Constructions and Closure Properties for Partial and Complete Automaton Structures

Abstract

An interesting aspect to study on the topic of semigroups are their closure properties. In particular, this work aims to expand on previous results on the closure under the semigroup free product. These results stem from work done by Tara Brough and Alan J. Cain, who proved that automaton semigroups which have an idempotent or are homogeneous will form an automaton semigroup under the free product. In this work, we show that these restrictions can be loosened to encompass a greater number of automaton semigroups. We accomplish this by proving that two automaton semigroups form another automaton semigroup under free product construction, if there exist maps between their state sets that each extend into homomorphisms between their generated semigroups. Ein interessanter Aspekt, den man beim Thema Automatenhalbgruppen betrachten kann, sind deren Abschlusseigenschaften. Insbesondere ist das Ziel dieser Arbeit, bisherige Ergebnisse des Abschlusses unter freiem Produkt von Halbgruppen zu erweitern. Diese Ergebnisse stammen aus der Arbeit von Tara Brough und Alan J. Cain, welche bewiesen haben, dass Automatenhalbgruppen, welche mindestens ein idempotentes Element oder homogenen Charakter haben, unter dem freien Produkt wieder eine Automatenhalbgruppe bilden. In dieser Arbeit zeigen wir, dass diese Einschränkungen etwas gelockert werden können, um mehr Automatenhalbgruppen abzudecken. Wir erreichen dies, indem wir beweisen, dass zwei Automatenhalbgruppen eine weitere Automatenhalbgruppe unter freier Produktkonstruktion bilden, wenn es Abbildungen zwischen ihren Zustandsmengen gibt, die sich jeweils zu Homomorphismen zwischen ihren generierten Halbgruppen erweitern lassen.