim _ pa r. lst sim u . ex e IG S- K o o rd . (st at . x yz ) SI M U LA TI O N V O N BE O BA C H TU N G EN ge ge be n en fa lls Ei n fü hr u n g in M o de lli er u n gs pr o gr a m m io n o . ex e Si m u la tio n s- pa ra m et er K o o rd in a te n (E m pf än ge r u n d G PS - Sa te lli te n ) * . sim ko ef f.d at pa ra m et er . da t st at _ bi as . da t sa t_ bi as . da t Io n o sp hä re n m o de ll H a rd w a re bi a s (op tio n a l) Anhang 141 Ionosphärenmodellierung Kalman-Filter “kalman.exe“ PRÄDIKTION AUFDATIERUNG AUSGANGSDATEN TESTs Vorgängermodell 1XˆXˆ1 , ˆ − − kk X Systemrauschen aa, a Beobachtungen k k LL, L aktuelles Modell k k XˆXˆ , ˆ X Prädiziertes Modell k k XX, X H0 HA k = k - Designmatrix A Transitionsmatrix T Störmatrix S Schriftenreihe Institut für Photogrammetrie der Universität Stuttgart, Stuttgart University, Geschwister-Scholl-Str. 24/D, D-70174 Stuttgart Fax: ++49 711 121 3297; Internet: http://www.ifp.uni-stuttgart.de ___________________________________________________________________________ Nr. 1 (1976) Vorträge des Lehrgangs Numerische Photogrammetrie (III), Esslingen 1975 - vergriffen Nr. 2 (1976) Vorträge der 35. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1975 Nr. 3 (1976) Contributions of the XIIIth ISP-Congress of the Photogrammetric Institute, Helsinki 1976 - vergriffen Nr. 4 (1977) Vorträge der 36. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1977 Nr. 5 (1979) E. Seeger: Das Orthophotoverfahren in der Architekturphoto- grammetrie, Dissertation Nr. 6 (1980) Vorträge der 37. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1979 Nr. 7 (1981) Vorträge des Lehrgangs Numerische Photogrammetrie (IV): Grobe Datenfehler und die Zuverlässigkeit der photogrammetrischen Punktbestimmung, Stuttgart 1980 - vergriffen Nr. 8 (1982) Vorträge der 38. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1981 Nr. 9 (1984) Vorträge der 39. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1983 Nr. 10 (1984) Contributions to the XVth ISPRS-Congress of the Photogramme- tric Institute, Rio de Janeiro 1984 Nr. 11 (1986) Vorträge der 40. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1985 Nr. 12 (1987) Vorträge der 41. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1987 Nr. 13 (1989) Vorträge der 42. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1989 Nr. 14 (1989) Festschrift - Friedrich Ackermann zum 60. Geburtstag, Stuttgart 1989 Nr. 15 (1991) Vorträge der 43. Photogrammetrischen Woche Stuttgart 1991 Nr. 16 (1992) Vorträge zum Workshop "Geoinformationssysteme in der Ausbil- dung", Stuttgart 1992 Technical Reports Department of Geodetic Science, Stuttgart University, Geschwister-Scholl- Str. 24/D, D-70174 Stuttgart Fax: ++49 711 121 3285; Internet: http://www.uni-stuttgart.de/gi/research ___________________________________________________________________________ Nr. 1 (1987) K. Eren: Geodetic Network Adjustment Using GPS Triple Diffe- rence Observations and a Priori Stochastic Information Nr. 2 (1987) F.W.O. Aduol: Detection of Outliers in Geodetic Networks Using Principal Component Analysis and Bias Parameter Estimation Nr. 3 (1987) M. Lindlohr: SIMALS; SIMulation, Analysis and Synthesis of Ge- neral Vector Fields Nr. 4 (1988) W. Pachelski, D. Lapucha, K. Budde: GPS-Network Analysis: The Influence of Stochastic Prior Information of Orbital Elements on Ground Station Position Measures Nr. 5 (1988) W. Lindlohr: PUMA; Processing of Undifferenced GPS Carrier Beat Phase Measurements and Adjustment Computations Nr. 6 (1988) R.A. Snay, A.R. Drew: Supplementing Geodetic Data with Prior Information for Crustal Deformation in the Imperial Valley, Cali- fornia 1988 Nr. 7 (1989) H.-W. Mikolaiski, P. Braun: Dokumentation der Programme zur Behandlung beliebig langer ganzer Zahlen und Brüche Nr. 8 (1989) H.-W. Mikolaiski: Wigner 3j Symbole, berechnet mittels Ganz- zahlarithmetik Nr. 9 (1989) H.-W. Mikolaiski: Dokumentation der Programme zur Multikpli- kation nach Kugelfunktionen entwickelter Felder Nr. 10 (1989) H.-W. Mikolaiski, P. Braun: Dokumentation der Programme zur Differentiation und zur Lösung des Dirichlet-Problems nach Ku- gelfunktionen entwickelter Felder Nr. 11 (1990) L. Kubácková, L. Kubácek: Elimination Transformation of an Ob- servation Vector preserving Information on the First and Second Order Parameters Nr. 12 (1990) L. Kubácková: Locally best Estimators of the Second Order Para- meters in Fundamental Replicated Structures with Nuisance Para- meters Nr. 13 (1991) G. Joos, K. Jörg: Inversion of Two Bivariate Power Series Using Symbolic Formula Manipulation Nr. 14 (1991) B. Heck, K. Seitz: Nonlinear Effects in the Scalar Free Geodetic Boundary Value Problem Nr. 15 (1991) B. Schaffrin: Generating Robustified Kalman Filters for the Inte- gration of GPS and INS Nr. 16 (1992) Z. Martinec: The Role of the Irregularities of the Earth's Topogra- phy on the Tidally Induced Elastic Stress Distribution within the Earth Nr. 17 (1992) B. 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Sorcik: The Gravitational Field of Topographic-Isostatic Masses and the Hypothesis of Mass Condensation - Part I & II Nr. 1995.2 (1995) Minutes of the ISPRS Joint Workshop on Integrated Acquisi- tion and Interpretation of Photogrammetric Data Nr. 1996.1 (1996) Festschrift für Klaus Linkwitz anläßlich der Abschiedsvorle- sung im Wintersemester 1995/96; herausgegeben von Eberhard Baumann, Ulrich Hangleiter und Wolfgang Möhlenbrink Nr. 1996.2 (1996) J. Shan: Edge Detection Algorithms in Photogrammetry and Computer Vision Nr. 1997.1 (1997) Erste Geodätische Woche Stuttgart, 7.-12. Oktober 1996; her- ausgegeben von A. Gilbert und E.W. Grafarend Nr. 1997.2 (1997) U. Kälberer: Untersuchungen zur flugzeuggetragenen Radaral- timetrie Nr. 1998.1 (1998) L. Kubácek, L. Kubácková: Regression Models with a weak Nonlinearity Nr. 1999.1 (1999) GIS-Forschung im Studiengang Geodäsie und Geoinformatik der Universität Stuttgart; herausgegeben von M. Sester und F. Krumm Nr. 1999.2 (1999) Z. Martinec: Continuum Mechanics for Geophysicists and Ge- odesists. Part I: Basic Theory Nr. 1999.3 (1999) J. H. Dambeck: Diagnose und Therapie geodätischer Träg- heitsnavigationssysteme. Modellierung – Systemtheorie – Si- mulation – Realdatenverarbeitung Nr. 1999.4 (1999) G. Fotopoulos, C. Kotsakis, M. G. Sideris: Evaluation of Geoid Models and Their Use in Combined GPS/Levelling/Geoid Height Network Adjustment Nr. 1999.5 (1999) Ch. Kotsakis, M. G. Sideris: The Long Road from Determinis- tic Collocation to Multiresolution Approximation Nr. 1999.6 (1999) Quo vadis geodesia...? Festschrift for Erik W. Grafarend on the occasion of his 60th birthday; herausgegeben von F. Krumm und V.S. Schwarze - vergriffen, out of stock - Nr. 2000.1 (2000) J. Banks, K. Kubik, Y. H. Lu: Investigation into Digital Image Matching Nr. 2000.2 (2000) P. Xu, E. Cannon, G. Lachapelle: Mixed Integer Observation Models, GPS Decorrelation and Integer Programming Nr. 2000.3 (2000) B. Voosoghi: Intrinsic Deformation Analysis of the Earth Sur- face Based on 3-Dimensional Displacement Fields Derived from Space Geodetic Measurements Nr. 2001.1 (2001) F. Butsch: Untersuchungen zur elektromagnetischen Inter- ferenz bei GPS Nr. 2001.2 (2001) A. M. Abolghasem: Numerical Modeling of Post-Seismic Dis- placement Fields Nr. 2002.1 (2002) J. L. Awange: Gröbner Bases, Multipolynomial Resultants and the Gauss-Jacobi Combinatorial Algorithms - Adjustment of Nonlinear GPS/LPS Observations Nr. 2002.2 (2002) Y. Kuroishi: On the Application of Downward Continuation of Surface Gravity onto the Reference Ellipsoid, to the Geoid De- termination in Mountainous Areas Nr. 2002.3 (2002) H. Schade: Neigungsbestimmung mit GPS für die Photogram- metrie Nr. 2003.1 (2003) D. Dettmering: Die Nutzung des GPS zur dreidimensionalen Ionosphärenmodellierung