Zuverlässige Zuladungsschätzung bei PKW während der Fahrt
Von der Fakultät Konstruktions-, Produktions- und Fahrzeugtechnik der
Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde einer Doktor-Ingenieurin
(Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung
Vorgelegt von
Olena Ivanova
aus Tscherkassy, Ukraine
Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. Arnold Kistner
Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Dieter Schramm
Tag der mündlichen Prüfung: 12.12.2016
Institut für nichtlineare Mechanik der Universität Stuttgart
2017
2
INHALTSVERZEICHNIS
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Fahrzeugstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Statische Stabilitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Analyse der Radlastverteilung . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Analyse des Wankwinkels und der Wankgeschwindigkeit 20
1.1.4 Energiebasierte Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Stand der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1 Patent US 20140012468Al, [1] . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2 Dissertation von Jecek Zaranek,[2] . . . . . . . . . . . 28
1.2.3 Dissertation von Brad Schofield, [3] . . . . . . . . . . . 30
2. Fahrzeugmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Forschungsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Angenommenes Fahrzeugmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Modellannahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3 Bewegungsfreiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Wankdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Vertikaldynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5 Längsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3. Schätzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 Forschungsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Fahrwerkmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Schätzung der kinematischen Größen . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Sensormodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Inhaltsverzeichnis
3.6 Gesamtes Schätzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4. Genauigkeit des Schätzmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1 Forschungsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Anforderungen an die Schätzgenauigkeit . . . . . . . . . . . . 99
4.3 Anforderungen an die Anregungsmenge . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Gültigkeit des Wankmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.1 Hypothese über die zulässigen Annahmen . . . . . . . 111
4.4.2 Nachweis der Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4.3 Behandlung der unzulässigen Annahmen . . . . . . . . 121
4.5 Komplexität des Wankmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6 Relevante Faktoren für die Schätzmodellgenauigkeit . . . . . . 132
4.6.1 Einfluss des Einbauortes . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.2 Filtereinstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.3 Sensitivitätsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.7 Schätzmodellgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.8 Validieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5. Schätzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1 Forschungsziele und Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Least Squares (LS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2.1 Problemtypen und Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.2 Rekursives Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.3 RLS mit Fehlermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6. Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Anhang 160
A. Berechnung der Referenzwerte für den Aufbau . . . . . . . . . . . . 161
B. Konditionszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.1 Konditionszahl für ein lineares System . . . . . . . . . . . . . 165
B.2 Konditionszahl für ein lineares System mit Ausgangsstörungen 165
B.3 Einschränkung des Schätzfehlers der Parameterkomponenten . 166
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4
SYMBOLVERZEICHNIS
Fahrzeugparameter
sv vordere Spurbreite des Fahrzeugs
sh hintere Spurbreite des Fahrzeugs
hSP−fb Fahrzeugschwerpunktshöhe bezüglich der Fahrbahn
hG−fb Aufbauschwerpunktshöhe bezüglich der Fahrbahn
hSP−P Abstand vom Schwerpunkt des Fahrzeugs bis zum kinematischen
Drehpol
h? Abstand vom Schwerpunkt des Aufbaus bis zum Schnittpunkt W ,
siehe die Seite 42
hWP Abstand vom Schnittpunkt des Aufbaus W bis zum virtuellen
Wankpol P , siehe die Seite 77
mSP Masse des gesamten Fahrzeugs
mG Masse des Aufbaus (Karosserie + Zuladung)
mug Masse des ungefederten Teilsystems des Fahrzeugs (Fahrwerk +
Räder)
∆xvG Verzug des Schwerpunktes des Aufbaus G bezüglich des
Referenzpunktes R (siehe die Seite 63) entlang der
Symmetrieachse des Fahrzeugs
∆yvG Verzug des Schwerpunktes des Aufbaus G bezüglich der
Symmetrieachse des Fahrzeugs
∆hvG Verzug des Schwerpunktes des Aufbaus G bezüglich des
Referenzpunktes R (siehe die Seite 63) entlang der Vertikalachse
des Fahrzeugs
Inhaltsverzeichnis
SSF Static stability factor, Seite 13
SSF ? erweiterter Static stability factor, Seite 14
Jv,iSP Trägheitsmoment des gesamten Fahrzeugs bezüglich des
Schwerpunktes SP in der körperfesten Basis
Jv,iG Trägheitsmoment des Fahrzeugaufbaus bezüglich des
Aufbauschwerpunktes G in der körperfesten Basis
avySP,vE absolute Querbeschleunigung im Schwerpunkt des gesamten
Fahrzeugs SP in der fahrzeugfesten Basis v
avyG,vE absolute Querbeschleunigung im Schwerpunkt des Aufbaus G in
der fahrzeugfesten Basis v
g Gravitationsbeschleunigung
φ absoluter Wankwinkel des körperfesten Koordinatensystems
bezüglich Inertialkoordinatensystem
φs Wankwinkel des körperfesten Koordinatensystems bezüglich
vorderer/hinterer Fahrwerkachse. Die Wankwinkel der vorderen
und hinteren Fahrwerkachsen können sich unterscheiden, aber in
der Referenzliteratur [2] werden sie als gleich angenommen
pvG,vE Impuls des Aufbaus bezüglich des inertialen Koordinatensystems
in der körperfesten Basis
pvug,vE Impuls des ungefederten Teilsystems des Fahrzeugs bezüglich des
inertialen Koordinatensystems in der körperfesten Basis
Mwx geschätztes äquivalentes Wankmoment im Schnittpunk W
rRad dynamischer Radradius
ESP electronic stability program
IMU inertial measurement unit
rms root mean square
6
DANK
Ich danke der Firma Daimler AG dafür, dass sie mir die vorliegende Arbeit
ermöglicht hat, und ebenso danke ich für die zur Verfügung gestellten Ma-
terialien die für die Anfertigung der Dissertation verwendet wurden. Diese
sind entsprechend zitiert.
Den Herren Prof. Dr.-Ing. Dieter Ammon, Dr.-Ing. Jochen Rauh und Prof.
Dr.-Ing. Jens Kalkkuhl danke ich für das anwendungsorientierte Feedback
und für vielseitige berufliche Erfahrung.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Arnold Kistner danke ich für die sehr zielgerichtete und
diplomatische Betreuung meiner Arbeit. Seine Anregungen und Hinweise wa-
ren viel Wert für mich.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Dieter Schramm (Universität Duisburg-Essen) danke
ich für seine Mitwirkung als Mitberichter des Promotionsverfahrens.
Der Stiftung DER ROTARIER und dem Rotary Club Backnang-Marbach
danke ich für ein Stipendium und das dadurch ermöglichte Studium der
Technischen Kybernetik an der Universität Stuttgart mit dem Abschluss als
Diplomingenieur.
Herrn Professor Dr.-Ing. Helmut Sorg und seiner Frau Elisabeth danke ich
für die persönliche Betreuung während meiner Zeit in Stuttgart. Der dabei
entstandene familiäre Kontakt bedeutet viel für mich.
Und natürlich danke ich meiner ganzen Familie für die Liebe und Unterstüt-
zung während der Promotion und auch der Zeit davor.
Inhaltsverzeichnis
8
EINLEITUNG
Das Umkippen eines Fahrzeugs ist eine Art der Fahrzeugunfälle, bei de-
nen das Fahrzeug auf eine Seite oder sein Dach umkippt. Der Anteil der
Kippunfälle an der gesamten Unfallmenge liegt im Bereich 1-4 % je nach
Land (nach den Angaben der OECD Organisation für wirtschaftliche Zu-
sammenarbeit und Entwicklung). Allerdings führen viele dieser Unfälle zu
Todesfällen der Insassen. Die Einführung von elektronischen Stabilitätssy-
stemen (ESP) hat die Zahl der Kippunfälle reduziert. Die Verbesserung ent-
steht durch die permanente Beobachtung der Fahrzeugbewegung. Bei hohem
Kipprisiko kommen unterschiedliche aktive Sicherheitskonzepte zum Einsatz
(z. B. Abbremsen, Gegenlenken, einseitiges Abbremsen, ...).
Heutzutage sind die Stabilitätssysteme konservativ angelegt. Dadurch garan-
tiert man eine hohe Sicherheit der Insassen aber gleichzeitig können unnöti-
ge ESP-Eingriffe ausgelöst werden, die zum Verlust der Agilität führen. Ziel
der Forschungen in diesem Bereich ist die Fahrzeuge zu agilisieren, ohne die
Fahrzeugstabilität zu gefährden. Eine der Möglichkeiten ist die Fahrzeug-
zuladung bei der Kippstabilität zu berücksichtigen. Die Fahrzeugzuladung
kann anhand eines Dachlastsensors [4] oder durch die Parameterschätzung
aus der Fahrdynamik berechnet werden.
Wegen der Existenz von mehreren Dachträgerkonfigurationen und wegen der
entsprechenden Kompatibilitätsprobleme können die Dachlastsensoren nicht
für die Erkennung der Zuladungszustände mit dem Agilisierungspotential
verwendet werden. Unter anderem ist ein solcher Sensor nicht hinreichend,
weil nicht jedes Fahrzeug ohne Dachlast ein Agilisierungspotenzial hat.
Somit bleibt die Zuladungsschätzung aus der Fahrdynamik eines der größten
Forschungsgebiete. Dabei soll die Zuladungsschätzung eine hohe Genauig-
keit, Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit haben. Wie man dies mit den ver-
fügbaren Sensoren und den Modellierungsverfahren erreichen kann, wird in
dieser Arbeit untersucht.
Zu den Forschungszielen dieser Arbeit gehört eine Definition des Stabili-
tätsgütemaßes, die gut für die Stabilitätsabschätzung anhand der oben de-
finierten Kriterien geeignet ist. Die für das Gütemaß benötigten Parameter
werden aus der Fahrdynamik geschätzt. Dafür muss ein Schätzmodell herge-
Inhaltsverzeichnis
leitet werden. Das Schätzmodell wird auf der Basis der Wank- und Vertikal-
dynamik des Aufbaus des Fahrzeugs hergeleitet. Dabei werden die existie-
renden Schätzmodelle bezüglich der Zulässigkeit der Annahmen geprüft. An-
hand der festgestellten unzulässigen Annahmen werden diese Schätzmodelle
weiterentwickelt. Die Weiterentwicklung bezieht sich auf das Zulassen einer
unsymmetrischen Zuladung, von Fahrbahnunebenheiten, Reifeneinfederung,
eines nichtlinearen Fahrwerkverhaltens und auf die Integration der Sensor-
modelle ins Schätzmodell. Alle diese Faktoren tragen viel zur Wankdynamik
und zur Schätzgenauigkeit bei. Anhand von Anwendungsbeispielen wurden
die Genauigkeitsanforderungen an das Schätzmodell formuliert. Es wurde
geprüft, wie das hergeleitete Schätzmodell diese Anforderungen erfüllt. An-
hand dessen wurde der Gültigkeitsbereich des Schätzmodells formuliert. Die
Genauigkeit des Schätzmodells wurde beim Beobachterentwurf berücksich-
tigt.
Das hergeleitete Schätzmodell, das Genauigkeitsmodell und der Beobach-
ter wurden auf der Basis des Simulationsmodells und der Versuchsfahrten
validiert. Dabei wurden alle Anforderungen an die Schätzmodellgenauigkeit
und den Beobachterentwurf für das Simulationsmodell erfüllt. Die Schätz-
fehler für das Versuchsfahrzeug sind größer als für das Simulationsmodell.
Diese Fehler wurden in der Arbeit begründet und Lösungswege wurden vor-
geschlagen, um diese Fehler zu reduzieren.
Bei den Untersuchungen wurden folgende Methoden verwendet: harmonische
Balance, mechanisches Schnittprinzip, Lagrange-Formalismus, Newtonische
Mechanik, numerische Kondition, beschränkte Optimierung und die Metho-
de der kleinsten Quadrate.
Die erzielten Ergebnisse erhöhen die Fahrsicherheit durch die Erweiterung
des Stabilitätsgütemaßes und ermöglichen Fahrzeugsagilisieren durch das
hergeleitete Schätzmodell und das Abschätzen des Einflusses von einzelnen
Annahmen bei der Schätzmodellherleitung. Sie bieten außerdem eine metho-
dische Herangehensweise bei der Bestimmung des Gültigkeitsbereiches des
Schätzmodells und einen Beobachterentwurf mit dem integrierten Fehlermo-
dell.
Alle oben beschriebenen Ergebnisse und die dazugehörige systematische Her-
angehensweise wurden selbständig durch den Autor dieser Arbeit erreicht.
Die in dieser Arbeit erzielten Ergebnisse sind beim deutschen Patentamt
angemeldet [5], [6].
10
1. VORAUSSETZUNGEN ZUR FAHRZEUGMODELLAUSWAHL
1.1 Fahrzeugstabilität
Zur Fahrzeugstabilität tragen folgende Faktoren bei:
• Art des Manövers
• Schwerpunktlage des Fahrzeugs
• Fahrwerkkonstruktion
• Reifeneigenschaften
• Umweltstörungen wie Seitenwind oder die Spurrillen der Fahrbahn.
Ein Stabilitätsmaß, das alle diese Effekte berücksichtigt, braucht Informa-
tionen aus dem Umfeld und detaillierte Informationen aus den Teilsystemen.
Dies kann mit den aktuellen Seriensensoren nicht erreicht werden. Man kann
aber die Fahrzeugstabilität in vereinfachter Form bestimmen. Im Weiteren
werden die gängigen Verfahren dazu diskutiert.
1.1.1 Statische Stabilitätsanalyse
Die statische Stabilitätsanalyse ist ein etabliertes Verfahren [7], um die Kipp-
sicherheit anhand der Schwerpunkthöhe des Fahrzeugs abzuschätzen. Da-
bei wird angenommen, dass Fahrwerkkonstruktion, Reifeneigenschaften und
Umweltstörungen keinen Einfluss auf die Kippsicherheit haben. Unter ande-
rem werden auch ein symmetrisch beladenes Fahrzeug und eine ebene Fahr-
bahn ohne Querneigung vorausgesetzt.
Bei der statischen Stabilitätsanalyse wird geprüft, ob die Kräfte im Fahrzeug-
schwerpunkt SP das Umkippen verursachen können. Zu den betrachteten
Kräften gehören
• die reaktiven Kräfte mSP ddtvvSP,vE ,
• und die Schwerkraft mSP g,
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
dabei ist
vvSP,vE die Geschwindigkeit im Schwerpunkt des Fahrzeugs be-
züglich der Erde im fahrzeugfesten Koordinatensystem,
siehe Seite 45,
mSP die Masse des gesamten Fahrzeugs.
Ein solches statisches Kippmodell ist in der Abbildung 1.1 skizziert.
Das Umkippen wird angenommen, falls das gesamte Moment aller Kräfte im
hSP−fb
SP
mSP
d
dtv
v
SP,vE
mSP g
sv
2
R?
L?
Abb. 1.1: Kippstbilität für die statische Kippanalyse, überarbeitete Abbildung nach
[8]
Schwerpunkt bezüglich des Fahrbahn - Radkontaktpunktes mSP ddtv
v
SP,vE ×
rvSP−R? entlang der Längsachse des Fahrzeugs negativ für den linken Rad-
kontaktpunkt und positiv für den rechten Radkontaktpunkt ist.
Px(mSP
d
dt
vvSP,vE × rvSP−R? +mSP g × rvSP−R?) ≥ 0,
Px(mSP
d
dt
vvSP,vE × rvSP−L? +mSP g × rvSP−L?) ≤ 0,
(1.1)
dabei ist
Px(...) die Projektion des Vektors auf die Längsachse des Fahrzeugs.
Die absolute Beschleunigung im Schwerpunkt
avSP,vE =
d
dt
vvSP,vE + g
v
entsteht aus der Ableitung der Geschwindigkeit des Fahrzeugs bezüglich des
inertialen Koordinatensystem (siehe die Definition auf Seite 45) und der
12
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
Gravitationsbeschleunigung gv in der fahrzeugfesten Basis.
Für das angenommene Fahrzeugmodell gilt:
avzSP,vE = Pz
(
d
dt
vvSP,vE + g
v)
= g
avySP,vE = Py
(
d
dt
vvSP,vE
)
+ gv
= v˙vySP,vE + ω
vz
vEv
vx
SP,vE − ωvxvEvvzSP,vE ,
(1.2)
da die Fahrbahnquerneigung vernachlässigt wird und das Fahrzeug als Starr-
körper modelliert ist. Aus (1.1) und (1.2) lasst sich die Kippsicherheit nach
[7] abzuleiten:
mSPa
vy
SP,vEhSP−fb ≤ mSP g
sv
2
,
dabei ist
hSP−fb der Abstand vom Schwerpunkt bis zur Fahrbahnoberfläche;
sv die vordere Spurbreite;
Nach der Umformung sieht die Kippsicherheitsbedingung folgendermaßen
aus
avySP,vE ≤
gsv
2hSP−fb
. (1.3)
Die Querbeschleunigung avySP,vE kann aus dem Querbeschleunigungssensor
des ESP-Systems (Electronic Stability Program) ermittelt werden.
Der unbekannte Fahrzeugparameter ist die Schwerpunkthöhe hSP−fb, die
sich bei jeder Zuladung ändert. Um die Kippsicherheit nach statischer Kipp-
analyse zu garantieren, soll hSP−fb entweder geschätzt oder konservativ hoch
angenommen werden. Der Term
SSF =
sv
2hSP−fb
wird als Static stability factor bezeichnet. Je höher SSF ist, desto sicherer
wird das Fahrzeug.
Die Stabilitätsbedingung (1.3) gilt aber nur im quasistatischen Bereich und
nimmt das Fahrzeug als Starrkörper an. Der Vorteil einer solchen Analyse
ist die Möglichkeit, die Stabilität für die geplante Fahrtrajektorie im Voraus
zu schätzen, ohne dass das Fahrzeug den kippkritischen Zustand annimmt.
In dieser Arbeit wird zusätzlich untersucht, ob eine unsymmetrische Bela-
dung einen relevanten Einfluss auf die Fahrzeugstabilität hat. Anhand dieser
13
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
hSP−fb
SP
mSPa
vy
SP,vE
mSP g
sv
2
∆y
Abb. 1.2: Statische Stabilitätsanalyse für das unsymmetrisch beladene Fahrzeug,
überarbeitete Abbildung nach [8]
Untersuchungen ist ein erweiterter Static-Stability-Factor (SSF ?) entstan-
den, der bei der Fahrzeugstabilität
avySP,vE ≤ g SSF ?
die unsymmetrische Zuladung (∆y, siehe die Abbildung 1.2) berücksichtigt:
SSF ? =
0.5sv − |∆y|
hSP−fb
, (1.4)
wobei ∆y der Querversatz des Schwerpunktes des Fahrzeugs bezüglich der
Längsachse ist, siehe die Abbildung 1.2.
Zur Abschätzung der Kippsicherheit während der Fahrt anhand des erwei-
terten Static-Stability-Factor (SSF ?) wurde die Patentanmeldung [5] einge-
reicht.
1.1.2 Analyse der Radlastverteilung
Bei der Analyse der Radlastverteilung wird die Kippsicherheit anhand der
Normalkraftverteilung zwischen den einzelnen Rädern beurteilt. Dabei wird
ein symmetrisch beladenes Fahrzeug als Starrkörper modelliert, siehe die
Abbildung 1.3.
Die auf dieses Fahrzeugmodell einwirkenden Kräfte sind in der Abbildung
rot markiert:
14
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
hSP−fb
SP
F vyLvr
mSP g
sv
2
F vyLvl
F vzLvlF
vz
Lvr
Zv
Y v
Zvl
Y vl
Ovl
Y E
ZE
OE
Abb. 1.3: Analyse der Radlastverteilung, überarbeitete Abbildung nach [8]
• Vertikal- und Querkräfte in den Radaufstandsflächen
F vzLvr, F
vy
Lvr, F
vz
Lvl, F
vy
Lvl
• Schwerkraft im Schwerpunkt des Fahrzeugs mSP g
Die Längskräfte in den Reifenaufstandsflächen sind vernachlässigt.
Da das Fahrzeug hier als frei geschnittener Starrkörper modelliert und die
vertikale Bewegung des Fahrzeugs vernachlässigt wurde, wird die Arbeit der
einwirkenden Kräften komplett in die kinetische Energie umgewandelt. Für
die Kippsicherheit wird ein Teil der kinetischen Energie relevant, der die Ro-
tation des Fahrzeugs bezüglich des Radkontaktpunktes Ovl beschreibt. Dies
wird als betrachtete kinetische Energie ∆EK,v−L? im weiteren bezeichnet.
Um die betrachtete kinetische Energie herzuleiten werden weitere Koordina-
tensysteme eingeführt:
• das fahrzeugfeste Koordinatensystem {Xv, Y v, Zv, SP}, siehe die Seite
45
• das radfeste Koordinatensystem {Xvl, Y vl, Zvl, Ovl} mit dem Bezugs-
punkt im Radkontaktpunkt des vorderen linken bzw. rechten Rades
und mit der Z-Achse senkrecht zur Fahrbahnoberfläche,
• und das inertiale Koordinatensystem {XE , Y E , ZE , OE}, siehe die Sei-
te 45.
15
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
Dabei bleibt der Abstand zwischen den Bezugspunkten von fahrzeugfestem
und radfestem Koordinatensystemen
rvSP−L? =
rvxSP−L?s
2
h

immer konstant und die relevante Drehgeschwindigkeit des Fahrzeugs für die
betrachtete kinetische Energie ist
ωvv−L? =
ωvxv−L?0
0
 .
Sobald die Räder auf der linken oder rechten Seite des Fahrzeugs den Kontakt
mit der Fahrbahnoberfläche verlieren, werden die auf das Fahrzeug einwir-
kenden Kräfte sich ändern, siehe die Abbildung 1.4.
In diesem Fall wird die Kippsicherheit angenommen, wenn die betrachtete
hSP−fb
F vyLvr
mSP g
sv
2
SP
Zv
Y v
F vzLvr
Zvl
Y vl
Ovl
Y E
ZE
OE
φ
Abb. 1.4: Analyse der Radlastverteilung, falls die Räder den Kontakt mit der Fahr-
bahnoberfläche verlieren, überarbeitete Abbildung nach [8]
kinetische Energie ∆EK,v−L? kleiner als die Arbeit der Schwerkraft für einen
positiven Wankwinkel für die definierten Koordinatensysteme oder größer
16
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
als die Arbeit der Schwerkraft für einen negativen Wankwinkel ist:
∆EK,v−L? ≤
∫ tn
t0
mSP g
sv
2
ωvxv−L?dt, ∀ωvxv−L? > 0,
∆EK,v−L? ≥
∫ tn
t0
mSP g
sv
2
ωvxv−L?dt, ∀ωvxv−L? < 0.
(1.5)
Eine solche Betrachtung würde ein temporäres Abheben der Räder und ein
späteres Stabilisieren des Fahrzeugs während des Zeitintervalls von t0 bis tn
erlauben. Allerdings kann die Kippsicherheitsbedingung (1.5) während der
Fahrt nicht angewendet werden, da die Prognose über die Zeit nicht zuver-
lässig gemacht werden kann. Deswegen wird im weiteren die Änderung der
betrachteten Energie δEK,v−L? für ein beliebig kleines Zeitintervall δt analy-
siert. Anhand dessen wird das Integral aus den Kippsicherheitsbedingungen
(1.5) entfallen:
δEK,v−L? ≤ mSP g sv
2
ωvxv−L? , ∀ωvxv−L? > 0,
δEK,v−L? ≥ mSP g sv
2
ωvxv−L? , ∀ωvxv−L? < 0.
(1.6)
Die Kippsicherheit (1.6) bezieht sich auf den linken Radkontaktpunkt L?.
Falls die Kippsicherheit bezüglich des rechten Radkontaktpunktes R? analy-
siert wird, gilt dementsprechend
δEK,v−R? = −δEK,v−L?
ωvxv−R? = ω
vx
v−L? , (1.7)
wobei die Herleitung von (1.7) auf der Seite 66 angegeben ist. Die Kippsi-
cherheit für den rechten Radkontaktpunkt nimmt folgende Form an:
δEK,v−L? ≥ −mSP g sv
2
ωvxv−R? , ∀ωvxv−R? > 0,
δEK,v−L? ≤ −mSP g sv
2
ωvxv−R? , ∀ωvxv−R? < 0.
(1.8)
Somit kann man die Kippsicherheit für den rechten und linken Radkontakt-
punk (1.6) und (1.8) als ∣∣∣∣ δEK,v−L?mSP g sv2 ωvxv−L?
∣∣∣∣ ≤ 1
17
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
zusammenfassen.
Die betrachtete kinetische Energie kann als Arbeit der reaktiven Kräfte
d
dtp
v
SP,vE und Momente
d
dtL
v
SP,vE berechnet werden:
δEK,v−L? =
d
dt
pvSP,vE
d
dt
rvSP−L? +
d
dt
LvSP,vE
d
dt
φ,
dabei ist
pvSP,vE Impuls des Fahrzeugs im Schwerpunkt bezüglich eines iner-
tialen Koordinatensystems in der fahrzeugfesten Basis,
LvSP,vE Drehimpuls des Fahrzeugs im Schwerpunkt bezüglich eines
inertialen Koordinatensystems in der fahrzeugfesten Basis
und
d
dtr
v
SP−L? ,
d
dtφ sind die virtuellen Verschiebungen für das beliebig kleine Zei-
tintervall δt.
Die virtuellen Verschiebungen können folgendermaßen berechnet werden:
d
dt
rvSP−L? = r˙
v
SP−L? + ω
v
v−L? × rvSP−L?
=
 0ωvxv−L?hSP−fb
ωvxv−L?
sv
2

d
dt
φ = φ˙+ ωvv−L? × φ
= ωvxv−L?
Anhand der Newtonschen Kräfte- und Momentenbilanz können die reaktiven
Kräfte und Momente als die Summe der einwirkenden Kräfte und Momente
bezüglich des Schwerpunktes berechnet werden:
d
dt
pvSP,vE =
∑
FSP (1.9)
d
dt
LvSP,vE =
∑
MSP , (1.10)
18
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
wobei die Summe der einwirkenden Kräfte und Momente folgendermaßen
berechnet werden kann:
∑
FSP =
 0F vyLvr + F vyLvl + F vyLhr + F vyLhl
F vzLvr + F
vz
Lvl + F
vz
Lhr + F
vz
Lhl −mSP g
 (1.11)
=
 0F vyLvr + F vyLvl + F vyLhr + F vyLhl
0

∑
MSP =
(F vzLvr + F vzLhr − F vzLvl − F vzLhl) sv2 + F vySPhSP−fb0
0
 . (1.12)
Anhand dessen werden bei der Berechnung der kinetischen Energie
−F vySPωvxv−L?hSP−fb + (F vzLvr + F vzLhr − F vzLvl − F vzLhl)ωvxv−L?
sv
2
+F vySPω
vx
v−L?hSP−fb = δEK,v−L?
die Querkräfte F vySP keinen direkten Einfluss auf δEK,v−L? haben, damit er-
gibt sich
(F vzLvr + F
vz
Lhr − F vzLvl − F vzLhl)
sv
2
ωvxv−L? = δEK,v−L? .
Dann sieht die Kippsicherheit (1.5) für die betrachtete kinetische Energie
folgendermaßen aus:∣∣∣∣(F vzLvr + F vzLhr − F vzLvl − F vzLhl) sv2 ωvxv−L?mSP g sv2 ωvxv−L?
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ δEK,v−L?mSP g sv2 ωvxv−L?
∣∣∣∣ < 1
Das Maß für die Radlastverteilung wird als 'load transfer ratio' (LTR) for-
muliert:
LTR =
F vzLvr + F
vz
Lhr − F vzLvl − F vzLhl
F vzLvr + F
vz
Lhr + F
vz
Lvl + F
vz
Lhl
.
Für die Berechnung der Radlastverteilung werden nur die vertikalen Kräfte
in der Reifenaufstandsfläche ausgewertet. Allerdings gibt es heutzutage noch
keine Seriensensoren, die die Vertikalkräfte in der Reifenaufstandsfläche mes-
sen könnten. Die möglichen Ansätze für die Vermessung der Vertikalkräfte
in der Reifenaufstandsfläche sind:
• modellbasierte Radlastberechnung für die bekannte Schwerpunktlage
und Querbeschleunigung [9]
19
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
• Modellieren der Vertikalkräfte in der Reifenaufstandsfläche durch Reifen-
modelle und Fahrwerkkräfte
• Radmessfelgeneinsatz, der nur für Versuchsfahrzeuge anwendbar ist,
[10]
• 'intelligente' Reifen mit Verformungssensoren im Gummiprofil, [11].
Allerdings ist das noch kein marktreifes Produkt.
1.1.3 Analyse des Wankwinkels und der Wankgeschwindigkeit
Bei dieser Analyse werden diejenigen Bewegungszustände geprüft, die einen
direkten Einfluss auf die Kippdynamik haben: der absolute Wankwinkel φ
und seine Ableitung φ˙.
Dabei wird die Wankbewegung des Fahrzeugs als Starrkörper betrachtet.
Dieses Verfahren berücksichtigt im Gegensatz zur statischen Stabilitätsana-
lyse die statische Fahrbahnquerneigung und die Wankbewegung des Fahr-
zeugs bezüglich der Fahrbahn. Anhand dessen können die Annahmen bezüg-
lich der absoluten Beschleunigung folgendermaßen erweitert werden:
avySP,vE = v˙
vy
SP,vE + ω
vz
vEv
vx
SP,vE − ωvxvEvvzSP,vE + gsinφ (1.13)
avzSP,vE = gcosφ. (1.14)
Die Sicherheitsbedingungen der statischen Stabilitätsanalyse (1.1) werden
für dieses Verfahren auf den Einfluss eines Fahrbahnquerneigung erweitert:
mSP (v˙
vy
SP,vE + ω
vz
vEv
vx
SP,vE − ωvxvEvvzSP,vE + gsinφ)hSP−fb
dφ
dt
δt
−mSP gcosφsv
2
dφ
dt
δt ≥ 0.
Für kleinen Wankwinkel kann sinφ = φ angenommen werden. Diese Kipp-
bedingungen kann man dann in der vereinfachten Form
|φ| > φmax
φ˙sign(φ) > 0,
(1.15)
darstellen, wobei
φ der absolute Wankwinkel des Fahrzeugaufbaus bezüglich des
inertialen Koordinatensystems und
φmax der fahrzeugabhängige Grenzwankwinkel ist.
20
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
Die Prüfung der Sicherheitsbedingung (1.15) während der Fahrt braucht kein
Fahrzeugmodell, jedoch basiert die Berechnung des Wankwinkels und seiner
Ableitung auf weiteren Modellannahmen, da die Größen φ, φ˙ nicht direkt mit
den Seriensensoren gemessen werden können.
Der existierende MEMS-Winkelsensor [12] kann den Wankwinkel nur für
quasi statische Manöver messen, nicht bei der Normalfahrt. Dennoch existie-
ren mehrere Wege für die Berechnung des absoluten Wankwinkels, die auf
Modellvereinfachungen oder auf komplexeren Messsystemen basieren. Ein
Beispiel für Modellvereinfachungen ist die Berechnung des Wankwinkels aus
dem g-Anteil in der Querbeschleunigung für die bekannte Quergeschwindig-
keit. Man kann auch den Wankwinkel aus der Wankrate und Gierrate durch
die Navigationsalgorithmen und die Integration berechnen. Allerdings bildet
sich mit zunehmender Zeit ein Integrationsfehler. Eine andere Möglichkeit
den Wankwinkel φ zu berechnen ist eine inertiale Messplattform, die bis dato
aber wegen hoher Kosten nicht als Serienlösung verwendet werden kann. Die
Berechnung des Wankwinkels aus Kamera-Daten kann auch nicht ohne wei-
teres angewendet werden, da die Kamera nur die Wankwinkeldifferenz zur
Umgebung sieht.
Die Wankwinkelableitung φ˙ kann nach [13] aus den Winkelgeschwindigkeiten
folgendermaßen berechnet werden:
φ˙ = (ωvyvEsinφ+ ω
vz
vEcosφ)tanθ + ω
vx
vE ,
wobei
ωvvE =
ω
vx
vE
ωvyvE
ωvzvE
 die absolute Winkelgeschwindigkeit im aufbau-
festen Koordinatensystem bezüglich des inertialen
Koordinatensystems ist und
θ der absolute Nickwinkel des Fahrzeugaufbaus bezüg-
lich des inertialen Koordinatensystems ist.
Dabei können die Winkelgeschwindigkeiten ωvxvE und ω
vz
vE mit dem Wank-
ratesensor im Airbagsteuergerät und mit dem Gierratesensor im ESP ge-
messen werden. Der Nickratesensor gehört nicht zur Serienausstattung, weil
die Nickgeschwindigkeit ωvyvE bei solchen Anwendungen immer vernachlässigt
wird. In [7] wird dieses Verfahren für die Stabilitätsanalyse gegenüber der
Analyse des Radlasttransfers bevorzugt, da das Abheben von beiden Rädern
eine viel zu kritische Bedingung ist.
21
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
1.1.4 Energiebasierte Analyse
Bei diesem Ansatz so wie bei der Analyse der Radlastverteilung wird geprüft,
ob die Arbeit der einwirkenden Kräfte
∑
FSP und Momente
∑
MSP zum
Umkippen des Fahrzeugs führen kann:∑
FSP
d
dt
rvSP−L?δt+
∑
MSP
d
dt
φδt ≥ Ecritical.
Allerdings wird in diesem Fall das Fahrzeug nicht nur als starrer Körper
sondern mit zusätzlichen Energiespeicherelementen modelliert. In diesem
Fall übernimmt die Rolle der Energiespeicherelemente das Feder-Dämpfer-
System im Fahrwerk.
Anhand des angenommenen Fahrzeugmodells wird die Arbeit der einwirken-
den Kräfte und Momente teilweise in die kinetische Energie des Fahrzeugs
∆EK,v−L? transformiert und teilweise im Feder-Dämpfer-System Ffw gespei-
chert.
Nach [3] kann die betrachtete kinetische Energie als die Arbeit der reak-
tiven Kräfte und Momente berechnet werden:
∆EK,v−L? =
∫ {
d
dt
pvSP,vEv
v
SP,vr +
d
dt
LvSP,vEω
v
v−L?
}
dt
=
∫
dpvSP,vEv
v
SP,vr +
∫
dLvSP,vEω
v
v−L?
=mSP
∫
dvvSP,vrv
v
SP,vr +
∫
d(JvSPω
v
v−L?)ω
v
v−L?
+mSP
∫
dvvSP,rEv
v
SP,vr +
∫
d(JvSPω
v
L?−E)ω
v
v−L?
=
1
2
mSP (v
v
SP,vr)
2 +
1
2
ωvv−L?(J
v
SPω
v
v−L?) +O
dabei ist
JvSP die Trägheitsmatrix des gesamten Fahrzeugs bezüglich des
Schwerpunktes SP ,
vvSP,vr die Geschwindigkeit des Fahrzeugs im Schwerpunkt bezüglich
der Reifenaufstandsfläche.
Dabei wird angenommen, dass das Fahrzeug symmetrisch beladen ist und
keine Hub-Bewegung entsteht. Die Berechnung der potenziellen Energie des
Fahrwerks Efw kann eine komplexere Aufgabe sein und erfordert eine detail-
lierte Beschreibung der Fahrwerkkonstruktion und der Fahrwerkeigenschaf-
22
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
ten. In [3] wurde diese Berechnung in vereinfachter Form angegeben:
Efw =
1
2
Cφφ
2
s, (1.16)
wobei eine ebene Fahrbahn und ein vernachlässigbarer Nickwinkel angenom-
men werden.
Dabei ist
Cφ die konstante Wanksteifigkeit des Fahrwerks,
φs der Wankwinkel zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk
(die Annahme nach [3]).
Es wird angenommen, dass das Fahrzeug kippsicher ist, falls die Arbeit der
einwirkenden Kräfte
∆E = ∆EK,v−L? − Efw
hinreichend klein ist:
∆E ≤ Ecritical
Das Stabilitätsgütemaß ROW (Roll over warning) quantifiziert, wie weit die
Arbeit der einwirkenden Kräfte von der kritischen Größe entfernt ist:
ROW =
Ecritical −∆E
Ecritical
,
wobei Ecritical eine fahrzeugabhängige kritische Kippenergie ist.
Die Stabilitätsbedingung hat in diesem Fall folgende Form:
ROW ≤ 1.
Die Fahrzeugparameter sind hier die MassemSP , die Schwerpunkthöhe hSP−P
und das Trägheitsmoment JvxxSP . Grundsätzlich führt eine solche energie-
basierte Analyse zur Analyse des Wankwinkels und der Wankbeschleunigung.
Der Vorteil dieses Analyseverfahrens gegenüber dem erweiterten SSF ? liegt
darin, dass die Fahrwerkkonstruktion bei der Fahrzeugstabilität mitberück-
sichtigt wird. Allerdings detektiert eine solche Analyse die Sicherheitsgefahr
erst dann, wenn das Fahrzeug den kritischen Zustand schon angenommen
hat.
1.1.5 Zusammenfassung
Ein vollständiges Sicherheitsgütemaß ist unmöglich während der Fahrt zu
berechnen, da manche Sensoren und die Informationen aus den Teilsystemen
bei heutiger Ausstattung noch nicht verfügbar sind. Deswegen braucht man
ein vereinfachtes Sicherheitsgütemaß, das
23
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
• während der Fahrt leicht zu berechnen ist,
• leicht zu interpretieren ist,
• leicht zu testen ist,
• die Fahrzeugbewegung gut abbildet und
• für die Trajektorienplanung bei den autonomen Funktionen geeignet
ist.
Der erweiterte Static Stability Factor SSF ? (1.4) wurde gemäß diesen An-
forderungen ausgewählt. Daraus folgt die weitere Aufgabe,
• die Fahrzeugschwerpunkthöhe und
• den Querversatz des Schwerpunktes
zu schätzen.
Die Zuladung des Fahrzeugs verändert diese Parameter und beeinträchtigt
dadurch stark die Fahrzeugstabilität und die Agilisierungspotenzial. So ha-
ben die Fahrzeuge mit niedriger Schwerpunktlage und kleinem Querversatz
ein größeres Agilisierungspotenzial. Sobald diese Parameter bekannt sind,
können die ESP-Schwellen angepasst werden und ein kippsicheres, bzw. agi-
les Fahrverhalten erreicht werden.
In dieser Arbeit werden die Schwerpunkthöhe und der Querversatz für jede
einzelne Fahrt aus der Wankdynamik geschätzt.
1.2 Stand der Technik
Die Wankbewegung des Fahrzeugs ist eine komplexe Bewegung, die aus
• dem Wanken der Karosserie bezüglich eines inertialen Koordinaten-
systems,
• dem Wanken der Karosserie bezüglich des Fahrwerks,
• der Wankbewegung und Wank-Deformation der Reifen und einzelner
Fahrwerkteile und
• der Überlagerung der Wankbewegung mit anderen Bewegungen des
Fahrzeugs
entsteht. Bei der Wahl des Wankmodells ist es wichtig,
24
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
• die Abhängigkeit der Wankbewegung von der Schwerpunkthöhe und
dem Querversatz des Schwerpunktes explizit zu berücksichtigen, und
• die Wankbewegung mit der erforderlichen Genauigkeit abzubilden.
Um diese Ziele zu erfüllen, wurde hier analysiert, welche Genauigkeitsan-
forderungen und welche Wankmodelle heute Stand der Technik sind und
wo weiteres Potenzial liegt. Zu den oben definierten Problemen und Auf-
gaben wurden schon sehr viele Untersuchungen durchgeführt. Daher ist es
unmöglich alle Literaturquellen hier anzugeben. Somit werden hier einzelne
repräsentative Verfahren angeführt, die unterschiedliche Herangehensweisen
skizzieren.
1.2.1 Patent US 20140012468Al, [1]
Genauigkeitsanforderungen
Der Anspruch dieses Patentes bezieht sich auf die Schwerpunkthöhenschätz-
ung bezüglich der Fahrbahn hSP−fb für Lastkraftwagen, Lastwagen, kleine
Lastwagen und Nutzfahrzeuge gemäß [1]. Die Genauigkeit der Schätzung
muss hinreichend sein, um zwischen drei Beladungszuständen unterscheiden
zu können: leeres Fahrzeug, leicht beladenes Fahrzeug und voll beladenes
Fahrzeug. Für PKWs soll zwischen Fahrzeugen mit und ohne schwere Dach-
last unterschieden werden.
Verwendete Sensoren
Die Schwerpunkthöhenschätzung erfolgt mit dem ESP-Sensorcluster und den
Radlastsensoren. Der ESP-Sensorcluster umfasst Längs- und Querbeschleu-
nigungssensoren, Gier- und Wankratesensoren. Die Radlastsensoren erlau-
ben, die Radlasten an jedem einzelnen Rad zu messen. Es wird vorausgesetzt,
dass die gesamte Fahrzeugmasse mSP bekannt ist.
Verfahren
Die detaillierte Herleitung des Schätzmodelles für die Schwerpunkthöhe hSP−fb
wurde in [1] nicht angegeben. Allerdings sieht man aus der Gleichungsform,
dass das Fahrzeug als ein Starrkörper modelliert und frei geschnitten wurde,
siehe die Abbildung 1.5. Bei der Herleitung sollte angenommen werden, dass
das Moment aller einwirkender Kräfte bezüglich des Schwerpunktes gleich
null ist:
(F vzLvr+F
vz
Lhr−F vzLvl−F vzLhl)
sv
2
+(F vyLvr+F
vy
Lhr+F
vy
Lvl+F
vy
Lhl)hSP−fb = 0. (1.17)
25
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
Diese Annahme vernachlässigt aber die Wankbewegung des Fahrzeugs be-
züglich des inertialen Koordinatensystems:
Px
(
dLvSP,vE
dt
)
= 0.
Die Zulässigkeit dieser Annahme wird später diskutiert. Anhand der New-
tonschen Kräftebilanz gilt für die Querkräfte in den Reifenaufstandsflächen
F vyLvr + F
vy
Lhr + F
vy
Lvl + F
vy
Lhl −mSP gsinφcosθ =
mSP (v˙
vy
SP,vE + ω
vz
vEv
vx
SP,vE − ωvxvEvvzSP,vE),
wobei θ ein Nickwinkel des Fahrzeugs bezüglich der Fahrbahn ist.
Wenn man die absolute Querbeschleunigung
avySP,vE = v˙
vy
SP,vE + ω
vz
vEv
vx
SP,vE − ωvxvEvvzSP,vE + gsinφ
zuerst in die Kräftebilanz
F vyLvr + F
vy
Lhr + F
vy
Lvl + F
vy
Lhl = mSPa
vy
SP,vE (1.18)
und dann in die Momentenbilanz (1.17) einsetzt
(F vzLvr + F
vz
Lhr − F vzLvl − F vzLhl)
s
2
−mSPavySP,vEhSP−fb = 0
und einen hinreichend kleinen Wankwinkel annimmt, mit
sinφ = φ,
wird man zum Schätzmodell nach [1] kommen:
hSP−fb =
(sv + sh)
2
(F vzLvr + F
vz
Lhr − F vzLvl − F vzLhl)
2mSP (ay − gφ) ,
dabei ist
ay die absolute Querbeschleunigung im Schwerpunkt des Fahr-
zeugs SP . Im genannten Patent wird angenommen, dass diese
mit dem Beschleunigungssensor gemessen wird,
mSP die Fahrzeugmasse,
φ der absolute Wankwinkel bezüglich des inertialen Koordinaten-
systems,
sv+sh
2 die mittlere Spurbreite, die aus der vorderen Spurbreite sv und
der hinteren Spurbreite sh berechnet werden kann,
F vzLi die Vertikalkraft in der Reifenaufstandsfläche des entsprechen-
den Rades, siehe die Abbildung 1.5.
26
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
Allerdings kann die Annahme nach [1], dass ay die absolute Querbeschleu-
nigung ist, nicht durch die oben skizzierte Herleitung nachgewiesen werden.
Physikalisch kann ay = v˙
vy
SP,vE + ω
vz
vEv
vx
SP,vE − ωvxvEvvzSP,vE nur die Ableitung
der Quergeschwindigkeit des Fahrzeugs sein und kann deswegen nicht mit
dem Beschleunigungssensor direkt gemessen werden.
F vzLhr
mSP g
SP
hSP−fb
F vzLhl
φ
mSPa
vy
SP,vE
Abb. 1.5: Konstruktion der Hinterachse
Der Wankwinkel φ wird durch die Integration des Wankratesensors be-
rechnet. Durch ein solches Verfahren baut sich mit der zunehmenden Zeit ein
Integrationsfehler auf. Das andere Patent [14] bietet eine weitere Möglichkeit,
den Wankwinkel aus der Quer- und Vertikalbeschleunigung zu berechnen.
Annahmen
Beim angenommenen Sensorportfolio gelten für das im Patent angemeldete
Wankmodell folgende Vereinfachungen
1. Der Einfluss der Wankbeschleunigung ist vernachlässigbar. Dies kann
aber nur für die quasistatischen Manöver gelten.
2. Der Fehler bei der Wankwinkelberechnung wird einen größeren Einfluss
auf die Schätzungsgenauigkeit haben. Im Patent wurde kein Offsetab-
gleich für den Wankwinkel vorgeschlagen.
3. Eine unsymmetrische Beladung und die Sensormodelle sind dabei nicht
berücksichtigt.
27
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
Da im, in der vorliegenden Arbeit verwendeten, Versuchsfahrzeug die Rad-
lastsensoren nicht eingebaut sind, können die Schätzergebnisse dieses Ver-
fahrens nicht mit dem hergeleiteten Modell (2.18) verglichen werden.
1.2.2 Dissertation von Jecek Zaranek,[2]
Genauigkeitsanforderungen
Die Genauigkeitsanforderungen wurden bei dieser Arbeit nicht fest definiert,
sondern es wurde untersucht, wie genau der kipp-relevante Parameter mit
dem angenommenen Verfahren geschätzt werden kann. Als kipp-relevanter
Parameter wurde das Produkt aus der Aufbaumasse und der Schwerpunkt-
höhe des Aufbaus definiert. Die Schätzergebnisse wurden nur für die spezifi-
zierten Manöver geprüft. Die spezifizierten Manöver waren stationäre Kreis-
fahrten links- und rechtsherum und Slalom-fahrt. Dabei wurde eine Schätz-
genauigkeit von bis zu 7 % erreicht. Die Genauigkeit hängt stark von den
einzelnen Manövern ab.
Verwendete Sensoren
In [2] werden der Querbeschleunigungssensor und die Federwegsensoren für
die Schätzung des kipp-relevanten Parameters mGh eingesetzt. Die Feder-
wegsensoren messen die vertikalen Abstände zwischen der Karosserie und ein-
zelnen Radaufhängungen. Der Querbeschleunigungssensor ist ein Bestandteil
des ESP-Sensorclusters, die Federwegsensoren gehören dagegen nicht zu den
Seriensensoren.
Verfahren
Das Trägheitsmoment des Aufbaus entlang der Längsachse JvxxG und das
Produkt aus der Aufbaumasse und der Schwerpunkthöhe mGhG−fb werden
aus der Kräfte- und der Momentenbilanz für den Aufbau geschätzt, siehe die
Abbildung 1.6.
Dabei werden keine Sensormodelle implementiert, sondern es wird angenom-
men, dass die Querbeschleunigung im Schwerpunkt avyG,vE und der Wank-
winkel zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk bekannt sind. Die Kräfte-
und Momentenbilanz bezüglich des Schwerpunktes des Aufbaus
(1.19)F vyLvl + F
vy
Lvr + F
vy
Lhl + F
vy
Lhr = mGa
vy
G,vE
28
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
F vzLhr
SP
hG−fb
F vzLhl
φs
mGa
vy
G,vE
G
F vyLhr
F vyLhr
Abb. 1.6: Wankdynamik, [2]
und
sv
2
(F vzLvl − F vzLvr) +
sh
2
(F vzLhl − F vzLhr)
+hG−fb(F
vy
Lvl + F
vy
Lvr + F
vy
Lhl + F
vy
Lhr) = J
vxx
G φ¨
(1.20)
können direkt für die Schätzung verwendet werden. Dabei wird angenom-
men, dass ein absoluter Wankwinkel φ gleich dem Wankwinkel zwischen der
Karosserie und dem Fahrwerk ist, dass die Schwerpunkthöhe hG−fb konstant
ist und dass die Deviationsmomente vernachlässigbar sind.
Nach dem Einsetzen von (1.19) ins (1.20) folgt ein weiteres Schätzmodell:
JvxxG φ¨s =
sv
2
(F vzLvl − F vzLvr) +
sh
2
(F vzLhl − F vzLhr) +mGhG−fbavyG,vE , (1.21)
dabei ist
φ¨s die Wankbeschleunigung des Aufbaus bezüglich des Fahrwerks,
siehe die Abbildung 1.6,
avyG,vE die absolute Querbeschleunigung im Schwerpunkt des Aufbaus,
hG−fb der Abstand vom Schwerpunkt des Aufbaus G zur Straßenober-
fläche.
Hier werden die Reifeneinfederungen, die Fahrbahnquerneigung und die Fahr-
bahnunebenheit vernachlässigt. Der Teil des einwirkenden Wankmoments
wurde als Funktion des Wankwinkels des Aufbaus bezüglich des Fahrwerks
φs modelliert:
sv
2
(F vzLvl − F vzLvr) +
sh
2
(F vzLhl − F vzLhr) = α1φs + α2φ˙s, (1.22)
29
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
wobei α1 und α2 konstante Parameter sind. Hier bildet α1 die Wankstei-
figkeit des Fahrwerks ab. Der Parameter α2 bildet die Dämpfersteifigkeit
entsprechend ab. Durch Einsetzen von (1.22) in (1.21) entsteht ein lineares,
dynamisches Schätzmodell:
φ¨s =
mGhG−fb
JvxxG
avyG,vE +
α1
JvxxG
φs +
α2
JvxxG
φ˙s (1.23)
mit den stationären Parametern mGhG−fbJvxxG
, α1JvxxG
, α2JvxxG
, die während der Fahrt
zu schätzen sind. Da die Zustände φ˙s und φ¨s nicht direkt messbar sind, wird
das Modell diskretisiert und die stationären Parameter werden anhand des
Verfahrens von finiten Differenzen berechnet.
Annahmen
Die vorgeschlagene Herangehensweise nach [2] setzt mehrere Annahmen vor-
aus.
So werden als vernachlässigbar angenommen
1. die Fahrbahnquerneigung,
2. die Reifeneinfederung,
3. die Fahrbahnunebenheit,
4. die Nichtlinearität in den Feder-Dämpfer-Kennfeldern,
5. die Fahrwerkmasse und das Trägheitsmoment des Fahrwerks,
6. eine unsymmetrische Beladung
Hierbei stellt sich die Frage, ob die angenommenen Vereinfachungen zulässig
sind. Dies wurde in [2] nicht untersucht und wird erst in dieser Arbeit im
Abschnitt 2.1 geprüft.
1.2.3 Dissertation von Brad Schofield, [3]
Anforderungen zur Schätzgenauigkeit
Das Parameterschätzproblem war in der Arbeit [3] nicht das primäre Ziel.
Das Ziel war einen Fahrzeugregler für die Querdynamik zu entwerfen, der
die Längs-, Quer-, Wank-, und Gierdynamik berücksichtigen wird. Dieses
Wankmodell kann nicht ohne weiteres zur Schätzung der Schwerpunktlage
angewendet werden. Deswegen kann man hier auch nicht die Anforderungen
zur Parameterschätzgenauigkeit ableiten.
30
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
Verfahren
Bei diesem Verfahren wurde das Fahrzeug als Mehrkörpersystem model-
liert, wobei die Karosserie mit dem Fahrwerk als mathematisches Pendel mit
Feder-Dämpfer-Elementen angenommen wurde, siehe die Abbildung 1.7. Die
Fahrwerkmasse wurde vergleichbar mit der Karosseriemasse vernachlässigt.
Die Fahrbahnquerneigung wurde auch vernachlässigt.
In [3] wurde das Prinzip der Euler-Lagrange-Modellierung auf die Fahrzeug-
bewegung angewendet. Dabei wurde die gesamte Systemenergie anhand der
kinetischen Energie
Ek = ω
v
vE
TJvSPω
v
vE +mSP v
v
SP,vE
T vvSP,vE
und der potenziellen Energie
Ep =
1
2
Cφφ
2
s −mSP ghSP−P (1− cosφ)
berechnet, siehe (1.16).
Dabei wurden die Drehrate und die Geschwindigkeiten im fahrzeugfesten Ko-
ordinatensystem genommen. Man könnte die kinetische Energie auch anhand
der Drehrate und der Geschwindigkeit im fahrbahnfesten Koordinatensystem
berechnen, aber dies wäre aufwendiger, da die zusätzliche Transformation des
Trägheitsmoments notwendig wäre. Deswegen müssen die nicht konservati-
ven Kräfte
Q =
[∑
Fx,
∑
Fy,
∑
Mx,
∑
Mz
]T
,
im fahrzeugfesten Koordinatensystem formuliert werden. In [3] wurden sie
aber im fahrbahnfesten Koordinatensystem definiert, dabei ist∑
Fx die gesamte Längskraft im fahrbahnfesten Koordinatensy-
stem,∑
Fy die gesamte Querkraft im fahrbahnfesten Koordinatensy-
stem,∑
Mx das gesamte Wankmoment im fahrbahnfesten Koordinaten-
system,∑
Mz das gesamte Giermoment im fahrbahnfesten Koordinatensy-
stem.
Die generalisierten Koordinaten sind in diesem Fall:
q = [rvxSP,vE , r
vy
SP,vE , φ, ψ],
wobei dies die Position und die Lage des Fahrzeugs im inertialen Koordina-
tensystem beschreibt.
31
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
SPmSP
F vyLvl
F vxLvl
F vzLvl
F vyLvr
F vzLvr
F vxLvr
F vyLhl
F vxLhl
F vzLhl
F vyLhr
F vzLhr
F vxLhr
SP
φ
W
F vyLhl F
vy
Lhr
F vzLhl F
vz
Lhr
mSPa
Ey
SP,vE
mSP g
Abb. 1.7: Wankdynamik, [3]
Die Bewegungsgleichungen haben nach dem Lagrange-Formalismus folgende
Form:
d
dt
∂(Ek − Ep)
∂q˙i
− ∂Ek − Ep
∂qi
= Qi.
Nach dem Eulerschen Gesetz gilt ein weiterer Zusammenhang zwischen der
Geschwindigkeit und den generalisierten Koordinaten:
vvSP,vE = r˙
v
SP,vE + ω
v
vE × rvSP,vE .
Diesbezüglich wurden weitere Annahmen getroffen:
vvxSP,vE = r˙
vx
SP,vE − ωvzvErvySP,vE +O
vvySP,vE = r˙
vy
SP,vE + ω
vz
vEr
vx
SP,vE +O
φ˙ = ωvxvE +O
ψ˙ = ωvzvE +O.
Dadurch kann die Lagrange-Funktion E = Ek − Ep als die Funktion der
generalisierten Koordinaten dargestellt werden. Die Bewegungsgleichungen
32
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
werden nach [15] folgendermaßen beschrieben:
d
dt
∂(Ek − Ep)
∂r˙vxSP,vE
− ∂(Ek − Ep)
∂rvxSP,vE
=
∑
Fx
d
dt
∂(Ek − Ep)
∂r˙vySP,vE
− ∂(Ek − Ep)
∂rvySP,vE
=
∑
Fy
d
dt
∂(Ek − Ep)
∂φ˙
− ∂(Ek − Ep)
∂φ
=
∑
Mx
d
dt
∂(Ek − Ep)
∂ψ˙
− ∂(Ek − Ep)
∂ψ
=
∑
Mz.
Die einwirkenden Kräfte sind die Kräfte in den Reifenaufstandsflächen, siehe
die Abbildung 1.7. Die einwirkenden Momente entstehen durch die Kräfte in
den Reifenaufstandsflächen bezüglich des Fahrzeugschwerpunktes.
Annahmen
Die in [3] beschriebene Vorgehensweise hat allerdings folgende Nachteile:
• Die Karosserie hat nur einen Wankfreiheitsgrad bezüglich des Fahr-
werks.
• Es wurden keine Sensormodelle angenommen.
• Eine unsymmetrische Zuladung wurde nicht zugelassen. Es wurde kein
Weg angeboten, die Kräfte in der Reifenaufstandsfläche zu schätzen.
• Nicken oder unebene Fahrbahn sind im Modell nicht zugelassen.
• Die Längsgeschwindigkeit wird als konstant, der Lenkwinkel klein und
das Reifenmodell wird linear angenommen.
33
1. Voraussetzungen zur Fahrzeugmodellauswahl
34
2. FAHRZEUGMODELL
2.1 Forschungsziele
Nach der Analyse der Literatur zur Schätzung der Schwerpunktlage aus der
Wankdynamik wurden folgende Aspekte identifiziert, die noch nicht unter-
sucht worden sind:
• Einfluss einer unsymmetrischen Beladung
• Sensormodelle
• Einfluss der Fahrbahnquerneigung
• Einfluss der Reifeneinfederung
• Einfluss der Fahrbahnunebenheit
• Einfluss von Nichtlinearitäten in den Feder-Dämpfer-Kennfeldern und
der Elastokinematik der Fahrwerkachsen
• Einfluss der Hub- und Nick-Bewegung
Im Folgenden wird diskutiert und analysiert, ob alle diese Einflüsse relevant
sein könnten.
Einfluss einer unsymmetrischen Beladung
Die unsymmetrische Beladung wird erst dann Bedeutung haben, wenn sie
die Fahrzeugstabilität beeinflussen kann. Um dies zu prüfen werden hier 9
relevante Zuladungskonfigurationen definiert, siehe die Tabelle 2.1. Anhand
dieser Zuladungskonfigurationen soll untersucht werden:
• wie die unterschiedlichen realen Grenzbeladungszustände die Fahrzeug-
stabilität und das Agilisierungspotenzial beeinflussen können und
• mit welcher Genauigkeit die Parameter des Schätzmodells bestimmt
werden müssen, um die Zuladungszustände mit dem Agilisierungspo-
tenzial sicher unterscheiden zu können.
2. Fahrzeugmodell
Konfig. Beschreibung
1 Fahrfertig mit Fahrer
2 Fahrfertig mit Fahrer und Dachlast (100 kg)
3 Fahrfertig mit Fahrer und Fußraumlast (100 kg)
4 2 schwere Leute vorne und ein Kind hinten
5 leichter Fahrer und 2 schwere Leute hinten
6 2 schwere Leute links und unsymmetrische Kofferraumlast
(200 kg)
7 Leichter Fahrer und 2 schwere Leute hinten mit symmetri-
scher Kofferraumlast (200 kg)
8 2 schwere Leute vorne, ein Kind hinten, Dachlast (100 kg)
9 2 schwere Leute links, Dachlast (100 kg) und Kofferraumlast
(200 kg)
Tab. 2.1: Zuladungskonfigurationen
Die ausgewählten Zuladungszustände sind in der Tabelle 2.1 dargestellt. Die
normierten SSF
?
SSF ?1
für diese Konfigurationen sind anhand von Pendelversuchen
(Schwerpunktlage des leeren Fahrzeugs), der Fahrzeuggeometrie (Spurbreite
des Fahrzeugs) und der Annahmen über die Insassen berechnet, siehe die
Tabelle 2.2. Der erweiterte Static stability Faktor wurde normiert bezüglich
der ersten Zuladungskonfiguration.
Nach den Stabilitätsbedingungen (1.4) können die Zuladungszustände 1, 3,
4, 5, 7 als die Zuladungszustände mit dem Agilisierungspotenzial bezeichnet
werden, siehe die Tabelle 2.2.
Daraus folgt, dass die unsymmetrischen Zuladungskonfigurationen für die
Fahrzeugstabilität und für das Agilisierungspotenzial genauso relevant sind
wie die Konfigurationen mit hohem Schwerpunkt. Daraus ergibt sich, dass
man ein neues Wankmodell braucht, das die unsymmetrische Zuladung be-
rücksichtigt.
Sensormodelle
Sobald es nicht nur um das physikalische Modell, sondern um ein Schätzmo-
dell, das während der Fahrt angewendet wird, geht, spielen die Sensormodelle
eine größere Rolle. Der Einbauort, die Einbautoleranzen, der Sensitivitäts-
fehler und das Rauschniveau des Sensors sind relevant für die Schätzgenau-
igkeit und müssen deswegen berücksichtigt werden.
36
2. Fahrzeugmodell
Konf. SSF
?
SSF ?1
1 1
2 0.9166
3 1.0089
4 0.9687
5 0.9649
6 0.8749
7 0.9541
8 0.8967
9 0.8175
Tab. 2.2: Untersuchung der Zuladungen mit dem Agilisierunspotenzial
Einfluss der Fahrbahnquerneigung
Nach den Richtlinien für das Anlegen von Straßen gibt es allgemeine Anfor-
derungen zur Fahrbahnquerneigung. Dabei existieren Richtwerte für Kurven
und Geraden. Die Fahrbahnquerneigung ist in Kurven φFb = ±8% abhän-
gig von der zulässigen Geschwindigkeit und von der Straßenart. Eine sol-
che Querneigung trägt zur Kippsicherheit bei. Auf geraden Straßenabschnit-
ten soll die Fahrbahnquerneigung im Mittel φFb ± 3% sein. Dies dient dem
Wasserabfluss und zur Vermeidung vom Aquaplaning. Falls im Wankmodell
keine Fahrbahnquerneigung vorausgesetzt wurde, kann die Querbeschleuni-
gung aus den inertialen Sensoren nicht als fahrbahnbezogene Querbeschleu-
nigung gelten, da dadurch ein größerer g-Anteil die Messungen verfälschen
wird.
Einfluss der Reifeneinfederung
Im oben beschriebenen Modell wurde die Reifeneinfederung vernachlässigt.
Allerdings ist in [16] angegeben, dass die Reifeneinfederung in Vertikalrich-
tung je nach Reifenart bis zu 23mm erreichen kann. Dabei erreichen die
Federwege zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk während der Normal-
fahrt Werte bis 100mm. Man sieht daran, dass die Reifeneinfederung bis zu
20 % der Wankbewegung bestimmt. Aus der Tabelle 2.2 sieht man, dass um
zwischen kippkritischen (z. B Konfiguration 2) und kippunkritischen (z. B.
Konfiguration 5) Zuladungen unterscheiden zu können, muss SSF ? mit 5%
Genauigkeit geschätzt werden. Bei solchen Genauigkeitsanforderungen kann
man die Reifeneinfederung nicht vernachlässigen.
37
2. Fahrzeugmodell
Einfluss der Fahrbahnunebenheit
Leider kann die Fahrbahnunebenheit heutzutage nicht für alle Straßen und
Länder vernachlässigt werden. Denn Fahrbahnunebenheiten können größere
Wankgeschwindigkeiten und Wankbeschleunigungen des Fahrzeugs verursa-
chen. Deswegen muss die Fahrbahnunebenheit mitberücksichtigt werden, so-
bald man mit einem dynamischen Wankmodell arbeitet.
Einfluss der Nichtlinearitäten
Die Feder-Dämpfer-Kennlinien werden in der Literatur meistens linearisiert
oder durch einfachere Funktionen approximiert. Allerdings wurde noch nie
geprüft, ob solche Vereinfachungen zulässig sind. Im Rahmen dieser Arbeit
wurde anhand des Simulationsmodells im CASCaDE untersucht, ob die Feder-
Dämpfer-Kennlinien linearisiert werden dürfen.
CASCaDe ist eine interne Simulationssoftware für die Fahrzeugdynamik, die
ein Fahrzeug durch fünf Körper (Aufbau und Räder) abbildet, deren Bin-
dungen miteinander durch die Kraft-Kennfelder beschrieben sind. Es gibt
die Möglichkeit, die Fahrzeugzustände und die Fahrwerkkräfte virtuell zu
messen. Reifenmodelle beliebiger Komplexität können in die Simulation ein-
gebunden werden. Die Fahrbahnanregung kann durch mehrere Optionen
definiert sein. Es können auch echte Straßenprofile durch crg-Dateien ein-
gebunden werden. Außerdem kann man diverse Störeffekte wie zum Beispiel
Wind simulieren.
Für die Untersuchung der Relevanz der Feder-Dämpfer-Nichtlinearitäten und
der Elastokinematik der Fahrwerkachse wurde eine ebene Fahrbahn und
starre Reifen vorausgesetzt. Dadurch soll das Zaraneck-Modell (1.23) mit
konstanten Parametern α1 und α2 das Systemverhalten gut abbilden kön-
nen. Aus Sicht der Regelungstechnik stellt sich die Frage, ob das Wankmo-
dell (1.23) als lineare Differenzialgleichung abgebildet werden kann oder ob
größere nichtlineare Effekte auftreten werden.
Nach [17] können für die Auswertung von nichtlinearen Effekten direkte und
indirekte Test- und Prüfverfahren verwendet werden. Die Wahl einer geeigne-
ten Anregung ist dabei sehr wichtig. In dieser Arbeit wurde eine harmonische
Linearisierung verwendet, um den Einfluss der Nichtlinearitäten auswerten
zu können.
Dabei wurde ein Wankmodell des Aufbaus aus [2] genommen
φ¨s =
mGhG−fb
JvxxG
avyG,vE +
sv
2JvxxG
(F vzLvl − F vzLvr) +
sh
2JvxxG
(F vzLhl − F vzLhr),
38
2. Fahrzeugmodell
wobei die absolute Querbeschleunigung avyG,vE als Systemeingang, der Wank-
winkel φs als Systemausgang betrachten werden. Es soll hier untersucht wer-
den, ob der Term
sv
2JvxxG
(F vzLvl − F vzLvr) +
sh
2JvxxG
(F vzLhl − F vzLhr) = f(φ˙s, φs, t)
als lineare Funktion von dem Wankwinkel φs und seinen Ableitungen mo-
delliert werden darf
sv
2JvxxG
(F vzLvl − F vzLvr) +
sh
2JvxxG
(F vzLhl − F vzLhr) = α1φs + α2φ˙s,
ohne dass das Wankmodell die Genauigkeitsanforderungen während der Normal-
fahrt verletzt. Das Prinzip der harmonischen Balance basiert auf der Annah-
me, dass ein System
φ¨s =
mGhG−fb
JvxxG
avyG,vE + f(φ˙s, φs, t) (2.1)
für einen gegebenen Eingang
avyG,vE = Civcos(vωt)
den Ausgang
φs = Aivcos(vωt+ ψiv) (2.2)
haben wird,
• mit der gleichen Frequenz vω wie beim Eingang,
• der Ausgangsamplitude Aiv = KivCiv, die von der Eingangsamplitude
und Systemverstärkung abhängt. Die Systemverstärkung hängt dabei
nur von der Eingangsfrequenz und nicht Eingangsamplitude ab.
• der Ausgangsphase ψiv, die nur von der Eingangsfrequenz abhängt,
Dies basiert darauf, dass die Rückstellkraft mit der Fourier-Reihe
f(φ˙s, φs, t) = a0 +
inf∑
v=1
[avcos(vωt) + bvsin(vωt)],∀av, bv = const
39
2. Fahrzeugmodell
dargestellt werden kann. Eine solche Linearisierung der Rückstellkraft f(φ˙s, φs, t)
darf die Ruhelage des Systems nicht ändern. Daraus folgt a0 = 0.
Die Auswertung der Nichtlinearitäten kann durch harmonische Anregungen
des Systems mit unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen realisiert
werden. Darauf basierend wird die Fahrzeuganregung mit unterschiedlichen
Lenkamplituden und Frequenzen bei gleicher Geschwindigkeit simuliert. Wie
weit jeder einzelne Parameter av, bv von der Eingangsamplitude abhängig ist,
wird die Bedeutung der Nichtlinearitäten charakterisieren.
Die Bedingung für die Anwendung der Harmonischen Linearisierung (2.2)
kann nicht immer eingehalten werden. So werden zum Beispiel bei kleiner
Lenkamplitude und niedriger Frequenz die Reibungseffekte einen größeren
Einfluss auf den Fahrwerkwankwinkel haben und zusätzliche Frequenzen im
Ausgangssignal verursachen. Dieses Problem wurde durch das Fitten des
Eingangs- und Ausgangssignals mit den Sinusschwingungen in tragender Fre-
quenz gelöst. Falls die tragende Frequenz weniger als 80 % Energie des ge-
samten Signals beinhaltet, werden die Versuche nicht berücksichtigt.
Um die Systemverstärkung Kiv und Phasenverschiebung ψiv auswerten zu
können, wird die linearisierte Systemgleichung (2.1) in den Laplace-Bereich
transformiert:
Φs(s) = L{φs}(s) :=
∫ inf
0
e−stφs(t)dt,
wobei s = −jvω gilt. Eine solche Transformation vereinfacht die Berechnung
von Systemverstärkung und Phasenverschiebung, da die Differentiation sich
durch die Multiplikation ersetzt wird:
L{φ˙s}(s) = sL{φs}(s)− φs(0+).
Für die Ableitungen höherer Ordnungen gilt dementsprechend
L{φ(n)s }(s) = snL{φs}(s)−
n∑
j=1
sn−jφj−1s (0
+),
wobei für die Ruhelage das Wankmodells
φs(0
+) = 0, φ˙s(0
+) = 0
gilt. Anhand dessen sieht die Transformation des linearisierten Wankmodells
in den Laplace-Bereich folgendermaßen aus:
s2Φs(s) =
mGhG−fb
JvxxG
AvzG,vE(s) +
α1
JvxxG
Φs(s) +
α2
JvxxG
sΦs(s).
40
2. Fahrzeugmodell
Hier wurde die Übertragungsfunktion
G(s) =
Φs(s)
AvyG,vE(s)
=
mGhG−fb/JvxxG
s2 + α1JvxxG
s+ α2JvxxG
(2.3)
analysiert, und zwar die Systemverstärkung
Kiv = |G(s)|= Aiv
Civ
Aus (2.3) sieht man, dass die Systemverstärkung nur von Eingangsfrequenz
und einen konstanten Modellparameter abhängt. In der Abbildung 2.1 wurde
diese Annahme verifiziert.
Abb. 2.1: Einfluss der Nichtlinearitäten
Man sieht in der Abbildung 2.1, dass das Fahrwerk die hochfrequenten
Wankanregungen für die Querbeschleunigung bis 0, 4m/s2 dämpft. Ab einer
41
2. Fahrzeugmodell
Querbeschleunigung von 1m/s2 werden die Wankanregungen durch das Fahr-
werk verstärkt. Dabei wird das Lenken mit größerer Amplitude und höherer
Frequenz das Fahrzeug destabilisieren. Diese Simulationsergebnisse bilden
die bekannten praktischen Hinweise bei der Slalomfahrt ab. Diese Unter-
suchungen weisen nach, dass die Feder-Dämpfer-Nichtlinearitäten und die
Elastokinematik der Fahrachse nicht vernachlässigt werden können.
Einfluss der Hub- und Nick-Bewegung
Eine reine Hub-Bewegung findet in Normalfahrt nicht direkt statt. Ob Hub-
und Nick-Bewegungen die Wankdynamik stark beeinträchtigen, kann ohne
weitere Untersuchungen nicht abgeschätzt werden.
Zusammenfassung
Bis hierher wurde der Stand der Technik analysiert, das Potenzial für die
Weiterentwicklung des Schätzmodells für die Wankdynamik wurde definiert
und begründet.
2.2 Angenommenes Fahrzeugmodell
Anhand der spezifizierten Forschungsziele wird hier ein Fahrzeugmodell definiert.
Das Fahrzeugmodell bestimmt die Annahmen über den Fahrzeugzusammen-
bau, die Bewegungsfreiheitsgrade des Fahrzeugs und definiert relevante Koor-
dinatensysteme. Dann dient dieses Fahrzeugmodell zur Herleitung des Schätz-
modells für die Schwerpunkthöhe und den Querversatz des Schwerpunktes
des Fahrzeugs.
2.2.1 Modellannahme
Bei der Beschreibung der Karosseriebewegung bezüglich des Fahrwerks wird
Folgendes vorausgesetzt.
Annahme 1. Die Kraftbindung zwischen Karosserie und Fahrwerk kann
durch die äquivalenten Kräfte und Momente im festdefinierten Punkt W ab-
gebildet werden.
Durch diese Vereinfachung kann ein echtes Fahrzeug (Abbildung 2.2) im
Schnittpunkt W in zwei Subsysteme unterteilt werden.
42
2. Fahrzeugmodell
W
W
Fwy
Mwy
Mwx
Fwx
Fwz
Mwz
Abb. 2.2: Teilsysteme des Fahrzeugs, überarbeitete Abbildung nach [8]
• Das gefederte Teilsystem, das die Karosserie mit der Zuladung einbe-
zieht, wird als ein Starrkörper mit dem Schwerpunkt G, MassemG und
dem Trägheitsmoment JG modelliert. Eine unsymmetrische Zuladung
(∆yvG 6= 0) ist dabei zugelassen, siehe die Abbildung 2.3.
• Das ungefederte Teilsystem, das das Fahrwerk (Räder, Achse und die
Karosserieaufhängung) umfasst, wird als ein Mehrkörpersystem mit
dem Schwerpunkt Gu, Masse mug und dem Trägheitsmoment Jug mo-
delliert, siehe die Abbildung 2.3.
Annahme 2. Die Schwerpunktlage des ungefederten Teilsystems Gug
wird im Weiteren symmetrisch angenommen.
43
2. Fahrzeugmodell
l-Achse q-Achse
h-Achse
G
O
hhub
∆yvG
G
φFb φRf
φs
W
W
Gu
Fwy
Fwz
Mwx
Abb. 2.3: links - Fahrzeug mit dem Bezugskoordinatensystem nach [8], rechts -
Wankmodell des Fahrzeugs
Der Schnittpunkt W liegt in der Symmetrieebene der Karosserie und ist
fest mit ihr verbunden. Bezogen auf das Fahrwerk schwenkt sich allerdings
der Schnittpunkt W mit dem Hub-Freiheitsgrad hhub, siehe die Abbildung
2.3.
γvl
φRf
φFb
Ov1
Ov2
Lv1
Lv2
Abb. 2.4: Reifenverformung, Wankeigenschaften des Fahrwerks und Fahrbahn-
unebenheit
Die weiteren wichtigen Faktoren, die zur Wankbewegung des Fahrzeugs
beitragen, sind die Reifenverformung, Wankeigenschaften des Fahrwerks und
die Fahrbahnunebenheit. Die Reifenverformung hängt von mehreren Fakto-
ren ab. Entscheidend sind Reifentyp, Reifentemperatur, Luftdruck, einge-
prägte Kräfte, etc. In der Abbildung 2.4 sind nicht verformte (gestrichelte
Linie) und verformte Reifenprofile während der Fahrt skizziert. Solche Ver-
44
2. Fahrzeugmodell
formungen werden zur Wankbewegung des Fahrzeugs beitragen.
Das Fahrwerk stellt ein komplexes elastokinematisches Körpersystem dar. Im
Weiteren wird dies detaillierter beschrieben. Das Fahrwerk trägt zur Wank-
bewegung des Fahrzeugs viel bei, vor allem passiert dies durch die Kraftbin-
dung zwischen dem Fahrwerk und der Karosserie. Auch die kinematischen
Effekte spielen dabei eine bedeutende Rolle. So entsteht zum Beispiel bei
Manövern mit Querdynamik ein Sturzwinkel γi des Rades, siehe die Ab-
bildung 2.4. Diese beiden Effekte werden im Modell durch den gesamten
Reifenwankwinkel φRf pro Fahrwerkachse berücksichtigt:
φvRf = 6 (O
v
1O
v
2 , L
v
1L
v
2)
φhRf = 6 (O
h
1O
h
2 , L
h
1L
h
2),
dabei ist
Ov1O
v
2 eine Gerade zwischen den Bezugspunkten des radbezogenen KS
an der vorderen Fahrwerkachse,
Lv1L
v
2 eine Gerade zwischen den Mittelpunkten der Reifenaufstands-
fläche an der vorderen Fahrwerkachse.
Fahrbahnunebenheit und Fahrbahnquerneigung gehören zu den wichtigsten
Umwelteinflüssen und sind in der Abbildung 2.4 dargestellt. Im Fahrzeug-
modell werden sie durch den gesamten Fahrbahnwankwinkel φFb pro Fahr-
werkachse abgebildet. Zwecks Übersichtlichkeit wird in der Abbildung 2.3
zwischen der vorderen und hinteren Achse nicht unterschieden.
2.2.2 Koordinatensysteme
Um die Wankbewegung detailliert zu beschreiben, werden weitere Koordina-
tensysteme eingeführt.
• Das inertiale Koordinatensystem {XEY EZE , OE} ist ein orthogonales
Rechtecksystem, siehe die Abbildung 2.5. Die ZE-Achse ist parallel zur
Gravitationsbeschleunigung g und und ihr entgegengerichtet, die XE-
Achse und Y E-Achse weisen in Nord- und Ostrichtung und liegen in
der Tangentialebene des Erdellipsoids. Der Bezugspunkt OE ist fest
mit der Erde verbunden.
• Das körperfeste Koordinatensystem {XvY vZv, G} hat einen Bezugs-
punkt G im Schwerpunkt des gefederten Teilsystems, siehe die Abbil-
dung 2.5. Die Xv-Achse weist in die Längsrichtung der Karosserie, die
Zv-Achse weist nach oben und die Y v-Achse bildet ein orthogonales
Rechtecksystem nach [18].
45
2. Fahrzeugmodell
hhub
h?
∆yvG
G
φFb φRf
φs
W
g
φ
Zv
Y v
OEY E
ZE
Zvl
Y vl
Ovl
Abb. 2.5: Bezugssysteme
• Das Bezugskoordinatensystem {lqh,O} ist ein orthogonales Rechteck-
system, siehe die Abbildung 2.3. Dieses Koordinatensystem ist fest mit
der Karosserie verbunden: l und Xv, q und Y v, h und Zv sind paral-
lel. Der Bezugspunkt O ist der Mittelpunkt zwischen den zwei vorderen
Rädern in der Konstruktionslage, siehe [19]. Dieses Koordinatensystem
dient der quantitativen Auswertung der Schwerpunktlage G und der
Parametrierung des Fahrzeugmodells.
• Das radmittebezogene Koordinatensystem {XiY iZi, Oi} ist ein ortho-
gonales Rechtecksystem, wobei der Index i sich auf jedes einzelne Rad
i ∈ {vl, vr, hl, hr} bezieht. Hier liegt der Bezugspunkt in der Radmitte,
die Y i Achse ist entlang der Raddrehachse eingerichtet und die Achsen
Xi und Zi liegen in der Radmittelebene nach [18], siehe die Abbildung
2.5.
• Das sensorbezogene Koordinatensystem {Xsens, Y sens, Zsens, S} ist ein
orthogonales Rechtecksystem mit dem Bezugspunkt S im Einbauort
des Sensors. Eine der Systemachsen Xsens, Y sens, Zsens entspricht der
Sensitivitätsachse des Sensors. Die Wahl hängt vom Einbau des Sensors
ab.
2.2.3 Bewegungsfreiheitsgrade
Die Bewegungsfreiheitsgrade des Wankmodells unterscheiden sich vom ech-
ten Fahrzeug. In diesem Abschnitt wird dieser Unterschied erläutert. Die
46
2. Fahrzeugmodell
hier definierten Freiheitsgrade des Wankmodells werden für die Bewegungs-
gleichungen benötigt.
Bewegungsfreiheitsgrade des gefederten Teilsystems bezüglich eines
inertialen Koordinatensystems
Die Bewegung der Karosserie bezüglich des inertialen Koordinatensystems
(IKS) kann durch 6 Freiheitsgrade beschrieben werden. In der Abbildung 2.6
hhub
Y A
ZA
h?
∆yvG
G
φ
Zv
Y v
OE
OA
Y E
ZE
φFb φRf
φs
OEG 6= 0
Translatorische Bewegung:
Rotatorische Bewegung:
ZE Zv
Y E
Y v
O
Xv
XE
2. θ
3. φ
1. ψ
1. ψ
Abb. 2.6: Bewegungsfreiheitsgrade der Karosserie bezüglich des inertialen
Koordinatensystems
sieht man die drei translatorischen und die drei rotatorischen Freiheitsgrade.
Die rotatorischen Freiheitsgrade sind durch Euler-Winkel (Kardan-Winkel)
definiert, wobei ψ der Gierwinkel, θ der Nickwinkel und φ der Wankwinkel
ist. Die Winkelreihenfolge ist in der Abbildung 2.6 skizziert. Somit werden
hier keine Vereinfachungen in der Bewegung der Karosserie bezüglich des
IKS angenommen.
Bewegungsfreiheitsgrade des Fahrwerks bezüglich der Karosserie
Die Bewegung des Fahrwerks bezüglich der Karosserie ist sehr komplex. Das
liegt vor allem daran, dass das Fahrwerk kein starrer Körper ist.
Hier wird zuerst die Fahrwerkskonstruktion erläutert. Dann werden die Be-
wegungsfreiheitsgrade der einzelnen Räder bezüglich der Karosserie beschrie-
ben. Danach werden die Bewegungsfreiheitsgrade des Fahrzeugmodells definiert.
Die Vereinfachungen des Wankmodells werden dabei detailliert erläutert.
47
2. Fahrzeugmodell
Man kann grob die Fahrwerkskonstruktion auf die vordere Achse, die hintere
Achse und die Radaufhängungen aufteilen. Die Konstruktion der vorderen
Achse unterscheidet sich von der hinteren Achse.
Die vordere Achse eines betrachteten Versuchsfahrzeugs und ihre Bindungs-
elemente mit der Karosserie sind in der Abbildung 2.7 dargestellt. Die Ach-
oberer Querlenker
untere Querlenker
Federbein
Fahrschemel
Drehstab
Abb. 2.7: Konstruktion der Vorderachse, nach [20]
senkonstruktion erfolgt nach dem Prinzip der Einzelradaufhängung. Das Fe-
derbein vereinigt Feder- und Dämpferfunktion. Zwei Querlenker Übertragen
die Längs-, Quer- und Vertikalkräfte von den einzelnen Rädern auf die Karos-
serie. Dabei wird der untere Querlenker nicht direkt mit der Karosserie son-
dern mit dem Fahrschemel verbunden, wodurch hochfrequente Vibrationen
gedämpft werden. Der Drehstab stabilisiert das Fahrzeug beim Wanken. Die
Konstruktion der Hinterachse eines Versuchsfahrzeugs ist in der Abbildung
2.8 dargestellt. Sie unterscheidet sich von der Vorderachse durch getrenn-
te Feder-Dämpfer-Elemente und eine andere Konstruktion des Querlenkers.
Dabei muss man zwischen dem Namen des Elements und seiner Funktion
unterscheiden. So kann zum Beispiel der Dämpfer eine Federkraft erzeugen.
Ein solcher Zusammenbau der Achsen bedingt ihre elastokinematischen Ei-
genschaften. Die elastokinematischen Eigenschaften der Fahrwerkachse zei-
gen sich durch die kinematische Bewegung des Radmittelpunktes bezüglich
der Karosserie bei der auf das Fahrwerk einwirkenden Kräften.
Für das ausgewählte Versuchsfahrzeug sind Vertikal- und Querversatz jedes
48
2. Fahrzeugmodell
untere Querlenker
obere Querlenker
Fahrschemel Feder
Dämpfer
Stabilisator
Abb. 2.8: Konstruktion der Hinterachse, nach [20]
einzelnen Rades während der Fahrt nach [20] nicht zu vernachlässigen und sie
werden im Fahrzeugmodell berücksichtigt. Der Längsversatz kann dagegen
ignoriert werden. Es wird angenommen, dass die Radbahnen nur vom Feder-
weg abhängen, und deswegen wird der Querversatz eines einzelnen Rades als
eine Funktion des Federwegs modelliert. Allerdings ist der Querversatz bei
gleichseitiger und wechselseitiger Einfederung unterschiedlich. Dieser Unter-
schied ist aber für das Versuchsfahrzeug vernachlässigbar.
Damit hängt die Bahn des Radmittelpunktes bezüglich der Karosserie nur
vom dementsprechenden Federweg ab. Dies gilt aber nur für einen frei rol-
lenden Zustand des Rades. Es kann auch vorkommen, dass das Fahrzeug im
Stillstand beladen wurde. Dann ändert sich der Einfederweg für die einzel-
nen Räder. Allerdings können die Räder noch keinen kinematisch günstigen
Zustand annehmen und dadurch entstehen zusätzliche Spannungen im Fahr-
werk. Die Feder-Dämpfer-Steifigkeit wird dabei untypische Werte annehmen,
die nicht voraus abgeschätzt werden können, und kann dadurch nicht beim
Schätzmodell angewendet werden.
Alle hier definierten Freiheitsgrade der Fahrwerkbewegung sowie
• die Radkinematik für das frei rollende Rad und
• der Radsturzwinkel und die Reifeneinfederung
werden bei der Berechnung der äquivalenten Kräfte und Momente im Schnitt-
49
2. Fahrzeugmodell
punkt W berücksichtigt.
2.3 Wankdynamik
In diesem Abschnitt wird die Wankbewegung des gefederten Teilsystems auf
der Basis der Kräfte- und Momentenbilanz beschrieben. Dabei werden die
definierten Bewegungsfreiheitsgrade berücksichtigt.
Nach den Newtonschen Gesetzen kann die Kräfte- und Momentenbilanz nur
in einem inertialen Koordinatensystem erstellt werden. Damit gilt:∑
F v =
dpvG,vE
dt
, (2.4)∑
MvG =
dLvG,vE
dt
, (2.5)
wobei
pvG,vE und L
v
G,vE der Impuls und der Drehimpuls im Schwerpunkt
G im körperfesten KS sind. Der untere Index vE
deutet die Bewegung des körperfesten KS bezüg-
lich des inertialen KS an,∑
F v und
∑
MvG die Summe der einwirkenden Kräfte und Mo-
mente im fahrzeugfesten KS darstellt und
dpvG,vE
dt ,
dLvG,vE
dt die reaktiven Kräfte und Momente sind.
Die Ableitung jedes Vektors wie z. B. des Vektors pvG,vE besteht aus zeitlichen
p˙vG,vE und örtlichen ω
v
vE × pvG,vE Ableitungen
dpvG,vE
dt
= p˙vG,vE + ω
v
vE × pvG,vE , (2.6)
wobei ωvvE die Winkelgeschwindigkeit des fahrzeugfesten KS bezüglich des
inertialen KS ist. Die Kräfte- und Momentenbilanz mit den ersetzten Vektor-
ableitungen nach (2.6) hat folgende Form:∑
F v = p˙vG,vE + ω
v
vE × pvG,vE ,∑
MvG = L˙
v
G,vE + ω
v
vE × LvG,vE ,
(2.7)
Für einen starren Körper lassen sich Impuls und Drehimpuls im Schwer-
punkt nach [15] folgendermaßen darstellen:
pvG,vE = mGv
v
G,vE ,
LvG,vE = J
v
Gω
v
vE ,
(2.8)
50
2. Fahrzeugmodell
wobei vvG,vE die absolute Geschwindigkeit im Schwerpunkt G bezüglich des
inertialen KS in der körperfesten Basis ist.
Da in dieser Arbeit unsymmetrische Beladungszustände zugelassen sind,
wird folgendes Trägheitsmoment angenommen:
JvG =
J
vxx
G J
vxy
G J
vxz
G
JvyxG J
vyy
G J
vyz
G
JvzxG J
vzy
G J
vxz
G
 .
Ob die Terme außerhalb der Hauptdiagonale vernachlässigbar sind, hängt
von der Beladungsgeometrie ab. Für einen starren Körper und ein körperfe-
stes Koordinatensystem ist das Trägheitsmoment im Schwerpunkt konstant:
JvG = const.
Dann können der Impuls und der Drehimpuls (2.8) in die die Kräfte- und
Momentenbilanz (2.7) wie folgt eingesetzt werden:∑
F v = mGv˙
v
G,vE +mGω
v
vE × vvG,vE ,∑
MvG = J
v
Gω˙
v
G,vE + ω
v
G,vE × (JvGωvG,vE).
(2.9)
Die eingeprägten Kräfte und Momente des eingefederten Teilsystems sind alle
Kräfte und Momente, die auf das frei geschnittene System wirken, siehe die
Abbildung 2.9. Hier wurde Nickwinkel θ zwischen Karosserie und inertialem
KS zwecks Übersichtlichkeit nicht dargestellt.
Auf die Kräfte in X-Richtung und Momente in Y,Z-Richtungen wurde in
der Abbildung 2.9 zwecks der Übersichtlichkeit verzichtet.
Als relevante einwirkende Kräfte und Momente gelten nach (2.4) und (2.5)
für die Wankbewegung:∑
F vy = −Fwy −mGgsinφcosθ, (2.10)∑
F vz = −Fwz −mGgcosφcosθ, (2.11)∑
MvxG = Mwx − Fwyh? + Fwz∆yvG. (2.12)
Die reaktiven Kräfte und Momente nach (2.9) können folgendermaßen auf
die für die Wankdynamik relevanten Achsen projiziert werden:∑
F vy = mGv˙
vy
G,vE +mGω
vz
vEv
vx
G,vE −mGωvxvEvvzG,vE∑
F vz = mGv˙
vz
G,vE +mGω
vx
vEv
vy
G,vE −mGωvyvEvvxG,vE
51
2. Fahrzeugmodell
hhub
h? ∆y
v
G
G
W
Mwx
Fwz
Fwy
mgg
OEY
E
ZE
Zv
Y v
φ
Abb. 2.9: Einwirkende Kräfte und Momente
∑
MvxG = J
vxx
G ω˙
vx
vE + J
vxy
G ω˙
vy
vE + J
vxz
G ω˙
vz
vE + ω
vy
vEJ
vzz
G ω
vz
vE − ωvzvEJvyyG ωvyvE
− JvyzG ωvzvEωvxvE + JvzxG ωvyvEωvxvE + JvzyG ωvyvE2 − JvyzG ωvzvE2.
(2.13)
Aus dem kinematischen Zusammenhang kann die absolute Beschleunigung
avG,vE folgendermaßen dargestellt werden:
avG,vE =
dvvG,vE
dt
+ gv,
wobei gv die Gravitationsbeschleunigung in der körperfesten Basis ist. So-
mit kann die absolute Beschleunigung folgendermaßen komponentenweise
beschrieben werden:
avG,vE =
v˙
vx
G,vE + ω
vy
vEv
vz
G,vE − ωvzvEvvyG,vE
v˙vyG,vE + ω
vz
vEv
vx
G,vE − ωvxvEvvzG,vE
v˙vzG,vE + ω
vx
vEv
vy
G,vE − ωvyvEvvxG,vE
+
gsinθcosφgsinφ
gcosθcosφ
 . (2.14)
Dann kann die Kräfte- und Momentenbilanz
(2.15)−Fwy = mGv˙vyG,vE +mGωvzvEvvxG,vE −mGωvxvEvvzG,vE +mGgsinφ
(2.16)−Fwz = mGv˙vzG,vE +mGωvxvEvvyG,vE −mGωvyvEvvxG,vE +mGgcosφ
52
2. Fahrzeugmodell
Mwx − Fwyh? + Fwz∆yvG = JvxxG ω˙vxvE + JvxyG ω˙vyvE + JvxzG ω˙vzvE
+ ωvyvEJ
vzz
G ω
vz
vE − ωvzvEJvyyG ωvyvE − JvyzG ωvzvEωvxvE
+ JvzxG ω
vy
vEω
vx
vE + J
vzy
G ω
vy
vE
2 − JvyzG ωvzvE2.
(2.17)
mit der bekannten absoluten Beschleunigung im Schwerpunkt avG,vE
−Fwy = mGavyG,vE
−Fwz = mGavzG,vE
folgendermaßen vereinfacht werden:
JvxxG ω˙
vx
vE + J
vxy
G ω˙
vy
vE + J
vxz
G ω˙
vz
vE+
(JvzzG − JvyyG )ωvyvEωvzvE − JvyzG ωvzvEωvxvE+
JvzxG ω
vy
vEω
vx
vE + J
vzy
G ω
vy
vE
2 − JvyzG ωvzvE2 =Mwx −mGh?avyG,vE +mG∆yvGavzG,vE .
(2.18)
Annahme 3. Die Beiträge der Terme (JvzzG −JvyyG )ωvyvEωvzvE, −JvyzG ωvzvEωvxvE,
JvzxG ω
vy
vEω
vx
vE, J
vzy
G ω
vy
vE
2
, JvyzG ω
vz
vE
2 werden in Normalfahrt für das ausgewähl-
te Fahrzeug vernachlässigt.
Mit der Annahme 3 kann das Schätzmodell (2.18) folgendermaßen ver-
einfacht werden:
(2.19)JvxxG ω˙
vx
vE +J
vxy
G ω˙
vy
vE +J
vxz
G ω˙
vz
vE =Mwx−mGh?avyG,vE +mG∆yvGavzG,vE .
Für die Bewegungsgleichung (2.19) wird angenommen, dass die folgenden
Größen messbar sind:
• die drei Winkelbeschleunigungen ω˙vxvE , ω˙vyvE und ω˙vzvE
• die Querbeschleunigung im Schwerpunkt avyG,vE
• das geschätzte äquivalente Wankmoment Mwx im Schnittpunkt W .
Damit kann ein weiterer Parametervektor
JvxxG
JvxyG
JvxzG
mGh
?
mG∆y
v
G
 (2.20)
53
2. Fahrzeugmodell
aus der Gleichung (2.18) geschätzt werden. Allerdings wird die Schwerpunkt-
lage h? und ∆yvG für die Auswertung der Fahrzeugstabilität und Agilisie-
rungspotenzial nach (1.4) gebraucht.
Deswegen muss während der Fahrt noch die AufbaumassemG geschätzt wer-
den. Dies kann anhand der Vertikaldynamik oder Längsdynamik des Fahr-
zeugs gemacht werden.
2.4 Vertikaldynamik
Ein gängiger Weg für die Fahrzeugmassenschätzung ist die Kräftebilanz, sie-
he [21]. Die höhere Genauigkeit bei der Massenschätzung kann allerdings erst
dann erreicht werden, wenn die Bilanz für den Aufbau aufgestellt wird, da
der Aufbau ein Starrkörper ist. Falls die Kräftebilanz für das gesamte Fahr-
zeug aufgestellt wird, müssen für das Reifen- und Fahrwerksmodell weitere
Vereinfachungen angenommen werden. Dies ergibt aber einen Genauigkeits-
verlust.
Für die Kräftebilanz des Aufbaus wird dieser freigeschnitten. Dabei ist wich-
tig die Kopplung zwischen dem Aufbau und dem Fahrwerk abzubilden. Eine
solche Herangehensweise wurde beim Patentamt angemeldet, siehe [6].
Anhand verfügbarer Seriensensoren und mit Hilfe von Prüfständen kann die
Kraftkopplung zwischen dem Aufbau und dem Fahrwerk nur in Vertikalrich-
tung abgebildet werden. Deswegen wird auch hier eine vertikale Kräftebilanz
für die Massenschätzung genommen. Dabei beeinträchtigen unbekannte Stör-
effekte wie Seitenwind und Luftwiderstand die vertikale Kräftebilanz nicht.
Die in (2.4) beschriebene Kräftebilanz wird hier für die Massenschätzung
angewendet. Anhand der Gleichungen (2.4), (2.14) und (2.16) wird die Ver-
tikaldynamik des Aufbaus folgendermaßen angegeben:
mGa
vz
G,vE = Fwz.
Die Vertikalbeschleunigung avzG,vE wird mit dem vertikal eingebauten inertia-
len Beschleunigungssensor gemessen oder durch die Normalfahrtannahme
avzG,vE = 9.81m/s
2
modelliert. Die äquivalente Vertikalkraft Fwz wird durch die Feder-Dämpfer-
Kennfelder und die Federwegsensoren abgebildet.
Die Genauigkeit der Massenschätzung hängt von der Genauigkeit der äquiva-
lenten Vertikalkraft (siehe Kapitel 3.5) und der Beschleunigungsgenauigkeit
ab.
54
2. Fahrzeugmodell
2.5 Längsdynamik
Im Vergleich zur Vertikaldynamik wurde die Massenschätzung aus der Längs-
dynamik ebenfalls betrachtet. Da die Bewegung und die Kopplung zwischen
der Karosserie und dem Fahrwerk in der Längsrichtung unbekannt sind, wird
die Kräftebilanz für das gesamte Fahrzeug aufgestellt. Der Vorteil eines sol-
chen Modells gegenüber der Vertikaldynamik (3.40) liegt in Sensorportfolio:
keine Federwegsensoren und kein FKE-Prüfstand sind erforderlich. Aller-
dings müssen mehrere Annahmen über die Reifen und das Fahrwerk getroffen
werden. Man hat auch eine größere Empfindlichkeit gegen die aerodynami-
schen Effekte. Dies wird die Schätzgenauigkeit deutlich beeinträchtigen.
Das Fahrzeugmodell für die Längsdynamik unterscheidet sich vom Modell
für die Wankdynamik. Hier werden die Wank- und Hubbewegung des Auf-
baus bezüglich des Fahrwerks vernachlässigt und die Fahrbahn zur Ebene
approximiert.
In der Abbildung 2.10 sind die einwirkenden Kräfte und die relevanten Ko-
ordinatensysteme skizziert.
θs
θRf
θfb
G
Xv
Zv
F fb,xhl
F fb,xvl
F vwd
OEXE
ZE
mGg
q-Achse
l-Achse
Xfb
Y fb
Zfb
OfbX
fb
ZfbG
F fb,zvl
F fb,zhl
Abb. 2.10: Längsdynamik: einwirkende Kräfte, überarbeitete Abbildung nach [8]
Da die Fahrbahn als Ebene angenommen wird, kann ein fahrbahnfestes
Koordinatensystem {Xfb, Y fb, Zfb, Ofb} definiert werden, siehe die Abbil-
dung 2.10. Die Kräfte F fbvl , F
fb
vr , F
fb
hl , F
fb
hr bilden die Kräfte in den Reifen-
aufstandsflächen im fahrbahnfesten KS ab. Auf die Kräfte F fbvr und F
fb
hr wur-
de in der Abbildung 2.10 aus Gründen der Übersichtlichkeit verzichtet. Der
Winkel θfb bildet die Fahrbahnneigung ab, die Summe θRf + θs bildet den
Nickwinkel der Karosserie bezüglich der Fahrbahn ab.
Anhand der Kräfte in den Reifenaufstandsflächen können äquivalente Kräfte
55
2. Fahrzeugmodell
zwischen dem Fahrzeug und der Fahrbahn definiert werden:
F˜ fb,x = F fb,xvl + F
fb,x
vr + F
fb,x
hl + F
fb,x
hr ,
F˜ fb,z = F fb,zvl + F
fb,z
vr + F
fb,z
hl + F
fb,z
hr .
Die Modellgleichungen auf der Basis der Kräftebilanz (2.4) lauten∑
F vx = mSP v˙
vx
SP,vE +mSPω
vy
vEv
vz
SP,vE −mSPωvzvEvvySP,vE ,∑
F vz = mSP v˙
vz
SP,vE +mSPω
vx
vEv
vy
SP,vE −mSPωvyvEvvxSP,vE ,
dabei ist die Summe der einwirkenden Kräfte (Kräfte in den Reifenaufstands-
punkten und Schwerkraft) auf die für die Längsdynamik relevanten Achsen
projiziert: ∑
F vx = F vxvl + F
vx
vr + F
vx
hl + F
vx
hr︸ ︷︷ ︸
F˜ vx
−mSP gsinθcosφ,
∑
F vz = F vzvl + F
vz
vr + F
vz
hl + F
vz
hr︸ ︷︷ ︸
F˜ vz
−mSP gcosθcosφ.
Hier sind F˜ vx und F˜ vz die äquivalenten Kräfte zwischen dem Fahrzeug und
der Fahrbahn, allerdings in aufbaufester Basis.
Anhand der Modellannahmen gilt ein weiterer Zusammenhang zwischen den
beiden: [
F˜ fb,x
F˜ fb,z
]
=
[
cos(θs + θRf ) sin(θs + θRf )
−sin(θs + θRf ) cos(θs + θRf )
][
F˜ vx
F˜ vz
]
,
dabei ist
θs der Nickwinkel der Karosserie bezüglich der Fahrbahn, siehe die
Abbildung 2.10;
θRf der Nickwinkel durch die Reifeneinfederung, siehe die Abbil-
dung 2.10.
Für die absolute Beschleunigung im Schwerpunkt avSP,vE nach (2.14) kann
die Kräftebilanz weiter vereinfacht werden:
F˜ vx = mSPa
vx
SP,vE ,
F˜ vz = mSPa
vz
SP,vE .
56
2. Fahrzeugmodell
Die Kräfte F˜ vx und F˜ vz können nicht vollständig, sondern nur in X-
Richtung im fahrbahnfesten Koordinatensystem geschätzt werden:
F˜ fb,x = Fantr − F fbwd,
dabei ist
FAntr die Antriebskraft, die aus dem Motormoment und dem An-
triebsstrangmodell ermittelt werden kann;
F fbwd eine Widerstandskraft, die aus mehreren physikalischen Effek-
ten entsteht.
Dadurch kann die Messgleichung wie folgt dargestellt werden:
Fantr − F fbwd = cos(θs + θRf )F˜ vx − sin(θs + θRf )F˜ vz
= cos(θs + θRf )mSPa
vx
SP,vE − sin(θs + θRf )mSPavzSP,vE
(2.21)
Da die Beschleunigungssensoren nicht direkt im Schwerpunkt G eingebaut
sind, müssen die gemessenen Beschleunigungen entsprechend transformiert
werden.
Die Antriebskraft wird anhand des Motormoments berechnet. Die Wider-
standskraft wird anhand von Informationen aus den Teilsystemen und meh-
reren Annahmen geschätzt.
Allerdings ist wegen der geschätzten Widerstandskraft die Genauigkeit des
Schätzmodells (2.21) deutlich schlechter als für die Vertikaldynamik.
2.6 Zusammenfassung
Hier wurde der Stand der Technik analysiert und die unzulässigen Annah-
men bei der Modellherleitung festgestellt. Das Fahrzeugmodell für die Wank-
und Vertikaldynamik wurde hinsichtlich dieser Annahmen erweitert. Für
die Zuladungsschätzung wurde eine mechanische Schnittmethode verwendet.
Dadurch konnte man den Aufbau vom Fahrwerk trennen und die Kräfte-
und Momentenbilanz nur für den Aufbau erstellen. Dies ist wichtig für die
Modellgenauigkeit, da der Aufbau ein starrer Körper ist. Dadurch können
alle Bilanzen viel einfacher als für das gesamte Fahrzeug erstellt werden. Un-
ter anderem sind alle relevanten Sensoren im Aufbau fest eingebaut. Bei der
Herleitung von Kräfte- und Momentenbilanzen werden keine Bewegungsfrei-
heitsgrade des Aufbaus vernachlässigt. Dabei wurde die Newtonsche Mecha-
nik für das bewegte Koordinatensystem angewendet. Die unsymmetrische
Zuladung wurde ebenso beim Fahrzeugmodell berücksichtigt, da sie die Sta-
bilität des Fahrzeugs stark beeinträchtigt.
57
2. Fahrzeugmodell
58
3. SCHÄTZMODELL
3.1 Forschungsziele
Ein Schätzmodell unterscheidet sich vom Fahrzeugmodell durch die integrier-
ten Sensormodelle. Nicht jeder Fahrzeugzustand kann direkt gemessen wer-
den, deswegen ist es sehr wichtig, die Messverformungskette und die Messfeh-
ler zu beschreiben. Bei der Analyse des Standes der Technik hat bis jetzt die
Integration der Sensormodelle gefehlt.
3.2 Sensoren
Als Versuchsfahrzeug für die online Schätzung der stabilitätsrelevanten Pa-
rameter wurde ein Fahrzeug mit Stahlfeder genommen, siehe die Abbildung
3.1. Es gibt mehrere Sensoren, die im Fahrzeug serienmäßig eingebaut sind.
Abb. 3.1: Versuchsfahrzeug
In diesem Abschnitt werden aber nur diejenigen diskutiert, die für die Wank-
dynamik und Vertikaldynamik relevant sind.
• Seriensensoren
3. Schätzmodell
 ESP-Sensorcluster (Längsbeschleunigung aESP,xESP , Querbeschleu-
nigung aESP,yESP , Gier-Geschwindigkeit ω
ESP,z
ESP )
 Wankratesensor im Air-Bag-Steuergerät ωARB,xARB
• zusätzliche Sensoren
 Federwegsensoren hfdwvl , h
fdw
vr , h
fdw
hl , h
fdw
hr
 aufbaufeste Vertikalbeschleunigungssensoren az1,zz1 , a
z2,z
z2 , a
z3,z
z3
 IMU-Sensorcluster ωIMUIMU , a
IMU
IMU
Bei den Sensoren deutet ein unterer Index einen Einbauort und ein obe-
rer Index eine Basis an. Wegen des Messprinzips der Beschleunigungs- und
Winkelgeschwindigkeitssensoren gilt ein inertiales KS immer als Bezugskoor-
dinatensystem, dies wird im Weiteren nicht extra erwähnt. Die Sensorbasen
(z.B. ESP, ARB, ... siehe sensorbezogenes KS) sollen mit der aufbaufesten
Basis übereinstimmen, können aber durch die Einbautoleranzen davon ab-
weichen.
Hier werden die Messprinzipien der genannten Sensoren, ihre Genauigkei-
ten und die Faktoren, die die Genauigkeit beeinträchtigen, beschrieben. Die
erwähnten Sensoren kann man in drei Typen aufteilen: Beschleunigungs-
sensoren, Drehratesensoren und Federwegsensoren.
Beschleunigungssensor
Der Beschleunigungssensor misst die absolute Beschleunigung asS im Ein-
bauort S entlang seiner Einbauachse, also im sensorbezogenen KS. Für ein
3-dimensionales Sensormodul würde das heißen:
asS =
d
dt
vsS,sE + g
s,
dabei ist
vsS,sE die absolute Geschwindigkeit der Karosserie im Sensoreinbauort
S bezüglich eines inertialen Koordinatensystems in der sensor-
bezogenen Basis s,
gs Erdbeschleunigung in der sensorbezogenen Basis s.
Es gibt mehrere Messprinzipien und Sensorrealisierungen, um die Be-
schleunigung zu messen. In der Abbildung 3.2 wird ein gängiges Messprinzip
aus dem Automotive-Bereich gezeigt: eine mikromechanische Struktur misst
60
3. Schätzmodell
eine Auslenkung vom ausgefederten Teil (blau) bei der Beschleunigung be-
züglich einer festen Bezugselektrode (grün) durch die elektrische Kapazitäts-
änderung.
a) b)
Abb. 3.2: Beschleunigungssensor: a) ohne Beschleunigung, b) mit Beschleunigung,
nach [22]
Die im Fahrzeug eingebauten Sensoren haben unterschiedliche Genauig-
keiten. In der Tabelle 3.1 sieht man die Unterschiede zwischen den Serien-
sensoren und IMU-Sensoren, wobei die letzten eine deutlich höhere Genau-
igkeit haben, und deswegen als Referenzsensoren verwendet werden. Die
aufbaufesten Vertikalbeschleunigungssensoren haben eine schlechtere Genau-
igkeit als ESP-Sensoren, können aber in einem breiteren Frequenzbereich ver-
wendet werden. Solche Charakteristiken wurden gewählt, weil die höheren
Frequenzen bei der Vertikaldynamik öfter als bei der Längs- oder Querdy-
namik vorkommen.
Die Charakteristik des Sensorrauschens wurde als rms (root mean square)
angegeben.
Durch die komplexe Bewegung der Karosserie während der Fahrt spielt der
Einbauort des Sensors eine größere Rolle. Allerdings wird die Karosserie zum
starren Körper approximiert und die gemessene Beschleunigung asS kann da-
durch in beliebige Punkte der Karosserie transformiert werden. Dies gilt
allerdings nur für die Beschleunigungssensoren, die fest in der Karosserie
eingebaut sind.
Für das hergeleitete Wankmodell und die Vertikaldynamik wird es notwen-
dig, die Beschleunigung im Schwerpunkt G zu kennen:
avG,vE =
d
dt
vvG,vE + g
v,
dabei ist
61
3. Schätzmodell
Sensorparameter aufbaufeste Ver-
tikalbeschleuni-
gungssensoren
ESP-Sensoren IMU-Sensoren
Messbereich ±50m/s2 ±59m/s2 ±19.62m/s2
Sensitivitätsfehler ±3% f.s. ±3% f.s. < 0.3% f.s.
Sensitivität zu
den Querachsen
im eingebauten
Zustand
≤ ±5% +
Einbautolenranz
≤ ±4.6% vernachlässigbar
Rauschniveau 0.04m/s2 rms 0.04m/s2 rms 0.04m/s2 rms
Tab. 3.1: Fehler der Beschleunigungssensoren
vvG,vE die absolute Geschwindigkeit im Aufbauschwerpunkt G bezüg-
lich eines inertialen Koordinatensystems in der körperfesten Ba-
sis v,
gv die Erdbeschleunigung in der körperbezogenen Basis s.
Die gemessene Beschleunigung im Sensoreinbauort ist
asS,sE =
d
dt
vsS,sE + g
s. (3.1)
Hier wird die Transformation der gemessenen Beschleunigung in den Schwer-
punkt beschrieben. Für die Geschwindigkeiten in zwei unterschiedlichen Punk-
ten des Starrkörpers gilt:
vsG,sE = v
s
S,sE + ω
s
sE × rsS−G, (3.2)
dabei ist
ωssE die absolute Winkelgeschwindigkeit in der sensorbezogenen Ba-
sis,
rsS−G der Abstand zwischen dem Sensoreinbauort und dem Schwer-
punkt im sensorbezogenen KS.
Für die Transformation der gemessenen Beschleunigung in den Schwerpunkt
wird die Gleichung (3.2) in die Geleichung (3.1) eingesetzt:
asG,sE =
d
dt
vsS,sE +
d
dt
(
ωssE × rsS−G
)
+ gs. (3.3)
Da der Schwerpunkt G fest mit dem Aufbau verbunden ist, gilt
rS−G = const.
62
3. Schätzmodell
Dies erlaubt die Beschleunigung im Schwerpunkt nach (3.3) folgendermaßen
zu beschreiben:
asG,sE =
d
dt
vsS,sE + ω˙
s
sE × rsS−G + ωssE × (ωssE × rsS−G) + gs. (3.4)
Nach dem Ensetzen von (3.1) ins (3.4) hat die Transformation der gemesse-
nen Beschleunigung in den Schwerpunkt folgende Form:
asG,sE = a
s
S + ω˙
s
sE × rsS−G + ωssE × (ωssE × rsS−G). (3.5)
Für diese Transformation wird noch die Messung der Winkelbeschleunigung
ω˙ssE und der Winkelgeschwindigkeit ω
s
sE benötigt. Dafür werden die weiteren
Sensoren sowie ein Drehratesensor verwendet.
Eine weitere Schwierigkeit liegt im unbekannten Abstand zum Schwerpunkt
rsS−G oder in der unbekannten Zuladung.
Dieses Problem wurde in zwei Schritten gelöst. Erstens werden alle ge-
messenen Beschleunigungen in einen Referenzpunkt R transformiert. Die Ko-
ordinaten des Referenzpunktes R wurden so gewählt, dass der Abstand zum
Schwerpunkt
rvR−G =
[
∆yvG ∆x
v
G ∆h
v
G
]T
bei allen möglichen Zuladungen minimal bleibt:
max(∆xvG) = 21[cm]
max(∆yvG) = 20[cm]
max(∆hvG) = 7[cm].
(3.6)
Die weitere Transformation der Beschleunigung vom Referenzpunkt R in den
Schwerpunkt G wurde ins Schätzmodell integriert.
Eine solche Zwischentransformation erlaubt den Einfluss des Sensoreinbauor-
tes vom Zuladungseinfluss zu trennen. Die Position der Beschleunigungs-
sensoren bezüglich des Referenzpunktes kann folgendermaßen definiert wer-
den:
• rESP−R für den ESP-Sensorcluster
• rIMU−R für den IMU-Sensorcluster
• rz1−R, rz2−R für die aufbaufesten Vertikalbeschleunigungssensoren
63
3. Schätzmodell
Für die hergeleiteten Wank- und Vertikalmodelle braucht man die absolute
Beschleunigung in der aufbaufesten Basis. Die Transformation aus der sen-
sorbezogenen in die aufbaufeste Basis erfolgt dann in zwei Schritten.
Erstens wird angenommen, dass der Sensor fest im Aufbau eingebaut ist:
asG,sE = a
s
G,sv︸ ︷︷ ︸
=0
+asG,vE .
Und dann erfolgt die unmittelbare Transformation in die aufbaufeste Basis:
avG,vE = T
v
s a
s
G,vE , (3.7)
wobei die Transformationsmatrix T vs durch die Sensorverdrehung bezüglich
der körperfesten Basis definiert ist.
Die Einbautoleranzen der inertialen MEMS-Sensoren haben einen größeren
Einfluss auf die Messgenauigkeit. Momentan wird der ESP-Sensorcluster
nach folgender Herangehensweise kalibriert: Nach dem Aufbau wird das Fahr-
zeug auf eine horizontale Platte platziert und die dabei gemessenen Be-
schleunigungswerte werden mit den Sollwerten verglichen. Der entstehen-
de Messfehler wird als ein Einbaufehler betrachtet und als solcher fließt er
auch in die Kalibrierung ein. Allerdings ist ein solcher Messfehler nicht nur
durch den Einbaufehler sondern auch durch das Sensoroffset und den Ska-
lierungsfehler bedingt, die in der Spezifikation auch als Unsicherheiten an-
gegeben sind. Diese Fehler müssen während der Fahrt mitgeschätzt werden.
Die weiteren Einbaufehler bezüglich der Längsachse können beim beschrie-
benen Kallibrierungsvorgang nicht bestimmt werden. Es gibt dazu auch die
Untersuchungen nach [23], wie diese Einbaufehler doch kalibriert werden kön-
nen. Allerdings braucht man dafür einen Sensorcluster mit 6 Messgraden und
das Abfahren der Referenzmanöver, was das Kalibrierungsverfahren deutlich
aufwendiger macht.
Für mehrere redundante Sensoren kann die Beschleunigung in einem
Punkt aus unterschiedlichen Messsignalen berechnet werden. Eine solche red-
undante Basis gibt uns die Möglichkeit die Einbautoleranzen und die Zeitver-
zögerungen bei der Signalübertragung für die Seriensensoren zu bestimmen.
Drehratssensor
Der Drehratssensor misst eine absolute Winkelgeschwindigkeit ωssE entlang
seiner Einbauachse im sensorbezogenen KS. Es gibt mehrere Messprinzipi-
en und Sensorrealisierungen, um die Drehgeschwindigkeit zu messen. Ein
gängiges Messprinzip aus dem Automotive-Bereich ist das 'Stimmgabel'-
Messprinzip. Dabei wird eine Corioliskraft gemessen, die durch die Drehrate
64
3. Schätzmodell
entsteht. Aufgrund der Drehbewegung bewegen sich die Zinken der Stimm-
gabel nicht nur aufeinander zu, sondern sie führen zusätzlich seitliche Bewe-
gungen zueinander aus, die durch die Corioliskraft verursacht sind, siehe die
Abbildung 3.3. Diese seitliche Auslenkung ist näherungsweise proportional
zur Drehgeschwindigkeit und kann beispielsweise durch eine kapazitive oder
induktive Messung erfasst werden. Eine der möglichen mikro-mechanischen
ω
Schwingungsbewegung bei
der nichtrotierenden
Stimmgabel
Zusliche
Schwingungsbewegung bei
der Rotation
Abb. 3.3: Messprinzip des Drehgeschwindigkeitssensors
Sensorausführungen ist in der Abbildung 3.4 dargestellt.
Im Gegensatz zum Beschleunigungssensor spielt der Einbauort in der Ka-
Abb. 3.4: Messprinzip des Drehratesensors, nach [24]
rosserie für den Drehratssensor keine Rolle.
65
3. Schätzmodell
O
G
R
rO−G
rO−R
rG−R
Z
Y
Abb. 3.5: Drehrate in zwei unterschiedlichen Punkten des Starrkörpers
Dies ist leicht für die zwei unterschiedlichen Punkte am Starrkörper (R
und G) zu zeigen, siehe die Abbildung 3.5:
rvO−R = r
v
O−G + r
v
G−R,
wobei rvO−R ein Vektor zwischen R und dem Bezugspunkt im körperfesten
KS ist.
Dann gilt für die Geschwindigkeiten entsprechend:
d
dt
rvO−R =
d
dt
rvO−G +
d
dt
rvG−R,
r˙vO−R + ω
v
O−R,vE × rvO−R = r˙vO−G + ωvO−G,vE × rvO−R + r˙vG−R
+ ωvG−R,vE × rvG−R,
was für einen starren Körper mit rvG−R = const wie folgt vereinfacht werden
kann:
ωvO−R,vE × rvO−R = ωvO−G,vE × rvO−G + ωvG−R,vE × rvG−R,
rvO−R = r
v
O−G + r
v
G−R.
Dies gilt nur, wenn die Winkelgeschwindigkeit unabhängig vom Bezugspunkt
ist:
ωvO−R,vE = ω
v
O−G,vE = ω
v
G−R,vE = ω
v
vE .
66
3. Schätzmodell
Es gibt mehrere Drehratssensoren im Versuchsfahrzeug, für welche unter-
schiedliche Genauigkeitsanforderungen gelten. Dies soll bei der Schätzgenau-
igkeit berücksichtigt werden.
Sensorparameter Gierrate Wankrate IMU-Sensoren
Messbereich ±100◦/s ±300◦/s ±75◦/s
Sensitivitätsfehler ≤ ±3% ±3% < 0.2%
Sensitivität zu
Querachsen im
eingebauten
Zustand
≤ ±3.5% +
Einbautolenranz
≤ ±3.5% +
Einbautolenranz
vernachlässigbar
Rauschniveau ≤ 0.15◦/s rms ≤ 2◦/s rms ≤ 0.1◦/s rms
Tab. 3.2: Fehler der Drehratesensoren
Die Einbautoleranzen können zusätzlich noch die Messungen verfälschen.
Dann gelten für die in der Karosserie fest eingebauten Sensoren:
ωssE = ω
s
sv︸︷︷︸
=0
+ωsvE ,
ωvvE = T
v
s ω
s
vE .
Allerdings sind die Einbautoleranzen durch die Anforderungen beim Fahr-
zeugzusammenbau, und die Winkelgeschwindigkeiten in Normalfahrtbedin-
gungen begrenzt. Dadurch ist der Messfehler der Gierrate vernachlässigbar
ωszsE = ω
vz
vE (3.8)
und die Messfehler von den Nick- und Wankratesensoren können als eine
Funktion der Gierrate abgebildet werden:
ωsxsE = ω
vx
vE + αzxω
vz
vE , (3.9)
ωsysE = ω
vy
vE + αzyω
vz
vE .
Federwegsensor
Eine vertikale Verschiebung hi des Radmittelpunktes bezüglich der Kon-
struktionslage wird im Weiteren als Federweg bezeichnet:
hvl = r
vz
vl−O.
67
3. Schätzmodell
Messbereich −35◦ ± 2◦...+ 35◦ ± 2◦
Nullpunktfehler ±1 %
Gesamtfehler ±2%bezogen auf Messbereich
Tab. 3.3: Fehler des Winkelmessers
In dieser Arbeit wird ein Federwegsensor für die Abbildung der Kopplungs-
kräfte zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk eingesetzt. Bei der Trans-
formation des Federwegs in die Federkraft spielt das Sensoroffset eine ent-
scheidende Rolle. In den aktuellen Serienfahrzeugen wurden die Federwegsen-
soren für die Scheinwerfereinstellung, Niveauregulierung und Verstelldämp-
fung genutzt. Dabei war ein primäres Ziel die Radkinematik abzubilden.
Der Federweg wird mit dem potentiometrischen Winkelsensor (siehe die Ab-
bildung 3.6 in blau) während der Fahrt gemessen.
Abb. 3.6: links - Photo des Federwegsensors (blau) aus dem Versuchsfahrzeug,
rechts - technische Skizze nach [20]
Dieser Sensor wird zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk eingebaut.
Hier liegt folgende Messverformungskette vor:
• Durch die Messspannung wird ein Winkel in der Einbauvorrichtung
zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk abgebildet
• Durch einen Winkel zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk wird
ein Federweg abgebildet
Die Sensorspezifikation beschreibt die erste Verformung (in den Winkel),
siehe die Tabelle 3.3. Die Eigenschaften der zweiten Verformung (in den Fe-
derweg) hängen vom Einbauort des Sensors und von den Eigenschaften der
68
3. Schätzmodell
Fahrwerksachse ab. Die Abbildung der zweiten Verformung wird durch das
weitere Kalibrieren erreicht.
Das Kalibrieren des Skalierungsfaktors vom Federwegsensor wird mittels
einer Hebebühne durchgeführt. Dabei wird die Karosserie senkrecht zum
Boden angehoben. Der Referenzabstand vom Radmittelpunkt bis zum ge-
wählten Karosseriepunkt wird gemessen. Dies kann mit unterschiedlichen
Verfahren realisiert werden. Auf der Basis der Vermessungen des Referenz-
abstands werden die Kennfelder des Skalierungsfaktors gebildet.
Anhand der Definition entspricht dem Federweg eine vertikale Verschiebung
des Radmittelpunktes bezüglich der Konstruktionslage. Während des Ka-
librierens mit der Hebebühne wird allerdings kein Abstand zur Konstruk-
tionslage, sondern ein Abstand zu einem beliebigen Punkt der Karosserie
gemessen. Dies unterscheidet sich vom Federweg durch den konstanten Off-
set.
Für die Seriensensoren misst man diesen Offset direkt in der Konstruktions-
lage.
Da ein Versuchsfahrzeug immer eine zusätzliche Zuladung durch die Mes-
stechnik hat und die Federwegsensoren für das Stahlfeder-Fahrzeug nicht
serienmäßig vorgesehen sind, musste ein Federweg-Offset durch einen zu-
sätzlichen Wiegeversuch korrigiert werden. Dabei wird das Fahrzeug auf eine
Industriewaage gestellt und an jedem einzelnen Rad wird die Normalkraft
Ni,fz∀i ∈ {vl, vr, hl, hr}, gemessen.
Aus dieser Normalkraft wird der Beitrag des Fahrwerks ausgerechnet und
der Rest wird als Federkraft Ni,v zwischen der Karosserie und dem entspre-
chenden Rad berechnet:
Ni,v = Ni,fz −mig,
wobei mi die verteilte Fahrwerkmasse auf den einzelnen Radmittelpunkt ist.
Anhand der Federkraft-Kennfelder aus den FKE-Versuchen (siehe die Seite
78)
{N˜ ji,v, h˜ji},
und Federwegsignalen kann die entsprechende Federkraft interpoliert werden
h
(j)
i , N
j
i,v
und dadurch kann der Sensoroffset berechnet werden:
hi,offs = hi(Ni,v)− hi,
wobei hi ein gemessener Federweg und hi(Ni,v) ein interpolierter Federweg
für die Federkraft Ni,v ist.
69
3. Schätzmodell
Hier muss man beachten, dass für die Vermessung der Kopplungskraft die Fe-
derwegsignale erst dann geeignet sind, wenn die Räder sich im frei rollenden
Zustand befinden. Dies liegt daran, dass die Radbahn außer einer Einfede-
rung bezüglich der Karosserie auch einen Querversatz hat. Beim Beladen,
bzw. Entladen des Fahrzeugs im Stand kann kein Querversatz entstehen und
das Rad befindet sich im kinematisch ungünstigen Zustand. Dadurch ent-
stehen zusätzliche Einspannkräfte, wegen denen die Federkraft-Kennfelder
nicht mehr gültig sind. Die zusätzlichen vertikalen Einspannkräfte liegen im
Bereich 5% der gesamten Vertikalkraft (ausgerechnet für das Versuchsfahr-
zeug). Dies wird erheblich die Schätzgenauigkeit von Wank- und Vertikalm-
odell beeinträchtigen.
Nach dem beschriebenen Kalibrierverfahren bleiben nur die folgenden Fehler
im Federwegsignal:
∆hi = αhhi + h˜i,offs
• αhhi Fehler durch den Winkelmesser, |αh|≤ 0.02
• h˜i,offs Fehler durch den Feder-Kennfeldfehler und die Bautoleranzen.
Der Betrag des Fehlers durch die Bautoleranzen ist schwer einzuschätzen, da
es noch keine systematischen Untersuchungen diesbezüglich gibt. Allerdings
reduziert das Kalibrierverfahren mit Wiegeversuchen den Einfluss dieses Feh-
lers vergleichbar mit dem Serienkalibrieren deutlich.
3.3 Fahrwerkmodell
Bei der Herleitung des Wank- und Vertikaldynamik wurde vorausgesetzt,
dass die äquivalenten Kräfte und Momente im Schnittpunkt W berechnet
werden können, siehe die Seite 42. Dies passiert anhand der verfügbaren Sen-
soren und dem Fahrwerkmodell. In diesem Abschnitt wird das angenommene
Fahrwerkmodell und die Berechnung der äquivalenten Kräfte und Momente
beschrieben.
Die äquivalenten Kräfte und Momente im Schnittpunkt W sind durch die
folgenden Faktoren bedingt:
• einwirkende Kräfte und Momente,
• die Kopplungseigenschaften zwischen der Karosserie und dem Fahr-
werk.
Einwirkende Kräfte und Momente verursachen die Bewegung der Karosserie
bezüglich des Fahrwerks. Diese Bewegung wird anhand der Federwegsenso-
ren gemessen. Die Kopplungseigenschaften definieren, welche äquivalenten
70
3. Schätzmodell
Kräfte und Momente bei dieser Bewegung entstehen.
Um solche Kopplungseigenschaften abzubilden, wird Folgendes gebraucht:
• ein parameterabhängiges Fahrwerkmodell, siehe die Abbildung 3.7
• die einwirkenden Kräfte und Momente
• die Bewegung der Karosserie bezüglich des Fahrwerks
Ofb
Zfb
Y fb
hhub
∆yvG
G
φFb φRf
φs
W
Abb. 3.7: Fahrwerk der Mercedes M-Klasse nach [8] und das Fahrwerksmodell
Die dafür benötigten Experimente werden anhand des FKE-Prüfstands
(Fahrwerk-Kinematik-Elastokinematik) und der Vermessung von einzelnen
Fahrwerkselementen durchgeführt.
Fyhl
G
Nhl
Nhr
Fyhr
h
l
h
r
∆y˜hl ∆y˜hr
Abb. 3.8: links - Wirkungsprinzip des FKE-Prüfstandes, rechts - Prüfstand zur Ver-
messung der Stoßdämpfer nach [25]
Ein FKE-Prüfstand erlaubt die einwirkenden Kräfte und Momente im
Radmittelpunkt und die Radaufstandsposition unter statischen Bedingun-
gen zu messen, siehe die Abbildung 3.8 links.
71
3. Schätzmodell
Falls dynamische Kräfte und Momente auf das Fahrzeug einwirken, werden
die zusätzlichen Kräfte im Stoßdämpfer entstehen. Um die Kopplungseigen-
schaften auch bei dynamisch einwirkenden Kräften und Momenten abbil-
den zu können, wurden die Dämpferkräfte für unterschiedliche Federwegge-
schwindigkeiten gemessen, siehe die Abbildung 3.8 rechts.
Beim Fahrwerksmodell wird angenommen, dass die Karosserie eine nicht-
lineare und zeitinvariante Wank- und Hubsteifigkeit bezüglich der Räder
besitzt. Das Reifenmodell ist schwer abzubilden, da es von mehreren Um-
weltfaktoren abhängt. Deswegen wurde hier ein Fahrzeugmodell ohne Reifen
angenommen. Dann werden die einwirkenden Kräfte nicht mehr an der Rei-
fenaufstandsfläche sondern am Radmittelpunkt angelegt.
Die einwirkenden Kräfte kann man am FKE-Prüfstand messen.. Dabei wird
die Karosserie fest im Raum fixiert. Die einzelnen Radmittelpunkte werden
fest mit der bewegten hydraulischen Plattform verbunden. Die der Radmitte
bezogenen Kräfte Ni, Fyi werden in der Vertikal- und Querrichtung im kör-
perfesten KS durch Dehnmessstreifen gemessen. In weiteren Bezeichnungen
bedeutet Index i jedes einzelne Rad i ∈ {vl, vr, hl, hr}. Dabei wird die Mess-
genauigkeit für ein angenommenes Fahrzeug bis auf 1 N gewährleistet.
Die Bewegung der Karosserie bezüglich des Fahrwerks wird anhand der Be-
wegung der Radaufstandsposition hi+rrad,∆y˜i mit inkrementellen Wegmes-
sern im körperfesten KS gemessen. Für die Vermessung der Radaufstandspo-
sition werden die starren Radstützen genutzt. Dabei entspricht der Radstütz-
radius rrad dem Radius des echten Rades mit dem Reifen ohne Verformung.
Allerdings ändert sich der Radstützradius nicht durch die einwirkenden Kräf-
te. Die Genauigkeit der Radaufstandsposition reicht dabei bis 10−4[m].
Die Bewegung des Radaufstandspunktes bezüglich der Karosserie findet
entlang der Radbahn γi statt, siehe die grüne gestrichelte Linie in der Ab-
bildung 3.9.
s˜vl = γ1(hvl),
s˜vr = γ2(hvr),
s˜hl = γ3(hhl),
s˜hr = γ4(hhr).
Solche Radbahnen können gut während der einseitigen Einfederungsversu-
che am FKE-Prüfstand beobachtet werden. Dabei wird die Radmittelpunkt-
verschiebung durch die Normalkraft Ni verursacht. Im Weiteren wird ange-
nommen, dass die Form der Radbahnen sich mit der Wirkung der Querkraft
nicht ändert.
72
3. Schätzmodell
∆yvG
G
φFb φRf
φs
W
Gu
Fwy
Fwz
Mwx
P
dpvzug
dt
dpvyug
dt
Nhr
Fyhr
Fyhl
Nhl
γ1
hvl
rRad
s˜vl
η1(hvl)
φvs
Abb. 3.9: Einwirkende Kräfte im Fahrwerk
Grundsätzlich gelten solche Radbahnen als eine holonome Bindung des Fahr-
werks. Bei der reibungsfreien Bewegung des Radaufstandspunktes entlang
der Kurve entstehen zwei Reaktionskräfte Fr,vl, Fr,vlx jeweils pro Rad, die
senkrecht zur Kurve gerichtet sind. Für die Momentenbilanz entlang der
Längsachse wird nur Fr,vl betrachtet. Das Momentanzentrum einer Fahr-
werkachse entsteht im Schnittpunkt zwischen den beiden Normalen zu den
Radbahnen (Wirkungslinien der Reaktionskräfte), siehe die Abbildung 3.9.
Beim Wankmodell wurde angenommen, dass das Nicken zwischen Fahrwerk
und Karosserie vernachlässigbar ist. Dadurch wird die Summe der Normal-
kräfte an einer Fahrwerkachse quasi konstant bleiben. Dann können die Rad-
bahnen und die Schwerpunktlage des Fahrwerks als symmetrisch bezüglich
der Längsachse angenommen werden. Anhand dessen kann eine weitere An-
nahme für das Momentanzentrum getroffen werden:
rvyW−Pv = 0, r
vz
W−Pv = hPv = const, ∀hvl, hvr,
73
3. Schätzmodell
rvyW−Ph = 0, r
vz
W−Ph = hPh = const, ∀hhl, hhr.
Anhand dieser Annahmen werden die Gleichungen für die holonomen Bin-
dungen erstellt. Die holonomen Bindungen kann man folgendermaßen be-
schreiben:
hPv = hvl + rRad − η(hvl)γ(hvl)
hPv = hvr + rRad − η(hvr)γ(hvr)
hPh = hhl + rRad − η(hhl)γ(hhl)
hPh = hhr + rRad − η(hhr)γ(hhr)
(3.10)
wobei
η(hvl) =
1
∂γ1(hvl)
∂hvl
=
rvzvl−Pv
rvyvl−Pv
eine Steigung des Radbahnnormals im gewählten Radaufstandspunkt im kör-
perfesten Koordinatensystem ist.
Bei den solchen Radbahnen wird der Radstützwinkel, der bei der wechselsei-
tigen Einfederung entsteht nicht berücksichtigt. Die Bindungen (3.10) kön-
nen nach dem Langrange-Formalismus wie folgt definiert werden:
g1(hvl) = hPv − hvl + η(hvl)γ(hvl) = 0,
g2(hvr) = hPv − hvr + η(hvr)γ(hvr) = 0,
g3(hhl) = hPh − hhl + η(hhl)γ(hhl) = 0,
g4(hhr) = hPh − hhr + η(hhr)γ(hhr) = 0.
Die einwirkenden Kräfte und Momente auf das ungefederte Teilsystem sind
in der Abbildung 3.9 blau markiert. Die Kräfte- und Momentenbilanz für ein
System mit holonomen Bindungen unterscheidet sich von einen System ohne
holonome Bindungen durch die zusätzlich einwirkenden Bindungskräfte Fr
und BindungsmomenteMr. Weiter werden die Kräfte- und Momentebilanzen
im fahrzeugfesten Koordinatensystem erstellt. Da sich das radfeste Koordi-
natensystem vom fahrzeugfesten Koordinatensystem unterscheidet, müssen
die Kräfte in den Reifenaufstandsflächen in das fahrzeugfeste Koordinaten-
74
3. Schätzmodell
system projiziert werden:
Py
(
d
dt
pvug,vE
)
=Fwy − (Fyvl + Fyvr)cosφvs − (Fyhl + Fyhr)cosφhs
+ (Nvl +Nvr)sinφvs + (Nhl +Nhr)sinφvs
+muggsinφ+ F
vy
r
Pz
(
d
dt
pvug,vE
)
=Fwz − (Nvl +Nvr)cosφvs − (Nhl +Nhr)cosφhs
− (Fyvl + Fyvr)sinφvs − (Fyhl − Fyhr)sinφhs
+muggcosφ+ F
vz
r
Px
(
d
dt
Lvug,vE
)
=Mwx −
∑
Fyir
vz
i−ug −
∑
Nir
vy
i−ug +M
vx
r ,
(3.11)
wobei Px(...), Py(...), Pz(...) die Projektionen auf die entsprechende Achse im
fahrzeugfesten Koordinatensystem bedeuten.
Die Bindungskräfte und -momente können durch den Lagrange-Formalismus
folgendermaßen beschrieben werden
F vyr =λr1
∂g1
∂rvy
Gu−OE
+ λr2
∂g2
∂rvy
Gu−OE
λr3
∂g3
∂rvy
Gu−OE
+ λr4
∂g4
∂rvy
Gu−OE
(3.12)
F vzr =λr1
∂g1
∂rvz
Gu−OE
+ λr2
∂g2
∂rvz
Gu−OE
λr3
∂g3
∂rvz
Gu−OE
+ λr4
∂g4
∂rvz
Gu−OE
(3.13)
Mvxr =λr1
∂g1
∂(φFb,v + φRf,v + φsv)
+ λr2
∂g2
∂(φFb,h + φRf,h + φsh)
λr3
∂g3
∂(φFb,v + φRf,v + φsv)
+ λr4
∂g4
∂(φFb,h + φRf,h + φsh)
.
(3.14)
Solche holonome Bindungen g1, g2, g3 und g4 werden die Schwerpunktlage
des Fahrwerks nicht ändern
∂g1
∂rvy
Gu−OE
= 0,
∂g2
∂rvy
Gu−OE
= 0
∂g3
∂rvy
Gu−OE
= 0,
∂g4
∂rvy
Gu−OE
= 0
75
3. Schätzmodell
∂g1
∂rvz
Gu−OE
= 0,
∂g2
∂rvz
Gu−OE
= 0
∂g3
∂rvz
Gu−OE
= 0,
∂g4
∂rvz
Gu−OE
= 0.
Allerdings werden sie ein zusätzliches Drehmoment Mvxr verursachen
∂g1
∂(φFb,v + φRf,v + φsv)
=
∂g1
∂φsv
,
∂g2
∂(φFb,h + φRf,h + φsh)
=
∂g2
∂φsh
.
Die Wankwinkel der Fahrwerkachsen bezüglich der Karosserie φsv und φsh
werden anhand der weiteren geometrischen Zusammenhänge berechnet:
tanφsv = f1(hvl, hvr) =
hvl − hvr
γ1(hvl) + γ2(hvr)
,
tanφsh = f2(hhl, hhr) =
hhl − hhr
γ3(hhl) + γ4(hhr)
.
Da es keine direkte Abhängigkeit zwischen den Bindungsgleichungen und
den Wankwinkeln φsv und φsh gilt, kann folgender Umweg in der Berechnung
vorgenommen werden:
∂g1
∂φsv
=
∂g1
∂hvl
∂hvl
∂φsv
∂g2
∂φsv
=
∂g2
∂hvr
∂hvr
∂φsv
∂g3
∂φsh
=
∂g3
∂hhl
∂hhl
∂φsh
∂g4
∂φsh
=
∂g4
∂hhr
∂hhr
∂φsh
.
wobei für die partiellen Ableitungen der Federwege bezüglich des Wankwin-
kels folgendes gilt:
1
cos2φsv
dφsv =
∂f1
∂hvl
dhvl +
∂f1
∂hvr
dhvr,
1
cos2φsh
dφsh =
∂f2
∂hhl
dhhl +
∂f2
∂hhr
dhhl.
76
3. Schätzmodell
Für kleine Winkel kann Folgendes angenommen werden:
1 =
∂f1
∂hvl
dhvl
dφsv
+
∂f1
∂hvr
dhvr
dφsv
,
1 =
∂f2
∂hhl
dhhl
dφsh
+
∂f2
∂hhr
dhhr
dφsh
.
Die weitere analytische Berechnung der Reaktionsmomente beim Wanken ist
aufwändig und an der Stelle wird ein Modell eingeführt, das für eine online
Schätzung nach [26] und [27] verwendet wurde.
Annahme 4. Der Einfluss der kinematischen Bindungen im Fahrwerk wird
folgendermaßen modelliert:
(3.15 )
Px
(
d
dt
Lvug,vE
)
+
∑
Fyir
vz
i−W +
∑
Nir
vy
i−W − λr1
∂g1
∂φsv
− λr2 ∂g2
∂φsh
−λr3 ∂g3
∂φsv
−λr4 ∂g4
∂φsh
= (Nvl−Nvr)sv
2
+(Nhl−Nhr)sh
2
−FwyhWP ,
wobei hWP der konstante Abstand zwischen dem Schnittpunkt W und den
Momentanzentren Pv und Ph ist:
hWP =
rvzW−Pv lv + r
vz
W−PH lh
l
.
Dadurch kann man die Berechnung der äquivalenten Kräfte und Momente
folgendermaßen darstellen:
Fwz = Nvl +Nvr +Nhl +Nhr +O
Mwx = (Nvl −Nvr)sv
2
+ (Nhl −Nhr)sh
2
− FwyhWP +O
wobei Ni die Normalkräfte im Radmittelpunkt für das Fahrzeug ohne Räder
sind.
Anhand der Annahme, dass die Karosserie eine nichtlineare und zeitin-
variante Wank- und Hubsteifigkeit bezüglich des Fahrwerks besitzt, können
diese radmittebezogenen Normalkräfte als weitere Kraftsumme dargestellt
werden:
Ni = F
Feder
z,i + F
Dmp
z,i + F
Reibung
z,i + F
Wank
z,i + F
Nick
z,i (3.16)
77
3. Schätzmodell
dabei ist
FFederz,i = c
Feder
i hi eine Federkraft mit der Federsteifigkeit c
Feder
i ,
FDmpz,i = c
Dmp
i h˙ij
2
i eine Dämpferkraft mit der Dämpfersteifigkeit
cDmpi und dem Übersetzungswert j für den
Dämpfereinbauort zum Radmittelpunkt,
FReibungz,i eine Reibungskraft,
FWankz,vl =
1
2c
Wank
v
hvl−hvr
sv
eine durch die Wanksteifigkeit verursachte Kraft,
FNickz,vl = c
Nick
l
hvl−hhl
lv
eine durch die Nicksteifigkeit verursachte Kraft.
Die entsprechenden Feder-, Dämpfer und Wanksteifigkeiten können aus den
folgenden FKE-Messversuchen ermittelt werden.
• Gleichseitige Einfederung: Beide Räder von vorderer oder hinterer Ach-
se werden gleich weit ein/ausgefedert. Die radbezogenen Kräfte, Feder-
wege und Querversätze der Radaufstandspunkte jedes einzelnen Rades
werden dabei gemessen.
• Wechselseitige Einfederung: Linkes und rechtes Rad von vorderer oder
hinterer Achse werden in der Gegenphase aber mit gleicher Amplitude
ein/ausgefedert. Die radbezogenen Kräfte, Federweg und Querversatz
jedes einzelnen Radaufstandspunktes werden dabei gemessen. Bei der
wechselseitigen und einseitigen Einfederung befinden sich die Räder im
äquivalenten freirollenden Zustand, was durch einen entsprechenden
Radquerversatz ∆y˜i erreicht wird.
• Reibungsversuche: Dabei werden die Hysterese-Effekte der Vertikal-
kräfte bei vertikalen Anregungen mit diversen Amplituden und Fre-
quenzen beobachtet. Solche Effekte werden danach als Systemreibung
abgebildet. Allerdings liegen dabei die Testfrequenzen prüfstandsbe-
dingt deutlich unter den Anregungsfrequenzen während der Normal-
fahrt.
Bei der gleichseitigen Einfederung entsteht kein Wankmoment, die Dämp-
ferkräfte sind durch die quasistatischen Bedingungen vernachlässigbar und
dadurch werden nur die Federkräfte im Radmittelpunkt gemessen:
Ni = Cf,i(hi)hi.
Erst bei der wechselseitigen Einfederung wird die Wanksteifigkeit einen Ein-
fluss haben:
Nvl = Cf,vl(hvl)hvl +
1
2
cWankv
hvl − hvr
s˜vl + s˜vr
.
78
3. Schätzmodell
Anhand gleichseitiger und wechselseitiger Einfederung können die Kennfel-
der für die Federsteifigkeiten Cf,i(hi) und Wanksteifigkeiten cWankv , c
Wank
h
bestimmt werden.
Die Modellierung der Reibungskraft ist eine komplexe Aufgabe, da FReibungz,i
von mehreren äußeren Bedingungen abhängt. Deswegen wird die Reibungs-
kraft in dieser Arbeit gar nicht modelliert, sondern es wird untersucht, unter
welchen Bedingungen der Einfluss der Reibungskraft vernachlässigbar wird.
Annahme 5. In aktuellen Fahrwerksystemen gibt es keine mechanischen
Teile die zur Nicksteifigkeit beitragen können, deswegen wird hier angenom-
men, dass die Nicksteifigkeit vernachlässigbar wird.
Bei der Bestimmung der Federsteifigkeiten und der Wanksteifigkeiten
wurde das Fahrzeug ohne Reifen vermessen. Beim Fahrzeug mit Reifen wer-
den die einwirkenden Kräfte an der Reifenaufstandsfläche angelegt. Es soll
deswegen untersucht werden, wie die äquivalenten Kräfte und Momente für
ein solches System berechnet werden können. Anhand des Viertelfahrzeug-
modells kann gezeigt werden, dass das Berechnungsverfahren für das äqui-
valente Wankmoment gleich bleibt, siehe die Abbildung 3.10.
Hier wird das Rad als Masse mvl und das Feder-Dämpfer System kFdvl , k
Dp
vl
Mvl
mvl
cFdvl
cDpvl
kDpvlkFdvluvl
hvlR
hvlA
Mvlg
mvlg
FFdvl F
Dp
vl
RDpvl
RFdvl
FFdvl F
Dp
vl
Nvl
Abb. 3.10: Viertelfahrzeugmodell, Reifeneinfluss
bezüglich des Bodens modelliert. Die Kopplung zwischen dem Rad und dem
79
3. Schätzmodell
Aufbau wird durch die Feder-Dämpfer Elemente cFdvl , c
Dp
vl modelliert. Der
Aufbau wurde als starrer Körper mit der Masse Mvl modelliert. Die Boden-
anregung und die eingeprägten Kräfte verursachen die Reifenverformungen
hvl,R − uvl 6= const.
Dadurch entstehen die Feder-Dämpfer Reifenkräfte RFdvl , R
Dp
vl . Die Bewegung
des Schwerpunktes des Rades wird durch diese Kräfte beeinflusst. Die Be-
wegung des Aufbaus wird durch die eingeprägten Kräfte Nvl,Mvlg,mvlg, die
Kopplungskräfte FFdvl , F
Dp
vl und die Reifenkräfte R
Fd
vl , R
Dp
vl verursacht. Dabei
gelten für das Viertelfahrzeugmodell folgende Bewegungsgleichungen:
Mvlh¨
A
vl = −Mvlg − FFdvl − FDpvl
mvlh¨
R
vl = −mvlg −RFdvl −RDpvl + FFdvl + FDpvl
Dabei sieht man, dass die Bewegung der Räder und des Aufbaus stark durch
das Reifenmodell beeinträchtigt wird. Allerdings ändern sich die Kopplungs-
eigenschaften cFdi , c
Dp
i dadurch nicht und deswegen können die Kopplungs-
kräfte immer noch folgendermaßen berechnet werden:
FFdvl = c
Fd
vl (h
A
vl − hRvl)
FDpvl = c
Dp
vl (h˙
A
vl − h˙Rvl),
Der Abstand hvl = (hAvl − hRvl) und die Geschwindigkeit h˙vl = h˙Avl − h˙Rvl
sind zwar stark durch das Reifenmodell beeinflusst, werden aber mit den
Federwegsensoren gemessen. Dadurch werden die äquivalenten Kräfte und
Momente zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk abgebildet.
Das Reifenmodell kann auch die holonomen Bindungen für das Fahrwerk be-
einträchtigen, dies wird aber in Rahmen dieser Arbeit nicht extra untersucht.
Unter Berücksichtigung der Annahme 4, der Gleichung (3.16) und der An-
nahme, dass die Reibungskraft zwischen den Fahrwerkselementen FReibungz,i
und die Nicksteifigkeit des Fahrwerks vernachlässigt sind kann das äquiva-
lente Moment im Schnittpunkt W folgendermaßen berechnet werden:
(3.17)
Mwx = (c
Feder
v hvl + c
Dmp
v h˙vlj
2
v − cFederv hvr − cDmpv h˙vrj2v)
sv
2
+ (cFederh hhl + c
Dmp
h h˙hlj
2
h − cFederh hhr − cDmph h˙hrj2h)
sh
2
+ cWankv
hvl − hvr
sv
+ cWankh
hhl − hhr
sh
− hWPFwy,
Dabei werden die Feder-, Dämpfer- und Wanksteifigkeiten aus den oben de-
finierten FKE-Einfederungsversuchen berechnet.
80
3. Schätzmodell
3.4 Schätzung der kinematischen Größen
Für die Wankdynamik (2.19) ist die Wankbeschleunigung die einzige kine-
matische Größe, die nicht mit dem verfügbaren Sensorportfolio gemessen
werden kann. Dafür gibt es aber zwei Möglichkeiten, die Wankbeschleuni-
gung im beschriebenen Versuchsfahrzeug zu schätzen:
• aus aufbaufesten az-Sensoren
• durch die Ableitung der Wankrate ωvxvE
Beide dieser Möglichkeiten haben ihre Vor- und Nachteile. So ist die Messung
der Wankbeschleunigung anhand der az - Sensoren sehr empfindlich bezüg-
lich der Einbaufehler und die Ableitung der Wankrate hat eine filterbedingte
Zeitverzögerung.
Die Faktoren, die einen wichtigen Einfluss auf die Schätzgenauigkeit ha-
ben, werden durch die parametrischen Fehlermodelle abgebildet. Anhand der
Komplexität der Fehlermodelle kann entschieden werden, welches Messver-
fahren für unsere Schätzaufgabe am besten geeignet ist.
Anschließend wurden die beiden Messverfahren im Versuchsfahrzeug für ein
relevantes Manöver angewendet und validiert.
Wankbeschleunigung aus az-Sensoren
Die absolute Beschleunigung kann in jedem Punkt des Fahrzeugs nach der
Gleichung (3.5) berechnet werden. Dafür braucht man eine absolute Refe-
renzbeschleunigung in einem anderen Punkt avS,vE , die Drehrate ω
v
vE , die
Winkelbeschleunigung und den Abstand bis zum gewünschten Punkt. Falls
im Fahrzeug zwei oder mehr redundante Beschleunigungssensoren az1,zz1 und
az2,zz2 eingebaut sind, für welche die Annahme
az1,zz1 =a
vz
z1 (3.18)
az2,zz2 =a
vz
z2 (3.19)
gilt, und anhand der Gleichung (3.5) folgender kinematische Zusammenhang
(3.20)a
vz
z2 = a
vz
z1 + ω˙
vx
vEr
vy
z1−z2 − ω˙vyvErvxz1−z2 − (ωvyvE2 + ωvxvE2)rvzz1−z2
+ ωvzvEω
vx
vEr
vx
z1−z2 + ω
vz
vEω
vy
vEr
vy
z1−z2
gilt, und der Abstand zwischen den beiden rvz1−z2 bekannt ist, kann die
Wankbeschleunigung ω˙vxvE berechnet werden: Dabei hat die Gleichung (3.20)
81
3. Schätzmodell
die größte praktische Beobachtbarkeit bezüglich der Wankbeschleunigung,
falls die Einbauorte der az-Sensoren folgende Eigenschaft besitzen:
rvxz1−z2 = 0,
rvyz1−z2 =→ max,
rvzz1−z2 = 0.
Dies wurde durch den Einbau der az-Sensoren nah an den Federbeinen ein-
gehalten, siehe die Abbildung 3.11. Dadurch kann die Wankbeschleunigung
ω˙vxvE folgendermaßen berechnet werden:
ω˙vxvE =
avzz2 − avzz1
rvyz1−z2
− ωvzvEωvyvE . (3.21)
Die oben beschriebene Herangehensweise berücksichtigt immer noch nicht
den Einfluss der Einbautoleranzen und Sensorfehler.
Dies kann folgendermaßen im Modell integriert werden:
ω˙vxvE =
T vz2(a
z2
z2 − az2z2,offs)− T vz1(az1z1 − az1z1,offs)
rvyz1−z2
− ωvzvEωvyvE ,
dabei sind
T vz1, T
v
z2 die Transformationsmatrizen von den Sensorbezo-
genen KS in ein körperfestes KS,
az1,zz1,offs, a
z2,z
z2,offs die Parameter des herstellungsbedingten Sensoroff-
sets.
Der Sensoroffset nach der Spezifikation hat eine langsame Dynamik und kann
für die einzelne Fahrt als konstant angenommen werden. Aus allen herstel-
lungsbedingten Fehlerquellen wurde hier nur der Sensoroffset abgebildet, da
nur diese Fehlerart modelliert werden kann.
Die Einbaufehler wurden durch die Winkel ∆φz1, ∆θz1 und entsprechend
∆φz2, ∆θz2 abgebildet, siehe die Abbildung 3.11. Die Winkel ∆θz1 und ∆θz2
entstehen durch die Verdrehung des Sensors um die Y -Achse.
82
3. Schätzmodell
A−A
A−A
Zv
Y v
q
h
O
G
Zv
Y v
G
Zz1
Y z1
∆φz1
Abb. 3.11: Einbaufehler der az-Sensoren, überarbeitete Abbildung nach [8]
Dadurch lässt sich die Transformationsmatrix folgendermaßen beschrei-
ben:
T vz1 =
 cos∆θz1 0 sin∆θz1−sin∆φz1sin∆θz1 cos∆φz1 sin∆φz1cos∆θz1
−cos∆φz1sin∆θz1 −sin∆φz1 cos∆φz1cos∆θz1
 ,
wobei die Winkel klein genug sind, um die cos-Funktionen mit dem Wert 1
zu approximieren.
Die Fehlermodelle der Sensoren nehmen dann folgende Form an:
avzz1 = a
z1,z
z1 − αy1az1,yz1 − αx1az1,xz1 − avzz1,offs + ez1
avzz2 = a
z2,z
z2 − αy2az1,yz2 − αx2az2,xz2 − avzz2,offs + ez2,
(3.22)
dabei sind
αy1, αx1, αy2, αx2 Konstanten, bedingt durch die Einbaufehler,
avzz1,offs, a
vz
z2,offs die Projektionen des Sensoroffset,
ez1, ez2 das Sensorrauschen.
Bei den Fehlermodellen wird angenommen, dass die Sensitivität zur sen-
sorbezogenen Querbeschleunigung anhand der Querbeschleunigung im ESP-
Koordinatensystem abgebildet werden kann:
az1,yz1 = a
ESP,y
z1 ,
az2,yz2 = a
ESP,y
z2 ,
az1,xz1 = a
ESP,x
z1 ,
az2,xz2 = a
ESP,x
z2 ,
(3.23)
83
3. Schätzmodell
und dass bei den gefilterten Signalen das Sensorrauschen vernachlässigbar
ist.
Die Annahmen (3.23) gelten nur, weil die zusätzlichen Transformationsterme
im Fehlermodell vernachlässigbar klein werden. Dabei muss die durch ESP
gemessene Beschleunigung immer noch zum Einbauort des az-Sensors nach
der Analogie zur Gleichung (3.5) transformiert werden.
(3.24)
aESP,yz1 = a
ESP,y
ESP + ω˙
ESP,z
ESP r
vx
ESP−z1 − ω˙ESP,xESP rvzESP−z1
− (ωESP,zESP
2
+ ωESP,xESP
2
)rvyESP−z1 +O
(3.25)
aESP,yz2 = a
ESP,y
ESP + ω˙
ESP,z
ESP r
vx
ESP−z2 − ω˙ESP,xESP rvzESP−z2
− (ωESP,zESP
2
+ ωESP,xESP
2
)rvyESP−z2 +O
(3.26)
aESP,xz1 = a
ESP,x
ESP + ω˙
ESP,y
ESP r
vz
ESP−z1 − ω˙ESP,zESP rvyESP−z1
− (ωESP,yESP
2
+ ωESP,zESP
2
)rvxESP−z1 +O
(3.27)
aESP,xz2 = a
ESP,x
ESP + ω˙
ESP,y
ESP r
vz
ESP−z2 − ω˙ESP,zESP rvyESP−z2
− (ωESP,yESP
2
+ ωESP,zESP
2
)rvxESP−z2 +O
Die Berechnung der Wankbeschleunigung unter solchen Bedingungen wird
folgende vereinfachte Form haben:
(3.28)
ω˙vxvE(1− αy
rvzESP−z1
rvyz1−z2
)
=
(az2,zz2 − az1,zz1 − aoffs − αy(aESP,yESP + ...)− αx(aESP,xESP + ...))
rvyz1−z2
+O,
Dabei müssen die Konstanten αy, αx für jedes einzelne Fahrzeug und aoffs
für jede einzelne Fahrt geschätzt werden.
Hier wird ausgewertet, ob die Einbaufehler αy, αx vernachlässigt werden kön-
nen. Die gesamte Querempfindlichkeit des Sensors durch die Konstruktion
und den Einbaufehler kann bis zu 8◦ Sensorverdrehung pro Seite bedeuten.
Im 'worst case' wird dann Folgendes gelten:
|αy|≤ 0.26,
84
3. Schätzmodell
|αx|≤ 0.26.
Für unser Versuchsfahrzeug werden diese Parameter anhand der Slalomfahr-
ten mit den Beschleunigungsvorgängen berechnet.
Abb. 3.12: Analyse der Messfehler der az-Sensoren
In der Abbildung 3.12 sind die zum Referenzpunkt R projizierten Verti-
kalbeschleunigungen aus zwei Beschleunigungssensoren az1,zz1 und a
z2,z
z2 wäh-
rend der Zeit geplottet. Bei der Projektion zum Referenzpunkt wurden die
Einbaufehler nicht berücksichtigt. Dabei sieht man, dass die Einbaufehler
nicht vernachlässigbar sind und von der Längs- und Querbeschleunigung
abhängen. Für unser Versuchsfahrzeug gelten folgende Parameter für die
85
3. Schätzmodell
Fehlermodelle (3.22):
αy1 = 0.1535, αy2 = −0.1123, αx1 = 0.1339, αx2 = 0.0976,
αy = 0.2658, αx = 0.0363.
Dabei ist der Einfluss der Querbeschleunigung erheblich und der Einfluss der
Längsbeschleunigung ist vernachlässigbar. Während der Normalfahrt kann
die Querbeschleunigung bis 4m/s2, und die Längsbeschleunigung bis 2m/s2
erreichen. Dies kann einen absoluten Fehler von 2rad/s2 bei der Schätzung
der Wankbeschleunigung bedeuten. Eine reale Wankbeschleunigung wäh-
rend der Normalfahrt (anhand Simulation und Versuchsfahrten) liegt bis
zu 5rad/s2. Deswegen werden die Einbautoleranzen und Sensorfehler eine
bedeutende Rolle bei der Schätzung der Wankbeschleunigung spielen, siehe
die Abbildung 3.12.
Allerdings kann dieser Einfluss durch das parametrisierte Fehlermodell redu-
ziert werden, siehe die Abbildung 3.13. Hier sind die Wankbeschleunigungen
dargestellt, die anhand des Wankratesensors und der az-Sensoren berechnet
sind.
Eine weitere wichtige Frage dabei ist, wie das Fehlermodell der az - Sensoren
während der Fahrt parametrisiert werden kann. Im Rahmen dieser Arbeit
wurde dies nicht untersucht, allerdings wenn man dieses Fehlermodell in das
Wankmodell integrieren würde, verfälschte dies die Schätzung von stabili-
tätsrelevanten Parametern (z. B. mG(h? + hWP ) + JvxxG αy/r
vy
z1−z2 anstatt
mG(h
? + hWP )).
Wankbeschleunigung mit Hilfe des Wankratesensors
Die Wankbeschleunigung kann auch als Ableitung der Wankrate berechnet
werden. Dabei spielen das Sensorfehlermodell und Filtereigenschaften eine
größere Rolle.
Anhand der Spezifikation kann folgendes Sensorfehlermodell angenommen
werden, siehe (3.9):
ωsxsE = T
s
v (ω
vx
vE − e(t)− ωoffs)
= ωvxvE − αzxωvzvE − e˜(t)− ω˜offs
dabei ist
e(t), e˜(t) ein hochfrequentes Rauschen,
ωoffs, ω˜offs ein Sensoroffset.
86
3. Schätzmodell
Abb. 3.13: Analyse von az-Sensoren
Für die Differentiation des verrauschten Signals hat sich die Kombinati-
on von Differentiation mit Tiefpassfilter als ein gängiges Verfahren nach [28]
etabliert. Allerdings verursacht ein solches differenzielles Filter eine Zeitver-
zögerung und eine frequenzabhängige Verstärkung.
Aus Sicht der Systemarchitektur sollte eine Wankbeschleunigung bei mehre-
ren Submodulen und Funktionen genutzt werden. Dabei ist es wichtig, dass
alle Messsignale gleiche filterbedingte Zeitverzögerung und Verstärkung ha-
ben. Deswegen wird es angestrebt alle Messsignale gleich zu filtern.
Hier wird zuerst ein standardisiertes Filter G?(s) angenommen, siehe die
87
3. Schätzmodell
Abbildung 3.14:
G?(s)ωsxsE(s) = G
?(s)ωvxvE(s)−G?(s)αzxωvzvE(s)−G?(s)e˜(t)−G?(s)ω˜offs(s)
das die folgenden Bedingungen erfüllen soll:
G?(s)e˜(t) +G?(s)ω˜offs(s)→ O, (3.29)
G?(s)ωvxvE(s)→ sωvxvE(s).
Dann kann für die Wankbeschleunigung folgendes Messmodell angenommen
werden:
G?(s)ωsxsE(s)
∼= ω˙vxvE(s)− αzxω˙vzvE .
Die Auswahl eines solchen Filters G?(s) hängt von den Eigenschaften des
Nutzsignals der Wankrate und den Rauscheigenschaften ab. In der Abbil-
dung 3.14 wurde das Standard Filter G?(s) mit einem idealen Differenzi-
alglied s verglichen.
Hier sieht man, dass bei dynamischen Manövern der Filterfehler einen
größeren Einfluss haben wird. Es bleibt nur zu untersuchen, welcher Fre-
quenzbereich der Wankbeschleunigung für die Parameterschätzung relevant
ist und in welchem Frequenzbereich das Sensorrauschen liegt. Als relevanter
Frequenzbereich gilt der Bereich, wo das Signalspektrum relevante Leistung
hat und wo der Schätzmodellfehler vernachlässigbar bleibt. Dies wird detail-
liert im Kapitel 'Schätzmodellgenauigkeit' diskutiert.
In der Abbildung 3.13 sind die aus dem Wankratesensor und den az-
Sensoren berechneten Wankbeschleunigungen während der Slalomfahrt dar-
gestellt. Es geht hier um ein Manöver ohne hochfrequente Wankanregung.
Dabei sieht man eine hohe Kohärenz zwischen den Wankbeschleunigungen
der beiden Messprinzipien.
3.5 Sensormodelle
Das Schätzmodell für die sicherheitsrelevanten Parameter entsteht durch das
Einbinden der Sensormodelle in das Wank- und Vertikaldynamikmodell. In
den vorigen Abschnitten wurden die Sensoreigenschaften beschrieben. Hier
werden sie in die Sensormodelle zusammengefasst, die ins Schätzmodell ein-
gebunden werden. Ein Sensormodell umfasst die Messfehler und die Signal-
transformation vom Messsignal bis zur entsprechenden physikalischen Größe.
Die Messfehler werden in drei weiteren Schritten berücksichtigt:
• Sensorkalibrieren (findet beim Zusammenbau statt)
88
3. Schätzmodell
Abb. 3.14: Übertragungsverhalten des differenzialen Filters
• Mitschätzen im gesamten Schätzmodell
• Berücksichtigen bei der Schätzgenauigkeit
Hier wird angenommen, dass alle Sensorsignale gleich vorgefiltert sind.
Die Sensorfehler wurden schon detailliert beschrieben. Jetzt wird diskutiert,
wie die Messfehler die Signaltransformation in einen beliebigen Punkt beein-
trächtigen.
1. Die Querbeschleunigung im Schwerpunkt avyG,vE wird anhand der Quer-
beschleunigung aus dem ESP-Sensorcluster aESPESP berechnet. Die Trans-
formation des ESP-Beschleunigungssignals in den Referenzpunkt R
kann nach der Analogie zur Transformation nach (3.5) beschrieben
werden:
avyR,vE = a
vy
ESP + ω˙
vz
vEr
vx
ESP−R− ω˙vxvErvzESP−R− (ωvzvE2 +ωvxvE2)rvyESP−R
+ ωvzvEω
vy
vEr
vz
ESP−R + ω
vx
vEω
vy
vEr
vx
ESP−R
89
3. Schätzmodell
Die Einbautoleranzen (Verdrehung des Sensorkoordinatensystem be-
züglich des fahrzeugfesten Koordinatensystems, siehe die Gleichung
(3.7) ), Sensorrauschen, Skalierungsfehler und Sensordrift sind im fol-
genden Modell abgebildet:
avyESP = T
v
ESP ((1− αESP )aESPESP + aESPoffs + eESP ),
dabei ist
αESP =
αaxESP αaxay αaxazαaxay αayESP αazay
0 0 1
 der Sensitivitätsfehler des ESP- Sensor-
clusters und
αaxESP der Skalierungsfehler des Längsbeschleunigungs-
sensors,
αaxay die Querempfindlichkeit des Längsbeschleunigungs-
sensors zur Querbeschleunigung,
aESPoffs ∈ R3 ein Versatzfehler des ESP-Sensorclusters,
eESP ∈ R3 das Messrauschen des ESP-Sensorclusters,
T vESP eine Transformationsmatrix für die Kompensation
der Verdrehung des ESP-Sensorclusters bezüglich des
aufbaufesten Koordinatensystems.
Für die Übersichtlichkeit wird im Weiteren folgende Notation verwen-
det
T vESPαESP = α˜ESP ,
dabei bildet α˜ESP die Sensitivitätsfehler und die Einbautoleranzen ab.
Basierend auf den Gleichungen (3.22) und (3.5) gilt folgendes Fehler-
modell bei der Transformation der Querbeschleunigung in den Refe-
renzpunkt:
(3.30)a
vy
R,vE = a˜
vy
R,vE − α˜ayESPaESPyESP − a˜ESPoffs − α˜ayaxaESPxESP
+ α˜ωxωzr
vz
ESP−RG
?(s)ωESPzESP + e(t),
wobei der Term a˜vyR,vE direkt berechnet werden kann:
a˜vyR,vE =a
ESPy
ESP +G
?(s)ωESPzESP r
vx
ESP−R −G?(s)ωARBxARB rvzESP−R
− (ωESPzESP
2
+ ωARBxARB
2
)rvyESP−R.
(3.31)
90
3. Schätzmodell
Der Offsetsfehler a˜ESPoffs wird mitgeschätzt, da dies wegen der Sensor-
drift nur für eine einzelne Fahrt konstant angenommen werden kann.
Die Sensorempfindlichkeit α˜axay zur Längsbeschleunigung wird auch mit-
geschätzt, weil sonst die zusätzlichen Manöver beim Kalibrieren ge-
braucht würden. Der Skalierungsfehler α˜ayESP kann nach den Angaben
des Herstellers weder kalibriert noch mitgeschätzt werden. Dieser Feh-
ler wird bei der Schätzgenauigkeit von mGh? berücksichtigt. Der Term
α˜ωxωzr
vz
ESP−RG
?(s)ωESPzESP
kann für die Normalfahrt vernachlässigbar klein angenommen werden
und für den geeigneten Vorfilter wird e(t)→ O gelten.
Die weitere Signaltransformation in den Schwerpunkt G findet folgen-
dermaßen statt:
avyG,vE =a
vy
R,vE + ω˙
vz
vE∆x
v
G − ω˙vxvE∆hvG − (ωvzvE2 + ωvxvE2)∆yvG
+ ωvzvEω
vy
vE∆h
v
G + ω
vx
vEω
vy
vE∆x
v
G,
(3.32)
wobei
rvR−G = [∆x
v
G, ∆y
v
G, ∆h
v
G]
T
der konstante Abstand vom Schwerpunkt bis zum Referenzpunkt ist.
Dieser Abstand wird mitgeschätzt.
Durch geeignete Wahl des Referenzpunktes kann rvR−G als klein ange-
nommen werden. Dadurch werden die Messfehler der Drehgeschwin-
digkeiten und Drehbeschleunigungen bei der Signaltransformation ver-
nachlässigbar
ωvvE = ω
ESP
ESP +O
und das Schätzmodell für die Querbeschleunigung im Schwerpunkt
wird die folgende Form haben:
avyG,vE = a
vy
R,vE + ω˙
ESPz
ESP ∆x
v
G − ω˙ARBxARB ∆hvG
− (ωESPzESP
2
+ ωARBxARB
2
)∆yvG +O.
2. Die Vertikalbeschleunigung im Schwerpunkt avzG,vE kann nach der Ana-
logie zur Querbeschleunigung avyG,vEaus den Gleichungen (3.22) und
(3.5) berechnet werden:
avzG,vE =a
vz
R,vE + ω˙
ARBx
ARB ∆y
v
G − ωARBxARB
2
∆hvG
+ ωESPzESP ω
ARBx
ARB ∆x
v
G +O
(3.33)
91
3. Schätzmodell
wobei der Abstand rvR−G mitgeschätzt wird und die Beschleunigung
im Referenzpunkt avzR,vE folgendermaßen abgebildet wird:
avzR,vE =a˜
vz
R,vE − α˜azESPaESPzESP − aESPoffs − α˜azayaESPyESP
− α˜azaxaESPxESP − α˜ωxωzG?(s)ωESPzESP rvyESP−R + e(t),
(3.34)
dabei kann der Term a˜vzR,vE anhand verfügbarer Sensoren folgenderma-
ßen berechnet werden
a˜vzR,vE =a
z1−z
z1,z1E + ω˙
ARBx
ARB r
vy
R−z1 − ωARBxARB
2
rvzR−z1
+ ωESPzESP ω
ARBx
ARB r
vx
R−z1.
(3.35)
Die Einbautoleranzen, die Querempfindlichkeiten α˜azax, α˜
az
ay und der Sen-
soroffset aESPoffs werden dabei mitgeschätzt. Der Skalierungsfehler α˜
az
ESP
wird bei der Schätzgenauigkeit berücksichtigt. Die übrigen Fehler sind
für die Normalfahrt vernachlässigbar:
e(t)→ O.
3. Die Drehbeschleunigungen werden anhand der Ableitung der Drehra-
ten ermittelt:
ω˙vxvE = (1− α˜wxARB)G?(s)ωARBxARB + αωxωzG?(s)ωESPzESP + eωx(t),
ω˙vzvE = (1− α˜wzESP )G?(s)ωESPzESP + eωz(t).
(3.36)
Dabei werden die Einbautoleranzen und die Sensitivitätsfehler der Drehr-
atesensoren analog zu den Beschleunigungssensoren abgebildet:α˜ωxARB 0 α˜ωxωz0 1 0
0 0 α˜ωzESP
 ,
wobei
α˜ωxARB der Skalierungsfehler des Wankratesensors und
α˜ωxωz der Einfluss der Querempfindlichkeit und des Einbau-
fehlers auf die Wankrate ist.
Der Sensorversatz der Drehratesensoren beeinflusst die Drehbeschleu-
nigung nicht. Anhand des Messrauschens und der Filtereigenschaften
(siehe die Gleichungen (3.29)) können die übrigen Fehler eωx(t) und
eωz(t) für Normalfahrt vernachlässigt werden
eωx(t), eωz(t)→ O.
92
3. Schätzmodell
4. Die äquivalenten Kräfte und Momente zwischen der Karosserie und
dem Fahrwerk im Schnittpunkt W können anhand der Kennfelder von
Feder- cFederi , Dämpfer- c
Dmp
i und Wanksteifigkeiten c
Wank
i und der
Federwegsensoren
hi,∀i ∈ {vl, vr, hl, hr}
berechnet werden. Die Achsenkinematik wird durch den Term FwyhWP
berücksichtigt. Die Modellfehler durch die holonomen Bindungen und
durch den Beitrag der Reibungskräfte werden im Term EMx(t) zusam-
mengefasst. Der Einfluss dieses Terms wird im nächsten Kapitel detail-
liert untersucht und bei der Schätzgenauigkeit berücksichtigt. Somit
gilt nach der Gleichung (3.17) für das äquivalente Moment Mwx
Mwx =(c
Feder
vl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v − cFedervr hvr − cDmpvr h˙vrj2v)
sv
2
+ (cFederhl hhl + c
Dmp
hl h˙hlj
2
h − cFederhr hhr − cDmphr h˙hrj2h)
sh
2
+ cWankv
hvl − hvr
sv
+ cWankh
hhl − hhr
sh
− FwyhWP + EMx(t).
(3.37)
Der Einfluss der Bautoleranzen ist schwer zu untersuchen, da die stati-
stischen Abweichungen in den Kennfeldern noch nie für mehrere Fahr-
zeuge ausgewertet wurden. Diese Untersuchung liegt nicht im Fokus
dieser Arbeit.
Für die äquivalente Vertikalkraft Fwz nach (3.16) gilt dann:
Fwz =c
Feder
vl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v + c
Feder
vr hvr + c
Dmp
vr h˙vrj
2
v
+ cFederhl hhl + c
Dmp
hl h˙hlj
2
h + c
Feder
hr hhr
+ cDmphr h˙hrj
2
h + EFz(t),
(3.38)
wobei der Term EFz(t) die unbekannten Reibungskräfte abbildet. Der
Einfluss dieses Terms wird im nächsten Kapitel detailliert untersucht
und bei der Schätzgenauigkeit berücksichtigt.
93
3. Schätzmodell
3.6 Gesamtes Schätzmodell
Beim Einbinden der beschriebenen Sensormodelle ins Wankmodell
JvxxG ω˙
vx
vE + J
vxy
G ω˙
vy
vE + J
vxz
G ω˙
vz
vE = Mwx −mGh?avyG,vE +mG∆yvGavzG,vE
soll berücksichtigt werden, dass durch die geeignete Wahl des Referenzpunk-
tes R die aus mG∆yvGa
vz
G,vE resultierenden nichtlinearen Terme (Nichtlinea-
rität durch die Multiplikation von zwei Unbekannten)(
(ωvyvE)
2 + (ωvxvE)
2
)
mG∆h
v
G∆y
v
G, ω
vz
vEω
vx
vEmG∆y
v
G∆x
v
G,
ωvyvEω
vz
vEmG(∆y
v
G)
2, mG(∆y
v
G)
2ω˙vxvE → O
vernachlässigbar sind. Durch das Einsetzen der Sensormodelle von Dreh-
beschleunigung (3.36), Quer- (3.30) und (3.32) und Vertikalbeschleunigung
(3.33) und (3.34) und des Schätzmodells für das äquivalente Moment Mwx
nach (3.37) wird das Schätzmodell folgende Form annehmen:
(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G)(1− α˜ωxARB)G?(s)ωARBxARB
+ (JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G + α˜
ωx
ωzJ
vxx
G
+ α˜ωxωzmG(h
? + hWP )∆h
v
G)(1− α˜ωzESP )G?(s)ωESPzESP =
(cFedervl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v − cFedervr hvr − cDmpvr h˙vrj2v)
sv
2
+ (cFederhl hhl + c
Dmp
hl h˙hlj
2
h − cFederhr hhr − cDmphr h˙hrj2h)
sh
2
+ cWankv
hvl − hvr
sv
+ cWankh
hhl − hhr
sh
+ EMx(t) + Eoffs
−mGa˜vyR,vE
[
(h? + hWP )(1− α˜ayESP )− α˜azay∆yvG
]
+mGa˜
vz
R,vE [∆y
v
G(1− α˜azz1)− α˜ayaz(h? + hWP )]
+ ((ωvzvE)
2 + (ωvxvE)
2)mG(h
? + hWP )∆y
v
G
+mGa˜
vx
R,vE(α˜
ay
ax(h
? + hWP ) + α˜
ax
az∆y
v
G).
(3.39)
94
3. Schätzmodell
Damit die unbekannten Parameter
Pk =

(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G) (1− α˜ωxARB)
(JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G) (1− α˜ωzESP )
+ (JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G) α˜
ωx
ωz
mG
[
(h? + hWP )(1− α˜ayESP )− α˜azay∆yvG
]
mG [∆y
v
G(1− α˜azz1)− α˜ayaz(h? + hWP )]
mG(h
? + hWP )∆y
v
G
mG(α˜
ay
ax(h? + hWP ) + α˜
az
ax∆y
v
G)
Eoffs

.
während der Fahrt bestimmt werden können, werden Anforderungen an die
Anregungsmenge
[G?(s)ωARBxARB , G
?(s)ωESPzESP , 1, a˜
vy
R,vE , a˜
vz
R,vE , ((ω
vz
vE)
2 + (ωvxvE)
2), a˜vxR,vE ]
gestellt, siehe Abschnitt 4.2. Im Abschnitt 4.3 wird dann diskutiert, ob die
notwendige Anregung während der Normalfahrt entstehen kann und im Ab-
schnitt 4.4 ob das Schätzmodell auf die einzelnen Terme reduziert werden
darf.
Allerdings hängt die Schätzgenauigkeit nicht nur von der Anregungsmenge
sondern auch von den Modell- und Messfehlern ab. Unter welchen Bedingun-
gen der Modellfehler EMx(t) minimal oder vernachlässigbar wird, wird erst
im nächsten Kapitel untersucht.
Die Schätzgenauigkeit der Schwerpunkthöhe h? wird durch die Skalierungs-
fehler α˜ayESP des Beschleunigungssensors, die Sensorquerempfindlichkeit und
die Einbautoleranzen α˜azay beeinträchtigt. Dabei überwiegt der Beitrag des
Skalierungsfehlers:
α˜ayESP (h
? + hWP ) α˜azay∆yvG.
Die Schätzung des Querversatzes ∆yvG wird genauso durch den Skalierungs-
fehler α˜azESP , die Querempfindlichkeit des Sensors und die Einbautoleranzen
α˜ayaz beeinträchtigt. Dabei wird allerdings die Querempfindlichkeit einen grö-
ßeren Schätzfehler verursachen:
α˜azz1∆y
v
G < α˜
ay
az(h
? + hWP ).
Außerdem ist die Vertikalbeschleunigung a˜vzR,vE stark mit dem Offset Eoffs
korreliert. Dies wird die Schätzgenauigkeit des Querversatzes ∆yvG auch be-
einträchtigen. Dadurch können nur die größeren Querversätze ∆yvG sicher
95
3. Schätzmodell
detektiert werden.
Das gesamte Schatzmodell für die Vertikaldynamik kann durch das Einset-
zen von den Sensormodellen (3.33) und (3.34) und des Schätzmodells der
äquivalenten Vertikalkraft (3.38) in der Gleichung (3.40) ermittelt werden:
cFedervl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v + c
Feder
vr hvr + c
Dmp
vr h˙vrj
2
v + c
Feder
hl hhl+
cDmphl h˙hlj
2
h + c
Feder
hr hhr + c
Dmp
hr h˙hrj
2
h + EFz(t) =
mGa˜
vz
R,vE(1− α˜azz1) +mGG?(s)ωARBxARB ∆yvG−
mGω
ARBx
ARB
2
∆hvG +mGω
ESPz
ESP ω
ARBx
ARB ∆x
v
G+
Eoffs −mGα˜azayaESPyESP −mGα˜azaxaESPxESP .
Dabei sind folgende Parameter unbekannt:
Pm =

mG(1− α˜azz1)
mG∆y
v
G
mG∆h
v
G
mG∆x
v
G
Eoffs
mGα˜
az
ay
mGα˜
az
ax

,
wobei die Relevanz der einzelnen Terme bei der Schätzung noch untersucht
werden muss.
Genauso wie bei der Wankdynamik spielt die Anregungsmenge für die Schät-
zung von Pm eine wichtige Rolle. Dies wird aber erst im nächsten Abschnitt
diskutiert.
Außerdem hängt die Schätzgenauigkeit noch von den Reibkräften EFz(t) ab.
Für ein Manöver mit hinreichender Anregung wird der Modellfehler EFz(t)
bedeutend sein. Dabei ist EFz(t) mit der Querbeschleunigung, der Wankbe-
schleunigung und weiteren kinetischen Zuständen stark korreliert und des-
wegen können die entsprechende Terme von Pm nur mit größeren Fehlern
geschätzt werden.
Falls das Schätzmodell folgendermaßen reduziert wird
cFedervl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v + c
Feder
vr hvr + c
Dmp
vr h˙vrj
2
v+
cFederhl hhl + c
Dmp
hl h˙hlj
2
h + c
Feder
hr hhr + c
Dmp
hr h˙hrj
2
h + EFz(t) = (3.40)
mGa˜
vz
R,vE(1− α˜azz1) + Eoffs,
96
3. Schätzmodell
bekommt der Modellfehler EFz(t) bei hoher Varianz der Federweggeschwin-
digkeiten stochastische Eigenschaften
E[EFz(t)] = 0
und ist für den geeigneten Schätzalgorithmus vernachlässigbar
EFz(t)→ O.
Dabei wird die Schätzung durch den Sensoroffset Eoffs und die Skalierungs-
fehler α˜azz1 verfälscht. Der Sensoroffset ist deutlich kleiner als das Nutzsignal
der Vertikalbeschleunigung (im Bereich 1%) dadurch wird die Massenschät-
zung überwiegend durch den Sensorskalierungsfehler beeinträchtigt.
Dies wird noch in der Simulation und bei einer Versuchsfahrt validiert.
3.7 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurden die Sensormodelle und die Sensorfehlermodelle
hergeleitet. Die Messverformungsketten wurden beschrieben. Da die einzel-
nen kinematischen Zustände sowie die Wankbeschleunigung nicht direkt ge-
messen werden können, wurden unterschiedliche Schätzverfahren dafür un-
tersucht. Die Zustände sowie Bindungskräfte und Momente zwischen der
Karosserie und dem Fahrwerk können mit den verfügbaren Sensoren nicht
direkt gemessen werden und deswegen wurde hier ein Fahrwerkmodell an-
genommen, das zusammen mit den Federwegsensoren die Schätzung von
Bindungskräften und Momenten erlaubt. Wie ein solches Fahrwerkmodell
erstellt werden kann, wurde in diesem Kapitel detailliert beschrieben. Alle
diese Sensormodelle, Schätzverfahren und Fahrwerkmodelle wurden in das
Fahrzeugmodell integriert. Dadurch ist ein Schätzmodell entstanden, das mit
den im Serienfahrzeug verfügbaren Sensoren und mit der bekannten System-
information die Schwerpunkthöhe, den Querversatz des Schwerpunktes und
das Trägheitsmoment bezüglich der Längsachse des Aufbaus zu schätzen er-
laubt.
97
3. Schätzmodell
98
4. GENAUIGKEIT DES SCHÄTZMODELLS
4.1 Forschungsziele
Ein wichtiger Faktor bei der Herleitung des Schätzmodells ist die Schätzge-
nauigkeit. Die Schätzgenauigkeit gilt als hinreichend, wenn die Systemanfor-
derungen damit erfüllt werden können. In der bekannten Literatur sind solche
Anforderungen noch nicht formuliert. Deswegen ist eine wichtige Aufgabe in
diesem Abschnitt die Anforderungen zur Schätzgenauigkeit zu formulieren.
Danach wird geprüft, ob das hergeleitete Schätzmodell diese Anforderungen
erfüllt. Die Analyse ist sehr komplex, da die Schätzgenauigkeit von der Zula-
dungskonfiguration, der Manöverart und den Umweltbedingungen abhängt.
Deswegen wird ein systematischer Weg gebraucht, um die Schätzgenauigkeit
bezüglich aller dieser Anforderungen zu prüfen. Außerdem werden auch die
Metriken gebraucht, um die Schätzgenauigkeit bezüglich aller dieser Fakto-
ren abzubilden.
4.2 Anforderungen an die Schätzgenauigkeit
Im Abschnitt 2.1 wurde schon der Einfluss der unsymmetrischen Zuladung
untersucht. Dabei wurde festgestellt, dass die Fahrzeugstabilität und das
Agilisierungspotenzial von der Schwerpunkthöhe hSP−fb und dem Querver-
satz des Schwerpunktes ∆y abhängt. Anhand dessen wurde ein erweiterter
Static Stability Factor nach (1.4)
SSF ? =
0.5sv − |∆yvG|
hSP−Fb
definiert. Um die Zuladung mit dem Agilisierungspotenzial sicher zu erken-
nen, soll das Fahrzeug ohne Dachlast (Zuladungskonfiguration 1, Tabelle 2.2,
SSF ?1 ) vom Fahrzeug mit Dachlast (Zuladungskonfiguration 2, Tabelle 2.2,
SSF ?2 ) sicher unterschieden werden. Damit soll SSF
? mit 8, 2% geschätzt
werden:
‖e(SSF ?)‖ =
∥∥∥∥ SSF ?1 − SSF ?2max{SSF ?1 , SSF ?2 }
∥∥∥∥ ≤ 0.082.
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Anhand dieser Bedingung sollen jetzt die Anforderungen zur Schätzgenau-
igkeit von hSP−Fb, ∆yvG formuliert werden.
Die Schwerpunkthöhe und der Querversatz des Schwerpunktes vom Versuchs-
fahrzeug liegen in folgenden Bereichen:
hSP−Fb ∈ [−0.054 + h˜SP−Fb, 0.054 + h˜SP−Fb]m,
∆yvG ∈ [−0.12, 0.12]m,
wobei h˜SP−Fb die mittlere Schwerpunkthöhe für die definierten Zuladungs-
konfigurationen ist. Für alle möglichen Kombinationen dieser Parameter soll
zwischen der mit dem Agilisierungspotenzial{
hSP−Fb ∈ [−0.054 + h˜SP−Fb, 0.054 + h˜SP−Fb],∆yvG ∈ [−0.12, 0.12]
∣∣∣∣
SSF ?1 ≤
0.5sv − |∆yvG|
hSP−Fb
}
und der sicheren stabilitätsrelevanten Zuladungskonfigurationen{
hSP−Fb ∈ [−0.054 + h˜SP−Fb, 0.054 + h˜SP−Fb],∆yvG ∈ [−0.12, 0.12]
∣∣∣∣
SSF ?2 ≥
0.5sv − |∆yvG|
hSP−Fb
}
unterschieden werden.
Die übrigen Parameterpaare{
hSP−Fb ∈ [−0.054 + h˜SP−Fb, 0.054 + h˜SP−Fb],∆yvG ∈ [−0.12, 0.12]
∣∣∣∣
SSF ?1 >
0.5sv − |∆y|
hSP−Fb
> SSF ?2
}
bilden die Grenzzustände ab und werden hier nicht betrachtet.
In der Abbildung 4.1 ist die Menge von Zuladungskonfigurationen mit dem
Agilisierungspotenzial durch ein rotes Feld und von sicheren Zuladungskon-
figurationen durch ein grünes Feld angedeutet.
100
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.1: Parameterverteilung für die sicheren (grün) und die mit dem Agilisie-
rungspotenzial (rot) Zuladungskonfigurationen
Dabei wurde ein Abstand zur sicheren Zuladungsmenge für jeden ein-
zelnen Grenzzustand mit dem Agilisierungspotenzial P1 berechnet. Daraus
lassen sich die maximalen zulässigen Fehler er(hSP−Fb) und er(∆yvG) für
jedes Parameterpaar mit dem Agilisierungspotenzial bestimmen, siehe die
Abbildung 4.1.
Die zulässigen Schätzfehler für die Schwerpunkthöhe e(hSP−Fb) und Quer-
versatz des Schwerpunktes e(∆yvG) werden anhand der maximalen zulässigen
Schätzfehler er(hSP−Fb) und er(∆yvG) für die Parameterpaare mit dem Agi-
lisierungspotenzial
{
h˜SP−Fb,∆yvG
}
berechnet
e(hSP−Fb) =
er(hSP−Fb)
h˜SP−Fb
e(∆yvG) =
er(∆yvG)
max∆yvG
(4.1)
und in der Abbildung 4.2 dargestellt.
101
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.2: Relative Fehler von stabilitätsrelevanten Parametern
Aus der graphischen Analyse können folgende Genauigkeitsanforderun-
gen für die maximalen zulässigen Schätzfehler formuliert werden:
‖e(hSP−fb)‖ ≤ 4.28%,
‖e(∆yvG)‖ ≤ 15%.
(4.2)
Während der Fahrt können aber SSF ? selbst oder die Parameter, hSP−Fb
und ∆yvG nicht direkt aus der Schätzgleichung (3.39) geschätzt werden, son-
dern nur die Parameter
Pk =

(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G) (1− α˜ωxARB)
(JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G) (1− α˜ωzESP )+
(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G) α˜
ωx
ωz
mG
[
(h? + hWP )(1− α˜ayESP )− α˜azay∆yvG
]
mG [∆y
v
G(1− α˜azz1)− α˜ayaz(h? + hWP )]
mG(h
? + hWP )∆y
v
G
mG(α˜
ay
ax(h? + hWP ) + α˜
az
ax∆y
v
G)
Eoffs

.
Diese Parameter hängen direkt von den Aufbauparametern mG, JvG, r
v
G−W
ab,
dabei ist
102
4. Genauigkeit des Schätzmodells
mG die Aufbaumasse des Fahrzeuges
rvG−W = r
v
G−R + r
v
R−W der Abstand zwischen dem Schwerpunkt des
Aufbaus G und dem Schnittpunkt W , siehe die
Seite 42,
rvG−R =
∆xvG∆yvG
∆hvG
 der Abstand zwischen dem Schwerpunkt des
Aufbaus G und dem Referenzpunkt R, siehe die
Seite 63
rvR−W =
 00
−h? + ∆hvG
 der Abstand zwischen dem Referenzpunkt R und
dem Schnittpunkt W ,
JvG Trägheitstensor des Aufbaus bezüglich des
Schwerpunktes in körperfester Basis.
Bei der Genauigkeitsanalyse wird geprüft, welche zulässige Schätzfehler der
Parameter αPk den zulässigen Fehlern von e(hSP−fb) und e(∆y
v
G) entspre-
chen.
Dabei wurden die für die Zuladungskonfigurationen definierten Aufbaupa-
rameter mG, JvG, r
v
G−W nach dem in dem Anhang A skizzierten Vorgang
berechnet. Und für die gegebenen Aufbauparameter werden die Schätzpa-
rameter Pk berechnet, siehe die Tabelle 4.1.
Da die Berechnung der Genauigkeitsanforderungen mit der Berücksichtigung
von Messfehlern sehr aufwändig ist, werden hier die Messfehler zuerst ver-
nachlässigt: 
α˜axESP α˜
ay
ax α˜azax
α˜axay α˜
ay
ESP α˜
az
ay
α˜azax α˜
az
ay α˜
az
z1
 = 0,
α˜ωxARB 0 α˜ωzωx0 0 0
0 0 α˜ωzESP
 = 0.
Durch die Vernachlässigung der Messfehler werden die Schätzparameter fol-
103
4. Genauigkeit des Schätzmodells
gende Form haben
P˜k =

JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G
JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G
mG(h
? + hWP )
mG∆y
v
G
mG(h
? + hWP )∆y
v
G
0
Eoffs

.
Hier werden für P˜k folgende formale Genauigkeitsanforderungen∥∥∥e(P˜k)∥∥∥ ≤  (4.3)
formuliert. Zwischen den Schätzparametern Pk und P˜k gilt folgender funk-
tionaler Zusammenhang:
Pk = f(P˜k).
Dies beschreibt folgendermaßen die Schätzfehler
e(Pk) = e(f(P˜k)) = f
?(e(P˜k)).
Da die Funktion f?(...) für die Parameter Pk und P˜k monoton steigend ist,
können die Genauigkeitsanforderungen (4.3) folgendermaßen rekonstruiert
werden ∥∥∥f?(e(P˜k))∥∥∥ ≤ ‖f?()‖ .
Dies wird zur Ungleichung
‖e(Pk)‖ ≤ max
{∥∥∥f?(e(P˜k))∥∥∥} ≤ min{‖f?()‖} (4.4)
führen. In diesem Abschnitt werden die Genauigkeitsanforderung (4.3) her-
geleitet. Die Berechnung von e(Pk) findet im Abschnitt 4.6 statt. Für die
Berechnung von min{f?()} siehe die Seite 137.
Außer dem Parameter P˜k braucht man für die SSF ?-Schätzung noch
die Massenangabe mG. Hier wurde untersucht, ob man nur anhand der ge-
schätzten Parameter P˜k die Zuladung mit dem Agilisierungspotenzial sicher
erkennen kann. In der Abbildung 4.3 wurde die Verteilung von normierten
Parameter mG∆yvG und mG(h
?+hWP ) für die sichere und die mit dem Agi-
lisierungspotenzial Zuladungskonfigurationen dargestellt. Dabei sieht man,
104
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Konf. norm(P˜k(1)) norm(P˜k(2)) norm(mG(h? +
hWP ))
norm(mG∆y
v
G)
1 1 0.268 1 0.159
2 1.265 0.377 1.1829 0.159
3 1.135 0.287 1.032 0.159
4 1.108 0.0147 1.161 0.09
5 1.109 0.6102 1.1688 0.113
6 1.186 1 1.248 1
7 1.171 1.3119 1.2692 0.204
8 1.285 0.1238 1.3441 0.09
9 1.351 1.109 1.4315 1
Tab. 4.1: Schätzparameter des Zielfahrzeugs für angenommene Zuladungskonfigu-
rationen
dass eine sichere Zuladung von einer mit dem Agilisierungspotenzial nur an-
hand der Schätzparameter mG(h? + hWP ) und mG∆yvG nicht unterschieden
werden kann.
Abb. 4.3: Schätzparameter für die sichere und die mit dem Agilisierungspotenzial
Zuladungskonfigurationen
105
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Um auf die Schwerpunktlage und die Fahrzeugstabilität schließen zu kön-
nen, wird noch die Masse mG aus der Vertikaldynamik (3.40) zusätzlich mit-
geschätzt. Dadurch können kipprelevante Parameter aus den während der
Fahrt geschätzten Parametern folgendermaßen rekonstruiert werden:
hSP−Fb =
(mG(h
? + hWP )−mGhWP +mfwhfw)
mG +mfw
+ rRad, (4.5)
∆yvG =
mG∆y
v
G
mG +mfw
, (4.6)
dabei ist
mfw die Fahrwerkmasse,
hfw die Schwerpunkthöhe des Fahrwerks bezüglich der KO-Lage,
rRad der dynamische Rollradius des Rades.
Unter Berücksichtigung der Anforderungen (4.2) können für die Schätz-
parameter P˜k weitere Genauigkeitsanforderungen formuliert werden:
‖e(mG(h? + hWP ))‖ =
∥∥∥∥∥ ˜mG(h? + hWP )−mG(h? + hWP )mG(h? + hWP )
∥∥∥∥∥ ≤ 0, 05,
‖e(mG∆yvG)‖ =
∥∥∥∥∥ ˜mG∆yvG −mG∆yvGmaxmG∆yvG
∥∥∥∥∥ ≤ 0, 10,
‖e(mG)‖ =
∥∥∥∥m˜G −mGmG
∥∥∥∥ ≤ 0, 02,
(4.7)
wobei ˜mG(h? + hWP ), ˜mG∆yvG, m˜G die Referenzwerte sind.
Die Genauigkeit e(mG(h? + hWP )) darf dabei niedriger als die Genauigkeit
der Schwerpunkthöhe e(hSP−fb) sein. Dies liegt daran, dass hSP−fb sich von
(h?+hWP ) durch den bekannten konstanten Versatz rRad−hWP unterschei-
det, der die Bedeutung des relativen Fehlers reduziert.
4.3 Anforderungen an die Anregungsmenge
Das Schätzverfahren soll sowohl für die Pressemanöver als auch für die
Normalfahrt geeignet sein. Deswegen wurde für die Modellvalidierung fol-
gender Manöverkatalog gewählt:
• Spurwechsel bei 80 km/h
• Slalomfahrt/ Sinussweep-Fahrt
106
4. Genauigkeit des Schätzmodells
• Normalfahrten mit nur Lenkanregung (unterschiedliche Lenkamplituden
und Lenkfrequenzen)
• Normalfahrten mit Lenkanregung und Längsanregung
• Normalfahrten mit Lenkanregung, Längsanregung und Fahrbahnuneben-
heiten
Alle oben genannten Manöver müssen auch für die relevanten Zuladungs-
konfigurationen durchgeführt werden. Dabei wird die Anregungsmenge als
hinreichend bezeichnet, wenn für ein Wankmodell
JvxxG ω˙
vx
vE + J
vxy
G ω˙
vy
vE
+JvxzG ω˙
vz
vE = M˜wx −mG(h? + hWP )avyG,vE +mG∆yvGavzG,vE + EMx
mit idealen Sensoren im Schwerpunkt des Aufbaus
avyG,vE , a
vz
G,vE , ω˙
vx
vE , ω˙
vy
vE , ω˙
vz
vE
und mit dem nach der Annahme 4 geschätzten Wankmoment im Schnitt-
punkt
M˜wx =(c
Feder
vl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v − cFedervr hvr − cDmpvr h˙vrj2v)
sv
2
+ (cFederhl hhl + c
Dmp
hl h˙hlj
2
h − cFederhr hhr − cDmph˙hrj2h)
sh
2
+ cWankv
hvl − hvr
sv
+ cWankh
hhl − hhr
sh
(4.8)
für die Schätzung des Parametervektors
P =

JvxxG
JvxyG
JvxzG
mG(h
? + hWP )
mG∆y
v
G

es eine gut konditionierte Anregungsmatrix A gibt.
Die Anregungsmatrix A wird anhand von Messung in unterschiedlichen Zeit-
punkten ti, ∀i ∈ [1, N ] folgendermaßen erstellt.
A =
 ω˙
vx
vE(t1) ω˙
vy
vE(t1) ω˙
vz
vE(t1) −avyG,vE(t1) avzG,vE(t1)
...
...
...
...
...
ω˙vxvE(tN ) ω˙
vy
vE(tN ) ω˙
vz
vE(tN ) −avyG,vE(tN ) avzG,vE(tN )
 .
107
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Dabei quantisiert die Konditionszahl cond(A), wie weit die Matrix A von
der Singularitätsgrenze entfernt ist.
Nach [29] kann die Schätzgenauigkeit der Parameter P anhand der relativen
Konditionszahl für die Anregungsmatrix cond(A) beurteilt werden.
Für die praktischen Projektziele ist es wichtig nicht nur zu wissen, ob der
gesamte Parametervektor geschätzt werden kann, sondern ob die einzelnen
Elemente des Parametervektors bei gegebener Anregung geschätzt werden
können. So zum Beispiel kann das Trägheitsmoment JvxxG noch nicht genau
bestimmt werden, aber die stabilitätsrelevanten Parameter mG(h? + hWP ),
mG∆y
v
G müssen geschätzt werden können.
Um dies auswerten zu können, wurde eine komponentenweise Konditionszahl
cj nach [30] und [31] und dem Anhang B verwendet:
cj = ||A||
∥∥∥∥ejATATA
∥∥∥∥ ≥ 1, (4.9)
wobei ej ein Einheitsvektor für das j-Element des Parametervektors P ist
und unter ||A|| die natürliche Matrixnorm
‖A‖ = max‖Ax‖‖x‖ = max‖x‖=1 ‖Ax‖
gemeint ist.
Für cj = 1 wird das System ideal für die Berechnung des j-Elements des
Parametervektors angeregt.
Die Konditionszahl kann aber keine Aussage über die Schätzgenauigkeit ge-
ben, da cj nicht die Modell- und Messfehler berücksichtigt. Der Einfluss
der Modellfehler EMx auf die Schätzgenauigkeit wird im nächsten Abschnitt
untersucht. Dabei wird analysiert, welchen Einfluss der Modellfehler bei un-
terschiedlichen Anregungen hat.
4.4 Gültigkeit des Wankmodells
In diesem Abschnitt wird ein Bereich definiert, in dem die Schätzgenauigkeit
die Anforderungen erfüllt.
Ein Schätzmodell
AP =
 M˜wx(t1) + EMx(t1)...
M˜wx(tN ) + EMx(tN )
 (4.10)
wird im Bereich D gültig, falls der relative Schätzfehler
e(Pj) =
P˜j − Pj
Pj
108
4. Genauigkeit des Schätzmodells
die Genauigkeitsanforderungen (4.7), z. B:
e(mG(h
? + hWP )) ≤ 0.05
erfüllt mit
{A |‖e(mG(h? + hWP ))‖ ≤ 0.05, ‖e(mG∆yvG)‖ ≤ 0.1, ‖e(mG)‖ ≤ 0.02} ∈ D.
Je größer der Modellgültigkeitsbereich D ist, desto höher werden die Schätz-
verfügbarkeit und dadurch die Kundennutzen.
Die relativen Schätzfehler e(Pj) hängen wiederum vom Modellfehler EMx ab
e(Pj) ≤ cj ||EMx||||M˜wx||
,
siehe die Herleitung im Anhang B.3.
Um Aussagen über den GültigkeitsbereichD des Schätzmodells (4.10) treffen
zu können, muss der Beitrag des Modellfehlers EMx eingeschränkt werden.
In der Tabelle 4.4 sind die Annahmen bei der Herleitung des Wankmo-
dells zusammengefasst.
Annahme Fehlerbeitrag
Wankpolmodell für die holono-
men Bindungen bei der ebenen
Fahrbahn
∆M1 = ∆hw.p.Fwy + ∆yw.p.Fwz
Wankpolmodell für die holono-
men Bindungen bei der unebenen
Fahrbahn
∆M2 = −(hvl + hRfvl )Fyvl − (hvr +
hRfvr )Fyvr − (hhl +hRfhl )Fyhl− (hhr +
hRfhr )Fyhr
Vereinfachungen einzelner
Schätzterme bei der Normalfahrt
∆M3 = (J
vzz
G − JvyyG )ωvyvEωvzvE −
JvyzG ω
vz
vEω
vx
vE + J
vzx
G ω
vy
vEω
vx
vE +
JvzyG ω
vy
vE
2
+ JvyzG ω
vz
vE
2
Vernachlässigung der Reibungs-
kräfte
∆M4 =
sv
2 (F
Reibung
zvl − FReibungzvr ) +
sh
2 (F
Reibung
zhl − FReibungzhr )
Tab. 4.2: Annahme bei der Herleitung des Wankmodells
Alle diese Annahmen fließen in den Modellfehler ein:
EMx = ∆M1 + ∆M2 + ∆M3 + ∆M4,
109
4. Genauigkeit des Schätzmodells
wobei
∆hw.p., ∆yw.p. die Änderung der Wankpolposition während der dy-
namischen Fahrt abbilden, und
hRfi die Reifeneinfederung des einzelnen Rades ist.
Jede einzelne Annahme ∆Mi heißt dabei zulässig, falls das anhand dieser
Annahme hergeleitete Wankmodell im gegebenen Bereich D gültig bleibt:
{A |‖e(mG(h? + hWP ))‖ ≤ 0.05, ‖e(mG∆yvG)‖ ≤ 0.1, ‖e(mG)‖ ≤ 0.02,
∆Mi 6= 0} ∈ D.
(4.11)
Die unzulässige Annahme ∆Mk reduziert den Gültigkeitsbereich des herge-
leiteten Wankmodells
{A |‖e(mG(h? + hWP ))‖ ≤ 0.05, ‖e(mG∆yvG)‖ ≤ 0.1, ‖e(mG)‖ ≤ 0.02,
∆Mk 6= 0} ∈ D˜ ⊆ D.
Da die Fehlerbeiträge der Annahmen nichtlineare Natur haben und von der
Anregungsart, der Anregungsintensität und den Zuladungskonfigurationen
abhängen, siehe die Tabelle 4.4, muss die Modellgültigkeit anhand eines voll-
ständigen Manöverkatalogs geprüft werden. Ein solcher Manöverkatalog soll
den ganzen Gültigkeitsbereich D abbilden. Diesen Manöverkatalog zu prüfen
ist natürlich sehr aufwändig.
Da es sich um mehrere Annahmen handelt, sollen auch die zulässigen An-
nahmekombinationen bestimmt werden. Endgültig soll eine zulässige Annah-
mekombination
∆Mi,∆Mi+1, ...
zum gegebenen Gültigkeitsbereich D führen:
max
i
{A|‖e(mG(h? + hWP ))‖ ≤ 0.05, ‖e(mG∆yvG)‖ ≤ 0.1, ‖e(mG)‖ ≤ 0.02,
∆Mi,∆Mi+1, ... 6= 0} ∈ D.
Um eine solche Kombination zu finden, müssen alle möglichen Kombinatio-
nen geprüft werden. Dadurch wird sich der Aufwand weiter steigern. Um
diesen Aufwand zu reduzieren, wurde folgendermaßen vorgegangen:
• Die Fehlereinträge der einzelnen Annahmen werden für eine Fahrt mit
hinreichender Anregung analysiert
||∆M1||
||M˜wx||
,
||∆M2||
||M˜wx||
,
||∆M3||
||M˜wx||
,
||∆M4||
||M˜wx||
110
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Anhand dessen wird eine Hypothese formuliert, wie diese Annahmen
in die zulässigen und die unzulässigen aufgeteilt werden.
• Dann wird diese Hypothese für den gesamten Gültigkeitsbereich ge-
prüft.
Sobald die Hypothese für einen gegebenen Gültigkeitsbereich D nachgewie-
sen wurde und die Anzahl der unzulässigen Annahmen minimal bleibt, wird
untersucht, wie der Einfluss der unzulässigen Annahmen reduziert werden
kann.
4.4.1 Hypothese über die zulässigen Annahmen
Es wird eine Zuladungskonfiguration (konf. 1, siehe die Tabelle 2.1) und ein
Manöver mit hinreichender Anregung (siehe die Abbildung 4.4) gewählt.
Abb. 4.4: Normalfahrtmanöver mit hinreichender Anregung
111
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Die einzelnen Fehlerbeiträge können durch Simulation mit den CasCaDe-
Modellen berechnet werden. Um die Hypothese bezüglich der zulässigen An-
nahmen formulieren zu können, werden die Fehlerbeiträge der einzelnen An-
nahmen
EMx = ∆M1,∆M2,∆M3,∆M4
mit dem äquivalenten Wankmoment Mwx vergleichen, siehe die Abbildung
4.5.
Abb. 4.5: Fehlerbeiträge der Wankmodellannahmen für ein ausgewähltes Manöver
112
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Anhand dessen lässt sich die Hypothese formulieren, dass die Vernach-
lässigung der Reibungskräfte die einzige unzulässige Annahme werden kann.
Ob diese Hypothese stimmt und wie sie den Modellgültigkeitsbereich ändert,
wird im folgenden Abschnitt geprüft.
4.4.2 Nachweis der Hypothese
Die oben definierte Hypothese wird anhand eines Manöverkatalogs validiert.
Der Manöverkatalog soll die gleiche Verteilung aller relevanter Merkmale
(z. B. Querbeschleunigung, Wankbeschleunigung, ...) garantieren. Da unser
Problem nichtlinear und mehrdimensional ist, soll die Menge der Validie-
rungsversuche sehr groß sein. Aufgrund begrenzter Projektbearbeitungszeit
wurde die Menge der Validierungsversuche folgendermaßen konzipiert:
• alle relevanten Zuladungskonfigurationen (siehe die Tabelle 2.1)
• alle relevanten Manöver (siehe den Abschnitt zur Anregungsmenge).
So wird für ein Wankmodell mit nur zulässigen Annahmen ein Gültigkeits-
bereich
{A|‖e(mG(h? + hWP ))‖ ≤ 0.05, ‖e(mG∆yvG)‖ ≤ 0.1, ‖e(mG)‖ ≤ 0.02,
∆Mi 6= 0} ∈ D
und für ein Wankmodell mit allen Annahmen ein Gültigkeitsbereich
{A |‖e(mG(h? + hWP ))‖ ≤ 0.05, ‖e(mG∆yvG)‖ ≤ 0.1, ‖e(mG)‖ ≤ 0.02,
∆Mi,∆Mk 6= 0} ∈ D˜ ⊆ D
(4.12)
gelten. Leider erfüllen die beiden Modelle die Genauigkeitsanforderungen für
einen gegebenen Manöverkatalog D nicht. Deswegen müssen die Gültigkeits-
bereiche D und D˜ systematisch abgebildet werden, um dann während der
Fahrt die Genauigkeit der Schätzergebnisse abbilden zu können. Man kann
anhand der Anregungsmenge einen Gültigkeitsbereich angeben, bei dem die
Genauigkeitsanforderungen
e(Pj) ≤ cj ||EMx||||M˜wx||
. (4.13)
erfüllt sind. Die Genauigkeitsanforderungen (4.13) können im Zeit- und Fre-
quenzbereich geprüft werden.
113
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Falls die bestimmten Frequenzen si...n einen größeren Schätzfehler verursa-
chen werden
cj(s1...n)
||EMx(s1...n)||
||M˜wx(s1...n)||
> cj(s1...i−1)
||EMx(s1...i−1)||
||M˜wx(s1...i−1)||
, (4.14)
müssen sie aus den Eingangssignalen entsprechend ausgefiltert werden.
Für die Prüfung im Zeitbereich sind mehrere Herangehensweisen aus der
Literatur bekannt.
Ein generalisiertes Gaußsches Fehlermodell setzt die Normalverteilung des
Fehlers EMx voraus:
E[EMx] = E¯Mx,
E[(EMx(t)− E¯Mx)(EMx(t− τ)− E¯Mx)] = σ2x(τ),
dabei ist
σ2x(τ) eine Dirak-Funktion und
E¯Mx ein systematischer Modellfehler während der Fahrt.
Ein Modellfehler EMx kann aber auch mit dem Schätzfehler e(Pj) korre-
liert werden
E[(EMx − E¯Mx)(e(Pj)− e¯(Pj))] 6= 0.
In dieser Arbeit wird ein Fehlermodell angenommen, das die beiden Fälle
umfasst
EMx =e(J
vxx
G )J
vxx
G ω˙
vx
vE + e(J
vxy
G )J
vxy
G ω˙
vy
vE + e(J
vxz
G )J
vxz
G ω˙
vz
vE
− e(mG(h? + hWP ))mG(h? + hWP )avyG,vE
+ e(mG∆y
v
G)mG∆y
v
Ga
vz
G,vE + E,
(4.15)
dabei ist
e(Pj) der Skalierungsfehler des einzelnen Schätzparameters Pj
und
E der mit den Schätzparametern nicht korrelierte, normal
verteilte Modellfehler.
Außerdem wird vorausgesetzt, dass der Schätzfehler sich im endlichen be-
stimmten Intervall
e(Pj) ∈ [e(Pj)−, e(Pj)+]
befindet. Diese Eigenschaft ist besonders wichtig für die Sicherheitssysteme,
welche die Aussage über den 'worst case' brauchen.
114
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Anhand oben definierter Annahmen kann das Intervall des Schätzfehlers
durch eine analytische Funktion abgebildet werden
e(Pj)
+ = e1 + e2cj + e2c
2
j ,
e(Pj)
− = −e1 − e2cj − e2c2j ,
(4.16)
wobei e = [e1, e2, e3]T der konstante positive Parametervektor ist, der die
Annahmen über den Modellfehler EMx abbildet.
Dieser Parametervektor e ist eine Lösung des Optimierungsproblems
min
e
{∫ max cj
1
(e1 + e2cj + e3c
2
j )dcj
}
, (4.17)
wobei die höchste Genauigkeit für die Manöver mit relevanten Konditions-
zahlen [1,max cj ] erzielt wird. Dabei soll der Schätzfehler e(n)(Pj) von jedem
einzelnen Validierungsversuch mit der Konditionszahl c(n)j die Genauigkeit
des Fehlermodells nachweisen
e1 + e2c
(n)
j + e3c
(n)
j
2 ≥ |e(n)(Pj)|.
Um eine monotone Steigung der Schätzgenauigkeit mit der Anregungsmenge
zu garantieren, müssen weitere Bedingungen erfüllt werden:
e22 − 4e3e1 < 0,
e1 < e(Pj)
+ (4.18)
wobei e(Pj)+ der maximale Schätzfehler für eine ausgewählte Konditionszahl
ist.
Gültigkeitsbereiche in der Zeitdomäne
Im Weiteren wird die Genauigkeit nur von solchen Schätzparametern disku-
tiert, die eine Zuladungskonfiguration eindeutig definieren: mG(h? + hWP ),
mG∆y
v
G, J
vxx
G .
Zwecks der Übersichtlichkeit wird in weiteren Abbildungen mG(h? + hWP )
als mh bezeichnet.
In der Abbildung 4.6 bilden die roten Kreuze die Validierungsmanöver
für das Modell mit nur zulässigen Annahmen ab.
115
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.6: Fehlerbeiträge von einzelnen Annahmen für einen ausgewählten Manö-
verkatalog
Die blauen Kreuze bilden die Validierungsmanöver für das Modell mit
allen Annahmen ab. Anhand dieser Validierungsversuche wurden die Fehler-
modelle für die stabilitätsrelevanten ParametermG(h?+hWP ),mG∆yvG, J
vxx
G
erstellt. Diese Fehlermodelle sind in der Abbildung durch die roten und blau-
en Flächen dargestellt. Dabei sieht man den Zusammenhang zwischen der
Anregungsmenge cj jeweils in der Abszissenachse und dem relativen Schätz-
fehler jeweils in der Ordinatenachse. Das Modell mit nur zulässigen Annah-
men (4.11) erfüllt die Genauigkeitsanforderungen (4.7) schon ab cmh ≤ 170,
was einem Doppelspurwechsel entspricht. Allerdings können für das Modell
mit allen Annahmen (4.12) die Anforderungen (4.7) erst bei größerer Anre-
gungsmenge erfüllt werden und nur für die Parameter mG(h? + hWP ) und
mG∆y
v
G. Dadurch wird die Vernachlässigung der Reibungskräfte für mehrere
116
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Fahrsituationen unzulässig.
Gültigkeitsbereiche in der Frequenzdomäne
Die relevanten Anregungsfrequenzen bei der Parameterschätzung sollen die
Anregungsmenge cj maximieren und den Modellfehlereinfluss
EMx
M˜wx
minimie-
ren, siehe die Bedingung (4.14).
Das Durchprüfen aller Frequenzkombinationen für den gesamten Manöver-
katalog wird sehr aufwändig. Deswegen wird hier anhand einzelnes Messver-
suchs eine Hypothese bezüglich relevanten Anregungsfrequenzen formuliert
und für den ausgewählten Manöverkatalog nachgewiesen.
Dabei werden die Leistungsspektren der Eingangssignale und des Modellfeh-
lers für die Simulation analysiert. Anhand dessen wird ein passender Filter
entworfen und ausgewertet.
Abb. 4.7: Äquivalentes Wankmoment und Modellfehler im Zeit- und Frequenzbe-
reich für eine Normalfahrt entlang einer unebenen Fahrbahn
In den Abbildungen 4.7, 4.8, 4.9 sind die Eingangssignale
117
4. Genauigkeit des Schätzmodells
• Wankbeschleunigung ω˙x = ω˙vxvE
• Querbeschleunigung ay = avyG,vE
• äquivalentes Wankmoment M˜wx
und der Modellfehler
EMx = AP − M˜wx = Mfwx −Mwx
im Zeit- und Frequenzbereich für die Manöver mit Lenk- und Fahrbahnan-
regung dargestellt:
Abb. 4.8: Wank- und Querbeschleunigung im Zeit- und Frequenzbereich für eine
Normalfahrt entlang einer unebenen Fahrbahn
118
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.9: Wank- und Querbeschleunigung im Zeit- und Frequenzbereich für eine
Normalfahrt entlang einer ebenen Fahrbahn
Ohne Fahrbahnunebenheiten liegen die relevanten Frequenzen der Ein-
gangssignale und des Modellfehlers im Bereich bis zu 5 Hz, siehe die Ab-
bildung 4.9. Die Fahrbahnunebenheiten verursachen hochfrequente Wank-
beschleunigungen und Modellfehler. Bei der Auswertung der Schätzfehler ist
die Zusammensetzung ‖EMx‖‖M˜wx‖ wichtig. Bei den hochfrequenten Modellfehlern
wird dieser Betrag wachsen:
‖EMx(s1)‖∥∥∥M˜wx(s1)∥∥∥ <
‖EMx(s2)‖∥∥∥M˜wx(s2)∥∥∥ , s1 = 0 . . . 1Hz, s2 = 0 . . . 7Hz.
Das Trägheitsmoment JvxxG kann nur bei der hochfrequenten Anregung ge-
schätzt werden. Allerdings genau in diesem Frequenzbereich werden die Schätz-
ergebnisse durch den Modellfehler verfälscht. Dadurch kann das Trägheits-
moment nur mit niedriger Genauigkeit geschätzt werden.
Um einen Kompromiss zwischen der hinreichenden Anregung und der Unter-
drückung des Modellfehlers zu finden, wurden zwei Tiefpassfilter mit 5Hz
119
4. Genauigkeit des Schätzmodells
und 3Hz Grenzfrequenzen für alle Messeingänge angewendet. Die Schätz-
ergebnisse sind in den Abbildungen 4.10 und 4.11 dargestellt.
Abb. 4.10: Schätzgenauigkeit für die mit einem 5 Hz Tiefpass vorgefilterten Ein-
gangssignale
120
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.11: Schätzgenauigkeit für die mit einem 3 Hz Tiefpass vorgefilterten Ein-
gangssignale
In beiden Abbildungen bilden die roten Kreuze die Referenz-Genauigkeit
des Schätzmodells (4.10) ohne den Filter ab. Die blauen Kreise bilden die
Genauigkeit des Schätzmodells mit entsprechend vorgefilterten Eingangssi-
gnalen ab.
Dabei sieht man, dass die mit 3 Hz vorgefilterten Eingangssignale die Schätz-
genauigkeit verbessern. Die Verluste der Anregungsmenge sind dabei ver-
nachlässigbar. Die weitere Absenkung der Grenzfrequenz wird aber deutliche
Verluste der Anregungsmenge und dadurch der Schätzgenauigkeit verursa-
chen.
4.4.3 Behandlung der unzulässigen Annahmen
Anhand der Modellgültigkeitsbereiche in der Zeitdomäne gilt die Vernachläs-
sigung der Reibungskräfte als eine maßgebliche Fehlerquelle bei der Parame-
121
4. Genauigkeit des Schätzmodells
terschätzung, siehe die Abbildung 4.6. Durch die geeignete Vorfilterung der
Eingangssignale kann dieser Einfluss reduziert werden, siehe die Abbildung
4.11. Anhand der berechneten Fehlermodelle [e−(Pj), e+(Pj)] nach (4.17)
kann während der Fahrt bestimmt werden, ob die Reibungskräfte bei der
gegebenen Anregung vernachlässigt werden können.
In diesem Abschnitt wird diskutiert, wie der Einfluss der Reibungskräfte au-
ßerdem reduziert werden kann.
Dabei müssen die Eigenschaften der Reibungskräfte detailliert untersucht
werden. Anhand dessen können die Reibungskraftmodelle zusammengestellt
und bei der Schätzung verwendet werden. Falls solche Modelle nicht immer
zulässig sind, müssen die Bedingungen formuliert werden, wenn diese Mo-
delle als zulässig gelten.
Die für die Wankdynamik relevanten Reibungskräfte entstehen in folgenden
Bauelementen:
• in diversen Gummilagern
• und in den Stoßdämpfern.
Die Reibung in den Gummilagern kann nicht bei unterschiedlichen Bela-
stungen getrennt von der Kraft-Hysterese abgebildet oder vermessen werden.
Deswegen werden hier diese beiden Effekte als eine Reibungskraft betrach-
tet. Die Reibung im Stoßdämpfer ist durch die Oberflächenreibung zwischen
dem Plunder und dem Gehäuse verursacht, da die beiden Elemente sich im
dichten Kontakt zu einander befinden. Zusätzlich könnten die Reibungskräf-
te in den Luftfedern oder in den hydropneumatischen Federn entstehen, falls
es solche Elemente im Fahrzeug gibt.
Die Reibungskräfte im Versuchsfahrzeug können mit der Hilfe des FKE-
Prüfstands abgebildet werden, siehe die Abbildungen 4.12 und 4.13. Dabei
werden die vordere und die hintere Fahrwerksachse mit unterschiedlichen
Amplituden und Frequenzen, gleichseitig und wechselseitig eingefedert. Die
Reibungskräfte bei der wechselseitigen Einfederung unterscheiden sich von
den einseitigen nur für die Fahrzeuge mit dem aktiven/ halb-aktiven Stabili-
sator. Da unser Zielfahrzeug einen passiven Stabilisator hat, werden nur die
gleichseitigen Einfederversuche betrachtet.
Bei den gleichseitigen Einfederversuchen werden die Wank- und Nicksteifig-
keit des Fahrwerks nichts zu den vertikalen Kräften Ni in den Radaufstand-
spunkt beitragen. Damit können die Reibungskräfte nach (3.16) folgender-
maßen berechnet werden:
FReibz,i = Ni − cFederi hi − j2i cDmpi h˙i.
122
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.12: Reibungskräfte bezüglich der Federweggeschwindigkeiten in der Radauf-
hängung
Die in der Abbildungen 4.12 und 4.13 skizzierten Reibungskräfte können
aber nicht als die Kennfelder während der Normalfahrt verwendet werden,
weil
• die weiteren physikalischen Bedingungen, wie Temperatur, Oberflä-
chenbeschaffenheit, Schmiermittel, etc. stark die Reibungskräfte be-
einträchtigen werden.
• die während der Normalfahrt auftretenden Federweggeschwindigkeiten
deutlich höher (bis zu 100[mm/s]) als die des FKE-Prüfstands sind.
• Obwohl die FKE-Messungen hoch genau und zuverlässig sind, werden
sie nur für ein prototypisches Fahrzeug durchgeführt. Dadurch werden
die Bautoleranzen nicht in den Feder- Dämpferkennfeldern berücksich-
tigt.
In der CASCaDe-Simulation wurde folgendes Reibungskraftmodell F˜Reibz,i
123
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.13: Reibungskräfte bezüglich der Federwege in der Radaufhängung
angenommen
F˜Reibz,i =

150N h˙i ∈ (− inf,−10mm/s]
−15h˙i h˙i ∈ (−10mm/s, 10mm/s]
−150N h˙i ∈ (10mm/s, inf]
, (4.19)
siehe rote Kurve in der Abbildung 4.12.
Allerdings ist ein solches Modell immer noch eine grobe Annahme und
weicht von der echten Reibungskraft deutlich ab. Deswegen werden hier die
Bedingungen formuliert, bei denen das angenommene Reibungskraftmodell
gültig wäre.
• Der Betrag des Wankmomentes ist hinreichend groß
|M˜wx|≥ µ˜1, (4.20)
124
4. Genauigkeit des Schätzmodells
so dass die Reibungseffekte
EMx ∼=
(
FReibungz,vl − FReibungz,vr
) sv
2
+
(
FReibungz,hl − FReibungz,hr
) sh
2
vernachlässigbar sind:
cj
||EMx||
||M˜wx||
∼= 0.
Dabei soll man berücksichtigen, dass für ein symmetrisch beladenes
Fahrzeug das Wankmodell die Ruhelage
M˜wx = 0
haben wird und kein Wankwinkel zwischen der Karosserie und dem
Fahrwerk im Stillstand und ohne Fahrbahnquerneigung entstehen wird.
Für ein unsymmetrisch beladenes Fahrzeug wird die Ruhelage
M˜wx = mG∆y
v
Gg
gelten und ein Wankwinkel zwischen der Karosserie und dem Fahrwerk
wird im Stillstand ohne Fahrbahnquerneigung entstehen.
Um die Anregungsmatrix nicht singulär war und cj inf gilt, soll das
System von der Ruhelage ausweichen und die Bedingung (4.4.3) soll
folgendermaßen erweitert werden:
|M˜wx −mG∆yvGg|≥ µ1, (4.21)
• Die Reibungskräfte jeder Radaufhängung befinden sich im gleichen
Sättigungsbereich, z. B.: 
h˙vl > 10mm/s
h˙vr > 10mm/s
h˙hl > 10mm/s
h˙hr > 10mm/s
(4.22)
und deren Einfluss kann durch den konstanten Parameter
EMx = E
offs
Mx = const
abgebildet werden.
Diese Bedingung basiert auf dem Simulationsmodell.
125
4. Genauigkeit des Schätzmodells
• Aus der Abbildung 4.13 sieht man, dass die Unsicherheit der Reibungs-
kraft für bestimmte Werte des Federweges größer ist. Daraus folgt die
Bedingung für den Federweg:
hi < µ3 (4.23)
Diese Bedingung basiert auf der empirischen Auswertung der FKE-
Messdaten.
Die ersten beiden Bedingungen werden in der Simulation geprüft, siehe die
Abbildungen 4.14, 4.15.
Abb. 4.14: Schätzgenauigkeit für die Bedingung (4.21)
126
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.15: Schätzgenauigkeit für die Bedingung (4.22)
Die grünen Kreuze deuten dabei die Schätzfehler bei den Triggerbedingungen
(4.21) und (4.22) an. Die Anregungsmenge gilt jetzt nicht mehr als gemeinsa-
me Basis, um die Modelle mit und ohne Triggerbedingungen zu vergleichen.
Wie dann diese verglichen werden können, wird im nächsten Abschnitt be-
schrieben. Hier wird nur der qualitative Vergleich durchgeführt.
So sieht man in der Abbildung 4.14, dass kein deutlicher Vorteil bei der
Schätzgenauigkeit durch die Triggerbedingung (4.21) erreicht werden kann.
Dies erklärt sich dadurch, dass ||EMx||||M˜wx|| auch für die Bedingung (4.21) immer
noch einen relevanten Betrag hat. Die stochastische Eigenschaft
E[EMx] = 0 (4.24)
kann nur für die repräsentative Messstatistik angenommen werden. Da die
Triggerbedingung (4.21) die Messstatistik reduziert, kann die Eigenschaft
127
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Schätzmodell Annahme
M1 Jxyω˙
vy
vE = 0
M2 Jxzω˙
vz
vE = 0
M3 a
vz
G,vE = 9.81
M4 Jxxω˙
vx
vE = 0
Tab. 4.3: Einzelne Annahmen für die Reduktion der Komplexität des Schätzmodells
(4.24) schlecht eingehalten werden.
Die Triggerbedingung (4.22) verbessert zwar deutlich die Modellgenauigkeit,
siehe die Abbildung 4.15, reduziert aber erheblich die Anregungsmenge. Es
muss noch untersucht werden, wie gut diese Bedingung am realen Fahrzeug
funktioniert.
Die letzte Triggerbedingung (4.23) kann nur am realen Fahrzeug geprüft wer-
den.
4.5 Komplexität des Wankmodells
Natürlich ist es auch wichtig zu untersuchen, ob die Komplexität des Schätz-
modells
JvxxG ω˙
vx
vE + J
vxy
G ω˙
vy
vE + J
vxz
G ω˙
vz
vE
= M˜wx + EMx −mGavyG,vE(h? + hWP ) +mGavzG,vE∆yvG
(4.25)
M˜wx = (c
Feder
vl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v − cFedervr hvr − cDmpvr h˙vrj2v)
sv
2
+ (cFederhl hhl + c
Dmp
hl h˙hlj
2
h − cFederhr hhr − cDmph˙hrj2h)
sh
2
+ cWankv
hvl − hvr
sv
+ cWankh
hhl − hhr
sh
weiter reduziert werden darf. Im Weiteren wird das Schätzmodell (4.25) als
M0 bezeichnet.
Dabei werden unterschiedliche Annahmen formuliert, die zur Reduktion des
Schätzmodells führen können, siehe die Tabelle 4.3. Zuerst wird die Zulässig-
keit jeder einzelnen Annahme überprüft. Falls mehrere Terme vernachlässigt
werden dürfen, wird untersucht, ob die Kombination der Annahmen aus der
Tabelle 4.3 zum Schätzmodell angewendet werden darf.
128
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Für jede einzelne Annahme wird geprüft, ob beim Reduzieren der Kom-
plexität bedeutende Genauigkeitsverluste entstehen werden. Das heißt, dass
die Fehlermodelle der reduzierten und der nicht reduzierten Schätzmodelle
verglichen werden. Dabei soll die Analyse für alle mögliche Zuladungskonfi-
gurationen und Manöverarten durchgeführt werden. Hier findet dies anhand
der Simulationsversuche statt, siehe die Abbildung 4.16.
Für die unterschiedlichen Schätzmodelle, zum Beispiel:
Abb. 4.16: Schätzgenauigkeit des Parameters mh? für ein vollständiges Schätzmo-
dell M0 und für das reduzierte Schätzmodell M2
129
4. Genauigkeit des Schätzmodells
{M0 :}
[
ω˙x ω˙y ω˙z −ay az
]︸ ︷︷ ︸
AM0

JvxxG
JvxyG
JvxzG
mG(h
? + hWP )
mG∆y
v
G
 = M˜wx
{M2 :}
[
ω˙x ω˙y −ay az
]︸ ︷︷ ︸
AM2

JvxxG
JvxyG
mG(h
? + hWP )
mG∆y
 = M˜wx
wird sich die Berechnung der Anregungsmengen
cM0mh? = ||
[
0 0 0 1 0
]
(ATM0AM0)
−1ATM0 ||||AM0 ||,
cM2mh? = ||
[
0 0 1 0
]
(ATM2AM2)
−1ATM2 ||||AM2 ||
unterscheiden. Dabei werden dem gleichen Manöver und der gleichen Zula-
dungskonfiguration die unterschiedlichen Anregungsmengen cM0mh? und c
M2
mh?
zugeordnet.
Für den Vergleich der Fehlermodelle braucht man eine allgemeine Basis. Die
Anregungsmenge kann nicht mehr als eine solche gelten, siehe die Abbildung
4.16. Deswegen wird ein Gütemaß ζj formuliert, das als allgemeine Basis für
den Fehlermodellvergleich dienen kann:
ζj =
1
max cj − 1
1
nj
∫ max cj
1
e(Pj)dcj ,
wobei
nj die Menge aller relevanten Manöver für das Fehlermodell ist.
Als relevant gelten die Manöver, bei denen die stabilitätsre-
levanten Parameter mit der erforderlichen Genauigkeit (4.7)
geschätzt werden können.
max cj eine minimale Anregungsmenge ist, bei der die Genauigkeits-
anforderungen noch erfüllt werden können.
e(Pj) ein Fehlermodell des stabilitätsrelevanten Parameters ist, das
anhand der Validierungsversuche gebildet wurde.
In den Tabellen 4.4 und 4.5 sind die Ergebnisse der Untersuchung der
Fehlermodelle dargestellt. Dabei werden alle für die Berechnung des Güte-
maßes relevanten Parameter angegeben.
130
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Modell αmh = e1+e2cmh+e3c2mh max cmh nmh ζmh
M0 e =
 0.50000.5024
−5.1082e− 029
 9 81 0.0372
M1,
ω˙vyvE = 0
e =
 0.50000.5024
2.0525e− 024
 9 81 0.0372
M2,
ω˙vzvE = 0
e =
 0.50000.4901
−1.6640e− 024
 10 81 0.0394 >
ζM0mh
M3,
avzG,vE = 9.81
e =
0.50000.5022
0
 9 81 0.0372
M4,
ω˙vxvE = 0
e =
 0.50000.6858
7.2215e− 024
 7 79 0.0411 >
ζM0mh
Tab. 4.4: Schätzgenauigkeiten vonmG(h?+hWP ) für die reduzierten Schätzmodelle
Modell αmy = e1+e2cmy+e3c2my max cmy nmy ζmy
M0 e =
2.53550.2000
0.0200
 6.3039 341 0.0105
M1,
ω˙vyvE = 0
e =
2.52870.2000
0.0199
 6.2983 341 0.0105
M2,
ω˙vzvE = 0
e =
2.54740.2000
0.0195
 6.2976 341 0.0105
M3,
avzG,vE = 9.81
e =
3.53150.0200
0
 5.9343 341 0.0114 >
ζM0my
M4,
ω˙vxvE = 0
e =
4.05830.0200
0
 6.2992 341 0.0130 >
ζM0my
Tab. 4.5: Schätzgenauigkeiten von mG∆yvG für die reduzierten Schätzmodelle
131
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Die Schätzgenauigkeit von JvxxG erfüllt nicht die Genauigkeitsanforderungen
(4.7) und deswegen wird hier nicht weiter untersucht. Aus den Tabellen 4.4
und 4.5 folgt, dass die Annahmen 1 und 3 für die mG(h?+hWP ) - Schätzung
als zulässig gelten können. Die Annahmen 1 und 2 werden für die Schätzung
des Parameters mG∆yvG zulässig. Falls wir die beiden Parameter maximal
genau schätzen wollen, darf nur die Annahme 1 zugelassen werden:
JvxxG ω˙
vx
vE
+JvxzG ω˙
vz
vE =M˜wx + EMx −mGavyG,vE(h? + hWP ) +mGavzG,vE∆yvG
(4.26)
M˜wx =(c
Feder
vl hvl + c
Dmp
vl h˙vlj
2
v − cFedervr hvr − cDmpvr h˙vrj2v)
sv
2
+ (cFederhl hhl + c
Dmp
hl h˙hlj
2
h − cFederhr hhr − cDmph˙hrj2h)
sh
2
+ cWankv
hvl − hvr
sv
+ cWankh
hhl − hhr
sh
(4.27)
Man sieht hier auch, dass die Schätzgenauigkeit des Parameters mG∆yvG für
mehr Manöver die Genauigkeitsanforderungen als die Schätzgenauigkeit des
Parameters mG(h? + hWP ) erfüllt.
4.6 Relevante Faktoren für die Schätzmodellgenauigkeit
Das Schätzmodell (3.39) unterscheidet sich vom Wankmodell (2.18) durch
integrierte Sensormodelle. Hier wird untersucht, welchen Einfluss die Sensor-
modelle auf die gesamte Schätzgenauigkeit haben. Die folgenden Bestandteile
des Sensormodells werden dabei analysiert:
• Einbauort,
• Sensorrauschen,
• Sensitivitätsfehler.
Im Versuchsfahrzeug hat man nicht die Möglichkeit alle diese Einflüsse von-
einander trennen. Deswegen wird jeder einzelne Faktor simuliert, ausgewertet
und entsprechend bei der Schätzgenauigkeit berücksichtigt. Die Fahrversuche
werden für das Validieren der Schätzmodellgenauigkeit verwendet.
4.6.1 Einfluss des Einbauortes
Wie schon früher erwähnt wurde, wird der Sensoreinbauort in zwei Schritten
berücksichtigt:
132
4. Genauigkeit des Schätzmodells
• Transformation der Beschleunigungen von den Sensoreinbauorten in
den Referenzpunk R, und
• Transformation der Beschleunigungen vom Referenzpunkt in den Schwer-
punkt des Aufbaus G.
Der Referenzpunkt R wurde so gewählt, dass der Abstand vom Referenz-
punkt R bis zum Schwerpunkt des Aufbaus G
rR−G = [∆xvG,∆y
v
G,∆h
v
G]
T
bei allen möglichen Zugladungskonfigurationen minimal wird.
Dadurch kann man die Einflüsse des Sensoreinbauortes und der Zuladung
auf das Schätzmodell von einander trennen. Dies ist relevant, da der Sensor-
einbauort konstruktiv beeinflusst werden kann.
Der Einfluss der Zuladung rR−G wurde schon im Schätzmodell (3.39) berück-
sichtigt. Nach der Komplexitätsreduktion (4.26) und der folgenden Annahme
über die Sensitivitätsfehlerα˜
ax
ESP α˜
ay
ax α˜azax
α˜axay α˜
ay
ESP α˜
az
ay
α˜axaz α˜
ay
az α˜azz1
 =
 0 α˜ayax α˜azaxα˜axay 0 α˜azay
α˜axaz α˜
ay
az 0
 ,
α˜
ωx
ARB α˜
ωy
ωx α˜ωzωx
0 0 0
α˜ωxωz α˜
ωy
ωz α˜ωzESP
 =
0 0 α˜ωzωx0 0 0
0 0 0
 .
(4.28)
kann die Schätzgleichung folgendermaßen dargestellt werden:
(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h)G
?(s)ωARBxARB
+ (JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G + α˜
ωx
ωzJ
vxx
G +
α˜ωxωzmG(h
? + hWP )∆h
v
G)G
?(s)ωESPzESP =
M˜wx + EMx(t) + Eoffs
−mGa˜vyR,vE
[
(h? + hWP )− α˜azay∆yvG
]
+mGa˜
vz
R,vE [∆y
v
G − α˜ayaz(h? + hWP )]
+ ((ωvzvE)
2 + (ωvxvE)
2)mG(h
? + hWP )∆y
v
G+
mGa˜
vx
R,vE(α˜
ay
ax(h
? + hWP ) + α˜
ax
az∆y
v
G),
(4.29)
133
4. Genauigkeit des Schätzmodells
wobei M˜wx nach (4.27), a˜
vy
R,vE nach (3.31) und a˜
vz
R,vE nach (3.35) berechnet
wurden. Die Sensorfehler entlang der Sensitivitätsachse werden bei der An-
gaben von Sensorgenauigkeit berücksichtigt.
Hier wird zuerst untersucht, ob die Terme
((ωvzvE)
2 + (ωvxvE)
2)mG(h
? + hWP )∆y
v
G
mGa˜
vx
R,vE(α˜
ay
ax(h
? + hWP ) + α˜
ax
az∆y
v
G)
relevant für die Schätzung sind und ob das Modell noch weiter vereinfacht
werden darf
(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G)G
?(s)ωARBxARB
+ (JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G + α˜
ωx
ωzJ
vxx
G +
α˜ωxωzmG(h
? + hWP )∆h
v
G)G
?(s)ωESPzESP =
M˜wx + EMx(t) + Eoffs
−mGa˜vyR,vE
[
(h? + hWP )− α˜azay∆yvG
]
+mGa˜
vz
R,vE [∆y
v
G − α˜ayaz(h? + hWP )] .
(4.30)
Eine optimale Schätzgenauigkeit hängt von der Anregungsmenge und von
den Modellfehlern ab. Die beiden sind durch die Modellkomplexität definiert.
Hier wird untersucht, welche Modellkomplexität für die Normalfahrt hinrei-
chend ist.
Zuerst wird untersucht, ob das vereinfachte Schätzmodell (4.30) eine ver-
gleichbare Schätzgenauigkeit zum Wankmodell (4.26) bei der gegebenen An-
regungsmenge garantieren kann. Die Schätzergebnisse sind in der Abbildung
4.17 abgebildet. Die Daten stammen von den Simulationsergebnissen für den
definierten Manöverkatalog und die definierten Zuladungskonfigurationen.
Die blaue Fläche bildet die Genauigkeit des Wankmodells (4.26) ab. Die blau-
en Kreise bilden die Validierungsversuche für das vereinfachte Schätzmodell
(4.30) ab, wobei an Stelle der Schätzfehler von den Parametern mhm∆y
Jxx

die Schätzfehler
134
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.17: Genauigkeit des Wankmodells (rote Kreuze) und des Schätzmodells
(blaue Kreise)
von den ParameternmG[(h? + hWP )− α˜ayay∆yvG]mG[∆yvG − α˜ayaz(h? + hWP )]
JvxxG +mG(h
? + hWP )

geplotet sind. Die roten Kreuze bilden die Validierungsversuche für das Wank-
modell (4.26) ab, wobei an Stelle der Schätzfehler von den Parametern mhm∆y
Jxx

135
4. Genauigkeit des Schätzmodells
die Schätzfehler von mG(h? + hWP )mG∆yvG
JvxxG

abgebildet sind.
Der Einfluss der Reibungskräfte korreliert stark mit der Wankbeschleuni-
gung. Deswegen treten größere Fehler bei der Schätzung des Trägheitsmo-
mentes auf. Diese Fehler haben für das Wank- und das Schätzmodell die
gleiche Größenordnung.
Das Schätzmodell hat dabei weniger Anregung für das gleiche Manöver als
das Wankmodell, siehe die Anregungsmenge bei der Reduktion der Modell-
komplexität. Das passiert, weil die Beobachtbarkeitsmatrix des Schätzmo-
dells näher zur Singularität liegt als die Beobachtbarkeitsmatrix des Wank-
modells. Deswegen kann die Anregungsmenge nicht mehr als gemeinsame
Basis verwendet werden.
Allerdings bildet das vereinfachte Schätzmodell (4.30) anhand des qualitati-
ven Vergleichs die Genauigkeit des Wankmodells hinreichend genau ab.
4.6.2 Filtereinstellungen
Früher wurde schon untersucht, wie die Vorfilterung des Eingangssignals die
Modellfehler reduzieren kann. Hier wird der Einfluss der Vorfilterung auf die
Schätzgenauigkeit beim Sensorrauschen untersucht.
Die Eigenschaften des Sensorrauschen sind in den Tabellen 3.1 und 3.2
beschrieben. Das Messrauschen ist ein zusätzlicher Störeinfluss bei der Schät-
zung. Unter anderen beeinflusst das
• die Konditionszahl cj als imaginäre Anregung
• die Berechnung der Wankbeschleunigung.
Die Genauigkeit des Schätzmodells (4.30) mit der Vorfilterung und dem Sen-
sorrauschen wurde anhand des gesamten Manöverkatalogs geprüft und in den
Abbildungen 4.18 und 4.19 dargestellt. Dabei wurde das Sensorrauschen als
'random noise' simuliert und zum virtuellen Sensorsignal addiert.
Im Laufe der Untersuchung wurde festgestellt, dass der aktuelle Wank-
ratesensor ein zu hohes Rauschniveau hat und für die Schätzung der stabili-
tätsrelevanten Parameter nicht genommen werden darf, siehe die Abbildung
4.18.
136
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.18: Wankmodell mit der Vorfilterung und dem Sensorrauschen, Wank-
ratesensor aus der Serienausstattung
Allerdings wenn er durch einen genaueren Sensor (zum Beispiel Drehrate-
sensor aus dem ESP) ersetzt wird, wird das Sensorrauschen die Schätzge-
nauigkeit nicht beeinflussen, siehe die Abbildung 4.19.
4.6.3 Sensitivitätsfehler
Die Sensitivitätsfehler der Sensoren sind in den Sensorspezifikationen definiert.
Teilweise werden die Sensitivitätsfehler beim Schätzmodell berücksichtigt,
siehe die Annahme (4.28) und die Schätzgleichung (4.30). Diejenigen Sensitivitäts-
137
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.19: Wankmodell mit der Vorfilterung und dem Sensorrauschen, empfohlener
Wankratesensor
fehler, die bei dem Schätzmodell (4.30) nicht berücksichtigt wurdenα˜axESP 0 00 α˜ayESP 0
0 0 α˜azz1
 ,
α˜ωxARB 0 00 0 0
0 0 α˜ωzESP
 ,
müssen bei der Schätzgenauigkeit berücksichtigt werden. Dabei werden sie
138
4. Genauigkeit des Schätzmodells
in der Fehlermodell nach (4.16) integriert
e(Pk) = f
?(e(P˜k))
e˜(mG(h
? + hWP )) = (1− α˜ayESP )e(mG(h? + hWP ))−
α˜azay
1− α˜ayESP
mG∆y
v
G
e˜(mG∆y
v
G) = (1 + α˜
az
z1)e(mG∆y
v
G)−
α˜ayaz
1− α˜azz1
mG(h
? + hWP )
dabei sind
e˜(mG(h
? + hWP ))
e˜(mG∆y
v
G)
die entsprechenden Schätzgenauigkeiten unter
Berücksichtigung des Sensitivitätsfehlers des
Sensors e(Pk), siehe die Gleichung (4.7);
e(mG(h
? + hWP ))
e(mG∆y
v
G)
die Schätzgenauigkeiten ohne Berücksichtigung
des Sensitivitätsfehlers e(P˜k);
α˜ayESP
α˜azz1
die Sensitivitätsfehler der entsprechenden Senso-
ren, siehe die Tabelle 3.1 und 3.2.
Die Querempfindlichkeit der einzelnen Sensoren wurde im Rahmen dieser
Arbeit nicht untersucht und wird bei der Auswertung deswegen vernachläs-
sigt:
α˜azay, α˜
ay
az = 0.
Die Genauigkeitsanforderungen (4.4) zum Schätzmodell (4.30) werden in die-
sem Fall folgende Form haben:
‖e˜(mG(h? + hWP ))‖ ≤ 0.95 · 0.05,
‖e˜(mG∆yvG)‖ ≤ 0.95 · 0.1
4.7 Schätzmodellgenauigkeit
Nach den oben beschriebenen Untersuchungen wurde folgendes Schätzmodell
angenommen:
(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G)G
?(s)ωARBxARB
+ (JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G)G
?(s)ωESPzESP =
M˜wx −mGa˜vyR,vE(h? + hWP ) +mGa˜vzR,vE∆yvG,
(4.31)
139
4. Genauigkeit des Schätzmodells
wobei die Modellfehler EMx(t)+Eoffs und die Sensitivitätsfehler α˜
ay
ESP , α˜
az
z1
im Fehlermodell
e˜(mG(h
? + hWP )) = e˜0 + e˜1cmh + e˜2c
2
mh, e˜ = 1.03
 0.50000.5024
2.0525e− 024
 ,
(4.32)
e˜(mG∆y
v
G) = e˜0 + e˜1cmy + e˜2c
2
my, e˜ = 1.03
2.52870.2000
0.0199
 . (4.33)
berücksichtigt werden. Die Querempfindlichkeit der eingebauten Sensoren
würde für die Baureihe noch nicht untersucht und deswegen wurde in dieser
Arbeit
α˜ayaz , α˜
az
ay = 0
angenommen. Für ein echtes Fahrzeug soll die Zulässigkeit dieser Annahme
noch validiert werden.
Das Fehlermodell für die Massenschätzung unterscheidet sich von dem Feh-
lermodell für die Wankdynamik vor allem durch die Anregungsmenge.
Hier wird der Fehler ∆Fst durch die Reibungseffekte und Störeffekte verur-
sacht. Diese Effekte können zum stochastischen Fehler approximiert werden.
Dafür wird aber eine hinreichende Messstatistik gebraucht.
Die Anregungsmenge anhand der Konditionszahl c˜m wird für das eindimen-
sionale Schätzproblem ∑
Fz = mGa
z1,z
z1
immer maximal bleiben
c˜m =
∥∥∥(az1,zz1 Taz1,zz1 )−1az1,zz1 ∥∥∥∥∥∥az1,zz1 ∥∥∥ = 1,
wobei die Anregungsmatrix für die Vertikaldynamik durch den Vektor der
Vertikalbeschleunigung aESPzESP abgebildet wird. Dabei hat die Messstatistik
keinen direkten Einfluss auf die Anregungsmenge. Für die Vertikaldynamik
ist die Messstatistik ein entscheidender Faktor bei der Schätzgenauigkeit.
Deswegen wurde in dieser Arbeit folgendes Gütemaß für die Anregungsmenge
genommen:
cm = c˜m
1∥∥∥az1,zz1 Taz1,zz1 ∥∥∥ .
140
4. Genauigkeit des Schätzmodells
4.8 Validieren
Das Validieren des Fehlermodells wird anhand der echten Fahrversuche rea-
lisiert. Dabei gibt es natürlich eine Reihe von weiteren Faktoren, die die
Schätzgenauigkeit beeinträchtigen können:
• Einbaufehler und Offsetfehler der Beschleunigungssensoren
• Latenzzeiten von unterschiedlichen Sensoren
• Bautoleranzen des Fahrwerks
• Elastokinematische Eigenschaften des Fahrwerks bei hochfrequenten
Anregungen.
• Äußere Störeffekte wie die Windkraft und Sturzrillen der Fahrbahn.
Alle diese Effekte sind im Rahmen dieser Arbeit nicht einzeln berücksich-
tigt, sondern es wird hier untersucht, wie groß ihr gemeinsamer Einfluss auf
das Fehlermodell ist. Dabei werden die folgenden kipprelevanten Parameter:
mG(h
? + hWP ), mG∆yvG, mG geschätzt. Für das Validieren wurden Fahrten
mit und ohne Dachlast, Slalomfahrten und Normalfahrten ausgewählt. Die
Ergebnisse kann man in der Abbildung 4.20 sehen. Die einzelnen Kreuze ent-
sprechen den Validierungsfahrten. Die Berechnung der Referenzwerte für die
Schätzparameter ist im Anhang skizziert. Um eine repräsentative Statistik
zu bekommen, wurden die Fahrten in mehrere einzelne Abschnitte aufgeteilt.
Dabei kann man beurteilen, wie sich die Genauigkeit während der Fahrt und
abhängig von der Anregungsmenge ändert.
Die blauen Bereiche für die Schätzfehler von m∆y, mh? bilden die hergelei-
teten Fehlermodelle ab.
Die Einbaufehler der Sensoren wurden schon im vorigen Abschnitt diskutiert.
Die Offsetfehler können sich für jede einzelne Fahrt unterscheiden und liegen
im Bereich von ±0.5m/s2. Da bei Normalfahrt die Vertikalbeschleunigung
quasi Konstant ist, werden solche Offsetfehler zusammen mit den Einbauto-
leranzen deutlich den Schätzparameter m∆y verfälschen. In der Abbildung
4.20 sieht man das auch. Allerdings erfüllt die Schätzung von m∆y immer
noch die Genauigkeitsanforderungen.
Die Schätzgenauigkeit der Masse erfüllt die Annahmen.
Die Schätzgenauigkeit von mh? weicht vom Fehlermodell ab. Dies liegt vor
allem daran, dass die Wankpolhöhe sich in Abhängigkeit von der Zuladung
ändert. Dies soll weiter untersucht und abgebildet werden.
141
4. Genauigkeit des Schätzmodells
Abb. 4.20: Validieren des Fehlermodells durch die Fahrversuche
4.9 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurden die Genauigkeitsanforderungen an das Schätz-
modell formuliert. Danach wurden die Metriken formuliert, die in der Ab-
hängigkeit von der Anregungsmenge die Schätzgenauigkeit abbilden lassen.
Dabei wurde ein numerisches Konditionsverfahren angewendet. Die Annah-
men während der Herleitung des Schätzmodells wurden auf ihre Zulässigkeit
geprüft. Dafür wurde eine systematische Herangehensweise vorgeschlagen.
Die Schätzmodellgenauigkeit wurde für das Simulationsmodell anhand des
spezifizierten Manöverkatalogs abgebildet. Dabei wurde die beschränkte Op-
timierung verwendet. Das Schätzmodell für das Simulationsmodell erfüllt die
formulierten Genauigkeitsanforderungen. Das erzielte Schätzgenauigkeitsmo-
dell wurde am echten Fahrzeug validiert. Allerdings ist die Schätzgenauigkeit
für das Versuchsfahrzeug niedriger als für das Simulationsmodell. Die mögli-
chen Gründe sind die Sensorfehler, die Einbautoleranzen und die Abweichung
des Fahrwerks des Versuchsfahrzeugs vom angenommenen Fahrwerkmodell.
Das Schätzmodell für das Versuchsfahrzeug erfüllt die formulierten Genau-
igkeitsanforderungen für mehr als 80% der durchgeführten Manöver.
142
5. SCHÄTZVERFAHREN
5.1 Forschungsziele und Anforderungen
Moderne Fahrerassistenzsysteme stellen folgende Anforderungen an die Pa-
rameterschätzung:
• Online Angabe der Schätzgenauigkeit
• Hohe Schätzverfügbarkeit und Zuverlässigkeit
• Plausibilität bezüglich der physikalischen Grenzen
• Rechen-effizientes Verfahren
• Einfaches Testen.
Wie schon früher beschrieben wurde, können die stabilitätsrelevanten Para-
meter erst dann geschätzt werden, wenn man hinreichend Anregung hat. Die
Anregungsmenge hängt von jeder einzelnen Fahrt ab. Dies bedeutet, dass die
Schätzgenauigkeit nur online während der Fahrt bestimmt werden kann.
Für die sicherheitskritischen Funktionen spielt das zuverlässige Über- oder
Unterschätzen des Parameterwertes eine wichtige Rolle. So zum Beispiel,
wenn mGh? überschätzt wird (grüne Bereiche in der Abbildung 5.1), wird
das Umkippen schon bei kleineren Querbeschleunigungen erwartet und des-
wegen werden die Sicherheitseingriffe bei angenommenen ESP-Schwellen frü-
her passieren und es kann keine Sicherheitsgefahr entstehen. Falls mGh? un-
terschätzt wird (der rote Bereich in der Abbildung 5.1) und ein kippkritisches
Manöver vorkommt, kann das ESP-System nicht mehr die Fahrzeugstabilität
garantieren. Dieser Aspekt spielt bei den modernen Fahrerassistenzsystemen
eine wichtige Rolle, ist allerdings bei vielen Schätzalgorithmen nicht berück-
sichtigt. Wie man dies berücksichtigen kann, liegt im Fokus dieser Arbeit.
Die hohe Schätzverfügbarkeit bedeutet, dass die Schätzergebnisse nicht nur
für das Zeitintervall t ∈ [t?, inf) relevant sind, sondern auch deutlich früher,
wo die Schätzfehler nicht vernachlässigbar sind und dadurch die Angaben
der Schätzgenauigkeit eine größere Rolle spielen. Dabei ist wichtig eine hohe
5. Schätzverfahren
aber auch gleichzeitig zuverlässige Genauigkeit zu haben.
t, [s]0
max(mGh
?)
min(mGh
?)
mGh
?
˜mGh?
t?
Abb. 5.1: Anforderungen zur Parameterschätzung
Die geschätzten Parameter müssen plausibel sein,
z. B.: mGh
? ∈ [min(mGh?),max(mGh?)].
Ein weiterer Aspekt bei der Parameterschätzung ist das einfache Testen. Das
heißt, dass die geschätzten Parameterwerte leicht zu interpretieren sind und
auch die Parametergenauigkeit/Parameterverfügbarkeit leicht zu testen ist.
Da das angenommene Wankmodell ein lineares Schätzproblem ist, kann hier
das recursive least squares -Verfahren (RLS) als etabliertes Referenzverfah-
ren angenommen werden. Allerdings kann RLS nicht das zuverlässige Über-
Unterschätzen, ein einfaches Testen und eine hohe Verfügbarkeit der Schätz-
parameter garantieren.
Im Rahmen dieser Arbeit wurde untersucht, wie diese Anforderungen anhand
bekannter RLS-Verfahren und Fehlermodelle erfüllt werden können.
5.2 Least Squares (LS)
In diesem Abschnitt werden die LS-Problemtypen und die dazugehörigen
Schätzverfahren genannt. Es wird analysiert, welcher Problemtyp am besten
für unser Modell geeignet ist. Danach wird eine rekursive Form der Schätz-
algorithmen hergeleitet.
144
5. Schätzverfahren
5.2.1 Problemtypen und Lösungen
Problemklasse A.
Es wird ein deterministisches lineares System angenommen:
y1:i = H1:ix+ v1:i, (5.1)
dabei ist
x ∈ Rn ein unbekannter Schätzparameter,
y1:i =
y1...
yi
 ∈ Ril ein Messausgang, der aus den Systemausgängen
yi ∈ Rl im einzelnen Zeitpunkt ti entsteht,
H1:i =
u(t1)...
u(ti)
 eine überdefinierte zeitvariante Beobachtungs-
matrix,
H1:i ∈ Ril×n,∀il ≥ n
v1:i ∈ Ril ein Störvektor.
Die Lösung des Optimierungsproblems
min
x=xˆ
{||H1:ix− y1:i||2} (5.2)
bietet einen besten Fit xˆ für den Schätzparameter.
Wenn man das Optimierungsproblem (5.2) folgendermaßen darstellt:
min
x=xˆ
{[xT −1] [HT1:i
yT1:i
] [
H1:i y1:i
] [ x
−1
]
},
kann (5.2) bezüglich x gelöst werden:[
HT1:i
yT1:i
] [
H1:i y1:i
]︸ ︷︷ ︸
Z
[
x
−1
]
= 0, (5.3)
wobei Z als Datenmatrix definiert wird.
Die Gleichung [
HT1:iH1:i H
T
1:iy1:i
yT1:iH1:i y
T
1:iy1:i
] [
xˆ
−1
]
= 0
kann auf [
HT1:iH1:i H
T
1:iy1:i
] [ xˆ
−1
]
= 0
145
5. Schätzverfahren
reduziert werden, falls die Beobachtungsmatrix H1:i genau bekannt ist. Ein
solches Optimierungsproblem wird als LS-Problem definiert und nach [32]
gibt es dafür folgende Lösungen:{
rank(H1:i) = n xˆ = (H
T
1:iH1:i)
−1HT1:iy1:i
rank(H1:i) < n mehrere Lösungen H1:i(xˆ1 − xˆ2) = 0
.
Problemklasse B.
Für das gleiche System (5.1) wird eine gewichtete Optimierungsaufgabe ge-
stellt:
min
x=xˆ
{||y1:i −H1:ix||2W },
wobei die Notation die folgende Bedeutung hat
||y1:i −H1:ix||2W= (y1:i −H1:ix)TW (y1:i −H1:ix)
und W ∈ Ril×il eine positiv definite Matrix ist. Eine solche Gewichtung ist
vorteilhaft, wenn angenommene Messpunkte unterschiedliche Relevanz bei
der Schätzung haben.
Die Lösung einer solchen Optimierungsaufgabe hat dann folgende Form:[
HT1:iWH1:i H
T
1:iWy1:i
yT1:iWH1:i y
T
1:iWy1:i
] [
xˆ
−1
]
= 0,
und für die Beobachtungsmatrix H1:i ohne Perturbationen gilt folgendes Fit
für den Schätzparameter
xˆ = (HT1:iWH1:i)
−1HT1:iWy1:i.
Problemklasse C.
Für das gleiche System (5.1) wird die Optimierungsaufgabe folgendermaßen
erweitert:
min
x=xˆ
{(x− x0)TΠ−10 (x− x0) + ||y1:i −H1:ix||2W },
wobei es extra gewichtet wird, wie weit der Parametervektor x von x0 ent-
fernt sein darf. Dies kann auch unter anderem für den Fall rank(H1:i) < n
helfen, um das numerische Problem zu vermeiden. Bei einer solchen Heran-
gehensweise muss man nicht die Reduktion der Modellkomplexität in Ab-
hängigkeit von der Anregungsmenge extra betrachten.
146
5. Schätzverfahren
Die Lösung des Optimierungsproblems sieht folgendermaßen aus:[
HT1:iWH1:i + Π
−1
0 H
T
1:iWy1:i + Π
−1
0 x0
yT1:iWH1:i y
T
1:iWy1:i
] [
xˆ
−1
]
= 0.
Da keine Perturbationen der Beobachtungsmatrix angenommen wurden, hat
der Fit des Schätzparameters die Form
xˆ = x0 + [Π
−1
0 +H
T
1:iWH1:i]
−1HT1:iW (y1:i −H1:ix0).
Problemklasse D.
Es kann aber auch vorkommen, dass die Matrix H1:i nicht genau bekannt ist
sondern die Perturbationen ∆H hat:
y1:i = (H1:i + ∆H)x+ v1:i,
wobei die ∆H-Form unbekannt ist. Für ein solches System wird die Optimie-
rungsaufgabe (5.2) als total least squares Problem (TLS) definiert. Dabei
sieht die Lösung folgendermaßen aus:[
HT1:iH1:i H
T
1:iy1:i
yT1:iH1:i y
T
1:iy1:i
]
︸ ︷︷ ︸
ZTZ
[
xˆ
−1
]
= 0. (5.4)
Die Matrix ZTZ ist hier nicht mehr singulär, wie bei den vorherigen Proble-
men A, B und C. Im Allgemeinen kann (5.4) gelöst werden, wenn
[
xˆ
−1
]
ein
Eigenvektor für den kleinsten Eigenwert σn+1 der Matrix A ist, für den gilt:
ZTZ = A− σn+1I,
siehe Definition der Eigenvektoren.
Durch die Singularwertzerlegung kann eine solche Matrix A folgendermaßen
dargestellt werden:
A = USV T ,
dabei ist
S eine Diagonalmatrix, deren Elemente die Eigenwerte von
A sind, und
U und V sind die Matrizen, die aus den linken und rechten Eigen-
vektoren entsprechend entstehen.
Die Lösung der Gleichung (5.4)
(USV T − σn+1I)
[
xˆ
−1
]
= 0,
147
5. Schätzverfahren
bezüglich des Schätzparameters xˆ hat dann die Form[
xˆ
−1
]
= − V:,n+1
Vn+1,n+1
,
dabei ist
V:,n+1 der vertikale Vektor der Matrix V ,
Vn+1,n+1 das letzte Element des Vektors V:,n+1.
Um die Matrix V auszurechnen, muss folgende Gleichung gelöst werden:
ZTZ + σn+1I = USV
T , ∀σn+1 = Sn+1,n+1.
Dies kann auch durch die Lösung des Gleichungssystems[
HT1:iH1:i + σn+1I H
T
1:iy1:i
yT1:iH1:i y
T
1:iy1:i + σn+1
][
xˆ
−1
]
= 0
in eine Form gebracht werden, die äquivalent zum Theorem von Golub und
Van Loan ist
xˆ = (HT1:iH1:i + σn+1I)
−1HT1:iy1:i (5.5)
σn+1 = −yT1:iy1:i + yT1:iH1:i(HT1:iH1:i + σn+1I)−1HT1:iy1:i. (5.6)
Diese Lösung gilt auch für das System ohne Perturbationen, für die die Ma-
trix A einen Eigenwert
σn+1 = 0
hat. Dann gilt
ZTZ
[
xˆ
−1
]
= 0,
falls
[
xˆ −1]T ein Eigenvektor von ZTZ für den Eigenwert 0 ist.
Das passiert erst dann, wenn die ZTZ-Matrix einen Eigenwert 0 auch hat.
Die Bedingungen dafür können anhand eines charakteristischen Polynoms
geprüft werden:
det
[
HT1:iH1:i − σn+1I HT1:iy1:i
yT1:iH1:i y
T
1:iy1:i − σn+1
]
= 0.
Daraus folgt, dass es erst dann solche σn+1 = 0 gibt, falls es die entsprechen-
den H1:i gäbe:
HT1:iH1:iy
T
1:iy1:i −HT1:iy1:iyT1:iH1:i = 0.
148
5. Schätzverfahren
Solche Situationen kommen immer vor, wenn die Beobachtungsmatrix keine
Perturbationen hat.
Bei einem solchen TLS-Verfahren wird kein Perturbationsmodell ange-
nommen, und man nimmt immer an, dass der Fit xˆ des Schätzparameters
auch den Einfluss der Perturbationen minimieren kann.
Problemklasse E.
Hier wird angenommen, dass beim linearen System (5.1) der Parameter x
und der Störvektor v stochastisch sind und folgende Eigenschaften besitzen:
E[x] = mx, (5.7)
E[xTx] = Rx,
E[v] = mv,
E[vT v] = Rv.
Dieser Fall ist ähnlich wie Fall C, da noch keine Perturbationen der Beob-
achtungsmatrix zugelassen sind. Hier kann das Optimierungsproblem
min
x=xˆ
{(x−mx)TR−1x (x−mx) + ||y1:i −H1:ix−mv||2R−1v },
durch das folgende Gleichungssystem[
HT1:iR
−1
v H1:i +R
−1
x H
T
1:iR
−1
v (y1:i −mv) +R−1x mx
(y1:i −mv)TR−1v H1:i (y1:i −mv)TR−1v (y1:i −mv)
] [
xˆ
−1
]
= 0
gelöst werden:
xˆ = mx + [R
−1
x +H
T
1:iR
−1
v H1:i]
−1HT1:iR
−1
v [y1:i −H1:imx −mv].
Unser Problem
Unser Schätzproblem (4.30) kann mit der Annahme E[a˜azR,vE , Eoffs] 6= 0 zur
Klasse E oder D zugeordnet werden. In diesem linearen System
y1:i = (H1:i + ∆H)x+ v1:i,
sind die Größen x und v stochastisch, siehe die Gleichungen (5.7), wobei die
Erwartung des Schätzparameters x bei den theoretischen Wankmodellpara-
149
5. Schätzverfahren
metern liegt:
E[x] =

(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G)(1− α˜ωxARB)
(JvxzG +mG(h
? + hWP )∆x
v
G)(1− α˜ωzESP )
+(JvxxG +mG(h
? + hWP )∆h
v
G)α˜
ωx
ωz
mG[(h
? + hWP )(1− α˜ayESP )− α˜azay∆yvG]
mG[∆y
v
G(1− α˜azz1)− α˜ayaz(h? + hWP )] + Eoffsg

und Störungen v1:i die unabängigen Fehler nach der Gleichung (4.15) abbil-
den:
v1:i =
E(t1)· · ·
E(ti)
 .
Die Perturbationen ∆H der Beobachtungsmatrix
H1:i =
a˜vyR,vE(t1) a˜vzR,vE(t1) ω˙ARBxARB (t1) ω˙ESPzESP (t1)· · · · · · · · · · · ·
a˜vyR,vE(ti) a˜
vz
R,vE(ti) ω˙
ARBx
ARB (ti) ω˙
ESPz
ESP (ti)

sind zugelassen und für den Messausgang gilt
y1:i =
M˜wx(t1)· · ·
M˜wx(ti)
 .
Die Natur von ∆H und v1:i ist komplex und hängt von dem Modellfehler
EMx ab, der im vorherigen Abschnitt untersucht wurde. Dabei wurde fest-
gestellt, dass die Modellfehler überwiegend durch die Reibungskräfte verur-
sacht sind und für das Schätzmodell als additive Störeffekte zu betrachten
ist.
Hier wird untersucht, ob die Modellperturbationen für unser System ver-
nachlässigt werden können.
Die genommenen Optimierungsfunktionen bilden LS- (5.8) und TLS-Ansätze
(5.9) ab:
min
x=xˆ
{(x−mx)TR−1x (x−mx) + ||y −Hx−mv||2R−1v }, (5.8)
min
x=xˆ
{(x−mx)TR−1x (x−mx) + ||y − (H + ∆H)x−mv||2R−1v }. (5.9)
150
5. Schätzverfahren
Die Lösung des Optimierungsproblems (5.8) hat folgende Form:
xˆ = mx + [R
−1
x +H
T
1:iR
−1
v H1:i]
−1HT1:iR
−1
v [y1:i −H1:imx −mv]. (5.10)
Die Lösung des Optimierungsproblems (5.9) muss erst hier hergeleitet wer-
den. Nach der Analogie zu vorherigen Beispielen wird es folgendes Glei-
chungssystem geben:[
HT1:iR
−1
v H1:i +R
−1
x + σn+1I H
T
1:iR
−1
v (y1:i −mv) +R−1x mx
(y1:i −mv)TR−1v H1:i (y1:i −mv)TR−1v (y1:i −mv) + σn+1
] [
xˆ
−1
]
= 0.
Dieses Gleichungssystem wird folgende Lösung haben:
xˆ =(HT1:iR
−1
v H1:i +R
−1
x + σn+1I)
−1(HTR−1v (y1:i −mv) +R−1x mx)
σn+1 =(y1:i −mv)TR−1v (y1:i −mv) + (y1:i −mv)TR−1v H1:i
(HT1:iR
−1
v H1:i +R
−1
x + σn+1I)
−1(HTR−1v (y1:i −mv) +R−1x mx).
(5.11)
Die beiden Lösungen von LS- und TLS-Problem wurden zu einem einzelnen
exemplarischen Manöver (Normalfahrt mit wenig Anregung) implementiert.
In der Abbildung 5.2 und 5.3 sieht man den Vergleich zwischen zwei Opti-
mierungsverfahren.
In der Abbildung 5.2 stellt die x-Achse den fehlerfreien Ausgangsvektor
yref1:i = H1:ix
ref dar und die y-Achse bildet den Messvektor und die Schätz-
vektoren ab. Das LS-Schätzverfahren lässt keine Systemperturbationen zu
und minimiert nur den Störvektor v1:i, also den Vektor y1:i− yˆLS1:i . TLS lässt
im Gegensatz dazu die Systemperturbationen zu und minimiert dabei den
absoluten Abstand zwischen zwei Kurven [y1:i, H1:ixref ] und [yˆTLS1:i , H1:ix
ref ],
was man auch in der Abbildung 5.2 sieht.
151
5. Schätzverfahren
Abb. 5.2: Parameterschätzung mit LS und TLS
152
5. Schätzverfahren
Abb. 5.3: Parameterschätzung mit LS und TLS während der Zeit
Da die Modellfehler überwiegend durch die additiven Reibungskräfte
bestimmt sind, kann das TLS-Schätzverfahren nicht die Schätzgenauigkeit
bezüglich des LS-Verfahrens signifikant verbessern. Diese Hypothese wurde
auch für dieses exemplarische Manöver untersucht, wobei die Sensorfehler
erst vernachlässigt werden:α˜
ax
ESP α˜
ay
ax α˜azax
α˜axay α˜
ay
ESP α˜
az
ay
α˜axaz α˜
ay
az α˜azz1
 = 0,
153
5. Schätzverfahren
α˜
ωx
ARB α˜
ωy
ωx α˜ωzωx
0 0 0
α˜ωxωz α˜
ωy
ωz α˜ωzESP
 = 0.
und für die gewählte Fahrzeugkonfiguration gilt
JvxxG >> mG(h
? + hWP ).
In der Abbildung 5.3 sieht man die geschätzten Parameter in jedem neuen
Zeitpunkt für die Lösungen (5.10) und (5.11). Wie schon früher untersucht
wurde hat die Reibungskraft einen größeren Einfluss auf die JvxxG -Schätzung.
Wenn das Schätzverfahren die Modellperturbation zulässt, dann wird der
Einfluss der Reibungskraft als JvxxG -Perturbation betrachtet, siehe die Ab-
bildung 5.3. Auf die Schätzgenauigkeit von den anderen Zuständen hat das
TLS-Schätzverfahren keinen signifikanten Einfluss.
Da die Berechnungskomplexität bei TLS steigt, wird in dieser Arbeit auf das
TLS-Verfahren verzichtet.
5.2.2 Rekursives Verfahren
Ein weiterer wichtiger Aspekt beim LS-Verfahren ist die Recheneffizienz.
Also wird hier die rekursive LS hergeleitet. Die Grundidee bei der Herleitung
des rekursiven LS liegt in der Darstellung des Schätzvektors xˆi+1 durch die
vorherige Schätzung xˆi:
xˆi =
(
HT1:iH1:i
)−1
H1:iy1:i,
xˆi+1 =
([
HT1:i hi+1
] [H1:i
hTi+1
])−1 [
HT1:i hi+1
] [ y1:i
yTi+1
]
.
Dann wird die rekursive Berechnung der LS-Lösung nach folgender Formel
erfolgen, siehe [32] :
ki =
Pi−1u(ti)
λi + uT (ti)Pi−1u(ti)
αi = yi − uT (ti)xˆi−1
xˆi = xˆi−1 + kiαi
Pi = Pi−1(λi − kiuT (ti)).
(5.12)
154
5. Schätzverfahren
5.2.3 RLS mit Fehlermodell
Das in dem vorherigen Abschnitt hergeleitete Fehlermodell basiert auf den
Schätzabweichungen, die als Modellfehler betrachtet werden können. Dieses
Fehlermodell kann leicht in das hergeleitete RLS-Verfahren integriert werden:
(mG(h
? + hWP ))
+ = ˜mG(h? + hWP ) + e(mG(h? + hWP ))+
(mG(h
? + hWP ))
− = ˜mG(h? + hWP )− e(mG(h? + hWP ))−
(mG∆y
v
G)
+ = ˜mG∆yvG + e(mG∆yvG)+
(mG∆y
v
G)
− = ˜mG∆yvG − e(mG∆yvG)−,
dabei sind
Pk(j)
+ die obere Grenze des Parameters Pk(j),
Pk(j)
− die untere Grenze des Parameters Pk(j),
e(Pk(j))+ die obere Grenze des Schätzfehlers von dem Parameter Pk(j),
siehe (4.32) und (4.33),
e(Pk(j))− die untere Grenze des Schätzfehlers von dem Parameter
Pk(j).
Anhand einer solchen Herangehensweise kann eine sichere Über- oder Unter-
schätzung der relevanten Parameter garantiert werden. In den Abbildungen
5.4 und 5.5 sieht man die Schätzergebnisse für stabilitätsrelevante Parame-
ter mit RLS-Verfahren (rot), Referenzwerte (grün) und obere und untere
Grenzen der entsprechenden Parameter (blau). Dabei sieht man, dass das
beim Simulationsmodell angewendete Schätzverfahren die in diesem Kapitel
definierten Anforderungen erfüllt. Für die echte Fahrt erfüllt allerdings die
Schätzung die formulierten Anforderungen für die oberen und unteren Gren-
zen nicht. Dies liegt daran, dass die validierten Annehmen für die Simulation
weitere Gültigkeitseinschränkungen für das echte Fahrzeug haben werden.
155
5. Schätzverfahren
Abb. 5.4: Online Parameterschätzung für das Simulationsmodell
156
5. Schätzverfahren
Abb. 5.5: Online Parameterschätzung für den Fahrversuch
5.3 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurde ein 'least squares' Beobachter für das hergeleite-
te Schätzmodell entworfen. Dabei wurden unterschiedliche Arten von 'least
squares' Problemen analysiert und ein geeignetes Verfahren für unser Pro-
blem gewählt. Ein `total least squares' und 'least squares' wurden dabei
verglichen. Da die Fehler des Schätzmodells allerdings einen additiven Cha-
rakter haben (Reibungskräfte) und keine Perturbationen sind, wurde hier ein
einfaches rekursives 'least squares' Verfahren angewendet. In den Beobachter
wurde ein Genauigkeitsmodell aus dem vorherigen Abschnitt integriert. Da-
157
5. Schätzverfahren
mit kann man das Über- oder Unterschätzen der Fahrzeugparameter während
der Fahrt garantieren. Garantiertes Über- oder Unterschätzen der Fahrzeug-
parameter ist sicherheitsrelevant für die Schätzung von stabilitätsrelevanten
Parametern.
158
6. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
In dieser Arbeit wurde ein Stabilitätsgütemaß definiert, das genauer als die
bekannte statische Analyse die Fahrzeugstabilität bestimmt. Die für das Gü-
temaß benötigten Parameter werden aus Wank- und Vertikaldynamik ge-
schätzt. Dabei wurde ein mechanisches Schnittverfahren angewendet und die
Kräfte- und Momentenbilanz nur für den Aufbau gebildet. Dadurch konnte
man die Schätzgenauigkeit erhöhen, da die Bewegung eines starren Körpers
viel einfacher zu beschreiben ist, und da alle relevanten Sensoren fest im
Aufbau eingebaut sind. Bei der Herleitung des Schätzmodells wurden auch
eine unsymmetrische Zuladung, Fahrbahnunebenheiten, Reifeneinfederung,
und das nichtlineare Fahrwerkverhalten zugelassen. Die äquivalenten Kräfte
und Momente im Schnitt zwischen dem Aufbau und dem Fahrwerk wur-
den anhand des Fahrwerkmodells und der Federwegsignale bestimmt. Das
Fahrwerkmodell wurde anhand der Fahrwerkvermessungen am Federung-
Kinematischen Prüfstand und Dämpferprüfstand gebildet. Ein wichtiger Teil
der Arbeit bezieht sich auf die Integration der Sensormodelle ins Schätzmo-
dell. Anhand von Kundenanforderungen wurden die Genauigkeitsanforde-
rungen zum hergeleiteten Schätzmodell formuliert. Dies gehört auch zum
wissenschaftlichen Beitrag der Arbeit. Es wurde geprüft, wie das hergelei-
tete Schätzmodell diese Anforderungen erfüllt. Anhand dessen wurde der
Gültigkeitsbereich des Schätzmodells formuliert. Die methodische Herange-
hensweise bei der Formulierung des Gültigkeitsbereiches gehört ebenfalls zum
wissenschaftlichen Beitrag der Arbeit. Die Genauigkeit des Schätzmodells
wurde beim Beobachterentwurf berücksichtigt.
Das hergeleitete Schätzmodell, das Genauigkeitsmodell und der Beobach-
ter wurden auf der Basis des Simulationsmodells und des Versuchsfahrzeugs
validiert. Dabei wurden alle Anforderungen an die Schätzmodellgenauigkeit
und den Beobachterentwurf für das Simulationsmodell erfüllt. Die Schätz-
fehler für das Versuchsfahrzeug sind größer als für das Simulationsmodell.
Diese Fehler wurden in dieser Arbeit begründet und Lösungswege um diese
Fehler zu reduzieren wurden vorgeschlagen.
ANHANG
A. BERECHNUNG DER REFERENZWERTE FÜR DEN AUFBAU
Um die Schätzgenauigkeit zu prüfen, müssen die Referenzwerte bestimmt
werden. Dafür müssen zuerst die Aufbauparameter (Karosserie + Zuladung)
für die jeweilige Zuladungskonfiguration berechnet werden:
• mG,
• rG = [rvxG , rvyG , rvzG ]T ,
• JvG.
Dies wird anhand von:
• Pendelmessungen mfz, rSP , JvSP für ein leeres Fahrzeug,
• mit Hilfe eines Fahrwerkmodells und
mfw =
[
mvl mvr mhl mhr
]T
rvfw =
[
rvl rvr rhl rhr
]T
Jvfw =

Jvxxvl J
vyy
vl J
vzz
vl J
vxy
vl J
vxz
vl J
vyz
vl
Jvxxvr J
vyy
vr Jvzzvr J
vxy
vr Jvxzvr J
vyz
vr
Jvxxhl J
vyy
hl J
vzz
hl J
vxy
hl J
vxz
hl J
vyz
hl
Jvxxhr J
vyy
hr J
vzz
hr J
vxy
hr J
vxz
hr J
vyz
hr

• und eines Zuladungsmodells[
mzl,1 ... mzl,i
]T[
rzl,1 ... rzl,i
]T[
Jvzl,1 ... J
v
zl,i
]T
berechnet. 1 Für das angenommene Versuchsfahrzeug gilt folgendes:
1 Für die Übersichtlichkeit wird der Trägheitstensor in Form eines Vektors notiert
A. Berechnung der Referenzwerte für den Aufbau
Pendelversuche
mSP , r
v
SP , J
v
SP
Fahrwerkmodell
mfw =
[
65 65 59 59
]T
kg
rvfw =

0 0.8209 0
0 −0.8209 0
−2.915 0.8255 0
−2.915 −0.8255 0
m
Jvfw =

0 1.31 2.40 0 0 0
0 1.31 2.40 0 0 0
0 1.38 2.13 0 0 0
0 1.38 2.13 0 0 0
 kgm2
Zuladungsmodell
Das Beispiel von Zuladungsvarianten ist in der Tabelle A.1 dargestellt. Dann
Zuladung Parameter
Fahrer
mzl,1 = 70 kg
rvzl,1 = [−1.0; 0.5; 0.7]Tm
Jvzl,1 = [20.0; 10.0; 1; 0.0; 0.0; 0.0]
Tkgm2
Dachlast
mzl,2 = 100 kg
rvzl,2 = [−1.440; .000; 1.9]Tm
Jvzl,2 = [100.0; 200.0; 200.0; 0; 0; 0]
Tkgm2
Fußraumlast
mzl,2 = 100 kg
rvzl,2 = [−1.440; 0.000; 0.2]Tm
Jvzl,2 = [100.0; 200.0; 200.0; 0; 0; 0]
Tkgm2
Kofferraumlast
mzl,2 = 200 kg
rvzl,2 = [−2.1; 0.15; 0.80]Tm
Jvzl,2 = [300; 300; 300; 0; 0; 0]
Tkgm2
...
Tab. A.1: Zuladungskonfigurationen
gilt für die Aufbaumasse folgende Berechnungsformel:
mG = mfz −mfw +mzl.
162
A. Berechnung der Referenzwerte für den Aufbau
Für die Schwerpunktlage des Aufbaues gilt entsprechend der Ausdruck:
rvG =
1
mG
[
mfz −mfw mTzl
]
.
Die Berechnung des Trägheitstensors des Aufbaus hat folgende Form:
JvG = J
v
SP−G − Jvfw−G + Jvzl−G,
wobei JvSP−G, J
v
fw−G, J
v
zl−G die Trägheitstensoren des leeren Fahrzeugs, des
Fahrwerks und der Zuladung bezüglich des Schwerpunktes des Aufbaus sind.
Einen einfachen Weg, wie man einen Trägheitstensor zu einem bestimmten
Punkt (in unserem Fall Schwerpunkt G) transformiert, ist durch den Satz
von Steiner formuliert:
JvSP−Gω
v
vE = J
v
SPω
v
vE +mSP r
v
G−SP × (ωvvE × rvG−SP ),
wobei rvG−SP der Abstand vom Schwerpunkt des Aufbaus bis zum Schwer-
punkt des ganzen leeren Fahrzeugs ist.
Dann sieht die direkte Berechnungsformel für den Trägheitstensor folgender-
maßen aus:
JvG
T =
∑[
JvSP
T −JvfwT JvzlT
]
+

mSP (r
vy
G−SP
2
+ rvzG−SP
2) −mfw(rvyG−fw2 + rvzG−fw2) mzl(rvyG−zl2 + rvzG−zl2)
mSP (r
vx
G−SP
2 + rvzG−SP
2) −mfw(rvxG−fw2 + rvzG−fw2) mzl(rvxG−zl2 + rvzG−zl2)
mSP (r
vx
G−SP
2 + rvyG−SP
2
) −mfw(rvxG−fw2 + rvyG−fw2) mzl(rvxG−zl2 + rvyG−zl2)
−mSP rvxG−SP rvyG−SP +mfwrvxG−fwrvyG−fw −mzlrvxG−zlrvyG−zl
−mSP rvxG−SP rvzG−SP +mfwrvxG−fwrvzG−fw −mzlrvxG−zlrvzG−zl
−mSP rvyG−SP rvzG−SP +mfwrvyG−fwrvzG−fw −mzlrvyG−zlrvzG−zl

Die Berechnung von angegebenen Abständen rvG−A findet folgenderma-
ßen statt:
rvG−A = r
v
G − rvA.
163
B. KONDITIONSZAHL
Bei der Zustands- oder Parameterschätzung ist es sehr wichtig, wie sich der
Messfehler auf die Schätzparameter überträgt. Dies hängt von der Systemart
ab. In [29] wurde ein geeignetes Maß dafür (Konditionszahl) gefunden.
Definition 1. Für ein System
x 7→ f(x), ∀x ∈ Rn, f(x) ∈ Rm,
wobei x = x˜ + δx - ein Eingang mit dem Fehler δx ∈ Rn ist und f(x) =
f(x˜) + δf ein Ausgang mit dem Fehler δf ∈ Rm ist, wird das Verhältnis
zwischen Eingabe- und Ausgabefehler durch die Konditionszahl quantifiziert
||f(x˜)− f(x)||≤ κabs||x˜− x||+Fabs(x), (B.1)
||f(x˜)− f(x)||
||f(x)|| ≤ κref
||x˜− x||
||x|| + +Frel(x), (B.2)
wobei κabs eine absolute Konditionszahl ist, κref eine relative Konditionszahl
ist und für Fabs(x) und Frel(x) folgende Bedingungen gelten:
lim
x→x˜
∣∣∣∣ Fabs(x)||x˜− x||
∣∣∣∣ = 0 (B.3)
lim
x→x˜
∣∣∣∣Frel(x)||x||||x˜− x||
∣∣∣∣ = 0 (B.4)
Falls die Funktion f(x) differenzierbar ist, dann gilt Folgendes:
κabs = ||Df(x)|| (B.5)
κref =
||Df(x)||||x||
||f(x)|| , (B.6)
wobei Df(x) eine Jacobimatrix und ||Df(x)|| eine induzierte Matrixnorm
sind.
B. Konditionszahl
Definition 2. Die Komponentenweise Konditionszahl quantifiziert wie die
Eingabefehler sich auf die einzelnen Komponenten des Ausgabefehlers bezie-
hen.
max
1≤i≤m
|fi(x˜)− fi(x)|
|fi(x)| ≤
n∑
j=1
cj
|x˜j − xj |
|xj | + Fk,rel(x),
wobei für die Fehlerfunktion Fk,rel(x) gilt:
lim
x→x˜
∣∣∣∣∣∣ Fk,rel(x)max1≤k≤n |x˜k−xk||xk|
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Daraus folgt die Bedingung für die Komponentenweise Konditionszahl:
cj = max
1≤i≤m
∣∣∣∣∣
∂fi
∂xj
(x)xj
fi(x)
∣∣∣∣∣ , ∀1 ≤ j ≤ n.
B.1 Konditionszahl für ein lineares System
Für das lineare Gleichungssystem
Hx = y
kann die Konditionszahl folgendermaßen berechnet werden:
κabs = ||H−1|| und κref = ||H
−1||||Hx||
||x|| ≤ ||H
−1||||H||.
Die Komponentenweise Konditionszahl wird in diesem Fall folgendermaßen
berechnet:
cj = ||ejH−1||||H||,
wobei ej ∈ Rn ein Einheitsvektor ist.
B.2 Konditionszahl für ein lineares System mit Ausgangsstörungen
Die Parameterschätzung eines linearen Systems mit Ausgangsstörungen v:
Hx = y + v
kann durch das folgende Optimierungsproblem
min
x
{
(y −Hx)T (y −Hx)}
165
B. Konditionszahl
gelöst werden. Dann kann das Schätzproblem wie folgt dargestellt werden:
HTHx = HT y,
und für die Komponentenweise Konditionszahl gilt nach der Gleichung (4.9)
cj = ||ej(HTH)−1HT ||||H||. (B.7)
B.3 Einschränkung des Schätzfehlers der Parameterkomponenten
Hier wird die Einschränkung
e(Pj) ≤ cj ||EMx||||M˜wx||
(B.8)
des relativen Parameterkomponentenfehlers
e(Pj) =
‖er(Pj)‖
‖Pj‖ (B.9)
für das Schätzmodell
AP =
 M˜wx(t1) + EMx(t1)...
M˜wx(tN ) + EMx(tN )

hergeleitet. Dabei gelten für den absolute Parameterkomponentenfehler
‖er(Pj)‖ =
∥∥∥∥ejATEMxATA
∥∥∥∥ , (B.10)
und für eine Parameterkomponente
‖Pj‖ =
∥∥∥∥∥ejAT M˜wxATA
∥∥∥∥∥ . (B.11)
Nach dem Einsetzen von (B.10) und (B.11) in die Gleichung (B.9) kann man
den relativen Parameterkomponentenfehler als
e(Pj) =
∥∥∥ ejATEMxATA ∥∥∥∥∥∥ ejAT M˜wxATA ∥∥∥
166
B. Konditionszahl
darstellen. Dann kann die Einschränkung (B.8) folgendermaßen dargestellt
werden: ∥∥∥ ejATEMxATA ∥∥∥∥∥∥ ejAT M˜wxATA ∥∥∥ ≤ ‖A‖
∥∥∥∥ejATATA
∥∥∥∥ ‖EMx‖∥∥∥M˜wx∥∥∥ .
Hier wird angenommen, das der Modellfehler EMx hohe Streuung hat und
dadurch kann ∥∥∥ ejATEMxATA ∥∥∥∥∥∥ ejAT M˜wxATA ∥∥∥ ≤
∥∥∥ ejATATA ∥∥∥ ‖EMx‖∥∥∥ ejATATA ∥∥∥∥∥∥M˜wx∥∥∥ (B.12)
angenommen werden. Damit wird die Einschränkung (B.8) folgende Form
haben: ∥∥∥ ejATATA ∥∥∥ ‖EMx‖∥∥∥ ejATATA ∥∥∥∥∥∥M˜wx∥∥∥ ≤ ‖A‖
∥∥∥∥ejATATA
∥∥∥∥ ‖EMx‖∥∥∥M˜wx∥∥∥
und wie folgt vereinfacht werden
‖EMx‖∥∥∥M˜wx∥∥∥ ≤ ‖A‖
∥∥∥∥ejATATA
∥∥∥∥︸ ︷︷ ︸
cj≥1
‖EMx‖∥∥∥M˜wx∥∥∥ .
Dieses Ausdruck gilt immer unter der Annahme (B.12).
167
B. Konditionszahl
168
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ABSTRACT
The rollover of a vehicle is a kind of accident, when the vehicle rolls over
the roof or the side. The share of such accidents is less than 4% of the to-
tal vehicle accidents number and varies within set limits depending on the
country according to OECD (Organization for economy cooperation and de-
velopment). The rollover protection is so important, because exactly such
accidents lead to fatal injuries of the vehicle occupants. The establishment
of the electronic stability program (ESP) has reduced the share of the roll-
over accidents. The ESP permanently observes the vehicle movement (lateral
acceleration). As soon as a high rollover risk is detected an active safety con-
cept is implemented. It could be braking, steering or one-side braking.
Nowadays stability systems have conservative rollover criteria. Hence, a suf-
ficient safety regarding rollover can be guaranteed for the vehicle occupants.
But at the same time unnecessary ESP activation could occur. In this case
the vehicle will lose its agility, what can endanger the occupants in the other
way. The loss of agility could be avoided through respecting of the vehicle
payload by the rollover criteria. There are several possibilities to estimate a
vehicle payload: through vehicle load roof sensor [4] or through vehicle pa-
rameter estimation from driving dynamics.
The vehicle payload estimation with load roof sensor is faced with a compati-
bility problem because of different roof load carrier configurations. Also this
method cannot guarantee a reliable detection of the payload with agilization
potential.
Therefore the payload estimation from the driving dynamics is one of the
most important research goals. Thereby the payload estimation shall have
high accuracy, reliability and availability. In this thesis it was analyzed, how
this can be achieved with available sensors and vehicle dynamic models. One
of the research goals of this thesis is to define a stability criteria, which could
be used with above defined constraints. The necessary parameters for such
stability criteria will be estimated from the vehicle dynamics. Therefore a
payload estimation model is derived based on roll- and vertical vehicle dyna-
mics. Thereby the existing estimation models are evaluated regarding their
accuracy and acceptable assumptions. Several assumptions were detected,
which are not acceptable for the particular vehicle project. So a new advan-
ced estimation model was derived, where all accuracy relevant factors were
respected. Such an advanced model respects unsymmetrical payload, road
bumpiness, tire deformations, nonlinear properties of the chassis system, sen-
sor models and sensor errors. All this factors strongly affect the estimation
accuracy. The accuracy requirements for the estimation model were defined
through the project requirements. It was checked, whether the derived model
fulfills these requirements. On the basis of the vehicle movement information
a validity domain was specified, where the accuracy requirements are fulfil-
led. This domain and error model were respected by the payload observer
design.
The derived estimation model, error model and observer design were valida-
ted through simulation and field tests. The error model has sufficient accura-
cy and the observer design fulfills the specified requirements. The estimation
error for the real vehicle (field tests) is higher as for the simulation. The
possible reasons and ways to improve this are mentioned.
During this research the following methods were used: harmonic balance,
mechanical method of sections, Lagrange formalism, Newton's mechanics,
numerical condition, constraint optimization, least squares method.
Through the newly defined advanced stability criteria the driving safety
could be more precisely evaluated. Through the derived payload estimation
model the advanced stability criteria could be reliably and precisely estima-
ted. In this thesis a methodical way was specified, how to define a validity
domain of the estimation model and how to design an observer respecting
error model.
The described results were achieved by author and the same holds for the
choice of the research methods. The achieved results are registered by Ger-
mane Patent Office, see [5], [6].